Untuk berasa yakin dan berjaya menyelesaikan masalah dalam pelajaran geometri, tidak cukup dengan mempelajari formula. Mereka perlu difahami terlebih dahulu. Untuk takut, dan lebih-lebih lagi untuk membenci formula, adalah tidak produktif. Artikel ini akan menganalisis dalam bahasa yang boleh diakses pelbagai cara untuk mencari luas trapezoid. Untuk lebih memahami peraturan dan teorem yang sepadan, kami akan memberi perhatian kepada sifatnya. Ini akan membantu anda memahami cara peraturan berfungsi dan dalam kes apa formula tertentu harus digunakan.

Mentakrifkan trapezoid

Apakah jenis angka ini secara keseluruhan? Trapezoid ialah poligon dengan empat bucu dan dua sisi selari. Dua sisi trapezoid yang lain boleh dicondongkan pada sudut yang berbeza. Sisi selarinya dipanggil tapak, dan untuk sisi yang tidak selari nama "sisi" atau "pinggul" digunakan. Angka-angka seperti itu agak biasa dalam kehidupan seharian. Kontur trapezoid boleh dilihat dalam siluet pakaian, barangan dalaman, perabot, pinggan mangkuk dan lain-lain lagi. Terdapat pelbagai jenis trapezoid: skala, sama sisi dan segi empat tepat. Kami akan mengkaji jenis dan sifatnya dengan lebih terperinci kemudian dalam artikel.

Sifat trapezoid

Mari kita fikirkan secara ringkas tentang sifat-sifat angka ini. Jumlah sudut yang bersebelahan dengan mana-mana sisi sentiasa 180°. Perlu diingatkan bahawa semua sudut trapezoid menambah sehingga 360°. Trapezoid mempunyai konsep garis tengah. Jika anda menyambungkan titik tengah sisi dengan segmen, ini akan menjadi garis tengah. Ia ditetapkan m. Garis tengah mempunyai sifat penting: ia sentiasa selari dengan tapak (kita ingat bahawa asas juga selari antara satu sama lain) dan sama dengan separuh jumlahnya:

Definisi ini mesti dipelajari dan difahami, kerana ia adalah kunci untuk menyelesaikan banyak masalah!

Dengan trapezoid, anda sentiasa boleh menurunkan ketinggian ke pangkal. Ketinggian ialah serenjang, sering dilambangkan dengan simbol h, yang dilukis dari mana-mana titik satu tapak ke tapak lain atau lanjutannya. Garis tengah dan ketinggian akan membantu anda mencari luas trapezoid. Masalah sedemikian adalah yang paling biasa dalam kursus geometri sekolah dan kerap muncul di kalangan kertas ujian dan peperiksaan.

Formula paling mudah untuk luas trapezoid

Mari kita lihat dua formula paling popular dan mudah digunakan untuk mencari luas trapezium. Ia cukup untuk mendarabkan ketinggian dengan separuh jumlah tapak untuk mencari dengan mudah apa yang anda cari:

S = h*(a + b)/2.

Dalam formula ini, a, b menandakan tapak trapezoid, h - ketinggian. Untuk memudahkan persepsi, dalam artikel ini, tanda darab ditandakan dengan simbol (*) dalam formula, walaupun dalam buku rujukan rasmi tanda darab biasanya ditinggalkan.

Mari kita lihat contoh.

Diberi: sebuah trapezium dengan dua tapak bersamaan dengan 10 dan 14 cm, tingginya ialah 7 cm. Berapakah luas trapezium itu?

Mari kita lihat penyelesaian kepada masalah ini. Menggunakan formula ini, anda perlu mencari separuh jumlah asas: (10+14)/2 = 12. Jadi, separuh hasil adalah bersamaan dengan 12 cm Sekarang kita darabkan separuh hasil dengan ketinggian: 12*7 = 84. Apa yang kita cari ditemui. Jawapan: Luas trapezoid ialah 84 meter persegi. cm.

Formula kedua yang terkenal mengatakan: luas trapezoid adalah sama dengan hasil darab garis tengah dan ketinggian trapezoid. Iaitu, ia sebenarnya mengikuti dari konsep garis tengah sebelumnya: S=m*h.

Menggunakan pepenjuru untuk pengiraan

Satu lagi cara untuk mencari luas trapezoid sebenarnya tidak begitu rumit. Ia disambungkan kepada pepenjurunya. Menggunakan formula ini, untuk mencari luas, anda perlu mendarabkan separuh hasil pepenjurunya (d 1 d 2) dengan sinus sudut di antara mereka:

S = ½ d 1 d 2 dosa a.

