Теңдеулер

Теңдеулерді қалай шешуге болады?

Бұл бөлімде біз ең қарапайым теңдеулерді еске түсіреміз (немесе таңдағаныңызға байланысты зерттейміз). Сонымен, теңдеу дегеніміз не? Адам тілінде бұл теңдік белгісі мен белгісіз болатын математикалық өрнектің қандай да бір түрі. Ол әдетте әріппен белгіленеді "X". Теңдеуді шеш- бұл х-тің ауыстырылған кездегі мәндерін табу түпнұсқаөрнек бізге дұрыс сәйкестікті береді. Естеріңізге сала кетейін, сәйкестік математикалық біліммен мүлдем ауыртпалықсыз адам үшін де күмән тудырмайтын өрнек. 2=2, 0=0, ab=ab, т.б. Сонымен теңдеулерді қалай шешуге болады?Оны анықтап көрейік.

Теңдеулердің барлық түрлері бар (мен таң қалдым, солай емес пе?). Бірақ олардың барлық шексіз әртүрлілігін тек төрт түрге бөлуге болады.

4. Қалғандары.)

Қалғанының бәрі, әрине, бәрінен де, иә...) Бұған текше, экспоненциалды, логарифмдік, тригонометриялық және басқалары кіреді. Біз олармен тиісті бөлімдерде тығыз жұмыс жасайтын боламыз.

Мен бірден айтамын, кейде алғашқы үш түрдегі теңдеулердің бұрмаланғаны сонша, сіз оларды тіпті танымайсыз ... Ештеңе. Біз оларды қалай ашу керектігін үйренеміз.

Ал бұл төрт түр бізге не үшін қажет? Ал содан кейін не сызықтық теңдеулербір жолмен шешілді шаршыбасқалар, бөлшек рационал – үшінші,А демалысОлар мүлдем батылы бармайды! Бұл олардың мүлде шеше алмайтыны емес, мен математикадан қателескенім.) Тек олардың өзіндік ерекше әдістері мен әдістері бар.

Бірақ кез келгені үшін (қайталаймын - үшін кез келген!) теңдеулер шешу үшін сенімді және қатесіз негізді қамтамасыз етеді. Барлық жерде және әрқашан жұмыс істейді. Бұл негіз - Бұл қорқынышты естіледі, бірақ бұл өте қарапайым. Және өте (Өте!)маңызды.

Шын мәнінде, теңдеудің шешімі дәл осы түрлендірулерден тұрады. 99% Сұраққа жауап: « Теңдеулерді қалай шешуге болады?" дәл осы түрлендірулерде жатыр. Бұл түсінікті ме?)

Теңдеулердің бірдей түрлендірулері.

IN кез келген теңдеулерБелгісізді табу үшін бастапқы мысалды түрлендіру және жеңілдету керек. Және сыртқы түрі өзгергенде теңдеудің мәні өзгерген жоқ.Мұндай түрлендірулер деп аталады бірдейнемесе баламасы.

Бұл түрлендірулер қолданылатынын ескеріңіз теңдеулерге арнайы.Математикада тұлғалық түрлендірулер де бар өрнектер.Бұл басқа тақырып.

Енді біз барлығын, барлығын, барлығын қайталаймыз теңдеулердің бірдей түрлендірулері.

Негізгі, себебі оларды қолдануға болады кез келгентеңдеулер – сызықтық, квадраттық, бөлшектік, тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік және т.б. т.б.

Бірінші сәйкестендіру трансформациясы: кез келген теңдеудің екі жағына қосуға (азайтуға) болады кез келген(бірақ бір және бірдей!) сан немесе өрнек (белгісіз өрнекті қоса алғанда!). Бұл теңдеудің мәнін өзгертпейді.

