Логарифмдермен ең қарапайым теңсіздіктер. Қарапайым логарифмдік теңсіздіктерді шешу

Сабақтың мақсаттары:

Дидактикалық:

• 1-деңгей – логарифмнің анықтамасын және логарифмдердің қасиеттерін пайдалана отырып, қарапайым логарифмдік теңсіздіктерді шешу жолдарын үйрету;
• 2-деңгей – логарифмдік теңсіздіктерді шешу, өзіндік шешу әдісін таңдау;
• 3 деңгей – стандартты емес жағдайларда білім мен дағдыларды қолдана білу.

Тәрбиелік:есте сақтау, зейін, логикалық ойлау, салыстыру қабілеттерін дамыту, жалпылау және қорытынды жасай білу

Тәрбиелік:ұқыптылыққа, орындалатын тапсырмаға жауапкершілікке, өзара көмекке тәрбиелеу.

Оқыту әдістері: ауызша , көрнекі , практикалық , ішінара іздеу , өзін-өзі басқару , бақылау.

Оқушылардың танымдық іс-әрекетін ұйымдастыру формалары: фронтальды , жеке , жұппен жұмыс.

Жабдық: тест тапсырмаларының жинағы, анықтамалық жазбалар, шешімдерге арналған бос парақтар.

Сабақтың түрі:жаңа материалды меңгерту.

Сабақтың барысы

1. Ұйымдастыру кезеңі.Сабақтың тақырыбы мен мақсаттары, сабақ жоспары жарияланады: әр оқушыға бағалау парағы беріледі, оны оқушы сабақ барысында толтырады; студенттердің әрбір жұбына – тапсырмалары бар баспа материалдары жұппен орындалуы керек; бос ерітінді парақтары; тірек парақтары: логарифмнің анықтамасы; логарифмдік функцияның графигі, оның қасиеттері; логарифмдердің қасиеттері; логарифмдік теңсіздіктерді шешу алгоритмі.

Өзін-өзі бағалаудан кейінгі барлық шешімдер мұғалімге беріледі.

Оқушылардың бағалау парағы

2. Білімді жаңарту.

Мұғалімнің нұсқауы. Логарифмнің анықтамасын, логарифмдік функцияның графигін және оның қасиеттерін еске түсіріңіз. Ол үшін Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин және т.б. редакциялаған «Алгебра және анализдің бастаулары 10–11» оқулығының 88–90, 98–101 беттеріндегі мәтінді оқыңыз.

Оқушыларға парақтар беріледі, онда мыналар жазылады: логарифмнің анықтамасы; логарифмдік функцияның графигін және оның қасиеттерін көрсетеді; логарифмдердің қасиеттері; логарифмдік теңсіздіктерді шешу алгоритмі, квадраттық теңсіздікке келтіретін логарифмдік теңсіздікті шешудің мысалы.

3. Жаңа материалды оқу.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу логарифмдік функцияның монотондылығына негізделген.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу алгоритмі:

А) Теңсіздіктің анықталу облысын табыңыз (сублогарифмдік өрнек нөлден үлкен).
B) Бір негізге теңсіздіктің сол және оң жақтарын логарифмдер түрінде көрсетіңіз (мүмкіндігінше).
C) Логарифмдік функцияның өсу немесе кему екенін анықтаңыз: егер t>1 болса, онда өседі; егер 0 1, содан кейін азаяды.
D) Функция өссе теңсіздіктің таңбасы өзгеріссіз қалатынын, ал азайса өзгеретінін ескере отырып, қарапайым теңсіздікке (сублогарифмдік өрнектерге) өту.

Оқыту элементі №1.

Мақсаты: ең қарапайым логарифмдік теңсіздіктердің шешімін бекіту

Оқушылардың танымдық іс-әрекетін ұйымдастыру формасы: жеке жұмыс.

10 минуттық өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар. Әрбір теңсіздікке бірнеше ықтимал жауаптар бар, сіз дұрысын таңдап, оны кілт арқылы тексеруіңіз керек.

Кілт: 13321, ең көп ұпай саны – 6 ұпай.

Оқыту элементі №2.

Мақсаты: логарифмдердің қасиеттерін пайдаланып логарифмдік теңсіздіктерді шешуді бекіту.

Мұғалімнің нұсқауы. Логарифмдердің негізгі қасиеттерін есте сақтаңыз. Ол үшін оқулықтың 92, 103–104 беттеріндегі мәтінді оқыңыз.

10 минуттық өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар.

ТҮЙІН: 2113, ең көп ұпай саны – 8 ұпай.

№3 оқу элементі.

Мақсаты: логарифмдік теңсіздіктерді квадратқа келтіру әдісімен шешуді үйрену.

Мұғалімнің нұсқауы: теңсіздікті квадратқа келтіру әдісі – белгілі бір логарифмдік функция жаңа айнымалымен белгіленетіндей етіп теңсіздікті түрлендіру, сол арқылы осы айнымалыға қатысты квадраттық теңсіздікті алу.

Интервал әдісін қолданайық.

Сіз материалды меңгерудің бірінші деңгейінен өттіңіз. Енді барлық білімдеріңіз бен мүмкіндіктеріңізді пайдалана отырып, логарифмдік теңдеулерді шешу әдісін өз бетіңізше таңдауға тура келеді.

Оқыту элементі №4.

Мақсаты: рационал шешу әдісін өз бетінше таңдау арқылы логарифмдік теңсіздіктердің шешімін бекіту.