Mari kita pertimbangkan masalah yang menunjukkan aplikasi kaedah ini. Diberi: trapezium dengan panjang pepenjuru bersamaan dengan 8 dan 13 cm, sudut a antara pepenjuru ialah 30°. Cari luas trapezoid.

Penyelesaian. Menggunakan formula di atas, mudah untuk mengira apa yang diperlukan. Seperti yang anda ketahui, sin 30° ialah 0.5. Oleh itu, S = 8*13*0.5=52. Jawapan: keluasannya ialah 52 meter persegi. cm.

Mencari luas trapezoid sama kaki

Trapezoid boleh sama kaki (isosceles). Sisinya adalah sama dan sudut pada tapaknya adalah sama, yang digambarkan dengan baik oleh rajah. Trapezoid sama kaki mempunyai sifat yang sama seperti trapezoid biasa, ditambah dengan beberapa ciri khas. Satu bulatan boleh dihadkan di sekeliling trapezoid sama kaki, dan bulatan boleh ditulis di dalamnya.

Apakah kaedah yang ada untuk mengira luas angka tersebut? Kaedah di bawah memerlukan banyak pengiraan. Untuk menggunakannya, anda perlu mengetahui nilai sinus (sin) dan kosinus (cos) sudut di dasar trapezoid. Untuk mengiranya, anda memerlukan sama ada jadual Bradis atau kalkulator kejuruteraan. Berikut adalah formulanya:

S= c*dosa a*(a - c*cos a),

di mana Dengan- paha sisi, a- sudut di tapak bawah.

Trapezoid sama sisi mempunyai pepenjuru yang sama panjang. Sebaliknya juga benar: jika trapezoid mempunyai pepenjuru yang sama, maka ia adalah isosceles. Oleh itu, formula berikut untuk membantu mencari luas trapezoid - hasil separuh daripada segi empat sama pepenjuru dan sinus sudut di antara mereka: S = ½ d 2 sin a.

Mencari luas trapezium segi empat tepat

Kes khas trapezium segi empat tepat diketahui. Ini adalah trapezoid, di mana satu sisi (pahanya) bersebelahan dengan pangkalan pada sudut tepat. Ia mempunyai sifat trapezoid biasa. Di samping itu, ia mempunyai ciri yang sangat menarik. Perbezaan dalam segi empat sama pepenjuru bagi trapezoid tersebut adalah sama dengan perbezaan dalam segi empat sama tapaknya. Semua kaedah yang diterangkan sebelum ini untuk mengira kawasan digunakan untuknya.

Kami menggunakan kepintaran

Terdapat satu helah yang boleh membantu jika anda terlupa formula tertentu. Mari kita lihat lebih dekat apa itu trapezoid. Jika kita secara mental membahagikannya kepada beberapa bahagian, kita akan mendapat bentuk geometri yang biasa dan mudah difahami: segi empat sama atau segi empat tepat dan segi tiga (satu atau dua). Jika ketinggian dan sisi trapezoid diketahui, anda boleh menggunakan formula untuk luas segi tiga dan segi empat tepat, dan kemudian tambahkan semua nilai yang terhasil.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh berikut. Diberi trapezoid segi empat tepat. Sudut C = 45°, sudut A, D ialah 90°. Tapak atas trapezoid ialah 20 cm, ketinggiannya ialah 16 cm Anda perlu mengira luas angka itu.

Angka ini jelas terdiri daripada segi empat tepat (jika dua sudut sama dengan 90°) dan segi tiga. Oleh kerana trapezoid adalah segi empat tepat, oleh itu, ketinggiannya adalah sama dengan sisinya, iaitu, 16 cm Kami mempunyai segi empat tepat dengan sisi 20 dan 16 cm, masing-masing. Sekarang pertimbangkan segitiga yang sudutnya ialah 45°. Kita tahu bahawa satu sisinya ialah 16 cm Memandangkan sisi ini juga merupakan ketinggian trapezium (dan kita tahu bahawa ketinggian turun ke tapak pada sudut tegak), oleh itu, sudut kedua segitiga ialah 90°. Oleh itu, baki sudut segitiga ialah 45°. Akibat daripada ini ialah kita mendapat segi tiga sama kaki tegak di mana dua sisi adalah sama. Ini bermakna bahawa sisi lain segitiga adalah sama dengan ketinggian, iaitu, 16 cm Ia kekal untuk mengira luas segi tiga dan segi empat tepat dan menambah nilai yang terhasil.

