Бүгін біз қандай шамаларды кері пропорционал деп атайтынын, кері пропорционалдық графигі қандай болатынын және мұның бәрі сізге тек математика сабақтарында ғана емес, мектептен тыс уақытта да қалай пайдалы болуы мүмкін екенін қарастырамыз.
Мұндай әртүрлі пропорциялар
Пропорционалдықбір-біріне тәуелді екі шаманы ата.
Тәуелділік тікелей және кері болуы мүмкін. Демек, шамалар арасындағы байланыстар тура және кері пропорционалдықпен сипатталады.
Тура пропорционалдық- бұл екі шама арасындағы осындай қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы немесе азаюы екіншісінің өсуіне немесе азаюына әкеледі. Сол. олардың көзқарасы өзгермейді.
Мысалы, емтиханға қаншалықты көп күш жұмсасаңыз, соғұрлым сіздің бағаларыңыз жоғары болады. Немесе жаяу серуенге шыққанда өзіңізбен бірге неғұрлым көп зат алсаңыз, рюкзактарыңыз соғұрлым ауыр болады. Сол. Емтиханға дайындалуға жұмсалған күш мөлшері алынған бағаларға тура пропорционал. Ал рюкзакқа салынған заттардың саны оның салмағына тура пропорционал.
Кері пропорционалдық– бұл функционалдық тәуелділік, онда тәуелсіз мәннің бірнеше есе азаюы немесе ұлғаюы (ол аргумент деп аталады) тәуелді мәннің пропорционалды (яғни, бірдей рет саны) өсуіне немесе төмендеуіне әкелетін (ол деп аталады). функциясы).
Қарапайым мысалмен түсіндірейік. Сіз базардан алма сатып алғыңыз келеді. Есептегіштегі алмалар мен әмияныңыздағы ақша саны кері пропорцияда. Сол. Неғұрлым көп алма сатып алсаңыз, соғұрлым аз ақша қалады.
Функция және оның графигі
Кері пропорционалдық функциясын былай сипаттауға болады y = k/x. Қайсысында x≠ 0 және к≠ 0.
Бұл функцияның келесі қасиеттері бар:
- Оның анықтау облысы басқа барлық нақты сандар жиыны болып табылады x = 0. D(ж): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Ауқым барлық нақты сандардан басқа ж= 0. E(y): (-∞; 0) У (0; +∞) .
- Ең үлкен немесе ең аз мәндер жоқ.
- Ол тақ және оның графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.
- Мерзімді емес.
- Оның графигі координат осьтерін қиып өтпейді.
- Нөлдер жоқ.
- Егер к> 0 (яғни аргумент артады), функция оның әрбір интервалында пропорционалды түрде азаяды. Егер к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Аргумент көбейген сайын ( к> 0) функцияның теріс мәндері (-∞; 0) аралықта, ал оң мәндері (0; +∞) аралығында болады. Аргумент азайған кезде ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Кері пропорционалдық функциясының графигі гипербола деп аталады. Төмендегідей көрсетілген:
Кері пропорционалдылыққа есептер
Түсінікті болу үшін бірнеше тапсырманы қарастырайық. Олар тым күрделі емес және оларды шешу кері пропорционалдылықтың не екенін және бұл білім сіздің күнделікті өміріңізде қалай пайдалы болуы мүмкін екенін елестетуге көмектеседі.
№1 тапсырма. Көлік 60 км/сағ жылдамдықпен қозғалады. Оның межелі жерге жетуіне 6 сағат кетті. Екі есе жылдамдықпен қозғалса, ол бірдей қашықтықты қанша уақытта өтеді?
Уақыт, қашықтық және жылдамдық арасындағы байланысты сипаттайтын формуланы жазудан бастауға болады: t = S/V. Келісіңіз, бұл кері пропорционалдық функциясын еске салады. Және бұл автомобильдің жолда өткізетін уақыты мен оның қозғалу жылдамдығының кері пропорционалды екенін көрсетеді.
Мұны тексеру үшін шарт бойынша 2 есе жоғары V 2-ні табайық: V 2 = 60 * 2 = 120 км/сағ. Содан кейін S = V * t = 60 * 6 = 360 км формуласы арқылы қашықтықты есептейміз. Енді есеп шарттарына сәйкес бізден талап етілетін t 2 уақытын табу қиын емес: t 2 = 360/120 = 3 сағат.
Көріп отырғаныңыздай, жол жүру уақыты мен жылдамдық шынымен кері пропорционалды: бастапқы жылдамдықтан 2 есе жоғары жылдамдықта автомобиль жолда 2 есе аз уақыт жұмсайды.
