Бұл мақалада сіз интегралдық есептеулер арқылы сызықтармен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болатынын білесіз. Мұндай есепті шығаруды біз бірінші рет орта мектепте, анықталған интегралдарды зерттеуді енді ғана аяқтаған кезде және тәжірибеде алынған білімді геометриялық түсіндіруге кірісетін кез келген кезде кездестіреміз.

Сонымен, интегралдар көмегімен фигураның ауданын табу мәселесін сәтті шешу үшін не қажет:

• Сауатты сызбаларды жасай білу;
• Белгілі Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шеше білу;
• Неғұрлым тиімді шешім нұсқасын «көру» мүмкіндігі - яғни. бір немесе басқа жағдайда интеграцияны жүзеге асыру қаншалықты ыңғайлы болатынын түсінесіз бе? x осі (OX) немесе y осі (OY) бойымен?
• Дұрыс есептеулер болмаса, біз қайда болар едік?) Бұл интегралдардың басқа түрін қалай шешу керектігін түсінуді және сандық есептеулерді түзетуді қамтиды.

Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеу есебін шешу алгоритмі:

1. Біз сурет саламыз. Мұны дойбы қағазда, үлкен масштабта жасаған жөн. Бұл функцияның атауына біз әр графиктің үстіне қарындашпен қол қоямыз. Графиктерге қол қою кейінгі есептеулерге ыңғайлы болу үшін ғана жасалады. Қажетті фигураның графигін алғаннан кейін, көп жағдайда интеграцияның қандай шектері қолданылатыны бірден белгілі болады. Осылайша, біз мәселені графикалық түрде шешеміз. Дегенмен, шектеулердің мәндері бөлшек немесе иррационалды болып табылады. Сондықтан, сіз қосымша есептеулер жасай аласыз, екінші қадамға өтіңіз.

2. Егер интеграцияның шектері нақты көрсетілмесе, онда біз графиктердің бір-бірімен қиылысу нүктелерін табамыз және біздің графикалық шешіміміздің аналитикалық шешіммен сәйкес келетінін көреміз.

3. Әрі қарай, сіз сызбаны талдауыңыз керек. Функция графиктерінің орналасуына байланысты фигураның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері бар. Интегралдар көмегімен фигураның ауданын табудың әртүрлі мысалдарын қарастырайық.

3.1. Мәселенің ең классикалық және қарапайым нұсқасы - қисық трапецияның ауданын табу керек кезде. Қисық трапеция дегеніміз не? Бұл x осімен шектелген жалпақ фигура (y = 0), түзу x = a, x = bжәне аралығы бойынша үздіксіз кез келген қисық адейін б. Оның үстіне бұл көрсеткіш теріс емес және х осінен төмен емес. Бұл жағдайда қисық сызықты трапеция ауданы Ньютон-Лейбниц формуласымен есептелетін белгілі бір интегралға сандық түрде тең:

1-мысал y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Фигура қандай сызықтармен шектелген? Бізде парабола бар y = x2 – 3x + 3, ол осьтің үстінде орналасқан OH, ол теріс емес, өйткені осы параболаның барлық нүктелерінің оң мәндері бар. Әрі қарай түзу сызықтар берілген x = 1Және x = 3, олар оське параллель өтеді Оп-ампер, сол және оң жақтағы фигураның шекаралық сызықтары. Жақсы y = 0, ол сондай-ақ төменнен фигураны шектейтін x осі. Алынған фигура көлеңкеленген, оны сол жақтағы суреттен көруге болады. Бұл жағдайда сіз дереу мәселені шешуге кірісе аласыз. Біздің алдымызда қисық трапецияның қарапайым мысалы бар, оны әрі қарай Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы шешеміз.

3.2. Алдыңғы 3.1-тармақта біз қисық трапеция х осінен жоғары орналасқан жағдайды қарастырдық. Енді функцияның х осінің астында жатқанын қоспағанда, есептің шарттары бірдей болатын жағдайды қарастырыңыз. Стандартты Ньютон-Лейбниц формуласына минус қосылады. Төменде мұндай мәселені қалай шешуге болатынын қарастырамыз.

2-мысал . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Бұл мысалда бізде парабола бар у = x2 + 6x + 2, ол осьтен басталады OH, түзу x = -4, x = -1, y = 0. Мұнда y = 0жоғарыдан қажетті фигураны шектейді. Тікелей x = -4Және x = -1бұл анықталған интеграл есептелетін шекаралар. Фигураның ауданын табу мәселесін шешу принципі №1 мысалмен толық дерлік сәйкес келеді. Жалғыз айырмашылық мынада, берілген функция оң емес, сонымен қатар интервалда үздіксіз болады. [-4; -1] . Позитивті емес дегеніңіз не? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көруіміз және есте сақтауымыз керек. Біз фигураның ауданын Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы іздейміз, тек басында минус белгісі бар.

Мақала аяқталмаған.

Интегралдық есептеудің қосымшаларын қарастыруға көшейік. Бұл сабақта біз әдеттегі және ең көп таралған тапсырманы талдаймыз Анықталған интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын есептеу. Ақырында, жоғары математикадан мән іздейтіндердің барлығы оны тапсын. Сіз ешқашан білмейсіз. Нақты өмірде сізге қарапайым функцияларды пайдаланып саяжай учаскесін жуықтап, белгілі бір интеграл арқылы оның ауданын табуға тура келеді.

Материалды сәтті меңгеру үшін сізге қажет:

1) Анықталмаған интегралды кем дегенде аралық деңгейде түсіну. Осылайша, манекендер алдымен сабақты оқуы керек Жоқ.

2) Ньютон-Лейбниц формуласын қолдана білу және анықталған интегралды есептей алу. Беттегі белгілі бір интегралдармен жылы достық қарым-қатынас орнатуға болады Анықталған интеграл. Шешімдердің мысалдары. «Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу» тапсырмасы әрқашан сызбаны салуды қамтиды, сондықтан сіздің біліміңіз бен сурет салу дағдыларыңыз да өзекті мәселе болады. Ең болмағанда түзу, парабола және гипербола құра білу керек.

Қисық трапециядан бастайық. Қисық трапеция – бұл қандай да бір функцияның графигімен шектелген жазық фигура ж = f(x), ось ӨҚжәне сызықтар x = а; x = б.

Қисық сызықты трапецияның ауданы белгілі бір интегралға сандық түрде тең

Кез келген белгілі бір интеграл (бар) өте жақсы геометриялық мағынаға ие. Сыныпта Анықталған интеграл. Шешімдердің мысалдарыанықталған интегралды сан деп айттық. Енді тағы бір пайдалы фактіні айтудың уақыты келді. Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл AREA болып табылады. Яғни, анықталған интеграл (егер ол бар болса) белгілі бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Анықталған интегралды қарастырайық

Интеграл

жазықтықта қисық сызықты анықтайды (қажет болса, оны салуға болады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына сандық түрде тең.

1-мысал

, , , .

Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімдегі ең маңызды сәт - сызбаның құрылысы. Сонымен қатар, сызбаны салу керек ДҰРЫС.

Сызбаны салу кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: басындабарлық түзу сызықтарды (егер олар бар болса) және тек қана салған дұрыс Содан кейін– парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Нүкте бойынша құрылыс техникасын анықтамалық материалдан табуға болады Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері. Мұнда сіз біздің сабағымызға өте пайдалы материал таба аласыз - параболаны қалай тез салу керек.

Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.

Сызбаны жасайық (теңдеу екенін ескеріңіз ж= 0 осьті анықтайды ӨҚ):

Біз қисық трапецияны көлеңкелемейміз; Шешім келесідей жалғасады:

Сегмент бойынша [-2; 1] функция графигі ж = x 2 + 2 орналасқан осьтің үстіндеӨҚ, Сондықтан:

Жауап: .

Анықталған интегралды есептеуде және Ньютон-Лейбниц формуласын қолдануда кім қиындықтарға тап болады?

,

лекцияға жүгініңіз Анықталған интеграл. Шешімдердің мысалдары. Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың нақты екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда біз сызбадағы ұяшықтардың санын «көзбен» санаймыз - жақсы, шамамен 9 болады, бұл дұрыс сияқты. Егер біз жауап алсақ, айталық: 20 шаршы бірлік, онда бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Жауап теріс болса, тапсырма да қате шешілген.

2-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз xy = 4, x = 2, x= 4 және ось ӨҚ.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Қисық трапеция орналасса не істеу керек осьтің астындаӨҚ?

3-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз ж = e-x, x= 1 және координаталық осьтер.

Шешуі: Сурет салайық:

Егер қисық трапеция болса толығымен осьтің астында орналасқан ӨҚ , онда оның ауданын мына формула арқылы табуға болады:

Бұл жағдайда:

.

Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастыруға болмайды:

1) Ешқандай геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.

2) Егер сізге белгілі интеграл көмегімен фигураның ауданын табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус жаңа талқыланған формулада пайда болады.

Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз неғұрлым мағыналы мысалдарға көшеміз.

4-мысал

Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз ж = 2x – x 2 , ж = -x.

Шешуі: Алдымен сурет салу керек. Аудан есептерінің сызбасын құрастыру кезінде бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Параболаның қиылысу нүктелерін табайық ж = 2x – x 2 және түзу ж = -x. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:

Бұл интеграцияның төменгі шегі дегенді білдіреді а= 0, интеграцияның жоғарғы шегі б= 3. Сызықтарды нүкте бойынша салу жиі тиімдірек және жылдамырақ, ал интеграцияның шекаралары «өзінен-өзі» анық болады. Осыған қарамастан, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе егжей-тегжейлі конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационалды болуы мүмкін). Тапсырмамызға оралайық: алдымен түзу, содан кейін ғана парабола салу ұтымдырақ. Сызбаны жасайық:

Қайталап айтайық, нүктелік тұрғызу кезінде интеграцияның шектері көбінесе «автоматты түрде» анықталады.

Ал енді жұмыс формуласы:

Егер сегментте [ а; б] кейбір үздіксіз функция f(x) артық немесе теңкейбір үздіксіз функция g(x), онда сәйкес фигураның ауданын мына формула арқылы табуға болады:

Мұнда фигураның қай жерде орналасқаны туралы ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, бірақ қай графтың ЖОҒАРЫ екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕН.

Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, демек 2-ден x – x 2 алу керек – x.

Аяқталған шешім келесідей болуы мүмкін:

Қажетті фигура параболамен шектелген ж = 2x – x 2 жоғарғы және түзу ж = -xтөменде.

2-сегментте x – x 2 ≥ -x. Сәйкес формула бойынша:

Жауап: .

Шындығында, төменгі жарты жазықтықтағы қисық сызықты трапеция ауданына арналған мектеп формуласы (№3 мысалды қараңыз) формуланың ерекше жағдайы болып табылады.

.

Өйткені ось ӨҚтеңдеуімен берілген ж= 0 және функцияның графигі g(x) осьтің астында орналасқан ӨҚ, Бұл

.

Ал енді сіздің жеке шешіміңізге бірнеше мысал

5-мысал

6-мысал

Түзулермен шектелген фигураның ауданын табыңыз

Анықталған интегралдың көмегімен ауданды есептеуге байланысты есептерді шешу кезінде кейде күлкілі оқиға орын алады. Сызба дұрыс жасалды, есептеулер дұрыс болды, бірақ абайсыздықтан... Қате фигураның ауданы табылды.

7-мысал

Алдымен сурет салайық:

Ауданын табуымыз керек фигура көк түсті(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде, назар аудармау салдарынан адамдар көбінесе жасыл түспен боялған фигураның ауданын табу керек деп шешеді!

Бұл мысал екі анықталған интегралды пайдаланып фигураның ауданын есептейтіндіктен де пайдалы. Шынымен:

1) кесінді бойынша [-1; 1] осінен жоғары ӨҚграфик түзу орналасқан ж = x+1;

2) ось үстіндегі сегментте ӨҚгиперболаның графигі орналасқан ж = (2/x).

Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан:

Жауап:

8-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

Теңдеулерді «мектеп» түрінде көрсетейік

және нүкте бойынша сызба жасаңыз:

Сызбадан біздің жоғарғы шегіміз «жақсы» екені анық: б = 1.

Бірақ төменгі шегі қандай?! Бұл бүтін сан емес екені анық, бірақ бұл не?

Мүмкін, а=(-1/3)? Бірақ сызбаның мінсіз дәлдікпен жасалғанына кепілдік қайда, бұл жақсы болуы мүмкін а=(-1/4). Егер графикті қате құрастырсақ ше?

Мұндай жағдайларда сізге қосымша уақыт жұмсауға және аналитикалық түрде интеграцияның шегін нақтылауға тура келеді.

Графиктердің қиылысу нүктелерін табайық

Ол үшін мына теңдеуді шешеміз:

.

Демек, а=(-1/3).

Бұдан әрі шешім тривиальды. Ең бастысы - ауыстырулар мен белгілерде шатастырмау. Мұндағы есептеулер қарапайым емес. Сегментте

, ,

сәйкес формула бойынша:

Жауап:

Сабақты қорытындылау үшін тағы екі қиын тапсырманы қарастырайық.

9-мысал

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз

Шешуі: Осы фигураны сызбада бейнелеп көрейік.

Нүкте-нүкте сызбасын салу үшін синусоидтың сыртқы түрін білу керек. Жалпы алғанда, барлық элементар функциялардың графиктерін, сондай-ақ кейбір синус мәндерін білу пайдалы. Оларды мәндер кестесінен табуға болады тригонометриялық функциялар. Кейбір жағдайларда (мысалы, бұл жағдайда) схемалық сызбаны салуға болады, онда интеграцияның графиктері мен шектері түбегейлі дұрыс көрсетілуі керек.

Бұл жерде интеграциялық шектеулер бойынша проблемалар жоқ, олар тікелей шарттан туындайды:

– «x» нөлден «piге» өзгереді. Қосымша шешім қабылдасақ:

Сегментте функцияның графигі ж= күнә 3 xосінен жоғары орналасқан ӨҚ, Сондықтан:

(1) Сабақта синустар мен косинустардың тақ дәрежелерде қалай біріктірілгенін көруге болады Тригонометриялық функциялардың интегралдары. Біз бір синусты қысамыз.

(2) Біз формада негізгі тригонометриялық сәйкестікті қолданамыз

(3) Айнымалыны өзгертейік т=cos x, онда: осьтің үстінде орналасқан, сондықтан:

.

.

Ескерту:мұнда негізгі тригонометриялық сәйкестіктің нәтижесі тангенс кубының интегралы қалай алынғанына назар аударыңыз;

.

Тапсырма No3. Сызбаны салып, сызықтармен шектелген фигураның ауданын есепте

Қолданбалы есептерді шешуге интегралды қолдану

Ауданды есептеу

Үзіліссіз теріс емес функцияның анықталған интегралы f(x) сан жағынан тең y = f(x) қисығымен, O x осімен және x = a және x = b түзулерімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы. Осыған сәйкес аудан формуласы былай жазылады:

Жазық фигуралардың аудандарын есептеудің бірнеше мысалдарын қарастырайық.

Тапсырма No 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 түзулерімен шектелген ауданды есептеңдер.

Шешім.Ауданын есептеу керек болатын фигураны тұрғызайық.

y = x 2 + 1 - тармақтары жоғары бағытталған парабола, ал парабола O y осіне қатысты бір бірлікке жоғары ығысқан (1-сурет).

Сурет 1. у = x 2 + 1 функциясының графигі

Тапсырма No 2. 0-ден 1-ге дейінгі аралықта y = x 2 – 1, y = 0 түзулерімен шектелген ауданды есептеңдер.

Шешім.Бұл функцияның графигі жоғары бағытталған тармақтардың параболасы болып табылады және парабола O y осіне қатысты бір бірлікке төмен ығысқан (2-сурет).

Сурет 2. y = x 2 – 1 функциясының графигі

Тапсырма No 3. Сызбаны салып, сызықтармен шектелген фигураның ауданын есепте

y = 8 + 2x – x 2 және y = 2x – 4.

Шешім.Бұл екі түзудің біріншісі – тармақтары төмен бағытталған парабола, өйткені х 2 коэффициенті теріс, ал екінші түзу – екі координат осін қиып өтетін түзу.

Параболаны тұрғызу үшін оның төбесінің координаталарын табамыз: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – төбенің абсциссасы; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – оның ординатасы, N(1;9) – шыңы.

Енді теңдеулер жүйесін шешу арқылы парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық:

Сол жақтары тең теңдеудің оң жақтарын теңестіру.

Біз 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 немесе x 2 – 12 = 0 аламыз, қайдан .

Сонымен, нүктелер парабола мен түзудің қиылысу нүктелері болып табылады (1-сурет).

3-сурет y = 8 + 2x – x 2 және y = 2x – 4 функцияларының графиктері

y = 2x – 4 түзуін салайық. Ол координаталық осьтердегі (0;-4), (2;0) нүктелері арқылы өтеді.

Парабола құру үшін оның 0x осімен қиылысу нүктелерін, яғни 8 + 2x – x 2 = 0 немесе x 2 – 2x – 8 = 0 теңдеуінің түбірлерін де пайдалануға болады. Виет теоремасын қолдану оңай. оның түбірлерін табу үшін: x 1 = 2, x 2 = 4.

3-суретте осы сызықтармен шектелген фигура (М 1 N M 2 параболалық кесінді) көрсетілген.

Есептің екінші бөлігі - бұл фигураның ауданын табу. Оның ауданын формула бойынша анықталған интегралдың көмегімен табуға болады .

Осы шартқа байланысты интегралды аламыз:

2 Айналу денесінің көлемін есептеу

y = f(x) қисығының O x осінің айналасында айналуынан алынған дененің көлемі мына формуламен есептеледі:

O y осінің айналасында айналу кезінде формула келесідей болады:

№4 тапсырма. O x осінің айналасында x = 0 x = 3 түзулерімен және у = қисығымен шектелген қисық трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін анықтаңыз.

Шешім.Сурет салайық (4-сурет).

Сурет 4. y = функциясының графигі

Қажетті көлем

№5 тапсырма. y = x 2 қисығымен және y = 0 және y = 4 түзу сызықтарымен O y осінің айналасында шектелген қисық трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін есептеңдер.

Шешім.Бізде бар:

Қайталау сұрақтары

Бұл мақалада сіз интегралдық есептеулер арқылы сызықтармен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болатынын білесіз. Мұндай есепті шығаруды біз бірінші рет орта мектепте, анықталған интегралдарды зерттеуді енді ғана аяқтаған кезде және тәжірибеде алынған білімді геометриялық түсіндіруге кірісетін кез келген кезде кездестіреміз.

Сонымен, интегралдар көмегімен фигураның ауданын табу мәселесін сәтті шешу үшін не қажет:

• Сауатты сызбаларды жасай білу;
• Белгілі Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды шеше білу;
• Неғұрлым тиімді шешім нұсқасын «көру» мүмкіндігі - яғни. бір немесе басқа жағдайда интеграцияны жүзеге асыру қаншалықты ыңғайлы болатынын түсінесіз бе? x осі (OX) немесе y осі (OY) бойымен?
• Дұрыс есептеулер болмаса, біз қайда болар едік?) Бұл интегралдардың басқа түрін қалай шешу керектігін түсінуді және сандық есептеулерді түзетуді қамтиды.

Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеу есебін шешу алгоритмі:

1. Біз сурет саламыз. Мұны дойбы қағазда, үлкен масштабта жасаған жөн. Бұл функцияның атауына біз әр графиктің үстіне қарындашпен қол қоямыз. Графиктерге қол қою кейінгі есептеулерге ыңғайлы болу үшін ғана жасалады. Қажетті фигураның графигін алғаннан кейін, көп жағдайда интеграцияның қандай шектері қолданылатыны бірден белгілі болады. Осылайша, біз мәселені графикалық түрде шешеміз. Дегенмен, шектеулердің мәндері бөлшек немесе иррационалды болып табылады. Сондықтан, сіз қосымша есептеулер жасай аласыз, екінші қадамға өтіңіз.

2. Егер интеграцияның шектері нақты көрсетілмесе, онда біз графиктердің бір-бірімен қиылысу нүктелерін табамыз және біздің графикалық шешіміміздің аналитикалық шешіммен сәйкес келетінін көреміз.

3. Әрі қарай, сіз сызбаны талдауыңыз керек. Функция графиктерінің орналасуына байланысты фигураның ауданын табудың әртүрлі тәсілдері бар. Интегралдар көмегімен фигураның ауданын табудың әртүрлі мысалдарын қарастырайық.

3.1. Мәселенің ең классикалық және қарапайым нұсқасы - қисық трапецияның ауданын табу керек кезде. Қисық трапеция дегеніміз не? Бұл x осімен шектелген жалпақ фигура (y = 0), түзу x = a, x = bжәне аралығы бойынша үздіксіз кез келген қисық адейін б. Оның үстіне бұл көрсеткіш теріс емес және х осінен төмен емес. Бұл жағдайда қисық сызықты трапеция ауданы Ньютон-Лейбниц формуласымен есептелетін белгілі бір интегралға сандық түрде тең:

1-мысал y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Фигура қандай сызықтармен шектелген? Бізде парабола бар y = x2 – 3x + 3, ол осьтің үстінде орналасқан OH, ол теріс емес, өйткені осы параболаның барлық нүктелерінің оң мәндері бар. Әрі қарай түзу сызықтар берілген x = 1Және x = 3, олар оське параллель өтеді Оп-ампер, сол және оң жақтағы фигураның шекаралық сызықтары. Жақсы y = 0, ол сондай-ақ төменнен фигураны шектейтін x осі. Алынған фигура көлеңкеленген, оны сол жақтағы суреттен көруге болады. Бұл жағдайда сіз дереу мәселені шешуге кірісе аласыз. Біздің алдымызда қисық трапецияның қарапайым мысалы бар, оны әрі қарай Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы шешеміз.

3.2. Алдыңғы 3.1-тармақта біз қисық трапеция х осінен жоғары орналасқан жағдайды қарастырдық. Енді функцияның х осінің астында жатқанын қоспағанда, есептің шарттары бірдей болатын жағдайды қарастырыңыз. Стандартты Ньютон-Лейбниц формуласына минус қосылады. Төменде мұндай мәселені қалай шешуге болатынын қарастырамыз.

2-мысал . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Бұл мысалда бізде парабола бар у = x2 + 6x + 2, ол осьтен басталады OH, түзу x = -4, x = -1, y = 0. Мұнда y = 0жоғарыдан қажетті фигураны шектейді. Тікелей x = -4Және x = -1бұл анықталған интеграл есептелетін шекаралар. Фигураның ауданын табу мәселесін шешу принципі №1 мысалмен толық дерлік сәйкес келеді. Жалғыз айырмашылық мынада, берілген функция оң емес, сонымен қатар интервалда үздіксіз болады. [-4; -1] . Позитивті емес дегеніңіз не? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көруіміз және есте сақтауымыз керек. Біз фигураның ауданын Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы іздейміз, тек басында минус белгісі бар.

Мақала аяқталмаған.

Шын мәнінде, фигураның ауданын табу үшін белгісіз және анықталған интеграл туралы соншалықты көп білім қажет емес. «Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу» тапсырмасы әрқашан сызбаны салуды қамтиды, сондықтан сіздің біліміңіз бен сурет салу дағдыларыңыз әлдеқайда өзекті мәселе болады. Осыған байланысты негізгі элементар функциялардың графиктері туралы жадты жаңарту және ең аз дегенде түзу мен гиперболаны құра білу пайдалы.

Қисық трапеция деп осьпен, түзу сызықтармен және осы аралықта таңбасын өзгертпейтін кесіндідегі үздіксіз функцияның графигімен шектелген жазық фигура аталады. Бұл фигура орналассын төмен емес x осі:

Содан кейін қисық сызықты трапеция ауданы белгілі бір интегралға сандық түрде тең. Кез келген белгілі бір интеграл (бар) өте жақсы геометриялық мағынаға ие.

Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл AREA болып табылады.

Яғни,белгілі бір интеграл (егер ол бар болса) белгілі бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Мысалы, анықталған интегралды қарастырайық. Интеграл осьтің үстінде орналасқан жазықтықта қисық сызықты анықтайды (қалағандар сызба жасай алады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына сандық түрде тең.

1-мысал

Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімнің бірінші және ең маңызды нүктесі - сызбаның құрылысы. Сонымен қатар, сызбаны салу керек ДҰРЫС.

Сызбаны салу кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: басындабарлық түзу сызықтарды (егер олар бар болса) және тек қана салған дұрыс Содан кейін- парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Функциялардың графиктерін құру тиімдірек нүкте бойынша.

Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.
Сызбаны салайық (теңдеу осьті анықтайтынын ескеріңіз):

кесіндісінде функцияның графигі орналасқан осьтің үстінде, Сондықтан:

Жауап:

Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың нақты екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 болады, бұл дұрыс сияқты. Егер біз жауап алсақ, айталық: 20 шаршы бірлік, онда бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Жауап теріс болса, тапсырма да қате шешілген.

3-мысал

Түзулермен және координат осьтерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешім: Сурет салайық:

Егер қисық трапеция орналасса осьтің астында(немесе кем дегенде жоғары емесберілген ось), онда оның ауданын мына формула арқылы табуға болады:

Бұл жағдайда:

Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастыруға болмайды:

1) Ешқандай геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.

2) Егер сізге белгілі интеграл көмегімен фигураның ауданын табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус жаңа талқыланған формулада пайда болады.

Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз неғұрлым мағыналы мысалдарға көшеміз.

4-мысал

, түзулерімен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.

Шешім: Алдымен сызбаны аяқтау керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салғанда, бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:

Бұл интеграцияның төменгі шегі - интеграцияның жоғарғы шегі - дегенді білдіреді.

Мүмкін болса, бұл әдісті қолданбаған дұрыс..

Сызықтарды нүкте бойынша салу әлдеқайда тиімді және жылдамырақ, ал интеграцияның шекаралары «өздігінен» анық болады. Осыған қарамастан, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе егжей-тегжейлі конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационалды болуы мүмкін). Сондай-ақ біз мұндай мысалды қарастырамыз.

Тапсырмамызға оралайық: алдымен түзу, содан кейін ғана парабола салу ұтымдырақ. Сызбаны жасайық:

Ал енді жұмыс формуласы: сегментте үздіксіз функция болса артық немесе теңүзіліссіз функция болса, онда осы функциялардың графиктерімен және , сызықтарымен шектелген фигураның ауданын мына формула арқылы табуға болады:

Мұнда фигураның қай жерде орналасқаны туралы ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, және шамамен айтқанда, қай графтың ЖОҒАРЫ екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕН.

Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.

Аяқталған шешім келесідей болуы мүмкін:

Қажетті фигура жоғарыдағы параболамен және астындағы түзумен шектелген.
Сәйкес формула бойынша сегментте:

Жауап:

4-мысал

, , , сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңдер.

Шешім: Алдымен сурет салайық:

Ауданын табуымыз керек фигура көк түсті(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде, назар аудармау салдарынан жасыл түспен боялған фигураның ауданын табу керек болатын «ақау» жиі кездеседі!

Бұл мысал екі анықталған интегралды пайдаланып фигураның ауданын есептейтіндіктен де пайдалы.

Шынымен:

1) Ось үстіндегі кесіндіде түзудің графигі бар;

2) Ось үстіндегі кесіндіде гиперболаның графигі бар.

Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан: