Сызықтық теңдеулер жүйесі. Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін (SLAEs) шешу сызықтық алгебра курсындағы ең маңызды тақырып екені сөзсіз. Математиканың барлық салаларындағы есептердің көп саны сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келеді. Бұл факторлар осы мақаланың себебін түсіндіреді. Мақаланың материалы оның көмегімен сіз жасай алатындай етіп таңдалған және құрылымдалған

• сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің оңтайлы әдісін таңдау,
• таңдалған әдістің теориясын зерттеу,
• типтік мысалдар мен есептердің егжей-тегжейлі шешімдерін қарастыру арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Мақала материалының қысқаша сипаттамасы.

Біріншіден, біз барлық қажетті анықтамаларды, ұғымдарды береміз және белгілерді енгіземіз.

Әрі қарай, теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және бірегей шешімі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін қарастырамыз. Біріншіден, Крамер әдісіне тоқталамыз, екіншіден, мұндай теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісін көрсетеміз, үшіншіден, Гаусс әдісін (белгісіз айнымалыларды тізбектей жою әдісі) талдаймыз. Теорияны бекіту үшін біз міндетті түрде бірнеше SLAE-ны әртүрлі тәсілдермен шешеміз.

Осыдан кейін біз теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санымен сәйкес келмейтін немесе жүйенің негізгі матрицасы сингулярлы болатын жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге көшеміз. SLAE үйлесімділігін орнатуға мүмкіндік беретін Кронекер-Капелли теоремасын тұжырымдаймыз. Матрицаның минор базистік концепциясын қолдана отырып, жүйелердің шешімін (егер олар үйлесімді болса) талдап көрейік. Сондай-ақ Гаусс әдісін қарастырамыз және мысалдардың шешімдерін егжей-тегжейлі сипаттаймыз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер біртекті және біртекті емес жүйелерінің жалпы шешімдерінің құрылымына міндетті түрде тоқталамыз. Шешімдердің іргелі жүйесі түсінігін берейік және шешімдердің іргелі жүйесінің векторларының көмегімен SLAE жалпы шешімі қалай жазылатынын көрсетейік. Жақсырақ түсіну үшін бірнеше мысалды қарастырайық.

Қорытындылай келе, сызықтық теңдеулер жүйесіне келтіруге болатын теңдеулер жүйесін, сондай-ақ шешуде SLAE туындайтын әртүрлі есептерді қарастырамыз.

Бетті шарлау.

Анықтамалар, ұғымдар, белгілеулер.

Пішіннің n белгісіз айнымалысы (p n-ге тең болуы мүмкін) p сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырамыз.

Белгісіз айнымалылар, - коэффициенттер (кейбір нақты немесе күрделі сандар), - бос мүшелер (сонымен қатар нақты немесе күрделі сандар).

SLAE жазбасының бұл түрі деп аталады координат.

IN матрицалық пішінБұл теңдеулер жүйесін жазу келесідей болады:
Қайда - жүйенің негізгі матрицасы, - белгісіз айнымалылардың бағандық матрицасы, - бос терминдердің бағандық матрицасы.

Егер А матрицасына (n+1)-ші баған ретінде бос мүшелердің матрицалық бағанасын қоссақ, біз мынаны аламыз. кеңейтілген матрицасызықтық теңдеулер жүйесі. Әдетте, кеңейтілген матрица T әрпімен белгіленеді, ал бос терминдер бағандары қалған бағандардан тік сызықпен бөлінеді, яғни,

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешужүйенің барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдыратын белгісіз айнымалы мәндердің жиыны деп аталады. Белгісіз айнымалылардың берілген мәндері үшін матрицалық теңдеу де сәйкестендіруге айналады.

Егер теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда ол деп аталады буын.

Егер теңдеулер жүйесінің шешімі болмаса, онда ол аталады бірлескен емес.

Егер SLAE бірегей шешімі болса, онда ол шақырылады белгілі; егер бірнеше шешім болса, онда – белгісіз.

Жүйенің барлық теңдеулерінің бос мүшелері нөлге тең болса , содан кейін жүйе шақырылады біртекті, әйтпесе – гетерогенді.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйелерін шешу.

Егер жүйенің теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса және оның негізгі матрицасының анықтаушысы нөлге тең болмаса, онда мұндай SLAE деп аталады. бастауыш. Мұндай теңдеулер жүйелерінің бірегей шешімі бар, ал біртекті жүйе жағдайында барлық белгісіз айнымалылар нөлге тең.

Біз мұндай SLAE-ны орта мектепте оқи бастадық. Оларды шешу кезінде біз бір теңдеуді алып, бір белгісіз айнымалыны басқаларымен өрнектеп, оны қалған теңдеулерге ауыстырдық, содан кейін келесі теңдеуді алып, келесі белгісіз айнымалыны өрнектеп, оны басқа теңдеулерге ауыстырдық және т.б. Немесе олар қосу әдісін қолданды, яғни кейбір белгісіз айнымалыларды жою үшін екі немесе одан да көп теңдеулерді қосты. Біз бұл әдістерге егжей-тегжейлі тоқталмаймыз, өйткені олар негізінен Гаусс әдісінің модификациясы болып табылады.

Сызықтық теңдеулердің элементар жүйелерін шешудің негізгі әдістеріне Крамер әдісі, матрицалық әдіс және Гаусс әдісі жатады. Оларды реттеп көрейік.

Крамер әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу керек делік

онда теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше, яғни .

Жүйенің бас матрицасының анықтауышы болсын, және - алмастыру арқылы А-дан алынатын матрицалардың анықтауыштары 1-ші, 2-ші, …, n-шібос мүшелер бағанына сәйкес баған:

Бұл белгілермен белгісіз айнымалылар Крамер әдісінің формулалары арқылы есептеледі . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі осылайша Крамер әдісі арқылы табылады.

Мысал.

Крамер әдісі .

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасы пішінге ие . Оның анықтаушысын есептейік (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жүйенің негізгі матрицасының детерминанты нөлге тең емес болғандықтан, жүйеде Крамер әдісімен табуға болатын бірегей шешім бар.

Қажетті анықтауыштарды құрастырып есептейік (А матрицасындағы бірінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен, анықтауышты екінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен, ал А матрицасының үшінші бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы анықтауышты аламыз) :

Формулалар арқылы белгісіз айнымалыларды табу :

Жауап:

Крамер әдісінің негізгі кемшілігі (егер оны кемшілік деп атауға болатын болса) жүйедегі теңдеулердің саны үштен көп болған кезде анықтауыштарды есептеудің күрделілігі болып табылады.

Матрицалық әдіс арқылы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу (кері матрицаны қолдану).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі матрицалық түрде берілсін, мұндағы А матрицасының өлшемі n-ге тең, ал анықтауышы нөлге тең емес.

Өйткені, А матрицасы инверсиялы, яғни кері матрица бар. Теңдіктің екі жағын солға көбейтсек, белгісіз айнымалылардың матрица-бағанасын табу формуласын аламыз. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіс арқылы шешуді осылай алдық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу матрицалық әдіс.

Шешім.

Теңдеулер жүйесін матрицалық түрде қайта жазайық:

Өйткені

онда SLAE матрицалық әдіс арқылы шешілуі мүмкін. Кері матрицаны пайдаланып, бұл жүйенің шешімін келесідей табуға болады .

А матрицасының элементтерінің алгебралық қосындыларынан матрицаны пайдаланып кері матрицаны тұрғызайық (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Кері матрицаны көбейту арқылы белгісіз айнымалылардың матрицасын есептеу қалады бос мүшелердің матрицалық бағанына (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жауап:

немесе басқа белгілеуде x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицалық әдісті қолдана отырып, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табудағы негізгі мәселе кері матрицаны табудың күрделілігі болып табылады, әсіресе үштен жоғары ретті квадрат матрицалар үшін.

Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

n белгісіз айнымалысы бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табу керек делік.
негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше.

Гаусс әдісінің мәнібелгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жоюдан тұрады: біріншіден x 1 жүйенің барлық теңдеулерінен екіншіден бастап шығарылады, содан кейін x 2 үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады және т.б. тек белгісіз x n айнымалысы қалғанша. соңғы теңдеу. Белгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жою үшін жүйенің теңдеулерін түрлендірудің бұл процесі деп аталады тура Гаусс әдісі. Гаусс әдісінің тура штрихын аяқтағаннан кейін, соңғы теңдеуден х n табылады, соңғы теңдеудегі осы мәнді пайдаланып, x n-1 есептеледі және осылайша бірінші теңдеуден х 1 табылады. Жүйенің соңғы теңдеуінен бірінші теңдеуіне өту кезінде белгісіз айнымалыларды есептеу процесі деп аталады. Гаусс әдісіне кері.

Белгісіз айнымалыларды жою алгоритмін қысқаша сипаттайық.

Біз әрқашан жүйенің теңдеулерін алмастыру арқылы қол жеткізе аламыз деп есептейміз. Екіншіден бастап жүйенің барлық теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастаймыз. Ол үшін жүйенің екінші теңдеуіне бірінші көбейтіндісін қосамыз, үшінші теңдеуге бірінші, көбейтіндісін қосамыз және т.б., n-ші теңдеуге бірінші көбейтіндіні қосамыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда және .

Егер біз жүйенің бірінші теңдеуіндегі x 1-ді басқа белгісіз айнымалылар арқылы өрнектеп, алынған өрнекті барлық басқа теңдеулерге ауыстырсақ, дәл осындай нәтижеге жеткен болар едік. Осылайша, х 1 айнымалысы екіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, біз ұқсас жолмен жүреміз, бірақ тек суретте белгіленген жүйенің бір бөлігімен ғана

Ол үшін жүйенің үшінші теңдеуіне көбейтілген екінші теңдеуді қосамыз, төртінші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосамыз және т.б., n-ші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосамыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда және . Осылайша, х 2 айнымалысы үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, біз белгісіз x 3-ті жоюға кірісеміз және біз суретте белгіленген жүйе бөлігімен бірдей әрекет етеміз.

Сонымен, жүйе пішінді алғанша Гаусс әдісінің тура прогрессиясын жалғастырамыз

Осы сәттен бастап біз Гаусс әдісінің кері әрекетін бастаймыз: біз соңғы теңдеуден х n-ді былай есептейміз, х n-нің алынған мәнін пайдаланып, соңғыдан кейінгі теңдеуден х n-1 табамыз, және т.б., бірінші теңдеуден х 1-ді табамыз. .

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу Гаусс әдісі.

Шешім.

Жүйенің екінші және үшінші теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастайық. Ол үшін екінші және үшінші теңдеулердің екі жағына бірінші теңдеудің сәйкес бөліктерін сәйкесінше көбейтіндісін қосамыз:

Енді үшінші теңдеуден х 2-ні оның сол және оң жақтарына екінші теңдеудің сол және оң жақтарын қосып, мынаға көбейтеміз:

Бұл Гаусс әдісінің алға штрихын аяқтайды, біз кері штрихты бастаймыз.

Алынған теңдеулер жүйесінің соңғы теңдеуінен х 3 табамыз:

Екінші теңдеуден біз аламыз.

Бірінші теңдеуден қалған белгісіз айнымалыны табамыз және сол арқылы Гаусс әдісінің кері әрекетін аяқтаймыз.

Жауап:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу.

Жалпы алғанда p жүйесінің теңдеулерінің саны белгісіз n айнымалылар санына сәйкес келмейді:

Мұндай SLAE шешімдері болмауы мүмкін, жалғыз шешімі немесе шексіз көп шешімдері болуы мүмкін. Бұл мәлімдеме негізгі матрицасы квадрат және сингуляр болатын теңдеулер жүйесіне де қатысты.

Кронеккер – Капелли теоремасы.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін таппас бұрын оның үйлесімділігін анықтау қажет. SLAE қашан үйлесімді және қай кезде сәйкес емес деген сұраққа жауап береді Кронеккер – Капелли теоремасы:
n белгісізі бар p теңдеулер жүйесі (p n-ге тең болуы мүмкін) дәйекті болуы үшін жүйенің бас матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болуы қажет және жеткілікті, яғни , Rank(A)=Rank(T).

Мысал ретінде сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін анықтау үшін Кронеккер – Капелли теоремасын қолдануды қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің бар-жоғын табыңыз шешімдер.

Шешім.

. Кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісін қолданайық. Екінші ретті кіші нөлден өзгеше. Онымен шектесетін үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарды қарастырайық:

Үшінші ретті барлық шекаралас кішілер нөлге тең болғандықтан, негізгі матрицаның рангі екіге тең.

Өз кезегінде кеңейтілген матрицаның рангі үшке тең, өйткені кәмелетке толмаған үшінші ретті

нөлден өзгеше.

Осылайша, Rang(A), сондықтан Кронекер-Капелли теоремасын пайдалана отырып, сызықтық теңдеулер жүйесінің бастапқы жүйесі сәйкес емес деген қорытынды жасауға болады.

Жауап:

Жүйеде шешімдер жоқ.

Сонымен, біз Кронеккер-Капелли теоремасын пайдаланып жүйенің сәйкессіздігін анықтауды үйрендік.

Бірақ егер оның үйлесімділігі анықталған болса, SLAE шешімін қалай табуға болады?

Ол үшін бізге матрицаның базистік миноры ұғымы және матрица рангі туралы теорема қажет.

А матрицасының нөлден өзгеше ең жоғарғы ретті миноры деп аталады негізгі.

Минор базисінің анықтамасынан оның реті матрица рангіне тең екені шығады. Нөлдік емес А матрицасы үшін бірнеше базистік минорлар болуы мүмкін;

Мысалы, матрицаны қарастырайық .

Бұл матрицаның барлық үшінші ретті минорлары нөлге тең, өйткені бұл матрицаның үшінші жолының элементтері бірінші және екінші жолдардың сәйкес элементтерінің қосындысы болып табылады.

Келесі екінші ретті кәмелетке толмағандар негізгі болып табылады, өйткені олар нөлге тең емес

Кәмелетке толмағандар негізгі емес, өйткені олар нөлге тең.

Матрицалық дәрежелер теоремасы.

Егер p-n ретті матрицаның дәрежесі r-ге тең болса, онда матрицаның таңдалған минорды құрамайтын барлық жол (және баған) элементтері түзетін сәйкес жол (және баған) элементтері арқылы сызықтық түрде өрнектеледі. негіз минор.

Матрицалық дәрежелер теоремасы бізге не айтады?

Егер Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйенің үйлесімділігін анықтасақ, онда жүйенің негізгі матрицасының кез келген минор базисін таңдаймыз (оның реті r-ге тең) және жүйеден барлық теңдеулерді алып тастаймыз. таңдалған негізді құрамайды. Осылайша алынған SLAE бастапқыға тең болады, өйткені жойылған теңдеулер әлі де артық (матрицалық дәрежелер теоремасы бойынша олар қалған теңдеулердің сызықтық комбинациясы болып табылады).

Нәтижесінде жүйенің қажетсіз теңдеулерін алып тастағаннан кейін екі жағдай болуы мүмкін.

Егер алынған жүйедегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда ол анықталған болады және жалғыз шешімді Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы табуға болады.

Мысал.

.

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасының дәрежесі екіге тең, өйткені кіші екінші ретті нөлден өзгеше. Кеңейтілген матрицаның дәрежесі сонымен қатар екіге тең, өйткені жалғыз үшінші ретті минор нөлге тең

ал жоғарыда қарастырылған екінші ретті минор нөлден ерекшеленеді. Кронеккер – Капелли теоремасына сүйене отырып, Rank(A)=Rank(T)=2 болғандықтан, бастапқы сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін растай аламыз.

Минорды негіз ретінде аламыз . Ол бірінші және екінші теңдеулердің коэффициенттері арқылы құрылады:


Жүйенің үшінші теңдеуі базис минорын құруға қатыспайды, сондықтан оны матрица рангі туралы теоремаға негізделген жүйеден алып тастаймыз:


Осылайша біз сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін алдық. Оны Крамер әдісі арқылы шешейік:


Жауап:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Егер алынған SLAE-дегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санынан n аз болса, онда теңдеулердің сол жақтарында базистік минорды құрайтын мүшелерді қалдырамыз, ал қалған мүшелерін оң жақтарына көшіреміз. қарама-қарсы таңбалы жүйенің теңдеулері.

Теңдеулердің сол жақтарында қалған белгісіз айнымалылар (олардың r) деп аталады негізгі.

Оң жағында орналасқан белгісіз айнымалылар (n - r бөліктері бар) деп аталады тегін.

Енді біз бос белгісіз айнымалылар ерікті мәндерді қабылдай алады деп есептейміз, ал r негізгі белгісіз айнымалылар еркін белгісіз айнымалылар арқылы бірегей жолмен өрнектелетін болады. Олардың өрнегін Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы алынған SLAE шешу арқылы табуға болады.

Оны мысалмен қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу .

Шешім.

Жүйенің бас матрицасының рангін табайық кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісімен. Бірінші ретті нөлдік емес минор ретінде 1 1 = 1 алайық. Осы минормен шектесетін екінші ретті нөлдік емес минорды іздеуді бастайық:


Екінші ретті нөлдік емес минорды осылай таптық. Үшінші ретті нөлдік емес шекаралас минорды іздеуді бастайық:


Осылайша, негізгі матрицаның рангі үш. Кеңейтілген матрицаның рангі де үшке тең, яғни жүйе сәйкес келеді.

Табылған нөлдік емес үшінші ретті минорды негізге аламыз.

Түсінікті болу үшін біз минор негізін құрайтын элементтерді көрсетеміз:


Жүйелік теңдеулердің сол жағына минор базисіндегі мүшелерді қалдырамыз, ал қалғандарын қарама-қарсы таңбаларымен оң жақтарына ауыстырамыз:


Еркін белгісіз айнымалы x 2 және x 5 ерікті мәндерін берейік, яғни қабылдаймыз , мұндағы ерікті сандар. Бұл жағдайда SLAE пішінді алады


Алынған сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін Крамер әдісімен шешейік:


Демек, .

Жауабыңызда бос белгісіз айнымалыларды көрсетуді ұмытпаңыз.

Жауап:

Ерікті сандар қайда.

Қорытындылайық.

Жалпы сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін алдымен Кронеккер – Капелли теоремасы арқылы оның үйлесімділігін анықтаймыз. Егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе сәйкес емес деген қорытындыға келеміз.

Егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болса, онда минор базисін таңдаймыз және таңдалған минор базисін құруға қатыспайтын жүйе теңдеулерін алып тастаймыз.

Егер минор базисінің реті белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда SLAE бірегей шешімі бар, оны бізге белгілі кез келген әдіспен табуға болады.

Егер базис минорының реті белгісіз айнымалылар санынан аз болса, онда жүйе теңдеулерінің сол жағында негізгі белгісіз айнымалылары бар мүшелерді қалдырамыз, қалған мүшелерді оң жақтарына ауыстырамыз және еркін мәндерді береміз. бос белгісіз айнымалылар. Алынған сызықтық теңдеулер жүйесінен негізгі белгісіз айнымалыларды Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы табамыз.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі.

Гаусс әдісін кез келген түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін алдымен үйлесімділікке тексермей-ақ шешу үшін қолдануға болады. Белгісіз айнымалыларды дәйекті жою процесі SLAE үйлесімділігі де, үйлесімсіздігі туралы да қорытынды жасауға мүмкіндік береді, ал егер шешім бар болса, оны табуға мүмкіндік береді.

Есептеу тұрғысынан Гаусс әдісі қолайлы.

Оның толық сипаттамасын және талданған мысалдарын жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге арналған Гаусс әдісі мақаласынан қараңыз.

Шешімдердің іргелі жүйесінің векторларын пайдалана отырып, біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық жүйелердің жалпы шешімін жазу.

Бұл бөлімде біз шешімдерінің шексіз санына ие сызықтық алгебралық теңдеулердің бір мезгілде біртекті және біртекті емес жүйелері туралы айтатын боламыз.

Алдымен біртекті жүйелерді қарастырайық.

Шешімдердің негізгі жүйесі n белгісіз айнымалысы бар p сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті жүйесі – бұл жүйенің (n – r) сызықты тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы, мұндағы r – жүйенің бас матрицасының базистік минорының реті.

Егер біртекті SLAE сызықты тәуелсіз шешімдерін X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) деп белгілесек, n өлшемді бағаналы матрицалар. арқылы 1) , онда осы біртекті жүйенің жалпы шешімі еркін тұрақты коэффициенттері C 1, C 2, ..., C (n-r) болатын шешімдердің іргелі жүйесінің векторларының сызықтық комбинациясы ретінде көрсетіледі, яғни, .

Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі (орослау) термині нені білдіреді?

Мағынасы қарапайым: формула бастапқы SLAE барлық мүмкін шешімдерін көрсетеді, басқаша айтқанда, C 1, C 2, ..., C (n-r) ерікті тұрақтыларының мәндерінің кез келген жиынын қабылдай отырып, формуланы пайдалана отырып бастапқы біртекті SLAE ерітінділерінің бірін алу.

Осылайша, егер біз шешімдердің іргелі жүйесін тапсақ, онда бұл біртекті SLAE барлық шешімдерін ретінде анықтауға болады.

Біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесін құру процесін көрсетейік.

Түпнұсқа сызықтық теңдеулер жүйесінің базистік минорын таңдап, жүйеден барлық басқа теңдеулерді алып тастаймыз және бос белгісіз айнымалылары бар барлық мүшелерді таңбалары қарама-қарсы жүйе теңдеулерінің оң жақтарына көшіреміз. Бос белгісіз айнымалыларға 1,0,0,...,0 мәндерін берейік және алынған сызықтық теңдеулердің элементар жүйесін кез келген әдіспен шешу арқылы негізгі белгісіздерді есептейік, мысалы, Крамер әдісімен. Бұл X (1) - іргелі жүйенің бірінші шешімін береді. Егер бос белгісіздерге 0,1,0,0,…,0 мәндерін беріп, негізгі белгісіздерді есептесек, X (2) аламыз. Және т.б. Егер бос белгісіз айнымалыларға 0,0,…,0,1 мәндерін тағайындасақ және негізгі белгісіздерді есептесек, X (n-r) аламыз. Осылайша, біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі құрылады және оның жалпы шешімі түрінде жазылуы мүмкін.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті емес жүйелері үшін жалпы шешім                                                                                          | ​0,0,…,0 және негізгі белгісіздердің мәндерін есептеу.

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін және жалпы шешімін табыңыз. .

Шешім.

Сызықтық теңдеулер біртекті жүйелерінің бас матрицасының рангі әрқашан кеңейтілген матрицаның рангіне тең. Кәмелетке толмағандарды шектестіру әдісі арқылы негізгі матрицаның рангін табайық. Бірінші ретті нөлдік емес минор ретінде жүйенің негізгі матрицасының а 1 1 = 9 элементін аламыз. Екінші ретті шекаралас нөлдік емес минорды табайық:

Нөлден өзгеше екінші ретті минор табылды. Нөлдік емес біреуін іздеу үшін онымен шектесетін үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарды қарастырайық:

Барлық үшінші ретті шекаралас кәмелетке толмағандар нөлге тең, сондықтан негізгі және кеңейтілген матрицаның рангі екіге тең. Алайық. Түсінікті болу үшін оны құрайтын жүйенің элементтерін атап өтейік:

Бастапқы SLAE үшінші теңдеуі минордың негізін құруға қатыспайды, сондықтан оны алып тастауға болады:

Негізгі белгісіздері бар мүшелерді теңдеулердің оң жақтарына қалдырамыз, ал бос белгісіздері бар мүшелерді оң жақтарына көшіреміз:

Сызықтық теңдеулердің бастапқы біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін құрайық. Бұл SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі екі шешімнен тұрады, өйткені бастапқы SLAE төрт белгісіз айнымалыны қамтиды және оның минор базисінің реті екіге тең. Х (1) мәнін табу үшін бос белгісіз айнымалыларға x 2 = 1, x 4 = 0 мәндерін береміз, содан кейін теңдеулер жүйесінен негізгі белгісіздерді табамыз.
.

n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесіпішін жүйесі деп аталады

Қайда a ijЖәне б мен (мен=1,…,м; б=1,…,n) кейбір белгілі сандар, және x 1 ,…,x n– белгісіз. Коэффициенттерді белгілеуде a ijбірінші көрсеткіш ментеңдеу нөмірін, ал екіншісін білдіреді j– бұл коэффициент тұрған белгісіз саны.

Белгісіздердің коэффициенттерін матрица түрінде жазамыз , біз оны шақырамыз жүйенің матрицасы.

Теңдеулердің оң жағындағы сандар b 1 ,…,b mдеп аталады тегін мүшелер.

Жалпылық nсандар c 1 ,…,c nшақырды шешімберілген жүйенің, егер жүйенің әрбір теңдеуі оған сандарды қойғаннан кейін теңдікке айналса c 1 ,…,c nсәйкес белгісіздердің орнына x 1 ,…,x n.

Біздің міндетіміз жүйенің шешімін табу болмақ. Бұл жағдайда үш жағдай туындауы мүмкін:

Кемінде бір шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады буын. Әйтпесе, яғни. егер жүйеде шешімдер болмаса, онда ол шақырылады бірлескен емес.

Жүйенің шешімін табу жолдарын қарастырайық.

СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІН ШЕШУДІҢ МАТРИЦАЛЫҚ ӘДІСІ

Матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін қысқаша жазуға мүмкіндік береді. Үш белгісізі бар 3 теңдеулер жүйесі берілсін:

Жүйелік матрицаны қарастырайық және белгісіз және бос мүшелердің матрицаларының бағандары

Жұмысты табайық

сол. туындының нәтижесінде осы жүйенің теңдеулерінің сол жақтарын аламыз. Содан кейін матрицалық теңдік анықтамасын пайдаланып, бұл жүйені формада жазуға болады

немесе қысқарақ А∙X=B.

Мұнда матрицалар берілген АЖәне Ббелгілі және матрица Xбелгісіз. Оны табу керек, өйткені... оның элементтері осы жүйенің шешімі болып табылады. Бұл теңдеу деп аталады матрицалық теңдеу.

Матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше болсын | А| ≠ 0. Сонда матрицалық теңдеу келесі түрде шешіледі. Сол жақтағы теңдеудің екі жағын матрицаға көбейтіңіз A-1, матрицаға кері А: . бері A -1 A = EЖәне Е∙X = X, содан кейін түрінде матрицалық теңдеудің шешімін аламыз X = A -1 B .

Кері матрицаны тек квадрат матрицалар үшін табуға болатындықтан, матрицалық әдіс тек келесі жүйелерді шеше алатынын ескеріңіз. теңдеулер саны белгісіздер санына сәйкес келеді. Бірақ жүйенің матрицалық жазылуы теңдеулер саны белгісіздер санына тең болмаған жағдайда да мүмкін болады, онда матрица Ашаршы болмайды, сондықтан жүйенің шешімін формада табу мүмкін емес X = A -1 B.

Мысалдар.Теңдеулер жүйесін шешу.

КРАМЕР ЕРЕЖЕСІ

Үш белгісізі бар 3 сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

Жүйелік матрицаға сәйкес келетін үшінші ретті анықтауыш, яғни. белгісіздер үшін коэффициенттерден тұрады,

шақырды жүйенің анықтаушысы.

Келесідей тағы үш анықтауыш құрайық: D анықтауышындағы 1, 2 және 3 бағандарды бос мүшелер бағанымен ауыстырыңыз.

Сонда біз келесі нәтижені дәлелдей аламыз.

Теорема (Крамер ережесі).Егер жүйенің анықтауышы Δ ≠ 0 болса, онда қарастырылып отырған жүйенің бір ғана шешімі бар және

Дәлелдеу. Сонымен, үш белгісізі бар 3 теңдеу жүйесін қарастырайық. Жүйенің 1-ші теңдеуін алгебралық толықтауышқа көбейтейік A 11элемент а 11, 2-ші теңдеу – қосулы A 21және 3-ші A 31:

Мына теңдеулерді қосайық:

Осы теңдеудің әрбір жақшасын және оң жағын қарастырайық. 1-баған элементтеріндегі анықтауыштың кеңеюі туралы теорема бойынша

Сол сияқты, бұл және көрсетуге болады.

Ақырында, мұны байқау оңай

Осылайша, теңдік аламыз: .

Демек, .

Теорема тұжырымы осыдан шығатын және теңдіктері ұқсас шығарылады.

Осылайша, егер жүйенің анықтауышы Δ ≠ 0 болса, жүйенің бірегей шешімі бар және керісінше екенін ескереміз. Егер жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, онда жүйеде не шешімдердің шексіз саны бар, не шешімдері жоқ, яғни. үйлесімсіз.

Мысалдар.Теңдеулер жүйесін шешу

ГАЗС ӘДІСІ

Бұрын талқыланған әдістер теңдеулер саны белгісіздер санымен сәйкес келетін және жүйенің анықтауышы нөлден өзгеше болуы керек жүйелерді ғана шешу үшін қолданылуы мүмкін. Гаусс әдісі әмбебап және кез келген теңдеу саны бар жүйелер үшін қолайлы. Ол жүйенің теңдеулерінен белгісіздерді дәйекті түрде жоюдан тұрады.

Үш белгісізі бар үш теңдеу жүйесін қайта қарастырайық:

.

Біз бірінші теңдеуді өзгеріссіз қалдырамыз, ал 2-ші және 3-шіден құрамындағы шарттарды алып тастаймыз. x 1. Ол үшін екінші теңдеуді келесіге бөліңіз А 21 және көбейтіңіз – А 11, содан кейін оны 1-ші теңдеуге қосыңыз. Сол сияқты үшінші теңдеуді мынаға бөлеміз А 31 және көбейтіңіз – А 11, содан кейін оны біріншісімен қосыңыз. Нәтижесінде бастапқы жүйе келесі пішінді алады:

Енді соңғы теңдеуден құрамындағы терминді алып тастаймыз x 2. Ол үшін үшінші теңдеуді екіге бөліп, көбейтіп, екіншісіне қосу керек. Сонда бізде теңдеулер жүйесі болады:

Осы жерден соңғы теңдеуден оңай табуға болады x 3, содан кейін 2-ші теңдеуден x 2және ақырында, 1-ден - x 1.

Гаусс әдісін қолдану кезінде қажет болған жағдайда теңдеулерді ауыстыруға болады.

Көбінесе олар жаңа теңдеулер жүйесін жазудың орнына жүйенің кеңейтілген матрицасын жазумен шектеледі:

содан кейін оны элементар түрлендірулер арқылы үшбұрышты немесе қиғаш пішінге келтіріңіз.

TO элементарлық түрлендірулерматрицаларға келесі түрлендірулер жатады:

1. жолдарды немесе бағандарды қайта реттеу;
2. жолды нөлден басқа санға көбейту;
3. бір жолға басқа жолдарды қосу.

Мысалдар:Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешу.

Осылайша, жүйеде шешімдердің шексіз саны бар.

Белгісіздерді тізбектей жою әдісі деп те аталатын Гаусс әдісі келесідей. Элементар түрлендірулерді қолдана отырып, сызықтық теңдеулер жүйесі оның коэффициенттер матрицасы болатындай түрге келтіріледі. трапеция тәрізді (үшбұрышты немесе сатылы) немесе трапецияға жақын (Гаусс әдісінің тура инсульті, бұдан әрі жай штрих). Мұндай жүйенің мысалы және оның шешімі жоғарыдағы суретте.

Мұндай жүйеде соңғы теңдеу тек бір айнымалыны қамтиды және оның мәнін бір мәнді түрде табуға болады. Содан кейін бұл айнымалының мәні алдыңғы теңдеуге ауыстырылады ( Гаусс әдісіне кері , содан кейін тек кері), одан алдыңғы айнымалы табылады және т.б.

Трапеция тәрізді (үшбұрышты) жүйеде, біз көріп отырғанымыздай, үшінші теңдеу енді айнымалыларды қамтымайды. жЖәне x, ал екінші теңдеу айнымалы болып табылады x .

Жүйе матрицасы трапеция пішінін алған соң жүйенің үйлесімділігі туралы мәселені түсіну, шешімдердің санын анықтау және шешімдердің өзін табу қиын болмайды.

Әдістің артықшылықтары:

1. үштен көп теңдеулер мен белгісіздері бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешу кезінде Гаусс әдісі Крамер әдісі сияқты қиын емес, өйткені Гаусс әдісімен шешу аз есептеулерді қажет етеді;
2. Гаусс әдісі сызықтық теңдеулердің анықталмаған жүйелерін шеше алады, яғни жалпы шешімі бар (және біз оларды осы сабақта талдаймыз), ал Крамер әдісін қолдана отырып, жүйенің анықталмағанын ғана айта аламыз;
3. белгісіздер саны теңдеулер санына тең емес сызықтық теңдеулер жүйесін шеше аласыз (оларды да осы сабақта талдаймыз);
4. Әдіс қарапайым (мектептік) әдістерге негізделген - белгісіздерді ауыстыру әдісі және біз сәйкес мақалада тоқталған теңдеулерді қосу әдісі.

Трапеция тәрізді (үшбұрышты, сатылы) сызықтық теңдеулер жүйелерін шешудің қарапайымдылығын барлығына түсіну үшін біз кері қозғалысты пайдалана отырып, мұндай жүйенің шешімін ұсынамыз. Бұл жүйенің жылдам шешімі сабақтың басындағы суретте көрсетілген.

1-мысал.Кері сызықты теңдеулер жүйесін шешу:

Шешім. Бұл трапеция жүйесінде айнымалы zүшінші теңдеуден бірегей түрде табуға болады. Оның мәнін екінші теңдеуге қойып, айнымалының мәнін аламыз ж:

Енді біз екі айнымалының мәндерін білеміз - zЖәне ж. Оларды бірінші теңдеуге ауыстырып, айнымалының мәнін аламыз x:

Алдыңғы қадамдардан теңдеулер жүйесінің шешімін жазамыз:

Біз өте қарапайым шешкен осындай трапеция тәрізді сызықтық теңдеулер жүйесін алу үшін сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулерімен байланысты тура штрихты қолдану қажет. Бұл да өте қиын емес.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулері

Жүйенің теңдеулерін алгебралық қосудың мектептік әдісін қайталай отырып, жүйенің теңдеулерінің біріне жүйенің басқа теңдеуін қосуға болатынын, ал теңдеулердің әрқайсысын кейбір сандарға көбейтуге болатынын білдік. Нәтижесінде біз осы теңдеулер жүйесіне эквивалентті сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз. Онда бір теңдеуде бір ғана айнымалы болды, оның мәнін басқа теңдеулерге ауыстыра отырып, біз шешімге келеміз. Мұндай қосу жүйені элементар түрлендірудің бір түрі болып табылады. Гаусс әдісін қолданғанда түрлендірудің бірнеше түрін қолдануға болады.

Жоғарыдағы анимация теңдеулер жүйесінің біртіндеп трапецияға қалай айналатынын көрсетеді. Яғни, сіз бірінші анимацияда көрген және одан барлық белгісіздердің мәндерін табу оңай екеніне көз жеткізгеніңіз. Мұндай түрлендіруді қалай орындауға болады және, әрине, мысалдар әрі қарай талқыланады.

Теңдеулер жүйесінде және жүйенің кеңейтілген матрицасында теңдеулер мен белгісіздердің кез келген саны бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешу кезінде мүмкін:

1. сызықтарды қайта реттеу (бұл мақаланың басында айтылған);
2. егер басқа түрлендіру нәтижесінде тең немесе пропорционалды жолдар болса, біреуін қоспағанда, оларды жоюға болады;
3. барлық коэффициенттер нөлге тең «нөлдік» жолдарды алып тастаңыз;
4. кез келген жолды белгілі бір санға көбейту немесе бөлу;
5. кез келген жолға белгілі бір санға көбейтілген басқа жолды қосыңыз.

Түрлендірулер нәтижесінде осыған тең сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз.

Жүйенің квадрат матрицасы бар сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу алгоритмі және мысалдары

Алдымен белгісіздер саны теңдеулер санына тең болатын сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді қарастырайық. Мұндай жүйенің матрицасы шаршы, яғни ондағы жолдар саны бағандар санына тең.

2-мысал.Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Сызықтық теңдеулер жүйесін мектеп әдістерін қолданып шешкенде, екі теңдеудегі бірінші айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы сандар болатындай теңдеулердің біреуін мүшеге көбейттік. Теңдеулерді қосқанда бұл айнымалы жойылады. Гаусс әдісі де дәл осылай жұмыс істейді.

Шешімнің сыртқы түрін жеңілдету үшін жүйенің кеңейтілген матрицасын құрайық:

Бұл матрицада белгісіздердің коэффициенттері тік сызықтан бұрын сол жақта, ал бос мүшелер тік сызықтан кейін оң жақта орналасады.

Айнымалылар үшін коэффициенттерді бөлудің ыңғайлылығы үшін (бірлікке бөлуді алу үшін) Жүйе матрицасының бірінші және екінші жолын ауыстырайық. Біз осы жүйеге эквивалентті жүйені аламыз, өйткені сызықтық теңдеулер жүйесінде теңдеулерді ауыстыруға болады:

Жаңа бірінші теңдеуді қолдану айнымалыны жою xекінші және одан кейінгі барлық теңдеулерден. Ол үшін матрицаның екінші жолына көбейтілген бірінші жолды (біздің жағдайда -ға), үшінші жолға - көбейтілген бірінші жолды (біздің жағдайда ) қосамыз.

Бұл мүмкін, өйткені

Егер біздің жүйеде үш теңдеуден көп болса, онда біз барлық келесі теңдеулерге минус белгісімен алынған сәйкес коэффициенттердің қатынасына көбейтілген бірінші жолды қосу керек еді.

Нәтижесінде біз жаңа теңдеулер жүйесінің осы жүйесіне эквивалентті матрицаны аламыз, онда барлық теңдеулер екіншіден бастап айнымалыны қамтымайды x :

Алынған жүйенің екінші жолын жеңілдету үшін оны қайта-қайта көбейтіп, осы жүйеге эквивалентті теңдеулер жүйесінің матрицасын алыңыз:

Енді алынған жүйенің бірінші теңдеуін өзгеріссіз сақтай отырып, екінші теңдеуді пайдаланып айнымалыны жоямыз ж барлық келесі теңдеулерден. Ол үшін жүйелік матрицаның үшінші жолына көбейтілген екінші жолды қосамыз (біздің жағдайда ).

Егер біздің жүйеде үш теңдеуден көп болса, онда барлық келесі теңдеулерге минус белгісімен алынған сәйкес коэффициенттердің қатынасына көбейтілген екінші жолды қосу керек еді.

Нәтижесінде біз қайтадан осы сызықтық теңдеулер жүйесіне эквивалентті жүйенің матрицасын аламыз:

Біз сызықтық теңдеулердің эквивалентті трапеция жүйесін алдық:

Егер теңдеулер мен айнымалылар саны біздің мысалдағыдан көп болса, онда айнымалыларды дәйекті түрде жою процесі біздің демонстрациялық мысалдағыдай жүйе матрицасы трапеция тәрізді болғанша жалғасады.

Біз шешімді «соңынан» табамыз - кері қозғалыс. Бұл үшін соңғы теңдеуден анықтаймыз z:
.
Бұл мәнді алдыңғы теңдеуге ауыстырып, табамыз ж:

Бірінші теңдеуден табамыз x:

Жауап: бұл теңдеулер жүйесінің шешімі .

: бұл жағдайда жүйеде бірегей шешім болса, бірдей жауап беріледі. Егер жүйеде шешімдердің шексіз саны болса, онда бұл жауап болады және бұл осы сабақтың бесінші бөлімінің тақырыбы.

Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімін қараңыз

Мұнда тағы да теңдеулер саны белгісіздер санына тең болатын сызықтық теңдеулер жүйесінің дәйекті және анықталған жүйесінің мысалы бар. Алгоритмдегі біздің демонстрациялық мысалдан айырмашылығы - қазірдің өзінде төрт теңдеу және төрт белгісіз бар.

4-мысал.Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Енді келесі теңдеулерден айнымалыны жою үшін екінші теңдеуді пайдалану керек. Дайындық жұмыстарын жүргізейік. Коэффициенттер қатынасымен ыңғайлы болу үшін екінші жолдың екінші бағанында біреуін алу керек. Ол үшін екінші жолдан үшіншісін алып, алынған екінші жолды -1-ге көбейту керек.

Енді үшінші және төртінші теңдеулерден айнымалыны нақты жоюды жүргізейік. Ол үшін үшінші жолға көбейтілген екінші жолды және төртінші жолға екінші көбейтілген жолды қосыңыз.

Енді үшінші теңдеуді қолданып, төртінші теңдеуден айнымалыны алып тастаймыз. Ол үшін төртінші жолға көбейтілген үшінші жолды қосыңыз. Біз кеңейтілген трапеция матрицасын аламыз.

Берілген жүйе эквивалентті теңдеулер жүйесін алдық:

Демек, алынған және берілген жүйелер үйлесімді және белгілі. Біз түпкілікті шешімді «соңынан» табамыз. Төртінші теңдеуден «х-төрт» айнымалысының мәнін тікелей өрнектей аламыз:

Бұл мәнді жүйенің үшінші теңдеуіне қойып, аламыз

,

,

Ақырында, құндылықты ауыстыру

Бірінші теңдеу береді

,

«x» бірінші қайдан табамыз:

Жауап: бұл теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар .

Сондай-ақ жүйенің шешімін Крамер әдісі арқылы калькуляторда тексеруге болады: бұл жағдайда жүйеде бірегей шешім болса, дәл осындай жауап беріледі.

Қолданбалы есептерді қорытпаларға есеп үлгісін пайдаланып Гаусс әдісімен шешу

Физикалық дүниедегі нақты объектілерді модельдеу үшін сызықтық теңдеулер жүйесі қолданылады. Осы есептердің бірі – қорытпаларды шешейік. Ұқсас мәселелер қоспалар бойынша есептер, тауарлар тобындағы жекелеген тауарлардың құны немесе үлесі және т.б.

5-мысал.Үш бөлік қорытпаның жалпы массасы 150 кг. Бірінші қорытпада 60% мыс, екіншісінде 30%, үшіншіде 10% болады. Оның үстіне екінші және үшінші қорытпаларда бірінші қорытпаға қарағанда 28,4 кг, ал үшінші қорытпада екіншісіне қарағанда 6,2 кг кем мыс бар. Қорытпаның әрбір бөлігінің массасын табыңыз.

Шешім. Сызықтық теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Екінші және үшінші теңдеулерді 10-ға көбейтеміз, сызықтық теңдеулердің эквивалентті жүйесін аламыз:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жасаймыз:

Назар аударыңыз, алға. Санға көбейтілген бір жолды қосу (біздің жағдайда алып тастау) арқылы (біз оны екі рет қолданамыз), жүйенің кеңейтілген матрицасымен келесі түрлендірулер орын алады:

Тікелей қозғалыс аяқталды. Біз кеңейтілген трапеция матрицасын алдық.

Біз кері қозғалысты қолданамыз. Шешімін соңынан табамыз. Біз мұны көреміз.

Екінші теңдеуден табамыз

Үшінші теңдеуден -

Сондай-ақ жүйенің шешімін Крамер әдісі арқылы калькуляторда тексеруге болады: бұл жағдайда жүйеде бірегей шешім болса, дәл осындай жауап беріледі.

Гаусс әдісінің қарапайымдылығы оны ойлап табу үшін неміс математигі Карл Фридрих Гауссқа бар болғаны 15 минут уақыт жұмсауымен дәлелденеді. Оның атымен аталған әдіске қоса, «Бізге керемет және табиғи емес болып көрінетін нәрсені мүлдем мүмкін емес нәрсемен шатастырмау керек» деген сөз Гаусстың еңбектерінен белгілі - жаңалық ашуға арналған қысқаша нұсқау.

Көптеген қолданбалы есептерде үшінші шектеу, яғни үшінші теңдеу болмауы мүмкін, онда Гаусс әдісін қолдана отырып, үш белгісізі бар екі теңдеу жүйесін шешу керек немесе керісінше, теңдеулерге қарағанда белгісіздер аз болады; Енді біз осындай теңдеулер жүйесін шешуге кірісеміз.

Гаусс әдісін қолдана отырып, кез келген жүйенің үйлесімді немесе үйлеспейтінін анықтауға болады nбар сызықтық теңдеулер nайнымалылар.

Гаусс әдісі және шешімдерінің шексіз саны бар сызықтық теңдеулер жүйесі

Келесі мысал - дәйекті, бірақ анықталмаған сызықтық теңдеулер жүйесі, яғни шешімдерінің шексіз саны бар.

Жүйенің кеңейтілген матрицасында түрлендірулерді орындағаннан кейін (жолдарды қайта реттеу, жолдарды белгілі бір санға көбейту және бөлу, бір жолға басқасын қосу) сияқты жолдар

Егер барлық теңдеулерде пішіні бар болса

Еркін терминдер нөлге тең, бұл жүйенің белгісіз екенін білдіреді, яғни оның шешімдерінің шексіз саны бар және мұндай түрдегі теңдеулер «артық» және біз оларды жүйеден шығарамыз.

6-мысал.

Шешім. Жүйенің кеңейтілген матрицасын құрайық. Содан кейін бірінші теңдеуді пайдаланып, келесі теңдеулерден айнымалыны алып тастаймыз. Ол үшін екінші, үшінші және төртінші жолдарға келесіге көбейтілген бірінші жолдар қосылсын:

Енді үшінші және төртінші жолға екінші жолды қосамыз.

Нәтижесінде біз жүйеге келеміз

Соңғы екі теңдеу түрдегі теңдеулерге айналды. Бұл теңдеулер белгісіздердің кез келген мәні үшін орындалады және оларды алып тастауға болады.

Екінші теңдеуді қанағаттандыру үшін және үшін ерікті мәндерді таңдауға болады, содан кейін үшін мәні бірегей түрде анықталады: . Бірінші теңдеудің мәні де бірегей түрде табылады: .

Берілген де, соңғы жүйе де сәйкес келеді, бірақ белгісіз және формулалар

ерікті үшін және бізге берілген жүйенің барлық шешімдерін беріңіз.

Гаусс әдісі және шешімі жоқ сызықтық теңдеулер жүйесі

Келесі мысал – сызықтық теңдеулер жүйесі сәйкес келмейтін, яғни шешімі жоқ. Мұндай мәселелердің жауабы былай тұжырымдалады: жүйеде шешімдер жоқ.

Бірінші мысалға байланысты айтылғандай, түрлендірулерді орындағаннан кейін жүйенің кеңейтілген матрицасында пішін жолдары пайда болуы мүмкін.

түрінің теңдеуіне сәйкес келеді

Егер олардың арасында нөлге тең емес бос мүшесі бар кем дегенде бір теңдеу болса (яғни ), онда бұл теңдеулер жүйесі сәйкес емес, яғни оның шешімдері жоқ және оның шешімі толық.

7-мысал.Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешім. Біз жүйенің кеңейтілген матрицасын құрастырамыз. Бірінші теңдеуді пайдаланып, келесі теңдеулерден айнымалыны алып тастаймыз. Ол үшін екінші жолға бірінші көбейтіндіні, үшінші жолға бірінші көбейтіндіні, төртіншіге көбейтілген біріншіні қосыңыз.

Енді келесі теңдеулерден айнымалыны жою үшін екінші теңдеуді пайдалану керек. Коэффициенттердің бүтін қатынасын алу үшін жүйенің кеңейтілген матрицасының екінші және үшінші қатарларын ауыстырамыз.

Үшінші және төртінші теңдеулерді алып тастау үшін үшінші жолға екінші көбейтіндіні, төртінші жолға екінші көбейтіндіні қосамыз.

Енді үшінші теңдеуді қолданып, төртінші теңдеуден айнымалыны алып тастаймыз. Ол үшін төртінші жолға көбейтілген үшінші жолды қосыңыз.

Сондықтан берілген жүйе келесіге тең:

Алынған жүйе сәйкес емес, өйткені оның соңғы теңдеуі белгісіздердің кез келген мәндерімен қанағаттандыра алмайды. Сондықтан бұл жүйенің шешімі жоқ.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Сіздің жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Біз сызықтық теңдеулер жүйелерімен айналысуды жалғастырамыз. Осы уақытқа дейін біз бірегей шешімі бар жүйелерді қарастырдық. Мұндай жүйелерді кез келген жолмен шешуге болады: ауыстыру әдісімен(«мектеп»), Крамер формулалары бойынша, матрицалық әдіс, Гаусс әдісі. Дегенмен, іс жүзінде тағы екі жағдай кең таралған:

1) жүйе сәйкес емес (шешімдері жоқ);

2) жүйеде шексіз көп шешімдер бар.

Бұл жүйелер үшін барлық шешу әдістерінің ең әмбебап әдісі қолданылады - Гаусс әдісі. Шындығында, «мектеп» әдісі де жауап береді, бірақ жоғары математикада белгісіздерді дәйекті түрде жоюдың Гаусс әдісін қолдану әдеттегідей. Гаусс әдісінің алгоритмін білмейтіндер алдымен сабақты оқып шығуларыңызды сұраймыз Гаусс әдісі

Элементар матрицалық түрлендірулердің өзі де дәл солай, айырмашылық шешімнің аяқталуында болады. Алдымен жүйеде шешімдер болмаған кездегі бірнеше мысалды қарастырайық (үйлесімді емес).

1-мысал

Бұл жүйеде сіздің көзіңізге бірден не түседі? Теңдеулер саны айнымалылар санынан аз. Мынадай теорема бар: «Егер жүйедегі теңдеулер саны айнымалылар санынан аз болса, онда жүйе не сәйкес емес, не шексіз көп шешімдері бар».Ал тек анықтау ғана қалады.

Шешімнің басы мүлдем кәдімгі - біз жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамыз және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы пішінге келтіреміз:

(1). Жоғарғы сол жақ қадамда (+1) немесе (–1) алу керек. Бірінші бағанда мұндай сандар жоқ, сондықтан жолдарды қайта реттеу ештеңе жасамайды. Бөлім өзін ұйымдастыруға мәжбүр болады және мұны бірнеше жолмен жасауға болады. Біз мұны жасадық. Бірінші жолға (–1) көбейтілген үшінші жолды қосамыз.

(2). Енді бірінші бағанда екі нөл аламыз. Екінші жолға 3-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Үшінші жолға 5-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз.

(3). Трансформация аяқталғаннан кейін әрқашан алынған жолдарды оңайлатуға болатынын көру керек пе? мүмкін. Біз екінші жолды 2-ге бөлеміз, сонымен бірге екінші қадамда қажетті жолды (–1) аламыз. Үшінші жолды (–3) бөліңіз.

(4). Үшінші жолға екінші жолды қосыңыз. Қарапайым түрлендірулер нәтижесінде пайда болған нашар сызықты бәрі байқаған шығар:

. Бұлай болуы мүмкін емес екені анық.

Шынында да, алынған матрицаны қайта жазайық

сызықтық теңдеулер жүйесіне қайта келу:

Егер элементар түрлендірулер нәтижесінде форманың жолы алынса , Қайдаλ нөлден басқа сан болса, жүйе сәйкес емес (шешімдері жоқ).

Тапсырманың соңын қалай жазуға болады? Мына сөйлемді жазу керек:

«Элементарлы түрлендірулер нәтижесінде пішіннің жолы алынды, мұнда λ ≠ 0 " Жауап: «Жүйеде шешімдер жоқ (үйлесімді емес).»

Назар аударыңыз, бұл жағдайда Гаусс алгоритмінің кері қайтарылуы жоқ, шешімдер жоқ және ештеңе табу мүмкін емес.

2-мысал

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Сіздің шешіміңіз біздің шешімімізден ерекшеленуі мүмкін екенін тағы бір рет еске саламыз, Гаусс әдісі әрекеттердің ретін көрсетпейді және әр жағдайда әрекеттердің өздерін болжау керек;

Шешімнің тағы бір техникалық ерекшелігі: элементарлық түрлендірулерді тоқтатуға болады дереу, сияқты сызық сияқты, қайда λ ≠ 0 . Шартты мысалды қарастырайық: бірінші түрлендіруден кейін матрица алынды делік

.

Бұл матрица әлі эшелондық түрге келтірілмеген, бірақ одан әрі элементарлық түрлендірулердің қажеті жоқ, өйткені форманың сызығы пайда болды, мұнда λ ≠ 0 . Жүйенің үйлесімсіздігі туралы бірден жауап беру керек.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері болмаған кезде, кейде 2-3 қадаммен сөзбе-сөз қысқаша шешім алынатындықтан, бұл оқушыға сыйлық дерлік. Бірақ бұл дүниеде бәрі теңдестірілген және жүйеде шексіз көп шешімдер бар мәселе ұзағырақ.

3-мысал:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

4 теңдеу және 4 белгісіз бар, сондықтан жүйенің не жалғыз шешімі болуы мүмкін, не шешімі жоқ, не шексіз көп шешімдері болуы мүмкін. Қалай болғанда да, Гаусс әдісі бізді жауапқа әкеледі. Бұл оның әмбебаптығы.

Басталуы қайтадан стандартты. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік:

Бар болғаны, сен қорқтың.

(1). Бірінші бағандағы барлық сандар 2-ге бөлінетінін ескеріңіз, сондықтан жоғарғы сол жақ қадамда 2 дұрыс. Екінші жолға бірінші жолды (–4) көбейтіндісін қосамыз. Үшінші жолға (–2) көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Төртінші жолға (–1) көбейтілген бірінші жолды қосамыз.

Назар аударыңыз!Көпшілік төртінші жолға азғырылуы мүмкін шегеріңізбірінші жол. Мұны істеуге болады, бірақ бұл қажет емес, тәжірибе көрсеткендей, есептеулердегі қателік ықтималдығы бірнеше есе артады; Біз жай ғана қосамыз: төртінші жолға бірінші жолды қосамыз, көбейтіндісі (–1) – дәл солай!

(2). Соңғы үш жол пропорционалды, олардың екеуін жоюға болады. Мұнда тағы да көрсетуіміз керек назарын арттырды, бірақ сызықтар шынымен пропорционалды ма? Қауіпсіз болу үшін екінші жолды (–1) көбейтіп, төртінші жолды 2-ге бөлген дұрыс, нәтижесінде үш бірдей сызық пайда болады. Содан кейін ғана олардың екеуін алып тастаңыз. Элементар түрлендірулер нәтижесінде жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі:

Тапсырманы дәптерге жазғанда, түсінікті болу үшін қарындашпен бірдей жазбаларды жасаған жөн.

Сәйкес теңдеулер жүйесін қайта жазайық:

Мұнда жүйеге қатысты «қарапайым» жалғыз шешімнің иісі жоқ. Нашар сызық қайда λ ≠ 0, жоқ. Бұл үшінші қалған жағдай екенін білдіреді - жүйеде шексіз көп шешімдер бар.

Жүйе шешімдерінің шексіз жиынтығы қысқаша деп аталатын түрінде жазылған жүйенің жалпы шешімі.

Гаусс әдісіне кері әдісті пайдаланып жүйенің жалпы шешімін табамыз. Шешімдерінің шексіз жиыны бар теңдеулер жүйесі үшін жаңа ұғымдар пайда болады: «негізгі айнымалылар»Және «еркін айнымалылар». Алдымен бізде қандай айнымалылар бар екенін анықтайық негізгі, және қандай айнымалылар - тегін. Сызықтық алгебраның терминдерін егжей-тегжейлі түсіндірудің қажеті жоқ, мұндайлар бар екенін есте ұстаған жөн негізгі айнымалыларЖәне еркін айнымалылар.

Негізгі айнымалылар әрқашан матрицаның қадамдарында қатаң түрде «отырылады».. Бұл мысалда негізгі айнымалылар болып табылады x 1 және x 3 .

Еркін айнымалылар - бәрі қалдықадамды қабылдамаған айнымалылар. Біздің жағдайда олардың екеуі бар: x 2 және x 4 – бос айнымалылар.

Енді сізге керек Барлығынегізгі айнымалыларэкспресс арқылы ғанаеркін айнымалылар. Гаусс алгоритмінің кері жағы дәстүрлі түрде төменнен жоғарыға қарай жұмыс істейді. Жүйенің екінші теңдеуінен негізгі айнымалыны өрнектейміз x 3:

Енді бірінші теңдеуге қараңыз: . Алдымен оған табылған өрнекті ауыстырамыз:

Негізгі айнымалыны өрнектеу қалады x 1 еркін айнымалылар арқылы x 2 және x 4:

Соңында біз қажет нәрсені алдық - Барлығынегізгі айнымалылар ( x 1 және x 3) көрсетілген арқылы ғанабос айнымалылар ( x 2 және x 4):

Жалпы шешім дайын:

.

Жалпы шешімді қалай дұрыс жазуға болады? Ең алдымен, бос айнымалылар жалпы шешімге «өздігінен» және қатаң түрде өз орындарында жазылады. Бұл жағдайда бос айнымалылар x 2 және x 4-тармақ екінші және төртінші абзацтарда жазылсын:

.

Негізгі айнымалылар үшін нәтижелі өрнектер және бірінші және үшінші позицияларда жазылуы керек екені анық:

Жүйенің жалпы шешімінен шексіз көп табуға болады жеке шешімдер. Бұл өте қарапайым. Еркін айнымалылар x 2 және x 4 осылай аталады, өйткені оларды беруге болады кез келген соңғы мәндер. Ең танымал мәндер нөлдік мәндер болып табылады, өйткені бұл алуға болатын ең оңай ішінара шешім.

алмастыру ( x 2 = 0; x 4 = 0) жалпы шешімге, біз нақты шешімдердің бірін аламыз:

, немесе мәндері бар бос айнымалыларға сәйкес келетін нақты шешім ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Тағы бір тәтті жұп - біреулер, алмастырайық ( x 2 = 1 және x 4 = 1) жалпы шешімге:

, яғни (-1; 1; 1; 1) – басқа нақты шешім.

Теңдеулер жүйесі бар екенін көру оңай шексіз көп шешімдерөйткені біз еркін айнымалыларды бере аламыз кез келгенмағыналары.

Әрбірнақты шешім қанағаттандыруы керек барлығынажүйенің теңдеуі. Бұл шешімнің дұрыстығын «жылдам» тексеруге негіз болады. Мысалы, нақты шешімді (-1; 1; 1; 1) алыңыз және оны бастапқы жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына қойыңыз:

Барлығы бірге болуы керек. Сіз алатын кез келген нақты шешіммен бәрі де келісуі керек.

Қатаң айтқанда, белгілі бір шешімді тексеру кейде алдау болып табылады, яғни. кейбір нақты шешім жүйенің әрбір теңдеуін қанағаттандыруы мүмкін, бірақ жалпы шешімнің өзі іс жүзінде қате табылған. Сондықтан, ең алдымен, жалпы шешімді тексеру мұқият және сенімдірек.

Алынған жалпы шешімді қалай тексеруге болады ?

Бұл қиын емес, бірақ ұзақ өзгерістерді қажет етеді. Біз өрнектерді алуымыз керек негізгіайнымалылар, бұл жағдайда және , және оларды жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына ауыстырыңыз.

Жүйенің бірінші теңдеуінің сол жағында:

Жүйенің бастапқы бірінші теңдеуінің оң жағы алынады.

Жүйенің екінші теңдеуінің сол жағына:

Жүйенің бастапқы екінші теңдеуінің оң жағы алынады.

Ал содан кейін - жүйенің үшінші және төртінші теңдеуінің сол жақтарына. Бұл тексеру ұзағырақ уақыт алады, бірақ жалпы шешімнің 100% дұрыстығына кепілдік береді. Сонымен қатар, кейбір тапсырмалар жалпы шешімді тексеруді талап етеді.

4-мысал:

Жүйені Гаусс әдісімен шешіңіз. Жалпы шешімді және екі ерекше шешімді табыңыз. Жалпы шешімді тексеріңіз.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Бұл жерде, айтпақшы, тағы да теңдеулер саны белгісіздер санынан аз, яғни жүйе не сәйкес келмейтіні, не шешімдерінің шексіз болатыны бірден белгілі болады.

5-мысал:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Егер жүйеде шексіз көп шешімдер болса, екі нақты шешімді тауып, жалпы шешімді тексеріңіз

Шешімі:Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік:

(1). Бірінші жолды екінші жолға қосыңыз. Үшінші жолға 2-ге көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Төртінші жолға 3-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз.

(2). Үшінші жолға (–5) көбейтілген екінші жолды қосамыз. Төртінші жолға (–7) көбейтілген екінші жолды қосамыз.

(3). Үшінші және төртінші жолдар бірдей, біз олардың біреуін өшіреміз. Бұл сұлулық:

Негізгі айнымалылар қадамдарда отырады, сондықтан - негізгі айнымалылар.

Мұнда қадам жасамаған бір ғана бос айнымалы бар: .

(4). Кері қозғалыс. Негізгі айнымалыларды еркін айнымалы арқылы өрнектеп көрейік:

Үшінші теңдеуден:

Екінші теңдеуді қарастырып, оған табылған өрнекті ауыстырайық:

, , ,

Бірінші теңдеуді қарастырып, табылған өрнектерді оған ауыстырайық:

Осылайша, бір еркін айнымалысы бар жалпы шешім x 4:

Тағы да, бұл қалай болды? Еркін айнымалы x 4 өзінің заңды төртінші орнында жалғыз отырады. Негізгі айнымалылар үшін алынған , , өрнектері де орнында.

Жалпы шешімді дереу тексеріп көрейік.

Жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына негізгі айнымалыларды , , ауыстырамыз:

Теңдеулердің сәйкес оң жақтары алынады, осылайша дұрыс жалпы шешімі табылады.

Енді жалпы шешімнен біз екі нақты шешім аламыз. Мұнда барлық айнымалылар жалғыз арқылы көрсетіледі еркін айнымалы x 4. Миыңызды қағудың қажеті жоқ.

Болсын xонда 4 = 0 – бірінші нақты шешім.

Болсын xонда 4 = 1 – басқа жеке шешім.

Жауап:Жалпы шешім: . Жеке шешімдер:

Және .

6-мысал:

Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табыңыз.

Біз жалпы шешімді тексердік, жауапқа сенуге болады. Сіздің шешіміңіз біздің шешімімізден өзгеше болуы мүмкін. Ең бастысы, жалпы шешімдер сәйкес келеді. Мүмкін, көптеген адамдар шешімдерде жағымсыз сәтті байқаған шығар: өте жиі Гаусс әдісінің кері курсы кезінде қарапайым фракциялармен жұмыс істеуге тура келді. Тәжірибеде бұл шынында да, фракциялар жоқ жағдайлар әлдеқайда аз кездеседі; Ақыл-ой, ең бастысы, техникалық дайын болыңыз.

Шешілген мысалдарда кездеспейтін шешімнің ерекшеліктеріне тоқталайық. Жүйенің жалпы шешімі кейде тұрақтыны (немесе тұрақтыларды) қамтуы мүмкін.

Мысалы, жалпы шешім: . Мұнда негізгі айнымалылардың бірі тұрақты санға тең: . Бұл жерде экзотикалық ештеңе жоқ, бұл орын алады. Әлбетте, бұл жағдайда кез келген нақты шешім бірінші позицияда бестіктен тұрады.

Сирек, бірақ мұндай жүйелер бар теңдеулер саны айнымалылар санынан көп. Дегенмен, Гаусс әдісі ең қатал жағдайларда жұмыс істейді. Сіз стандартты алгоритмді қолдана отырып, жүйенің кеңейтілген матрицасын қадамдық пішінге тыныш түрде азайтуыңыз керек. Мұндай жүйе сәйкес келмеуі мүмкін, шексіз көп шешімдерге ие болуы мүмкін және, бір қызығы, жалғыз шешім болуы мүмкін.

Кеңесімізді қайталап көрейік - жүйені Гаусс әдісімен шешуде өзіңізді ыңғайлы сезіну үшін сіз кем дегенде оншақты жүйені шешуді меңгеруіңіз керек.

Шешімдер мен жауаптар:

2-мысал:

Шешімі:Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік.

Орындалған элементарлық түрлендірулер:

(1) Бірінші және үшінші жолдар ауыстырылды.

(2) Бірінші жол екінші жолға қосылып, (–6) көбейтілді. Бірінші жол үшінші жолға қосылып, (–7) көбейтілді.

(3) Екінші жол үшінші жолға қосылды, (–1) көбейтілді.

Элементар түрлендірулер нәтижесінде форманың жолы алынады, Қайда λ ≠ 0 .Бұл жүйенің сәйкес келмейтінін білдіреді.Жауап: шешімдер жоқ.

4-мысал:

Шешімі:Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік:

Орындалған түрлендірулер:

(1). 2-ге көбейтілген бірінші жол екінші жолға қосылды 3-ке көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

Екінші қадам үшін бірлік жоқ , ал түрлендіру (2) оны алуға бағытталған.

(2). Үшінші жол екінші жолға қосылып, –3-ке көбейтілді.

(3). Екінші және үшінші жолдар ауыстырылды (нәтижеде -1 екінші қадамға жылжыттық)

(4). Үшінші жол екінші жолға қосылып, 3-ке көбейтілді.

(5). Алғашқы екі жолдың таңбасы өзгерді (–1-ге көбейтілді), үшінші жол 14-ке бөлінді.

Кері:

(1). Мұнда негізгі айнымалылар (қадамдарда орналасқан) және – бос айнымалылар (қадамға ие болмағандар).

(2). Негізгі айнымалыларды еркін айнымалылар арқылы көрсетейік:

Үшінші теңдеуден: .

(3). Екінші теңдеуді қарастырайық:, жеке шешімдер:

Жауап: Жалпы шешім:

Күрделі сандар

Бұл бөлімде біз тұжырымдамамен таныстырамыз күрделі сан, қарастырыңыз алгебралық, тригонометриялықЖәне экспоненциалды формакүрделі сан. Сондай-ақ күрделі сандармен амалдарды орындауды үйренеміз: қосу, алу, көбейту, бөлу, дәрежеге шығару және түбір алу.

Күрделі сандарды меңгеру үшін жоғары математика курсынан арнайы білім қажет емес, материал тіпті мектеп оқушылары үшін де қолжетімді. «Қарапайым» сандармен алгебралық амалдарды орындай білу және тригонометрияны есте сақтау жеткілікті.

Алдымен «қарапайым» сандарды еске түсірейік. Математикада олар деп аталады нақты сандар жиыныжәне әріппен белгіленеді R,немесе R (қалыңдатылған). Барлық нақты сандар таныс сандар түзуінде орналасады:

Нақты сандар компаниясы өте алуан түрлі - мұнда бүтін сандар, бөлшектер және иррационал сандар бар. Бұл жағдайда сан осіндегі әрбір нүкте міндетті түрде қандай да бір нақты санға сәйкес келеді.