Бұл есептің шешімін пропорция түрінде де жазуға болады. Ендеше алдымен мына диаграмманы құрайық:
↓ 60 км/сағ – 6 сағ
↓120 км/сағ – х сағ
Көрсеткілер кері пропорционалды қатынасты көрсетеді. Олар сондай-ақ пропорцияны құру кезінде жазбаның оң жағын аударып тастауды ұсынады: 60/120 = x/6. x = 60 * 6/120 = 3 сағатты қайдан аламыз.
№2 тапсырма. Цехта берілген жұмыс көлемін 4 сағатта орындай алатын 6 жұмысшы жұмыс істейді. Егер жұмысшылар саны екі есе азайса, қалған жұмысшылар бірдей көлемдегі жұмысты қанша уақытта бітіреді?
Есептің шарттарын визуалды диаграмма түрінде жазайық:
↓ 6 жұмысшы – 4 сағат
↓ 3 жұмысшы – х сағ
Мұны пропорция түрінде жазайық: 6/3 = x/4. Ал біз x = 6 * 4/3 = 8 сағат аламыз, егер жұмысшылар 2 есе аз болса, қалғандары барлық жұмысты орындауға 2 есе көп уақыт жұмсайды.
№3 тапсырма. Бассейнге апаратын екі құбыр бар. Бір құбыр арқылы су 2 л/с жылдамдықпен ағып, бассейнді 45 минутта толтырады. Басқа құбыр арқылы бассейн 75 минутта толады. Бұл құбыр арқылы су бассейнге қандай жылдамдықпен түседі?
Алдымен есептің шарттарына сәйкес бізге берілген барлық шамаларды бірдей өлшем бірліктеріне келтірейік. Ол үшін бассейнді толтыру жылдамдығын минутына литрмен өрнектейміз: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.
Бассейннің екінші құбыр арқылы баяу толтырылуы шартынан туындайтындықтан, бұл су ағынының жылдамдығы төмен екенін білдіреді. Пропорционалдық кері. Белгісіз жылдамдықты x арқылы өрнектеп, келесі диаграмманы салайық:
↓ 120 л/мин – 45 мин
↓ x л/мин – 75 мин
Содан кейін біз пропорцияны жасаймыз: 120/x = 75/45, одан х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.
Есепте бассейнді толтыру жылдамдығы секундына литрмен көрсетілген.
№4 тапсырма. Шағын жеке баспахана визиткаларды басып шығарады. Баспахана қызметкері сағатына 42 визитка жылдамдығымен жұмыс істейді және толық күн - 8 сағат жұмыс істейді. Егер ол тезірек жұмыс істеп, бір сағатта 48 визитка басып шығарса, ол үйге қанша ертерек бара алады?
Біз дәлелденген жолды ұстанамыз және қажетті мәнді x ретінде белгілей отырып, есептің шарттарына сәйкес диаграмма жасаймыз:
↓ 42 визитка/сағ – 8 сағат
↓ 48 визитка/сағ – х сағ
Бізде кері пропорционалды қатынас бар: баспахана қызметкері сағатына неше есе көп визитка басып шығарады, сол жұмысты орындау үшін де сонша есе аз уақыт қажет болады. Осыны біле отырып, пропорция құрайық:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 сағат.
Осылайша, жұмысты 7 сағатта аяқтаған баспахана қызметкері үйіне бір сағат бұрын бара алатын болды.
Қорытынды
Бізге бұл кері пропорционалдық есептер өте қарапайым болып көрінеді. Енді сіз де олар туралы осылай ойлайсыз деп үміттенеміз. Ең бастысы, шамалардың кері пропорционалды тәуелділігі туралы білім сізге бірнеше рет пайдалы болуы мүмкін.
Тек математика сабақтарында және емтихандарда ғана емес. Бірақ сонда да саяхатқа, дүкенге баруға дайындалғанда, демалыс кезінде аздап қосымша ақша табуды шешіңіз және т.б.
Айналаңызда кері және тура пропорционалдық қатынастың қандай мысалдарын байқағаныңызды түсініктемелерде айтыңыз. Осындай ойын болсын. Оның қаншалықты қызықты екенін көресіз. Достарыңыз бен сыныптастарыңыз да ойнай алуы үшін бұл мақаланы әлеуметтік желілерде бөлісуді ұмытпаңыз.
веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.
Пропорционалдылық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің өзгеруі екіншісінің бірдей шамаға өзгеруіне әкеп соғады.
