(кейде бұл әдісті матрицалық әдіс немесе кері матрицалық әдіс деп те атайды) SLAE белгілеудің матрицалық формасы сияқты тұжырымдамамен алдын ала танысуды талап етеді. Кері матрицалық әдіс жүйелік матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше болатын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге арналған. Әрине, бұл жүйенің матрицасы квадрат деп болжайды (анықтаушы ұғымы тек шаршы матрицалар үшін бар). Кері матрицалық әдістің мәнін үш тармақпен көрсетуге болады:
- Үш матрицаны жазыңыз: жүйе матрицасы $A$, белгісіздер матрицасы $X$, бос мүшелер матрицасы $B$.
- $A^(-1)$ кері матрицасын табыңыз.
- $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігін пайдаланып, берілген SLAE шешімін алыңыз.
Кез келген SLAE матрицалық түрде $A\cdot X=B$ түрінде жазылуы мүмкін, мұндағы $A$ — жүйенің матрицасы, $B$ — бос терминдердің матрицасы, $X$ — белгісіздер матрицасы. $A^(-1)$ матрицасы бар болсын. $A\cdot X=B$ теңдігінің екі жағын сол жақтағы $A^(-1)$ матрицасына көбейтейік:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$A^(-1)\cdot A=E$ болғандықтан ($E$ – сәйкестік матрицасы), жоғарыда жазылған теңдік келесідей болады:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$E\cdot X=X$ болғандықтан, онда:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
№1 мысал
SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ мәнін кері матрицаны пайдаланып шешіңіз.
$$ A=\left(\begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(массив)\оң);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \end(массив)\оң);\; X=\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\оң). $$
Жүйе матрицасына кері матрицаны табайық, яғни. $A^(-1)$ есептейік. №2 мысалда
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(массив)\оң) . $$
Енді барлық үш матрицаны ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігіне ауыстырайық. Содан кейін матрицаны көбейтуді орындаймыз
$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\оң)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(массив)\оң)\cdot \left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \end(массив)\оң)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\оң)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 309\\ -206 \end(массив)\оң)=\сол( \begin(массив) (c) -3\\ 2\end(массив)\оңға). $$
Сонымен, $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\right)=\left(\begin(массив) (c) -3\\ 2\end() теңдігін алдық. массив )\right)$. Осы теңдіктен бізде: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Жауап: $x_1=-3$, $x_2=2$.
№2 мысал
SLAE $ \left\(\begin(тураланған) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6) шешіңіз. \end(тураланған)\оңға .$ кері матрицалық әдіс арқылы.
$A$ жүйесінің матрицасын, $B$ бос мүшелер матрицасын және $X$ белгісіздер матрицасын жазып алайық.
$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(массив)\оң);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\end(массив)\оң);\; X=\left(\бастау(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\оң). $$
Енді жүйе матрицасына кері матрицаны табу кезегі, яғни. $A^(-1)$ табыңыз. Кері матрицаларды табуға арналған беттегі №3 мысалда кері матрица табылды. Дайын нәтижені пайдаланып, $A^(-1)$ деп жазайық:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\соңы(массив)\оң). $$
Енді барлық үш матрицаны ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігіне ауыстырайық, содан кейін оң жақта матрицаны көбейтуді орындаймыз. осы теңдіктің.
$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \оң жақ)\cdot \left(\бастау(массив) (c) -1\\0\ \6\соңы(массив)\оң)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\оң)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\оң)=\left( \бастау(массив) (c) 0\\-4\\9\соңы(массив)\оң) $$
Сонымен, біз $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\right)=\left(\begin(массив) (c) 0\\-4 теңдігін алдық. \ \9\соңы(массив)\оңға)$. Осы теңдіктен бізде: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Жалпы алғанда теңдеулер, сызықтық алгебралық теңдеулер және олардың жүйелері, сондай-ақ оларды шешу әдістері математикада теориялық және қолданбалы түрде ерекше орын алады.
Бұл физикалық, экономикалық, техникалық, тіпті педагогикалық есептердің басым көпшілігін әртүрлі теңдеулер мен олардың жүйелері арқылы сипаттауға және шешуге болатындығына байланысты. Жақында математикалық модельдеу барлық дерлік пәндік салаларда зерттеушілер, ғалымдар мен практиктер арасында ерекше танымалдыққа ие болды, бұл оның әртүрлі сипаттағы объектілерді, атап айтқанда кешен деп аталатын зерттеудің басқа белгілі және дәлелденген әдістеріне қарағанда айқын артықшылықтарымен түсіндіріледі. жүйелер. Әртүрлі уақытта ғалымдар берген математикалық модельдің әртүрлі анықтамаларының алуан түрлілігі бар, бірақ біздің ойымызша, ең сәттісі келесі мәлімдеме болып табылады. Математикалық модель – теңдеу арқылы өрнектелген идея. Сонымен, теңдеулер мен олардың жүйелерін құрастыру және шешу қабілеті қазіргі заманғы маманның ажырамас қасиеті болып табылады.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйелерін шешу үшін Крамер, Джордан-Гаусс және матрицалық әдіс кеңінен қолданылады.
