Квадрат түбірді есептеу. Калькуляторсыз санау

Библиографиялық сипаттама:Пристаново С.М., Лысогорова Л.В. Шаршы түбірді алу әдістері // Жас ғалым. 2017. № 2.2. Б. 76-77..02.2019).



Негізгі сөздер : квадрат түбір, квадрат түбірді алу.

Математика сабағында квадрат түбір ұғымымен, квадрат түбірді шығару операциясымен таныстым. Мені квадрат түбірді шығару тек квадраттар кестесін, калькуляторды пайдалану арқылы мүмкін бе, әлде оны қолмен шығару жолы бар ма деген сұрақ қызықтырды. Мен бірнеше жолдарды таптым: Ежелгі Вавилон формуласы, теңдеулерді шешу арқылы, толық квадратты тастау әдісі, Ньютон әдісі, геометриялық әдіс, графикалық әдіс (, ), болжау әдісі, тақ сандарды азайту әдісі.

Келесі әдістерді қарастырыңыз:

27225=5*5*3*3*11*11 бөлінгіштік критерийін пайдаланып жай көбейткіштерге жіктейік. Осылайша

1. TO канадалық әдіс.Бұл жылдам әдісті 20 ғасырда Канаданың жетекші университеттерінің бірінде жас ғалымдар ашқан. Оның дәлдігі екі-үш ондық таңбадан аспайды.

мұндағы x - түбір шығару керек сан, с - ең жақын квадраттың саны), мысалы:

=5,92

1. Бағанда.Бұл әдіс кез келген нақты санның түбірінің жуық мәнін кез келген алдын ала анықталған дәлдікпен табуға мүмкіндік береді. Бұл әдістің кемшіліктері табылған цифрлардың саны артқан сайын есептеудің күрделенуін қамтиды. Түбірді қолмен шығару үшін ұзын бөлуге ұқсас белгі қолданылады

Шаршы түбір алгоритмі

1. Бөлшек және бүтін бөлікті үтірден бөлек бөлеміз екі санның шегіндеәр бетінде ( сүйбөлігі - оңнан солға; бөлшек- солдан оңға қарай). Бүтін бөлікте бір цифр болуы мүмкін, ал бөлшек бөлікте нөлдер болуы мүмкін.

2. Шығару солдан оңға қарай басталады және квадраты бірінші беттегі саннан аспайтын санды таңдаймыз. Бұл санды квадраттап, бірінші жағындағы санның астына жазамыз.

3. Бірінші беттегі сан мен таңдалған бірінші санның квадратының айырмашылығын табыңыз.

4. Алынған айырмашылыққа келесі жиекті қосамыз, нәтижесінде алынған сан болады бөлінетін. Білім берейік бөлгіш. Жауаптың бірінші таңдалған цифрын екі еселейміз (2-ге көбейтеміз), бөлгіштің ондаған санын аламыз және бірліктердің саны оның бүкіл бөлгіш бойынша көбейтіндісі дивидендтен аспайтындай болуы керек. Таңдалған санды жауап ретінде жазамыз.

5. Алынған айырмаға келесі жиекті алып, алгоритм бойынша әрекеттерді орындаймыз. Егер бұл бет бөлшек бөлшектің беті болып шықса, онда жауапқа үтір қоямыз. (Cурет 1.)

Бұл әдісті қолдана отырып, әртүрлі дәлдіктегі сандарды шығаруға болады, мысалы, мыңнан бірге дейін. (Cурет 2)

Квадрат түбірді алудың әртүрлі әдістерін қарастыра отырып, қорытынды жасауға болады: әрбір нақты жағдайда шешуге аз уақыт жұмсау үшін ең тиімдісін таңдау туралы шешім қабылдау керек.

Әдебиет:

1. Киселев А. Алгебра және анализ элементтері. Бірінші бөлім.-М.-1928

Негізгі сөздер: шаршы түбір, шаршы түбір.

Аннотация: Мақалада квадрат түбірлерді алу әдістері сипатталған және тамырларды алу мысалдары келтірілген.

Жақсырақ инженерлік - түбір белгісі бар түймесі бар: «√». Әдетте, түбірді шығару үшін санның өзін теру жеткілікті, содан кейін «√» түймесін басыңыз.

Қазіргі заманғы ұялы телефондардың көпшілігінде түбірді шығару функциясы бар калькулятор қосымшасы бар. Телефондық калькулятордың көмегімен санның түбірін табу процедурасы жоғарыдағыға ұқсас.
Мысал.
2-ден табыңыз.
Калькуляторды қосыңыз (егер ол өшірілген болса) және екі және түбір («2» «√») кескіні бар түймелерді кезекпен басыңыз. Әдетте, «=» пернесін басу қажет емес. Нәтижесінде біз 1,4142 сияқты санды аламыз (цифрлар мен «дөңгелектік» бит тереңдігі мен калькулятор параметрлеріне байланысты).
Ескерту: Түбірді табуға тырысқанда, калькулятор әдетте қате береді.

Егер сізде компьютерге кіру мүмкіндігі болса, онда санның түбірін табу өте оңай.
1. Кез келген компьютерде қол жетімді Калькулятор қолданбасын пайдалануға болады. Windows XP үшін бұл бағдарламаны келесідей іске қосуға болады:
«Бастау» - «Барлық бағдарламалар» - «Керек-жарақтар» - «Калькулятор».
Көріністі «қалыпты» күйге қойған дұрыс. Айтпақшы, нақты калькулятордан айырмашылығы, түбірді шығару түймесі «√» емес, «sqrt» деп белгіленген.

