Matriks songsang untuk matriks tertentu ialah matriks sedemikian, mendarabkan matriks asal yang memberikan matriks identiti: Syarat wajib dan mencukupi untuk kehadiran matriks songsang ialah penentu matriks asal ialah tidak sama dengan sifar (yang seterusnya menunjukkan bahawa matriks mestilah segi empat sama). Jika penentu matriks adalah sama dengan sifar, maka ia dipanggil tunggal dan matriks sedemikian tidak mempunyai songsang. Dalam matematik yang lebih tinggi, matriks songsang adalah penting dan digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah. Sebagai contoh, pada mencari matriks songsang kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan telah dibina. Tapak perkhidmatan kami membenarkan mengira matriks songsang dalam talian dua kaedah: kaedah Gauss-Jordan dan menggunakan matriks penambahan algebra. Yang pertama melibatkan sejumlah besar penjelmaan asas di dalam matriks, yang kedua melibatkan pengiraan penentu dan penambahan algebra kepada semua elemen. Untuk mengira penentu matriks dalam talian, anda boleh menggunakan perkhidmatan kami yang lain - Pengiraan penentu matriks dalam talian
.Cari matriks songsang untuk tapak tersebut
laman web membolehkan anda mencari matriks songsang dalam talian cepat dan percuma. Di tapak, pengiraan dibuat menggunakan perkhidmatan kami dan hasilnya diberikan dengan penyelesaian terperinci untuk mencari matriks songsang. Pelayan sentiasa memberikan jawapan yang tepat dan betul sahaja. Dalam tugas mengikut definisi matriks songsang dalam talian, adalah perlu bahawa penentu matriks adalah bukan sifar, sebaliknya laman web akan melaporkan kemustahilan mencari matriks songsang disebabkan oleh fakta bahawa penentu matriks asal adalah sama dengan sifar. Tugas mencari matriks songsang terdapat dalam banyak cabang matematik, sebagai salah satu konsep paling asas algebra dan alat matematik dalam masalah gunaan. Berdikari definisi matriks songsang memerlukan usaha yang besar, banyak masa, pengiraan dan berhati-hati untuk mengelakkan kesilapan atau kesilapan kecil dalam pengiraan. Oleh itu perkhidmatan kami mencari matriks songsang dalam talian akan menjadikan tugas anda lebih mudah dan akan menjadi alat yang sangat diperlukan untuk menyelesaikan masalah matematik. Walaupun anda cari matriks songsang sendiri, kami mengesyorkan anda menyemak penyelesaian anda pada pelayan kami. Masukkan matriks asal anda di Pengiraan matriks songsang kami dalam talian dan semak jawapan anda. Sistem kami tidak pernah membuat kesilapan dan mencari matriks songsang dimensi yang diberikan dalam mod dalam talian serta-merta! Di laman web laman web entri aksara dibenarkan dalam elemen matriks, dalam kes ini matriks songsang dalam talian akan dipersembahkan dalam bentuk simbolik umum.
Mari kita teruskan perbualan tentang tindakan dengan matriks. Iaitu, semasa pengajian kuliah ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari matriks songsang. Belajar. Walaupun matematik itu sukar.
Apakah matriks songsang? Di sini kita boleh membuat analogi dengan nombor songsang: pertimbangkan, sebagai contoh, nombor optimistik 5 dan nombor songsangnya . Hasil darab nombor ini adalah sama dengan satu: . Semuanya serupa dengan matriks! Hasil darab matriks dan matriks songsangnya adalah sama dengan – matriks identiti, iaitu analog matriks bagi unit berangka. Walau bagaimanapun, perkara pertama dahulu - mari kita selesaikan isu praktikal yang penting, iaitu, pelajari cara mencari matriks yang sangat songsang ini.
Apakah yang anda perlu tahu dan boleh lakukan untuk mencari matriks songsang? Anda mesti boleh membuat keputusan kelayakan. Anda mesti faham apa itu matriks dan dapat melakukan beberapa tindakan dengan mereka.