Пропорционалдық тура немесе кері болуы мүмкін. Бұл сабақта біз олардың әрқайсысын қарастырамыз.
Сабақтың мазмұныТура пропорционалдық
Автокөлік 50 км/сағ жылдамдықпен қозғалады делік. Жылдамдық дегеніміз уақыт бірлігінде жүріп өткен жол (1 сағат, 1 минут немесе 1 секунд) екені есімізде. Біздің мысалда машина 50 км/сағ жылдамдықпен қозғалады, яғни бір сағатта елу километр қашықтықты жүріп өтеді.
Суретте машинаның 1 сағатта жүріп өткен жолын бейнелеп көрейік.
Машина сағатына елу шақырым жылдамдықпен тағы бір сағат жүрсін. Сонда көлік 100 шақырым жол жүреді екен
Мысалдан көрініп тұрғандай, уақытты екі есе ұлғайту жүріп өткен жолдың бірдей мөлшерде, яғни екі есе артуына әкелді.
Уақыт пен қашықтық сияқты шамалар тура пропорционал деп аталады. Ал мұндай шамалар арасындағы қатынас деп аталады тура пропорционалдық.
Тура пропорционалдылық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы екіншісінің бірдей мөлшерге көбеюіне әкеп соғады.
және керісінше, егер бір шама белгілі бір рет азайса, екіншісі де сонша есе кемиді.
Бастапқыда көлікті 2 сағатта 100 км жүру жоспары болса, 50 км жүріп өткеннен кейін жүргізуші демалуды ұйғарды делік. Сонда қашықтықты екі есе қысқарту арқылы уақыт бірдей мөлшерде азаяды екен. Басқаша айтқанда, жүріп өткен жолды қысқарту уақыттың бірдей мөлшерде қысқаруына әкеледі.
Тура пропорционал шамалардың қызықты ерекшелігі олардың қатынасы әрқашан тұрақты болады. Яғни, тура пропорционал шамалардың мәндері өзгерген кезде олардың қатынасы өзгеріссіз қалады.
Қарастырылған мысалда қашықтық бастапқыда 50 км, ал уақыт бір сағат болды. Қашықтықтың уақытқа қатынасы 50 санына тең.
Бірақ жол жүру уақытын 2 есеге ұлғайтып, екі сағатқа тең еттік. Осының нәтижесінде жүріп өткен жол дәл осындай мөлшерге ұлғайды, яғни 100 км-ге тең болды. Жүз шақырымның екі сағатқа қатынасы тағы да 50 саны
50 саны шақырылады тура пропорционалдық коэффициенті. Ол қозғалыстың сағатына қанша қашықтық бар екенін көрсетеді. Бұл жағдайда коэффициент қозғалыс жылдамдығының рөлін атқарады, өйткені жылдамдық жүріп өткен жолдың уақытқа қатынасы болып табылады.
Пропорцияларды тура пропорционал шамалардан жасауға болады. Мысалы, коэффициенттер пропорцияны құрайды:
Елу километр бір сағатқа дейін, жүз километр екі сағатқа дейін.
2-мысал. Сатып алынатын тауарлардың құны мен саны тура пропорционалды. 1 кг кәмпит 30 рубль болса, сол тәттінің 2 кг 60 рубль, 3 кг 90 рубль болады. Сатып алынған өнімнің өзіндік құны өскен сайын оның саны да сол сомаға өседі.
Өнімнің өзіндік құны мен оның саны тура пропорционал шамалар болғандықтан, олардың қатынасы әрқашан тұрақты болады.
Бір келіге отыз сомның қатынасы қандай екенін жазып көрейік
Енді алпыс рубльдің екі келіге қатынасы қандай екенін жазайық. Бұл қатынас қайтадан отызға тең болады:
Мұнда тікелей пропорционалдық коэффициенті 30 саны болып табылады. Бұл коэффициент тәттілердің килограммына қанша рубль екенін көрсетеді. Бұл мысалда коэффициент бір килограмм тауардың бағасының рөлін атқарады, өйткені баға тауар құнының оның санына қатынасы болып табылады.
Кері пропорционалдық
Келесі мысалды қарастырайық. Екі қаланың арасы 80 шақырым. Мотоциклші бірінші қаладан шығып, 20 км/сағ жылдамдықпен екінші қалаға 4 сағатта жетті.
