Дұрыс пирамиданың жиегінің биіктігі. Тұрақты пирамиданың негізгі қасиеттері

Анықтама

Пирамидаортақ төбесі \(P\) (көпбұрыш жазықтығында жатпайтын) және оған қарама-қарсы қабырғалары бар \(A_1A_2...A_n\) және \(n\) үшбұрыштарынан құралған көпбұрыш болып табылады. көпбұрыштың қабырғалары.
Белгі: \(PA_1A_2...A_n\) .
Мысал: бесбұрышты пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Үшбұрыштар \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), т.б. деп аталады бүйір беттерпирамидалар, сегменттер \(PA_1, PA_2\), т.б. – бүйір қабырғалары, көпбұрыш \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – негізі, нүктесі \(P\) – жоғарғы.

Биіктігіпирамидалар - пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына түсетін перпендикуляр.

Табанында үшбұрыш бар пирамида деп аталады тетраэдр.

пирамида деп аталады дұрыс, егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және келесі шарттардың бірі орындалса:

\((а)\) пирамиданың бүйір шеттері тең;

\((b)\) пирамиданың биіктігі табанының жанында сызылған шеңбердің центрі арқылы өтеді;

\((c)\) бүйір қабырғалары негіз жазықтығына бірдей бұрышпен еңкейген.

\((d)\) бүйір беттері негіз жазықтығына бірдей бұрышпен еңкейген.

Тұрақты тетраэдрүшбұрышты пирамида, оның барлық беттері бірдей теңбүйірлі үшбұрыштар.

Теорема

\((a), (b), (c), (d)\) шарттары эквивалентті.

Дәлелдеу

Пирамиданың биіктігін табайық \(PH\) . \(\альфа\) пирамида табанының жазықтығы болсын.

1) \((a)\) дан \((b)\) шығатынын дәлелдеп көрейік. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) болсын.

Өйткені \(PH\perp \alpha\), онда \(PH\) осы жазықтықта жатқан кез келген түзуге перпендикуляр, яғни үшбұрыштар тік бұрышты болады. Бұл бұл үшбұрыштардың ортақ катеттері \(PH\) және гипотенузада \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тең екенін білдіреді. Бұл \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) дегенді білдіреді. Бұл \(A_1, A_2, ..., A_n\) нүктелері \(H\) нүктесінен бірдей қашықтықта екенін білдіреді, сондықтан олар \(A_1H\) радиусы бар бір шеңберде жатыр. Бұл шеңбер анықтамасы бойынша \(A_1A_2...A_n\) көпбұрышының айналасында шектелген.

2) \((b)\) \((c)\) дегенді білдіретінін дәлелдейік.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тікбұрышты және екі аяғына тең. Бұл олардың бұрыштары да тең екенін білдіреді, сондықтан \(\бұрыш PA_1H=\бұрыш PA_2H=...=\бұрыш PA_nH\).

3) \((c)\) \((a)\) дегенді білдіретінін дәлелдейік.

Бірінші нүктеге ұқсас, үшбұрыштар \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)аяғы бойымен де, сүйір бұрышы да тікбұрышты. Бұл олардың гипотенузалары да тең екенін білдіреді, яғни \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) \((b)\) \((d)\) білдіретінін дәлелдейік.

Өйткені дұрыс көпбұрышта сызылған және іштей сызылған шеңберлердің центрлері сәйкес келеді (жалпы айтқанда, бұл нүкте дұрыс көпбұрыштың центрі деп аталады), онда \(H\) іштей сызылған шеңбердің центрі болады. \(Н\) нүктесінен табанның қабырғаларына перпендикуляр жүргізейік: \(HK_1, HK_2\), т.б. Бұл сызылған шеңбердің радиустары (анықтама бойынша). Сонда TTP бойынша (\(PH\) жазықтыққа перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) және т.б. жақтарына перпендикуляр проекциялар) көлбеу \(PK_1, PK_2\) т.б. жақтарына перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\), т.б. тиісінше. Сонымен, анықтама бойынша \(\бұрыш PK_1H, \бұрыш PK_2H\)бүйірлік беттер мен негіз арасындағы бұрыштарға тең. Өйткені \(PK_1H, PK_2H, ...\) үшбұрыштары тең (екі жағы тікбұрышты), онда бұрыштар \(\бұрыш PK_1H, \бұрыш PK_2H, ...\)тең.

5) \((d)\) \((b)\) білдіретінін дәлелдейік.

Төртінші нүктеге ұқсас, \(PK_1H, PK_2H, ...\) үшбұрыштары тең (катет бойымен тікбұрышты және сүйір бұрыш сияқты), яғни \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) сегменттері тең. Бұл анықтама бойынша \(H\) негізге сызылған шеңбердің центрі екенін білдіреді. Бірақ өйткені Тұрақты көпбұрыштар үшін іштей сызылған және шектелген шеңберлердің центрі сәйкес келеді, онда \(Н\) шектелген шеңбердің центрі болады. Chtd.

Салдары

Дұрыс пирамиданың бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар.

Анықтама

Дұрыс пирамиданың төбесінен сызылған бүйір бетінің биіктігі деп аталады апотема.
Дұрыс пирамиданың барлық бүйір беттерінің апотемасы бір-біріне тең, сонымен қатар медиана мен биссектриса болып табылады.

Маңызды ескертпелер

1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі табанының биіктіктерінің (немесе биссектрисаларының, немесе медианаларының) қиылысу нүктесіне түседі (табан – дұрыс үшбұрыш).

2. Тұрақты төртбұрышты пирамиданың биіктігі табанының диагональдарының қиылысу нүктесіне түседі (табан - шаршы).

3. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың биіктігі табанының диагональдарының қиылысу нүктесіне түседі (негізі дұрыс алтыбұрыш).

4. Пирамиданың биіктігі табанында жатқан кез келген түзуге перпендикуляр.

Анықтама

пирамида деп аталады тікбұрышты, егер оның бүйір қырларының бірі табан жазықтығына перпендикуляр болса.

Маңызды ескертпелер

1. Тік бұрышты пирамиданың табанына перпендикуляр жиегі пирамиданың биіктігіне тең. Яғни, \(SR\) - биіктік.

2. Себебі \(SR\) табанынан кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– тікбұрышты үшбұрыштар.

3. Үшбұрыштар \(\үшбұрыш SRN, \үшбұрыш SRK\)- сонымен қатар төртбұрышты.
Яғни, осы жиектен тұратын кез келген үшбұрыш және осы жиектің табанында жатқан төбесінен шығатын диагональ тікбұрышты болады.

\[(\Үлкен(\мәтін(Пирамиданың көлемі мен бетінің ауданы)))\]

Теорема

Пирамиданың көлемі табанының ауданы мен пирамида биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең: \

Салдары

\(a\) табан жағы, \(h\) пирамида биіктігі болсын.

1. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың көлемі тең \(V_(\мәтін(тікбұрышты үшбұрыш.пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемі тең \(V_(\text(оң.төрт.пир.))=\dfrac13a^2h\).

3. Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың көлемі тең \(V_(\мәтін(оң.алты пир.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Дұрыс тетраэдрдің көлемі тең \(V_(\мәтін(оң жақ тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы табан мен апотеманың периметрінің жарты көбейтіндісіне тең.

\[(\Үлкен(\мәтін(Frustum)))\]

Анықтама

Ерікті пирамиданы қарастырайық \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамиданың бүйір жиегінде жатқан белгілі бір нүкте арқылы пирамида табанына параллель жазықтық жүргізейік. Бұл жазықтық пирамиданы екі көп қырлыға бөледі, олардың бірі пирамида (\(PB_1B_2...B_n\)), ал екіншісі деп аталады. кесілген пирамида(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Қиық пирамиданың екі негізі бар - көпбұрыштар \(A_1A_2...A_n\) және \(B_1B_2...B_n\) бір-біріне ұқсас.

Қиық пирамиданың биіктігі деп жоғарғы табанның қандай да бір нүктесінен төменгі табан жазықтығына жүргізілген перпендикулярды айтады.

Маңызды ескертпелер

1. Қиық пирамиданың барлық бүйір беттері трапеция.

2. Дұрыс қиық пирамиданың (яғни дұрыс пирамиданың көлденең қимасы арқылы алынған пирамида) табандарының центрлерін қосатын кесінді - биіктік.

Гипотеза:пирамида пішінінің жетілдірілуі оның пішініне тән математикалық заңдарға байланысты деп есептейміз.

Мақсат:Пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттей отырып, оның пішінінің жетілгендігін түсіндіріңіз.

Тапсырмалар:

1. Пирамиданың математикалық анықтамасын беріңіз.

2. Пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттеңіз.

3. Мысырлықтар өздерінің пирамидаларына қандай математикалық білімді енгізгенін түсініңіз.

Жеке сұрақтар:

1. Геометриялық дене ретінде пирамида дегеніміз не?

2. Пирамиданың ерекше пішінін математикалық тұрғыдан қалай түсіндіруге болады?

3. Пирамиданың геометриялық ғажайыптары немен түсіндіріледі?

4. Пирамида пішінінің жетілгендігі немен түсіндіріледі?

Пирамиданың анықтамасы.

ПИРАМИДА (грек тілінен pyramis, gen. pyramidos) - негізі көпбұрыш, ал қалған беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштар (сызу) болып табылатын көпбұрыш. Негізгі бұрыштардың санына байланысты пирамидалар үшбұрышты, төртбұрышты және т.б.

ПИРАМИДА - пирамиданың геометриялық пішіні бар монументалды құрылым (кейде сатылы немесе мұнара тәрізді). Пирамидалар — біздің эрамызға дейінгі 3-2 мыңжылдықтағы ежелгі Египет перғауындарының алып бейіттеріне берілген атау. д., сондай-ақ космологиялық культтермен байланысты ежелгі американдық храмдар тұғырлары (Мексика, Гватемала, Гондурас, Перу).

Гректің «пирамида» сөзі мысыр тіліндегі per-em-us сөзінен, яғни пирамиданың биіктігін білдіретін терминнен шыққан болуы мүмкін. Көрнекті орыс египеттанушы В.Струве гректің «пурам...ж» көне мысырлық «p»-mr» сөзінен шыққан деп есептеді.

Тарихтан. Атанасян авторларының «Геометрия» оқулығындағы материалды зерделеу. Бутузов және т.б., біз білдік: n-бұрышты A1A2A3 ... An және n PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 үшбұрыштарынан тұратын көпбұрышты пирамида деп атайды. A1A2A3 көпбұрышы...An – пирамиданың табаны, ал PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 үшбұрыштары – пирамиданың бүйір беттері, P – пирамиданың төбесі, PA1, PA2,..., PAn кесінділері бүйірлік жиектер болып табылады.

Алайда пирамиданың бұл анықтамасы әрқашан бола бермейді. Мысалы, ежелгі грек математигі, математика бойынша бізге дейін жеткен теориялық трактаттардың авторы Евклид пирамиданы бір жазықтықтан бір нүктеге жақындайтын жазықтықтармен шектелген тұтас фигура деп анықтайды.

Бірақ бұл анықтама ежелгі дәуірде сынға алынған. Сондықтан Герон пирамиданың келесі анықтамасын ұсынды: «Бұл бір нүктеде жиналатын және табаны көпбұрыш болатын үшбұрыштармен шектелген фигура».

Біздің топ осы анықтамаларды салыстыра отырып, оларда «іргетас» ұғымының нақты тұжырымы жоқ деген қорытындыға келді.

Біз бұл анықтамаларды зерттеп, Адриен Мари Леджендрдің анықтамасын таптық, ол 1794 жылы өзінің «Геометрия элементтері» атты еңбегінде пирамидаға келесідей анықтама береді: «Пирамида – бір нүктеде жақындасып, үшбұрыштардың әртүрлі жақтарында аяқталатын қатты фигура. тегіс негіз».

Бізге соңғы анықтама пирамида туралы нақты түсінік беретін сияқты, өйткені ол негіздің тегіс екендігі туралы айтады. Пирамиданың тағы бір анықтамасы 19 ғасырдағы оқулықта пайда болды: «пирамида — жазықтықпен қиылысатын қатты бұрыш».

Пирамида геометриялық дене ретінде.

Бұл. Пирамида – көп қырлы, оның бір беті (негізі) көпбұрыш, қалған беттері (жүйірлері) бір ортақ төбесі (пирамиданың төбесі) бар үшбұрыштар.

Пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр деп аталады биіктігіhпирамидалар.

Еркін пирамидадан басқа, бар дұрыс пирамидаоның негізінде дұрыс көпбұрыш және кесілген пирамида.

Суретте PABCD пирамидасы, ABCD – табаны, PO – биіктігі.

Жалпы бетінің ауданы пирамида - оның барлық беттерінің аудандарының қосындысы.

Sfull = Sside + Smain,Қайда Бүйір– бүйір беттерінің аудандарының қосындысы.

Пирамиданың көлемі формула бойынша табылады:

V=1/3Sbas. h, мұнда Sbas. - базалық аудан, h- биіктік.

Тұрақты пирамиданың осі - оның биіктігін қамтитын түзу.
Апотем ST – қалыпты пирамиданың бүйір бетінің биіктігі.

Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесі түрде өрнектеледі: Sside. =1/2P h, мұндағы P – табанның периметрі, h- бүйір бетінің биіктігі (қалыпты пирамиданың апотемасы). Егер пирамида табанына параллель A’B’C’D’ жазықтығымен қиылса, онда:

1) бүйір қабырғалары мен биіктігі осы жазықтықпен пропорционал бөліктерге бөлінеді;

2) көлденең қимада табанына ұқсас A’B’C’D’ көпбұрышы алынады;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ені="287" биіктігі="151">

Қиық пирамиданың негіздері– ұқсас көпбұрыштар ABCD және A`B`C`D`, бүйір беттері трапеция.

Биіктігікесілген пирамида - негіздердің арасындағы қашықтық.

Қысқартылған көлемпирамида мына формула бойынша табылады:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Тұрақты кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесідей өрнектеледі: Sside = ½(P+P'). h, мұндағы P және P’ – негіздердің периметрлері, h- бүйір бетінің биіктігі (кәдімгі кесілген пирамидің апотемасы

Пирамиданың бөліктері.

Пирамиданың төбесінен өтетін жазықтықтар кесінділері үшбұрыштар болып табылады.

Пирамиданың көршілес емес екі бүйір шетінен өтетін қима деп аталады диагональды кесінді.

Егер қима табанның бүйір жиегі мен бүйір жағындағы нүкте арқылы өтсе, онда оның пирамида табанының жазықтығына ізі осы жағы болады.

Пирамиданың бетінде жатқан нүкте арқылы өтетін кесінді және негіз жазықтығында берілген кесінді ізі, содан кейін салуды келесідей орындау керек:

· берілген беттің жазықтығының қиылысу нүктесін және пирамида қимасының ізін табу және оны белгілеу;

· берілген нүктеден және нәтижесінде қиылысу нүктесінен өтетін түзу салу;

· келесі беттер үшін осы қадамдарды қайталаңыз.

, бұл тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің қатынасына 4:3 сәйкес келеді. Аяқтардың бұл қатынасы қабырғалары 3:4:5 болатын белгілі тікбұрышты үшбұрышқа сәйкес келеді, оны «мінсіз», «қасиетті» немесе «египеттік» үшбұрыш деп атайды. Тарихшылардың пікірінше, «Мысыр» үшбұрышына сиқырлы мағына берілген. Плутарх мысырлықтар ғаламның табиғатын «қасиетті» үшбұрышқа теңеді деп жазды; олар символдық түрде тік аяқты күйеуіне, негізін әйеліне, ал гипотенузаны екеуінен туатынға теңеді.

3:4:5 үшбұрышы үшін теңдік ақиқат: 32 + 42 = 52, ол Пифагор теоремасын өрнектейді. Мысырлық діни қызметкерлер 3:4:5 үшбұрышына негізделген пирамида тұрғызу арқылы осы теореманы мәңгілікке қалдырғысы келмеді ме? Мысырлықтарға Пифагор ашқанға дейін көп уақыт бұрын белгілі болған Пифагор теоремасын суреттейтін бұдан да сәтті мысал табу қиын.

Осылайша, Египет пирамидаларының тамаша жасаушылары алыстағы ұрпақтарды өздерінің білімдерінің тереңдігімен таң қалдыруға тырысты және олар бұған Хеопс пирамидасы үшін «негізгі геометриялық идея» және «қасиетті» «алтын» тікбұрышты үшбұрышты таңдау арқылы қол жеткізді. немесе Хафр пирамидасы үшін «Египеттік».

Ғалымдар өз зерттеулерінде «Алтын қатынас» пропорциялары бар пирамидалардың қасиеттерін жиі пайдаланады.

Математикалық энциклопедиялық сөздікте Алтын бөлімнің келесі анықтамасы берілген - бұл гармоникалық бөлу, экстремалды және орташа қатынаста бөлу - AB сегментін оның үлкен бөлігі AC бүкіл сегмент арасындағы орташа пропорционал болатындай етіп екі бөлікке бөлу. AB және оның кіші бөлігі NE.

Сегменттің алтын қимасын алгебралық анықтау AB = a a: x = x: (a – x) теңдеуін шешуге келтіреді, одан x шамамен 0,62a тең. x қатынасын 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 бөлшек түрінде көрсетуге болады, мұндағы 2, 3, 5, 8, 13, 21 Фибоначчи сандары.

АВ кесіндісінің Алтын қимасының геометриялық құрылысы келесідей жүзеге асырылады: В нүктесінде АВ-ға перпендикуляр қалпына келтірілді, оған BE = 1/2 АВ кесіндісі салынады, А және Е қосылған, DE = BE қысқартылады және ең соңында AC = AD, содан кейін АВ теңдігі орындалады: CB = 2:3.

Алтын қатынас өнер, сәулет өнерінде жиі қолданылады және табиғатта кездеседі. Жарқын мысалдар - Аполлон Бельведер мен Парфенон мүсіні. Парфенонды салу кезінде ғимарат биіктігі мен оның ұзындығына қатынасы қолданылды және бұл қатынас 0,618 құрайды. Айналамыздағы нысандар да «Алтын қатынас» мысалдарын береді, мысалы, көптеген кітаптардың ілгектері 0,618-ге жақын ені-ұзындық қатынасына ие. Өсімдіктердің жалпы сабағында жапырақтардың орналасуын ескере отырып, әрбір екі жұп жапырақтардың арасында үшіншісі Алтын қатынаста орналасқанын байқауға болады (слайд). Әрқайсымыз «Алтын қатынасты» «қолымызда» алып жүреміз - бұл саусақтардың фалангтарының қатынасы.

Бірнеше математикалық папирустардың ашылуының арқасында египеттанушылар ежелгі Египеттің есептеу және өлшеу жүйелері туралы бірдеңе білді. Олардағы міндеттерді хатшылар шешті. Ең танымалдарының бірі - Ринд математикалық папирусы. Осы мәселелерді зерттей отырып, египетологтар ежелгі египеттіктердің салмақ, ұзындық және көлем өлшемдерін есептеу кезінде пайда болатын әртүрлі шамаларды қалай шешетінін, олар жиі бөлшектерді қамтитынын, сондай-ақ олардың бұрыштарды қалай өңдейтінін білді.

Ежелгі мысырлықтар тікбұрышты үшбұрыштың биіктігінің табанына қатынасына негізделген бұрыштарды есептеу әдісін қолданған. Олар кез келген бұрышты градиент тілінде білдірді. Көлбеу градиенті «секед» деп аталатын бүтін сан қатынасы ретінде көрсетілді. Ричард Пиллинз «Перғауындар дәуіріндегі математика» кітабында былай деп түсіндіреді: «Тұрақты пирамиданың секеті - бұл тік көтерілудің бірлігіне көлденең бірліктердің n-ші санымен өлшенетін төрт үшбұрышты беттердің кез келгенінің негіз жазықтығына бейімділігі. . Осылайша, бұл өлшем бірлігі біздің көлбеу бұрышының қазіргі котангенсіне баламалы. Демек, мысырлық «секед» сөзі біздің қазіргі «градиент» деген сөзбен байланысты.

Пирамидалардың сандық кілті олардың биіктігінің негізге қатынасында жатыр. Практикалық тұрғыдан алғанда, бұл пирамиданың құрылысы кезінде дұрыс көлбеу бұрышын үнемі тексеру үшін қажетті шаблондарды жасаудың ең оңай жолы.

Египтологтар бізді әр перғауын өзінің жеке даралығын білдіргісі келетініне, сондықтан әр пирамиданың бейімділік бұрыштарындағы айырмашылықтарға сендіруге қуанышты болар еді. Бірақ басқа себеп болуы мүмкін. Мүмкін, олардың барлығы әртүрлі пропорцияларда жасырылған әртүрлі символдық бірлестіктерді іске асырғысы келді. Дегенмен, Хафр пирамидасының бұрышы (үшбұрышқа негізделген (3:4:5) Ринд математикалық папирусында пирамидалар ұсынған үш есепте пайда болады). Сондықтан бұл көзқарас ежелгі мысырлықтарға жақсы белгілі болды.

Ежелгі мысырлықтар 3:4:5 үшбұрышын білмеген деп мәлімдеген египеттанушыларға әділ болу үшін гипотенузаның ұзындығы 5 ешқашан айтылмаған. Бірақ пирамидаларға қатысты математикалық есептер әрқашан седа бұрышы - биіктіктің негізге қатынасы негізінде шешіледі. Гипотенузаның ұзындығы ешқашан айтылмағандықтан, мысырлықтар үшінші жақтың ұзындығын ешқашан есептемеген деген қорытындыға келді.

Гиза пирамидаларында қолданылған биіктік пен негіздің арақатынасы көне мысырлықтарға белгілі болғаны сөзсіз. Әрбір пирамида үшін бұл қатынастар ерікті түрде таңдалған болуы мүмкін. Дегенмен, бұл Египет бейнелеу өнерінің барлық түрлерінде сандық символизмге берілген мәнге қайшы келеді. Мұндай қарым-қатынастар нақты діни идеяларды білдіретіндіктен маңызды болған болуы әбден мүмкін. Басқаша айтқанда, бүкіл Гиза кешені белгілі бір илаһи тақырыпты көрсетуге арналған үйлесімді дизайнға бағынды. Бұл дизайнерлердің үш пирамида үшін неліктен әртүрлі бұрыштарды таңдағанын түсіндіреді.

«Орион құпиясында» Баувал мен Гилберт Гиза пирамидаларын Орион шоқжұлдызымен, әсіресе Орион белдеуінің жұлдыздарымен байланыстыратын бұлтартпас дәлелдер келтірді. Дәл осындай шоқжұлдыз Исис пен Осирис туралы мифте бар және әрбір пирамиданы бір пирамида ретінде қарастыруға негіз бар. үш негізгі құдайлардың бірі - Осирис, Исис және Хорустың бейнесі.

«ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ» КЕРЕМЕТТЕР.

Египеттің зәулім пирамидаларының ішінде ол ерекше орын алады Перғауын Хеопстың ұлы пирамидасы (Хуфу). Хеопс пирамидасының пішіні мен өлшемін талдауды бастамас бұрын, мысырлықтар қандай өлшемдер жүйесін қолданғанын есте ұстаған жөн. Египеттіктерде ұзындықтың үш бірлігі болды: «шынтақ» (466 мм), ол жеті «алақанға» (66,5 мм), ол өз кезегінде төрт «саусаққа» (16,6 мм) тең болды.

Украин ғалымы Николай Васютинскийдің «Алтын пропорция» (1990) тамаша кітабында келтірілген дәлелдерге сүйене отырып, Хеопс пирамидасының өлшемдерін талдап көрейік (2-сурет).

Көптеген зерттеушілер пирамида табанының бүйірінің ұзындығын, мысалы, Г.Фтең Л= 233,16 м Бұл мән 500 «шынтаққа» сәйкес келеді. 500 «шынтақпен» толық сәйкестік, егер «шынтақ» ұзындығы 0,4663 м тең деп есептелсе, орын алады.

Пирамиданың биіктігі ( Х) зерттеушілер 146,6-дан 148,2 м-ге дейін әртүрлі бағаланады және пирамиданың қабылданған биіктігіне байланысты оның геометриялық элементтерінің барлық байланыстары өзгереді. Пирамиданың биіктігін бағалаудағы айырмашылықтардың себебі неде? Шын мәнінде, Хеопс пирамидасы кесілген. Оның жоғарғы платформасы бүгінде шамамен 10 ´ 10 м, бірақ бір ғасыр бұрын ол 6 ´ 6 м болғаны анық, пирамиданың төбесі бөлшектелген және ол бастапқыға сәйкес келмейді.

Пирамиданың биіктігін бағалау кезінде құрылымның «жобасы» сияқты физикалық факторды ескеру қажет. Ұзақ уақыт ішінде орасан зор қысымның әсерінен (төменгі бетінің 1 м2 үшін 500 тоннаға жетеді) пирамиданың биіктігі оның бастапқы биіктігімен салыстырғанда төмендеді.

Пирамиданың бастапқы биіктігі қандай болды? Бұл биіктікті пирамиданың негізгі «геометриялық идеясын» табу арқылы қайта жасауға болады.

2-сурет.

1837 жылы ағылшын полковнигі Г.Уайз пирамида беттерінің көлбеу бұрышын өлшеген: ол тең болып шықты. а= 51°51". Бұл мәнді бүгінгі күнге дейін көптеген зерттеушілер мойындайды. Көрсетілген бұрыш мәні жанамаға (тг) сәйкес келеді. а), 1,27306-ға тең. Бұл мән пирамида биіктігінің қатынасына сәйкес келеді ACнегізінің жартысына дейін C.B.(Cурет 2), яғни А.С. / C.B. = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.

Бұл жерде зерттеушілерді үлкен тосынсый күтіп тұр!.png" width="25" height="24">= 1,272. Бұл мәнді tg мәнімен салыстыру а= 1.27306, біз бұл мәндердің бір-біріне өте жақын екенін көреміз. Егер бұрышты алсақ а= 51°50", яғни оны тек бір доғалық минутқа, содан кейін мәнге азайтыңыз а 1,272-ге тең болады, яғни мәнмен сәйкес келеді. Айта кету керек, 1840 жылы Г.Уайз өзінің өлшемдерін қайталап, бұрыштың мәнін нақтылаған. а=51°50".

Бұл өлшемдер зерттеушілерді келесі өте қызықты гипотезаға әкелді: Хеопс пирамидасының ACB үшбұрышы АС қатынасына негізделген / C.B. = = 1,272!

Енді тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық ABC, онда аяқтардың қатынасы А.С. / C.B.= (2-сурет). Енді тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса ABCарқылы белгілеу x, ж, z, сонымен қатар қатынас екенін ескеріңіз ж/x= , онда Пифагор теоремасына сәйкес ұзындық zформула бойынша есептеуге болады:

Қабылдасақ x = 1, ж= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ені="143" биіктігі="27">

3-сурет.«Алтын» тікбұрышты үшбұрыш.

Қабырғалары бір-бірімен байланысқан тікбұрышты үшбұрыш т:алтын» тікбұрышты үшбұрыш.

Сонда, егер біз Хеопс пирамидасының негізгі «геометриялық идеясы» «алтын» тікбұрышты үшбұрыш деген гипотезаны негізге алсақ, онда осы жерден Хеопс пирамидасының «жобалық» биіктігін оңай есептей аламыз. Ол мынаған тең:

H = (L/2) ´ = 148,28 м.

Енді Хеопс пирамидасы үшін «алтын» гипотезадан туындайтын басқа қатынастарды шығарайық. Атап айтқанда, пирамиданың сыртқы ауданының оның табанының ауданына қатынасын табамыз. Мұны істеу үшін біз аяқтың ұзындығын аламыз C.B.бірлікке, яғни: C.B.= 1. Бірақ содан кейін пирамида табанының бүйірінің ұзындығы Г.Ф= 2, және базаның ауданы EFGHтең болады SEFGH = 4.

Енді Хеопс пирамидасының бүйір бетінің ауданын есептейік SD. Өйткені биіктік ABүшбұрыш АЭФтең т, содан кейін бүйір бетінің ауданы тең болады SD = т. Сонда пирамиданың барлық төрт бүйір беттерінің жалпы ауданы 4-ке тең болады т, ал пирамиданың жалпы сыртқы ауданының негіз ауданына қатынасы алтын қатынасқа тең болады! Бұл - Хеопс пирамидасының негізгі геометриялық құпиясы!

Хеопс пирамидасының «геометриялық ғажайыптар» тобына пирамидадағы әртүрлі өлшемдер арасындағы байланыстардың нақты және алыс сипаттағы қасиеттері кіреді.

Әдетте, олар белгілі бір «тұрақтыларды», атап айтқанда, 3,14159... тең «pi» санын (Людольфо саны) іздеуде алынады; натурал логарифмдердің негізі «е» (Неперово саны), 2,71828... тең; «F» саны, «алтын қима» нөмірі, мысалы, 0,618... және т.б.

Атауға болады, мысалы: 1) Геродоттың мүлкі: (Биіктігі)2 = 0,5 өнер. негізгі x Апотем; 2) V. мүлкі Бағасы: Биіктігі: 0,5 б. негіз = «F» квадрат түбірі; 3) М.Эйсттің қасиеті: Негіздің периметрі: 2 Биіктігі = «Пи»; басқа интерпретацияда - 2 ас қасық. негізгі : Биіктігі = "Pi"; 4) G. Шетінің қасиеті: сызылған шеңбердің радиусы: 0,5 өнер. негізгі = "F"; 5) К.Клеппиштің мүлкі: (Бап. Бас.)2: 2(Бап. Негізгі. x Апотема) = (Бап. Негізгі. В. Апотема) = 2(Бап. Бас. x Апотема) : ((2-бап.) . негізгі X Апотем) + (v. Негізгі)2). Және т.б. Сіз көптеген осындай қасиеттерді таба аласыз, әсіресе екі іргелес пирамиданы біріктірсеңіз. Мысалы, «А.Арефьевтің қасиеттері» ретінде Хеопс пирамидасы мен Хафре пирамидасының көлемдерінің айырмашылығы Микерин пирамидасының екі еселенген көлеміне тең екенін атап өтуге болады...

Көптеген қызықты ережелер, атап айтқанда, «алтын қатынас» бойынша пирамидаларды салу туралы Д.Гамбидждің «Сәулеттегі динамикалық симметрия» және М.Гиктің «Табиғат пен өнердегі пропорция эстетикасы» кітаптарында келтірілген. Еске салайық, «алтын қатынас» - бұл кесіндіні А бөлігі В бөлігінен неше есе артық, А бүкіл А + В кесіндісінен неше есе кіші болатындай қатынасқа бөлу. A/B қатынасы «F» == 1,618 санына тең.. «Алтын қатынасты» қолдану тек жеке пирамидаларда ғана емес, сонымен қатар Гизадағы барлық пирамидалар кешенінде де көрсетілген.

Ең қызығы, бір ғана Хеопс пирамидасында соншалықты керемет қасиеттер болуы мүмкін емес. Белгілі бір мүлікті бір-бірлеп алып, оны «қондыруға» болады, бірақ олардың барлығы бірден сәйкес келмейді - олар сәйкес келмейді, бір-біріне қайшы келеді. Сондықтан, мысалы, барлық қасиеттерді тексергенде, бастапқыда пирамида табанының бірдей жағын алсақ (233 м), онда қасиеттері әртүрлі пирамидалардың биіктіктері де әртүрлі болады. Басқаша айтқанда, сыртқы жағынан Хеопсқа ұқсас, бірақ әртүрлі қасиеттері бар пирамидалардың белгілі бір «отбасы» бар. «Геометриялық» қасиеттерде ерекше ғажайып ештеңе жоқ екенін ескеріңіз - көп нәрсе фигураның өзінен автоматты түрде пайда болады. «Ғажайып» ежелгі мысырлықтар үшін анық мүмкін емес нәрсе ретінде қарастырылуы керек. Бұл, атап айтқанда, «ғарыштық» кереметтерді қамтиды, онда Хеопс пирамидасының немесе Гизадағы пирамида кешенінің өлшемдері кейбір астрономиялық өлшемдермен салыстырылады және «жұп» сандар көрсетіледі: миллион есе аз, миллиард есе аз және т.б. Кейбір «ғарыштық» қатынастарды қарастырайық.

Мәлімдемелердің бірі: «Егер сіз пирамида табанының бүйірін жылдың дәл ұзындығына бөлсеңіз, сіз жер осінің дәл 10 миллионнан бір бөлігін аласыз». Есептеңіз: 233-ті 365-ке бөліңіз, біз 0,638 аламыз. Жердің радиусы 6378 км.

Басқа мәлімдеме шын мәнінде алдыңғыға қарама-қайшы. Ф.Ноэтлинг, егер ол өзі ойлап тапқан «Египет шынағын» қолданатын болсақ, онда пирамиданың жағы «тәуліктің миллиардтан бір бөлігіне дейінгі дәлдікпен көрсетілген күн жылының ең дәл ұзақтығына» сәйкес келетінін атап көрсетті - 365,540,903,777 .

П.Смиттің: «Пирамиданың биіктігі Жерден Күнге дейінгі қашықтықтың тура миллиардтан бір бөлігін құрайды» деген тұжырымы. Әдетте алынған биіктік 146,6 м болса да, Смит оны 148,2 м деп қабылдады, қазіргі заманғы радиолокациялық өлшемдер бойынша, жер орбитасының жартылай негізгі осі 149 597 870 + 1,6 км. Бұл Жерден Күнге дейінгі орташа қашықтық, бірақ перигелийде афелийге қарағанда 5 000 000 километрге аз.

Соңғы бір қызықты мәлімдеме:

«Хеопс, Хафре және Микерин пирамидаларының массалары Жер, Венера, Марс планеталарының массалары сияқты бір-бірімен байланысты екенін қалай түсіндіруге болады?» Есептеп көрейік. Үш пирамиданың массалары: Хафре - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Үш планетаның массаларының қатынасы: Венера - 0,815; Жер - 1000; Марс - 0,108.

Сонымен, скептицизмге қарамастан, біз мәлімдемелер құрылысының белгілі үйлесімділігін атап өтеміз: 1) пирамиданың биіктігі, «ғарышқа баратын» сызық сияқты, Жерден Күнге дейінгі қашықтыққа сәйкес келеді; 2) пирамида табанының «субстратқа», яғни Жерге ең жақын жағы жердің радиусы мен жер айналымына жауап береді; 3) пирамиданың көлемдері (оқу - массалар) Жерге ең жақын планеталар массаларының қатынасына сәйкес келеді. Ұқсас «шифрды», мысалы, Карл фон Фриш талдаған ара тілінде байқауға болады. Дегенмен, әзірге бұл мәселеге қатысты пікір білдіруден аулақпыз.

ПИРАМИДА ПІШІНІ

Пирамидалардың атақты тетраэдрлік пішіні бірден пайда болған жоқ. Скифтер жерлеулерді топырақты төбелер – қорғандар түрінде жасаған. Мысырлықтар тастан «төбелер» - пирамидалар салған. Бұл бірінші рет Жоғарғы және Төменгі Египет біріккеннен кейін, б.з.б. 28 ғасырда Үшінші әулеттің негізін салушы перғауын Джосердің (Зосер) алдында ел бірлігін нығайту міндеті тұрғанда болды.

Ал мұнда, тарихшылардың пікірінше, орталық билікті нығайтуда патшаны «құдайландырудың жаңа тұжырымдамасы» маңызды рөл атқарды. Патша қорымдары асқан сән-салтанатымен ерекшеленсе де, олар, негізінен, сарай дворяндарының бейіттерінен ерекшеленбейді, олар бірдей құрылымдар – мастабастар болды. Мумия салынған саркофаг бар камераның үстіне ұсақ тастардан тұратын төртбұрышты төбе құйылды, онда үлкен тас блоктардан шағын ғимарат - «мастаба» (араб тілінде - «орындық») тұрғызылды. Перғауын Джозер алғашқы пирамиданы өзінен бұрынғы Санахттың мастабасының орнына тұрғызды. Ол сатылы және бір сәулеттік пішіннен екіншісіне, мастабадан пирамидаға көрінетін өтпелі кезең болды.

Осылайша, кейіннен сиқыршы болып саналған және гректер Асклепий құдайымен сәйкестендірілген данышпан және сәулетші Имхотеп перғауынды «тәрбиеледі». Қатарынан алты мастаба тіккендей болды. Сонымен қатар, бірінші пирамида 1125 х 115 метр аумақты алып, биіктігі 66 метрді құрады (Мысыр стандарттары бойынша - 1000 «алақан»). Алғашында сәулетші мастаба салуды жоспарлаған, бірақ ұзынша емес, жоспар бойынша шаршы. Кейінірек ол кеңейтілді, бірақ ұзарту төменірек жасалғандықтан, екі қадам бар сияқты көрінді.

Бұл жағдай сәулетшіні қанағаттандырмады, ал үлкен жалпақ мастабаның үстіңгі платформасына Имхотеп тағы үшеуін орналастырып, бірте-бірте шыңға қарай төмендеді. Мола пирамиданың астында орналасқан.

Тағы бірнеше сатылы пирамидалар белгілі, бірақ кейінірек құрылысшылар бізге көбірек таныс тетраэдрлік пирамидаларды салуға көшті. Неліктен үшбұрышты немесе, айталық, сегізбұрышты емес? Жанама жауап пирамидалардың барлығы дерлік төрт негізгі бағыт бойынша тамаша бағытталған, сондықтан төрт жағы бар. Сонымен қатар, пирамида «үй», төртбұрышты жерлеу камерасының қабығы болды.

Бірақ беттердің көлбеу бұрышын не анықтады? «Пропорциялар принципі» кітабында тұтас бір тарау осыған арналған: «Пирамидалардың көлбеу бұрыштарын не анықтауға болады». Атап айтқанда, «Ескі патшалықтың ұлы пирамидалары тартылатын кескін шыңында тік бұрышты үшбұрыш болып табылады.

Кеңістікте бұл жартылай октаэдр: табанының шеттері мен қабырғалары тең, жиектері тең бүйірлі үшбұрыштар болатын пирамида.» Бұл тақырып бойынша Гамбидж, Гик және басқалардың кітаптарында белгілі бір ойлар берілген.

Жартылай октаэдр бұрышының артықшылығы неде? Археологтар мен тарихшылардың сипаттамаларына сәйкес, кейбір пирамидалар өз салмағынан құлады. «Төзімділік бұрышы» қажет болды, бұл ең қуатты ең сенімді бұрыш болды. Таза эмпирикалық түрде бұл бұрышты ұнтақталған құрғақ құм үйіндісіндегі шың бұрышынан алуға болады. Бірақ нақты деректерді алу үшін үлгіні пайдалану керек. Мықты бекітілген төрт шарды алып, оларға бесіншісін қойып, көлбеу бұрыштарын өлшеу керек. Дегенмен, сіз бұл жерде қателесуіңіз мүмкін, сондықтан теориялық есептеу көмектеседі: шарлардың орталықтарын сызықтармен байланыстыру керек (ақыл-ой). Негізі қабырғасы радиусы екі есеге тең шаршы болады. Шаршы пирамиданың негізі ғана болады, оның жиектерінің ұзындығы да радиустың екі есесіне тең болады.

Осылайша, 1:4 сияқты шарлардың тығыз оралуы бізге кәдімгі жартылай октаэдр береді.

Дегенмен, неге ұқсас пішінге қарай тартылатын көптеген пирамидалар оны сақтамайды? Пирамидалар ескірген шығар. Атақты сөзге қарама-қайшы:

«Әлемдегі барлық нәрсе уақыттан қорқады, ал уақыт пирамидалардан қорқады», пирамидалардың ғимараттары қартаюы керек, оларда тек сыртқы әсер ету процестері ғана емес, сонымен қатар ішкі «жиіру» процестері де болуы мүмкін және болуы керек. пирамидалар төмен түсуі мүмкін. Шөгу де мүмкін, өйткені Д. Давидовицтің жұмысында анықталғандай, ежелгі мысырлықтар әк жаңқаларынан, басқаша айтқанда, «бетоннан» блоктар жасау технологиясын қолданған. Дәл осындай процестер Каирден оңтүстікке қарай 50 км жерде орналасқан Медум пирамидасының жойылу себебін түсіндіре алады. Оның жасы 4600 жыл, табанының өлшемдері 146 х 146 м, биіктігі 118 м. «Неліктен ол соншалықты бұзылған?» деп сұрайды В.Замаровский «Уақыттың жойқын әсері мен «тасты басқа ғимараттарға пайдалану» туралы әдеттегі сілтемелер.

Өйткені, оның блоктары мен беткі тақтайшаларының көпшілігі күні бүгінге дейін орнында, етегінде қираған күйде қалды.» Көріп отырғанымыздай, бірқатар ережелер әйгілі Хеопс пирамидасы да «шырысып қалған» деп ойлауға мәжбүр етеді. кез келген жағдайда, барлық ежелгі суреттерде пирамидалар үшкірленген ...

Пирамидалардың пішіні еліктеу арқылы да жасалуы мүмкін: кейбір табиғи үлгілер, «ғажайып кемелдік», айталық, октаэдр түріндегі кейбір кристалдар.

Ұқсас кристалдар алмаз және алтын кристалдары болуы мүмкін. Перғауын, Күн, Алтын, Гауһар сияқты ұғымдарға «қабаттасатын» белгілердің үлкен саны тән. Барлық жерде – асыл, тамаша (жарқын), ұлы, мінсіз, т.б. Ұқсастықтар кездейсоқ емес.

Күн культі, белгілі болғандай, Ежелгі Египет дінінің маңызды бөлігін құрады. «Пирамидалардың ең ұлысының атын қалай аударсақ та,» деп атап өтілген заманауи нұсқаулықтардың бірінде «The Sky of Hufu» немесе «The Skyward Khufu» бұл патшаның күн екенін білдіреді». Егер Хуфу өзінің күш-қуатының жарқырауында өзін екінші күн деп елестетсе, оның ұлы Джедеф-Ра Мысыр патшаларының ішінде өзін «Ра ұлы», яғни Күннің ұлы деп атаған бірінші адам болды. Күн, барлық халықтарда дерлік «күн металы» алтынмен бейнеленген. «Жарқын алтынның үлкен дискісі» - мысырлықтар біздің күндізгі жарық деп атады. Мысырлықтар алтынды жақсы білді, олар алтын кристалдары октаэдр түрінде пайда болатын оның төл формаларын білді.

«Күн тасы» - гауһар - бұл жерде «пішіндердің үлгісі» ретінде де қызықты. Алмаздың атауы дәл араб әлемінен шыққан, «алмас» - ең қатты, ең қатты, бұзылмайтын. Ежелгі мысырлықтар алмазды және оның қасиеттерін жақсы білген. Кейбір авторлардың айтуынша, олар бұрғылау үшін тіпті алмас кескіштері бар қола түтіктерді де пайдаланған.