Luas segi tiga tepat adalah sama dengan separuh hasil darab kakinya: S = (16*16)/2 = 128. Luas segi empat sama dengan hasil darab lebar dan panjangnya: S = 20*16 = 320. Kami mendapati yang diperlukan: luas trapezoid S = 128 + 320 = 448 persegi. lihat. Anda boleh menyemak semula diri anda dengan mudah menggunakan formula di atas, jawapannya akan sama.

Kami menggunakan formula Pilih

Akhir sekali, kami membentangkan satu lagi formula asli yang membantu mencari luas trapezoid. Ia dipanggil formula Pick. Ia mudah digunakan apabila trapezoid dilukis pada kertas berkotak-kotak. Masalah yang sama sering dijumpai dalam bahan GIA. Ia kelihatan seperti ini:

S = M/2 + N - 1,

dalam formula ini M ialah bilangan nod, i.e. persilangan garisan rajah dengan garisan sel pada sempadan trapezoid (titik oren dalam rajah), N ialah bilangan nod di dalam rajah (titik biru). Ia adalah paling mudah untuk menggunakannya apabila mencari luas poligon tidak sekata. Walau bagaimanapun, semakin besar senjata teknik yang digunakan, semakin sedikit kesilapan dan lebih baik hasilnya.

Sudah tentu, maklumat yang diberikan tidak meletihkan jenis dan sifat trapezoid, serta kaedah untuk mencari kawasannya. Artikel ini memberikan gambaran keseluruhan ciri-ciri yang paling penting. Apabila menyelesaikan masalah geometri, adalah penting untuk bertindak secara beransur-ansur, mulakan dengan formula dan masalah mudah, konsisten menyatukan pemahaman anda, dan beralih ke tahap kerumitan yang lain.

Dikumpul bersama, formula yang paling biasa akan membantu pelajar menavigasi pelbagai cara untuk mengira luas trapezium dan lebih bersedia untuk ujian dan tugasan mengenai topik ini.

Trapezoid banyak sisi... Ia boleh sewenang-wenangnya, sama kaki atau segi empat tepat. Dan dalam setiap kes anda perlu tahu cara mencari kawasan trapezoid. Sudah tentu, cara paling mudah ialah mengingati formula asas. Tetapi kadangkala lebih mudah untuk menggunakan satu yang diperolehi dengan mengambil kira semua ciri angka geometri tertentu.

Beberapa perkataan tentang trapezoid dan unsur-unsurnya

Mana-mana segiempat yang dua sisinya selari boleh dipanggil trapezoid. Secara umum, mereka tidak sama dan dipanggil asas. Yang lebih besar adalah yang lebih rendah, dan yang satu lagi adalah yang atas.

Dua sisi yang lain menjadi sisi. Dalam trapezoid sewenang-wenangnya mereka mempunyai panjang yang berbeza. Jika mereka sama, maka angka itu menjadi sama kaki.

Jika tiba-tiba sudut antara mana-mana sisi dan pangkalan ternyata sama dengan 90 darjah, maka trapezoid adalah segi empat tepat.

Semua ciri ini boleh membantu dalam menyelesaikan masalah bagaimana mencari luas trapezoid.

Antara unsur-unsur tokoh yang mungkin sangat diperlukan dalam menyelesaikan masalah, kita boleh menyerlahkan perkara berikut:

• ketinggian, iaitu, segmen berserenjang dengan kedua-dua tapak;
• garis tengah, yang mempunyai di hujungnya titik tengah sisi sisi.

Apakah formula yang boleh digunakan untuk mengira luas jika tapak dan ketinggian diketahui?

Ungkapan ini diberikan sebagai satu asas kerana selalunya seseorang boleh mengenali kuantiti ini walaupun ia tidak diberikan secara eksplisit. Oleh itu, untuk memahami cara mencari luas trapezoid, anda perlu menambah kedua-dua tapak dan membahagikannya dengan dua. Kemudian darabkan nilai yang terhasil dengan nilai ketinggian.

Jika kita menandakan pangkalan dengan huruf a 1 dan a 2, ketinggian dengan n, maka formula untuk kawasan itu akan kelihatan seperti ini:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formula yang mengira luas jika ketinggian dan garis tengahnya diberi

Jika anda melihat dengan teliti pada formula sebelumnya, mudah untuk melihat bahawa ia jelas mengandungi nilai garis tengah. Iaitu, jumlah asas dibahagikan dengan dua. Biarkan garis tengah ditetapkan oleh huruf l, maka formula untuk kawasan itu menjadi:

S = l * n.

Keupayaan untuk mencari kawasan menggunakan pepenjuru

Kaedah ini akan membantu jika sudut yang dibentuk oleh mereka diketahui. Katakan pepenjuru ditentukan oleh huruf d 1 dan d 2, dan sudut di antara mereka ialah α dan β. Kemudian formula untuk mencari luas trapezoid akan ditulis seperti berikut:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Anda boleh menggantikan α dengan β dengan mudah dalam ungkapan ini. Hasilnya tidak akan berubah.

Bagaimana untuk mengetahui kawasan jika semua sisi rajah itu diketahui?

Terdapat juga situasi apabila betul-betul sisi angka ini diketahui. Formula ini menyusahkan dan sukar untuk diingati. Tetapi ia mungkin. Biarkan sisi mempunyai sebutan: a 1 dan a 2, tapak a 1 lebih besar daripada 2. Kemudian formula kawasan akan mengambil bentuk berikut:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (dalam 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + dalam 1 2 - dalam 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Kaedah untuk mengira luas trapezoid isosceles

Yang pertama adalah disebabkan oleh fakta bahawa bulatan boleh ditulis di dalamnya. Dan, mengetahui jejarinya (ia dilambangkan dengan huruf r), serta sudut di pangkalan - γ, anda boleh menggunakan formula berikut:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Formula umum terakhir, yang berdasarkan pengetahuan tentang semua sisi angka, akan dipermudahkan dengan ketara kerana fakta bahawa sisi mempunyai makna yang sama:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (dalam 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Kaedah untuk mengira luas trapezoid segi empat tepat

Adalah jelas bahawa mana-mana di atas sesuai untuk mana-mana angka. Tetapi kadangkala adalah berguna untuk mengetahui tentang satu ciri trapezoid sedemikian. Ia terletak pada hakikat bahawa perbezaan antara segi empat sama panjang pepenjuru adalah sama dengan perbezaan yang terdiri daripada segi empat sama tapak.

Selalunya formula untuk trapezoid dilupakan, manakala ungkapan untuk kawasan segi empat tepat dan segi tiga diingati. Kemudian anda boleh menggunakan kaedah yang mudah. Bahagikan trapezoid kepada dua bentuk, jika ia adalah segi empat tepat, atau tiga. Satu pasti akan menjadi segi empat tepat, dan yang kedua, atau baki dua, akan menjadi segi tiga. Selepas mengira kawasan angka ini, yang tinggal hanyalah menambahnya.

Ini adalah cara yang agak mudah untuk mencari luas trapezoid segi empat tepat.

Bagaimana jika koordinat bucu trapezium diketahui?

Dalam kes ini, anda perlu menggunakan ungkapan yang membolehkan anda menentukan jarak antara titik. Ia boleh digunakan tiga kali: untuk mengetahui kedua-dua tapak dan satu ketinggian. Dan kemudian hanya gunakan formula pertama, yang diterangkan sedikit lebih tinggi.

Untuk menggambarkan kaedah ini, contoh berikut boleh diberikan. Diberi bucu dengan koordinat A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Anda perlu mengetahui kawasan angka itu.

Sebelum mencari luas trapezoid, anda perlu mengira panjang tapak dari koordinat. Anda memerlukan formula berikut:

panjang segmen = √((perbezaan koordinat pertama titik) 2 + (perbezaan koordinat kedua titik) 2 ).

Tapak atas ditetapkan AB, yang bermaksud panjangnya akan sama dengan √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Yang lebih rendah ialah CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Kini anda perlu melukis ketinggian dari atas ke pangkal. Biarkan permulaannya di titik A. Penghujung segmen akan berada di pangkalan bawah pada titik dengan koordinat (5; 1), biarkan ini titik H. Panjang segmen AN akan sama dengan √((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Apa yang tinggal ialah menggantikan nilai yang terhasil ke dalam formula untuk luas trapezoid:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Masalah telah diselesaikan tanpa unit ukuran, kerana skala grid koordinat tidak ditentukan. Ia boleh sama ada satu milimeter atau satu meter.