Егер мотоциклшінің жылдамдығы 20 км/сағ болса, бұл әр сағат сайын ол жиырма километр қашықтықты жүріп өткенін білдіреді. Суретте мотоциклшінің жүріп өткен жолын және оның қозғалыс уақытын көрсетейік:
Қайтар жолда мотоциклшінің жылдамдығы 40 км/сағ болды, сол жолда ол 2 сағатты өткізді.
Жылдамдық өзгерген кезде қозғалыс уақыты бірдей мөлшерде өзгеретінін байқау қиын емес. Оның үстіне ол қарама-қарсы бағытта өзгерді - яғни жылдамдық өсті, бірақ уақыт, керісінше, қысқарды.
Жылдамдық пен уақыт сияқты шамалар кері пропорционал деп аталады. Ал мұндай шамалар арасындағы қатынас деп аталады кері пропорционалдық.
Кері пропорционалдық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы екіншісінің бірдей шамаға азаюына әкеп соғады.
және керісінше, егер бір шама белгілі бір санға азайса, екіншісі де сонша есе артады.
Мысалы, қайтар жолда мотоциклшінің жылдамдығы 10 км/сағ болса, ол сол 80 км жолды 8 сағатта өтер еді:
Мысалдан көрініп тұрғандай, жылдамдықтың төмендеуі қозғалыс уақытының бірдей мөлшерде ұлғаюына әкелді.
Кері пропорционал шамалардың ерекшелігі олардың көбейтіндісі әрқашан тұрақты болады. Яғни, кері пропорционал шамалардың мәндері өзгерген кезде олардың туындысы өзгеріссіз қалады.
Қарастырылған мысалда қалалар арасындағы қашықтық 80 км болды. Мотоциклшінің қозғалыс жылдамдығы мен уақыты өзгерген кезде бұл қашықтық әрқашан өзгеріссіз қалды
Мотоциклші бұл қашықтықты 20 км/сағ жылдамдықпен 4 сағатта, ал 40 км/сағ жылдамдықпен 2 сағатта, ал 10 км/сағ жылдамдықпен 8 сағатта жүре алды. Барлық жағдайларда жылдамдық пен уақыттың көбейтіндісі 80 км-ге тең болды
Сізге сабақ ұнады ма?
ВКонтакте желісіндегі жаңа тобымызға қосылып, жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз
Орындаған: Чепкасов Родион
6-сынып оқушысы
МБОУ «№53 орта мектеп»
Барнаул
Жетекшісі: Булыкина О.Г.
математика мұғалімі
МБОУ «№53 орта мектеп»
Барнаул
Кіріспе. 1
Қатынастар және пропорциялар. 3
Тура және кері пропорционалдық қатынастар. 4
Тура және кері пропорционалды қолдану 6
әртүрлі есептерді шешу кезіндегі тәуелділіктер.
Қорытынды. 11
Әдебиет. 12
Кіріспе.
Пропорция сөзі латынның пропорция сөзінен шыққан, ол жалпы түрде пропорционалдық, бөліктердің теңестірілуі (бөлшектердің бір-біріне белгілі бір қатынасы) дегенді білдіреді. Ежелгі уақытта пропорциялар туралы ілімді пифагоршылар жоғары бағалаған. Пропорциялармен олар табиғаттағы тәртіп пен сұлулық туралы, музыкадағы дауыссыз аккордтар және ғаламдағы үйлесімділік туралы ойларды байланыстырды. Олар пропорциялардың кейбір түрлерін музыкалық немесе гармоникалық деп атады.
Адамзат ерте заманның өзінде табиғаттағы барлық құбылыстардың бір-бірімен байланысты екенін, барлық нәрсенің үздіксіз қозғалыста, өзгеруде болатынын, сандармен өрнектелгенде таңғажайып заңдылықтарды ашатынын ашқан.
Пифагоршылар мен олардың ізбасарлары әлемдегі барлық нәрсенің сандық көрінісін іздеді. Олар ашты; музыканың негізінде математикалық пропорциялар жатқанын (ішектің ұзындығының дыбыс биіктігіне қатынасы, интервалдар арасындағы қатынас, гармоникалық дыбыс беретін аккордтардағы дыбыстардың қатынасы). Пифагоршылар дүниенің бірлігі идеясын математикалық тұрғыдан негіздеуге тырысты және ғаламның негізі симметриялық геометриялық фигуралар екенін дәлелдеді. Пифагоршылар сұлулықтың математикалық негізін іздеді.
