Екі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз. Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі

Анықтама.Жазықтықтағы кез келген түзуді бірінші ретті теңдеу арқылы анықтауға болады

Ax + Wu + C = 0,

Оның үстіне А және В тұрақтылары бір уақытта нөлге тең емес. Бұл бірінші ретті теңдеу деп аталады түзудің жалпы теңдеуі. A, B және C тұрақтыларының мәндеріне байланысты келесі ерекше жағдайлар мүмкін:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – түзу координат басынан өтеді

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox осіне параллель түзу

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy осіне параллель түзу

B = C = 0, A ≠0 – түзу Oy осімен сәйкес келеді

A = C = 0, B ≠0 – түзу Ox осімен сәйкес келеді

Түзу теңдеуі кез келген берілген бастапқы шарттарға байланысты әртүрлі формада берілуі мүмкін.

Нүктеден және нормаль вектордан түзу теңдеуі

Анықтама.Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінде құрамдас бөліктері (A, B) бар вектор Ax + By + C = 0 теңдеуімен берілген түзуге перпендикуляр.

Мысал. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. А = 3 және В = -1 болғанда түзудің теңдеуін құрастырайық: 3x – y + C = 0. С коэффициентін табу үшін, алынған өрнекке берілген А нүктесінің координаталарын қоямыз: 3 – 2 + C = 0, демек, C = -1 . Барлығы: қажетті теңдеу: 3x – y – 1 = 0.

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

Кеңістікте екі M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2) нүктелері берілсін, онда осы нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуі:

Егер бөлгіштердің кез келгені нөлге тең болса, сәйкес алым нөлге тең болуы керек Жазықтықта жоғарыда жазылған түзудің теңдеуі жеңілдетілген:

егер x 1 ≠ x 2 және x = x 1 болса, x 1 = x 2 болса.

= k бөлімі деп аталады еңістікелей.

Мысал. А(1, 2) және В(3, 4) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім.Жоғарыда жазылған формуланы қолданып, аламыз:

Нүктеден және көлбеуден түзу түзудің теңдеуі

Егер жалпы Ax + Bu + C = 0 болса, пішінге әкеліңіз:

және белгілеу , содан кейін алынған теңдеу шақырылады еңісі бар түзудің теңдеуік.

Нүктеден түзу және бағыт векторының теңдеуі

Қалыпты вектор арқылы өтетін түзудің теңдеуін қарастыратын нүктеге ұқсастық арқылы нүкте арқылы өтетін түзудің анықтамасын және түзудің бағыттаушы векторын енгізуге болады.

Анықтама.Компоненттері A α 1 + B α 2 = 0 шартын қанағаттандыратын әрбір нөлдік емес вектор (α 1, α 2) түзудің бағыттаушы векторы деп аталады.

Ax + Wu + C = 0.

Мысал. Бағыт векторы (1, -1) және А(1, 2) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім.Біз қалаған сызықтың теңдеуін келесі түрде іздейміз: Ax + By + C = 0. Анықтамаға сәйкес коэффициенттер шарттарды қанағаттандыруы керек:

1 * A + (-1) * B = 0, яғни. A = B.

Сонда түзудің теңдеуі мынадай түрге ие болады: Ax + Ay + C = 0, немесе x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 үшін біз C/ A = -3 аламыз, яғни. қажетті теңдеу:

Кесінділердегі түзудің теңдеуі

Егер Ах + Ву + С түзуінің жалпы теңдеуінде = 0 С≠0 болса, онда –С-ке бөлгенде мынаны аламыз: немесе

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы мынада: коэффициент Атүзудің Ox осімен қиылысу нүктесінің координатасы, және б– түзудің Ой осімен қиылысу нүктесінің координатасы.

Мысал. x – y + 1 = 0 түзуінің жалпы теңдеуі берілген.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Сызықтың қалыпты теңдеуі

Егер Ax + By + C = 0 теңдеуінің екі жағы да санға көбейтілсе деп аталады нормалаушы фактор, содан кейін аламыз

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

түзудің нормаль теңдеуі. Нормалдаушы фактордың ± белгісін μ * С болатындай етіп таңдау керек< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Мысал. 12x – 5y – 65 = 0 жолының жалпы теңдеуі берілген.