Матрицалық шешім әдісі – кері матрицаның көмегімен анықтауышы нөлге тең емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдісі.
Егер А матрицасындағы белгісіз xi шамаларының коэффициенттерін жазып, белгісіз шамаларды X векторлық бағанына, ал бос мүшелерді В векторлық бағанына жинасақ, онда сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін мына түрінде жазуға болады. А матрицасының анықтауышы нөлге тең болмағанда ғана бірегей шешімі бар A · X = B матрицалық теңдеу. Бұл жағдайда теңдеулер жүйесінің шешімін келесі жолмен табуға болады X = А-1 · Б, Қайда А-1 - кері матрица.
Матрицалық шешім әдісі келесідей.
бар сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін nбелгісіз:
Оны матрицалық түрде қайта жазуға болады: AX = Б, Қайда А- жүйенің негізгі матрицасы; БЖәне X- бос мүшелердің бағандары және сәйкесінше жүйенің шешімдері:
Осы матрицалық теңдеуді сол жақтан көбейтейік А-1 - матрицаға кері матрица А: А -1 (AX) = А -1 Б
Өйткені А -1 А = Е, аламыз X= А -1 Б. Бұл теңдеудің оң жағы бастапқы жүйенің шешім бағанын береді. Бұл әдісті қолданудың шарты (сондай-ақ белгісіздер санына тең теңдеулер саны бар біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесіне шешімнің жалпы болуы) матрицаның дегенеративті еместігі болып табылады. А. Бұл үшін қажетті және жеткілікті шарт матрицаның анықтауышының нөлге тең болмауы болып табылады А:дет А≠ 0.
Сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесі үшін, яғни вектор болғанда Б = 0 , шын мәнінде қарама-қарсы ереже: жүйе AX = 0 тривиальды емес (яғни нөлге тең емес) шешімі бар, тек егер det А= 0. Біртекті және біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері арасындағы мұндай байланыс Фредгольм альтернативасы деп аталады.
Мысал сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті емес жүйесінің шешімдері.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің белгісіздерінің коэффициенттерінен құралған матрицаның анықтауышы нөлге тең емес екеніне көз жеткізейік.
Келесі қадам белгісіздердің коэффициенттерінен тұратын матрица элементтері үшін алгебралық толықтауыштарды есептеу болып табылады. Олар кері матрицаны табу үшін қажет болады.
n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесіпішін жүйесі деп аталады
Қайда a ijЖәне б мен (мен=1,…,м; б=1,…,n) кейбір белгілі сандар, және x 1 ,…,x n– белгісіз. Коэффициенттерді белгілеуде a ijбірінші көрсеткіш ментеңдеу нөмірін, ал екіншісін білдіреді j– бұл коэффициент тұрған белгісіз саны.
Белгісіздердің коэффициенттерін матрица түрінде жазамыз 
, біз оны шақырамыз жүйенің матрицасы.
Теңдеулердің оң жағындағы сандар b 1 ,…,b mдеп аталады тегін мүшелер.
Жалпылық nсандар c 1 ,…,c nшақырды шешімберілген жүйенің, егер жүйенің әрбір теңдеуі оған сандарды қойғаннан кейін теңдікке айналса c 1 ,…,c nсәйкес белгісіздердің орнына x 1 ,…,x n.
Біздің міндетіміз жүйенің шешімін табу болмақ. Бұл жағдайда үш жағдай туындауы мүмкін:
Кемінде бір шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады буын. Әйтпесе, яғни. егер жүйеде шешімдер болмаса, онда ол шақырылады бірлескен емес.
Жүйенің шешімін табу жолдарын қарастырайық.
СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІН ШЕШУДІҢ МАТРИЦАЛЫҚ ӘДІСІ
Матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін қысқаша жазуға мүмкіндік береді. Үш белгісізі бар 3 теңдеулер жүйесі берілсін:
Жүйелік матрицаны қарастырайық 
және белгісіз және бос мүшелердің матрицаларының бағандары 
Жұмысты табайық
сол. туындының нәтижесінде осы жүйенің теңдеулерінің сол жақтарын аламыз. Содан кейін матрицалық теңдік анықтамасын қолдана отырып, бұл жүйені формада жазуға болады
немесе қысқа А∙X=B.
Мұнда матрицалар берілген АЖәне Ббелгілі және матрица Xбелгісіз. Оны табу керек, өйткені... оның элементтері осы жүйенің шешімі болып табылады. Бұл теңдеу деп аталады матрицалық теңдеу.
Матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше болсын | А| ≠ 0. Сонда матрицалық теңдеу келесідей шешіледі. Сол жақтағы теңдеудің екі жағын матрицаға көбейтіңіз A-1, матрицаға кері А: . бері A -1 A = EЖәне Е∙X = X, содан кейін түрінде матрицалық теңдеудің шешімін аламыз X = A -1 B .
Кері матрицаны тек квадрат матрицалар үшін табуға болатындықтан, матрицалық әдіс тек келесі жүйелерді шеше алатынын ескеріңіз. теңдеулер саны белгісіздер санына сәйкес келеді. Бірақ жүйенің матрицалық жазылуы теңдеулер саны белгісіздер санына тең болмаған жағдайда да мүмкін болады, онда матрица Ашаршы болмайды, сондықтан жүйенің шешімін формада табу мүмкін емес X = A -1 B.
Мысалдар.Теңдеулер жүйесін шешу.
КРАМЕР ЕРЕЖЕСІ
Үш белгісізі бар 3 сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:
Жүйелік матрицаға сәйкес үшінші ретті анықтауыш, яғни. белгісіздер үшін коэффициенттерден тұрады,
шақырды жүйенің анықтаушысы.
Келесідей тағы үш анықтауыш құрайық: D анықтауышындағы 1, 2 және 3 бағандарды бос мүшелер бағанымен ауыстырыңыз.
Сонда біз келесі нәтижені дәлелдей аламыз.
Теорема (Крамер ережесі).Егер жүйенің анықтауышы Δ ≠ 0 болса, онда қарастырылып отырған жүйенің бір ғана шешімі бар және
Дәлелдеу. Сонымен, үш белгісізі бар 3 теңдеу жүйесін қарастырайық. Жүйенің 1-ші теңдеуін алгебралық толықтауышқа көбейтейік A 11элемент а 11, 2-ші теңдеу – қосулы A 21және 3-ші A 31:
Мына теңдеулерді қосайық:
Осы теңдеудің әрбір жақшасын және оң жағын қарастырайық. 1-бағанның элементтеріндегі анықтауыштың кеңеюі туралы теорема бойынша
Сол сияқты, бұл және көрсетуге болады.
Ақырында, мұны байқау оңай 
Осылайша, теңдік аламыз: .
Демек, .
Теорема тұжырымы осыдан шығатын және теңдіктері ұқсас шығарылады.
Осылайша, егер жүйенің анықтауышы Δ ≠ 0 болса, жүйенің бірегей шешімі бар және керісінше екенін ескереміз. Егер жүйенің анықтауышы нөлге тең болса, онда жүйеде не шешімдердің шексіз саны бар, не шешімдері жоқ, яғни. үйлеспейтін.
Мысалдар.Теңдеулер жүйесін шешу
ГАЗС ӘДІСІ
Бұрын талқыланған әдістер теңдеулер саны белгісіздер санымен сәйкес келетін және жүйенің анықтауышы нөлден өзгеше болуы керек жүйелерді ғана шешу үшін қолданылуы мүмкін. Гаусс әдісі әмбебап және кез келген теңдеу саны бар жүйелер үшін қолайлы. Ол жүйенің теңдеулерінен белгісіздерді дәйекті түрде жоюдан тұрады.
Үш белгісізі бар үш теңдеу жүйесін қайта қарастырайық:
.
Біз бірінші теңдеуді өзгеріссіз қалдырамыз, ал 2-ші және 3-шіден құрамындағы шарттарды алып тастаймыз. x 1. Ол үшін екінші теңдеуді келесіге бөліңіз А 21 және көбейтіңіз – А 11, содан кейін оны 1-ші теңдеуге қосыңыз. Сол сияқты үшінші теңдеуді де бөлеміз А 31 және көбейтіңіз – А 11, содан кейін оны біріншісімен қосыңыз. Нәтижесінде бастапқы жүйе келесі пішінді алады:
Енді соңғы теңдеуден құрамындағы терминді алып тастаймыз x 2. Ол үшін үшінші теңдеуді екіге бөліп, көбейтіп, екіншісіне қосу керек. Сонда бізде теңдеулер жүйесі болады:
Осы жерден соңғы теңдеуден оңай табуға болады x 3, содан кейін 2-ші теңдеуден x 2және ақырында, 1-ден - x 1.
Гаусс әдісін қолдану кезінде қажет болған жағдайда теңдеулерді ауыстыруға болады.
Көбінесе олар жаңа теңдеулер жүйесін жазудың орнына жүйенің кеңейтілген матрицасын жазумен шектеледі:
содан кейін оны элементар түрлендірулер арқылы үшбұрышты немесе қиғаш пішінге келтіріңіз.
TO элементарлық түрлендірулерматрицалар келесі түрлендірулерді қамтиды:
- жолдарды немесе бағандарды қайта реттеу;
- жолды нөлден басқа санға көбейту;
- бір жолға басқа жолдарды қосу.
Мысалдар:Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешу.
Осылайша, жүйеде шешімдердің шексіз саны бар.
Тақырып 2. СЫЗЫҚТЫ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕЛЕР ЖҮЙЕЛЕРІ.
Негізгі ұғымдар.
Анықтама 1. Жүйе мбар сызықтық теңдеулер nбелгісіздер келесі форманың жүйесі болып табылады:
қайда және сандар.
Анықтама 2. (I) жүйенің шешімі - бұл жүйенің әрбір теңдеуі сәйкестендіруге айналатын белгісіздер жиыны.
Анықтама 3. Жүйе (I) деп аталады буын, егер оның кем дегенде бір шешімі болса және бірлескен емес, егер оның шешімдері болмаса. Бірлескен жүйе деп аталады белгілі, егер оның бірегей шешімі болса, және белгісізәйтпесе.
Анықтама 4. Пішіннің теңдеуі
шақырды нөл, және теңдеу пішінде болады
шақырды үйлесімсіз. Құрамында сәйкес келмейтін теңдеуі бар теңдеулер жүйесі сәйкес келмейтіні анық.
Анықтама 5. Екі сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады эквивалент, егер бір жүйенің әрбір шешімі екінші жүйенің шешімі ретінде қызмет етсе және керісінше, екінші жүйенің әрбір шешімі біріншісінің шешімі болады.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицалық көрінісі.
(I) жүйесін қарастырайық (§1 қараңыз).
белгілейік:
Белгісіздер үшін коэффициент матрицасы
Матрица – бос терминдер бағаны
Матрица – белгісіздер бағаны
.
Анықтама 1.матрица деп аталады жүйенің негізгі матрицасы(I), ал матрица жүйенің кеңейтілген матрицасы (I).
Матрицалардың теңдігінің анықтамасы бойынша (I) жүйесі матрицалық теңдікке сәйкес келеді:
.
Матрицалардың көбейтіндісінің анықтамасы бойынша осы теңдіктің оң жағы ( 3 § 5 анықтамасын 1 тарауды қараңыз) көбейткіштерге жіктеуге болады:
, яғни.
Теңдік (2) шақырды Жүйенің матрицалық белгісі (I).
Крамер әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
(I) жүйесіне кіру (§1 қараңыз) m=n, яғни. теңдеулер саны белгісіздер санына тең, ал жүйенің негізгі матрицасы сингулярлы емес, яғни. . Сонда §1 жүйесіндегі (I) бірегей шешім бар
қайда Δ = дет Анегізгі деп аталады жүйенің анықтаушысы(I), Δ менауыстыру арқылы Δ анықтауыштан алынады менбағанынан жүйенің бос мүшелерінің бағанына (I).
Мысал: Крамер әдісі арқылы жүйені шешіңіз:
.
Формулалар бойынша (3)
.
Жүйенің детерминанттарын есептейміз:
,
,
.
Анықтауышты алу үшін анықтауыштағы бірінші бағанды бос мүшелер бағанымен ауыстырдық; анықтауыштағы 2-бағанды бос терминдер бағанымен ауыстырсақ, аламыз; сол сияқты анықтауыштағы 3-ші бағанды бос терминдер бағанымен ауыстырсақ, біз аламыз. Жүйелік шешім:
Кері матрица арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
(I) жүйесін енгізу (§1 қараңыз) m=nал жүйенің негізгі матрицасы сингулярлы емес. (I) жүйесін матрицалық түрде жазайық ( §2 қараңыз):
өйткені матрица Асингулярлы емес, онда оның кері матрицасы болады ( 1 тараудың 1 §6 теоремасын қараңыз). Теңдіктің екі жағын да көбейтейік (2) матрицаға, содан кейін
Кері матрицаның анықтамасы бойынша. Теңдіктен (3) бізде бар
Кері матрицаны пайдаланып жүйені шешіңіз
.
белгілейік
Мысалда (§ 3) анықтауыш, демек, матрицаны есептедік Акері матрицасы бар. Содан кейін күшіне енеді (4) , яғни.
. (5)
матрицаны табайық ( §6 1 тарауды қараңыз)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Гаусс әдісі.
Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:
. (Мен)
(I) жүйенің барлық шешімдерін табу немесе жүйенің сәйкес келмейтініне көз жеткізу қажет.
Анықтама 1.Оны жүйенің элементар түрлендіруі деп атаймыз(I) үш әрекеттің кез келгені:
1) нөлдік теңдеуді сызып тастау;
2) теңдеудің екі жағына l санына көбейтілген басқа теңдеудің сәйкес бөліктерін қосу;
3) барлық теңдеулерде сандары бірдей белгісіздер бірдей орындарды алатындай жүйе теңдеулеріндегі мүшелерді ауыстыру, яғни. егер, мысалы, 1-ші теңдеуде 2-ші және 3-ші мүшелерін өзгертсек, жүйенің барлық теңдеуінде де солай істеу керек.
Гаусс әдісі элементар түрлендірулер көмегімен (I) жүйесін шешуі тікелей табылған немесе оның шешілмейтіндігі анықталған эквивалентті жүйеге келтіруден тұрады.
§2-де сипатталғандай, жүйе (I) оның кеңейтілген матрицасы арқылы бірегей түрде анықталады және (I) жүйенің кез келген элементар түрлендіруі кеңейтілген матрицаның элементар түрлендіруіне сәйкес келеді:
.
1) түрлендіру матрицадағы нөлдік жолды жоюға сәйкес келеді, түрлендіру 2) матрицаның сәйкес жолына l санына көбейтілген басқа жолды қосуға, түрлендіру 3) матрицадағы бағандарды қайта реттеуге тең.
Керісінше, матрицаның әрбір элементар түрлендіруі жүйенің (I) элементар түрлендіруіне сәйкес келетінін байқау қиын емес. Жоғарыда айтылғандарға байланысты (I) жүйемен операциялардың орнына осы жүйенің кеңейтілген матрицасымен жұмыс істейміз.
Матрицада 1-баған үшін коэффициенттер тұрады x 1, 2-баған - үшін коэффициенттерден x 2т.б. Егер бағандар қайта реттелсе, бұл шарттың бұзылғанын ескеру керек. Мысалы, егер 1-ші және 2-ші бағандарды ауыстырсақ, енді 1-ші баған үшін коэффициенттер болады. x 2, ал 2-бағанда - үшін коэффициенттер x 1.
(I) жүйесін Гаусс әдісі арқылы шешеміз.
1. Егер бар болса, матрицадағы барлық нөлдік жолдарды сызып тастаңыз (яғни, (I) жүйедегі барлық нөлдік теңдеулерді сызып тастаңыз).
2. Матрица жолдарының ішінде соңғысынан басқа барлық элементтері нөлге тең болатын жолдың бар-жоғын тексерейік (мұндай жолды сәйкес емес деп атаймыз). Әлбетте, мұндай сызық (I) жүйесіндегі сәйкес емес теңдеуге сәйкес келеді, сондықтан (I) жүйенің шешімі жоқ және процесс осы жерде аяқталады.
3. Матрицада сәйкес емес жолдар болмасын ((I) жүйеде сәйкес келмейтін теңдеулер жоқ). Егер a 11 =0, содан кейін 1-ші қатарда нөлден басқа кейбір элементті (соңғысын қоспағанда) табамыз және бағандарды 1-ші қатарда 1-ші орында нөл болмайтындай етіп қайта реттейміз. Енді біз (яғни, (I) жүйенің теңдеулеріндегі сәйкес мүшелерді ауыстырамыз) деп есептейміз.
4. 1-ші жолды көбейтіп, нәтижені 2-ші жолға қосыңыз, содан кейін 1-ші жолды көбейтіңіз және нәтижені 3-ші жолға қосыңыз, т.б. Бұл процесс белгісізді жоюмен бірдей екені анық x 1 1-шіден басқа (I) жүйенің барлық теңдеулерінен. Жаңа матрицада элемент астындағы 1-бағандағы нөлдерді аламыз а 11:
.
5. Матрицадағы барлық нөлдік жолдарды, егер бар болса, сызып тастаймыз және сәйкес келмейтін жолдың бар-жоғын тексерейік (егер бар болса, онда жүйе сәйкес емес және шешім сонда аяқталады). Бар-жоғын тексерейік a 22 / =0, иә болса, онда 2-ші қатардан нөлден басқа элементті тауып, бағандарды болатындай етіп қайта реттейміз. Әрі қарай, 2-ші қатардың элементтерін көбейтіңіз 
және 3-ші жолдың сәйкес элементтерімен қосыңыз, содан кейін - 2-ші жолдың элементтерімен және 4-ші жолдың сәйкес элементтерімен қосыңыз және т.б., астында нөлдер алынғанша. а 22/
.
Жасалған әрекеттер белгісізді жоюмен тең x 2 1-ші және 2-шіден басқа (I) жүйесінің барлық теңдеулерінен. Жолдар саны ақырлы болғандықтан, қадамдардың ақырлы санынан кейін жүйенің сәйкес келмейтінін немесе біз қадамдық матрицаны аламыз ( 2 §7 анықтамасын 1 тарауды қараңыз) :
,
Матрицаға сәйкес теңдеулер жүйесін жазайық . Бұл жүйе (I) жүйесіне тең
.
Соңғы теңдеуден өрнектейміз; алынғанша алдыңғы теңдеуге ауыстырыңыз, табыңыз, т.б.
Ескерту 1.Осылайша, (I) жүйені Гаусс әдісімен шешу кезінде біз келесі жағдайлардың біріне келеміз.
1. Жүйе (I) сәйкес емес.
2. (I) жүйенің бірегей шешімі бар, егер матрицадағы жолдар саны белгісіздер санына () тең болса.
3. (I) жүйеде шешімдердің шексіз саны бар, егер матрицадағы жолдар саны белгісіздер санынан () аз болса.
Демек, келесі теорема орындалады.
Теорема.Сызықтық теңдеулер жүйесі не сәйкессіз, не бірегей шешімі бар, не шешімдерінің шексіз саны бар.
Мысалдар. Гаусс әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешіңіз немесе оның сәйкессіздігін дәлелдеңіз:
б) 
;
а) Берілген жүйені келесі түрде қайта жазайық:
.
Біз есептеулерді жеңілдету үшін бастапқы жүйенің 1-ші және 2-ші теңдеулерін ауыстырдық (бөлшектердің орнына біз бұл қайта реттеуді пайдаланып тек бүтін сандармен жұмыс істейміз).
Кеңейтілген матрицаны құрайық:
.
Нөлдік жолдар жоқ; үйлесімсіз сызықтар жоқ, ; Жүйенің 1-ден басқа барлық теңдеулерінен 1-ші белгісізді алып тастайық. Ол үшін матрицаның 1-ші жолының элементтерін «-2»-ге көбейтіп, оларды 2-ші қатардың сәйкес элементтерімен қосыңыз, бұл 1-ші теңдеуді «-2»-ге көбейтіп, оны 2-ге қосуға тең. теңдеу. Содан кейін біз 1-ші жолдың элементтерін «-3»-ке көбейтеміз және оларды үшінші жолдың сәйкес элементтерімен қосамыз, яғни. берілген жүйенің 2-ші теңдеуін «-3»-ке көбейтіп, 3-ші теңдеуге қосыңыз. аламыз
.
матрица теңдеулер жүйесіне сәйкес келеді). - (1-тараудың 3§7 анықтамасын қараңыз).
Бірінші бөлімде біз кейбір теориялық материалдарды, алмастыру әдісін, сондай-ақ жүйе теңдеулерін мүше бойынша қосу әдісін қарастырдық. Осы парақша арқылы сайтқа кіргендердің барлығына бірінші бөлімді оқуға кеңес беремін. Мүмкін, кейбір келушілер материалды тым қарапайым деп санайтын шығар, бірақ сызықтық теңдеулер жүйесін шешу барысында мен жалпы математикалық есептерді шешуге қатысты бірқатар өте маңызды пікірлер мен қорытындылар жасадым.
Енді біз Крамер ережесін талдаймыз, сонымен қатар кері матрицаның көмегімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешеміз (матрицалық әдіс). Барлық материалдар қарапайым, егжей-тегжейлі және түсінікті түрде ұсынылған.
Біріншіден, екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесі үшін Крамер ережесін егжей-тегжейлі қарастырамыз. Не үшін? – Ең қарапайым жүйені мектеп әдісімен, тоқсан сайын толықтыру әдісімен шешуге болады ғой!
Шындығында, кейде, бірақ кейде осындай тапсырма бар - екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер формулалары арқылы шешу. Екіншіден, қарапайым мысал сізге Крамер ережесін неғұрлым күрделі жағдайда – үш белгісіз үш теңдеулер жүйесінде қалай пайдалану керектігін түсінуге көмектеседі.
Сонымен қатар, екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі бар, оларды Крамер ережесі арқылы шешуге кеңес беріледі!
Теңдеулер жүйесін қарастырайық
Бірінші қадамда анықтауышты есептейміз, ол аталады жүйенің негізгі анықтаушысы.
Гаусс әдісі.
Егер болса, онда жүйенің бірегей шешімі бар және түбірлерді табу үшін тағы екі анықтауышты есептеу керек:
Және
Тәжірибеде жоғарыда аталған жіктеуіштерді латын әрпімен де белгілеуге болады.
Формулалар арқылы теңдеудің түбірін табамыз:
,
7-мысал
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу 
Шешім: Теңдеудің коэффициенттері айтарлықтай үлкен екенін көреміз, оң жағында үтір қойылған ондық бөлшектер бар; Үтір математикадағы практикалық тапсырмаларда өте сирек кездесетін қонақ болып табылады. Мен бұл жүйені эконометриялық есептен алдым;
Мұндай жүйені қалай шешуге болады? Сіз бір айнымалы мәнді екіншісімен өрнектеуге тырысуға болады, бірақ бұл жағдайда сіз жұмыс істеуге өте ыңғайсыз қорқынышты сәнді фракциялармен аяқталуы мүмкін және шешімнің дизайны жай ғана қорқынышты көрінеді. Екінші теңдеуді 6-ға көбейтіп, мүшесін азайта аласыз, бірақ бұл жерде де бірдей бөлшектер пайда болады.
Не істеу керек? Мұндай жағдайларда Крамердің формулалары көмекке келеді.
;
;
Жауап: ,
Екі түбірде де шексіз құйрықтар бар және шамамен табылған, бұл эконометрика есептері үшін өте қолайлы (тіпті қарапайым).
Мұнда түсініктемелер қажет емес, өйткені тапсырма дайын формулалар арқылы шешіледі, бірақ бір ескерту бар. Бұл әдісті қолданғанда, міндеттіТапсырма дизайнының фрагменті келесі фрагмент болып табылады: «Бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді». Әйтпесе, рецензент сізді Крамер теоремасын құрметтемегеніңіз үшін жазалауы мүмкін.
Калькуляторда ыңғайлы түрде жүзеге асырылатын тексеру артық болмайды: біз жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағында шамамен мәндерді ауыстырамыз. Нәтижесінде, кішкене қателікпен сіз оң жағында орналасқан сандарды алуыңыз керек.
8-мысал
Жауабын жай бұрыс бөлшектермен көрсетіңіз. Тексеріңіз.
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (қорытынды дизайн үлгісі және сабақ соңында жауап).
Үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесі үшін Крамер ережесін қарастыруға көшейік: 
Жүйенің негізгі детерминантын табамыз: 
Егер болса, онда жүйенің шексіз көп шешімдері бар немесе сәйкес емес (шешімдері жоқ). Бұл жағдайда Крамер ережесі көмектеспейді, сізге Гаусс әдісін қолдану керек;
Егер болса, онда жүйенің бірегей шешімі бар және түбірлерді табу үшін тағы үш анықтауышты есептеу керек: 
, 
, 
Соңында жауап формулалар арқылы есептеледі: 
Көріп отырғаныңыздай, «үштен үшке» жағдай «екіден екі» жағдайдан түбегейлі айырмашылығы жоқ, бос терминдер бағанасы негізгі анықтауыштың бағандары бойынша солдан оңға қарай рет-ретімен «жүреді».
9-мысал
Крамер формулалары арқылы жүйені шешіңіз. 
Шешім: Крамер формулалары арқылы жүйені шешейік. 
, бұл жүйеде бірегей шешім бар дегенді білдіреді.
Жауап: 
.
Шындығында, бұл жерде тағы да түсініктеме беру үшін ерекше ештеңе жоқ, себебі шешім дайын формулаларға сәйкес келеді. Бірақ бір-екі түсініктеме бар.
Есептеулер нәтижесінде «жаман» азайтылмайтын фракциялар алынады, мысалы: .
Мен келесі «емдеу» алгоритмін ұсынамын. Қолыңызда компьютер болмаса, мына әрекетті орындаңыз:
1) Есептеулерде қате болуы мүмкін. Сіз «жаман» бөлшекке тап болған кезде дереу тексеруіңіз керек Шарт дұрыс жазылған ба?. Егер шарт қатесіз қайта жазылса, онда басқа жолдағы (бағандағы) кеңейтуді пайдаланып анықтауыштарды қайта есептеу керек.
2) Тексеру нәтижесінде қателер анықталмаса, тапсырма шарттарында қате болуы мүмкін. Бұл жағдайда тапсырманы ақырына дейін байсалды және мұқият жұмыс істеңіз, содан кейін тексеруді ұмытпаңызжәне біз шешімнен кейін оны таза параққа саламыз. Әрине, бөлшек жауабын тексеру – жағымсыз тапсырма, бірақ бұл сияқты кез келген ақымақтық үшін минус беруді ұнататын мұғалім үшін бұл қарусыздандыратын аргумент болады. Бөлшектерді қалай өңдеу керектігі 8-мысалдың жауабында егжей-тегжейлі сипатталған.
Егер сіздің қолыңызда компьютер болса, онда тексеру үшін автоматтандырылған бағдарламаны пайдаланыңыз, оны сабақтың басында тегін жүктеп алуға болады. Айтпақшы, бағдарламаны бірден пайдалану ең тиімді (тіпті шешімді бастамас бұрын сіз қателескен аралық қадамды бірден көресіз); Сол калькулятор жүйенің шешімін матрицалық әдіс арқылы автоматты түрде есептейді.
Екінші ескерту. Уақыт өте келе теңдеулерде кейбір айнымалылары жоқ жүйелер болады, мысалы: 
Мұнда бірінші теңдеуде айнымалы жоқ , екіншісінде айнымалы жоқ . Мұндай жағдайларда негізгі анықтауышты дұрыс және мұқият жазу өте маңызды: 
– жетіспейтін айнымалылардың орнына нөлдер қойылады.
Айтпақшы, нөл орналасқан жолға (бағанға) сәйкес нөлдері бар анықтауыштарды ашу ұтымды, өйткені есептеулер айтарлықтай аз.
10-мысал
Крамер формулалары арқылы жүйені шешіңіз. 
Бұл тәуелсіз шешімнің үлгісі (қорытынды дизайн үлгісі және сабақтың соңындағы жауап).
4 белгісізі бар 4 теңдеулер жүйесі үшін Крамер формулалары ұқсас принциптерге сәйкес жазылады. Тікелей мысалды Анықтауыштардың қасиеттері сабағында көруге болады. Анықтауыштың ретін қысқарту – бес 4-ші ретті анықтауыш әбден шешілетін. Тапсырма қазірдің өзінде бақытты студенттің кеудесіндегі профессордың аяқ киімін еске түсіреді.
Кері матрицаны пайдаланып жүйені шешу
Кері матрицалық әдіс мәні бойынша ерекше жағдай болып табылады матрицалық теңдеу(көрсетілген сабақтың №3 мысалын қараңыз).
Бұл бөлімді оқу үшін анықтауыштарды кеңейту, матрицаның кері мәнін табу және матрицаны көбейтуді орындау керек. Түсініктемелердің орындалу барысы бойынша тиісті сілтемелер беріледі.
11-мысал
Жүйені матрицалық әдіс арқылы шешіңіз 
Шешім: Жүйені матрицалық түрде жазайық:
, Қайда 
Теңдеулер мен матрицалар жүйесін қарастырыңыз. Матрицаларға элементтерді жазу принципін бәрі түсінеді деп ойлаймын. Жалғыз түсініктеме: егер теңдеулерде кейбір айнымалылар жоқ болса, онда нөлдерді матрицаның сәйкес орындарына қою керек еді.
Кері матрицаны мына формула арқылы табамыз:
, мұндағы – матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының ауыстырылған матрицасы.
Алдымен анықтауышты қарастырайық:
Мұнда анықтауыш бірінші жолға кеңейтіледі.
Назар аударыңыз! Егер болса, онда кері матрица жоқ және жүйені матрицалық әдіспен шешу мүмкін емес. Бұл жағдайда жүйе белгісіздерді жою әдісімен шешіледі (Гаусс әдісі).
Енді 9 кәмелетке толмағандарды есептеп, оларды кәмелетке толмағандар матрицасына жазу керек 
Анықтама:Сызықтық алгебрадағы қос таңбалардың мағынасын білу пайдалы. Бірінші сан - элемент орналасқан жолдың нөмірі. Екінші сан - элемент орналасқан бағанның нөмірі: 
Яғни, қос таңба элемент бірінші жолда, үшінші бағанда және, мысалы, элемент 3 жолда, 2 бағанда екенін көрсетеді.