Пифагоршылардан кейін ортағасырлық ғалым Августин сұлулықты «сандық теңдік» деп атады. Схоластикалық философ Бонавентур былай деп жазды: «Пропорционалдықсыз сұлулық пен рахат жоқ, ал пропорционалдық ең алдымен сандарда бар. Леонардо да Винчи өзінің кескіндеме трактатында пропорцияның өнерде қолданылуы туралы былай деп жазды: «Суретші ғалым сандық заң түрінде білетін табиғатта жасырылған сол заңдылықтарды пропорция түрінде бейнелейді».
Пропорциялар ежелгі дәуірде де, орта ғасырларда да әртүрлі мәселелерді шешу үшін қолданылған. Пропорцияларды қолдану арқылы есептердің кейбір түрлері қазір оңай және тез шешіледі. Пропорциялар мен пропорционалдық тек математикада ғана емес, сонымен қатар сәулет пен өнерде де қолданылған және қолданылады. Сәулет пен өнердегі пропорция ғимараттың, фигураның, мүсіннің немесе басқа өнер туындысының әртүрлі бөліктерінің өлшемдері арасындағы белгілі бір қатынастарды сақтауды білдіреді. Мұндай жағдайларда пропорционалдылық дұрыс және әдемі құрастыру мен бейнелеудің шарты болып табылады
Мен өз жұмысымда өмірдің әртүрлі салаларында тура және кері пропорционалдық қатынастарды қолдануды қарастыруға, тапсырмалар арқылы оқу пәндерімен байланысын байқауға тырыстым.
Қатынастар және пропорциялар.
Екі санның бөлшегі деп аталады көзқарасосылар сандар.
Көңіл-күй көрсетеді, бірінші сан екінші саннан неше есе үлкен немесе бірінші сан екінші санның қай бөлігі.
Тапсырма.
Дүкенге 2,4 тонна алмұрт, 3,6 тонна алма әкелінді. Алынған жемістердің қандай үлесі алмұрт?
Шешім . Қанша жеміс әкелгенін табайық: 2,4+3,6=6(т). Алынған жемістердің қандай бөлігі алмұрт екенін табу үшін 2,4:6= қатынасын жасаймыз. Жауапты ондық бөлшек түрінде немесе пайызбен де жазуға болады: = 0,4 = 40%.
Өзара керішақырды сандар, оның туындылары 1-ге тең. Сондықтан қатынас кері қатынас деп аталады.
Екі бірдей қатынасты қарастырайық: 4,5:3 және 6:4. Олардың арасына теңдік белгісін қойып, пропорцияны алайық: 4,5:3=6:4.
Пропорцияекі қатынастың теңдігі болып табылады: a : b =c :d немесе = 
, мұндағы a және d пропорцияның экстремалды шарттары, c және b – орташа мүшелер(пропорцияның барлық мүшелері нөлден өзгеше).
Пропорцияның негізгі қасиеті:
дұрыс пропорцияда шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең болады.
Көбейтудің ауыстырымдылық қасиетін қолдана отырып, дұрыс пропорцияда шеткі мүшелерді немесе орта мүшелерді алмастыруға болатынын көреміз. Алынған пропорциялар да дұрыс болады.
Пропорцияның негізгі қасиетін пайдаланып, оның белгісіз мүшесін табуға болады, егер басқа мүшелері белгілі болса.
Пропорцияның белгісіз шеткі мүшесін табу үшін орташа мүшелерін көбейтіп, белгілі шеткі мүшесіне бөлу керек. x : b = c : d , x = 
Пропорцияның белгісіз орта мүшесін табу үшін шеткі мүшелерін көбейтіп, белгілі орта мүшесіне бөлу керек. a : b =x : d , x = 
.
Тура және кері пропорционалдық қатынастар.
Екі түрлі шаманың мәндері бір-біріне тәуелді болуы мүмкін. Сонымен, шаршының ауданы оның қабырғасының ұзындығына байланысты, ал керісінше - шаршының қабырғасының ұзындығы оның ауданына байланысты.
Екі шама пропорционал деп аталады, егер өсумен
Оның біреуін бірнеше рет (кемітеді), екіншісі бірдей есе көбейтеді (кемітеді).
Егер екі шама тура пропорционал болса, онда осы шамалардың сәйкес мәндерінің қатынасы тең болады.
Мысал тура пропорционал тәуелділік .
Жанармай бекетінде 2 литр бензиннің салмағы 1,6 кг. Олардың салмағы қанша болады 5 литр бензин?
Шешімі:
Керосиннің салмағы оның көлеміне пропорционал.
2л - 1,6 кг
5л - х кг
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Жауабы: 4 кг.
Мұнда салмақ пен көлем қатынасы өзгеріссіз қалады.
