Үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы тең. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы теоремасы

Теорема. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрышқа тең.

Кейбір ABC үшбұрышын алайық (208-сурет). Оның ішкі бұрыштарын 1, 2 және 3 сандарымен белгілейік. Соны дәлелдейміз

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Үшбұрыштың кейбір төбесінен, мысалы, В, АС-қа параллель MN түзуін жүргізейік.

В төбесінде үш бұрыш алдық: ∠4, ∠2 және ∠5. Олардың қосындысы түзу бұрыш, сондықтан ол 180°-қа тең:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Бірақ ∠4 = ∠1 параллель MN және AC түзулері және АВ секанты бар ішкі көлденең бұрыштар.

∠5 = ∠3 - бұл MN және AC параллель түзулері және BC секанты бар ішкі көлденең бұрыштар.

Бұл ∠4 және ∠5-ті олардың ∠1 және ∠3 теңдерімен ауыстыруға болатынын білдіреді.

Демек, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема дәлелденді.

2. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиеті.

Теорема. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған іргелес емес екі ішкі бұрыштарының қосындысына тең.

Шын мәнінде, ABC үшбұрышында (209-сурет) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, сонымен қатар ∠ВСD, бұл үшбұрыштың ∠1 және ∠2-ге іргелес емес сыртқы бұрышы да 180°-қа тең. - ∠3.

Осылайша:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Демек, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышының туынды қасиеті үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы бұрын дәлелденген теореманың мазмұнын нақтылайды, ол тек үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған іргелес емес үшбұрыштың әрбір ішкі бұрышынан үлкен екенін айтқан; енді сыртқы бұрыш оған іргелес емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең екені анықталды.

3. Бұрышы 30° тікбұрышты үшбұрыштың қасиеті.

Теорема. 30° бұрышқа қарама-қарсы жатқан тікбұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузаның жартысына тең.

ACB тікбұрышты үшбұрышындағы В бұрышы 30°-қа тең болсын (210-сурет). Сонда оның басқа сүйір бұрышы 60°-қа тең болады.

АС катеті АВ гипотенузасы жартысына тең екенін дәлелдейік. АС катетін С тік бұрышының төбесінен асырып, АС кесіндісіне тең СМ кесіндісін шетке шығарайық. М нүктесін В нүктесіне қосамыз. Пайда болған ВСМ үшбұрышы ACB үшбұрышына тең. Біз ABM үшбұрышының әрбір бұрышы 60°-қа тең екенін көреміз, сондықтан бұл үшбұрыш тең ​​қабырғалы үшбұрыш.

AC аяғы AM жартысына тең, ал AM АВ тең болғандықтан, AC аяғы АВ гипотенузаның жартысына тең болады.

Мақсаттар мен міндеттер:

Тәрбиелік:

• үшбұрыш туралы білімдерін қайталау және жалпылау;
• үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманы дәлелдеу;
• теореманың тұжырымдалуының дұрыстығын іс жүзінде тексеру;
• есептер шығаруда алған білімдерін қолдана білуге ​​үйрету.

Тәрбиелік:

• геометриялық ойлауын, пәнге деген қызығушылығын, оқушылардың танымдық және шығармашылық белсенділігін, математикалық сөйлеуін, өз бетімен білім алу қабілетін дамыту.

Тәрбиелік:

• оқушылардың шешімділік, табандылық, ұқыптылық және топта жұмыс істей білу сияқты жеке қасиеттерін дамыту.

Жабдық:мультимедиялық проектор, түрлі-түсті қағаздан жасалған үшбұрыштар, «Тірі математика» оқу кешені, компьютер, экран.

Дайындық кезеңі:Мұғалім оқушыға «Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы» теоремасы туралы тарихи жазба дайындау тапсырмасын береді.

Сабақтың түрі: жаңа материалды меңгерту.

Сабақтың барысы

I. Ұйымдастыру кезеңі

Сәлем. Оқушылардың еңбекке психологиялық қатынасы.

II. Қызу

Біз өткен сабақтарда «үшбұрыш» геометриялық фигурасымен танысқан едік. Үшбұрыш туралы білетінімізді қайталайық?

Оқушылар топпен жұмыс жасайды. Оларға бір-бірімен қарым-қатынас жасауға, әрқайсысына өз бетінше таным процесін құруға мүмкіндік беріледі.

Не болды? Әр топ өз ұсыныстарын айтады, мұғалім тақтаға жазады. Нәтижелер талқыланады:

1-сурет

III. Сабақтың мақсатын құрастыру

Сонымен, біз үшбұрыш туралы көп нәрсені білеміз. Бірақ бәрі емес. Әрқайсыңның үстеліңде үшбұрыштар мен транспортирлер бар. Қандай мәселені тұжырымдай аламыз деп ойлайсыз?

Оқушылар сабақтың тапсырмасын тұжырымдайды – үшбұрыштың бұрыштарының қосындысын табу.

IV. Жаңа материалды түсіндіру

Практикалық бөлім(білімді және өзін-өзі тану дағдыларын жаңартуға ықпал етеді) транспортирдің көмегімен бұрыштарды өлшеңіз және олардың қосындысын табыңыз. Нәтижелерді дәптеріңізге жазыңыз (алынған жауаптарды тыңдаңыз). Бұрыштардың қосындысы әркім үшін әр түрлі болатынын анықтаймыз (бұл транспортирді дұрыс қолданбағандықтан, есептеу абайсыз жүргізілгендіктен және т.б. болуы мүмкін).

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тағы неге тең болатынын нүктелі сызықтар бойымен бүктеңіз:

A)
2-сурет

б)
3-сурет

V)
4-сурет

G)
5-сурет

г)
6-сурет

Тәжірибелік жұмысты орындағаннан кейін студенттер жауапты тұжырымдайды: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы бүктелген бұрыштың градустық өлшеміне тең, яғни 180°.

Мұғалім: Математикада практикалық жұмыс тек қандай да бір тұжырым жасауға мүмкіндік береді, бірақ оны дәлелдеу керек. Дұрыстығы дәлелдеу арқылы анықталған тұжырымды теорема деп атайды. Қандай теореманы тұжырымдап, дәлелдей аламыз?

Оқушылар: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең.

Тарихи мәліметтер:Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысының қасиеті Ежелгі Египетте бекітілген. Қазіргі оқулықтарда келтірілген дәлел Проклдің Евклид элементтеріне түсіндірмесінде қамтылған. Прокл бұл дәлелді (8-сурет) пифагоршылар (б.з.б. 5 ғ.) ашқан деп мәлімдейді. «Элементтердің» бірінші кітабында Евклид сызбаның көмегімен түсінуге оңай болатын үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманың тағы бір дәлелін келтіреді (7-сурет):

7-сурет

8-сурет

Сызбалар проектор арқылы экранда көрсетіледі.

Мұғалім сызбалар арқылы теореманы дәлелдеуді ұсынады.

Содан кейін дәлелдеу «Тірі математика» оқу-әдістемелік кешені арқылы жүзеге асырылады.. Мұғалім компьютерде теореманың дәлелін жобалайды.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема: «Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°»

9-сурет

Дәлелдеу:

A)

10-сурет

б)

11-сурет

V)

12-сурет

Оқушылар дәптерлеріне теореманың дәлелдемесін қысқаша жазып алады:

Теорема:Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°.

13-сурет

Берілген:Δ ABC

Дәлелдеу: A + B + C = 180°.

Дәлелдеу:

Нені дәлелдеу керек еді.

V. Физ. бір минут.

VI. Жаңа материалды түсіндіру (жалғасы)

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теоремадан қорытындыны студенттер өз бетінше шығарады, бұл өз көзқарасын тұжырымдау, оны білдіру және дәлелдеу қабілеттерінің дамуына ықпал етеді:

Кез келген үшбұрышта не барлық бұрыштары сүйір, не екеуі сүйір, үшінші бұрыштары доғал немесе тік бұрыштар..

Егер үшбұрыштың барлық сүйір бұрыштары болса, онда ол үшбұрыш деп аталады өткір бұрышты.

Егер үшбұрыштың бір бұрышы доғал болса, онда ол деп аталады доғал бұрышты.

Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік болса, онда ол деп аталады тікбұрышты.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема үшбұрыштарды қабырғалары бойынша ғана емес, сонымен қатар бұрыштары бойынша да жіктеуге мүмкіндік береді. (Оқушылар үшбұрыш түрлерімен таныстыру барысында оқушылар кестені толтырады)

1-кесте

Үшбұрыш көрінісі	Изосцелярлар	Тең жақты	Жан-жақты
Тікбұрышты
Доғал
Өткір бұрышты

VII. Оқыған материалды бекіту.

1. Есептерді ауызша шешу:

(Сызбалар проектор арқылы экранда көрсетіледі)

Тапсырма 1. С бұрышын табыңыз.

14-сурет

Есеп 2. F бұрышын табыңыз.

15-сурет

Тапсырма 3. K және N бұрыштарын табыңыз.

16-сурет

Есеп 4. Р және Т бұрыштарын табыңыз.

17-сурет

1. No223 (б, г) есепті өзіңіз шешіңіз.
2. Есепті тақтаға және дәптерге шығару, No224 оқушы.
3. Сұрақтар: Үшбұрыштың болуы мүмкін бе: а) екі тік бұрыш; б) екі доғал бұрыш; в) бір тік және бір доғал бұрыш.
4. (ауызша орындалады) Әр үстелдегі карталарда әртүрлі үшбұрыштар көрсетілген. Әрбір үшбұрыштың түрін көзбен анықтаңыз.

18-сурет

1. 1, 2 және 3 бұрыштарының қосындысын табыңыз.

19-сурет

VIII. Сабақты қорытындылау.

Мұғалім: Біз не білдік? Теорема кез келген үшбұрышқа жарамды ма?

IX. Рефлексия.

Көңіл күйлеріңізді айтыңыздаршы, балалар! Үшбұрыштың артқы жағында мимикаңызды бейнелеңіз.

20-сурет

Үй жұмысы: 30-тармақ (1-бөлім), 1-сұрақ. Оқулықтың IV 89 беті; No 223 (а, в), No 225.

>>Геометрия: үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы. Сабақтарды аяқтау

САБАҚ ТАҚЫРЫБЫ: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы.

Сабақтың мақсаттары:

• «Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы» тақырыбы бойынша оқушылардың білімдерін бекіту және тексеру;
• Үшбұрыштың бұрыштарының қасиеттерін дәлелдеу;
• Қарапайым есептерді шығаруда бұл қасиетті қолдану;
• Оқушылардың танымдық белсенділігін дамыту үшін тарихи материалдарды пайдалану;
• Сызбаларды салу кезінде дәлдік дағдыларын қалыптастыру.

Сабақтың мақсаттары:

• Оқушылардың есеп шығару дағдыларын тексеру.

Сабақ жоспары:

1. Үшбұрыш;
2. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема;
3. Мысал тапсырмалар.

Үшбұрыш.

Файл:O.gif үшбұрышы- 3 төбесі (бұрышы) және 3 қабырғасы бар ең қарапайым көпбұрыш; үш нүктемен шектелген жазықтықтың бөлігі және осы нүктелерді жұппен қосатын үш кесінді.
Кеңістіктегі бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте бір және бір ғана жазықтыққа сәйкес келеді.
Кез келген көпбұрышты үшбұрыштарға бөлуге болады – бұл процесс деп аталады триангуляция.
Математиканың үшбұрыштардың заңдарын зерттеуге арналған бөлімі бар - Тригонометрия.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема.

Файл:T.gif Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы теоремасы — үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180° болатынын көрсететін Евклид геометриясының классикалық теоремасы.

Дәлелдеу» :

Δ ABC берілсін. В төбесі арқылы (АС) параллель түзу жүргізіп, оның үстіне А және D нүктелері ВС түзуінің қарама-қарсы жағында болатындай етіп D нүктесін белгілейік. Сонда бұрыш (DBC) мен бұрыш (ACB) BD және AC параллель түзулері және секант (ВС) бар ішкі көлденең жатқанға тең болады. Сонда үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштарының қосындысы бұрышқа (ABD) тең болады. Бірақ АВС үшбұрышының А төбесіндегі бұрышы (ABD) және бұрышы (ВАС) BD және АС параллель түзулері және секант (АВ) бар ішкі бір жақты және олардың қосындысы 180°. Демек, үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең. Теорема дәлелденді.

Салдары.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы үшбұрыштың оған іргелес емес екі бұрышының қосындысына тең.

Дәлелдеу:

Δ ABC берілсін. D нүктесі AC түзуінде орналасқан, сондықтан A C және D арасында орналасады. Сонда BAD үшбұрыштың А төбесіндегі бұрышына және А + BAD = 180° сыртқы болады. Бірақ A + B + C = 180°, демек, B + C = 180° – A. Демек, BAD = B + C. Қорытынды дәлелденді.

Салдары.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған іргелес емес үшбұрыштың кез келген бұрышынан үлкен.

Тапсырма.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы деп үшбұрыштың кез келген бұрышына іргелес бұрышты айтады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы үшбұрыштың оған іргелес емес екі бұрышының қосындысына тең екенін дәлелдеңдер.
(Cурет 1)

Шешімі:

Δ in ABC ∠DAС сыртқы болсын (1-сурет). Сонда ∠DAC = 180°-∠BAC (іргелес бұрыштар қасиеті бойынша), ∠B+∠C үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша = 180°-∠BAC. Осы теңдіктерден ∠DAС=∠В+∠С аламыз

Қызықты факт:

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы» :

Лобачевский геометриясында үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрқашан 180-ден аз.Евклид геометриясында ол әрқашан 180-ге тең. Риман геометриясында үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрқашан 180-ден үлкен.

Математика тарихынан:

Евклид (б.з.б. 3 ғ.) «Элементтер» атты еңбегінде мынадай анықтама береді: «Параллель түзулер – бір жазықтықта орналасқан және екі бағытта да шексіз созылған, екі жағында бір-бірімен қиылыспайтын түзулер».
Посидониус (б.з.б. 1 ғ.) «Бір жазықтықта жатқан, бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасқан екі түзу»
Ежелгі грек ғалымы Папп (б.з.б. III ғ.) параллель түзулердің символы – = белгісін енгізді. Кейіннен ағылшын экономисі Рикардо (1720-1823) бұл таңбаны теңдік белгісі ретінде пайдаланды.
Тек 18 ғасырда олар параллель түзулер үшін таңба – || белгісін қолдана бастады.
Ұрпақтар арасындағы жанды байланыс бір сәтке де үзілмейді, біз күн сайын ата-бабаларымыз жинаған тәжірибені үйренеміз. Ежелгі гректер бақылаулар мен практикалық тәжірибеге сүйене отырып, қорытындылар жасады, гипотезалар айтты, содан кейін ғалымдардың жиналыстарында - симпозиумдарда (сөзбе-сөз «мереке») олар бұл гипотезаларды негіздеуге және дәлелдеуге тырысты. Сол кезде: «Шындық талас-тартыстан туады» деген тұжырым пайда болды.

Сұрақтар:

1. Үшбұрыш дегеніміз не?
2. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема не дейді?
3. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы неге тең?

Бұл теорема Л.С.Атанасянның оқулығында да тұжырымдалған. , ал оқулықта Погорелов А.В. . Бұл оқулықтардағы бұл теореманың дәлелдері айтарлықтай ерекшеленбейді, сондықтан біз оның дәлелін, мысалы, А.В.Погорелов оқулығынан ұсынамыз.

Теорема: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°

Дәлелдеу. Берілген үшбұрыш ABC болсын. В шыңы арқылы АС түзуіне параллель түзу жүргізейік. А және D нүктелері ВС түзуінің қарама-қарсы қабырғаларында болатындай етіп оған D нүктесін белгілейік (6-сурет).

DBC және ACB бұрыштары AC және BD параллель түзулері бар ВС секантынан құралған ішкі көлденең жатқан бұрыштарға тең. Демек, үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштарының қосындысы ABD бұрышына тең. Ал үшбұрыштың барлық үш бұрышының қосындысы ABD және BAC бұрыштарының қосындысына тең. Бұл параллель АС және BD және АВ секант үшін бір жақты ішкі бұрыштар болғандықтан, олардың қосындысы 180°. Теорема дәлелденді.

Бұл дәлелдеудің идеясы параллель сызық сызу және қажетті бұрыштардың тең екендігін көрсету. Осы теореманы ойлау экспериментінің тұжырымдамасын қолдана отырып дәлелдеу арқылы осындай қосымша құрылыс идеясын қайта құрайық. Ойлау тәжірибесі арқылы теореманы дәлелдеу. Сонымен, біздің ойлау экспериментіміздің тақырыбы үшбұрыштың бұрыштары болып табылады. Оны психикалық тұрғыда оның мәнін ерекше сенімділікпен ашуға болатын жағдайларға орналастырайық (1-кезең).

Мұндай шарттар үшбұрыштың барлық үш шыңдары бір нүктеде біріктірілетін бұрыштардың орналасуы болады. Егер көлбеу бұрышын өзгертпестен үшбұрыштың қабырғаларын жылжыту арқылы бұрыштарды «жылжыту» мүмкіндігін беретін болсақ, мұндай комбинация мүмкін болады (1-сурет). Мұндай қозғалыстар мәні бойынша кейінгі психикалық қайта құрулар болып табылады (2 кезең).

Үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғаларын (2-сурет), «қозғалу» арқылы алынған бұрыштарды белгілей отырып, біз сол арқылы ой нысанамызды орналастыратын ортаны, байланыстар жүйесін ойша қалыптастырамыз (3-кезең).

АВ сызығы ВС сызығы бойымен «жылжымалы» және оған көлбеу бұрышын өзгертпей, 1 бұрышты 5 бұрышқа, ал АС түзуінің бойымен «жылжыған» 2 бұрышты 4 бұрышқа ауыстырады. АС және ВС түзулеріне көлбеу бұрышын өзгертпейді, сонда қорытынды анық: a және a1 сәулелері АВ-ға параллель және бір-біріне айналады, ал b және b1 сәулелері сәйкесінше ВС және АС қабырғаларының жалғасы болып табылады. 3 бұрыш пен b және b1 сәулелерінің арасындағы бұрыш тік болғандықтан, олар тең. Бұл бұрыштардың қосындысы бұрылған aa1 бұрышына тең - бұл 180° дегенді білдіреді.

ҚОРЫТЫНДЫ

Дипломдық жұмыста тұжырымдалған гипотезаны растайтын ойлау экспериментінің құрылымын пайдалана отырып, кейбір мектеп геометриялық теоремаларының «салынған» дәлелдері жүргізілді.

Ұсынылған дәлелдемелер визуалды және сенсорлық идеализацияларға негізделген: «сығу», «созылу», «сырғыту», бұл бастапқы геометриялық объектіні ерекше түрде түрлендіруге және оның ойға тән маңызды сипаттамаларын көрсетуге мүмкіндік берді. эксперимент. Бұл жағдайда ойлау эксперименті геометриялық білімнің пайда болуына ықпал ететін белгілі бір «шығармашылық құрал» ретінде әрекет етеді (мысалы, трапецияның орта сызығы немесе үшбұрыштың бұрыштары туралы). Мұндай идеализациялар дәлелдеудің бүкіл идеясын, «қосымша құрылысты» жүзеге асыру идеясын түсінуге мүмкіндік береді, бұл мектеп оқушыларының ресми дедуктивті дәлелдеу процесін неғұрлым саналы түсіну мүмкіндігі туралы айтуға мүмкіндік береді. геометриялық теоремалар.

Ойлау эксперименті геометриялық теоремаларды алу және ашудың негізгі әдістерінің бірі болып табылады. Әдістемені оқушыға беру әдістемесін әзірлеу қажет. Әдісті «қабылдау» үшін қолайлы студенттің жасы, осылай ұсынылған дәлелдердің «жанама әсерлері» туралы мәселе ашық күйінде қалады.

Бұл мәселелер қосымша зерттеуді қажет етеді. Бірақ кез келген жағдайда бір нәрсе анық: ойлау эксперименті мектеп оқушыларының теориялық ойлауын дамытады, оның негізі болып табылады, сондықтан ойлау эксперименті қабілетін дамыту қажет.

«Маған айт, мен ұмытамын,
Маған көрсет, мен есімде қаламын
Мені тартыңыз, мен үйренемін»
Шығыс мақалы

Мақсаты: Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманы дәлелдеу, осы теореманы пайдаланып есептер шығаруға машықтандыру, әр түрлі дереккөздерден алынған қосымша материалдарды пайдалана отырып, оқушылардың танымдық белсенділігін дамыту, өзгені тыңдай білу қабілетін дамыту.

Жабдық:Транспортир, сызғыш, үшбұрыш үлгілері, көңіл-күй жолағы.

САБАҚТЫҢ БАРЛЫҒЫ

1. Ұйымдастыру кезеңі.

Көңіл-күй лентасына сабақтың басындағы көңіл күйіңізді белгілеңіз.

2. Қайталау.

Теореманы дәлелдеуде қолданылатын ұғымдарды қарастырыңыз: параллель түзулермен бұрыштардың қасиеттері, дамыған бұрыштың анықтамасы, дамыған бұрыштың градустық өлшемі.

3. Жаңа материал.

3.1. Практикалық жұмыс.

Әр оқушыда үшбұрыштың үш үлгісі бар: сүйір, төртбұрыш және доғал. Үшбұрыштың бұрыштарын өлшеп, олардың қосындысын табу ұсынылады. Нәтижені талдаңыз. Сіз 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градус мәндерін ала аласыз. Орташа арифметикалық мәнді есептеңіз (=180°) Бұрыштардың градустық өлшемі 180 градус болған кезде есте сақтау ұсынылады. Оқушылар бұл түзу бұрыш және бір жақты бұрыштардың қосындысы екенін есте сақтайды.

Оригами көмегімен үшбұрыштың бұрыштарының қосындысын алуға тырысайық.

Тарихи фон

Оригами (жапон, лит.: «бүктелген қағаз») - қағаз фигураларды бүктеп салудың ежелгі өнері. Оригами өнерінің тамыры қағаз табылған Ежелгі Қытайда жатыр.

3.2. Атанасянның оқулығынан теореманы дәлелдеу Л.С.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема.

Геометрияның маңызды теоремаларының бірі – үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманы дәлелдеп көрейік.

Теорема.Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°.

Дәлелдеу.Ерікті ABC үшбұрышын қарастырып, A + B + C = 180° екенін дәлелдеңдер.

В төбесінен АС қабырғасына параллель а түзуін жүргізейік. 1 және 4 бұрыштар параллель түзулер а және АС АВ кесіндісімен қиылса, қиылысатын бұрыштар, ал бірдей параллель түзулер ВС кесіндісімен қиылса, 3 және 5 бұрыштар көлденең жатқан бұрыштар болып табылады. Демек, 4 бұрыш 1 бұрышқа, 5 бұрыш 3 бұрышқа тең.

Әлбетте, 4, 2 және 5 бұрыштарының қосындысы В төбесі бар ашылған бұрышқа тең, яғни 4 бұрыш + бұрыш 2 + бұрыш 5 = 180 °. Осыдан, алдыңғы теңдіктерді ескере отырып, аламыз: бұрыш 1 + бұрыш 2+ бұрыш 3 = 180 °, немесе A + B+ C = 180 °. Теорема дәлелденді.

3.3. А.В.Погорелов оқулығынан теореманы дәлелдеу.

Дәлелдеңіз: A + B + C = 180°

Дәлелдеу:

1. В шыңы арқылы BD // AC сызығын сызыңыз

2. DBC=ACB, AC//BD нүктесінде көлденең жатқан және BC секанты.

3. ABD =ACB +CBD

Демек, A + B+C = ABD+BAC

4. ABD және BAC бір жақты BD // AC және AB секанты, бұл олардың қосындысы 180 ° тең, яғни. A+B + C=180°, бұл дәлелдеуді қажет етті.

3. 4. Теореманы дәлелдеу оқулықтан Киселев А.Н., Рыбкина Н.А.

Берілген: ABC

Дәлелдеу: A+B +C=180°

Дәлелдеу:

1. Айнымалы ток жағын жалғастырайық. Біз SE//AV орындаймыз

2. A=ESD, сәйкес AB//CE және AD - секант

3. В = БАРЛЫҚ, AB//CE және ВС көлденең жатқан - секант.

4. ESD + ALL + C = 180 °, бұл A + B + C = 180 ° дегенді білдіреді, бұл дәлелденуі керек еді.

3.5. Қорытынды 1. Кез келген үшбұрышта барлық бұрыштар сүйір немесе екі бұрыш сүйір, ал үшіншісі доғал немесе түзу болады.

Қорытынды 2.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы үшбұрыштың оған іргелес емес қалған екі бұрышының қосындысына тең.

3.6. Теорема үшбұрыштарды қабырғалары бойынша ғана емес, сонымен қатар бұрыштары бойынша да жіктеуге мүмкіндік береді.

Үшбұрыш көрінісі	Изосцелярлар	Тең жақты	Жан-жақты
тікбұрышты
доғал
өткір бұрышты

4. Біріктіру.

4.1. Дайын сызбаларды пайдаланып есептер шығару.

Үшбұрыштың белгісіз бұрыштарын табыңыз.

4.2. Білімді тексеру.

1. Сабағымыздың соңында сұрақтарға жауап беріңдер:

Бұрыштары бар үшбұрыштар бар ма:

а) 30, 60, 90 градус,

б) 46, 4, 140 градус,

в) 56, 46, 72 градус?

2. Үшбұрышта мыналар болуы мүмкін бе:

а) екі доғал бұрыш;

б) доғал және тік бұрыштар;

в) екі тік бұрыш?

3. Бір бұрышы 45 градус, екіншісі 90 градус болса, үшбұрыштың түрін анықтаңыз.

4. Қай үшбұрышта бұрыштардың қосындысы үлкен: сүйір, доғал немесе тікбұрыш?

5. Кез келген үшбұрыштың бұрыштарын өлшеуге бола ма?

Бұл әзіл сұрағы, себебі... Бермуд үшбұрышы бар, Атлант мұхитында Бермуд, Пуэрто-Рико штаты және Флорида түбегі арасында орналасқан, оның бұрыштарын өлшеу мүмкін емес. (1-қосымша)

5. Сабақты қорытындылау.

Көңіл-күй лентасына сабақ соңындағы көңіл-күйіңізді белгілеңіз.

Үй жұмысы.

30–31 беттер; № 223 а, б; № 227 а; жұмыс дәптері № 116, 118.