Contoh masalah

No 1. Syarat. Sudut antara pepenjuru trapezoid sewenang-wenangnya diketahui; Diagonal yang lebih kecil mempunyai nilai 3 dm, dan yang kedua adalah 2 kali lebih besar. Ia adalah perlu untuk mengira luas trapezoid.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu mengetahui panjang pepenjuru kedua, kerana tanpa ini tidak mungkin untuk mengira jawapannya. Ia tidak sukar untuk dikira, 3 * 2 = 6 (dm).

Sekarang anda perlu menggunakan formula yang sesuai untuk kawasan:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4.5 (dm 2). Masalah selesai.

Jawapan: Luas trapezoid ialah 4.5 dm2.

No 2. Syarat. Dalam trapezoid ABCD, tapaknya ialah segmen AD dan BC. Titik E ialah tengah bahagian SD. Daripadanya serenjang ditarik ke garis lurus AB, hujung segmen ini ditetapkan oleh huruf H. Adalah diketahui bahawa panjang AB dan EH adalah sama dengan 5 dan 4 cm, adalah perlu untuk mengira luas daripada trapezoid.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Oleh kerana nilai serenjang adalah kurang daripada sisi yang dilukis, trapezoid akan memanjang sedikit ke atas. Jadi EH akan berada di dalam angka itu.

Untuk melihat dengan jelas kemajuan menyelesaikan masalah, anda perlu melakukan pembinaan tambahan. Iaitu, lukis satu garis lurus yang akan selari dengan sisi AB. Titik persilangan garis ini dengan AD ialah P, dan dengan kesinambungan BC ialah X. Rajah yang terhasil VHRA ialah segiempat selari. Lebih-lebih lagi, kawasannya adalah sama dengan yang diperlukan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa segi tiga yang diperoleh semasa pembinaan tambahan adalah sama. Ini berikutan daripada kesamaan sisi dan dua sudut bersebelahan dengannya, satu menegak, satu lagi terletak bersilang.

Anda boleh mencari luas segi empat selari menggunakan formula yang mengandungi hasil darab sisi dan ketinggian diturunkan ke atasnya.

Oleh itu, luas trapezoid ialah 5 * 4 = 20 cm 2.

Jawapan: S = 20 cm 2.

No 3. Syarat. Unsur-unsur trapezoid isosceles mempunyai nilai berikut: tapak bawah - 14 cm, atas - 4 cm, sudut akut - 45º. Anda perlu mengira luasnya.

Penyelesaian. Biarkan tapak yang lebih kecil ditetapkan BC. Ketinggian yang diambil dari titik B akan dipanggil VH. Oleh kerana sudutnya ialah 45º, segi tiga ABH ialah segi empat tepat dan sama kaki. Jadi AN=VN. Lebih-lebih lagi, AN sangat mudah dicari. Ia sama dengan separuh perbezaan asas. Iaitu (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Pangkalan diketahui, ketinggian dikira. Anda boleh menggunakan formula pertama, yang dibincangkan di sini untuk trapezoid sewenang-wenangnya.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Jawapan: Luas yang diperlukan ialah 45 cm 2.

No 4. Syarat. Terdapat trapezoid ABCD yang sewenang-wenangnya. Titik O dan E diambil pada sisi sisinya, supaya OE selari dengan tapak AD. Luas trapezoid AOED adalah lima kali lebih besar daripada OVSE. Kira nilai OE jika panjang tapak diketahui.

Penyelesaian. Anda perlu melukis dua garisan selari AB: yang pertama melalui titik C, persilangannya dengan OE ialah titik T; yang kedua melalui E dan titik persilangan dengan AD ialah M.

Biarkan OE=x yang tidak diketahui. Ketinggian trapezoid OVSE yang lebih kecil ialah n 1, AOED yang lebih besar ialah n 2.

Oleh kerana luas kedua-dua trapezoid ini berkaitan sebagai 1 hingga 5, kita boleh menulis kesamaan berikut:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Ketinggian dan sisi segi tiga adalah berkadar dengan pembinaan. Oleh itu, kita boleh menulis satu lagi persamaan:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Dalam dua entri terakhir di sebelah kiri terdapat nilai yang sama, yang bermaksud kita boleh menulis bahawa (x + a 1) / (5(x + a 2)) adalah sama dengan (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Beberapa transformasi diperlukan di sini. Mula-mula darab secara bersilang. Tanda kurung akan muncul untuk menunjukkan perbezaan petak, selepas menggunakan formula ini anda akan mendapat persamaan pendek.