Екі шама кері пропорционал деп аталады, егер олардың біреуі бірнеше есе өссе (кемітсе), екіншісі бірдей шамаға кемісе (өссе).
Егер шамалар кері пропорционал болса, онда бір шаманың мәндерінің қатынасы басқа шаманың сәйкес мәндерінің кері қатынасына тең болады.
П мысалкері пропорционалды қатынас.
Екі төртбұрыштың ауданы бірдей. Бірінші төртбұрыштың ұзындығы 3,6 м, ені 2,4 м. Екінші төртбұрыштың енін табыңдар.
Шешімі:
1 тіктөртбұрыш 3,6 м 2,4 м
2 тіктөртбұрыш 4,8 м x м
3,6 м х м
4,8 м 2,4 м
x = 3,6*2,4 = 1,8 м
Жауабы: 1,8 м.
Көріп отырғаныңыздай, пропорционал шамаларға қатысты есептерді пропорциялар арқылы шешуге болады.
Әрбір екі шама тура пропорционал немесе кері пропорционал емес. Мысалы, баланың бойы оның жасы ұлғайған сайын өседі, бірақ бұл мәндер пропорционалды емес, өйткені жас екі есе өскен кезде баланың бойы екі есе өспейді.
Тура және кері пропорционалды тәуелділікті тәжірибеде қолдану.
№1 тапсырма
Мектеп кітапханасында 210 математика оқулығы бар, бұл бүкіл кітапхана қорының 15% құрайды. Кітапхана қорында қанша кітап бар?
Шешімі:
Жалпы оқулықтар – ? - 100%
Математиктер – 210 -15%
15% 210 академиялық.
Х = 100* 210 = 1400 оқулық
100% х уч. 15
Жауабы: 1400 оқулық.
№2 есеп
Велосипедші 75 км жолды 3 сағатта жүреді. Велосипедші бір жылдамдықпен 125 км жол жүру үшін қанша уақыт алады?
Шешімі:
3 сағ – 75 км
H – 125 км
Демек, уақыт пен қашықтық тура пропорционал шамалар
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Жауабы: 5 сағаттан кейін.
№3 есеп
8 бірдей құбыр бассейнді 25 минутта толтырады. Бассейнді осындай 10 құбырмен толтыру үшін неше минут қажет?
Шешімі:
8 құбыр – 25 минут
10 құбыр - ? минут
Құбырлардың саны уақытқа кері пропорционалды, сондықтан
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Жауап: 20 минуттан кейін.
№4 есеп
8 жұмысшыдан тұратын бригада тапсырманы 15 күнде орындайды. Бірдей өнімділікте жұмыс істегенде қанша жұмысшы тапсырманы 10 күнде орындай алады?
Шешімі:
8 жұмыс күні – 15 күн
Жұмысшылар - 10 күн
Жұмысшылар саны күндер санына кері пропорционалды, сондықтан
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Жауабы: 12 жұмысшы.
№5 есеп
5,6 кг қызанақтан 2 литр тұздық алынады. 54 кг қызанақтан неше литр тұздық алуға болады?
Шешімі:
5,6 кг – 2 л
54 кг - ? л
Қызанақтардың килограммдарының саны алынған тұздықтың мөлшеріне тікелей пропорционалды, сондықтан
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Жауабы: 19 л.
№6 есеп
Мектеп ғимаратын жылыту үшін көмір тұтыну нормасы бойынша 180 күн сақталды
Тәулігіне 0,6 тонна көмір. Күніне 0,5 тонна жұмсалса, бұл қор неше күнге жетеді?
Шешімі:
Күндер саны
Тұтыну нормасы
Күндер саны көмір тұтыну жылдамдығына кері пропорционалды, сондықтан
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Жауабы: 216 күн.
№7 есеп
Темір рудасында темірдің әрбір 7 бөлігінде 3 бөлік қоспа бар. Құрамында 73,5 т темір бар кенде қанша тонна қоспа бар?
Шешімі:
Бөлшектердің саны
Салмағы
Темір
73,5
Қоспалар
Бөлшектердің саны массаға тура пропорционал, сондықтан
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Жауабы: 31,5 т
№8 есеп
Көлік 35 литр бензин жұмсап, 500 км жол жүрді. 420 км жол жүру үшін қанша литр бензин қажет болады?
Шешімі:
Қашықтық, км
Бензин, л
Қашықтық бензинді тұтынуға тікелей пропорционалды, сондықтан
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29.4.
Жауабы: 29,4 л
№9 есеп
2 сағатта 12 мөңке ұстадық. 3 сағатта неше мөңке балығы ауланады?