10 минуттық өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

Оқыту элементі №5.

Мұғалімнің нұсқауы. Жарайсың! Сіз күрделіліктің екінші деңгейіндегі теңдеулерді шешуді меңгердіңіз. Сіздің әрі қарайғы жұмысыңыздың мақсаты – біліміңіз бен дағдыларыңызды күрделі және стандартты емес жағдайларда қолдану.

Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:

Мұғалімнің нұсқауы. Егер сіз бүкіл тапсырманы орындасаңыз өте жақсы. Жарайсың!

Бүкіл сабақтың бағасы барлық білім беру элементтері бойынша жиналған ұпай санына байланысты:

• егер N ≥ 20 болса, онда сіз «5» бағасын аласыз,
• 16 ≤ N ≤ 19 үшін – «4»,
• 8 ≤ N ≤ 15 үшін – «3»,
• бойынша Н< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Бағалау парақтарын мұғалімге тапсыру.

5. Үйге тапсырма: егер сіз 15 ұпайдан көп жинасаңыз, қателеріңізбен жұмыс жасаңыз (шешімдерін мұғалімнен алуға болады), 15 ұпайдан жоғары жинасаңыз, «Логарифмдік теңсіздіктер» тақырыбы бойынша шығармашылық тапсырманы орындаңыз.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дейін әлі уақыт бар және дайындалуға уақыт бар деп ойлайсыз ба? Мүмкін бұл солай шығар. Бірақ кез келген жағдайда студент дайындықты неғұрлым ерте бастаса, соғұрлым ол емтихандарды сәтті тапсырады. Бүгін біз мақаланы логарифмдік теңсіздіктерге арнауды шештік. Бұл қосымша несие алу мүмкіндігін білдіретін міндеттердің бірі.

Сіз логарифмнің не екенін білесіз бе? Біз шынымен солай деп үміттенеміз. Бірақ бұл сұраққа жауабыңыз болмаса да, бұл проблема емес. Логарифмнің не екенін түсіну өте қарапайым.

Неліктен 4? 81 алу үшін 3 санын осы дәрежеге дейін көтеру керек. Принципті түсінгеннен кейін күрделірек есептеулерге көшуге болады.

Сіз бірнеше жыл бұрын теңсіздікті бастан өткердіңіз. Содан бері сіз оларды математикада үнемі кездестірдіңіз. Теңсіздіктерді шешуде қиындықтар туындаса, сәйкес бөлімді тексеріңіз.
Енді біз ұғымдармен жеке танысқаннан кейін оларды жалпы қарастыруға көшейік.

Ең қарапайым логарифмдік теңсіздік.

Ең қарапайым логарифмдік теңсіздіктер осы мысалмен шектелмейді, тек таңбалары әртүрлі; Бұл не үшін қажет? Теңсіздіктерді логарифмдермен шешу жолдарын жақсырақ түсіну. Енді күрделі логарифмдік теңсіздіктерді кейінірек қалдырамыз.

Мұны қалай шешуге болады? Барлығы ODZ-тен басталады. Кез келген теңсіздікті әрқашан оңай шешкіңіз келсе, бұл туралы көбірек білу керек.

ODZ дегеніміз не? Логарифмдік теңсіздіктер үшін ODZ

Аббревиатура қолайлы мәндер ауқымын білдіреді. Бұл тұжырым Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларында жиі кездеседі. ODZ сізге тек логарифмдік теңсіздіктер жағдайында ғана емес пайдалы болады.

Жоғарыдағы мысалды қайта қараңыз. Біз оның негізінде ODZ қарастырамыз, сондықтан сіз принципті түсінуіңіз керек, ал логарифмдік теңсіздіктерді шешу сұрақтар тудырмайды. Логарифмнің анықтамасынан 2х+4 нөлден үлкен болуы керек екендігі шығады. Біздің жағдайда бұл келесіні білдіреді.

Бұл сан, анықтамасы бойынша, оң болуы керек. Жоғарыда келтірілген теңсіздікті шешіңіз. Мұны тіпті ауызша жасауға болады, мұнда Х 2-ден кем болмауы мүмкін. Теңсіздіктің шешімі қолайлы мәндер диапазонының анықтамасы болады.
Енді ең қарапайым логарифмдік теңсіздікті шешуге көшейік.

Біз теңсіздіктің екі жағынан да логарифмдерді алып тастаймыз. Бұл бізге не қалдырады? Қарапайым теңсіздік.

Оны шешу қиын емес. X -0,5-тен үлкен болуы керек. Енді біз алынған екі мәнді жүйеге біріктіреміз. Осылайша,

Бұл қарастырылатын логарифмдік теңсіздік үшін қолайлы мәндер ауқымы болады.

Неліктен бізге ODZ қажет? Бұл дұрыс емес және мүмкін емес жауаптарды жою мүмкіндігі. Егер жауап қолайлы мәндер ауқымында болмаса, онда жауап жай ғана мағынасы жоқ. Мұны ұзақ уақыт есте сақтау керек, өйткені Бірыңғай мемлекеттік емтиханда жиі ODZ іздеу қажеттілігі туындайды және бұл тек логарифмдік теңсіздіктерге қатысты емес.

Логарифмдік теңсіздікті шешу алгоритмі

Шешім бірнеше кезеңнен тұрады. Біріншіден, қолайлы мәндер ауқымын табу керек. ODZ-де екі мағына болады, біз бұл туралы жоғарыда талқыладық. Әрі қарай, теңсіздіктің өзін шешу керек. Шешу әдістері келесідей:

• көбейткіштерді ауыстыру әдісі;
• ыдырау;
• рационализация әдісі.

Жағдайға байланысты жоғарыда аталған әдістердің бірін қолданған жөн. Шешімге тікелей көшейік. Барлық дерлік жағдайларда Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларын шешуге қолайлы ең танымал әдісті ашайық. Әрі қарай ыдырау әдісін қарастырамыз. Бұл әсіресе күрделі теңсіздікке тап болсаңыз көмектесе алады. Сонымен, логарифмдік теңсіздікті шешу алгоритмі.

Шешімдердің мысалдары :

Дәл осы теңсіздікті алғанымыз бекер емес! Негізге назар аударыңыз. Есіңізде болсын: егер ол біреуден үлкен болса, қолайлы мәндер диапазонын табу кезінде белгі өзгеріссіз қалады; әйтпесе теңсіздік белгісін өзгерту керек.

Нәтижесінде теңсіздікті аламыз:

Енді сол жағын нөлге тең теңдеудің түріне келтіреміз. «Кіші» белгісінің орнына «тең» мәнін қойып, теңдеуді шешеміз. Осылайша, біз ODZ табамыз. Осындай қарапайым теңдеуді шешуде қиындықтар болмайды деп сенеміз. Жауаптары -4 және -2. Бұл бәрі емес. Бұл нүктелерді «+» және «-» қойып, графикте көрсету керек. Бұл үшін не істеу керек? Өрнекке интервалдардағы сандарды ауыстырыңыз. Мәндер оң болған жерде біз «+» қоямыз.

Жауап: x -4-тен үлкен және -2-ден кіші болуы мүмкін емес.

Біз тек сол жақ үшін қолайлы мәндер ауқымын таптық; Бұл әлдеқайда оңай. Жауабы: -2. Біз екі нәтиже аймағын қиылысамыз.

Енді ғана біз теңсіздіктің өзін шешуге кірісіп жатырмыз.

Оны шешуді жеңілдету үшін оны мүмкіндігінше жеңілдетейік.

Шешімде қайтадан интервал әдісін қолданамыз. Есептеулерді өткізіп жіберейік, мұның бәрі алдыңғы мысалдан түсінікті. Жауап.

Бірақ бұл әдіс логарифмдік теңсіздіктің негіздері бірдей болса қолайлы.

Негіздері әртүрлі логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу бір негізге бастапқы келтіруді қажет етеді. Әрі қарай, жоғарыда сипатталған әдісті қолданыңыз. Бірақ одан да күрделі жағдай бар. Логарифмдік теңсіздіктердің ең күрделі түрлерінің бірін қарастырайық.

Айнымалы негізі бар логарифмдік теңсіздіктер

Осындай сипаттамалары бар теңсіздіктерді қалай шешуге болады? Иә, және мұндай адамдарды Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан табуға болады. Теңсіздіктерді келесі әдіспен шешу сіздің оқу үрдісіңізге де жақсы әсер етеді. Мәселені егжей-тегжейлі қарастырайық. Теориядан бас тартып, тікелей практикаға көшейік. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу үшін мысалмен бір рет танысу жеткілікті.

Ұсынылған түрдің логарифмдік теңсіздігін шешу үшін негізі бірдей логарифмге оң жақ бөлігін азайту керек. Принцип эквивалентті ауысуларға ұқсайды. Нәтижесінде теңсіздік келесідей болады.

Шын мәнінде, логарифмдерсіз теңсіздіктер жүйесін құру ғана қалады. Рационализация әдісін қолдана отырып, теңсіздіктердің эквивалентті жүйесіне көшеміз. Сәйкес мәндерді ауыстырған кезде және олардың өзгерістерін бақылағанда ереженің өзін түсінесіз. Жүйе келесі теңсіздіктерге ие болады.

Теңсіздіктерді шешу кезінде рационализация әдісін қолданғанда мынаны есте сақтау керек: негізден бір алу керек, логарифмнің анықтамасы бойынша х теңсіздіктің екі жағынан (оңнан солдан) шегеріледі, екі өрнек көбейтіледі. және нөлге қатысты бастапқы белгінің астына орнатылады.

Әрі қарай шешім интервал әдісі арқылы жүзеге асырылады, мұнда бәрі қарапайым. Сізге шешу әдістеріндегі айырмашылықтарды түсіну маңызды, сонда бәрі оңай жұмыс істей бастайды.

Логарифмдік теңсіздіктерде көптеген нюанстар бар. Олардың ең қарапайымын шешу өте оңай. Олардың әрқайсысын қиындықсыз қалай шешуге болады? Сіз осы мақаладағы барлық жауаптарды алдыңыз. Енді сізді ұзақ жаттығу күтіп тұр. Емтиханда әртүрлі есептерді шешуге үнемі жаттығып, ең жоғары балл ала аласыз. Сізге қиын тапсырмаңызда сәттілік!

ПАЙДАЛАНУДАҒЫ ЛОГАрифмдік ТЕҢСІЗДІКТЕР

Сечин Михаил Александрович

«Есқател» Қазақстан Республикасы студенттеріне арналған шағын ғылым академиясы

МБОУ «No1 Советская орта мектебі», 11 сынып, қала. Советский Советский ауданы

Гунько Людмила Дмитриевна, «No1 Советская орта мектебі» коммуналдық бюджеттік білім беру мекемесінің мұғалімі

Совет ауданы

Жұмыстың мақсаты:С3 логарифмдік теңсіздіктерді стандартты емес әдістер арқылы шешу механизмін зерттеу, логарифм туралы қызықты фактілерді анықтау.

Зерттеу пәні:

3) С3 меншікті логарифмдік теңсіздіктерді стандартты емес әдістер арқылы шешуді үйрену.

Нәтижелер:

Мазмұны

Кіріспе……………………………………………………………………………….4

1-тарау. Мәселенің шығу тарихы…………………………………………………5

2-тарау. Логарифмдік теңсіздіктер жинағы………………………… 7

2.1. Эквивалентті ауысулар және интервалдардың жалпыланған әдісі…………… 7

2.2. Рационализация әдісі…………………………………………………………… 15

2.3. Стандартты емес алмастыру…………………………………… ............ 22

2.4. Троптармен тапсырмалар ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Қорытынды……………………………………………………………………………… 30

Әдебиет…………………………………………………………………. 31

Кіріспе

Мен 11-сыныпта оқимын және негізгі пәні математика болатын университетке түсуді жоспарлап отырмын. Сондықтан мен C бөлігіндегі есептермен көп жұмыс істеймін. С3 тапсырмасында әдетте логарифмдерге қатысты стандартты емес теңсіздікті немесе теңсіздіктер жүйесін шешуім керек. Емтиханға дайындалу кезінде мен С3-те ұсынылған емтихандық логарифмдік теңсіздіктерді шешудің әдістері мен тәсілдерінің жетіспеушілігі мәселесіне тап болдым. Осы тақырып бойынша мектеп бағдарламасында оқытылатын әдістер С3 тапсырмаларын шешуге негіз бола алмайды. Математика пәнінің мұғалімі маған оның жетекшілігімен С3 тапсырмаларымен өз бетінше жұмыс істеуді ұсынды. Сонымен қатар, мені сұрақ қызықтырды: біз өмірімізде логарифмдерді кездестіреміз бе?

Осыны ескере отырып, тақырып таңдалды:

«Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы логарифмдік теңсіздіктер»

Жұмыстың мақсаты:стандартты емес әдістерді қолдану арқылы С3 есептерін шешу механизмін зерттеу, логарифм туралы қызықты фактілерді анықтау.

Зерттеу пәні:

1) Логарифмдік теңсіздіктерді шешудің стандартты емес әдістері туралы қажетті ақпаратты табыңыз.

2) Логарифмдер туралы қосымша мәліметтерді табыңыз.

3) Стандартты емес әдістерді қолдана отырып, нақты С3 есептерін шешуді үйрену.

Нәтижелер:

Практикалық маңыздылығы C3 есептерін шешуге арналған аппаратты кеңейтуде. Бұл материалды кейбір сабақтарда, үйірмелерде және математикадан факультатив сабақтарында пайдалануға болады.

Жобаның өнімі «С3 логарифмдік теңсіздіктер шешімдері» жинағы болады.

1-тарау. Фон

Бүкіл 16 ғасырда, ең алдымен астрономияда шамамен есептеулер саны тез өсті. Аспаптарды жетілдіру, планеталардың қозғалысын зерттеу және басқа жұмыстар орасан зор, кейде көп жылдар бойы есептеулерді қажет етті. Астрономия орындалмаған есептерге батып кету қаупінде болды. Қиындықтар басқа салаларда пайда болды, мысалы, сақтандыру бизнесінде әртүрлі пайыздық мөлшерлемелер үшін күрделі пайыздық кестелер қажет болды. Негізгі қиындық көп таңбалы сандарды, әсіресе тригонометриялық шамаларды көбейту және бөлу болды.

Логарифмдердің ашылуы 16 ғасырдың аяғында белгілі болған прогрессияның қасиеттеріне негізделген. Архимед q, q2, q3, ... геометриялық прогрессияның мүшелері мен олардың 1, 2, 3,... дәрежелерінің арифметикалық прогрессиясы арасындағы байланыс туралы Забур жырында айтқан. Тағы бір алғы шарт дәреже ұғымын теріс және бөлшек дәрежеге дейін кеңейту болды. Көптеген авторлар геометриялық прогрессиядағы көбейту, бөлу, дәрежеге шығару және түбір алу арифметикада сәйкес келетінін - бірдей ретпен - қосу, алу, көбейту және бөлуді атап көрсетті.

Бұл жерде логарифмнің көрсеткіш ретіндегі идеясы болды.

Логарифм ілімінің даму тарихында бірнеше кезеңдерден өтті.

1-кезең

Логарифмдерді 1594 жылдан кешіктірмей шотланд барон Непьер (1550-1617) және он жылдан кейін швейцариялық механик Бурги (1552-1632) ойлап тапты. Екеуі де бұл мәселеге әртүрлі жолдармен қарағанымен, арифметикалық есептеулердің жаңа, ыңғайлы құралын ұсынғысы келді. Непье логарифмдік функцияны кинематикалық түрде өрнектеп, сол арқылы функция теориясының жаңа саласына енді. Бурги дискретті прогрессияларды қарастыру негізінде қалды. Дегенмен, екеуі үшін де логарифмнің анықтамасы қазіргіге ұқсамайды. «Логарифм» (логарифм) термині Непьеге жатады. Ол грек сөздерінің бірігуінен пайда болды: logos - «қарым-қатынас» және ariqmo - «қатынас саны» дегенді білдіретін «сан». Бастапқыда Непьер басқа терминді қолданды: numeri artificiales - «жасанды сандар», numeri naturalts - «натурал сандар» дегенге қарағанда.

1615 жылы Лондондағы Греш колледжінің математика профессоры Генри Бриггспен (1561-1631) әңгімесінде Непьер нөлді бірдің логарифмі ретінде, ал 100-ді онның логарифмі ретінде қабылдауды ұсынды. нәрсе, жай ғана 1. Ондық логарифмдер және алғашқы логарифмдік кестелер осылайша басып шығарылды. Кейінірек Бриггс кестелерін голландиялық кітап сатушы және математика энтузиастары Адриан Флаккус (1600-1667) толықтырды. Непьер мен Бриггс логарифмдерге бәрінен бұрын келгенімен, кестелерін басқаларына қарағанда кеш жариялады - 1620 ж. Белгілер журналы мен Журналды 1624 жылы И.Кеплер енгізген. «Натурал логарифм» терминін 1659 жылы Менголи енгізіп, одан кейін 1668 жылы Н.Меркатор енгізді, ал лондондық мұғалім Джон Шпейдель «Жаңа логарифмдер» деген атпен 1-ден 1000-ға дейінгі сандардың натурал логарифмдерінің кестелерін жариялады.

Алғашқы логарифмдік кестелер 1703 жылы орыс тілінде жарық көрді. Бірақ барлық логарифмдік кестелерде есептеу қателері болды. Алғашқы қатесіз кестелер 1857 жылы Берлинде неміс математигі К.Бремикер (1804-1877) өңдеген.

2-кезең

Логарифмдер теориясының одан әрі дамуы аналитикалық геометрия мен шексіз аз есептеулерді кеңінен қолданумен байланысты. Бұл кезде теңбүйірлі гиперболаның квадратурасы мен натурал логарифм арасындағы байланыс орнатылды. Бұл кезеңдегі логарифмдер теориясы бірқатар математиктердің есімдерімен байланысты.

Неміс математигі, астрономы және инженері Николаус Меркатор өз эссесінде

«Логарифмотехника» (1668) жылы ln(x+1) кеңеюін беретін қатарды береді.

х дәрежелері:

Бұл өрнек оның ой бағытына дәл сәйкес келеді, дегенмен ол, әрине, d, ... белгілерін пайдаланбады, бірақ одан да ауыр символизм. Логарифмдік қатарлардың ашылуымен логарифмдерді есептеу техникасы өзгерді: олар шексіз қатарлар арқылы анықтала бастады. Ф.Кляйн 1907-1908 жылдары оқыған «Бастауыш математика жоғары көзқараспен» атты лекцияларында логарифмдер теориясын құрудың бастапқы нүктесі ретінде формуланы пайдалануды ұсынды.

3-кезең

Логарифмдік функцияның кері функция ретіндегі анықтамасы

көрсеткіштік, берілген негіздің көрсеткіші ретіндегі логарифм

бірден тұжырымдалған жоқ. Леонхард Эйлердің эссе (1707-1783)

«Шексіз аздықтарды талдауға кіріспе» (1748) одан әрі қызмет етті

логарифмдік функциялар теориясын дамыту. Осылайша,

Логарифмдер алғаш рет енгізілгеннен бері 134 жыл өтті

(1614 жылдан бастап санау), математиктер анықтамаға келгенге дейін

қазіргі кезде мектеп курсының негізі болып табылатын логарифм ұғымы.

Тарау 2. Логарифмдік теңсіздіктер жинағы

2.1. Эквивалентті ауысулар және интервалдардың жалпыланған әдісі.

Эквивалентті ауысулар

, егер a > 1

, егер 0 < а < 1

Жалпыланған интервал әдісі

Бұл әдіс барлық дерлік түрдегі теңсіздіктерді шешу үшін ең әмбебап болып табылады. Шешім диаграммасы келесідей көрінеді:

1. Теңсіздікті сол жағындағы функция болатын пішінге келтіріңіз
, ал оң жақта 0.

2. Функцияның анықталу облысын табыңыз
.

3. Функцияның нөлдерін табыңыз
, яғни теңдеуді шешу
(және теңдеуді шешу әдетте теңсіздікті шешуден оңайырақ).

4. Сан түзуіндегі функцияның анықталу облысы мен нөлдерін сызыңыз.

5. Функцияның белгілерін анықтаңыз
алынған интервалдар бойынша.

6. Функция қажетті мәндерді алатын аралықтарды таңдап, жауапты жазыңыз.

1-мысал.

Шешімі:

Интервал әдісін қолданайық

қайда

Бұл мәндер үшін логарифмдік таңбалар астындағы барлық өрнектер оң болады.

Жауап:

2-мысал.

Шешімі:

1-ші жол . ADL теңсіздікпен анықталады x> 3. Мұндайлар үшін логарифмдерді алу x 10 негізіне, біз аламыз

Соңғы теңсіздікті кеңейту ережелерін қолдану арқылы шешуге болады, яғни. факторларды нөлге дейін салыстыру. Бірақ бұл жағдайда функцияның тұрақты таңбасының интервалдарын анықтау оңай

сондықтан интервал әдісін қолдануға болады.

Функция f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ үзіліссіз x> 3 және нүктелерде жоғалады x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Осылайша функцияның тұрақты таңбасының интервалдарын анықтаймыз f(x):

Жауап:

2-ші әдіс . Интервал әдісінің идеяларын бастапқы теңсіздікке тікелей қолданайық.

Ол үшін өрнектерді еске түсірейік аб- а c және ( а - 1)(б- 1) бір белгісі бар. Сонда біздің теңсіздігіміз x> 3 теңсіздікке тең

немесе

Соңғы теңсіздік интервал әдісі арқылы шешіледі

Жауап:

3-мысал.

Шешімі:

Интервал әдісін қолданайық

Жауап:

4-мысал.

Шешімі:

2 жылдан бастап x 2 - 3x+ 3 > 0 барлығы үшін нақты x, Бұл

Екінші теңсіздікті шешу үшін интервал әдісін қолданамыз

Бірінші теңсіздікте ауыстыруды жасаймыз

онда 2y 2 теңсіздігіне келеміз. ж - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ж, -0,5 теңсіздігін қанағаттандыратын< ж < 1.

Қайдан, өйткені

теңсіздікті аламыз

қашан жүзеге асырылады x, ол үшін 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Енді жүйенің екінші теңсіздігінің шешімін ескере отырып, біз ақырында аламыз

Жауап:

5-мысал.

Шешімі:

Теңсіздік жүйелер жиынтығына тең

немесе

интервал әдісін қолданайық немесе

Жауап:

6-мысал.

Шешімі:

Теңсіздік жүйеге тең

Болсын

Содан кейін ж > 0,

және бірінші теңсіздік

жүйе формасын алады

немесе, ашылу

Квадрат үшмүшелі көбейткіштер,

Соңғы теңсіздікке интервал әдісін қолдану,

оның шешімдері шартты қанағаттандыратынын көреміз ж> 0 барлығы болады ж > 4.

Осылайша, бастапқы теңсіздік жүйеге эквивалентті:

Сонымен, теңсіздіктің барлық шешімдері

2.2. Рационализация әдісі.

Бұрын теңсіздік рационализация әдісімен шешілмейтін; Бұл «көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді шешудің жаңа заманауи тиімді әдісі» (С.И. Колесникованың кітабынан үзінді)
Мұғалім оны білсе де, қорқыныш болды - Бірыңғай мемлекеттік емтихан сарапшысы оны біледі және неге оны мектепте бермейді? Мұғалім оқушыға: «Отыр - 2» деген жағдайлар болды.
Қазір бұл әдіс барлық жерде насихатталып жатыр. Ал сарапшылар үшін осы әдіспен байланысты нұсқаулар бар және C3 шешіміндегі «Стандартты опциялардың ең толық басылымдарында...» бұл әдіс қолданылады.
КЕРЕМЕТ ӘДІС!

«Сиқырлы үстел»

Басқа көздерде

Егер a >1 және b >1, содан кейін log a b >0 және (a -1)(b -1)>0;

Егер a >1 және 0

егер 0<а<1 и b >1, содан кейін a b журналын енгізіңіз<0 и (a -1)(b -1)<0;

егер 0<а<1 и 00 және (a -1)(b -1)>0.

Орындалған пайымдау қарапайым, бірақ логарифмдік теңсіздіктерді шешуді айтарлықтай жеңілдетеді.

4-мысал.

log x (x 2 -3)<0

Шешімі:

5-мысал.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Шешімі:

Жауап. (0; 0,5)U.

6-мысал.

Бұл теңсіздікті шешу үшін бөлгіштің орнына (х-1-1)(х-1), ал алымның орнына (х-1)(х-3-9 + х) көбейтіндісін жазамыз.

Жауап : (3;6)

7-мысал.

8-мысал.

2.3. Стандартты емес ауыстыру.

1-мысал.

2-мысал.

3-мысал.

4-мысал.

5-мысал.

6-мысал.

7-мысал.

журнал 4 (3 x -1)log 0,25

y=3 x -1 ауыстыруды жасайық; онда бұл теңсіздік пішінді алады

Журнал 4 журнал 0,25
.

Өйткені журнал 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , онда соңғы теңсіздікті 2log 4 y -log 4 2 y ≤ деп қайта жазамыз.

t =log 4 y ауыстыруды жасап, t 2 -2t +≥0 теңсіздігін алайық, оның шешімі - интервалдары - .

Осылайша, y мәндерін табу үшін бізде екі қарапайым теңсіздіктер жиыны болады
Бұл жиынның шешімі 0 интервалдары болып табылады<у≤2 и 8≤у<+.

Демек, бастапқы теңсіздік екі көрсеткіштік теңсіздіктер жиынына тең,
яғни агрегаттар

Бұл жиынның бірінші теңсіздігінің шешімі 0 интервалы болып табылады<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Осылайша, бастапқы теңсіздік 0 аралықтарынан х-тің барлық мәндері үшін орындалады<х≤1 и 2≤х<+.

8-мысал.

Шешімі:

Теңсіздік жүйеге тең

ODZ анықтайтын екінші теңсіздіктің шешімі солардың жиыны болады x,

ол үшін x > 0.

Бірінші теңсіздікті шешу үшін ауыстыруды жасаймыз

Сонда теңсіздікті аламыз

немесе

Соңғы теңсіздіктің шешімдер жиыны әдіс арқылы табылады

интервалдар: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, аламыз

немесе

Солардың көбі x, ол соңғы теңсіздікті қанағаттандырады

ОДЗ тиесілі ( x> 0), сондықтан жүйенің шешімі,

демек, бастапқы теңсіздік.

Жауап:

2.4. Тұзақтар бар тапсырмалар.

1-мысал.

.

Шешім.Теңсіздіктің ODZ 0 шартын қанағаттандыратын барлық x болып табылады . Сондықтан барлық х 0 интервалынан

2-мысал.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Мәселе мынада, екінші сан одан көп екені анық

Қорытынды

Әртүрлі білім беру көздерінің молынан C3 есептерін шешудің нақты әдістерін табу оңай болмады. Орындалған жұмыс барысында күрделі логарифмдік теңсіздіктерді шешудің стандартты емес әдістерін зерттей алдым. Олар: эквивалентті ауысулар және интервалдардың жалпыланған әдісі, рационализация әдісі , стандартты емес ауыстыру , ОДЗ-дағы тұзақтармен тапсырмалар. Бұл әдістер мектеп бағдарламасында жоқ.

Әртүрлі әдістерді қолдана отырып, мен С бөлігіндегі Бірыңғай мемлекеттік емтиханда ұсынылған 27 теңсіздікті шештім, атап айтқанда C3. Бұл әдістемелер бойынша шешімдермен теңсіздіктер менің қызметімнің жобалық өнімі болған «С3 шешімдері бар логарифмдік теңсіздіктер» жинағының негізі болды. Жобаның басында айтқан гипотеза расталды: С3 есептерін осы әдістерді білсеңіз тиімді шешуге болады.

Сонымен қатар, мен логарифмдер туралы қызықты деректер таптым. Мен үшін мұны істеу қызықты болды. Менің жобалық өнімдерім студенттерге де, мұғалімдерге де пайдалы болады.

Қорытындылар:

Осылайша жобаның мақсаты орындалып, мәселе шешілді. Мен жұмыстың барлық кезеңдерінде жобалық қызметтің ең толық және әртүрлі тәжірибесін алдым. Жобамен жұмыс істеу барысында менің негізгі дамытушылық әсерім психикалық құзыреттілікке, логикалық ақыл-ой операцияларына байланысты іс-әрекеттерге, шығармашылық құзіреттілікті, жеке бастамашылықты, жауапкершілікті, табандылықты, белсенділікті дамыту болды.

үшін ғылыми жобаны құру кезінде табыс кепілі Мен алдым: маңызды мектеп тәжірибесі, әртүрлі көздерден ақпарат алу, оның сенімділігін тексеру және маңыздылығы бойынша саралау.

Математикадан тікелей пәндік біліммен қатар, информатика саласында тәжірибелік дағдыларымды кеңейттім, психология саласында жаңа білім мен тәжірибе алдым, сыныптастарыммен байланыс орнаттым, үлкендермен ынтымақтасуды үйрендім. Жобалық іс-шаралар барысында ұйымдастырушылық, интеллектуалдық және коммуникативті жалпы білім беру дағдылары қалыптасты.

Әдебиет

1. Корьянов А.Г., Прокофьев А.А. Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйелері (С3 стандартты тапсырмалар).

2. Малкова А.Г. Математикадан бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық.

3. Самарова С.С. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу.

4. Математика. Оқу жұмыстарының жинағы А.Л. Семенов пен И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 б.-

Логарифмдік теңсіздіктер

Өткен сабақтарда біз логарифмдік теңдеулермен таныстық, енді олардың не екенін және оларды шешу жолдарын білеміз. Бүгінгі сабағымыз логарифмдік теңсіздіктерді зерттеуге арналады. Бұл теңсіздіктер дегеніміз не және логарифмдік теңдеу мен теңсіздікті шешудің айырмашылығы неде?

Логарифмдік теңсіздіктер – логарифм таңбасының астында немесе оның негізінде айнымалысы болатын теңсіздіктер.

Немесе логарифмдік теңсіздік деп оның белгісіз мәні логарифмдік теңдеудегідей логарифм таңбасының астында пайда болатын теңсіздікті айта аламыз.

Ең қарапайым логарифмдік теңсіздіктер келесі түрде болады:

Мұндағы f(x) және g(x) - х-ке тәуелді кейбір өрнектер.

Мұны мына мысал арқылы қарастырайық: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу

Логарифмдік теңсіздіктерді шешпес бұрын, олар шығарылған кезде көрсеткіштік теңсіздіктерге ұқсас екенін атап өткен жөн, атап айтқанда:

Біріншіден, логарифмдерден логарифм таңбасының астындағы өрнектерге көшкен кезде біз де логарифм негізін бірмен салыстыруымыз керек;

Екіншіден, логарифмдік теңсіздікті айнымалылардың өзгеруі арқылы шешкенде, ең қарапайым теңсіздікті алғанша өзгеріске қатысты теңсіздіктерді шешу керек.

Бірақ сіз бен біз логарифмдік теңсіздіктерді шешудің ұқсас аспектілерін қарастырдық. Енді айтарлықтай айырмашылыққа назар аударайық. Сіз және мен логарифмдік функцияның шектеулі анықталу облысы бар екенін білеміз, сондықтан логарифмдерден логарифм таңбасының астындағы өрнектерге көшу кезінде рұқсат етілген мәндер ауқымын (ADV) ескеру қажет.

Яғни, логарифмдік теңдеуді шешкенде сіз бен біз алдымен теңдеудің түбірлерін таба алатынымызды, содан кейін осы шешімін тексеретінімізді ескеру керек. Бірақ логарифмдік теңсіздікті шешу бұлай жұмыс істемейді, өйткені логарифмдерден логарифм таңбасының астындағы өрнектерге көшу үшін теңсіздіктің ODZ-ін жазу керек болады.

Сонымен қатар, теңсіздіктер теориясы нақты сандардан тұратынын есте ұстаған жөн, олар оң және теріс сандар, сондай-ақ 0 саны.

Мысалы, «a» саны оң болса, келесі белгілерді қолдану керек: a >0. Бұл жағдайда бұл сандардың қосындысы да, көбейтіндісі де оң болады.

Теңсіздікті шешудің негізгі принципі – оны қарапайым теңсіздікпен ауыстыру, бірақ ең бастысы – оның берілгенге тең болуы. Әрі қарай, біз де теңсіздікті алдық және оны қайтадан қарапайым түрімен ауыстырдық, т.б.

Айнымалысы бар теңсіздіктерді шешкенде оның барлық шешімдерін табу керек. Егер екі теңсіздіктің бірдей х айнымалысы болса, олардың шешімдері сәйкес келген жағдайда мұндай теңсіздіктер эквивалентті болады.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешуге арналған тапсырмаларды орындау кезінде, а > 1 болғанда, логарифмдік функция өсетінін, ал 0 болғанда, есте сақтау керек.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу әдістері

Енді логарифмдік теңсіздіктерді шешу кезінде орын алатын кейбір әдістерді қарастырайық. Жақсырақ түсіну және ассимиляциялау үшін біз оларды нақты мысалдар арқылы түсінуге тырысамыз.

Ең қарапайым логарифмдік теңсіздіктің келесі түрі болатыны бәрімізге белгілі:

Бұл теңсіздікте V – келесі теңсіздік белгілерінің бірі:<,>, ≤ немесе ≥.

Берілген логарифмнің негізі біреуден (a>1) үлкен болғанда, логарифмдерден логарифм таңбасының астындағы өрнектерге көшуді жүзеге асыратын болсақ, онда бұл нұсқада теңсіздік белгісі сақталады, ал теңсіздік келесі түрге ие болады:

бұл жүйеге тең:

Логарифмнің негізі нөлден үлкен және бірден кем болған жағдайда (0

Бұл осы жүйеге тең:

Төмендегі суретте көрсетілген ең қарапайым логарифмдік теңсіздіктерді шешудің көбірек мысалдарын қарастырайық:

Мысалдар шешу

Жаттығу.Мына теңсіздікті шешуге тырысайық:

Қабылданатын мәндер ауқымын шешу.

Енді оның оң жағын көбейтіп көрейік:

Келіңіздер, не ойлап таба алатынымызды көрейік:

Енді сублогарифмдік өрнектерді түрлендіруге көшейік. Логарифмнің негізі 0-ге тең болуына байланысты< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ал бұдан біз алған интервал толығымен ОДЗ-ға жатады және мұндай теңсіздіктің шешімі болып табылады.

Міне, біз алған жауап:

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу үшін не қажет?

Енді логарифмдік теңсіздіктерді сәтті шешу үшін не қажет екенін талдап көрейік?

Біріншіден, барлық назарыңызды шоғырландырыңыз және осы теңсіздікте берілген түрлендірулерді орындау кезінде қателеспеуге тырысыңыз. Сондай-ақ, мұндай теңсіздіктерді шешу кезінде бөтен шешімдерді жоғалтуға немесе алуға әкелуі мүмкін теңсіздіктің ОДЗ кеңеюі мен қысқаруын болдырмау керек екенін есте ұстаған жөн.

Екіншіден, логарифмдік теңсіздіктерді шешу кезінде логикалық ойлауды және теңсіздіктер жүйесі мен теңсіздіктер жиыны сияқты ұғымдардың айырмашылығын түсінуді үйрену керек, осылайша сіз оның DL-ін басшылыққа ала отырып, теңсіздіктің шешімдерін оңай таңдай аласыз.

Үшіншіден, мұндай теңсіздіктерді сәтті шешу үшін сіздердің әрқайсысыңыз элементар функциялардың барлық қасиеттерін жетік білуіңіз керек және олардың мағынасын нақты түсінуіңіз керек. Мұндай функцияларға тек логарифмдік емес, сонымен қатар рационалдық, қуат, тригонометриялық және т.б., бір сөзбен айтқанда, мектеп алгебрасында оқығандардың барлығы кіреді.

Көріп отырғаныңыздай, логарифмдік теңсіздіктер тақырыбын зерттей отырып, мақсатқа жетуде мұқият және табанды болған жағдайда бұл теңсіздіктерді шешуде қиын ештеңе жоқ. Теңсіздіктерді шешуде қандай да бір проблемаларды болдырмау үшін әртүрлі тапсырмаларды шешуге мүмкіндігінше көп жаттығу керек және сонымен бірге мұндай теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешудің негізгі әдістерін есте сақтау керек. Егер сіз логарифмдік теңсіздіктерді шеше алмасаңыз, болашақта оларға қайта оралмас үшін қателеріңізді мұқият талдауыңыз керек.

Үй жұмысы

Тақырыпты жақсы түсіну және өтілген материалды бекіту үшін келесі теңсіздіктерді шешіңіз:

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе онымен байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерді білдіреді.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының мемлекеттік органдарының қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария ету. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.