Қандай да бір х 0 нүктесінде соңғы f (x 0) туындысы болатын f функциясы берілсін. Сонда бұрыштық коэффициенті f ’(x 0) болатын (x 0 ; f (x 0)) нүктесі арқылы өтетін түзу жанама деп аталады.

Егер туынды x 0 нүктесінде болмаса не болады? Екі нұсқа бар:

1. Графикке де жанама жоқ. Классикалық мысал y = |x | функциясы болып табылады нүктесінде (0; 0).
2. Тангенс тік болады. Бұл дұрыс, мысалы, (1; π /2) нүктесіндегі y = arcsin x функциясы үшін.

Тангенс теңдеуі

Кез келген тік емес түзу y = kx + b түріндегі теңдеу арқылы беріледі, мұндағы k – еңіс. Тангенс ерекшелік емес және оның қандай да бір х 0 нүктесінде теңдеуін құру үшін осы нүктедегі функцияның мәнін және туындыны білу жеткілікті.

Сонымен, кесіндісінде y = f ’(x) туындысы бар y = f (x) функциясы берілсін. Сонда кез келген x 0 ∈ (a ; b) нүктесінде осы функцияның графигіне жанама салуға болады, ол мына теңдеумен берілген:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Мұнда f ’(x 0) – x 0 нүктесіндегі туындының мәні, ал f (x 0) – функцияның өзінің мәні.

Тапсырма. y = x 3 функциясы берілген. Осы функцияның х 0 = 2 нүктесіндегі графигіне жанама теңдеуін жазыңыз.

Тангенс теңдеуі: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бізге x 0 = 2 нүктесі берілген, бірақ f (x 0) және f '(x 0) мәндерін есептеу керек.

Алдымен функцияның мәнін табайық. Мұнда бәрі оңай: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Енді туындыны табайық: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Туындыға x 0 = 2 мәнін қоямыз: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Барлығын аламыз: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Бұл жанама теңдеу.

Тапсырма. x 0 = π /2 нүктесіндегі f (x) = 2sin x + 5 функциясының графигіне жанаманың теңдеуін жазыңыз.

Бұл жолы біз әрбір әрекетті егжей-тегжейлі сипаттамаймыз - біз тек негізгі қадамдарды көрсетеміз. Бізде бар:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Тангенс теңдеуі:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Соңғы жағдайда түзу сызық көлденең болып шықты, өйткені оның бұрыштық коэффиценті k = 0. Бұл жерде қате жоқ – біз жай ғана экстремум нүктесіне тап болдық.

Білім берудің қазіргі даму кезеңінде оның басты міндеттерінің бірі – шығармашылықпен ойлайтын жеке тұлғаны қалыптастыру. Оқушылардың шығармашылық қабілеттері ғылыми-зерттеу іс-әрекетінің негіздеріне жүйелі түрде тартылған жағдайда ғана дамиды. Студенттердің шығармашылық күштерін, қабілеттері мен дарындарын пайдаланудың негізі толыққанды білім мен дағдыларды қалыптастырады. Осыған байланысты мектептегі математика курсының әрбір тақырыбы бойынша базалық білім мен дағды жүйесін қалыптастыру мәселесі де аз емес. Сонымен қатар, толыққанды дағдылар жеке тапсырмалардың емес, олардың мұқият ойластырылған жүйесінің дидактикалық мақсаты болуы керек. Кең мағынада жүйе деп тұтастығы мен тұрақты құрылымы бар өзара байланысты өзара әрекеттесетін элементтердің жиынтығы түсініледі.

Оқушыларға функция графигіне жанаманың теңдеуін жазуды үйрету әдістемесін қарастырайық. Шын мәнінде, жанама теңдеуді табудың барлық мәселелері сызықтар жиынынан (бума, топтама) белгілі бір талапты қанағаттандыратындарды таңдау қажеттілігінен туындайды - олар белгілі бір функцияның графигіне жанама болып табылады. Бұл жағдайда таңдау жүзеге асырылатын жолдар жиынтығы екі жолмен көрсетілуі мүмкін:

а) xOy жазықтығында жатқан нүкте (түзулердің орталық қарындашы);
б) бұрыштық коэффициент (түзулердің параллель сәулесі).