Шешімі:
Мөңке балығының саны уақытқа байланысты емес. Бұл шамалар тура пропорционал да, кері пропорционал да емес.
Жауап: Жауап жоқ.
№10 есеп
Тау-кен кәсіпорны белгілі бір ақшаға 12 мың рубльден тұратын 5 жаңа машина сатып алуы керек. Бір станоктың бағасы 15 мың рубль болса, кәсіпорын осы станоктардың қаншасын сатып ала алады?
Шешімі:
Көліктер саны, дана.
Бағасы, мың рубль
Автокөліктердің саны құнына кері пропорционалды, сондықтан
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Жауабы: 4 машина.
№11 есеп
Қалада N алаңында P алаңында иесінің қаталдығы соншалық, кешігіп келгені үшін күніне 1 кешігіп келгені үшін жалақысынан 70 рубль ұстайтын дүкен бар. Екі қыз Юлия мен Наташа бір бөлімде жұмыс істейді. Олардың жалақысы жұмыс күндерінің санына байланысты. Юлия 20 күнде 4100 рубль алды, ал Наташа 21 күнде көп алуы керек еді, бірақ ол 3 күн қатарынан кешігіп қалды. Наташа қанша рубль алады?
Шешімі:
Жұмыс күндері
Жалақы, руб.
Юлия
4100
Наташа
Демек, жалақы жұмыс күндерінің санына тікелей пропорционалды
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 руб. Наташа оны алуы керек еді.
4305 – 3 * 70 = 4095 (руб.)
Жауап: Наташа 4095 рубль алады.
№ 12 есеп
Картадағы екі қаланың арақашықтығы 6 см, егер карта масштабы 1: 250000 болса, жердегі осы қалалар арасындағы қашықтықты табыңыз.
Шешімі:
Жер бетіндегі қалалар арасындағы қашықтықты х (сантиметрмен) арқылы белгілейік және картадағы сегмент ұзындығының жердегі қашықтыққа қатынасын табайық, ол карта масштабына тең болады: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 см = 15 км
Жауабы: 15 км.
№13 есеп
4000 г ерітіндіде 80 г тұз бар. Бұл ерітіндідегі тұздың концентрациясы қандай?
Шешімі:
Салмағы, г
Концентрация, %
Шешім
4000
Тұз
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Жауабы: Тұз концентрациясы 2%.
№14 есеп
Банк жылдық 10 пайызбен несие береді. Сіз 50 000 рубль несие алдыңыз. Бір жылда банкке қанша қайтару керек?
Шешімі:
50 000 руб.
100%
x руб.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 руб. 10% құрайды.
50 000 + 5000=55 000 (руб.)
Жауап: бір жылдан кейін банк 55 000 рубльді қайтарады.
Қорытынды.
Келтірілген мысалдардан көріп отырғанымыздай, тура және кері пропорционалды қатынастар өмірдің әртүрлі салаларында қолданылады:
Экономика,
Сауда,
Өндірісте және өнеркәсіпте,
Мектеп өмірі,
Пісіру,
Құрылыс және сәулет.
Спорт,
Мал шаруашылығы,
Топографиялар,
Физиктер,
Химия және т.б.
Орыс тілінде тура және кері байланыс орнататын мақал-мәтелдер де бар:
Қайтып келсе, солай жауап береді.
Түбір неғұрлым жоғары болса, көлеңке соғұрлым жоғары болады.
Неғұрлым көп адам болса, соғұрлым оттегі аз болады.
Және бұл дайын, бірақ ақымақ.
Математика – адамзаттың қажеттіліктері мен қажеттіліктері негізінде пайда болған ең көне ғылымдардың бірі; Ежелгі Грециядан бері өзінің қалыптасу тарихынан өтіп, ол әлі күнге дейін кез келген адамның күнделікті өмірінде өзекті және қажетті болып қала береді. Тура және кері пропорционалдық ұғымы көне заманнан бері белгілі, өйткені кез келген мүсін салу немесе жасау кезінде сәулетшілерді ынталандырған пропорция заңдары болды.
Пропорциялар туралы білім адам өмірі мен іс-әрекетінің барлық салаларында кеңінен қолданылады - сурет салу кезінде онсыз мүмкін емес (пейзаждар, натюрморттар, портреттер және т.б.), ол сәулетшілер мен инженерлер арасында да кең таралған - жалпы алғанда, қиын пропорциялар мен олардың қатынастары туралы білімді пайдаланбай, кез келген нәрсені жасауды елестетіңіз.