Di dalamnya anda perlu membuka kurungan dan memindahkan semua istilah dengan "x" yang tidak diketahui ke kiri, dan kemudian ekstrak punca kuasa dua.

Jawab: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Bahagian tersebut mengandungi masalah geometri (bahagian planimetri) tentang trapezoid. Jika anda tidak menemui penyelesaian kepada masalah, tulis mengenainya di forum. Kursus itu pasti akan ditambah.

Trapezoid. Definisi, formula dan sifat

Trapezoid (dari bahasa Yunani kuno τραπέζιον - "meja"; τράπεζα - "meja, makanan") ialah segi empat dengan tepat sepasang sisi bertentangan selari.

Trapezoid ialah segiempat yang pasangan sisi bertentangannya selari.

Nota. Dalam kes ini, segi empat selari ialah kes khas trapezium.

Sisi bertentangan selari dipanggil tapak trapezoid, dan dua yang lain dipanggil sisi sisi.

Trapez ialah:

- serba boleh ;

- sama kaki;

- segi empat tepat

.
Warna merah dan coklat menunjukkan sisi, hijau dan biru menunjukkan pangkal trapezoid.

A - isosceles (isosceles, isosceles) trapezoid
B - trapezoid segi empat tepat
C - trapezoid skala

Trapezoid skala mempunyai semua sisi yang berbeza panjang dan tapaknya selari.

Sisi adalah sama dan tapaknya adalah selari.

Tapaknya selari, satu sisi berserenjang dengan tapak, dan sisi kedua condong ke tapak.

Sifat trapezoid

• Garis tengah trapezoid selari dengan tapak dan sama dengan separuh jumlahnya
• Segmen yang menghubungkan titik tengah pepenjuru, adalah sama dengan separuh perbezaan tapak dan terletak pada garis tengah. Panjangnya
• Garis selari yang bersilang dengan sisi mana-mana sudut trapezium memotong segmen berkadar dari sisi sudut (lihat Teorem Thales)
• Titik persilangan pepenjuru trapezoid, titik persilangan sambungan sisinya dan tengah tapaknya terletak pada garis lurus yang sama (lihat juga sifat segiempat)
• Segitiga terletak di tapak trapezoid yang bucunya ialah titik persilangan pepenjurunya adalah serupa. Nisbah kawasan segi tiga tersebut adalah sama dengan kuasa dua nisbah tapak trapezoid
• Segi tiga terletak di sisi trapezoid yang bucunya adalah titik persilangan pepenjurunya adalah sama luas (sama luas)
• Ke dalam trapeze anda boleh menulis bulatan, jika jumlah panjang tapak trapezium adalah sama dengan jumlah panjang sisinya. Garis tengah dalam kes ini adalah sama dengan jumlah sisi dibahagikan dengan 2 (kerana garis tengah trapezoid adalah sama dengan separuh jumlah tapak)
• Segmen selari dengan tapak dan melalui titik persilangan pepenjuru, dibahagikan dengan yang terakhir kepada separuh dan sama dengan dua kali hasil darab tapak dibahagikan dengan jumlahnya 2ab / (a ​​​​+ b) (rumus Burakov)

Sudut trapezoid

Sudut trapezoid ada yang tajam, lurus dan tumpul.
Hanya dua sudut yang betul.

Trapezoid segi empat tepat mempunyai dua sudut tegak, dan dua lagi adalah akut dan tumpul. Jenis trapezoid lain mempunyai dua sudut lancip dan dua sudut tumpul.

Sudut tumpul trapezium tergolong dalam yang lebih kecil sepanjang tapak, dan pedas - lebih asas.

Mana-mana trapezoid boleh dipertimbangkan seperti segi tiga terpotong, yang garis keratannya selari dengan tapak segi tiga.
Penting. Sila ambil perhatian bahawa dengan cara ini (dengan tambahan membina trapezoid sehingga segitiga) beberapa masalah tentang trapezoid boleh diselesaikan dan beberapa teorem boleh dibuktikan.