Бұл сызықтың сегменттердегі теңдеуі:

Бұл түзудің көлбеу теңдеуі: (5-ке бөлу)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Айта кету керек, әрбір түзуді кесінділердегі теңдеумен бейнелеу мүмкін емес, мысалы, осьтерге параллель немесе координаталар басы арқылы өтетін түзулер.

Мысал. Түзу координат осьтеріндегі тең оң кесінділерді кесіп тастайды. Осы кесінділерден құралған үшбұрыштың ауданы 8 см 2 болса, түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім.Түзу теңдеуі мынадай түрге ие: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Мысал. А(-2, -3) нүктесі мен координат нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім. Түзудің теңдеуі: , мұндағы x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Жазықтықтағы түзулердің арасындағы бұрыш

Анықтама.Егер екі түзу y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 берілсе, онда бұл түзулердің арасындағы сүйір бұрыш келесі түрде анықталады.

.

Екі түзу параллель болады, егер k 1 = k 2 болса. Екі түзу перпендикуляр болады, егер k 1 = -1/ k 2 болса.

Теорема. A 1 = λA, B 1 = λB коэффициенттері пропорционал болғанда Ax + Bу + C = 0 және A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 түзулері параллель болады. Егер де C 1 = λC болса, онда сызықтар сәйкес келеді. Екі түзудің қиылысу нүктесінің координаталары осы түзулердің теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табылады.

Берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

Анықтама. M 1 (x 1, y 1) нүктесі арқылы өтетін және y = kx + b түзуіне перпендикуляр түзу мына теңдеумен өрнектеледі:

Нүктеден сызыққа дейінгі қашықтық

Теорема.Егер M(x 0, y 0) нүктесі берілсе, онда Ax + Bу + C = 0 түзуіне дейінгі қашықтық былай анықталады.

.

Дәлелдеу.М нүктесінен берілген түзуге түсірілген перпендикулярдың табаны M 1 (x 1, y 1) нүктесі болсын. Сонда M және M нүктелерінің арасындағы қашықтық 1:

(1)

x 1 және y 1 координаталарын теңдеулер жүйесін шешу арқылы табуға болады:

Жүйенің екінші теңдеуі – берілген түзуге перпендикуляр М 0 нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуі. Жүйенің бірінші теңдеуін келесі түрге түрлендірсек:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

онда шешіп, біз аламыз:

Осы өрнектерді (1) теңдеуге қойып, табамыз:

Теорема дәлелденді.

Мысал. Түзулер арасындағы бұрышты анықтаңыз: у = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Мысал. 3x – 5y + 7 = 0 және 10x + 6y – 3 = 0 түзулерінің перпендикуляр екенін көрсетіңіз.

Шешім. Табамыз: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, сондықтан түзулер перпендикуляр.

Мысал. А(0; 1), В (6; 5), С (12; -1) үшбұрышының төбелері берілген. С төбесінен жүргізілген биіктіктің теңдеуін табыңыз.

Шешім. АВ жағының теңдеуін табамыз: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Қажетті биіктік теңдеуі мына түрге ие: Ax + By + C = 0 немесе y = kx + b. k =. Сонда y =. Өйткені биіктік С нүктесі арқылы өтеді, онда оның координаттары мына теңдеуді қанағаттандырады: мұндағы b = 17. Барлығы: .

Жауабы: 3 х + 2 у – 34 = 0.

K(x 0 ; y 0) нүктесі арқылы өтетін және у = kx + a түзуіне параллель түзу мына формула бойынша табылады:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Мұндағы k – түзудің еңісі.

Балама формула:
M 1 (x 1 ; y 1) нүктесі арқылы өтетін және Ax+By+C=0 түзуіне параллель түзу теңдеумен бейнеленеді.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

К( нүктесі) арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз. ;) y = түзуіне параллель x+ .

№1 мысал. М 0 (-2,1) нүктесі арқылы өтетін және бір уақытта түзудің теңдеуін жазыңыз:
а) 2х+3у түзуіне параллель -7 = 0;
б) 2х+3у -7 = 0 түзуіне перпендикуляр.
Шешім . Еңіспен теңдеуді у = kx + a түрінде көрсетейік. Ол үшін у-дан басқа барлық мәндерді оң жаққа жылжытыңыз: 3y = -2x + 7 . Содан кейін оң жағын 3-ке бөліңіз. Біз аламыз: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 түзуіне параллель К(-2;1) нүктесі арқылы өтетін NK теңдеуін табайық.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 орнына қойсақ, мынаны аламыз:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
немесе
y = -2/3 x - 1/3 немесе 3y + 2x +1 = 0

№2 мысал. 2x + 5y = 0 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз және координаталық осьтермен бірге ауданы 5-ке тең үшбұрышты құрыңыз.
Шешім . Түзулер параллель болғандықтан, қалаған түзудің теңдеуі 2x + 5y + C = 0. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы, мұндағы a және b оның катеттері. Қажетті түзудің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табайық:
;
.
Сонымен, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Оны аудан формуласына ауыстырайық: . Біз екі шешімді аламыз: 2x + 5y + 10 = 0 және 2x + 5y – 10 = 0.

№3 мысал. (-2; 5) нүктесі арқылы өтетін және 5х-7у-4=0 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жаз.
Шешім. Бұл түзу y = 5 / 7 x – 4 / 7 (мұнда a = 5 / 7) теңдеуімен ұсынылуы мүмкін. Қажетті сызықтың теңдеуі y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), яғни. 7(y-5)=5(x+2) немесе 5x-7y+45=0 .

№4 мысал. 3-мысалды (A=5, B=-7) (2) формула арқылы шешіп, 5(x+2)-7(y-5)=0 табамыз.

№5 мысал. (-2;5) нүктесі арқылы өтетін және 7х+10=0 түзуіне параллель болатын түзудің теңдеуін жаз.
Шешім. Мұнда A=7, B=0. (2) формуласы 7(x+2)=0 береді, яғни. x+2=0. (1) формуласы қолданылмайды, себебі бұл теңдеуді у-ға қатысты шешу мүмкін емес (бұл түзу ордината осіне параллель).

Бұл мақалада жазықтықта орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің туындысы ашылады. Тік бұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін шығарайық. Өтілген материалға қатысты бірнеше мысалдарды анық көрсетіп, шешеміз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін алудан бұрын кейбір фактілерге назар аудару қажет. Жазықтықтағы екі дивергентті нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болатынын айтатын аксиома бар. Басқаша айтқанда, жазықтықта берілген екі нүкте осы нүктелер арқылы өтетін түзу арқылы анықталады.

Егер жазықтық Oxy тікбұрышты координаталар жүйесімен анықталса, онда бейнеленген кез келген түзу жазықтықтағы түзудің теңдеуіне сәйкес болады. Түзудің бағыттаушы векторымен де байланыс бар, бұл деректер екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрастыру үшін жеткілікті.

Ұқсас есепті шешудің мысалын қарастырайық. Декарттық координаталар жүйесінде орналасқан M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) екі дивергентті нүктелер арқылы өтетін а түзуінің теңдеуін құру керек.

x - x 1 a x = y - y 1 a y түріндегі жазықтықтағы түзудің канондық теңдеуінде O x y тікбұрышты координаталар жүйесі онымен M 1 (x) координаталары бар нүктеде қиылысатын түзумен көрсетілген. 1, y 1) бағыттаушы векторымен a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін а түзуінің канондық теңдеуін құру қажет.

a түзуінің координаталары (x 2 - x 1, y 2 - y 1) болатын M 1 M 2 → бағыт векторы бар, өйткені ол M 1 және M 2 нүктелерін қиып өтеді. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) бағыт векторының координаталары және оларда жатқан M 1 нүктелерінің координаталары бар канондық теңдеуді түрлендіру үшін қажетті мәліметтерді алдық. (x 1, y 1) және M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Есептеулерден кейін координаталары M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) екі нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы түзудің параметрлік теңдеулерін жазамыз. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ немесе x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ түріндегі теңдеуді аламыз. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Бірнеше мысалды шешуді егжей-тегжейлі қарастырайық.

1-мысал

Координаталары M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 берілген 2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Координаталары x 1, y 1 және x 2, y 2 болатын екі нүктеде қиылысатын түзудің канондық теңдеуі x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 түрін алады. Есептің шарты бойынша бізде x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 болады. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 теңдеуіне сандық мәндерді ауыстыру қажет. Осы жерден канондық теңдеу х - (- 5) 1 - (- 5) = у - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 түрін алатынын көреміз.

Жауабы: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Егер сізге басқа типтегі теңдеумен мәселені шешу қажет болса, онда алдымен канондық теңдеуге өтуге болады, өйткені одан кез келген басқасына өту оңайырақ.

2-мысал

O xy координаталар жүйесіндегі M 1 (1, 1) және M 2 (4, 2) координаталары бар нүктелер арқылы өтетін түзудің жалпы теңдеуін құрастырыңыз.

Шешім

Алдымен берілген екі нүкте арқылы өтетін берілген түзудің канондық теңдеуін жазу керек. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Канондық теңдеуді қажетті пішінге келтірейік, содан кейін аламыз:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Жауап: x - 3 y + 2 = 0 .

Мұндай тапсырмалардың мысалдары мектеп оқулықтарында алгебра сабақтарында талқыланды. Мектеп есептері y = k x + b түріндегі бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуі белгілі болуымен ерекшеленді. Егер y = k x + b теңдеуі O x y жүйесіндегі M 1 (x 1, y 1) және M 2 нүктелері арқылы өтетін түзуді анықтайтын k еңістің мәнін және b санын табу қажет болса. (x 2, y 2) , мұндағы x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 болғанда , онда бұрыштық коэффициент шексіздік мәнін қабылдайды, ал M 1 M 2 түзу x - x 1 = 0 түріндегі жалпы толық емес теңдеумен анықталады. .

Өйткені ұпайлар М 1Және М 2түзу сызықта болса, онда олардың координаталары y 1 = k x 1 + b және y 2 = k x 2 + b теңдеуін қанағаттандырады. k және b үшін y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b теңдеулер жүйесін шешу керек.

Ол үшін k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 немесе k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = мәнін табамыз. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Осы k және b мәндерімен берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x болады. 1 немесе y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Мұндай көп формулаларды бірден есте сақтау мүмкін емес. Ол үшін есептерді шығаруда қайталау санын көбейту қажет.

3-мысал

М 2 (2, 1) және у = k x + b координаталары бар нүктелер арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Есепті шешу үшін y = k x + b түріндегі бұрыштық коэффициенті бар формуланы қолданамыз. k және b коэффициенттері бұл теңдеу M 1 (- 7, - 5) және M 2 (2, 1) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін түзуге сәйкес келетіндей мән алуы керек.

Ұпайлар М 1Және М 2түзу сызықта орналасқан болса, онда олардың координаталары y = k x + b теңдеуін ақиқат теңдікке айналдыру керек. Бұдан біз мынаны аламыз - 5 = k · (- 7) + b және 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b жүйесіне теңдеуді біріктіріп, шешейік.

Ауыстыру кезінде біз оны аламыз

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Енді k = 2 3 және b = - 1 3 мәндері y = k x + b теңдеуіне ауыстырылды. Берілген нүктелер арқылы өтетін қажетті теңдеу у = 2 3 x - 1 3 түріндегі теңдеу болатынын көреміз.

Бұл шешім әдісі көп уақытты жоғалтуды алдын ала анықтайды. Тапсырманы сөзбе-сөз екі қадаммен шешудің жолы бар.

M 2 (2, 1) және M 1 (- 7, - 5) арқылы өтетін түзудің x - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) түріндегі канондық теңдеуін жазайық. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Енді көлбеу теңдеуіне көшейік. Біз мынаны аламыз: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Жауабы: у = 2 3 x - 1 3 .

Егер үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2) берілген екі сәйкес келмейтін нүктесі бар O x y z тікбұрышты координаталар жүйесі болса, олардан 1 М 2 өтетін M түзу сызығын осы түзудің теңдеуін алу керек.

Бізде x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z түріндегі канондық теңдеулер және x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z түріндегі параметрлік теңдеулер бар. 1 + a z · λ бағыт векторы a → = (a x, a y, a z) координаталары (x 1, y 1, z 1) бар нүктелер арқылы өтетін O x y z координаталар жүйесіндегі түзуді анықтай алады.

Тікелей M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) түріндегі бағыт векторы бар, мұндағы түзу M 1 нүктесі арқылы өтеді (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2 , y 2 , z 2), демек, канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 түрінде болуы мүмкін. z 2 - z 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, өз кезегінде параметрлік x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ немесе x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Кеңістікте берілген 2 нүктені және түзу теңдеуін көрсететін сызбаны қарастырайық.

4-мысал

Координаталары M 1 (2, - 3, 0) және M 2 (1, - 3, - 5) берілген екі нүкте арқылы өтетін үш өлшемді кеңістіктің O x y z тік бұрышты координаталар жүйесінде анықталған түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Канондық теңдеуді табу керек. Әңгіме үш өлшемді кеңістік туралы болғандықтан, бұл түзу берілген нүктелерден өткенде, қалаған канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z пішінін алатынын білдіреді. - z 1 z 2 - z 1 .

Шарт бойынша бізде x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 болады. Бұдан шығатыны, қажетті теңдеулер келесі түрде жазылады:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Жауабы: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі. Мақалада" " Функцияның графигі және осы графикке жанама берілген туындыны табудың ұсынылған есептерін шешудің екінші әдісін қарастыруға уәде бердім. Біз бұл әдісті мақалада талқылаймыз , жіберіп алмаңыз! Неліктенкелесіде?

Өйткені, онда түзу теңдеуінің формуласы қолданылатын болады. Әрине, біз бұл формуланы жай ғана көрсетіп, оны үйренуге кеңес бере аламыз. Бірақ оның қайдан шыққанын (қалай шыққанын) түсіндіріп алған дұрыс. Бұл қажет! Егер сіз оны ұмытып қалсаңыз, оны тез қалпына келтіруге боладықиын болмайды. Төменде бәрі егжей-тегжейлі сипатталған. Сонымен, координаталық жазықтықта екі А нүктесі бар(x 1;y 1) және B(x 2;y 2), көрсетілген нүктелер арқылы түзу жүргізіледі:

Міне, тікелей формуланың өзі:

*Яғни нүктелердің нақты координаталарын ауыстырғанда y=kx+b түріндегі теңдеу аламыз.

**Егер сіз бұл формуланы жай ғана «жаттап алсаңыз», онда индекстермен шатастыру ықтималдығы жоғары. X. Сонымен қатар, индекстерді әртүрлі тәсілдермен белгілеуге болады, мысалы:

Сондықтан мағынасын түсіну маңызды.

Енді осы формуланың туындысы. Бұл өте қарапайым!

ABE және ACF үшбұрыштары сүйір бұрышы бойынша ұқсас (тікбұрышты үшбұрыштардың ұқсастығының бірінші белгісі). Осыдан сәйкес элементтердің қатынасы тең болады, яғни:

Енді біз бұл кесінділерді нүктелердің координаталарының айырмашылығы арқылы өрнектейміз:

Әрине, егер сіз элементтердің қатынастарын басқа ретпен жазсаңыз, қате болмайды (ең бастысы - бірізділікті сақтау):

Нәтиже сызықтың бірдей теңдеуі болады. Мұның бәрі!

Яғни, нүктелердің өздері (және олардың координаталары) қалай белгіленгеніне қарамастан, осы формуланы түсіну арқылы сіз әрқашан түзудің теңдеуін табасыз.

Формула векторлардың қасиеттерін пайдалана отырып шығарылуы мүмкін, бірақ олардың координаталарының пропорционалдылығы туралы айтатындықтан, шығару принципі бірдей болады. Бұл жағдайда тікбұрышты үшбұрыштардың бірдей ұқсастығы жұмыс істейді. Менің ойымша, жоғарыда сипатталған қорытынды айқынырақ)).

Векторлық координаттарды пайдаланып шығысты қараңыз >>>

Координаталық жазықтықта екі берілген A(x 1;y 1) және B(x 2;y 2) нүктелері арқылы өтетін түзу салынсын. Координаталары бар түзуде еркін С нүктесін белгілейік ( x; ж). Сондай-ақ екі векторды белгілейміз:

Параллель түзулерде (немесе бір түзуде) жатқан векторлар үшін олардың сәйкес координаталары пропорционал болатыны белгілі, яғни:

— сәйкес координаталар қатынасының теңдігін жазамыз:

Мысал қарастырайық:

(2;5) және (7:3) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Тіпті түзу сызықтың өзін салудың қажеті жоқ. Біз формуланы қолданамыз:

Пропорцияны құру кезінде сәйкестікті түсіну маңызды. Сіз жазсаңыз қателеспейсіз:

Жауабы: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Алынған теңдеудің дұрыс табылғанына көз жеткізу үшін тексеруді ұмытпаңыз - ондағы нүктелер жағдайындағы деректердің координаттарын ауыстырыңыз. Теңдеулер дұрыс болуы керек.

Бар болғаны. Материал сізге пайдалы болды деп үміттенемін.

Құрметпен, Александр.

P.S: Әлеуметтік желідегі сайт туралы айтып берсеңіз, риза болар едім.

Бұл мақалада жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуін қарастырамыз. Егер осы түзудің екі нүктесі белгілі болса немесе осы түзудің бір нүктесі мен нормаль векторы белгілі болса, түзудің жалпы теңдеуін құруға мысалдар келтірейік. Жалпы түрдегі теңдеуді канондық және параметрлік түрлерге түрлендіру әдістерін көрсетейік.

Ерікті декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін Окси. Бірінші дәрежелі немесе сызықтық теңдеуді қарастырыңыз:

Ax+By+C=0,

(1)

Қайда A, B, C− кейбір тұрақтылар және кем дегенде элементтердің біреуі АЖәне Бнөлден өзгеше.

Жазықтықтағы сызықтық теңдеу түзуді анықтайтынын көрсетеміз. Келесі теореманы дәлелдейік.

Теорема 1. Жазықтықтағы еркін декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінде әрбір түзуді сызықтық теңдеу арқылы анықтауға болады. Керісінше, жазықтықтағы ерікті декарттық тікбұрышты координаталар жүйесіндегі әрбір сызықтық теңдеу (1) түзуді анықтайды.

Дәлелдеу. түзу екенін дәлелдеу жеткілікті Лкез келген бір декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі үшін сызықтық теңдеумен анықталады, содан бері ол декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінің кез келген таңдауы үшін сызықтық теңдеумен анықталады.

Жазықтықта түзу берілсін Л. осі болатындай координаталар жүйесін таңдайық Өгізтүзу сызықпен сәйкес келді Л, және ось Ойоған перпендикуляр болды. Содан кейін түзудің теңдеуі Лкелесі формада болады:

y=0.

(2)

Түзудегі барлық нүктелер Л(2) сызықтық теңдеуді қанағаттандырады, ал осы сызықтан тыс барлық нүктелер (2) теңдеуді қанағаттандырмайды. Теореманың бірінші бөлімі дәлелденді.

Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін және сызықтық теңдеу (1) берілсін, мұндағы элементтердің кем дегенде біреуі АЖәне Бнөлден өзгеше. Координаталары (1) теңдеуді қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық локусын табайық. Өйткені коэффициенттердің кем дегенде біреуі АЖәне Бнөлден өзгеше болса, (1) теңдеудің ең болмағанда бір шешімі бар М(x 0 ,ж 0). (Мысалы, қашан А≠0, нүкте М 0 (−C/A, 0) нүктелердің берілген геометриялық орналасуына жатады). Осы координаттарды (1) орнына қойып, сәйкестікті аламыз

Балта 0 +Авторы 0 +C=0.