Terdapat dua kaedah utama untuk mencari matriks songsang:
dengan menggunakan penambahan algebra Dan menggunakan transformasi asas.
Hari ini kita akan mengkaji kaedah pertama yang lebih mudah.
Mari kita mulakan dengan yang paling dahsyat dan tidak dapat difahami. Mari kita pertimbangkan segi empat sama matriks. Matriks songsang boleh didapati menggunakan formula berikut:
Di manakah penentu bagi matriks, ialah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur-unsur sepadan matriks itu.
Konsep matriks songsang hanya wujud untuk matriks segi empat sama, matriks "dua dengan dua", "tiga dengan tiga", dsb.
Jawatan: Seperti yang telah anda perhatikan, matriks songsang dilambangkan dengan superskrip
Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah - matriks dua demi dua. Selalunya, sudah tentu, "tiga dengan tiga" diperlukan, tetapi, bagaimanapun, saya sangat mengesyorkan untuk mengkaji tugas yang lebih mudah untuk memahami prinsip umum penyelesaian.
Contoh:
Cari songsangan bagi suatu matriks
Mari buat keputusan. Adalah mudah untuk memecahkan urutan tindakan titik demi titik.
1) Mula-mula kita mencari penentu matriks.
Jika pemahaman anda tentang tindakan ini tidak baik, baca bahan tersebut Bagaimana untuk mengira penentu?
Penting! Jika penentu matriks adalah sama dengan SIFAR– matriks songsang TIDAK ADA.
Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, ternyata, , yang bermaksud semuanya teratur.
2) Cari matriks bawah umur.
Untuk menyelesaikan masalah kita, tidak perlu mengetahui apa itu kanak-kanak, bagaimanapun, adalah dinasihatkan untuk membaca artikel itu Bagaimana untuk mengira penentu.
Matriks bawah umur mempunyai dimensi yang sama dengan matriks, iaitu, dalam kes ini.
Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan ialah mencari empat nombor dan meletakkannya dan bukannya asterisk.
Mari kita kembali ke matriks kita
Mari lihat elemen kiri atas dahulu:
Bagaimana untuk mencarinya bawah umur?
Dan ini dilakukan seperti ini: SECARA MENTAL memotong baris dan lajur di mana elemen ini terletak:
Nombor yang tinggal ialah minor unsur ini, yang kami tulis dalam matriks bawah umur kami:
Pertimbangkan elemen matriks berikut:
Potong baris dan lajur secara mental di mana elemen ini muncul:
Apa yang tinggal ialah minor elemen ini, yang kami tulis dalam matriks kami:
Begitu juga, kami mempertimbangkan unsur-unsur baris kedua dan mencari anak bawah umurnya:
sedia.
Mudah sahaja. Dalam matriks kanak-kanak di bawah umur yang anda perlukan TUKAR TANDA dua nombor:
Ini adalah nombor yang saya bulatkan!
– matriks penambahan algebra bagi unsur matriks yang sepadan.
Dan hanya...
4) Cari matriks terpindah bagi penambahan algebra.
– matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.
5) Jawapan.
Mari kita ingat formula kita
Semuanya telah ditemui!
Jadi matriks songsang ialah: 
Adalah lebih baik untuk meninggalkan jawapan seperti sedia ada. TAK PERLU bahagikan setiap elemen matriks dengan 2, kerana hasilnya ialah nombor pecahan. Nuansa ini dibincangkan dengan lebih terperinci dalam artikel yang sama. Tindakan dengan matriks.
Bagaimana untuk menyemak penyelesaian?
Anda perlu melakukan pendaraban matriks atau
Peperiksaan: 
Diterima sudah disebut matriks identiti ialah matriks dengan yang oleh pepenjuru utama dan sifar di tempat lain.
Oleh itu, matriks songsang ditemui dengan betul.
Jika anda menjalankan tindakan itu, hasilnya juga akan menjadi matriks identiti. Ini adalah salah satu daripada beberapa kes di mana pendaraban matriks adalah komutatif, butiran lanjut boleh didapati dalam artikel Sifat operasi pada matriks. Ungkapan Matriks. Juga ambil perhatian bahawa semasa semakan, pemalar (pecahan) dibawa ke hadapan dan diproses pada penghujung - selepas pendaraban matriks. Ini adalah teknik standard.
Mari kita beralih kepada kes yang lebih biasa dalam amalan - matriks tiga demi tiga:
Contoh:
Cari songsangan bagi suatu matriks 
Algoritma adalah sama seperti untuk kes "dua dua".
Kami mencari matriks songsang menggunakan formula: , di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.
1) Cari penentu matriks.
Di sini penentunya didedahkan pada baris pertama.
Juga, jangan lupa itu, yang bermaksud semuanya baik-baik saja - matriks songsang wujud.
2) Cari matriks bawah umur.
Matriks kanak-kanak bawah umur mempunyai dimensi "tiga dengan tiga" 
, dan kita perlu mencari sembilan nombor.
Saya akan melihat beberapa kanak-kanak bawah umur secara terperinci:
Pertimbangkan elemen matriks berikut: 
Secara mental, potong baris dan lajur di mana elemen ini terletak: 
Kami menulis baki empat nombor dalam penentu "dua dengan dua". 
Penentu dua-dua ini dan adalah minor unsur ini. Ia perlu dikira: 
Itu sahaja, kanak-kanak di bawah umur telah dijumpai, kami menulisnya dalam matriks kami di bawah umur: 
Seperti yang anda mungkin sangka, anda perlu mengira sembilan dua-dua-dua penentu. Prosesnya, tentu saja, membosankan, tetapi kesnya bukanlah yang paling teruk, ia boleh menjadi lebih teruk.
Nah, untuk menyatukan - mencari seorang lagi bawah umur dalam gambar: 
Cuba kira sendiri baki kanak-kanak di bawah umur.
Keputusan akhir: 
– matriks bawah umur unsur-unsur matriks yang sepadan.
Hakikat bahawa semua kanak-kanak di bawah umur ternyata negatif adalah semata-mata kemalangan.
3) Cari matriks penambahan algebra.
Dalam matriks bawah umur adalah perlu TUKAR TANDA hanya untuk unsur-unsur berikut: 
Dalam kes ini:
Kami tidak mempertimbangkan untuk mencari matriks songsang untuk matriks "empat dengan empat", kerana tugas sedemikian hanya boleh diberikan oleh guru yang sadis (untuk pelajar mengira satu penentu "empat dengan empat" dan 16 penentu "tiga dengan tiga" ). Dalam amalan saya, hanya terdapat satu kes sedemikian, dan pelanggan ujian membayar agak mahal untuk seksaan saya =).
Dalam beberapa buku teks dan manual anda boleh menemui pendekatan yang sedikit berbeza untuk mencari matriks songsang, tetapi saya mengesyorkan menggunakan algoritma penyelesaian yang digariskan di atas. kenapa? Kerana kemungkinan menjadi keliru dalam pengiraan dan tanda adalah lebih kurang.
Bagi mana-mana matriks bukan tunggal A terdapat matriks unik A -1 sedemikian
A*A -1 =A -1 *A = E,
di mana E ialah matriks identiti bagi susunan yang sama seperti A. Matriks A -1 dipanggil songsang bagi matriks A.
Sekiranya seseorang terlupa, dalam matriks identiti, kecuali pepenjuru yang diisi dengan satu, semua kedudukan lain diisi dengan sifar, contoh matriks identiti:
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah matriks bersebelahan
Matriks songsang ditakrifkan oleh formula:
di mana A ij - unsur a ij.
Itu. Untuk mengira matriks songsang, anda perlu mengira penentu matriks ini. Kemudian cari pelengkap algebra untuk semua elemennya dan susun matriks baharu daripadanya. Seterusnya anda perlu mengangkut matriks ini. Dan bahagikan setiap elemen matriks baharu dengan penentu matriks asal.
Mari lihat beberapa contoh.
Cari A -1 untuk matriks
Penyelesaian Mari cari A -1 menggunakan kaedah matriks bersebelahan. Kami mempunyai det A = 2. Mari kita cari pelengkap algebra bagi unsur matriks A. Dalam kes ini, pelengkap algebra bagi unsur matriks akan menjadi unsur yang sepadan bagi matriks itu sendiri, diambil dengan tanda mengikut formula
Kami mempunyai A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Kami membentuk matriks bersebelahan
Kami mengangkut matriks A*:
Kami mencari matriks songsang menggunakan formula:
Kami mendapat:
Menggunakan kaedah matriks bersebelahan, cari A -1 jika
Penyelesaian Pertama sekali, kita mengira definisi matriks ini untuk mengesahkan kewujudan matriks songsang. Kami ada
Di sini kami menambah elemen baris kedua pada elemen baris ketiga, sebelum ini didarab dengan (-1), dan kemudian mengembangkan penentu untuk baris kedua. Oleh kerana definisi matriks ini berbeza daripada sifar, maka matriks songsangnya wujud. Untuk membina matriks bersebelahan, kita dapati pelengkap algebra bagi unsur-unsur matriks ini. Kami ada
Mengikut formula
matriks pengangkutan A*:
Kemudian mengikut formula
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah penjelmaan asas
Sebagai tambahan kepada kaedah mencari matriks songsang, yang mengikuti dari formula (kaedah matriks bersebelahan), terdapat kaedah untuk mencari matriks songsang, yang dipanggil kaedah transformasi asas.
Transformasi matriks asas
Penjelmaan berikut dipanggil penjelmaan matriks asas:
1) penyusunan semula baris (lajur);
2) mendarab baris (lajur) dengan nombor selain sifar;
3) menambah kepada elemen baris (lajur) elemen yang sepadan dengan baris lain (lajur), yang sebelum ini didarab dengan nombor tertentu.
Untuk mencari matriks A -1, kami membina matriks segi empat tepat B = (A|E) susunan (n; 2n), memberikan kepada matriks A di sebelah kanan matriks identiti E melalui garis pembahagi:
Mari kita lihat contoh.
Dengan menggunakan kaedah penjelmaan asas, cari A -1 jika
Penyelesaian. Kami membentuk matriks B:
Mari kita nyatakan baris matriks B dengan α 1, α 2, α 3. Mari kita lakukan penjelmaan berikut pada baris matriks B.
Algebra matriks - Matriks songsangMatriks songsang
Matriks songsang ialah matriks yang, apabila didarab di sebelah kanan dan di sebelah kiri dengan matriks tertentu, memberikan matriks identiti.
Mari kita nyatakan matriks songsang matriks itu A melalui , maka mengikut definisi kita dapat:
di mana E– matriks identiti.
Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (tidak merosot) jika penentunya bukan sifar. Jika tidak ia dipanggil istimewa (merosot) atau tunggal.
Teorem itu memegang: Setiap matriks bukan tunggal mempunyai matriks songsang.
Operasi mencari matriks songsang dipanggil rayuan matriks. Mari kita pertimbangkan algoritma penyongsangan matriks. Biarkan matriks bukan tunggal diberikan n-perintah ke-:
di mana Δ = det A ≠ 0.
Penambahan algebra bagi sesuatu unsur matriks n-perintah ke- A dipanggil penentu matriks yang diambil dengan tanda tertentu ( n–1) pesanan ke-1 diperoleh dengan memadam i-baris ke- dan j lajur matriks ke- A:
Mari kita cipta apa yang dipanggil dilampirkan matriks:
di manakah pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan A.
Perhatikan bahawa penambahan algebra bagi elemen baris matriks A diletakkan dalam lajur matriks yang sepadan Ã
, iaitu, matriks dipindahkan pada masa yang sama.
Dengan membahagikan semua elemen matriks Ã
oleh Δ – nilai penentu matriks A, kita mendapat matriks songsang sebagai hasilnya:
Mari kita perhatikan beberapa sifat khas matriks songsang:
1) untuk matriks tertentu A matriks songsangnya
adalah satu-satunya;
2) jika terdapat matriks songsang, maka terbalik kanan Dan kiri terbalik matriks bertepatan dengannya;
3) matriks persegi khas (tunggal) tidak mempunyai matriks songsang.
Sifat asas matriks songsang:
1) penentu matriks songsang dan penentu matriks asal adalah salingan;
2) matriks songsang hasil darab matriks kuasa dua adalah sama dengan hasil darab matriks songsang faktor, diambil dalam susunan songsang:
3) matriks songsang terbalik adalah sama dengan matriks songsang matriks terbalik yang diberikan:
CONTOH Hitung songsangan bagi matriks yang diberi.
Kaedah mencari matriks songsang, . Pertimbangkan matriks segi empat sama
Mari kita nyatakan Δ =det A.
Matriks persegi A dipanggil tidak merosot, atau tidak istimewa, jika penentunya ialah bukan sifar, dan merosot, atau istimewa, JikaΔ = 0.
Matriks segi empat sama B adalah untuk matriks segi empat sama A dengan susunan yang sama jika hasil darabnya ialah A B = B A = E, di mana E ialah matriks identiti susunan yang sama dengan matriks A dan B.
Teorem . Untuk membolehkan matriks A mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya berbeza daripada sifar.
Matriks songsang bagi matriks A, dilambangkan dengan A- 1, jadi B = A - 1 dan dikira dengan formula
, (1)
di mana A i j ialah pelengkap algebra bagi unsur a i j bagi matriks A..
Mengira A -1 menggunakan formula (1) untuk matriks tertib tinggi adalah sangat intensif buruh, jadi dalam praktiknya adalah mudah untuk mencari A -1 menggunakan kaedah transformasi asas (ET). Mana-mana matriks bukan tunggal A boleh dikurangkan kepada matriks identiti E melalui ED bagi lajur sahaja (atau hanya baris Jika ED yang disempurnakan di atas matriks A digunakan dalam susunan yang sama kepada matriks identiti E, maka hasilnya ialah matriks songsang. Adalah mudah untuk melaksanakan EP pada matriks A dan E secara serentak, menulis kedua-dua matriks bersebelahan melalui garis. Mari kita perhatikan sekali lagi bahawa apabila mencari bentuk kanonik matriks, untuk mencarinya, anda boleh menggunakan transformasi baris dan lajur. Jika anda perlu mencari songsangan matriks, anda harus menggunakan hanya baris atau lajur sahaja semasa proses transformasi.
Contoh 2.10. Untuk matriks 
cari A -1 .
Penyelesaian.Mula-mula kita cari penentu matriks A 
Ini bermakna matriks songsang wujud dan kita boleh mencarinya menggunakan formula: 
, dengan A i j (i,j=1,2,3) ialah penambahan algebra bagi unsur a i j bagi matriks asal. 
di mana 
.
Contoh 2.11. Dengan menggunakan kaedah penjelmaan asas, cari A -1 untuk matriks: A = .
Penyelesaian.Kami menetapkan kepada matriks asal di sebelah kanan matriks identiti dengan susunan yang sama: 
. Menggunakan transformasi asas lajur, kami akan mengurangkan "separuh" kiri kepada identiti satu, pada masa yang sama melakukan transformasi yang sama pada matriks kanan.
Untuk melakukan ini, tukar lajur pertama dan kedua: 
~
. Ke lajur ketiga kami menambah yang pertama, dan yang kedua - yang pertama, didarab dengan -2: 
. Dari lajur pertama kita tolak yang kedua dua kali ganda, dan dari yang ketiga - yang kedua didarab dengan 6; 
. Mari tambahkan lajur ketiga pada lajur pertama dan kedua: 
. Darab lajur terakhir dengan -1: 
. Matriks segi empat sama yang diperoleh di sebelah kanan bar menegak ialah matriks songsang bagi matriks A yang diberi. Jadi,
.