Bagaimana untuk mencari sisi dan pepenjuru trapezium

Mencari sisi dan pepenjuru bagi trapezium dilakukan dengan menggunakan rumus yang diberikan di bawah:

Dalam formula ini, notasi yang digunakan adalah seperti dalam rajah.

a - tapak trapezoid yang lebih kecil
b - lebih besar tapak trapezoid
c,d - sisi
h 1 h 2 - pepenjuru

Jumlah segiempat sama pepenjuru trapezoid adalah sama dengan dua kali ganda hasil darab tapak trapezoid itu ditambah hasil tambah kuasa dua sisi sisi (Formula 2)

Arahan

Untuk menjadikan kedua-dua kaedah lebih mudah difahami, kami boleh memberikan beberapa contoh.

Contoh 1: panjang garis tengah trapezoid ialah 10 cm, luasnya ialah 100 cm². Untuk mencari ketinggian trapezoid ini, anda perlu melakukan:

h = 100/10 = 10 cm

Jawapan: ketinggian trapezoid ini ialah 10 cm

Contoh 2: luas trapezoid ialah 100 cm², panjang tapak ialah 8 cm dan 12 cm Untuk mencari ketinggian trapezoid ini, anda perlu melakukan tindakan berikut:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Jawapan: ketinggian trapezoid ini ialah 20 cm

Sila ambil perhatian

Terdapat beberapa jenis trapezoid:
Trapezoid isosceles ialah trapezoid di mana sisinya sama antara satu sama lain.
Trapezoid bersudut tegak ialah trapezoid dengan salah satu sudut dalamannya berukuran 90 darjah.
Perlu diingat bahawa dalam trapezoid segi empat tepat, ketinggiannya bertepatan dengan panjang sisi pada sudut tepat.
Anda boleh melukis bulatan mengelilingi trapezoid, atau muatkannya di dalam rajah tertentu. Anda boleh menulis bulatan hanya jika jumlah tapaknya sama dengan jumlah sisi bertentangannya. Bulatan hanya boleh diterangkan mengelilingi trapezoid sama kaki.

Nasihat yang berguna

Jajaran selari ialah kes khas trapezium, kerana takrifan trapezium tidak bercanggah dengan takrifan selari. Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangannya selari antara satu sama lain. Untuk trapezoid, definisi hanya merujuk kepada sepasang sisinya. Oleh itu, mana-mana segi empat selari juga adalah trapezium. Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar.

Sumber:

• bagaimana untuk mencari luas formula trapezoid

Petua 2: Bagaimana untuk mencari ketinggian trapezoid jika luasnya diketahui

Trapezoid ialah segiempat di mana dua daripada empat sisinya selari antara satu sama lain. Sisi selari adalah tapak yang diberikan, dua yang lain adalah sisi sisi yang diberi. trapezoid. Cari ketinggian trapezoid, jika diketahui segi empat sama, ia akan menjadi sangat mudah.

Arahan

Anda perlu memikirkan cara mengira segi empat sama asal trapezoid. Terdapat beberapa formula untuk ini, bergantung pada data awal: S = ((a+b)*h)/2, di mana a dan b adalah asas trapezoid, dan h ialah ketinggiannya (Ketinggian trapezoid- berserenjang, diturunkan dari satu tapak trapezoid kepada yang lain);
S = m*h, dengan m ialah garis trapezoid(Barisan tengah ialah segmen dengan pangkalan trapezoid dan menghubungkan titik tengah sisinya).

Untuk menjadikannya lebih jelas, masalah yang serupa boleh dipertimbangkan: Contoh 1: Diberi trapezoid dengan segi empat sama 68 cm², garis tengahnya ialah 8 cm, anda perlu cari ketinggian diberi trapezoid. Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu menggunakan formula yang diperoleh sebelum ini:
h = 68/8 = 8.5 cm Jawapan: ketinggian ini trapezoid ialah 8.5 cmContoh 2: Biarkan y trapezoid segi empat sama sama dengan 120 cm², panjang tapaknya trapezoid 8 cm dan 12 cm masing-masing, anda perlu mencari ketinggian ini trapezoid. Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan salah satu formula terbitan:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmJawapan: ketinggian yang diberikan trapezoid sama dengan 12 cm

Video mengenai topik

Sila ambil perhatian

Mana-mana trapezoid mempunyai beberapa sifat:

Garis tengah trapezoid adalah sama dengan separuh jumlah tapaknya;

Segmen yang menghubungkan pepenjuru trapezoid adalah sama dengan separuh perbezaan tapaknya;

Jika garis lurus dilukis melalui titik tengah tapak, maka ia akan bersilang dengan titik persilangan pepenjuru trapezoid;

Sebuah bulatan boleh ditulis dalam trapezium jika hasil tambah tapak trapezoid itu sama dengan jumlah sisinya.

