Вариация коэффициенті қаржы секторында ең көп қолданылатын статистикалық коэффициенттердің бірі болып табылады. Біз сізге вариация коэффициентін қалай есептеу керектігін және оның қаржы директорына қалай пайдалы болуы мүмкін екенін айтып береміз.

Вариация коэффициенті дегеніміз не және ол не үшін қажет?

Вариация коэффициенті (CV) кездейсоқ шаманың салыстырмалы таралуының өлшемі болып табылады. Ол кездейсоқ шаманың орташа таралуы осы айнымалының орташа мәнінен қандай пропорцияда екенін көрсетеді.

Жалпы алғанда, вариация коэффициенті өлшенетін шаманың шкаласына және өлшем бірліктеріне сілтеме жасамай мәндердің дисперсиясын анықтау үшін қолданылады. Вариация коэффициенті салыстырмалы статистикалық әдістер тобына кіреді, пайызбен өлшенеді, сондықтан онымен байланысы жоқ бірнеше процестер мен құбылыстардың вариациясын салыстыруға болады.

Қаржылық модельдеуде вариация коэффициентін қолдану

Вариация коэффициенті қаржылық және инвестициялық талдаушылар қолданатын вариациялық статистикалық әдістердің ішінде көшбасшы болып табылады.

Сарапшылар коэффициентті пайдаланады:

1. Болжау моделінің тұрақтылығын анықтау.
2. Табыс пен тәуекелдің әртүрлі абсолютті деңгейлері бар бірнеше болжамдық модельдерді (негізінен инвестициялық модельдерді) салыстыру.
3. XYZ талдауын орындау үшін.

Вариация коэффициентін есептеу формуласы

Вариация коэффициенті мына формула бойынша есептеледі:

мұндағы CV – өзгеру коэффициенті,

σ – кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы,

tav – кездейсоқ шаманың орташа мәні.

Инвестициялық қаржылық модельдер үшін вариация коэффициентінің формуласы:

мұндағы NPV – таза келтірілген құн.

Бағалы қағаздарға инвестициялаудың өзгеру коэффициентінің формуласы:

мұндағы: %жыл – бағалы қағаздың жылдық % кірістілігі.

Excel бағдарламасындағы вариация коэффициенті

=STDEV(мән ауқымы)/ОРТАША(мән ауқымы)

Немесе кірістірілген деректерді талдау бумасын пайдалану.

Вариациялық талдау коэффициенті

Вариация коэффициенті дисперсия мен стандартты ауытқуға қарағанда әмбебап болып табылады, өйткені ол айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін екі немесе одан да көп активтердің тәуекелі мен кірістілігін салыстыруға мүмкіндік береді. Дегенмен, вариация коэффициентін пайдалана отырып, кіріс/тәуекел жұбын бағалау әдісінде шектеулер бар. Егер күтілетін кіріс нөлге ұмтылса, онда вариация коэффициентінің мәні шексіздікке ұмтылады. Және жобаның (немесе бағалы қағаздың) күтілетін табыстылығының шамалы өзгеруінің өзі инвестициялық шешімдерді негіздеу кезінде ескерілуі тиіс коэффициенттің айтарлықтай өзгеруіне әкеледі.

• 10%-дан аз болса, жобаның тәуекел дәрежесі шамалы,
• 10%-дан 20%-ға дейін – орташа,
• 20%-дан астам – маңызды,
• егер вариация коэффициентінің мәні 33%-дан жоғары болса, онда қаржылық модель біртекті емес және тұрақсыз болып саналады. Оны объективті инвестициялық шешімдер қабылдау үшін пайдалану мүмкін емес.

Excel бағдарламасында вариация коэффициентін есептеу мысалдары

1-мысал

Біріншісі - Мәскеу мен Санкт-Петербургте зергерлік бұйымдарды сатуға арналған бөлшек сауда нүктелерінің желісін ашу.

Екіншісі – миллионнан астам халқы бар қалаларда бүкіл Ресей бойынша сауда нүктелерінің желісін ашу.

Кәсіпорынның қаржылық талдаушысы Excel бағдарламасында екі жобаның да қаржылық үлгілерін құрастырды және Монте-Карло үлгісін пайдалана отырып, әр жобада NPV үшін 5000 жүгіріс жасады (сонымен қатар қараңыз, Excel бағдарламасында визуалды қаржылық модельді қалай жасауға болады ). Содан кейін «Деректерді талдау» талдау пакетін пайдалана отырып, мен келесі статистикалық көрсеткіштерді алдым (1 және 2 кестелерді қараңыз).

1-кесте. 1 жобаның көрсеткіштері

Орташа бағаланған NPV 1-жобадан 14,05 мың доллар болады, дисперсия (немесе стандартты ауытқу) 1,72 мың долларға тең болады.

Бірінші жоба үшін вариация коэффициенті:

CV = 1,72/14,05 = 12%

Жоба орташа тәуекел деп танылды.

2-жобадан орташа есептелген NPV 25,23 мың долларды құрайды, дисперсия 6,30 мың долларды құрайды.

Екінші жоба үшін вариация коэффициенті:

CV = 6,30/25,23 = 24,97%

Жоба жоғары қауіпті деп саналады.

Егер сіз 1 және 2 жобаларды вариация коэффициенті бойынша салыстырсаңыз, онда кіріс/тәуекел арақатынасы жақсырақ болғандықтан, 1-жобаны таңдау керек.

2-мысал

Sigma компаниясы сатылымның өзгермелілігіне негізделген өнім ассортиментін XYZ талдауын жүргізеді. Компанияның өнім желісі бес өніммен ұсынылған: A, B, C, D және E.

Әрбір өнім бойынша соңғы жылдағы ай сайынғы сату статистикасы бар (суретті қараңыз). Тәжірибеде үш жылдан астам мерзімге статистиканың болғаны дұрыс/

Сурет салу. Әрбір өнім бойынша соңғы жылдағы сату статистикасы

Компанияның қаржылық талдаушысы әр өнім үшін вариация коэффициентін есептеді

CVа = STANDARDEV(B2:B13)/ОРТАША(B2:B13) = 30%

Компания XYZ топтары үшін келесі интервалдарды белгіледі:

Z – 31–100%.

Бұл В және Д тауарларының Х категориясына жататынын білдіреді.Оларға сұраныс тұрақты, оларға арналған қоймалардағы қорлар мұқият бақылауда және үнемі толықтырылып отыруы керек.

А және С өнімдері Y санатына жатады. Оларға сұраныс ай сайын 30% шегінде өзгереді. Сұраныс маусымдық болуы мүмкін. Сату статистикасын тереңірек талдау және осы топ үшін қойма балансы бойынша оңтайлы саясатты әзірлеу қажет.

Е өнімі ең құбылмалы сұранысқа ие, оны сату тұрақты емес, сондықтан онымен алдын ала тапсырыс бойынша жұмыс істеуге ауысу мағынасы бар.

Қорытындылар

Вариация коэффициенті инвестицияның тиімділігін бағалаудың жалғыз жолы емес екенін есте ұстаған жөн, өйткені ол бірнеше маңызды факторларды ескермейді:

1. Бастапқы инвестиция көлемі.
2. Ықтимал таралу асимметриясы. Вариация коэффициентін есептеу кезінде кездейсоқ шама мәндерінің таралуы орташаға симметриялы болады (көбінесе қалыпты үлестіру бойынша). Бірақ бұл әрқашан дұрыс емес. Мысалы, рентабельділігі нөлден төмен болмайтын опциондар үшін таралу асимметриясы бар және олар үшін вариация коэффициентін статистикалық талдаудың басқа әдістерін ескере отырып талдау қажет.
3. Инвестициялық субъектінің инвестициялық саясаты.
4. Басқа сандық емес факторлар.

Дегенмен, вариация коэффициентін есептеу арқылы статистикалық, соның ішінде қаржылық деректерді бағалау әдісі статистиканың ең тиімді салыстырмалы әдістерінің бірі ретінде лайықты түрде танылды.

Көптеген адамдар популяцияның жеке бірліктерінде зерттелетін сипаттаманың өзгергіштігімен, оның белгілі бір шамаға қатысты ауытқуымен, яғни вариациясымен бетпе-бет келеді. Бұл белгілі бір ғылыми зерттеудің барысы туралы ең сенімді ақпарат алу үшін ескерілуі керек нәрсе.

Зерттеушілердің көпшілігі белгілі бір параметрдің мәнінің өзгеру интервалын анықтау кезінде көбінесе абсолютті мәндерге жүгінеді, соңғыларының ішінде вариация коэффициенті, егер зерттелетін мән қалыпты таралумен сипатталса. , популяцияның біртектілігінің критерийі болып табылады. Бұл көрсеткіш шкала мен өлшем бірлігіне назар аудармай, зерттелетін параметр мәндерінің шашырау дәрежесін анықтауға мүмкіндік береді.

Вариация коэффициентін пайызбен көрсетілген айнымалының орташа арифметикалық мәніне бөлу арқылы есептеуге болады. Бұл есептеудің нәтижесі нөлден шексіздікке дейінгі диапазонға түсіп, белгінің вариациясы артқан сайын артады. Егер алынған мән 33,3%-дан төмен болса, белгінің вариациясы әлсіз. Егер көп болса - күшті. Соңғы жағдайда зерттелетін деректер жиынтығы гетерогенді болып табылады, ол атипті болып саналады, сондықтан жалпылау көрсеткіші бола алмайды. Сондықтан бұл популяция үшін басқа көрсеткіштерді қолданған жөн.

Айта кету керек, вариация коэффициенті белгілі бір популяцияның біртектілігін сипаттап қана қоймай, оны салыстырмалы бағалау ретінде де қолданылады. Мысалы, ол есептелген орташа мән әртүрлі болатын популяцияларда белгілі бір сипаттаманың ауытқуы қажет болған жағдайда қолданылады. Бұл жағдайда алынған мәліметтердің шашырауы алынған мағынаны объективті бағалауға мүмкіндік бермейді. Вариация коэффициенті айнымалының салыстырмалы өзгергіштігін сипаттайды, сондықтан зерттелетін параметр мәнінің ауытқуының салыстырмалы өлшемі бола алады.

Дегенмен, мұнда кейбір шектеулер бар. Атап айтқанда, параметр мәндерінің ауытқу дәрежесін тек белгілі бір сипаттама үшін және популяцияның белгілі бір құрамы болған жағдайда ғана бағалауға болады. Сонымен қатар, бұл көрсеткіштердің теңдігі күшті және әлсіз вариацияны көрсетуі мүмкін. Бұл белгілер әртүрлі болса немесе зерттеулер әртүрлі популяцияларда жүргізілсе. Бұл нәтиже өте объективті себептердің әсерінен қалыптасады және бұл алынған эксперименттік мәліметтерді өңдеу кезінде ескерілуі керек.

Вариация коэффициенті ғылым мен техниканың әртүрлі салаларында кеңінен қолданылады. Атап айтқанда, ол экономика мен әлеуметтануда параметрлердің ауытқуын бағалау кезінде белсенді қолданылады. Сонымен қатар, егер олардың таңбасын керісінше өзгерте алатын айнымалылардың өзгергіштігін бағалау қажет болса, коэффициентті пайдалану мүмкін болмайды. Ақыр соңында, есептеулер нәтижесінде бұл көрсеткіштің дұрыс емес мәндері алынады: не ол өте аз болады, не теріс белгісі болады. Соңғы жағдайда орындалған есептеулердің дұрыстығын тексерген жөн.

Осылайша, вариация коэффициенті дисперсия дәрежесін және орташа мәннің салыстырмалы өзгергіштігін бағалауға мүмкіндік беретін параметр деп айта аламыз. Бұл көрсеткішті пайдалану бізге ең маңызды факторларды анықтауға мүмкіндік береді, соларға назар аудару біздің мақсаттарымызға жетуге және қажетті мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.

Кез келген статистикалық жиынтық атрибут мәндері өзгеретін бірліктерден тұрады. Популяцияның біртектілігін және зерттелетін сипаттаманың орташа мәнінің типтілігін бағалау үшін талдауды вариациялық көрсеткіштерді есептеу арқылы толықтыру керек.

Вариация – бұл популяцияның жеке бірліктеріндегі белгі мәнінің ауытқуы, әртүрлілігі, өзгермелілігі.

Вариацияның абсолютті көрсеткіштеріне мыналар жатады: вариация диапазоны, орташа сызықтық ауытқу, дисперсия және стандартты ауытқу.

Вариация диапазоны – зерттелетін сипаттаманың өзгеру шекарасының сипаттамасы. Атрибуттың ең кіші және ең үлкен мәндері бар популяция бірліктері арасындағы айырмашылықтың қаншалықты үлкен екенін көрсетеді, ол өзгермелі атрибуттың экстремалды мәндеріне негізделген және қатардағы барлық нұсқалардың ауытқуларын көрсетпейді; Формула бойынша анықталады:

R=Xmax-Xmin, (5.4)

мұндағы Xmax – вариациялық қатардың максималды мәні;

Xmin - ең аз.

Орташа сызықтық ауытқу зерттелетін популяциядағы сипаттаманың сипаттаманың орташа мәнінен қандай шамаға ауытқығанын көрсетеді. Формула бойынша табылады:

өзгермелі сипаттаманың (нұсқалардың) жеке мәндері қайда; - жиіліктер, салмақтар; - өзгермелі сипаттаманың орташа мәні;

Дисперсия - бұл сипаттаманың жеке мәндерінің олардың орташа мәнінен ауытқуының орташа квадраты. Келесі формулалар арқылы есептелді.

Дисперсияны анықтаудың бірінші жолы:

Дисперсияны анықтаудың екінші әдісі (орта арифметикалық мәнді пайдалану):

мұндағы – жеке шамалардың квадраттарының орташа мәні; - атрибуттың орташа мәнінің квадраты.

Стандартты ауытқу – жиынтықтағы сипаттаманың өзгеру шамасының жалпы сипаттамасы. Формула бойынша анықталатын сипаттама мәні стандартты мәннен орта есеппен қаншалықты ерекшеленетінін көрсетеді:

Дисперсия және стандартты ауытқу неғұрлым аз болса, популяция соғұрлым біртекті (сандық) және орташа мән соғұрлым типтік болады.

Автомобиль көлігінің жүк айналымы бойынша көлік ұйымдарын топтастыру үшін вариациялық көрсеткіштерді есептейік (5.1-кесте).

Вариация диапазонын табайық (5.4 формуласы бойынша):

Қоғамдық көліктердегі жүк айналымы құндылықтарының таралуы айтарлықтай жоғары.

Орташа сызықтық ауытқуды есептейік (5.5 формуласы бойынша):

Автомобиль көлігімен жүк айналымының мәндері орташа мәннен 508,8 млн. тонна км-ге ерекшеленді.

Дисперсияны екі әдіспен есептейік (5.6 - 5.7 формулаларын қолданып). Бірінші жол:

Стандартты ауытқуды есептейік (5.8 формуласы бойынша):

Бұл қоғамдық көліктің жүк айналымы орташа есеппен стандартты мәннен 23,68 млн тонна км-ге ерекшеленетінін білдіреді.

5.4 - 5.8 формулаларын қолдана отырып, тұрғын үй-жайлардың аудандарын топтастырудың вариациялық көрсеткіштерін табайық (5.3-кесте).

Вариация диапазонын есептейік:

3,1 м2 вариация диапазоны бізге тұрғын үй-жайлардың аудандары үшін мәндердің таралуы өте жоғары емес екенін көрсетеді.

Орташа сызықтық ауытқуды есептейік:

Осылайша, зерттелетін тұрғындардағы тұрғын үй-жайлардың аудандарының мәндері орташа мәннен 1,19 м2 ауытқиды.

Дисперсияны екі жолмен есептейік.

Бірінші жол:

Екінші әдіс (орта арифметикалық мәнді пайдалану):

Стандартты ауытқуды есептейік:

Бұл тұрғын үй-жайлардың ауданы стандартты мәннен орта есеппен 1,3 м2 айырмашылығы бар екенін көрсетеді.

Вариация коэффициенттері

Вариация орташа ауытқудың орташа мәнге қатынасы ретінде анықталатын вариация коэффициенттері деп аталатын салыстырмалы мәндердің көмегімен өлшенеді. Вариация коэффициенті популяция бірліктерінің вариациясын салыстырмалы бағалау үшін ғана емес, сонымен қатар популяцияның біртектілігінің сипаттамасы ретінде де қолданылады. Вариация коэффициентінің мәндері 0-ден 100%-ға дейін өзгереді және ол нөлге жақын болған сайын, зерттелетін статистикалық жиынтық үшін табылған орташа мән соғұрлым тән болады, сондықтан статистикалық деректер соғұрлым жақсы таңдалады. Популяция сандық жағынан біртекті болып саналады, егер вариация коэффициенті 33%-дан аспаса (қалыптыға жақын таралу үшін). Вариацияның келесі салыстырмалы көрсеткіштері бөлінеді:

Вариация коэффициенті:

мұндағы стандартты ауытқу, орташа арифметикалық.

Сызықтық вариация коэффициенті:

мұндағы орташа сызықтық ауытқу.

Тербеліс коэффициенті:

вариация диапазоны қайда.

5.9, 5.10, 5.11 формулалары арқылы автомобиль көлігінің жүк айналымы бойынша ұйымдар тобы үшін вариация коэффициенттерін есептейік (5.1-кесте).

Вариация коэффициенті мынаған тең болады: , ол 33%-дан асады, сондықтан популяция гетерогенді.

Сызықтық вариация коэффициентін есептейік: . Демек, ұйымдардың абсолютті ауытқуларының орташа мәнінің орташа мәннен үлесі 30,7% құрайды.

Тербеліс коэффициентін табайық: . Бұдан шығатыны, ұйымдардың максималды және ең төменгі мәндерінің арасындағы айырмашылық орташа мәннен 1,078 есе дерлік асып түседі.

Тұрғын аудандарды топтастыру үшін вариация коэффициенттерін анықтайық (бір тұрғынға орташа есеппен) (5.3-кесте).

(5.9) формула бойынша вариация коэффициентін есептейік:

Бұл вариация коэффициенті 33% аспайтынын білдіреді, демек, популяция біртекті.

(5.10) формула бойынша вариацияның сызықтық коэффициентін есептейік:

Бұл тұрғын үй-жайлардың аумақтарының абсолютті ауытқуларының орташа мәнінің орташа мәннен үлесі 5,56% дегенді білдіреді.

(5.11) формула арқылы тербеліс коэффициентін табайық:

Тұрғын үй-жайлардың аудандарының максималды және ең төменгі мәндерінің арасындағы айырмашылық орташа мәннен аспайды.

ВАРИАЦИЯЛЫҚ КӨРСЕТКІШТЕРДІ ЕСЕПТЕУ

ПРАКТИКАЛЫҚ ЖҰМЫС 3

Жұмыстың мақсаты: оқумен қойылған міндеттерге байланысты вариацияның әртүрлі көрсеткіштерін (өлшемдерін) есептеуде практикалық дағдыларды алу.

Жұмыс тәртібі:

1. Вариациялық көрсеткіштердің түрі мен формасын (жай немесе салмақты) анықтаңыз.

3. Қорытынды тұжырымдаңыз.

1. Вариациялық көрсеткіштердің түрі мен формасын анықтау.

Вариациялық көрсеткіштер абсолютті және салыстырмалы болып екі топқа бөлінеді. Абсолюттікке мыналар жатады: вариация диапазоны, квартильдік ауытқу, орташа сызықтық ауытқу, дисперсия және стандартты ауытқу. Салыстырмалы көрсеткіштер – тербеліс коэффициенттері, вариация, салыстырмалы сызықтық ауытқу, салыстырмалы квартильдік вариация және т.б.

Өзгеріс диапазоны (R)белгінің вариациясының қарапайым өлшемі болып табылады және келесі формуламен анықталады:

мұндағы – өзгермелі сипаттаманың ең үлкен мәні;

– өзгермелі сипаттаманың ең кіші мәні.

Квартильді ауытқу (Q)– жиынтықтағы сипаттаманың өзгеруін сипаттау үшін қолданылады. Төтенше мәндерді пайдаланумен байланысты кемшіліктерді болдырмау үшін вариация ауқымының орнына пайдалануға болады.

мұндағы және сәйкесінше бөлудің бірінші және үшінші квартилдері.

Квартилдер– бұл популяция бірліктерінің 25% мәнінен аз болатындай етіп таңдалған таралу қатарындағы сипаттаманың мәндері; Бірліктердің 25% және арасында болады; Бірліктердің 25% және арасында болады, ал қалған 25% -дан асады.

1 және 3 квартильдер мына формулалармен анықталады:

,

Бірінші квартиль орналасқан интервалдың төменгі шегі қайда;

– бірінші квартиль орналасқан интервалдың алдындағы аралықтардың жинақталған жиіліктерінің қосындысы;

– бірінші квартиль орналасқан интервалдың жиілігі.

мұндағы Мен қатардың медианасы;

,

Таңбалар шамалармен бірдей.

Симметриялық немесе орташа асимметриялық таралуларда Q»2/3s. Квартильдік ауытқуға атрибуттың барлық мәндерінің ауытқулары әсер етпейтіндіктен, оны пайдалану стандартты ауытқуды анықтау қиын немесе мүмкін емес жағдайлармен шектелуі керек.

Орташа сызықтық ауытқу ()атрибут нұсқаларының олардың орташа мәнінен абсолютті ауытқуларының орташа мәнін көрсетеді. Оны таралу қатарында жиіліктердің жоқтығына немесе болуына байланысты өлшенбеген де, өлшенген де орташа арифметикалық формула арқылы есептеуге болады.

Орташа өлшенбеген сызықтық ауытқу,

- орташа өлшенген сызықтық ауытқу.

дисперсия()– сипаттаманың жеке мәндерінің олардың орташа мәнінен ауытқуының орташа квадраты. Дисперсия қарапайым өлшенбеген және өлшенген формулалар арқылы есептеледі.

- салмақсыз,

- салмақты.

Стандартты ауытқу(лар)– вариацияның ең көп тараған көрсеткіші – дисперсия шамасының квадрат түбірі.

Вариация диапазоны, квартильдік ауытқу, орташа сызықтық және квадраттық ауытқулар шамалар деп аталады және орташаланатын сипаттаманың өлшеміне ие болады. Дисперсияның өлшем бірлігі жоқ.

Бір популяциядағы әртүрлі белгілердің өзгергіштігін салыстыру мақсатында немесе бірнеше популяциялардағы бір сипаттаманың өзгергіштігін салыстыру кезінде вариацияның салыстырмалы көрсеткіштері есептеледі. Салыстыру үшін негіз арифметикалық орта болып табылады. Көбінесе салыстырмалы көрсеткіштер пайызбен көрсетіледі және вариацияның салыстырмалы бағасын ғана емес, сонымен қатар популяцияның біртектілігін сипаттайды.

Тербеліс коэффициенті(салыстырмалы вариация диапазоны) мына формула бойынша есептеледі:

,

Сызықтық вариация коэффициенті(салыстырмалы сызықтық ауытқу):

Салыстырмалы квартильдік вариация индексі:

немесе

Вариация коэффициенті:

,

Статистикада салыстырмалы өзгергіштіктің ең жиі қолданылатын көрсеткіші – вариация коэффициенті. Ол вариацияны салыстырмалы бағалау үшін ғана емес, популяцияның біртектілігінің сипаттамасы ретінде де қолданылады. Вариация коэффиценті неғұрлым көп болса, атрибут мәндерінің орташа шама төңірегінде таралуы неғұрлым көп болса, популяцияның гетерогенділігі соғұрлым жоғары болады. Вариация коэффициентінің мәндеріне байланысты популяцияның біртектілік дәрежесін анықтау шкаласы бар (17; С.61).

Бөлу пішіні туралы шамамен түсінік алу үшін таралу графиктері (көпбұрыш және гистограмма) құрастырылады.

Статистикалық зерттеу тәжірибесінде әртүрлі таралуларға тап болады. Біртекті популяцияларды зерттегенде біз әдетте бір төбелік үлестіріммен айналысамыз. Мультивертекс зерттелетін популяцияның гетерогенділігін көрсетеді, екі немесе одан да көп шыңдардың пайда болуы біртекті топтарды анықтау үшін деректерді қайта топтастыру қажеттілігін көрсетеді. Бөлудің жалпы сипатын анықтау оның біртектілік дәрежесін бағалауды, сондай-ақ асимметрия мен куртоздық көрсеткіштерін есептеуді қамтиды. Симметриялықтарату орталығының екі жағында бірдей қашықтықта орналасқан кез келген екі нұсқаның жиіліктері бір-біріне тең болатын үлестірім. Симметриялық үлестірімде арифметикалық орта, мода және медиана тең болады. Осыған байланысты ең қарапайым көрсеткіш асимметриятарату орталығының көрсеткіштерінің арақатынасына негізделген: құралдар арасындағы айырмашылық неғұрлым көп болса, қатардың асимметриясы соғұрлым жоғары болады.

Таралудың орталық бөлігіндегі, яғни бірліктердің негізгі бөлігіндегі асимметрияны сипаттау үшін немесе бірнеше таралудың асимметрия дәрежесін салыстырмалы талдау үшін К.Пирсонның салыстырмалы асимметрия көрсеткіші есептеледі:

As индикаторының мәні оң және теріс болуы мүмкін. Көрсеткіштің оң мәні оң жақты асимметрияның болуын көрсетеді (максималды ординатаға қатысты оң жақ тармақ солға қарағанда ұзартылған). Оң жақты асимметрия кезінде тарату орталығының көрсеткіштері арасында байланыс бар: . Асимметрия индексінің теріс белгісі сол жақты асимметрияның болуын көрсетеді (1-сурет). Бұл жағдайда тарату орталығының көрсеткіштері арасында байланыс бар: .

Күріш. 1. Таралуы:

1 – сол жақты асимметриямен; 2 – оң жақты асимметриямен.

Швед математигі Линдберг ұсынған тағы бір көрсеткіш мына формуламен есептеледі:

мұндағы P - мәндегі орташа арифметикалық мәннен асатын сипаттамалық мәндердің пайызы.

Ең дәл және кең тараған көрсеткіш үшінші ретті орталық моментті анықтауға негізделген (симметриялық үлестіру кезінде оның мәні нөлге тең):

үшінші ретті орталық момент қайда:

σ – стандартты ауытқу.

Бұл көрсеткішті қолдану асимметрияның шамасын анықтауға ғана емес, жалпы популяциядағы сипаттаманың таралуында асимметрияның болуы немесе болмауы туралы сұраққа жауап беруге мүмкіндік береді. Бұл көрсеткіштің маңыздылық дәрежесін бағалау бақылаулар көлеміне байланысты орташа квадраттық қатені пайдалана отырып беріледі. nжәне мына формуламен есептеледі:

.

Егер қатынас болса, асимметрия маңызды және популяциядағы белгінің таралуы симметриялы емес. Егер қатынас , ассиметрия шамалы болса, оның болуын әртүрлі кездейсоқ жағдайлардың әсерімен түсіндіруге болады.

Симметриялық таралулар үшін көрсеткіш есептеледі артық(айқындық). Линдберг куртозды бағалау үшін келесі көрсеткішті ұсынды:

,

мұндағы P – орташа арифметикалық мәннен бір немесе басқа бағытта стандартты ауытқудың жартысына тең аралықта жатқан опциялар санының үлесі (%).

Ең дәл көрсеткіш төртінші ретті орталық моментті пайдалану болып табылады:

төртінші моменттің орталық моменті қайда;

- топталмаған деректер үшін;

- топтастырылған деректер үшін.

2-суретте екі таралу көрсетілген: біреуі шыңы (куртоздың мәні оң), екіншісі тегіс үстіңгі (куртоздың мәні теріс). Куртоз – эмпирикалық таралудың жоғарғы бөлігінің қалыпты таралу қисығының үстіңгі немесе одан төмен болуы. Қалыпты таралуда қатынасы болады.

Күріш. 2. Таралуы:

1.4 – қалыпты; 2 – үшкір; 3 – үстіңгі жағы тегіс

Куртоздың орташа квадраттық қателігі мына формула бойынша есептеледі:

,

мұндағы n – бақылаулар саны.

Егер , онда куртоз маңызды, егер , онда ол маңызды емес.

Асимметрия мен куртоздық көрсеткіштердің маңыздылығын бағалау бұл эмпирикалық зерттеуді қалыпты таралу қисығының түрі ретінде жіктеуге болатынын қорытындылауға мүмкіндік береді.

2. Вариациялық индекстерді есептеу әдістемесін қарастырайық.

Дисперсияның квадрат түбірі орташа мәннен стандартты ауытқу деп аталады, ол келесі түрде есептеледі:

Стандартты ауытқу формуласын элементар алгебралық түрлендіру оны келесі түрге әкеледі:

Бұл формула көбінесе есептеу тәжірибесінде ыңғайлы болып шығады.

Стандартты ауытқу, орташа сызықтық ауытқу сияқты, сипаттаманың нақты мәндерінің орташа мәнінен олардың орташа мәнінен қанша ауытқуын көрсетеді. Стандартты ауытқу әрқашан орташа сызықтық ауытқудан үлкен болады. Олардың арасында мынадай байланыс бар:

Бұл қатынасты біле отырып, сіз белгісізді анықтау үшін белгілі көрсеткіштерді пайдалана аласыз, мысалы, бірақ (И а және керісінше есептеңіз. Стандартты ауытқу сипаттаманың өзгергіштігінің абсолютті өлшемін өлшейді және сипаттама мәндері сияқты өлшем бірліктерімен көрсетіледі (рубль, тонна, жыл және т.б.). Бұл вариацияның абсолютті өлшемі.

үшін балама белгілер, мысалы, жоғары білімнің болуы немесе болмауы, сақтандыру, дисперсия және стандартты ауытқу формулалары келесідей:

Университеттің бір факультетіндегі студенттердің жас ерекшеліктеріне қарай бөлінуін сипаттайтын дискретті қатардың деректері бойынша стандартты ауытқудың есебін көрсетейік (6.2-кесте).

6.2-кесте.

Көмекші есептеулердің нәтижелері кестенің 2-5-бағандарында келтірілген. 6.2.

Студенттің орташа жасы, жылдар орташа өлшенген арифметикалық формуламен анықталады (2-баған):

Студенттің жеке жасының орташадан квадраттық ауытқуы 3-4-бағандарда, ал квадраттық ауытқулар мен сәйкес жиіліктердің көбейтінділері 5-бағанда көрсетіледі.

(6.2) формула арқылы оқушылардың жас, жас айырмашылығын табамыз:

Сонда o = l/3,43 1,85 *ода, яғни. Студент жасының әрбір нақты мәні орташадан 1,85 жасқа ауытқиды.

Вариация коэффициенті

Өзінің абсолютті мәнінде стандартты ауытқу тек сипаттаманың өзгеру дәрежесіне ғана емес, сонымен қатар опциялардың абсолютті деңгейлеріне және орташа мәнге де байланысты. Сондықтан әртүрлі орташа деңгейлері бар вариациялық қатарлардың стандартты ауытқуларын тікелей салыстыру мүмкін емес. Мұндай салыстыруды жасай алу үшін пайызбен көрсетілген орташа арифметикалық шамадағы орташа ауытқудың (сызықтық немесе квадраттық) үлесін табу керек, яғни. есептеу вариацияның салыстырмалы өлшемдері.

Сызықтық вариация коэффициенті формула бойынша есептеледі

Вариация коэффициенті келесі формуламен анықталады:

Вариация коэффициенттерінде зерттелетін сипаттаманың әртүрлі өлшем бірліктерімен байланысты салыстырмау ғана емес, сонымен қатар арифметикалық орта шамасының айырмашылығына байланысты туындайтын салыстырусыздық жойылады. Сонымен қатар вариациялық көрсеткіштер популяцияның біртектілігін сипаттайды. Популяция біртекті болып саналады, егер вариация коэффициенті 33%-дан аспаса.

Кестеге сәйкес. 6.2 және жоғарыда алынған есептеу нәтижелері бойынша (6.3) формула бойынша вариация коэффициентін, % анықтаймыз:

Егер вариация коэффициенті 33%-дан асса, онда бұл зерттелетін популяцияның гетерогенділігін көрсетеді. Біздің жағдайда алынған мән оқушылардың жасы бойынша популяциясы құрамы бойынша біртекті екенін көрсетеді. Осылайша, вариация көрсеткіштерін жалпылаудың маңызды функциясы орташа мәндердің сенімділігін бағалау болып табылады. Соғұрлым аз c1, a2 және V, нәтижесінде пайда болған құбылыстар жиынтығы неғұрлым біртекті және алынған орташа мән соғұрлым сенімді болады. Математикалық статистикамен қарастырылатын «үш сигма ережесіне» сәйкес, қалыпты таралған немесе оларға жақын қатарларда орташа арифметикалық мәннен ±3-тен аспайтын ауытқулар 1000 жағдайдың 997-сінде кездеседі. Осылайша, білу X және а, сіз вариациялық қатар туралы жалпы бастапқы түсінік ала аласыз. Егер, мысалы, компаниядағы қызметкердің орташа жалақысы 25 000 рубль болса және а 100 рубльге тең болса, онда сенімділікке жақын ықтималдықпен компания қызметкерлерінің жалақысы диапазонда (25 000) ауытқиды деп айта аламыз. ± ± 3 x 100 ) яғни. 24 700-ден 25 300 рубльге дейін.