Айтпақшы, сіз бұл түрлендіруді үнемі қолдандыңыз, сіз тек кейбір мүшелерді таңбаның өзгеруімен теңдеудің бір бөлігінен екіншісіне ауыстырып жатырмын деп ойладыңыз. Түрі:

Іс таныс, екеуін оңға жылжытамыз және біз аламыз:

Шын мәнінде сен алып кеттітеңдеудің екі жағынан да екі. Нәтиже бірдей:

x+2 - 2 = 3 - 2

Терминдерді таңбаны өзгерту арқылы солға және оңға жылжыту бірінші бірдей түрлендірудің жай ғана қысқартылған нұсқасы болып табылады. Ал бізге мұндай терең білім не үшін керек? – деп сұрайсың. Теңдеулерде ештеңе жоқ. Алла разылығы үшін, шыда. Тек белгіні өзгертуді ұмытпаңыз. Бірақ теңсіздіктерде тасымалдау әдеті тұйыққа әкелуі мүмкін...

Екінші сәйкестендіру трансформациясы: теңдеудің екі жағын бірдей нәрсеге көбейтуге (бөлуге) болады нөл емессан немесе өрнек. Мұнда түсінікті шектеу пайда болды: нөлге көбейту ақымақтық, ал бөлу мүлдем мүмкін емес. Бұл сіз керемет нәрсені шешкен кезде қолданылатын түрлендіру

Ол түсінікті X= 2. Оны қалай таптың? Таңдау бойынша? Әлде бұл сізге таң қалды ма? Таңдамау және түсінікті күтпеу үшін сіз өзіңіздің әділ екеніңізді түсінуіңіз керек теңдеудің екі жағын да бөлді 5-ке. Сол жағын (5x) бөлгенде бес таза X қалдырып, азайтылды. Бұл бізге дәл керек еді. Ал (10) санының оң жағын беске бөлгенде екі шығады.

Міне бітті.

Бұл күлкілі, бірақ бұл екі (тек екеуі!) бірдей түрлендірулер шешімнің негізі болып табылады математиканың барлық теңдеулері.Апыр-ай! Не және қалай мысалдарды қарастыру мағынасы бар, солай емес пе?)

Теңдеулерді бірдей түрлендіру мысалдары. Негізгі проблемалар.

бастайық біріншісәйкестендіру трансформациясы. Солға-оңға тасымалдау.

Жастарға үлгі.)

Келесі теңдеуді шешуіміз керек делік:

3-2x=5-3x

Сиқырды еске түсірейік: «Х-мен - солға, Хсыз - оңға!»Бұл емлені бірінші сәйкестендіруді түрлендіруді қолдануға арналған нұсқаулар.) Оң жағында Х белгісі бар өрнек қандай? 3x? Жауап дұрыс емес! Біздің оң жақта - 3x! Минусүш x! Сондықтан солға қарай жылжу кезінде белгі плюсқа өзгереді. Шығарылады:

3-2x+3x=5

Осылайша, Х-тер үйіндіге жиналды. Сандарға кірісейік. Сол жақта үшеу бар. Қандай белгімен? «Жоқ» деген жауап қабылданбайды!) Үшеуінің алдында, шынында, ештеңе сызылмайды. Бұл үшеуінің алдында бар деген сөз плюс.Сондықтан математиктер келісті. Ештеңе жазылмаған, яғни плюс.Сондықтан үштік оң жаққа ауыстырылады минуспен.Біз аламыз:

-2x+3x=5-3

Ұсақ-түйектер қалды. Сол жақта - ұқсастарын әкеліңіз, оң жақта - санаңыз. Жауап бірден келеді:

Бұл мысалда бір сәйкестендіру трансформациясы жеткілікті болды. Екіншісі қажет емес еді. Жарайды.)

Үлкен балаларға үлгі.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Теңдеулер жүйесін шешудің екі түрін талдап көрейік:

1. Ауыстыру әдісі арқылы жүйені шешу.
2. Жүйе теңдеулерін мүше бойынша қосу (азайту) арқылы жүйені шешу.

Теңдеулер жүйесін шешу үшін ауыстыру әдісіменқарапайым алгоритмді орындау керек:
1. Экспресс. Кез келген теңдеуден бір айнымалыны өрнектейміз.
2. Ауыстыру. Алынған мәнді өрнектелген айнымалының орнына басқа теңдеумен ауыстырамыз.
3. Бір айнымалысы бар алынған теңдеуді шешіңіз. Біз жүйенің шешімін табамыз.

Шешуге мүше бойынша қосу (азайту) әдісі бойынша жүйеқажет:
1. Бірдей коэффициенттер жасайтын айнымалыны таңдаңыз.
2. Теңдеулерді қосамыз немесе азайтамыз, нәтижесінде бір айнымалысы бар теңдеу шығады.
3. Алынған сызықтық теңдеуді шешіңіз. Біз жүйенің шешімін табамыз.

Жүйенің шешімі функция графиктерінің қиылысу нүктелері болып табылады.

Мысалдар арқылы жүйелердің шешімін егжей-тегжейлі қарастырайық.

№1 мысал:

Ауыстыру әдісімен шешейік

Ауыстыру әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу

2x+5y=1 (1 теңдеу)
x-10y=3 (2-ші теңдеу)

1. Экспресс
Екінші теңдеуде коэффициенті 1 болатын х айнымалысы бар екенін көруге болады, бұл екінші теңдеуден х айнымалысын өрнектеудің ең оңай екенін білдіреді.
x=3+10y

2. Оны өрнектеп болғаннан кейін, бірінші теңдеуде х айнымалысының орнына 3+10y мәнін қоямыз.
2(3+10у)+5у=1

3. Бір айнымалысы бар алынған теңдеуді шешіңіз.
2(3+10у)+5у=1 (жақшаларды ашыңыз)
6+20ж+5ж=1
25ж=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Теңдеулер жүйесінің шешімі графиктердің қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтан біз х пен у-ды табуымыз керек, өйткені қиылысу нүктесі х пен у-дан тұрады, біз оны өрнектеген бірінші нүктеде у-ны ауыстырамыз .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Бірінші орынға х айнымалысын, екінші орынға у айнымалысын жазамыз нүктелерді жазу әдетке айналған.
Жауабы: (1; -0,2)

№2 мысал:

Терминді қосу (азайту) әдісі арқылы шешейік.

Қосу әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу

3x-2y=1 (1 теңдеу)
2x-3y=-10 (2-ші теңдеу)

1. Айнымалыны таңдаймыз, x таңдаймыз делік. Бірінші теңдеуде х айнымалысының коэффициенті 3, екіншісінде - 2. Коэффициенттерді бірдей ету керек, ол үшін теңдеулерді көбейтуге немесе кез келген санға бөлуге құқығымыз бар. Бірінші теңдеуді 2-ге, екіншісін 3-ке көбейтіп, жалпы коэффициент 6-ға тең болады.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2х-3у=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Х айнымалысынан құтылу үшін бірінші теңдеуден екіншісін алып, сызықтық теңдеуді шешіңіз.
__6x-4y=2

5ж=32 | :5
y=6,4

3. х-ті табыңыз. Табылған у-ны теңдеулердің кез келгеніне қоямыз, бірінші теңдеуге делік.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Қиылысу нүктесі x=4,6 болады; y=6,4
Жауабы: (4,6; 6,4)

Емтиханға тегін дайындалғыңыз келе ме? Тәрбиеші онлайн тегін. Әзіл жоқ.

I. балта 2 =0 – толық емес квадрат теңдеу (b=0, c=0 ). Шешуі: x=0. Жауабы: 0.

Теңдеулерді шешу.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Шешім.Жақшаларды көбейту арқылы ашайық 2xжақшадағы әрбір термин үшін:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Шарттарды оң жақтан солға жылжытамыз:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Міне, ұқсас терминдер:

3x 2 =0, демек x=0.

Жауап: 0.

II. ax 2 +bx=0 –толық емес квадрат теңдеу (c=0 ). Шешуі: x (ax+b)=0 → x 1 =0 немесе ax+b=0 → x 2 =-b/a. Жауабы: 0; -б/а.

5x 2 -26x=0.

Шешім.Ортақ факторды шығарайық Xжақшаның сыртында:

x(5x-26)=0; әрбір фактор нөлге тең болуы мүмкін:

x=0немесе 5x-26=0→ 5x=26, теңдіктің екі жағын тең бөл 5 және мынаны аламыз: x=5,2.

Жауап: 0; 5,2.

3-мысал. 64x+4x 2 =0.

Шешім.Ортақ факторды шығарайық 4xжақшаның сыртында:

4x(16+x)=0. Бізде үш фактор бар, 4≠0, демек, немесе x=0немесе 16+x=0. Соңғы теңдіктен x=-16 аламыз.

Жауап: -16; 0.

4-мысал.(x-3) 2 +5x=9.

Шешім.Екі өрнектің айырмасының квадратының формуласын қолданып, жақшаларды ашамыз:

x 2 -6x+9+5x=9; түрге түрлендіру: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ұқсас терминдерді келтірейік:

x 2 -x=0; шығарамыз Xжақшаның сыртында мынаны аламыз: x (x-1)=0. Осы жерден немесе x=0немесе x-1=0→ x=1.

Жауап: 0; 1.

III. балта 2 +c=0 –толық емес квадрат теңдеу (b=0 ); Шешуі: балта 2 =-c → x 2 =-c/a.

Егер (-c/a)<0 , онда нақты түбірлер болмайды. Егер (-с/а)>0

5-мысал. x 2 -49=0.

Шешім.

x 2 =49, осы жерден x=±7. Жауап:-7; 7.

6-мысал. 9x 2 -4=0.

Шешім.

Көбінесе квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын (x 1 2 + x 2 2) немесе текшелерінің қосындысын (x 1 3 + x 2 3) табу керек, сирек - өзара мәндердің қосындысын ​квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының немесе арифметикалық квадрат түбірлерінің қосындысы:

Виетаның теоремасы бұған көмектеседі:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

білдірейік арқылы бЖәне q:

1) теңдеу түбірлерінің квадраттарының қосындысы x 2 +px+q=0;

2) теңдеу түбірлерінің кубтарының қосындысы x 2 +px+q=0.

Шешім.

1) Өрнек x 1 2 +x 2 2теңдеудің екі жағын квадраттау арқылы алынады x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; жақшаларды аш: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; қажетті мөлшерді өрнектейміз: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Біз пайдалы теңдікке ие болдық: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Өрнек x 1 3 +x 2 3Формула арқылы кубтардың қосындысын көрсетейік:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Басқа пайдалы теңдеу: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Мысалдар.

3) x 2 -3x-4=0.Теңдеуді шешпей, өрнектің мәнін есептеңіз x 1 2 +x 2 2.

Шешім.

x 1 +x 2 =-p=3,және жұмыс x 1 ∙x 2 =q=1 мысалда) теңдік:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.Бізде бар -б=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Содан кейін x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Жауап: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.Есептеңіз: x 1 3 +x 2 3 .

Шешім.

Виет теоремасы бойынша осы келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 1 +x 2 =-p=2,және жұмыс x 1 ∙x 2 =q=-4. Алғанымызды қолданайық ( 2 мысалда) теңдік: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Жауап: x 1 3 +x 2 3 =32.

Сұрақ: егер бізге келтірілмеген квадрат теңдеу берілсе ше? Жауап: оны бірінші коэффициентке мүшеге бөлу арқылы әрқашан «азайтуға» болады.

5) 2х 2 -5х-7=0.Шешім бермей, есептеңіз: x 1 2 +x 2 2.

Шешім.Бізге толық квадрат теңдеу берілген. Теңдіктің екі жағын 2-ге (бірінші коэффициент) бөліп, келесі квадрат теңдеуді алыңыз: x 2 -2,5x-3,5=0.

Виетаның теоремасы бойынша түбірлердің қосындысы тең 2,5 ; тамырлардың туындысы тең -3,5 .

Біз оны мысалдағыдай шешеміз 3) теңдігін пайдалана отырып: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Жауап: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.Табу:

Осы теңдікті түрлендірейік және Виета теоремасын пайдаланып, түбірлердің қосындысын ауыстырайық -б, және арқылы түбірлердің өнімі q, біз тағы бір пайдалы формула аламыз. Формуланы шығару кезінде 1 теңдігін пайдаландық): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Біздің мысалда x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Осы мәндерді алынған формулаға ауыстырамыз:

7) x 2 -13x+36=0.Табу:

Осы қосындыны түрлендіріп, квадрат теңдеудің түбірлерінен арифметикалық квадрат түбірлердің қосындысын табуға болатын формуланы алайық.

Бізде бар x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Осы мәндерді алынған формулаға ауыстырамыз:

Кеңес : әрқашан қолайлы әдіс арқылы квадрат теңдеудің түбірлерін табу мүмкіндігін тексеріңіз, өйткені 4 қаралды пайдалы формулалартапсырманы жылдам орындауға мүмкіндік береді, әсіресе дискриминант «ыңғайсыз» сан болған жағдайда. Барлық қарапайым жағдайларда тамырларды тауып, оларға операция жасаңыз. Мысалы, соңғы мысалда біз Виет теоремасы арқылы түбірлерді таңдаймыз: түбірлердің қосындысы тең болуы керек 13 , және тамырлардың өнімі 36 . Бұл қандай сандар? Әлбетте, 4 және 9.Енді осы сандардың квадрат түбірлерінің қосындысын есептеңіз: 2+3=5. Міне бітті!

И.Вьета теоремасыкелтірілген квадрат теңдеу үшін.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 +px+q=0қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Виета теоремасын пайдаланып, берілген квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз.

Мысал 1) x 2 -x-30=0.Бұл келтірілген квадрат теңдеу ( x 2 +px+q=0), екінші коэффициент p=-1, және тегін мүше q=-30.Алдымен, бұл теңдеудің түбірлері бар екеніне және түбірлердің (бар болса) бүтін сандармен өрнектелетініне көз жеткізейік. Ол үшін дискриминант бүтін санның толық квадраты болса жеткілікті.

Дискриминантты табу D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Енді, Виетаның теоремасы бойынша, түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең болуы керек, яғни. ( -б), ал туынды еркін терминге тең, яғни. ( q). Содан кейін:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.Біз олардың көбейтіндісіне тең болатындай екі санды таңдауымыз керек -30 , және сома бірлік. Бұл сандар -5 Және 6 . Жауабы: -5; 6.

Мысал 2) x 2 +6x+8=0.Бізде екінші коэффициенті бар қысқартылған квадрат теңдеу бар p=6және тегін мүше q=8. Бүтін түбірлердің бар екеніне көз жеткізейік. Дискриминантты табайық D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . D 1 дискриминанты санның тамаша квадраты болып табылады 1 , бұл бұл теңдеудің түбірлері бүтін сандар екенін білдіреді. Виет теоремасын пайдаланып түбірлерді таңдайық: түбірлердің қосындысы тең –р=-6, ал түбірлердің көбейтіндісі тең q=8. Бұл сандар -4 Және -2 .

Іс жүзінде: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Жауабы: -4; -2.

Мысал 3) x 2 +2x-4=0. Бұл қысқартылған квадрат теңдеуде екінші коэффициент p=2, және тегін мүше q=-4. Дискриминантты табайық D 1, өйткені екінші коэффициент жұп сан. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант санның толық квадраты емес, сондықтан біз жасаймыз қорытынды: Бұл теңдеудің түбірлері бүтін сандар емес және Виета теоремасын пайдаланып табу мүмкін емес.Бұл дегеніміз, біз бұл теңдеуді әдеттегідей формулалар арқылы шешеміз (бұл жағдайда формулаларды пайдаланамыз). Біз аламыз:

4-мысал).Егер болса, оның түбірлерін пайдаланып квадрат теңдеуді жаз x 1 =-7, x 2 =4.

Шешім.Қажетті теңдеу келесі түрде жазылады: x 2 +px+q=0, және, Виетаның теоремасына негізделген –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Сонда теңдеу келесідей болады: x 2 +3x-28=0.

5-мысал).Квадрат теңдеуді оның түбірлерін пайдаланып жаз, егер:

II. Виетаның теоремасытолық квадрат теңдеу үшін ax 2 +bx+c=0.

Түбірлердің қосындысы минус б, арқылы бөлінеді А, түбірлерінің көбейтіндісі тең бірге, арқылы бөлінеді A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

6-мысал).Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысын табыңыз 2x 2 -7x-11=0.

Шешім.

Бұл теңдеудің түбірі болатынына көз жеткіземіз. Ол үшін дискриминант үшін өрнек құру жеткілікті және оны есептемей, дискриминанттың нөлден үлкен екеніне көз жеткізу жеткілікті. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Енді қолданайық теорема Вьетнамтолық квадрат теңдеулер үшін.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

7-мысал). Квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін табыңыз 3x 2 +8x-21=0.

Шешім.

Дискриминантты табайық D 1, екінші коэффициенттен бастап ( 8 ) жұп сан. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадрат теңдеу бар 2 түбір, Виет теоремасы бойынша, түбірлердің көбейтіндісі x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– жалпы квадрат теңдеу

Дискриминант D=b 2 - 4ac.

Егер D>0, онда бізде екі нақты түбір бар:

Егер D=0, онда бізде бір түбір (немесе екі бірдей түбір) бар x=-b/(2a).

Егер Д<0, то действительных корней нет.

Мысал 1) 2x 2 +5x-3=0.

Шешім. а=2; б=5; в=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 нақты тамыр.

4x 2 +21x+5=0.

Шешім. а=4; б=21; в=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 нақты тамыр.

II. ax 2 +bx+c=0 – ерекше түрдегі квадрат теңдеу тіпті секундпен

коэффициент б

Мысал 3) 3x 2 -10x+3=0.

Шешім. а=3; б=-10 (жұп сан); в=3.

4-мысал) 5x 2 -14x-3=0.

Шешім. а=5; б= -14 (жұп сан); в=-3.

5-мысал) 71x 2 +144x+4=0.

Шешім. а=71; б=144 (жұп сан); в=4.

6-мысал) 9x 2 -30x+25=0.

Шешім. а=9; б=-30 (жұп сан); в=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – квадрат теңдеу жеке түрі берілген: a-b+c=0.

Бірінші түбір әрқашан минус бірге тең, ал екінші түбір әрқашан минусқа тең бірге, арқылы бөлінеді А:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

7-мысал) 2x 2 +9x+7=0.

Шешім. а=2; б=9; в=7. Теңдігін тексерейік: a-b+c=0.Біз аламыз: 2-9+7=0 .

Содан кейін x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5.Жауап: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – бағынышты белгілі бір түрдегі квадрат теңдеу : a+b+c=0.

Бірінші түбір әрқашан бірге тең, ал екінші түбір тең бірге, арқылы бөлінеді А:

x 1 =1, x 2 =c/a.

8-мысал) 2x 2 -9x+7=0.

Шешім. а=2; б=-9; в=7. Теңдігін тексерейік: a+b+c=0.Біз аламыз: 2-9+7=0 .

Содан кейін x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5.Жауап: 1; 3,5.

1 бет 1 1

математиканы шешу. Тез табыңыз математикалық теңдеуді шешурежимінде онлайн. www.site сайты мүмкіндік береді теңдеуді шешкез келген дерлік берілген алгебралық, тригонометриялықнемесе трансценденттік теңдеу онлайн. Математиканың кез келген саласын әр түрлі кезеңдерде оқыған кезде сіз шешім қабылдауыңыз керек теңдеулер онлайн. Жауапты дереу, ең бастысы нақты жауап алу үшін сізге мұны істеуге мүмкіндік беретін ресурс қажет. www.site сайтына рахмет теңдеулерді онлайн шешубірнеше минут алады. Математикалық есептерді шешудегі www.site сайтының басты артықшылығы теңдеулер онлайн- бұл берілген жауаптың жылдамдығы мен дәлдігі. Сайт кез келген нәрсені шеше алады алгебралық теңдеулер онлайн, тригонометриялық теңдеулер онлайн, трансцендентальды теңдеулер онлайн, және де теңдеулеррежимінде белгісіз параметрлермен онлайн. Теңдеулерқуатты математикалық аппарат қызметін атқарады шешімдерпрактикалық мәселелер. Көмегімен математикалық теңдеулербір қарағанда түсініксіз және күрделі болып көрінетін фактілер мен қатынастарды білдіруге болады. Белгісіз мөлшерлер теңдеулермәселені тұжырымдау арқылы табуға болады математикалықтүрінде тіл теңдеулерЖәне шешурежимде тапсырма алды онлайн www.site сайтында. Кез келген алгебралық теңдеу, тригонометриялық теңдеунемесе теңдеулерқамтитын трансцендентальдымүмкіндіктерін оңай алуға болады шешуонлайн және нақты жауап алыңыз. Жаратылыстану ғылымдарын оқыған кезде сіз міндетті түрде қажеттілікке тап боласыз теңдеулерді шешу. Бұл жағдайда жауап нақты болуы керек және режимде дереу алынуы керек онлайн. Сондықтан үшін онлайн математикалық теңдеулерді шешуСізге таптырмас калькулятор болатын www.site сайтын ұсынамыз онлайн алгебралық теңдеулерді шешу, тригонометриялық теңдеулер онлайн, және де трансцендентальды теңдеулер онлайннемесе теңдеулербелгісіз параметрлермен. Әртүрлі түбірлерді табудың практикалық есептері үшін математикалық теңдеулерресурс www.. Шешу теңдеулер онлайнпайдаланып, алынған жауапты тексеру пайдалы онлайн теңдеулерді шешу www.site сайтында. Теңдеуді дұрыс жазып, бірден алу керек онлайн шешім, содан кейін жауапты теңдеу шешімімен салыстыру ғана қалады. Жауапты тексеру бір минуттан аспайды, бұл жеткілікті теңдеуді онлайн шешужәне жауаптарды салыстырыңыз. Бұл сізге қателіктер жібермеуге көмектеседі шешімжәне жауапты уақытында түзетіңіз теңдеулерді онлайн шешуболсын алгебралық, тригонометриялық, трансцендентальдынемесе теңдеубелгісіз параметрлермен.

7-сыныптың математика курсында біз бірінші рет кездесіп отырмыз екі айнымалысы бар теңдеулер, бірақ олар екі белгісізі бар теңдеулер жүйесі контекстінде ғана зерттеледі. Сондықтан оларды шектейтін теңдеу коэффициенттері бойынша белгілі бір шарттар енгізілген есептердің тұтас сериясы көзден таса қалады. Сонымен қатар, «Натурал немесе бүтін сандардағы теңдеуді шешу» сияқты есептерді шешу әдістері де еленбейді, дегенмен мұндай есептер Бірыңғай мемлекеттік емтихан материалдарында және қабылдау емтихандарында жиі кездеседі.

Қандай теңдеу екі айнымалысы бар теңдеу деп аталады?

Сонымен, мысалы, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 немесе xy = 12 теңдеулер екі айнымалысы бар теңдеулер.

2x – y = 1 теңдеуін қарастырайық. Ол x = 2 және у = 3 болғанда ақиқат болады, сондықтан бұл айнымалы мәндер жұбы қарастырылып отырған теңдеудің шешімі болып табылады.

Осылайша, екі айнымалысы бар кез келген теңдеудің шешімі реттелген жұптар жиыны (x; y), бұл теңдеуді шынайы сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндері.

Екі белгісізі бар теңдеу:

A) бір шешімі бар.Мысалы, x 2 + 5y 2 = 0 теңдеуінің бірегей шешімі бар (0; 0);

б) бірнеше шешімдері бар.Мысалы, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 шешімі бар: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) шешімдері жоқ.Мысалы, x 2 + y 2 + 1 = 0 теңдеуінің шешімдері жоқ;

G) шексіз көп шешімдері бар.Мысалы, x + y = 3. Бұл теңдеудің шешімдері қосындысы 3-ке тең сандар болады. Бұл теңдеудің шешімдер жиынын (k; 3 – k) түрінде жазуға болады, мұндағы k кез келген нақты. саны.

Екі айнымалысы бар теңдеулерді шешудің негізгі әдістері өрнектерді көбейтуге негізделген әдістер, толық квадратты оқшаулау, квадрат теңдеудің қасиеттерін пайдалану, шектеулі өрнектер және бағалау әдістері. Теңдеу әдетте белгісіздерді табу жүйесін алуға болатын пішінге түрлендіріледі.

Факторизация

1-мысал.

Теңдеуді шешіңіз: xy – 2 = 2x – y.

Шешім.

Факторизациялау мақсатында терминдерді топтастырамыз:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Әрбір жақшадан ортақ көбейткіш шығарамыз:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Бізде:

y = 2, x – кез келген нақты сан немесе x = -1, y – кез келген нақты сан.

Осылайша, жауап (x; 2), x € R және (-1; y), y € R түріндегі барлық жұптар.

Теріс емес сандардың нөлге теңдігі

2-мысал.

Теңдеуді шешіңіз: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Шешім.

Топтастыру:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Енді әрбір жақшаны квадрат айырмасының формуласы арқылы бүктеуге болады.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

3x – 2 = 0 және 2y – 3 = 0 болғанда ғана екі теріс емес өрнектің қосындысы нөлге тең болады.

Бұл x = 2/3 және y = 3/2 дегенді білдіреді.

Жауабы: (2/3; 3/2).

Бағалау әдісі

3-мысал.

Теңдеуді шешіңіз: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Шешім.

Әрбір жақшада біз толық шаршыны белгілейміз:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Бағалап көрейік жақшадағы өрнектердің мағынасы.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 және (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, онда теңдеудің сол жағы әрқашан кем дегенде 2 болады. Теңдік мүмкін, егер:

(x + 1) 2 + 1 = 1 және (y – 2) 2 + 2 = 2, бұл х = -1, у = 2 дегенді білдіреді.

Жауабы: (-1; 2).

Екінші дәрежелі екі айнымалысы бар теңдеулерді шешудің тағы бір әдісімен танысайық. Бұл әдіс теңдеуді келесідей өңдеуден тұрады кейбір айнымалыға қатысты квадрат.

4-мысал.

Теңдеуді шеш: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Шешім.

Теңдеуді х үшін квадрат теңдеу ретінде шешейік. Дискриминантты табайық:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . D = 0, яғни у = 4 болғанда ғана теңдеудің шешімі болады. Бастапқы теңдеуге у мәнін қойып, х = 3 екенін табамыз.

Жауабы: (3; 4).

Көбінесе екі белгісізі бар теңдеулерде олар көрсетеді айнымалыларға шектеулер.

5-мысал.

Теңдеуді бүтін сандармен шешіңіз: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Шешім.

Теңдеуді x 2 = -5y 2 + 20x + 2 түрінде қайта жазайық. Алынған теңдеудің оң жағы 5-ке бөлгенде 2 қалдығын береді. Демек, х 2 5-ке бөлінбейді. Бірақ а квадраты 5-ке бөлінбейтін сан 1 немесе 4 қалдығын береді. Осылайша, теңдік мүмкін емес және шешімдер жоқ.

Жауап: тамыры жоқ.

6-мысал.

Теңдеуді шешіңіз: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Шешім.

Әрбір жақшадағы толық квадраттарды бөлектеп көрейік:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Теңдеудің сол жағы әрқашан 3-тен үлкен немесе оған тең. |x| шартында теңдік мүмкін болады. – 2 = 0 және у + 3 = 0. Сонымен, x = ± 2, у = -3.

Жауабы: (2; -3) және (-2; -3).

7-мысал.

Теңдеуді қанағаттандыратын теріс бүтін сандар (x;y) әрбір жұбы үшін
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, қосындыны есептеңіз (x + y). Жауабыңызда ең аз соманы көрсетіңіз.

Шешім.

Толық квадраттарды таңдайық:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x және y бүтін сандар болғандықтан, олардың квадраттары да бүтін сандар. 1 + 36 қоссақ, екі бүтін санның квадраттарының қосындысын 37-ге тең аламыз. Сондықтан:

(x – y) 2 = 36 және (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 және (y + 2) 2 = 36.

Бұл жүйелерді шешіп, х пен у теріс екенін ескере отырып, шешімдерді табамыз: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Жауабы: -17.

Екі белгісізі бар теңдеулерді шешу қиын болса, үмітіңізді үзбеңіз. Кішкене жаттығу арқылы сіз кез келген теңдеуді шеше аласыз.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Екі айнымалысы бар теңдеулерді шешуді білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.