Gunakan sifat ini semasa menyelesaikan masalah.

Petua 3: Bagaimana untuk mencari luas trapezoid jika tapaknya diketahui

Mengikut definisi geometri, trapezoid ialah segi empat dengan hanya sepasang sisi selari. Bahagian ini adalah miliknya sebab. Jarak antara sebab dipanggil ketinggian trapezoid. Cari segi empat sama trapezoid mungkin menggunakan formula geometri.

Arahan

Ukur tapak dan trapezoid ABCD. Biasanya mereka diberikan dalam tugasan. Biarkan dalam contoh ini masalah asas AD (a) trapezoid akan sama dengan 10 cm, tapak BC (b) - 6 cm, tinggi trapezoid BK (h) - 8 cm Gunakan geometri untuk mencari luas trapezoid, jika panjang tapak dan ketinggiannya diketahui - S= 1/2 (a+b)*h, di mana: - a - saiz tapak AD trapezoid ABCD, - b - nilai asas BC, - h - nilai ketinggian BK.

Apakah trapezoid sama kaki? Ini ialah rajah geometri yang sisi bertentangan dan tidak selari adalah sama. Terdapat beberapa formula yang berbeza untuk mencari luas trapezoid dengan pelbagai syarat yang diberikan dalam masalah. Iaitu, kawasan itu boleh didapati jika ketinggian, sisi, sudut, pepenjuru, dll. Ia juga mustahil untuk tidak menyebut bahawa untuk trapezoid isosceles terdapat beberapa "pengecualian", berkat pencarian kawasan dan formula itu sendiri dengan ketara dipermudahkan. Di bawah adalah penyelesaian terperinci untuk setiap kes dengan contoh.

Ciri-ciri yang diperlukan untuk mencari luas trapezoid isosceles

Kami telah mengetahui bahawa rajah geometri yang mempunyai bertentangan, tidak selari, tetapi sisi yang sama ialah trapezoid, dan sama kaki. Terdapat kes khas apabila trapezoid dianggap sama kaki.

• Ini adalah syarat untuk kesamaan sudut. Jadi, titik wajib: sudut di pangkalan (ambil gambar di bawah) mestilah sama. Dalam kes kami, sudut BAD = sudut CDA, dan sudut ABC = sudut BCD
• Peraturan penting kedua ialah dalam trapezoid sedemikian, pepenjuru mestilah sama. Oleh itu, AC = BD.
• Aspek ketiga: sudut bertentangan trapezoid mesti menambah sehingga 180 darjah. Ini bermakna sudut ABC + sudut CDA = 180 darjah. Perkara yang sama berlaku untuk sudut BCD dan BAD.
• Keempat, jika trapezoid membenarkan bulatan diterangkan di sekelilingnya, maka ia adalah sama kaki.

Bagaimana untuk mencari luas trapezoid isosceles - formula dan penerangannya

• S = (a+b)h/2 ialah formula yang paling biasa untuk mencari luas, di mana A - tapak bawah, b ialah tapak atas, dan h ialah ketinggian.

• Jika ketinggian tidak diketahui, maka anda boleh mencarinya menggunakan formula yang serupa: h = c*sin(x), dengan c sama ada AB atau CD. sin(x) ialah sinus sudut pada sebarang tapak, iaitu sudut DAB = sudut CDA = x. Akhirnya, formula mengambil bentuk ini: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Ketinggian juga boleh didapati menggunakan formula ini:

• Formula akhir kelihatan seperti ini:

• Luas trapezoid isosceles boleh didapati melalui garis tengah dan ketinggian. Formulanya ialah: S = mh.

Mari kita pertimbangkan keadaan apabila bulatan ditulis dalam trapezoid.

Dalam kes yang ditunjukkan dalam gambar,

QN = D = H – diameter bulatan dan pada masa yang sama ketinggian trapezoid;

LO, ON, OQ = R – jejari bulatan;

DC = a – tapak atas;

AB = b – tapak bawah;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – sudut tapak trapezoid.

Kes yang serupa membolehkan kawasan itu ditemui menggunakan formula berikut:

• Sekarang mari kita cuba mencari kawasan melalui pepenjuru dan sudut di antara mereka.

Dalam rajah kita nyatakan AC, DB – pepenjuru – d. Sudut COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Formula untuk luas trapezoid isosceles menggunakan pepenjuru dan sudut di antara mereka, ( S ) ialah: