Ciri utama mana-mana rajah geometri dalam ruang ialah isipadunya. Dalam artikel ini kita akan melihat apa itu piramid dengan segi tiga di pangkalan, dan kami juga akan menunjukkan cara mencari isipadu piramid segi tiga - biasa penuh dan dipotong.
Apakah ini - piramid segi tiga?
Semua orang pernah mendengar tentang piramid Mesir purba, tetapi ia adalah segi empat biasa, bukan segi tiga. Mari kita terangkan cara mendapatkan piramid segi tiga.
Mari kita ambil segitiga sembarangan dan sambungkan semua bucunya dengan beberapa titik tunggal yang terletak di luar satah segi tiga ini. Angka yang terhasil akan dipanggil piramid segi tiga. Ia ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Seperti yang anda lihat, rajah yang dimaksudkan itu dibentuk oleh empat segi tiga, yang secara amnya berbeza. Setiap segi tiga ialah sisi piramid atau mukanya. Piramid ini sering dipanggil tetrahedron, iaitu, angka tiga dimensi tetrahedral.
Sebagai tambahan kepada sisi, piramid juga mempunyai tepi (terdapat 6 daripadanya) dan bucu (daripada 4).
dengan tapak segi tiga
Angka yang diperoleh menggunakan segi tiga sewenang-wenangnya dan titik dalam ruang akan menjadi piramid condong yang tidak teratur dalam kes umum. Sekarang bayangkan bahawa segi tiga asal mempunyai sisi yang sama, dan satu titik dalam ruang terletak betul-betul di atas pusat geometrinya pada jarak h dari satah segi tiga itu. Piramid yang dibina menggunakan data awal ini adalah betul.
Jelas sekali, bilangan tepi, sisi dan bucu piramid segi tiga biasa akan sama dengan piramid yang dibina daripada segi tiga arbitrari.
Walau bagaimanapun, angka yang betul mempunyai beberapa ciri tersendiri:
- ketinggiannya yang ditarik dari bucu akan betul-betul bersilang dengan tapak di pusat geometri (titik persilangan median);
- permukaan sisi piramid sedemikian dibentuk oleh tiga segi tiga yang sama, iaitu isosceles atau sama sisi.
Piramid segi tiga biasa bukan sahaja objek geometri teori semata-mata. Sesetengah struktur dalam alam semula jadi mempunyai bentuknya, contohnya kekisi kristal berlian, di mana atom karbon disambungkan kepada empat atom yang sama dengan ikatan kovalen, atau molekul metana, di mana puncak piramid dibentuk oleh atom hidrogen.
piramid segi tiga
Anda boleh menentukan isipadu mutlak mana-mana piramid dengan n-gon arbitrari di pangkalan menggunakan ungkapan berikut:
Di sini simbol S o menandakan luas tapak, h ialah ketinggian rajah yang dilukis ke tapak yang ditanda dari bahagian atas piramid.
Oleh kerana luas segi tiga arbitrari adalah sama dengan separuh hasil darab panjang sisinya a dan apotema h a jatuh ke sisi ini, formula untuk isipadu piramid segi tiga boleh ditulis dalam bentuk berikut:
V = 1/6 × a × h a × h
Untuk jenis umum, menentukan ketinggian bukanlah tugas yang mudah. Untuk menyelesaikannya, cara paling mudah ialah menggunakan formula untuk jarak antara titik (puncak) dan satah (tapak segi tiga), yang diwakili oleh persamaan am.
Untuk yang betul, ia mempunyai rupa yang khusus. Luas tapak (segi tiga sama sisi) untuknya adalah sama dengan:
Menggantikannya ke dalam ungkapan umum untuk V, kita dapat:
V = √3/12 × a 2 × h
Kes khas ialah keadaan apabila semua sisi tetrahedron bertukar menjadi segi tiga sama sisi. Dalam kes ini, isipadunya boleh ditentukan hanya berdasarkan pengetahuan tentang parameter tepinya a. Ungkapan yang sepadan kelihatan seperti:
Piramid terpotong
Jika bahagian atas yang mengandungi bucu dipotong daripada piramid segi tiga biasa, anda mendapat angka terpotong. Tidak seperti yang asal, ia akan terdiri daripada dua tapak segi tiga sama sisi dan tiga trapezoid isosceles.
Foto di bawah menunjukkan rupa piramid segi tiga terpotong biasa yang diperbuat daripada kertas.
Untuk menentukan isipadu piramid segi tiga terpotong, anda perlu mengetahui tiga ciri linearnya: setiap sisi tapak dan ketinggian rajah, sama dengan jarak antara tapak atas dan bawah. Formula yang sepadan untuk volum ditulis seperti berikut:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Di sini h ialah ketinggian rajah, A dan a ialah panjang sisi bagi segi tiga sama sisi besar (bawah) dan kecil (atas).
Penyelesaian masalah
Untuk menjadikan maklumat dalam artikel lebih jelas kepada pembaca, kami akan menunjukkan dengan contoh yang jelas cara menggunakan beberapa formula bertulis.
Biarkan isipadu piramid segi tiga itu ialah 15 cm 3 . Adalah diketahui bahawa angka itu betul. Ia adalah perlu untuk mencari apotema a b tepi sisi jika diketahui bahawa ketinggian piramid ialah 4 cm.
Oleh kerana isipadu dan ketinggian rajah itu diketahui, anda boleh menggunakan formula yang sesuai untuk mengira panjang sisi tapaknya. Kami ada:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 cm
Panjang apotema angka yang dikira ternyata lebih besar daripada ketinggiannya, yang benar untuk sebarang jenis piramid.