Қазіргі уақытта алмаздың негізгі жеткізушісі Оңтүстік Африка болып табылады, бірақ Батыс Африка да алмазға бай. Мали Республикасының аумағы тіпті «Гауһар жер» деп аталады. Сонымен бірге, Мали аумағында Догондар тұрады, олармен палео-визит гипотезасын жақтаушылар көп үміт артады (төменде қараңыз). Ежелгі мысырлықтардың бұл аймақпен байланысына алмаздар себеп болуы мүмкін емес еді. Дегенмен, гауһар және алтын кристалдарының октаэдрлерін көшіру арқылы ежелгі мысырлықтар алмас сияқты «тозбайтын» және алтындай «жарқыраған» перғауындарды, Күннің ұлдарын тек салыстыруға болатындай етіп құдайландырған болуы мүмкін. табиғаттың ең керемет туындыларына.

Қорытынды:

Пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттей келе, оның элементтерімен және қасиеттерімен таныса отырып, пирамида пішінінің әдемілігі туралы пікірдің дұрыстығына көз жеткіздік.

Зерттеулеріміздің нәтижесінде біз мысырлықтар ең құнды математикалық білімді жинап, оны пирамида түрінде бейнелеген деген қорытындыға келдік. Демек, пирамида шын мәнінде табиғат пен адамның ең кемел туындысы.

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

«Геометрия: Оқулық. 7-9 сыныптар үшін. жалпы білім беру мекемелер\ және т.б. – 9-бас. – М.: Білім, 1999 ж

Мектептегі математика тарихы, М: «Просвещение», 1982 ж.

Геометрия 10-11 сынып, М: «Ағарту», ​​2000 ж

Питер Томпкинс «Ұлы Хеопс пирамидасының құпиялары», М: «Центрополиграф», 2005 ж.

Интернет ресурстары

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Кіріспе

Стереометриялық фигураларды зерттей бастағанда біз «Пирамида» тақырыбын қозғадық. Бізге бұл тақырып ұнады, өйткені пирамида сәулет өнерінде жиі қолданылады. Біздің болашақ сәулетші мамандығымыз осы тұлғадан шабыттанғандықтан, ол бізді тамаша жобаларға итермелейді деп ойлаймыз.

Архитектуралық құрылымдардың беріктігі олардың ең маңызды сапасы болып табылады. Беріктікті, біріншіден, олар жасалған материалдармен, екіншіден, конструкторлық шешімдердің ерекшеліктерімен байланыстыратын болсақ, конструкцияның беріктігі оған негізгі болып табылатын геометриялық пішінге тікелей байланысты болады.

Басқаша айтқанда, біз сәйкес архитектуралық пішіннің үлгісі ретінде қарастыруға болатын геометриялық фигура туралы айтып отырмыз. Геометриялық пішін архитектуралық құрылыстың беріктігін де анықтайды екен.

Ежелгі заманнан бері Мысыр пирамидалары ең берік архитектуралық құрылымдар болып саналды. Өздеріңіз білетіндей, олар кәдімгі төртбұрышты пирамидалардың пішініне ие.

Дәл осы геометриялық пішін үлкен базалық аймаққа байланысты ең үлкен тұрақтылықты қамтамасыз етеді. Екінші жағынан, пирамида пішіні жер үстіндегі биіктік артқан сайын массаның азаюын қамтамасыз етеді. Дәл осы екі қасиет пирамиданы тұрақты етеді, демек, гравитация жағдайында күшті.

Жобаның мақсаты: пирамидалар туралы жаңа нәрсені біліп, біліміңізді тереңдетіп, практикалық қолдануды табыңыз.

Осы мақсатқа жету үшін келесі міндеттерді шешу қажет болды:

· Пирамида туралы тарихи мәліметтермен танысу

· Пирамиданы геометриялық фигура ретінде қарастырайық

· Өмірдегі және сәулеттегі қолданбаны табыңыз

· Дүние жүзінің әртүрлі бөліктерінде орналасқан пирамидалардың ұқсастықтары мен айырмашылықтарын табу

Теориялық бөлім

Тарихи мәліметтер

Пирамида геометриясы Ежелгі Египет пен Вавилонда басталды, бірақ Ежелгі Грецияда белсенді түрде дамыды. Пирамиданың көлемін алғаш анықтаған Демокрит болса, оны Евдокс Книдский дәлелдеген. Ежелгі грек математигі Евклид өзінің «Элементтерінің» XII томында пирамида туралы білімді жүйеге келтірді, сонымен қатар пирамиданың алғашқы анықтамасын шығарды: бір жазықтықтан бір нүктеге жиналатын жазықтықтармен шектелген қатты фигура.

Мысыр перғауындарының бейіттері. Олардың ең үлкені – Эль-Гизадағы Хеопс, Хафре және Микерин пирамидалары ежелгі дәуірде әлемнің жеті кереметінің бірі саналған. Гректер мен римдіктер бүкіл Мысыр халқын мағынасыз құрылысқа ұшыратқан патшалардың теңдесі жоқ мақтанышы мен қатыгездіктің ескерткішін көрген пирамиданың құрылысы ең маңызды культтік акт болды және оны білдіруі керек еді. ел мен билеушінің мистикалық болмысы. Ауылшаруашылық жұмыстарынан бос жыл бойы ел тұрғындары қабір құрылысына еңбек етті. Бірқатар мәтіндер патшалардың өздері (кейінірек болса да) қабірінің құрылысына және оны салушылардың назары мен қамқорлығын көрсетеді. Сондай-ақ пирамиданың өзіне берілген ерекше культтік құрметтер туралы белгілі.

Негізгі ұғымдар

Пирамиданегізі көпбұрыш, ал қалған беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштар болып табылады.

Апотем- дұрыс пирамиданың оның төбесінен тартылған бүйір бетінің биіктігі;

Бүйір беттер- төбеде кездесетін үшбұрыштар;

Бүйір қабырғалары- бүйірлік беттердің ортақ жақтары;

Пирамиданың жоғарғы жағы- бүйірлік қабырғаларды қосатын және негіз жазықтығында жатпайтын нүкте;

Биіктігі- пирамиданың төбесінен оның табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр кесінді (бұл кесіндінің ұштары пирамиданың төбесі және перпендикуляр табаны болып табылады);

Пирамиданың диагональ қимасы- пирамиданың табанының төбесінен және диагональінен өтетін қимасы;

Негіз- пирамида шыңына жатпайтын көпбұрыш.

Тұрақты пирамиданың негізгі қасиеттері

Бүйір жиектері, бүйір беттері және апотемдер сәйкесінше тең.

Негіздегі екібұрышты бұрыштар тең.

Бүйір шеттеріндегі екібұрышты бұрыштар тең.

Әрбір биіктік нүктесі негіздің барлық шыңдарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

Әрбір биіктік нүктесі барлық бүйір беттерінен бірдей қашықтықта орналасқан.

Негізгі пирамида формулалары

Пирамиданың бүйір және жалпы бетінің ауданы.

Пирамиданың бүйір бетінің ауданы (толық және кесілген) оның барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысы, жалпы бетінің ауданы - оның барлық беттерінің аудандарының қосындысы.

Теорема: Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы табанының периметрі мен пирамиданың апотемасының көбейтіндісінің жартысына тең.

б- базалық периметр;

h- апотема.

Кесілген пирамиданың бүйір және толық беттерінің ауданы.

б 1, б 2 - базалық периметрлер;

h- апотема.

Р- дұрыс кесілген пирамиданың жалпы бетінің ауданы;

S жағы- дұрыс кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданы;

S 1 + S 2- базалық аумақ

Пирамиданың көлемі

Пішін көлемі ula кез келген түрдегі пирамидалар үшін қолданылады.

Х- пирамиданың биіктігі.

Пирамида бұрыштары

Пирамиданың бүйір беті мен табанынан түзілетін бұрыштар пирамида табанындағы екі қырлы бұрыштар деп аталады.

Екі бұрышты екі перпендикуляр құрайды.

Бұл бұрышты анықтау үшін жиі үш перпендикуляр теореманы пайдалану керек.

Бүйір қыры мен оның негіз жазықтығына проекциясынан пайда болатын бұрыштар деп аталады бүйір жиегі мен негіз жазықтығы арасындағы бұрыштар.

Екі бүйір шетінен пайда болатын бұрыш деп аталады пирамиданың бүйір шетіндегі екібұрышты бұрыш.

Пирамиданың бір бетінің екі бүйір шетінен пайда болатын бұрыш деп аталады пирамиданың жоғарғы жағындағы бұрыш.

Пирамида бөлімдері

Пирамиданың беті - көпбұрыштың беті. Оның әрбір беті жазықтық болып табылады, сондықтан пирамиданың қиюшы жазықтықпен анықталған қимасы жеке түзулерден тұратын сынық сызық болып табылады.

Диагональды қима

Пирамиданың бір бетінде жатпайтын екі бүйір шетінен өтетін жазықтықтың кесіндісі деп аталады. диагональды кесіндіпирамидалар.

Параллель қималар

Теорема:

Егер пирамида табанына параллель жазықтықпен қиылса, онда пирамиданың бүйір қырлары мен биіктіктері осы жазықтықпен пропорционал бөліктерге бөлінеді;

Бұл жазықтықтың кесіндісі табанына ұқсас көпбұрыш;

Қима мен табанның аудандары бір-бірімен олардың төбесінен қашықтығының квадраттары ретінде байланысқан.

Пирамида түрлері

Дұрыс пирамида– табаны дұрыс көпбұрыш болатын пирамида, ал пирамиданың төбесі табанның ортасына проекцияланған.

Кәдімгі пирамида үшін:

1. бүйір қабырғалары тең

2. бүйір беттері тең

3. апотемдер тең

4. табандағы екібұрышты бұрыштар тең

5. бүйір қырларындағы екібұрышты бұрыштар тең

6. Әрбір биіктік нүктесі табанның барлық төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан

7. Әрбір биіктік нүктесі барлық бүйір жиектерінен бірдей қашықтықта орналасқан

Кесілген пирамида- оның табаны мен табанына параллель қиюшы жазықтықтың арасына салынған пирамиданың бөлігі.

Қиық пирамиданың табаны мен сәйкес кесіндісі деп аталады кесілген пирамиданың негіздері.

Бір табанның кез келген нүктесінен екіншісінің жазықтығына жүргізілген перпендикуляр деп аталады кесілген пирамиданың биіктігі.

Тапсырмалар

№1. Дұрыс төртбұрышты пирамидада О нүктесі табанының центрі, SO=8 см, BD=30 см SA бүйір қырын табыңыз.

Мәселені шешу

№1. Кәдімгі пирамидада барлық беттер мен шеттер тең.

OSB-ны қарастырайық: OSB - тіктөртбұрышты тіктөртбұрыш, өйткені.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Сәулет өнеріндегі пирамида

Пирамида – қабырғалары бір нүктеде түйісетін кәдімгі дұрыс геометриялық пирамида түріндегі монументалды құрылым. Функционалдық мақсаты бойынша ежелгі дәуірде пирамидалар жерлеу немесе ғибадат ету орындары болған. Пирамиданың негізі үшбұрышты, төртбұрышты немесе төбелерінің ерікті саны бар көпбұрыш түрінде болуы мүмкін, бірақ ең көп таралған нұсқасы төртбұрышты негіз болып табылады.

Ежелгі әлемнің әртүрлі мәдениеттері, негізінен храмдар немесе ескерткіштер ретінде салған пирамидалардың айтарлықтай саны бар. Үлкен пирамидаларға Египет пирамидалары жатады.

Бүкіл жер бетінде пирамидалар түріндегі архитектуралық құрылыстарды көруге болады. Пирамида ғимараттары ежелгі дәуірді еске түсіреді және өте әдемі көрінеді.

Египет пирамидалары – Ежелгі Египеттің ең үлкен сәулет ескерткіштері, оның ішінде «Әлемнің жеті кереметінің бірі» Хеопс пирамидасы. Табаннан төбеге дейін ол 137,3 м жетеді, ал шыңнан айырылғанға дейін оның биіктігі 146,7 м болды.

Словакия астанасындағы төңкерілген пирамидаға ұқсайтын радиостанция ғимараты 1983 жылы салынған. Кеңселер мен қызметтік үй-жайлардан басқа, томның ішінде Словакиядағы ең үлкен органдардың бірі бар жеткілікті кең концерт залы бар.

«Пирамида сияқты үнсіз, өзгермейтін және керемет» Лувр әлемдегі ең үлкен мұражай болғанға дейін ғасырлар бойы көптеген өзгерістерге ұшырады. Ол 1190 жылы Филипп Август тұрғызған бекініс ретінде дүниеге келді, ол көп ұзамай патша резиденциясы болды. 1793 жылы сарай мұражайға айналды. Коллекциялар өсиет қалдыру немесе сатып алу арқылы байытылады.

Студенттер пирамида ұғымымен геометрияны оқудан көп бұрын кездеседі. Кінә әлемнің әйгілі ұлы мысырлық ғажайыптарында. Сондықтан, осы тамаша көпбұрышты зерттеуді бастағанда, студенттердің көпшілігі оны анық елестетеді. Жоғарыда аталған аттракциондардың барлығы дұрыс пішінге ие. Не болды тұрақты пирамида, және оның қандай қасиеттері бар екені әрі қарай талқыланады.

Анықтама

Пирамиданың көптеген анықтамалары бар. Ежелгі заманнан бері ол өте танымал болды.

Мысалы, Евклид оны бір нүктеден бастап, белгілі бір нүктеде жинақталатын жазықтықтардан тұратын дене фигурасы деп анықтады.

Герон дәлірек тұжырымды ұсынды. Ол бұл көрсеткіш екенін алға тартты үшбұрыштар түріндегі негізі мен жазықтықтары бар,бір нүктеде жинақталады.

Қазіргі түсіндірмеге сүйене отырып, пирамида бір ортақ нүктесі бар белгілі бір k-gon және k жалпақ үшбұрышты фигуралардан тұратын кеңістіктік полиэдр ретінде ұсынылған.

Оны толығырақ қарастырайық, ол қандай элементтерден тұрады:

• k-gon фигураның негізі болып саналады;
• 3-бұрышты пішіндер бүйірлік бөліктің шеттері ретінде шығып тұрады;
• бүйірлік элементтер шығатын жоғарғы бөлік шың деп аталады;
• шыңды қосатын барлық кесінділер жиектер деп аталады;
• егер түзу сызық төбесінен фигураның жазықтығына 90 градус бұрышпен түсірілсе, онда оның ішкі кеңістіктегі бөлігі пирамиданың биіктігі болады;
• кез келген бүйірлік элементте біздің көпбұрыштың жағына апотема деп аталатын перпендикуляр сызылуы мүмкін.

Жиектер саны 2*k формуласы арқылы есептеледі, мұндағы k – k-бұрыштың қабырғаларының саны. Пирамида сияқты көпбұрыштың қанша беті бар екенін k+1 өрнегі арқылы анықтауға болады.

Маңызды!Дұрыс пішінді пирамида деп табанының жазықтығы қабырғалары тең к-гонка болатын стереометриялық фигураны айтады.

Негізгі қасиеттер

Дұрыс пирамида қасиеттері көп,оған ғана тән. Оларды тізіп көрейік:

1. Негізі дұрыс пішіндегі фигура.
2. Пирамиданың бүйірлік элементтерді шектейтін шеттері бірдей сандық мәндерге ие.
3. Бүйір элементтері тең қабырғалы үшбұрыштар.
4. Фигураның биіктігінің негізі көпбұрыштың ортасына түседі, ал ол бір уақытта сызылған және шектелген нүктенің орталық нүктесі болып табылады.
5. Барлық бүйір қабырғалары бір бұрышта негіз жазықтығына еңкейген.
6. Барлық бүйірлік беттердің негізге қатысты көлбеу бұрышы бірдей.

Барлық аталған қасиеттердің арқасында элементтерді есептеу әлдеқайда оңайырақ. Жоғарыда аталған қасиеттерге сүйене отырып, біз назар аударамыз екі белгі:

1. Көпбұрыш шеңберге сәйкес келген жағдайда, бүйірлік беттердің негізімен бірдей бұрыштары болады.
2. Көпбұрыштың айналасындағы шеңберді сипаттағанда, пирамиданың шыңынан шығатын барлық шеттерінің ұзындығы бірдей және табанымен бірдей бұрыштары болады.

Негізі - шаршы

Тұрақты төртбұрышты пирамида - негізі шаршы болатын көпбұрыш.

Оның төрт бүйір беті бар, олар сыртқы түрі бойынша тең қабырғалы.

Шаршы жазықтықта бейнеленген, бірақ тұрақты төртбұрыштың барлық қасиеттеріне негізделген.

Мысалы, егер шаршының қабырғасын оның диагоналымен байланыстыру қажет болса, онда келесі формуланы қолданыңыз: диагональ квадраттың қабырғасы мен екінің квадрат түбірін көбейтуге тең.

Ол тұрақты үшбұрышқа негізделген

Дұрыс үшбұрышты пирамида деп табаны дұрыс 3 бұрышты көпбұрышты айтады.

Егер негіз дұрыс үшбұрыш болса, ал бүйір жиектері негіздің шеттеріне тең болса, онда мұндай фигура тетраэдр деп аталады.

Тетраэдрдің барлық беттері тең қабырғалы 3 бұрышты. Бұл жағдайда сіз кейбір тармақтарды білуіңіз керек және есептеу кезінде оларға уақыт жұмсамауыңыз керек:

• қабырғалардың кез келген негізге еңкею бұрышы 60 градус;
• барлық ішкі беттердің өлшемі де 60 градус;
• кез келген бет негіз ретінде әрекет ете алады;
• , фигураның ішіне сызылған, бұл тең элементтер.

Көпбұрыштың бөліктері

Кез келген көпбұрышта бар бөлімдердің бірнеше түріжазық. Көбінесе мектептегі геометрия курсында олар екімен жұмыс істейді:

• осьтік;
• негізге параллель.

Осьтік қима полиэдрді төбесінен, бүйір шетінен және осінен өтетін жазықтықпен қиылысу арқылы алынады. Бұл жағдайда ось шыңнан тартылған биіктік болып табылады. Кесу жазықтығы барлық беттермен қиылысу сызықтарымен шектеледі, нәтижесінде үшбұрыш пайда болады.

Назар аударыңыз!Тұрақты пирамидада осьтік қима тең қабырғалы үшбұрыш болып табылады.

Егер кесу жазықтығы негізге параллель болса, онда нәтиже екінші нұсқа болады. Бұл жағдайда бізде негізге ұқсас көлденең қима фигурасы бар.

Мысалы, егер негізде шаршы болса, онда негізге параллель кесінді де шаршы болады, тек кішірек өлшемдер.

Осы шарт бойынша есептерді шығарғанда фигуралардың ұқсастық белгілері мен қасиеттерін пайдаланады, Фалес теоремасына негізделген. Ең алдымен ұқсастық коэффициентін анықтау қажет.

Егер жазықтық негізге параллель жүргізілсе және ол көпбұрыштың жоғарғы бөлігін кесіп тастаса, онда төменгі бөлігінде дұрыс кесілген пирамида алынады. Сонда кесілген көпбұрыштың табандары ұқсас көпбұрыштар деп аталады. Бұл жағдайда бүйір беттері тең қабырғалы трапециялар болып табылады. Осьтік қима да тең қабырғалы.

Кесілген көпбұрыштың биіктігін анықтау үшін осьтік қимадағы, яғни трапециядағы биіктікті сызу керек.

Беткі аймақтар

Мектептегі геометрия курсында шешілетін негізгі геометриялық есептер пирамиданың бетінің ауданы мен көлемін табу.

Бетінің ауданы мәндерінің екі түрі бар:

• бүйірлік элементтердің ауданы;
• бүкіл бетінің ауданы.

Атаудың өзінен-ақ не туралы айтып жатқанымыз анық. Бүйірлік бетке тек бүйірлік элементтер кіреді. Бұдан шығатыны, оны табу үшін жай ғана бүйірлік жазықтықтардың аудандарын, яғни 3-бұрыштардың тең қабырғасының аудандарын қосу керек. Бүйірлік элементтердің ауданы үшін формуланы шығаруға тырысайық:

1. 3 бұрышты тең қабырғасының ауданы Str=1/2(aL) тең, мұндағы a – табан жағы, L – апотема.
2. Бүйірлік жазықтықтардың саны негіздегі k-гонның түріне байланысты. Мысалы, кәдімгі төртбұрышты пирамиданың төрт бүйір жазықтығы бар. Сондықтан төрт фигураның аудандарын қосу керек Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Өрнек осылай жеңілдетілген, себебі мән 4a = Rosn, мұнда Rosn - негіздің периметрі. Ал 1/2*Росн өрнегі оның жартылай периметрі.
3. Сонымен, дұрыс пирамиданың бүйір элементтерінің ауданы табанының жартылай периметрі мен апотеманың көбейтіндісіне тең деген қорытындыға келдік: Sside = Rosn * L.

Пирамиданың жалпы бетінің ауданы бүйірлік жазықтықтар мен табанының аудандарының қосындысынан тұрады: Sp.p = Sside + Sbas.

Негіздің ауданына келетін болсақ, мұнда формула көпбұрыш түріне сәйкес қолданылады.

Тұрақты пирамиданың көлемібазалық жазықтықтың ауданы мен үшке бөлінген биіктіктің көбейтіндісіне тең: V=1/3*Sbas*H, мұндағы H – көп қырлы биіктігі.

Геометрияда дұрыс пирамида дегеніміз не

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың қасиеттері

Пирамида ұғымы

Анықтама 1

Көпбұрыш пен осы көпбұрышты қамтитын жазықтықта жатпайтын нүктеден құралған, көпбұрыштың барлық төбелерімен қосылған геометриялық фигураны пирамида деп атайды (1-сурет).

Пирамида жасалған көпбұрышты пирамиданың табаны деп атайды, нәтижесінде алынған үшбұрыштар бір нүктеге қосылғанда пирамиданың бүйір беттері, үшбұрыштардың қабырғалары пирамиданың қабырғалары және ортақ нүкте болып табылады; барлық үшбұрыштар үшін пирамиданың төбесі.

Пирамидалардың түрлері

Пирамиданың табанындағы бұрыштардың санына қарай оны үшбұрышты, төртбұрышты және т.б деп атауға болады (2-сурет).

2-сурет.

Пирамиданың тағы бір түрі - кәдімгі пирамида.

Кәдімгі пирамиданың қасиетін таныстырып, дәлелдеп көрейік.

Теорема 1

Дұрыс пирамиданың барлық бүйір беттері бір-біріне тең тең қабырғалы үшбұрыштар.

Дәлелдеу.

Биіктігі $S$ $h=SO$ болатын кәдімгі $n-$бұрышты пирамиданы қарастырайық. Негізді айналдыра шеңбер сызайық (4-сурет).

4-сурет.

$SOA$ үшбұрышын қарастырайық. Пифагор теоремасы бойынша біз аламыз

Кез келген бүйірлік жиек осылай анықталатыны анық. Демек, барлық бүйір қырлары бір-біріне тең, яғни барлық бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар. Олардың бір-біріне тең екендігін дәлелдейміз. Негізі дұрыс көпбұрыш болғандықтан, барлық бүйір беттерінің табандары бір-біріне тең. Демек, үшбұрыштар теңдігінің III критерийі бойынша барлық бүйір беттер тең.

Теорема дәлелденді.

Енді қалыпты пирамида ұғымына қатысты келесі анықтаманы енгізейік.

Анықтама 3

Кәдімгі пирамиданың апотемасы оның бүйір бетінің биіктігі болып табылады.

Бірінші теорема бойынша барлық апотемдер бір-біріне тең екені анық.

2-теорема

Тұрақты пирамиданың бүйір бетінің ауданы табан мен апотеманың жарты периметрінің көбейтіндісі ретінде анықталады.

Дәлелдеу.

$n-$бұрыштық пирамида табанының бүйір жағын $a$, ал апотеманы $d$ деп белгілейік. Демек, бүйір бетінің ауданы тең

1-теорема бойынша барлық жақтары тең болғандықтан

Теорема дәлелденді.

Пирамиданың тағы бір түрі – кесілген пирамида.

Анықтама 4

Кәдімгі пирамида арқылы оның табанына параллель жазықтық жүргізілсе, онда осы жазықтық пен табан жазықтығы арасында түзілген фигураны қиық пирамида деп атайды (5-сурет).

Сурет 5. Кесілген пирамида

Кесілген пирамиданың бүйір беттері трапеция болып табылады.

Теорема 3

Тұрақты кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданы табандар мен апотеманың жартылай периметрлерінің қосындысының көбейтіндісі ретінде анықталады.

Дәлелдеу.

$n-$бұрыштық пирамидасының табандарының қабырғаларын сәйкесінше $a\ және\ b$, ал апотеманы $d$ деп белгілейік. Демек, бүйір бетінің ауданы тең

Барлық жақтары тең болғандықтан

Теорема дәлелденді.

Тапсырма үлгісі

1-мысал

Кесілген үшбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз, егер ол табаны жағы 4 және апотемасы 5 болатын кәдімгі пирамидадан бүйір беттерінің орта сызығы арқылы өтетін жазықтықты кесу арқылы алынса.

Шешім.

Ортаңғы сызық теоремасын пайдалана отырып, кесілген пирамиданың жоғарғы табаны $4\cdot \frac(1)(2)=2$, ал апотем $5\cdot \frac(1)(2) тең екенін табамыз. =2,5$.

Содан кейін 3-теорема бойынша біз аламыз