Lengkapkan formula persamaan kuadratik. Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

", iaitu persamaan darjah pertama. Dalam pelajaran ini kita akan melihat apa yang dipanggil persamaan kuadratik dan cara menyelesaikannya.

Apakah persamaan kuadratik?

Penting!

Darjah persamaan ditentukan oleh tahap tertinggi yang tidak diketahui berdiri.

Jika kuasa maksimum yang tidak diketahui ialah "2", maka anda mempunyai persamaan kuadratik.

Contoh persamaan kuadratik

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” dan “c” diberi nombor.

• “a” ialah pekali pertama atau tertinggi;
• “b” ialah pekali kedua;
• “c” ialah istilah percuma.

Untuk mencari "a", "b" dan "c" anda perlu membandingkan persamaan anda dengan bentuk umum persamaan kuadratik "ax 2 + bx + c = 0".

Mari kita berlatih menentukan pekali "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadratik.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Persamaan	Kemungkinan
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Tidak seperti persamaan linear, kaedah khas digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. formula mencari punca.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang anda perlukan:

• bawa persamaan kuadratik kepada bentuk am “ax 2 + bx + c = 0”.
• Iaitu, hanya "0" harus kekal di sebelah kanan;

gunakan formula untuk akar:

Mari kita lihat contoh cara menggunakan formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik. Mari kita selesaikan persamaan kuadratik.

X 2 − 3x − 4 = 0 Persamaan “x 2 − 3x − 4 = 0” telah pun dikurangkan kepada bentuk am “ax 2 + bx + c = 0” dan tidak memerlukan pemudahan tambahan. Untuk menyelesaikannya, kita hanya perlu memohon.

formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik

Mari kita tentukan pekali “a”, “b” dan “c” untuk persamaan ini.
Mari kita tentukan pekali “a”, “b” dan “c” untuk persamaan ini.
Mari kita tentukan pekali “a”, “b” dan “c” untuk persamaan ini.
Mari kita tentukan pekali “a”, “b” dan “c” untuk persamaan ini.

x 1;2 =

Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.
Dalam formula “x 1;2 = ” ungkapan radikal sering diganti

“b 2 − 4ac” untuk huruf “D” dan dipanggil diskriminasi. Konsep diskriminasi dibincangkan dengan lebih terperinci dalam pelajaran "Apakah itu diskriminasi".

Mari kita lihat satu lagi contoh persamaan kuadratik.

x 2 + 9 + x = 7x

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sekarang anda boleh menggunakan formula untuk akar.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Jawapan: x = 3

Ada kalanya persamaan kuadratik tidak mempunyai punca. Keadaan ini berlaku apabila formula mengandungi nombor negatif di bawah punca.

Dalam masyarakat moden, keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, pesawat dan roket. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai jenis badan, termasuk objek angkasa, ditentukan. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam peramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan semasa perjalanan mendaki, di acara sukan, di kedai semasa membuat pembelian dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya

Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan itu. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.

Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila bahagian kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan sedemikian rupa sehingga ungkapan di sebelah kanan mempunyai dua sebutan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah di luar kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Akibatnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan badan di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dalam kes yang lebih kompleks. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial kuadratik ini sudah lengkap. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi yang kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Akar Kuasa Dua

Satu lagi kes persamaan tertib kedua yang tidak lengkap ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian sebelah kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu punca kuasa dua diekstrak dari kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah sama sekali, di mana pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.

Jadi, katakan terdapat sebidang tanah berbentuk segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa keluasannya ialah 612 m2.

Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, kami akan membuat transformasi yang diperlukan, maka penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kami telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c= -612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dibuat mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan bilangan pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.

2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan hitungkan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena seseorang yang tinggal di Perancis abad ke-16 dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kami akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan perwakilan visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.

Mungkin lebih awal daripada saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Contohnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminasi akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), ia akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminasi dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, dengan nilai diskriminasi, anda boleh memahami rupa graf yang lebih kurang (lihat di bawah).

Diskriminasi dan punca-punca persamaan kuadratik

Nilai diskriminasi menunjukkan bilangan persamaan kuadratik:
- jika \(D\) adalah positif, persamaan akan mempunyai dua punca;
- jika \(D\) sama dengan sifar – terdapat hanya satu punca;
- jika \(D\) negatif, tiada punca.

Ini tidak perlu diajar, tidak sukar untuk membuat kesimpulan sedemikian, hanya mengetahui bahawa dari diskriminasi (iaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam formula untuk mengira punca kuadratik persamaan: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Mari kita lihat setiap kes dengan lebih terperinci.

Sekiranya diskriminasi itu positif

Dalam kes ini, puncanya ialah beberapa nombor positif, yang bermaksud \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai makna yang berbeza, kerana dalam formula pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambah , dan pada detik ia ditolak. Dan kita mempunyai dua akar yang berbeza.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Penyelesaian :

Jawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminasi adalah sifar

Berapa banyak punca yang akan ada jika diskriminasi adalah sifar? Mari beralasan.

Rumus akar kelihatan seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminasi adalah sifar, maka akarnya juga sifar. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Iaitu, nilai akar persamaan akan bertepatan, kerana menambah atau menolak sifar tidak mengubah apa-apa.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Penyelesaian :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis pekali:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Kami mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari punca-punca persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Kami mendapat dua akar yang sama, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara berasingan - kami menulisnya sebagai satu.

Jawab : \(x=2\)

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik. Kes punca sebenar, berbilang dan kompleks dipertimbangkan. Memfaktorkan trinomial kuadratik. Tafsiran geometri. Contoh penentuan punca dan pemfaktoran.

Formula asas

Pertimbangkan persamaan kuadratik:
(1) .
Punca-punca persamaan kuadratik(1) ditentukan oleh formula:
; .
Formula ini boleh digabungkan seperti ini:
.
Apabila punca-punca persamaan kuadratik diketahui, maka polinomial darjah kedua boleh diwakili sebagai hasil darab faktor (difaktorkan):
.

Seterusnya kita anggap itu adalah nombor nyata.
Mari kita pertimbangkan diskriminasi bagi persamaan kuadratik:
.
Jika diskriminasi adalah positif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata yang berbeza:
; .
Kemudian pemfaktoran trinomial kuadratik mempunyai bentuk:
.
Jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata berganda (sama):
.
Pemfaktoran:
.
Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca konjugat kompleks:
;
.
Berikut ialah unit khayalan, ;
dan merupakan bahagian akar yang sebenar dan khayalan:
; .
Kemudian

.

Tafsiran grafik

Jika anda merancang fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik persilangan graf dengan paksi akan menjadi punca persamaan
.
Pada , graf memotong paksi-x (paksi) pada dua titik.
Apabila , graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
Apabila , graf tidak melintasi paksi-x.

Di bawah adalah contoh graf tersebut.

Formula berguna yang berkaitan dengan persamaan kuadratik

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Kami menjalankan transformasi dan menggunakan formula (f.1) dan (f.3):




,
di mana
; .

Jadi, kami mendapat formula untuk polinomial darjah kedua dalam bentuk:
.
Ini menunjukkan bahawa persamaan

dilakukan di
Dan .
Iaitu, dan merupakan punca-punca persamaan kuadratik
.

Contoh penentuan punca-punca persamaan kuadratik

Contoh 1

(1.1) .

Penyelesaian

.
Membandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah positif, persamaan mempunyai dua punca sebenar:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh pemfaktoran trinomial kuadratik:

.

Graf bagi fungsi y = 2 x 2 + 7 x + 3 memotong paksi-x pada dua titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia melintasi paksi absis (paksi) pada dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah punca-punca persamaan asal (1.1).

Jawab

;
;
.

Contoh 2

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(2.1) .

Penyelesaian

Mari kita tulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
.
Membandingkan dengan persamaan asal (2.1), kita dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah sifar, persamaan mempunyai dua punca berbilang (sama):
;
.

Kemudian pemfaktoran trinomial mempunyai bentuk:
.

Graf fungsi y = x 2 - 4 x + 4 menyentuh paksi-x pada satu titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia menyentuh paksi-x (paksi) pada satu titik:
.
Titik ini adalah punca bagi persamaan asal (2.1). Kerana akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar sedemikian biasanya dipanggil gandaan. Iaitu, mereka percaya bahawa terdapat dua punca yang sama:
.

Jawab

;
.

Contoh 3

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(3.1) .

Penyelesaian

Mari kita tulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis semula persamaan asal (3.1):
.
Membandingkan dengan (1), kita dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Diskriminasi adalah negatif, .

Oleh itu tidak ada akar sebenar.
;
;
.

Anda boleh mencari akar kompleks:


.

Kemudian

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi tidak melintasi paksi-x. Tiada akar sebenar.

Jawab

Graf fungsi ini ialah parabola. Ia tidak bersilang dengan paksi-x (paksi). Oleh itu tidak ada akar sebenar.
;
;
.

Tiada akar sebenar. Akar kompleks:

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Diskriminasi membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik menggunakan formula umum, yang mempunyai bentuk berikut:

Formula diskriminasi bergantung pada tahap polinomial. Formula di atas sesuai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

Diskriminasi mempunyai sifat berikut yang perlu anda ketahui:

* "D" ialah 0 apabila polinomial mempunyai berbilang punca (akar sama);

* "D" ialah polinomial simetri berkenaan dengan akar polinomial dan oleh itu polinomial dalam pekalinya; lebih-lebih lagi, pekali polinomial ini adalah integer tanpa mengira lanjutan di mana akar diambil.

Katakan kita diberi persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

1 persamaan

Mengikut formula yang kami ada:

Oleh kerana \, persamaan mempunyai 2 punca. Mari kita tentukan mereka:

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan menggunakan penyelesai dalam talian yang diskriminasi?