Salah satu rajah tiga dimensi yang paling mudah ialah piramid segi tiga, kerana ia terdiri daripada bilangan muka terkecil dari mana rajah boleh dibentuk di angkasa. Dalam artikel ini kita akan melihat formula yang boleh digunakan untuk mencari isipadu piramid sekata segi tiga.
Piramid segi tiga
Mengikut definisi umum, piramid ialah poligon, semua bucunya disambungkan ke satu titik yang tidak terletak dalam satah poligon ini. Jika yang terakhir adalah segi tiga, maka keseluruhan angka itu dipanggil piramid segi tiga.
Piramid yang dimaksudkan terdiri daripada tapak (segi tiga) dan tiga muka sisi (segi tiga). Titik di mana tiga muka sisi disambungkan dipanggil bucu rajah. Serenjang dari bucu ini jatuh ke pangkal ialah ketinggian piramid. Jika titik persilangan serenjang dengan tapak bertepatan dengan titik persilangan median segitiga di pangkalan, maka kita bercakap tentang piramid biasa. Jika tidak ia akan senget.
Seperti yang dinyatakan, tapak piramid segi tiga boleh menjadi jenis segi tiga umum. Walau bagaimanapun, jika ia adalah sama sisi, dan piramid itu sendiri lurus, maka mereka bercakap tentang angka tiga dimensi biasa.
Mana-mana piramid segi tiga mempunyai 4 muka, 6 tepi dan 4 bucu. Jika panjang semua tepi adalah sama, maka angka tersebut dipanggil tetrahedron.
Isipadu piramid segi tiga am
Sebelum menulis formula untuk isipadu piramid segi tiga biasa, kami memberikan ungkapan untuk kuantiti fizik ini untuk piramid jenis am. Ungkapan ini kelihatan seperti:
Mengenai topik: "Kewangan Global": ulasan syarikat daripada pekerja dan pelanggan
Di sini S o ialah luas tapak, h ialah ketinggian rajah. Kesamaan ini akan sah untuk sebarang jenis asas poligon piramid, serta untuk kon. Jika di pangkalan terdapat segitiga dengan panjang sisi a dan ketinggian h o diturunkan ke atasnya, maka formula untuk isipadu akan ditulis seperti berikut:
V = 1/6*a*h o *h.
Formula untuk isipadu piramid segi tiga biasa
Piramid segi tiga sekata mempunyai segi tiga sama di tapaknya. Adalah diketahui bahawa ketinggian segi tiga ini berkaitan dengan panjang sisinya dengan kesamaan:
Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula untuk isipadu piramid segi tiga yang ditulis dalam perenggan sebelumnya, kita memperoleh:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Isipadu piramid sekata dengan tapak segi tiga ialah fungsi panjang sisi tapak dan ketinggian rajah.
Oleh kerana mana-mana poligon sekata boleh ditulis dalam bulatan, jejarinya akan menentukan panjang sisi poligon secara unik, maka formula ini boleh ditulis dalam sebutan jejari r yang sepadan:
V = √3/4*j*r 2 .
Formula ini boleh diperolehi dengan mudah daripada yang sebelumnya, jika kita mengambil kira bahawa jejari r bulatan yang dihadkan melalui panjang sisi a segitiga ditentukan oleh ungkapan:
Masalah menentukan isipadu tetrahedron
Kami akan menunjukkan cara menggunakan formula di atas apabila menyelesaikan masalah geometri tertentu.
Diketahui bahawa tetrahedron mempunyai panjang tepi 7 cm Cari isi padu piramid-tetrahedron segi tiga sekata.
Ingat bahawa tetrahedron ialah piramid segi tiga sekata di mana semua tapak adalah sama antara satu sama lain. Untuk menggunakan formula untuk isipadu piramid segi tiga biasa, anda perlu mengira dua kuantiti:
Mengenai topik: Bahan-bahan luar biasa ini tidak lama lagi akan digunakan untuk membuat tempat duduk kereta
- panjang sisi segi tiga;
- ketinggian rajah.
Kuantiti pertama diketahui dari keadaan masalah:
Untuk menentukan ketinggian, pertimbangkan rajah yang ditunjukkan dalam rajah.
Segitiga ABC yang bertanda ialah segi tiga tegak, dengan sudut ABC ialah 90 o. AC sisi ialah hipotenus dan panjangnya ialah a. Dengan menggunakan penaakulan geometri mudah, kita boleh menunjukkan bahawa sisi BC mempunyai panjang:
Perhatikan bahawa panjang BC ialah jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Kini anda boleh menggantikan h dan a ke dalam formula yang sepadan untuk volum:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Oleh itu, kami telah memperoleh formula untuk isipadu tetrahedron. Ia boleh dilihat bahawa isipadu hanya bergantung pada panjang tepi. Jika kita menggantikan nilai daripada keadaan masalah ke dalam ungkapan, maka kita mendapat jawapannya:
V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 cm 3.
Jika kita membandingkan nilai ini dengan isipadu kubus yang mempunyai tepi yang sama, kita dapati bahawa isipadu tetrahedron adalah 8.5 kali lebih kecil. Ini menunjukkan bahawa tetrahedron adalah angka padat yang berlaku dalam beberapa bahan semula jadi. Sebagai contoh, molekul metana mempunyai bentuk tetrahedral, dan setiap atom karbon dalam berlian disambungkan kepada empat atom lain untuk membentuk tetrahedron.