Көрсетілген әдісті пайдаланып калькуляторға қол жеткізе алмасаңыз, стандартты калькуляторды «қолмен» іске қосуға болады:
«Бастау» - «Орындау» - «есептеу».
2. Санның түбірін табу үшін компьютерде орнатылған кейбір бағдарламаларды да пайдалануға болады. Сонымен қатар, бағдарламаның өзінің кірістірілген калькуляторы бар.

Мысалы, MS Excel қолданбасы үшін келесі әрекеттер тізбегін орындауға болады:
MS Excel бағдарламасын іске қосыңыз.

Біз кез келген ұяшыққа түбірді шығару керек санды жазамыз.

Ұяшық көрсеткішін басқа орынға жылжытыңыз

Функция таңдау түймесін басыңыз (fx)

«ROOT» функциясын таңдаңыз

Функцияға аргумент ретінде саны бар ұяшықты көрсетеміз

«OK» немесе «Enter» түймесін басыңыз.
Бұл әдістің артықшылығы мынада, енді ұяшыққа функциядағыдай кез келген мәнді санмен енгізу жеткілікті.
Ескерту.
Санның түбірін табудың бірнеше басқа, экзотикалық тәсілдері бар. Мысалы, слайд ережесін немесе Bradis кестелерін пайдалану арқылы «бұрышта». Дегенмен, бұл әдістер күрделілігі мен практикалық пайдасыздығына байланысты осы мақалада талқыланбайды.

Тақырып бойынша бейнеролик

Дереккөздер:

• санның түбірін қалай табуға болады

Кейде математикалық есептеулердің қандай да бір түрін орындау қажет болғанда, соның ішінде квадрат түбірлерді және санның үлкен түбірлерін шығару қажет болатын жағдайлар туындайды. Санның n-ші түбірі n-ші дәрежесі а саны болатын сан.

Нұсқаулар

«n» түбірін табу үшін келесі әрекеттерді орындаңыз.

Компьютерде «Бастау» - «Барлық бағдарламалар» - «Керек-жарақтар» түймесін басыңыз. Содан кейін «Қызмет» бөліміне өтіп, «Калькуляторды» таңдаңыз. Мұны қолмен орындауға болады: «Бастау» түймесін басып, «Іске қосу» өрісіне «калк» деп теріңіз де, Enter пернесін басыңыз. Ашылады. Санның квадрат түбірін шығару үшін оны калькуляторға енгізіп, «sqrt» деп белгіленген түймені басыңыз. Калькулятор енгізілген саннан квадрат түбір деп аталатын екінші дәрежелі түбірді шығарады.

Дәрежесі екіншіден жоғары түбірді алу үшін калькулятордың басқа түрін пайдалану керек. Ол үшін калькулятор интерфейсінде «Көру» түймесін басып, мәзірден «Инженерлік» немесе «Ғылыми» жолын таңдаңыз. Калькулятордың бұл түрі n-ші түбірді есептеуге қажетті функцияға ие.

Үшінші дәрежелі түбірді шығару үшін () «инженерлік» калькуляторда қажетті санды енгізіп, «3√» түймесін басыңыз. Дәрежесі 3-тен жоғары түбірді алу үшін қажетті санды енгізіңіз, «y√x» белгішесі бар түймені басыңыз, содан кейін санды енгізіңіз - көрсеткіш. Осыдан кейін теңдік белгісін («=» түймесі) басыңыз, сонда сіз қажетті түбірді аласыз.

Калькуляторыңызда «y√x» функциясы болмаса, келесі.

Текше түбірін шығару үшін түбегейлі өрнекті енгізіңіз, содан кейін «Inv» жазуының жанында орналасқан құсбелгіні қойыңыз. Бұл әрекеттің көмегімен калькулятор түймелерінің функцияларын өзгертесіз, яғни текше түймесін басу арқылы текше түбірін шығарасыз. Сіз көрсететін түймеде

Оны реттейтін уақыт келді тамыр алу әдістері. Олар түбірлердің қасиеттеріне, атап айтқанда, кез келген теріс емес b санына сәйкес келетін теңдікке негізделген.

Төменде біз тамырларды алудың негізгі әдістерін бір-бірден қарастырамыз.

Ең қарапайым жағдайдан бастайық - квадраттар кестесін, текшелер кестесін және т.б. көмегімен натурал сандардан түбірлерді алу.

Егер квадраттардың кестелері, текшелер және т.б. Егер ол қолыңызда болмаса, радикалды санды жай көбейткіштерге бөлуді қамтитын түбірді алу әдісін қолдану қисынды.

Дәрежелері тақ түбірлер үшін мүмкін болатынын ерекше атап өткен жөн.

Соңында түбірлік мәннің цифрларын ретімен табуға мүмкіндік беретін әдісті қарастырайық.

Бастайық.

Шаршылар кестесін, текшелер кестесін және т.б.

Ең қарапайым жағдайларда квадраттардың, текшелердің және т.б кестелер тамырларды шығаруға мүмкіндік береді. Бұл кестелер қандай?

0-ден 99-ға дейінгі бүтін сандар квадраттарының кестесі (төменде көрсетілген) екі аймақтан тұрады. Кестенің бірінші аймағы белгілі бір жолды және белгілі бір бағанды ​​таңдау арқылы сұр фонда орналасады, ол 0-ден 99-ға дейінгі санды құруға мүмкіндік береді; Мысалы, 8 ондық жолды және 3 бірліктен тұратын бағанды ​​таңдайық, осымен біз 83 санын бекіттік. Екінші аймақ кестенің қалған бөлігін алады. Әрбір ұяшық белгілі бір жол мен белгілі бір бағанның қиылысында орналасқан және 0-ден 99-ға дейінгі сәйкес санның квадратын қамтиды. Біз таңдаған 8 ондық қатары мен бірліктердің 3-бағанының қиылысында 83 санының квадраты болып табылатын 6889 саны бар ұяшық бар.

Текшелер кестелері, 0-ден 99-ға дейінгі сандардың төртінші дәрежелерінің кестелері және т.б. квадраттар кестесіне ұқсас, тек оларда тек екінші аймақта текшелер, төртінші дәрежелер және т.б. сәйкес сандар.

Квадраттардың, текшелердің, төртінші дәрежелердің және т.б. шаршы түбірлерді, текше түбірлерді, төртінші түбірлерді және т.б. шығаруға мүмкіндік береді. сәйкес осы кестелердегі сандардан. Тамырларды алу кезінде оларды пайдалану принципін түсіндірейік.

n-ші дәрежелер кестесінде а саны бар болса, а санының n-ші түбірін шығару керек делік. Осы кестені пайдалана отырып, a=b n болатындай b санын табамыз. Содан кейін , демек, b саны n-ші дәреженің қажетті түбірі болады.

Мысал ретінде 19,683 текше түбірін шығару үшін текше кестесін пайдалану жолын көрсетейік. Біз кубтар кестесінен 19683 санын табамыз, одан бұл сан 27 санының кубы екенін табамыз, сондықтан .

Түбірлерді алу үшін n-ші дәрежелердің кестелері өте ыңғайлы екені анық. Дегенмен, олар жиі қол астында болмайды және оларды құрастыру біраз уақытты қажет етеді. Сонымен қатар, көбінесе сәйкес кестелерде жоқ сандардан түбірлерді алу қажет. Мұндай жағдайларда тамырды алудың басқа әдістеріне жүгіну керек.

Радикалды санды жай көбейткіштерге көбейту

Натурал санның түбірін шығарудың (әрине, түбірі шығарылса) өте ыңғайлы тәсілі - радикалды санды жай көбейткіштерге ыдырату. Оның мәні мынада: содан кейін оны түбірдің мәнін алуға мүмкіндік беретін қажетті көрсеткішпен дәреже ретінде көрсету өте оңай. Осы жайды нақтылап көрейік.

Натурал а санының n-ші түбірі қабылданып, оның мәні b-ге тең болсын. Бұл жағдайда a=b n теңдігі ақиқат болады. b саны кез келген натурал сан сияқты оның барлық жай көбейткіштерінің p 1 , p 2 , …, p m көбейтіндісі ретінде p 1 ·p 2 ·…·p m түрінде ұсынылуы мүмкін және бұл жағдайда радикалдық саны a. (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде көрсетіледі. Санның жай көбейткіштерге ыдырауы бірегей болғандықтан, a радикалды санының жай көбейткіштерге ыдырауы (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде болады, бұл түбірдің мәнін есептеуге мүмкіндік береді. ретінде.

Егер a радикалды санының жай көбейткіштерге ыдырауын (p 1 ·p 2 ·…·p m) n түрінде көрсету мүмкін болмаса, онда мұндай a санының n-ші түбірі толығымен шығарылмағанын ескеріңіз.

Мысалдарды шешу кезінде осыны анықтайық.

Мысал.

144-тің квадрат түбірін алыңыз.

Шешім.

Алдыңғы абзацта берілген квадраттар кестесін қарасаңыз, 144 = 12 2 екенін анық көруге болады, одан 144-тің квадрат түбірі 12-ге тең екені анық.

Бірақ осы тармақты ескере отырып, біз 144 радикалды санын жай көбейткіштерге ыдырату арқылы түбірдің қалай алынатыны қызықтырады. Осы шешімді қарастырайық.

Шыдайық 144 жай көбейткіштерге:

Яғни, 144=2·2·2·2·3·3. Алынған ыдырау негізінде келесі түрлендірулерді жүргізуге болады: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Демек, .

Дәреженің қасиеттерін және түбірлердің қасиеттерін пайдалана отырып, шешімді сәл басқаша тұжырымдауға болады: .

Жауап:

Материалды бекіту үшін тағы екі мысалдың шешімдерін қарастырыңыз.

Мысал.

Түбірдің мәнін есептеңіз.

Шешім.

243 радикалды санын жай көбейткіштерге бөлу 243=3 5 түрінде болады. Осылайша, .

Жауап:

Мысал.

Түбір мәні бүтін сан ба?

Шешім.

Бұл сұраққа жауап беру үшін радикалды санды жай көбейткіштерге көбейтіп, оны бүтін санның текшесі ретінде көрсетуге болатынын көрейік.

Бізде 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Нәтижедегі кеңейтуді бүтін санның текшесі ретінде көрсету мүмкін емес, өйткені 7 жай көбейткіштің дәрежесі үшке еселік емес. Сондықтан 285,768 текше түбірін толық шығару мүмкін емес.

Жауап:

Жоқ.

Бөлшек сандардан түбір алу

Бөлшек санның түбірін қалай шығару керектігін анықтайтын уақыт келді. Бөлшек радикалды сан p/q деп жазылсын. Бөлшек түбірінің қасиетіне сәйкес келесі теңдік дұрыс болады. Осы теңдіктен ол шығады бөлшектің түбірін алу ережесі: Бөлшектің түбірі алым түбірінің бөлімін азайғыштың түбіріне бөлгенге тең.

Бөлшектен түбір алудың мысалын қарастырайық.

Мысал.

25/169 жай бөлшектің квадрат түбірі неге тең?

Шешім.

Квадраттар кестесін пайдалана отырып, бастапқы бөлшектің алымының квадрат түбірі 5-ке, ал бөлгіштің квадрат түбірі 13-ке тең екенін табамыз. Содан кейін . Бұл 25/169 жай бөлшектің түбірін алуды аяқтайды.

Жауап:

Ондық бөлшектің немесе аралас санның түбірі түбірлі сандарды жай бөлшектермен ауыстырғаннан кейін алынады.

Мысал.

474.552 ондық бөлшектің текше түбірін алыңыз.

Шешім.

Бастапқы ондық бөлшекті жай бөлшек ретінде елестетейік: 474,552=474552/1000. Содан кейін . Алынған бөлшектің алымы мен бөлгішінде тұрған текше түбірлерді алу қалады. Өйткені 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 және 1 000 = 10 3, сонда Және . Тек есептеулерді аяқтау ғана қалады .

Жауап:

.

Теріс санның түбірін алу

Теріс сандардан түбірлерді шығаруға тоқталған жөн. Түбірлерді зерттегенде түбір көрсеткіші тақ сан болса, түбір белгісінің астында теріс сан болуы мүмкін екенін айттық. Бұл жазбаларға мынадай мағына бердік: −a теріс саны және 2 n−1 түбірінің тақ көрсеткіші үшін, . Бұл теңдік береді теріс сандардан тақ түбірлерді алу ережесі: теріс санның түбірін шығару үшін қарама-қарсы оң санның түбірін алып, нәтиженің алдына минус таңбасын қою керек.

Мысал шешімін қарастырайық.

Мысал.

Түбірдің мәнін табыңыз.

Шешім.

Түбір белгісінің астында оң сан болатындай бастапқы өрнекті түрлендірейік: . Енді аралас санды жай бөлшекпен ауыстырыңыз: . Жай бөлшектің түбірін алу ережесін қолданамыз: . Алынған бөлшектің алымы мен бөлгішіндегі түбірлерді есептеу қалады: .

Мұнда шешімнің қысқаша мазмұны берілген: .

Жауап:

.

Түбірлік мәнді биттік анықтау

Жалпы жағдайда, түбірдің астында жоғарыда қарастырылған әдістерді қолдана отырып, кез келген санның n-ші дәрежесі ретінде көрсетуге болмайтын сан бар. Бірақ бұл жағдайда ең болмағанда белгілі бір белгіге дейін берілген түбірдің мағынасын білу қажеттілігі туындайды. Бұл жағдайда түбірді шығару үшін қажетті санның жеткілікті сандық мәндерін дәйекті түрде алуға мүмкіндік беретін алгоритмді пайдалануға болады.

Бұл алгоритмнің бірінші қадамы түбір мәнінің ең маңызды биті қандай екенін анықтау болып табылады. Ол үшін 0, 10, 100, ... сандары радикалды саннан асатын сан алынған сәтке дейін n дәрежесіне дәйекті түрде көтеріледі. Сонда алдыңғы кезеңде n дәрежесіне көтерген сан сәйкес ең маңызды цифрды көрсетеді.

Мысалы, бестің квадрат түбірін шығару кезінде алгоритмнің осы қадамын қарастырыңыз. 0, 10, 100, ... сандарын алып, 5-тен үлкен сан шыққанша олардың квадратын алыңыз. Бізде 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, бұл ең маңызды сан бір сандар болатынын білдіреді. Бұл биттің мәні, сондай-ақ төменгілері түбірді алу алгоритмінің келесі қадамдарында табылады.

Алгоритмнің барлық келесі қадамдары түбірдің қажетті мәнінің келесі биттерінің мәндерін табу арқылы, ең жоғарыдан бастап, ең төменгілеріне көшу арқылы түбірдің мәнін дәйекті түрде нақтылауға бағытталған. Мысалы, бірінші қадамдағы түбірдің мәні 2, екіншісінде – 2,2, үшіншіде – 2,23 және т.с.с. 2,236067977… болады. Цифрлардың мәндері қалай табылатынын сипаттап көрейік.

Цифрлар 0, 1, 2, ..., 9 мүмкін мәндерін іздеу арқылы табылады. Бұл жағдайда сәйкес сандардың n-ші дәрежелері параллель есептеліп, олар радикалды санмен салыстырылады. Егер қандай да бір кезеңде дәреженің мәні радикалды саннан асып кетсе, онда алдыңғы мәнге сәйкес цифрдың мәні табылды деп есептеледі, ал егер бұл орындалмаса, түбір алу алгоритмінің келесі қадамына көшу жүргізіледі; онда бұл цифрдың мәні 9 болады.

Осы нүктелерді бестің квадрат түбірін шығарудың бір мысалы арқылы түсіндірейік.

Алдымен бірлік цифрының мәнін табамыз. 0, 1, 2, ..., 9 мәндерінен өтіп, сәйкесінше 0 2, 1 2, ..., 9 2 сандарын есептеп, 5 түбегейлі санынан үлкен мән алғанша өтеміз. Барлық осы есептеулерді кесте түрінде ұсыну ыңғайлы:

Сонымен бірлік цифрының мәні 2 (2 2 болғандықтан<5 , а 2 3 >5). Ондықтардың мәнін табуға көшейік. Бұл жағдайда 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 сандарын квадраттап, алынған мәндерді 5 радикалды санымен салыстырамыз:

2.2 2 бастап<5 , а 2,3 2 >5, онда ондықтардың мәні 2 болады. Жүздік орынның мәнін табуға болады:

Бес түбірдің келесі мәні осылай табылды, ол 2,23-ке тең. Осылайша сіз мәндерді табуды жалғастыра аласыз: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Материалды бекіту үшін қарастырылған алгоритмді пайдалана отырып, түбірді жүздік дәлдікпен алуды талдаймыз.

Алдымен біз ең маңызды цифрды анықтаймыз. Ол үшін 0, 10, 100 және т.б сандарды текшелейміз. 2 151 186-дан үлкен санды алғанша. Бізде 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , сондықтан ең маңызды цифр ондық цифр болып табылады.

Оның мәнін анықтайық.

103 жылдан бастап<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, онда ондықтардың мәні 1-ге тең. Бірліктерге көшейік.

Осылайша, бірліктер цифрының мәні 2-ге тең. Ондықтарға көшейік.

Тіпті 12,9 3 саны 2 151,186 түбегейлі саннан аз болғандықтан, оныншы орынның мәні 9 болады. Алгоритмнің соңғы қадамын орындау қалады, ол бізге қажетті дәлдікпен түбірдің мәнін береді.

Бұл кезеңде түбірдің мәні жүзден бір бөлігіне дейін дәл табылады: .

Осы мақаланы қорытындылай келе, тамырларды алудың көптеген басқа жолдары бар екенін айтқым келеді. Бірақ көптеген тапсырмалар үшін біз жоғарыда қарастырғандар жеткілікті.

Анықтамалар.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: 8-сыныпқа арналған оқулық. оқу орындары.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және т.б. алгебра және талдау бастаулары: Жалпы білім беретін оқу орындарының 10-11-сыныптарына арналған оқулық.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (техникалық оқу орындарына түсетіндерге арналған оқу құралы).

Көбінесе мәселелерді шешу кезінде біз алуымыз керек үлкен сандарға тап боламыз шаршы түбір. Көптеген студенттер бұл қате деп шешіп, бүкіл мысалды қайта шеше бастайды. Ешбір жағдайда мұны істеуге болмайды! Мұның екі себебі бар:

1. Мәселелерде үлкен сандардың түбірлері пайда болады. Әсіресе мәтіндерде;
2. Бұл түбірлерді ауызша дерлік есептейтін алгоритм бар.

Біз бүгін осы алгоритмді қарастырамыз. Мүмкін кейбір нәрселер сізге түсініксіз болып көрінуі мүмкін. Бірақ егер сіз осы сабаққа назар аударсаңыз, сіз қарсы күшті қару аласыз шаршы түбірлер.

Сонымен, алгоритм:

1. Жоғарыдағы және астындағы қажетті түбірді 10-ға еселік сандармен шектеңіз. Осылайша, іздеу ауқымын 10 санға дейін азайтамыз;
2. Осы 10 санның ішінен түбір бола алмайтындарды алып тастаңыз. Нәтижесінде 1-2 сан қалады;
3. Осы 1-2 сандарды квадратпен белгілеңіз. Квадраты бастапқы санға тең болса, сол түбір болады.

Бұл алгоритмді іс жүзінде қолданбас бұрын, әрбір жеке қадамды қарастырайық.

Түбірлік шектеу

Ең алдымен түбіріміздің қай сандар арасында орналасқанын анықтау керек. Сандардың онға еселік болуы өте қажет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Біз сандар қатарын аламыз:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Бұл сандар бізге не айтады? Бұл қарапайым: біз шекараларды аламыз. Мысалы, 1296 санын алайық. Ол 900 мен 1600 арасында жатыр. Сондықтан оның түбірі 30-дан кіші және 40-тан үлкен болмауы керек:

[Суреттің жазуы]

Дәл осы нәрсе квадрат түбірін табуға болатын кез келген басқа санға қатысты. Мысалы, 3364:

[Суреттің жазуы]

Осылайша, түсініксіз санның орнына біз бастапқы түбір жататын өте нақты диапазон аламыз. Іздеу аймағын одан әрі тарылту үшін екінші қадамға өтіңіз.

Керексіз сандарды жою

Сонымен, бізде 10 сан бар - түбірге үміткерлер. Біз оларды күрделі ойлаусыз және бағанға көбейтусіз өте тез алдық. Әрі қарай қозғалатын кез келді.

Сенсеңіз де, сенбесеңіз де, біз енді кандидаттар санын екіге дейін азайтамыз – тағы да күрделі есептеулерсіз! Арнайы ережені білу жеткілікті. Мінеки:

Квадраттың соңғы цифры тек соңғы цифрға байланысты бастапқы нөмір.

Басқаша айтқанда, шаршының соңғы цифрын қараңыз және біз бастапқы санның қайда аяқталатынын бірден түсінеміз.

Соңғы орында келе алатын тек 10 цифр бар. Квадрат болған кезде олардың неге айналатынын анықтауға тырысайық. Кестеге қараңыз:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Бұл кесте түбірді есептеудің тағы бір қадамы. Көріп отырғаныңыздай, екінші жолдағы сандар беске қатысты симметриялы болып шықты. Мысалы:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Көріп отырғаныңыздай, соңғы сан екі жағдайда да бірдей. Бұл, мысалы, 3364 түбірі 2 немесе 8-мен аяқталуы керек дегенді білдіреді. Екінші жағынан, біз алдыңғы абзацтағы шектеуді есте сақтаймыз. Біз аламыз:

[Суреттің жазуы]

Қызыл шаршылар бұл көрсеткішті әлі білмегенімізді көрсетеді. Бірақ түбір 50-ден 60-қа дейінгі аралықта жатыр, онда 2 және 8-мен аяқталатын екі ғана сан бар:

[Суреттің жазуы]

Міне бітті! Барлық ықтимал тамырлардың ішінен біз тек екі нұсқаны қалдырдық! Және бұл ең қиын жағдайда, өйткені соңғы сан 5 немесе 0 болуы мүмкін. Содан кейін түбірлерге бір ғана үміткер болады!

Қорытынды есептеулер

Сонымен, бізде 2 үміткер нөмір қалды. Қайсысының түбір екенін қайдан білуге ​​болады? Жауап анық: екі санның да квадраты. Квадраты бастапқы санды береді, сол түбір болады.

Мысалы, 3364 саны үшін біз екі үміткер санын таптық: 52 және 58. Оларды квадраттайық:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Міне бітті! Түбір 58 болып шықты! Бұл ретте есептеулерді жеңілдету үшін қосынды мен айырманың квадраттарының формуласын қолдандым. Осының арқасында мен сандарды бағанға көбейтудің қажеті болмады! Бұл есептеулерді оңтайландырудың тағы бір деңгейі, бірақ, әрине, толығымен міндетті емес :)

Түбірлерді есептеу мысалдары

Теория, әрине, жақсы. Бірақ оны іс жүзінде тексеріп көрейік.

[Суреттің жазуы]

Алдымен 576 саны қай сандардың арасында жатқанын анықтайық:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Енді соңғы санға назар аударайық. Ол 6-ға тең. Бұл қашан болады? Түбір 4 немесе 6-мен аяқталса ғана. Біз екі сан аламыз:

Әр санның квадратын алу және оны түпнұсқамен салыстыру ғана қалады:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Тамаша! Бірінші шаршы бастапқы санға тең болып шықты. Демек, бұл тамыр.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Соңғы санды қарастырайық:

1369 → 9;
33; 37.

Шаршы:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Міне, жауап: 37.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

Біз санды шектейміз:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Соңғы санды қарастырайық:

2704 → 4;
52; 58.

Шаршы:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Біз жауап алдық: 52. Екінші санды енді квадраттау қажет емес.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

Біз санды шектейміз:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Соңғы санды қарастырайық:

4225 → 5;
65.

Көріп отырғаныңыздай, екінші қадамнан кейін бір ғана нұсқа қалды: 65. Бұл қажетті түбір. Бірақ бәрібір оны квадраттап, тексерейік:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Барлығы дұрыс. Жауабын жазамыз.

Қорытынды

Әттең, жақсы емес. Оның себептерін қарастырайық. Олардың екеуі бар:

• Кез келген қалыпты математика емтиханында, ол Мемлекеттік емтихан немесе Бірыңғай мемлекеттік емтихан болсын, калькуляторды пайдалануға тыйым салынады. Ал егер сіз сабаққа калькулятор әкелсеңіз, емтиханнан оңай қуылуыңыз мүмкін.
• Ақымақ американдықтар сияқты болмаңыз. Түбірлер сияқты емес - олар екі жай санды қоса алмайды. Ал фракцияларды көргенде, олар әдетте истерияға айналады.

Калькуляторлардан бұрын оқушылар мен мұғалімдер квадрат түбірлерді қолмен есептеді. Санның квадрат түбірін қолмен есептеудің бірнеше жолы бар. Олардың кейбіреулері тек шамамен шешімді ұсынса, басқалары нақты жауап береді.

Қадамдар

Жай көбейткіштерге бөлу

Радикалды санды квадрат сандар болатын көбейткіштерге көбейтіңіз.Радикалды санға байланысты сіз шамамен немесе нақты жауап аласыз. Шаршы сандар - бүтін квадрат түбірін алуға болатын сандар. Факторлар деп көбейткенде бастапқы санды беретін сандарды айтады. Мысалы, 8 санының көбейткіштері 2 және 4, өйткені 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 сандары шаршы сандар, өйткені √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Шаршы көбейткіштер факторлар болып табылады, олар квадрат сандар. Алдымен радикалды санды квадраттық көбейткіштерге көбейтіп көріңіз.

• Мысалы, 400-дің квадрат түбірін есептеңіз (қолмен). Алдымен 400-ді квадраттық көбейткіштерге бөліп көріңіз. 400 - 100-ге еселік, яғни 25-ке бөлінеді - бұл шаршы сан. 400-ді 25-ке бөлгенде 16 шығады. 16 саны да шаршы сан. Осылайша, 400-ді 25 және 16-ның квадраттық көбейткіштеріне бөлуге болады, яғни 25 x 16 = 400.
• Оны былай жазуға болады: √400 = √(25 x 16).

1. Кейбір мүшелердің көбейтіндісінің квадрат түбірі әрбір мүшенің квадрат түбірлерінің көбейтіндісіне тең, яғни √(a x b) = √a x √b.

   • Әрбір шаршы фактордың квадрат түбірін алу үшін осы ережені пайдаланыңыз және жауапты табу үшін нәтижелерді көбейтіңіз.
     • Біздің мысалда 25 пен 16-ның түбірін алыңыз.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • Мысалы, 147 санының квадрат түбірін есептеңіз. 147 санын екі квадрат көбейткіштерге бөлуге болмайды, бірақ оны келесі көбейткіштерге бөлуге болады: 49 және 3. Есепті келесідей шешіңіз:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Қажет болса, түбірдің мәнін бағалаңыз.Енді сіз түбірдің мәнін (шамамен мәнді табыңыз) оны түбегейлі санға ең жақын (сандар сызығының екі жағында) квадрат сандарының түбірлерінің мәндерімен салыстыру арқылы бағалай аласыз. Түбір мәнін ондық бөлшек ретінде аласыз, оны түбір белгісінің артындағы санға көбейту керек.

   • Біздің мысалға оралайық. Радикалды сан 3. Оған ең жақын квадрат сандар 1 (√1 = 1) және 4 (√4 = 2) сандары болады. Осылайша, √3 мәні 1 мен 2 арасында орналасқан. √3 мәні 1-ге қарағанда 2-ге жақынырақ болғандықтан, біздің бағалауымыз: √3 = 1,7. Бұл мәнді түбір белгісіндегі санға көбейтеміз: 7 x 1,7 = 11,9. Есепті калькуляторда жасасаңыз, сіз 12.13 аласыз, бұл біздің жауапқа өте жақын.
     • Бұл әдіс үлкен сандармен де жұмыс істейді. Мысалы, √35 қарастырайық. Радикалды сан 35. Оған ең жақын квадрат сандар 25 (√25 = 5) және 36 (√36 = 6) сандары болады. Осылайша, √35 мәні 5 пен 6 арасында орналасқан. √35 мәні 5-ке қарағанда 6-ға әлдеқайда жақын болғандықтан (өйткені 35 саны 36-дан 1 ғана кем), √35 6-дан сәл аз деп айта аламыз. Калькулятордағы тексеру бізге 5.92 жауап береді - біз дұрыс болдық.

4. Тағы бір әдіс - радикалды санды жай көбейткіштерге көбейту.Жай көбейткіштер – 1-ге және өзіне ғана бөлінетін сандар. Жай көбейткіштерді қатарға жазыңыз және бірдей көбейткіштердің жұптарын табыңыз. Мұндай факторларды түбір белгісінен шығаруға болады.

   • Мысалы, 45-тің квадрат түбірін есептеңіз. Радикалды санды жай көбейткіштерге бөлеміз: 45 = 9 x 5 және 9 = 3 x 3. Осылайша, √45 = √(3 x 3 x 5). Түбір белгісі ретінде 3-ті шығаруға болады: √45 = 3√5. Енді біз √5 деп есептей аламыз.
   • Тағы бір мысалды қарастырайық: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Сіз 2-нің үш көбейткішін алдыңыз; олардың бірнешеуін алып, түбір белгісінен тыс жылжытыңыз.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Енді сіз √2 және √11-ді бағалап, шамамен жауап таба аласыз.

   Квадрат түбірді қолмен есептеу

   Ұзын бөлуді қолдану

   1. Бұл әдіс ұзақ бөлуге ұқсас процесті қамтиды және нақты жауап береді.Алдымен парақты екі жартыға бөлетін тік сызық сызыңыз, содан кейін оңға және парақтың үстіңгі жиегінен сәл төмен, тік сызыққа көлденең сызық сызыңыз. Енді ондық бөлшектен кейінгі бөлшек бөлігінен бастап, радикалды санды жұп сандарға бөліңіз. Сонымен, 79520789182.47897 саны «7 95 20 78 91 82, 47 89 70» деп жазылған.

      • Мысалы, 780,14 санының квадрат түбірін есептейік. Екі жол сызыңыз (суретте көрсетілгендей) және сол жақ жоғарғы жағындағы «7 80, 14» түрінде берілген санды жазыңыз. Сол жақтағы бірінші сан жұпталмаған цифр болуы қалыпты жағдай. Жауабын (осы санның түбірін) жоғарғы оң жаққа жазасыз.

   2. Сол жақтағы сандардың бірінші жұбы (немесе жалғыз сан) үшін квадраты қарастырылатын сандар жұбынан (немесе жалғыз саннан) кіші немесе тең болатын ең үлкен n бүтін санын табыңыз.

      • Басқаша айтқанда, сол жақтан бірінші сандар жұбына (немесе жалғыз санға) жақын, бірақ одан кіші шаршы санды тауып, сол шаршы санның квадрат түбірін алыңыз; сіз n санын аласыз. Жоғарғы оң жаққа тапқан n санын, ал төменгі оң жаққа n квадратын жазыңыз.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Біздің жағдайда сол жақтағы бірінші сан 7 болады. Келесі, 4Сол жақтағы бірінші сандар жұбынан (немесе жалғыз саннан) жаңа ғана тапқан n санының квадратын шегеріңіз.

      • Есептің нәтижесін шегерім астына жазыңыз (n санының квадраты).

   4. Біздің мысалда 7-ден 4-ті алып, 3-ті алыңыз.Сандардың екінші жұбын түсіріп, алдыңғы қадамда алынған мәннің жанына жазыңыз.

      • Содан кейін жоғарғы оң жақтағы санды екі есе көбейтіңіз және нәтижені төменгі оң жаққа «_×_=" қосу арқылы жазыңыз.

   5. Біздің мысалда сандардың екінші жұбы «80». 3-тен кейін «80» деп жазыңыз. Содан кейін жоғарғы оң жақтағы екі еселенген сан 4 береді. Төменгі оң жаққа «4_×_=" деп жазыңыз.

      • Оң жақтағы бос орындарды толтырыңыз.

   6. Біздің жағдайда, егер сызықтардың орнына 8 санын қойсақ, онда 48 x 8 = 384, бұл 380-ден көп. Демек, 8 тым үлкен сан, бірақ 7 орындалады. Үзіктердің орнына 7 жазып, мынаны алыңыз: 47 x 7 = 329. Жоғарғы оң жаққа 7 деп жазыңыз - бұл 780,14 санының қажетті квадрат түбіріндегі екінші цифр.Сол жақтағы ағымдағы саннан алынған санды шегеріңіз.

      • Алдыңғы қадамның нәтижесін сол жақтағы ағымдағы санның астына жазыңыз, айырмашылықты табыңыз және оны көбейтіндінің астына жазыңыз.

   7. Біздің мысалда 380-ден 329-ды алып тастаңыз, бұл 51-ге тең.Егер тасымалданатын сандар жұбы бастапқы санның бөлшек бөлігі болса, жоғарғы оң жақтағы қажетті квадрат түбірге бүтін және бөлшек бөліктерінің арасына бөлгіш (үтір) қойыңыз. Сол жақта келесі сандар жұбын түсіріңіз. Жоғарғы оң жақтағы санды екі есе көбейтіңіз және нәтижені төменгі оң жаққа «_×_=" қосу арқылы жазыңыз.

      • Біздің мысалда жойылатын сандардың келесі жұбы 780.14 санының бөлшек бөлігі болады, сондықтан бүтін және бөлшек бөліктерінің бөлгішін жоғарғы оң жақтағы қажетті квадрат түбірге қойыңыз. 14-ті түсіріп, төменгі сол жаққа жазыңыз. Жоғарғы оң жақтағы санды екі есе арттырыңыз (27) 54, сондықтан төменгі оң жаққа «54_×_=" деп жазыңыз.

   8. 5 және 6-қадамдарды қайталаңыз.Көбейтудің нәтижесі сол жақтағы ағымдағы саннан аз немесе оған тең болатындай етіп оң жақтағы сызықшалардың орнына ең үлкен санды табыңыз (сызықшалардың орнына сол санды ауыстыру керек).

      • Біздің мысалда 549 ​​x 9 = 4941, бұл сол жақтағы ағымдағы саннан (5114) аз. Жоғарғы оң жаққа 9 деп жазып, сол жақтағы ағымдағы саннан көбейту нәтижесін алып тастаңыз: 5114 - 4941 = 173.

   9. Квадрат түбір үшін қосымша ондық бөлшектерді табу қажет болса, ағымдағы санның сол жағына бірнеше нөл жазып, 4, 5 және 6-қадамдарды қайталаңыз. Жауап дәлдігін (ондық бөлшектердің саны) алғанша қадамдарды қайталаңыз. қажет.

   Процесті түсіну

   Бұл әдісті меңгеру үшін S шаршының ауданы ретінде квадрат түбірін табу керек санды елестетіңіз. Бұл жағдайда сіз осындай шаршының L қабырғасының ұзындығын іздейсіз. L мәнін L² = S болатындай етіп есептейміз.

   Жауаптағы әрбір санға әріп беріңіз. L мәніндегі бірінші цифрды А арқылы белгілейік (қажетті квадрат түбір). B екінші цифр, C үшінші цифр болады және т.б.

   Бірінші сандардың әрбір жұбы үшін әріпті көрсетіңіз. S мәніндегі цифрлардың бірінші жұбын S a арқылы, екінші цифр жұбын S b және т.б. белгілейік.

   Бұл әдіс пен ұзақ бөлу арасындағы байланысты түсініңіз.Бөлу кезіндегідей, біз әр уақытта бөлетін санның келесі цифрын ғана қызықтырамыз, квадрат түбірді есептегенде, біз сандар жұбын дәйекті түрде жұмыс істейміз (квадрат түбір мәніндегі келесі бір цифрды алу үшін) .

   1. S санының Sa цифрларының бірінші жұбын қарастырайық (біздің мысалда Sa = 7) және оның квадрат түбірін табыңыз.Бұл жағдайда квадрат түбірдің қажетті мәнінің бірінші А цифры квадраты S a-дан кіші немесе оған тең цифр болады (яғни біз A² ≤ Sa теңсіздігі болатындай A іздейміз.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962 санын 7-ге бөлу керек делік; мұнда бірінші қадам ұқсас болады: бөлінетін 88962 (8) санының бірінші цифрын қарастырамыз және 7-ге көбейткенде 8-ден кем немесе оған тең мән беретін ең үлкен санды таңдаймыз. Яғни, біз іздейміз. теңсіздігі ақиқат болатын d саны: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Аумағын есептеу керек шаршыны ойша елестетіңіз.Сіз L мәнін, яғни ауданы S-ке тең шаршының қабырғасының ұзындығын іздеп жатырсыз. A, B, C - L санындағы сандар. Оны басқаша жазуға болады: 10A + B = L (үшін екі таңбалы сан) немесе 100A + 10B + C = L (үш таңбалы сан үшін) және т.б.

      • Болсын (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B цифры В цифры бірліктерді, ал А цифры ондықтарды білдіретін сан екенін есте сақтаңыз. Мысалы, А=1 және В=2 болса, 10А+В 12 санына тең. (10A+B)²бүкіл шаршының ауданы, 100А²- үлкен ішкі шаршының ауданы, B²- кіші ішкі шаршының ауданы, 10A×B- екі төртбұрыштың әрқайсысының ауданы. Сипатталған фигуралардың аудандарын қосу арқылы сіз бастапқы шаршының ауданын табасыз.