Осыған байланысты жүйенің элементтерін оқшаулау үшін «Функцияның графигіне жанама» тақырыбын оқу кезінде біз есептердің екі түрін анықтадық:

1) жанамаға ол өтетін нүкте арқылы берілген есептер;
2) оның көлбеуімен берілген тангенске есептер.

Жанама есептерді шешуге үйрету А.Г. Мордкович. Оның бұрыннан белгілі болғандардан түбегейлі айырмашылығы жанама нүктесінің абсциссасы а (х0 орнына) әрпімен белгіленеді, сондықтан жанама теңдеуі мынада:

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) арқылы салыстырыңыз). Бұл әдістемелік әдіс, біздің ойымызша, студенттерге ағымдағы нүктенің координаталары қай жерде жазылғанын тез және оңай түсінуге мүмкіндік береді. жалпы тангенс теңдеуі және жанасу нүктелері қайда орналасқан.

y = f(x) функциясының графигіне жанама теңдеу құру алгоритмі

1. Жанама нүктенің абсциссасын а әрпімен белгілеңіз.
2. f(a) табыңыз.
3. f "(x) және f "(a) табыңыз.
4. Табылған a, f(a), f "(a) сандарын y = f(a) = f "(a)(x – a) жалпы жанама теңдеуіне ауыстырыңыз.

Бұл алгоритмді студенттердің операцияларды өз бетінше анықтауы және оларды орындау реттілігі негізінде құрастыруға болады.

Тәжірибе көрсеткендей, алгоритмді пайдалана отырып, әрбір негізгі есептерді ретімен шешу функцияның графигіне жанама теңдеуін кезең-кезеңмен жазу дағдыларын дамытуға мүмкіндік береді, ал алгоритм қадамдары әрекеттер үшін тірек нүкте ретінде қызмет етеді. . Бұл тәсіл П.Я әзірлеген психикалық әрекеттердің біртіндеп қалыптасу теориясына сәйкес келеді. Гальперин және Н.Ф. Талызына.

Тапсырмалардың бірінші түрінде екі негізгі міндет анықталды:

• жанама қисық сызықта жатқан нүкте арқылы өтеді (1-есеп);
• жанама қисық сызықта жатпайтын нүкте арқылы өтеді (2-есеп).

Тапсырма 1. Функция графигіне жанаманың теңдеуін жаз М(3; – 2) нүктесінде.

Шешім. М(3; – 2) нүктесі жанама нүкте, өйткені

1. a = 3 – жанама нүктенің абсциссасы.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – жанама теңдеу.

Есеп 2. М(– 3; 6) нүктесі арқылы өтетін у = – x 2 – 4x + 2 функциясының графигіне барлық жанамалардың теңдеулерін жазыңдар.

Шешім. M(– 3; 6) нүктесі жанама нүкте емес, өйткені f(– 3) 6 (2-сурет).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – жанама теңдеу.

Тангенс М(– 3; 6) нүктесі арқылы өтеді, сондықтан оның координаталары жанама теңдеуді қанағаттандырады.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Егер a = – 4 болса, онда жанама теңдеу у = 4х + 18 болады.

Егер a = – 2 болса, онда жанама теңдеу у = 6 түрінде болады.

Екінші түрдегі негізгі міндеттер мыналар болады:

• жанама қандай да бір түзуге параллель (3-есеп);
• жанама берілген түзуге белгілі бір бұрышпен өтеді (4-есеп).

Есеп 3. у = 9х + 1 түзуіне параллель y = x 3 – 3x 2 + 3 функциясының графигіне барлық жанамалардың теңдеулерін жазыңыз.

1. а – жанама нүктенің абсциссасы.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Бірақ, керісінше, f "(а) = 9 (параллельдік шарты). Бұл бізге 3a 2 – 6a = 9 теңдеуін шешу керек дегенді білдіреді. Оның түбірі a = – 1, a = 3 (3-сурет). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – жанама теңдеу;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) у = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – жанама теңдеу.

Есеп 4. y = 0 түзуіне 45° бұрыш жасап өтетін у = 0,5х 2 – 3х + 1 функциясының графигіне жанаманың теңдеуін жазыңыз (4-сурет).

Шешім. f "(a) = 45° күйдіру шартынан a: a – 3 = 1 ^ a = 4-ті табамыз.

1. a = 4 – жанама нүктенің абсциссасы.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – жанама теңдеу.

Кез келген басқа мәселенің шешімі бір немесе бірнеше негізгі мәселелерді шешуге келетінін көрсету оңай. Мысал ретінде келесі екі мәселені қарастырыңыз.

1. y = 2x 2 – 5x – 2 параболасына жанамалардың теңдеулерін жазыңыз, егер жанамалар тік бұрыш жасап қиылыса және олардың біреуі абсцисса 3 нүктесінде параболаға тиіп тұрса (5-сурет).

Шешім. Жанама нүктенің абсциссасы берілгендіктен, шешімнің бірінші бөлігі 1 негізгі есепке келтіріледі.

1. a = 3 – тік бұрыштың бір қабырғасының жанама нүктесінің абсциссасы.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – бірінші жанаманың теңдеуі.

Бірінші жанаманың көлбеу бұрышы а болсын. Жанамалар перпендикуляр болғандықтан, екінші жанаманың көлбеу бұрышы болады. Бірінші жанаманың y = 7x – 20 теңдеуінен tg a = 7 болады.

Бұл екінші жанаманың еңісі -ге тең екенін білдіреді.

Одан әрі шешім 3 негізгі тапсырмаға түседі.

Онда B(c; f(c)) екінші түзудің жанама нүктесі болсын

1. – жанаманың екінші нүктесінің абциссасы.
2.
3.
4.
– екінші жанаманың теңдеуі.

Ескерту. Егер оқушылар перпендикуляр түзулердің k 1 k 2 = – 1 коэффициенттерінің қатынасын білсе, жанаманың бұрыштық коэффициентін оңай табуға болады.

2. Функциялардың графиктеріне барлық ортақ жанамалардың теңдеулерін жазыңыз

Шешім. Тапсырма ортақ жанамалардың жанама нүктелерінің абсциссасын табуға, яғни 1-негізгі есепті жалпы түрде шешуге, теңдеулер жүйесін құруға, содан кейін оны шешуге түседі (6-сурет).

1. y = x 2 + x + 1 функциясының графигінде жатқан жанама нүктесінің абсциссасы а болсын.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Функция графигінде жатқан жанама нүктесінің абциссасы с болсын
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тангенс жалпы болғандықтан

Сонымен y = x + 1 және y = – 3x – 3 ортақ жанамалар.

Қарастырылып отырған тапсырмалардың негізгі мақсаты – белгілі бір зерттеу дағдыларын (талдау, салыстыру, жалпылау, гипотезаны қою және т.б.) талап ететін күрделірек есептерді шешу кезінде студенттерді түйінді мәселенің түрін өз бетінше тануға дайындау. Мұндай тапсырмаларға негізгі тапсырма компонент ретінде енгізілген кез келген тапсырма жатады. Мысал ретінде функцияны оның жанамаларының тобынан табу есебін (1-есепке кері) қарастырайық.

3. y = x және y = – 2x түзулері b және c не үшін у = x 2 + bx + c функциясының графигіне жанама?

y = x 2 + bx + c параболасы бар у = х түзудің жанама нүктесінің абсциссасы t болсын; p – y = x 2 + bx + c параболасы бар y = – 2x түзуінің жанама нүктесінің абсциссасы. Сонда y = x жанама теңдеуі y = (2t + b)x + c – t 2 , ал y = – 2x жанама теңдеуі у = (2p + b)x + c – p 2 түрінде болады. .

Теңдеулер жүйесін құрастырып шешейік

Жауап:

«Функция графигіне жанаманың теңдеуі» бейнесабағы тақырыпты меңгеру үшін оқу материалын көрсетеді. Бейнесабақ барысында берілген нүктедегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуі ұғымын тұжырымдауға қажетті теориялық материал, мұндай жанаманы табу алгоритмі және оқылған теориялық материалды пайдалана отырып есептер шығару мысалдары сипатталған. .

Бейне оқулықта материалдың анықтығын жақсартатын әдістер қолданылады. Презентацияда сызбалар, диаграммалар, маңызды дауыстық пікірлер, анимация, бөлектеу және басқа құралдар бар.

Бейнесабақ сабақтың тақырыбын көрсетуден және қандай да бір y=f(x) функциясының M(a;f(a)) нүктесіндегі графигіне жанаманың кескінінен басталады. Берілген нүктеде графикке түсірілген жанаманың бұрыштық коэффициенті осы нүктедегі f΄(a) функциясының туындысына тең екені белгілі. Сондай-ақ алгебра курсынан y=kx+m түзуінің теңдеуін білеміз. Нүктедегі жанама теңдеуді табу есебінің шешімі схемалық түрде берілген, ол k, m коэффициенттерін табуға дейін төмендейді. Функцияның графигіне жататын нүктенің координаталарын біле отырып, координата мәнін f(a)=ka+m жанама теңдеуіне қойып m таба аламыз. Одан m=f(a)-ka табамыз. Сонымен, берілген нүктедегі туындының мәнін және нүктенің координаталарын біле отырып, жанама теңдеуді осылайша y=f(a)+f΄(a)(x-a) бейнелей аламыз.

Төменде диаграмма бойынша жанама теңдеу құрудың мысалы келтірілген. y=x 2 , x=-2 функциясы берілген. a=-2 алып, берілген f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 нүктесіндегі функцияның мәнін табамыз. f΄(x)=2x функциясының туындысын анықтаймыз. Бұл кезде туынды f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 тең болады. Теңдеуді құру үшін барлық a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 коэффициенттері табылды, сондықтан жанама теңдеу y=4+(-4)(x+2) болады. Теңдеуді жеңілдетіп, у = -4-4х аламыз.

Келесі мысал y=tgx функциясының графигінің басындағы жанама үшін теңдеу құруды ұсынады. Берілген нүктеде a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Сонымен жанама теңдеу y=x сияқты көрінеді.

Жалпылау ретінде белгілі бір нүктедегі функцияның графигіне жанама теңдеу құру процесі 4 қадамнан тұратын алгоритм түрінде ресімделеді:

• Жанама нүктенің абсциссасы үшін а белгісін енгізіңіз;
• f(a) есептеледі;
• f΄(x) анықталады және f΄(a) есептеледі. Табылған a, f(a), f΄(a) мәндері y=f(a)+f΄(a)(x-a) жанама теңдеуінің формуласына ауыстырылады.

1-мысал x=1 нүктесіндегі y=1/x функциясының графигіне жанама теңдеу құруды қарастырады. Мәселені шешу үшін алгоритмді қолданамыз. a=1 нүктесіндегі берілген функция үшін f(a)=-1 функциясының мәні. f΄(x)=1/x 2 функциясының туындысы. a=1 нүктесінде f΄(a)= f΄(1)=1 туынды. Алынған мәліметтерді пайдалана отырып, y=-1+(x-1), немесе y=x-2 жанама теңдеуі құрастырылады.

2-мысалда y=x 3 +3x 2 -2x-2 функциясының графигіне жанаманың теңдеуін табу керек. Негізгі шарт – жанама және түзу y=-2x+1 параллельдігі. Алдымен y=-2x+1 түзуінің бұрыштық коэффициентіне тең жанаманың бұрыштық коэффициентін табамыз. Берілген түзу үшін f΄(a)=-2 болғандықтан, қажетті жанама үшін k=-2. (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 функциясының туындысын табамыз. f΄(a)=-2 екенін біле отырып, 3а 2 +6а-2=-2 нүктесінің координаталарын табамыз. Теңдеуді шешіп, біз 1 =0, ал 2 =-2 аламыз. Табылған координаталарды пайдалана отырып, белгілі алгоритм арқылы жанама теңдеуді табуға болады. Функцияның мәнін f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 нүктелерінде табамыз. f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 нүктесіндегі туындының мәні. Табылған мәндерді тангенс теңдеуіне қойып, бірінші нүкте үшін 1 =0 у=-2х-2, ал екінші нүкте үшін а 2 =-2 y=-2x-22 жанама теңдеуін аламыз.

3-мысалда y=√x функциясының графигіне (0;3) нүктесінде жанама теңдеуді салу үшін оның құрамы сипатталған. Шешім белгілі алгоритм арқылы жасалады. Жанама нүктенің координаталары x=a, мұндағы a>0. f(a)=√x нүктесіндегі функцияның мәні. f΄(х)=1/2√х функциясының туындысы, сондықтан берілген нүктеде f΄(а)=1/2√а. Барлық алынған мәндерді тангенс теңдеуіне қойып, у = √a + (x-a)/2√a аламыз. Теңдеуді түрлендірсек, y=x/2√а+√а/2 аламыз. Жанаманың (0;3) нүктесі арқылы өтетінін біле отырып, а мәнін табамыз. 3=√a/2-ден a-ны табамыз. Демек, √a=6, a=36. y=x/12+3 жанама теңдеуін табамыз. Суретте қарастырылатын функцияның графигі және құрастырылған қажетті тангенс көрсетілген.

Оқушыларға Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx жуық теңдіктері еске түседі. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a алсақ, f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), демек f(x)≈f(a)+ f΄( а)(х-а).

4-мысалда 2.003 6 өрнегінің жуық мәнін табу керек. f(x)=x 6 функциясының мәнін x=2.003 нүктесінде табу қажет болғандықтан, f(x)=x 6, a=2, f(a) деп алып, белгілі формуланы қолдануға болады. )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. f΄(2)=192 нүктесіндегі туынды. Демек, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Өрнекті есептеп, біз 2,003 6 ≈64,576 аламыз.

«Функция графигіне жанаманың теңдеуі» бейнесабағы мектепте дәстүрлі математика сабағында пайдалануға ұсынылады. Қашықтықтан сабақ беретін мұғалім үшін бейне материал тақырыпты нақтырақ түсіндіруге көмектеседі. Бейнероликті оқушыларға тақырыпты тереңірек түсіну қажет болса, өз бетінше қайталауды ұсынуға болады.

МӘТІНДІ декодтау:

Біз білеміз, егер M (a; f(a)) (em координаталары a және ef бастап а) нүктесі y = f (x) функциясының графигіне жатады және егер осы нүктеде жанама салу мүмкін болса. абсцисса осіне перпендикуляр емес функцияның графигіне, онда тангенстің бұрыштық коэффициенті f"(a)-ға тең болады (a-дан eff жай).

y = f(x) функциясы мен M (a; f(a)) нүктесі берілсін, сонымен қатар f´(a) бар екені белгілі. Берілген нүктеде берілген функцияның графигіне жанаманың теңдеуін құрайық. Бұл теңдеу, ордината осіне параллель емес кез келген түзудің теңдеуі сияқты, y = kx+m түрінде болады (y - ka x плюс em-ге тең), сондықтан тапсырма - мәндерін табу k және m коэффициенттері (ka және em).

Бұрыш коэффициенті k= f"(a). m мәнін есептеу үшін қажетті түзудің М(a; f (a)) нүктесі арқылы өтетінін пайдаланамыз. Бұл дегеніміз, егер координаталарды ауыстырсақ. М нүктесін түзудің теңдеуіне енгізсек, дұрыс теңдігін аламыз : f(a) = ka+m, осы жерден m = f(a) - ka екенін табамыз.

Ki және m коэффициенттерінің табылған мәндерін түзу теңдеуіне ауыстыру қалады:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

ж= f(а)+ f"(а) (x- а). ( y ef-ге тең, a-дан плюс ef жай, х-ке көбейтілген минус a).

x=a нүктесіндегі y = f(x) функциясының графигіне жанаманың теңдеуін алдық.

Егер, айталық, y = x 2 және x = -2 (яғни а = -2), онда f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, бұл f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 дегенді білдіреді. x екі x-ке тең, бұл a тең минус төрттен ef жайын білдіреді)

Табылған a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 мәндерін теңдеуге қойып, мынаны аламыз: y = 4+(-4)(x+2), яғни у = -4х -4.

(Е тең минус төрт x минус төрт)

Бас басындағы у = tanx функциясының графигіне жанаманың теңдеуін құрайық (у - х жанамасына тең). Бізде: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , бұл f"(0) = l дегенді білдіреді. Табылған мәндерді a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 теңдеуіне қойып, мынаны аламыз: y=x.

Алгоритмнің көмегімен х нүктесіндегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін табудағы қадамдарымызды қорытындылайық.

y = f(x) ФУНКЦИЯСЫНЫҢ ГРАФИКА ТАНГЕНСІНІҢ ТЕҢДЕУІН ҚҰРУ АЛГОРИТМІ:

1) Жанасу нүктесінің абсциссасын а әрпімен белгілеңіз.

2) f(a) мәнін есептеңіз.

3) f´(x) мәнін тауып, f´(a) мәнін есептеңіз.

4) Табылған a, f(a), f´(a) сандарын формулаға қойыңыз ж= f(а)+ f"(а) (x- а).

Мысал 1. y = - in функциясының графигіне жанаманың теңдеуін құрыңыз

x = 1 нүктесі.

Шешім. Осы мысалда осыны ескере отырып, алгоритмді қолданайық

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Табылған үш санды өрнекке ауыстыр: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Аламыз: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Жауабы: у = х-2.

Мысал 2. y = функциясы берілген x 3 +3x 2 -2x-2. y = -2x +1 түзуіне параллель y = f(x) функциясының графигіне жанаманың теңдеуін жазыңыз.

Тангенс теңдеуін құру алгоритмін пайдалана отырып, біз бұл мысалда f(x) = екенін ескереміз. x 3 +3x 2 -2x-2, бірақ жанама нүктенің абциссасы мұнда көрсетілмеген.

Осылай ойлауды бастайық. Қажетті тангенс y = -2x+1 түзуіне параллель болуы керек. Ал параллель түзулердің бұрыштық коэффициенттері бірдей. Бұл жанаманың бұрыштық коэффициенті берілген түзудің бұрыштық коэффициентіне тең екенін білдіреді: k жанама. = -2. Хок кас. = f"(a). Осылайша, a мәнін f ´(a) = -2 теңдеуінен табуға болады.

Функцияның туындысын табайық у=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

f"(a) = -2 теңдеуінен, яғни. 3a 2 +6a-2=-2 біз 1 =0, а 2 =-2 табамыз. Бұл есептің шарттарын қанағаттандыратын екі жанама бар екенін білдіреді: біреуі абсциссасы 0 болатын нүктеде, екіншісі абсциссасы -2 болатын нүктеде.

Енді сіз алгоритмді ұстануға болады.

1) a 1 =0, және 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Формулаға a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 мәндерін қойып, мынаны аламыз:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Формулаға a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 мәндерін қойып, мынаны аламыз:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Жауабы: у=-2х-2, у=-2х+2.

Мысал 3. (0; 3) нүктесінен у = функциясының графигіне жанама сызыңыз. Шешім. Осы мысалда f(x) = екенін ескере отырып, тангенс теңдеуін құру алгоритмін қолданайық. Мұнда 2-мысалдағыдай жанама нүктенің абциссасы анық көрсетілмегенін ескеріңіз. Соған қарамастан, біз алгоритмді ұстанамыз.

1) Жанасу нүктесінің абсциссасы x = a болсын; a >0 екені анық.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = мәндерін формулаға ауыстыру

y=f (a) +f "(a) (x-a), біз аламыз:

Шарт бойынша жанама (0; 3) нүктесі арқылы өтеді. Теңдеуге x = 0, y = 3 мәндерін қойып, мынаны аламыз: 3 = , содан кейін =6, а =36.

Көріп отырғаныңыздай, бұл мысалда алгоритмнің төртінші қадамында ғана жанама нүктесінің абсциссасын таба алдық. Теңдеуге a =36 мәнін қойып, мынаны аламыз: у=+3

Суретте. 1-суретте қарастырылған мысалдың геометриялық иллюстрациясы көрсетілген: у = функциясының графигі тұрғызылған, у = +3 түзу сызылған.

Жауабы: у = +3.

x нүктесінде туындысы бар y = f(x) функциясы үшін шамамен теңдік дұрыс болатынын білеміз: Δyf´(x)Δx (дельта y шамамен х-тің дельта х-ке көбейтілген ef жай санына тең)

немесе толығырақ, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x-тен эф плюс дельта х минус ef х-тен дельта х бойынша х-тен ef жай шамасына шамамен тең).

Әрі қарай талқылауға ыңғайлы болу үшін белгілерді өзгертейік:

x орнына жазамыз А,

x+Δx орнына x жазамыз

Δx орнына x-a жазамыз.

Сонда жоғарыда жазылған шамамен теңдік келесі пішінді алады:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x-тен eff шамамен a-дан алынған плюс ef жай санынан ef-ке тең, х пен а арасындағы айырмаға көбейтілген).

Мысал 4. 2.003 6 сандық өрнектің жуық мәнін табыңыз.

Шешім. Біз y = x 6 функциясының мәнін х = 2,003 нүктесінде табу туралы айтып отырмыз. Бұл мысалда f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) болатынын ескере отырып, f(x)f(a)+f´(a)(x-a) формуласын қолданайық. = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5, демек, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Нәтижесінде біз аламыз:

2,003 6 64+192· 0,003, яғни. 2,003 6 =64,576.

Егер біз калькуляторды қолдансақ, мынаны аламыз:

2,003 6 = 64,5781643...

Көріп отырғаныңыздай, жуықтау дәлдігі әбден қолайлы.

Бұл математикалық бағдарлама \(f(x)\) функциясының графигіне пайдаланушы белгілеген \(a\) нүктесінде жанаманың теңдеуін табады.

Бағдарлама жанама теңдеуді ғана көрсетіп қоймайды, сонымен қатар есепті шешу процесін де көрсетеді.

Бұл онлайн-калькулятор орта мектептердің жоғары сынып оқушылары үшін сынақтар мен емтихандарға дайындалу кезінде, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімдерін тексеру кезінде және ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін.

Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе математика немесе алгебра бойынша үй тапсырмасын мүмкіндігінше тез орындағыңыз келе ме? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.

Функцияның туындысын табу керек болса, онда ол үшін бізде Туындыны табу тапсырмасы бар.

Функцияларды енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

\(f(x)\) функциясының өрнегін және \(a\) санын енгізіңіз.

f(x)=
a=

Тангенс теңдеуін табыңыз

Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Браузеріңізде JavaScript өшірілген.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпа қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Кішкене теория.

Тікелей еңіс

\(y=kx+b\) сызықтық функциясының графигі түзу екенін еске түсірейік. \(k=tg \alpha \) саны шақырылады түзу сызықтың еңісі, ал \(\альфа \) бұрышы осы түзу мен Ox осінің арасындағы бұрыш болып табылады

Егер \(k>0\), онда \(0 Егер \(kфункция графигіне жанаманың теңдеуі

Егер M(a; f(a)) нүктесі y = f(x) функциясының графигіне жататын болса және осы нүктеде х осіне перпендикуляр емес функцияның графигіне жанама салуға болатын болса, онда туындының геометриялық мағынасынан тангенстің бұрыштық коэффиценті f "(а)-ға тең екені шығады. Әрі қарай кез келген функцияның графигіне жанаманың теңдеуін құру алгоритмін құрастырамыз.

Осы функцияның графигінде y = f(x) функциясы мен M(a; f(a)) нүктесі берілсін; f"(a) бар екені белгілі болсын. Берілген нүктеде берілген функцияның графигіне жанаманың теңдеуін құрайық. Бұл теңдеудің ордината осіне параллель емес кез келген түзудің теңдеуі сияқты y = kx + b түрінде болады, сондықтан тапсырма k және b коэффициенттерінің мәндерін табу болып табылады.

k бұрыштық коэффициентімен бәрі түсінікті: k = f"(a) екені белгілі. b мәнін есептеу үшін қажетті түзудің M(a; f(a)) нүктесі арқылы өтетінін қолданамыз. Бұл түзу теңдеуіне М нүктесінің координаталарын қойсақ, дұрыс теңдік аламыз: \(f(a)=ka+b\), яғни \(b = f(a) -. ka\).

К және b коэффициенттерінің табылған мәндерін түзу теңдеуіне ауыстыру қалады:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a)$$

алдық функцияның графигіне жанаманың теңдеуі\(y = f(x) \) \(x=a \) нүктесінде.

\(y=f(x)\) функциясының графигіне жанаманың теңдеуін табу алгоритмі
1. Жанама нүктенің абсциссасын \(a\) әрпімен белгілеңіз.
2. \(f(a)\) есептеңіз
3. \(f"(x)\) табыңыз және \(f"(a)\) есептеңіз.
4. Табылған сандарды \(a, f(a), f"(a) \) формуласына \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \) қойыңыз.

Кітаптар (оқулықтар) Бірыңғай мемлекеттік емтиханның тезистері және Бірыңғай мемлекеттік емтихан тестілері онлайн Ойындар, басқатырғыштар Функциялардың графиктерін құру Орыс тілінің орфографиялық сөздігі Жастар сленгінің сөздігі Орыс мектептерінің каталогы Ресейдің орта білім беру мекемелерінің каталогы Ресей университеттерінің тізімі есептердің GCD және LCM табу Көпмүшені жеңілдету (көпмүшелерді көбейту)

Нұсқаулар

М нүктесіндегі қисыққа жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтаймыз.
y = f(x) функциясының графигін көрсететін қисық М нүктесінің белгілі бір маңайында (М нүктесінің өзін қоса алғанда) үздіксіз болады.

Егер f‘(x0) мәні жоқ болса, онда не жанама жоқ, не ол тігінен орындалады. Осыны ескере отырып, х0 нүктесінде функция туындысының болуы функцияның графигіне (x0, f(x0)) нүктесінде тік емес жанама жанаманың болуына байланысты. Бұл жағдайда жанаманың бұрыштық коэффициенті f "(x0) тең болады. Осылайша, туындының геометриялық мағынасы айқын болады - жанаманың бұрыштық коэффициентін есептеу.

«a» әрпімен белгіленген жанама нүктесінің абсцисса мәнін табыңыз. Егер ол берілген жанама нүктемен сәйкес келсе, онда «a» оның х-координаты болады. Мәнді анықтаңыз функциялары f(a) теңдеуге ауыстыру арқылы функцияларыабсцисса мәні.

Теңдеудің бірінші туындысын анықтаңыз функциялары f’(x) және оған “a” нүктесінің мәнін қойыңыз.

y = f(a) = f (a)(x – a) ретінде анықталған жалпы тангенс теңдеуін алыңыз және оған a, f(a), f "(a) мәндерін қойыңыз. Нәтижесінде графиктің шешімі табылып, жанама болады.

Берілген жанама нүкте жанама нүктемен сәйкес келмесе, есепті басқа жолмен шешіңіз. Бұл жағдайда жанама теңдеудегі сандардың орнына «a» орнына қою керек. Осыдан кейін «x» және «y» әріптерінің орнына берілген нүктенің координаталарының мәнін қойыңыз. «a» белгісіз болатын нәтиже теңдеуді шешіңіз. Алынған мәнді тангенс теңдеуіне қосыңыз.

Егер есептің тұжырымы теңдеуді көрсетсе, «а» әрпі бар жанаманың теңдеуін жазыңыз. функцияларыжәне қажетті жанамаға қатысты параллель түзудің теңдеуі. Осыдан кейін бізге туынды керек функциялары, «a» нүктесіндегі координатқа. Тангенс теңдеуіне сәйкес мәнді қойып, функцияны шешіңіз.