(3)

(1)-ден (3) сәйкестікті алып тастаймыз:

А(x−x 0)+Б(ж−ж 0)=0.

(4)

Әлбетте, (4) теңдеу (1) теңдеуіне тең. Сондықтан (4) белгілі бір сызықты анықтайтынын дәлелдеу жеткілікті.

Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін қарастыратындықтан, (4) теңдігінен құрамдас бөліктері бар вектор (( x−x 0 , y−y 0 ) векторға ортогональ nкоординаттарымен ( А,Б}.

Кейбір түзу сызықты қарастырайық Л, нүктесі арқылы өту М 0 (x 0 , ж 0) және векторға перпендикуляр n(Cурет 1). Нүкте болсын М(x,y) жолына жатады Л. Содан кейін координаталары бар вектор x−x 0 , y−y 0 перпендикуляр nжәне (4) теңдеу орындалады (векторлардың скаляр көбейтіндісі). nжәне нөлге тең). Керісінше, егер нүкте М(x,у) түзу бойында жатпайды Л, содан кейін координаталары бар вектор x−x 0 , y−y 0 векторға ортогональ емес nжәне (4) теңдеу орындалмайды. Теорема дәлелденді.

Дәлелдеу. (5) және (6) сызықтары бір сызықты анықтайтындықтан, нормаль векторлар n 1 ={А 1 ,Б 1) және n 2 ={А 2 ,Б 2) коллинеарлы. Векторлардан бері n 1 ≠0, n 2 ≠0 болса, онда мұндай сан бар λ , Не n 2 =n 1 λ . Осы жерден бізде: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ . Соны дәлелдеп көрейік C 2 =C 1 λ . Сәйкес келетін сызықтардың ортақ нүктесі болатыны анық М 0 (x 0 , ж 0). (5) теңдеуді көбейту λ және одан (6) теңдеуді алып тастасақ:

(7) өрнектердің алғашқы екі теңдігі орындалатындықтан, онда C 1 λ −C 2 =0. Сол. C 2 =C 1 λ . Ескертпе дәлелденді.

(4) теңдеу нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін анықтайтынын ескеріңіз М 0 (x 0 , ж 0) және қалыпты векторы бар n={А,Б). Демек, егер түзудің нормаль векторы және осы түзуге жататын нүкте белгілі болса, онда түзудің жалпы теңдеуін (4) теңдеу арқылы құруға болады.

Мысал 1. Түзу нүкте арқылы өтеді М=(4,−1) және қалыпты векторы бар n=(3, 5). Түзудің жалпы теңдеуін құру.

Шешім. Бізде бар: x 0 =4, ж 0 =−1, А=3, Б=5. Түзудің жалпы теңдеуін құру үшін осы мәндерді (4) теңдеумен ауыстырамыз:

Жауап:

Вектор түзуге параллель Лжәне, демек, түзудің нормаль векторына перпердикуляр Л. Қалыпты түзу векторын тұрғызайық Л, векторлардың скаляр көбейтіндісін ескере отырып nжәне нөлге тең. Біз жаза аламыз, мысалы, n={1,−3}.

Түзудің жалпы теңдеуін құру үшін (4) формуланы қолданамыз. Нүктенің координаталарын (4) орнына қоямыз. М 1 (нүктенің координаталарын да ала аламыз М 2) және қалыпты вектор n:

Нүктелердің координаталарын ауыстыру М 1 және М 2-де (9) біз (9) теңдеуімен берілген түзудің осы нүктелер арқылы өтетініне көз жеткізе аламыз.

Жауап:

(1)-ден (10) шегеріңіз:

Біз сызықтың канондық теңдеуін алдық. Вектор q={−Б, А) – (12) түзудің бағыт векторы.

Кері түрлендіруді қараңыз.

Мысал 3. Жазықтықтағы түзу келесі жалпы теңдеумен берілген:

Екінші мүшесін оңға жылжытып, теңдеудің екі жағын 2·5-ке бөлейік.