Әдебиет.
Математика-6, Н.Я. Виленкин және т.б.
Алгебра -7, Г.В. Дорофеев және т.б.
Математика-9, ЖИА-9, өңдеген Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Құлабухова
Математика-6, дидактикалық материалдар, П.В. Чулков, А.Б. Уединов
4-5 сыныптарға арналған математикадан есептер, И.В.Баранова т.б., М. «Просвещение» 1988 ж
Математикадан 5-6 сынып есептер мен мысалдар жинағы, Н.А. Терешин,
Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997 ж
Негізгі мақсаттар:
- шамалардың тура және кері пропорционалды тәуелділігі ұғымын енгізу;
- осы тәуелділіктерді пайдаланып есептер шығаруды үйрету;
- проблемаларды шешу дағдыларын дамытуға ықпал ету;
- пропорцияларды пайдаланып теңдеулерді шешу дағдыларын бекіту;
- жай және ондық бөлшектермен қадамдарды қайталау;
- оқушылардың логикалық ойлауын дамыту.
САБАҚТЫҢ БАРЛЫҒЫ
I. Белсенділік үшін өзін-өзі анықтау(ұйымдастыру сәті)
- Жігіттер! Бүгін сабақта пропорцияларды пайдаланып шығарылатын есептермен танысамыз.
II. Білімді жаңарту және әрекеттердегі қиындықтарды жазу
2.1. Ауызша жұмыс (3 мин)
– Өрнектер мағынасын тауып, жауаптарда шифрланған сөзді табыңыз.
14 – с; 0,1 – және; 7 – л; 0,2 – a; 17 – дюйм; 25 – дейін
– Бұдан шығатын сөз – күш. Жарайсың!
– Бүгінгі сабағымыздың ұраны: Күш – білімде! Мен ізденіп жатырмын - бұл менің үйреніп жатқанымды білдіреді!
– Алынған сандардан пропорция құрастыр. (14:7 = 0,2:0,1 т.б.)
2.2. Біз білетін шамалар арасындағы байланысты қарастырайық (7 мин)
– машинаның тұрақты жылдамдықпен жүріп өткен жолы және оның қозғалыс уақыты: S = v t (жылдамдық (уақыт) артқан сайын қашықтық артады;
- көліктің жылдамдығы және жол жүру уақыты: v=S:t(жол жүру уақыты ұлғайған сайын жылдамдық азаяды);
–
бір бағамен сатып алынған тауардың құны және оның саны:
C = a · n (бағаның өсуімен (төмендеуімен), сатып алу құны өседі (төмендейді));
– өнімнің бағасы және оның саны: a = C: n (санның өсуімен баға төмендейді)
– тіктөртбұрыштың ауданы және оның ұзындығы (ені): S = a · b (ұзындығы (ені) артқан сайын ауданы артады;
– тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені: a = S: b (ұзындығы артқан сайын ені азаяды;
– бірдей еңбек өнімділігімен кейбір жұмыстарды орындайтын жұмысшылардың саны және бұл жұмысты орындауға кететін уақыт: t = A: n (жұмысшылар санының өсуімен жұмысты орындауға кететін уақыт азаяды) т.б. .
Біз бір шаманы бірнеше есе арттырғанда, екіншісі бірден бірдей мөлшерге өсетін (мысалдар көрсеткілермен көрсетілген) және бір шаманы бірнеше есе арттырғанда екінші шама төмендейтін тәуелділіктерді алдық. бірдей рет саны.
Мұндай тәуелділіктерді тура және кері пропорционалдық деп атайды.
Тура пропорционал тәуелділік– бір шама бірнеше есе артқанда (кеміткенде) екінші шама сол шамаға өсетін (кемітетін) қатынас.
Кері пропорционалды қатынас– бір шама бірнеше есе артқанда (азайғанда), екінші шама да сол шамаға азаятын (өсетін) қатынас.
III. Оқу тапсырмасын қою
– Бізді қандай мәселе күтіп тұр? (Тікелей және кері тәуелділіктерді ажырата білу)
- Бұл - мақсатбіздің сабағымыз. Енді тұжырымдаңыз тақырыпсабақ. (Тура және кері пропорционалдық қатынас).
- Жарайсың! Сабақтың тақырыбын дәптерлеріңе жазып алыңдар. (Мұғалім тақырыпты тақтаға жазады.)
IV. Жаңа білімді «ашу».(10 мин)
No199 есептерді қарастырайық.
1. Принтер 4,5 минутта 27 бетті басып шығарады. 300 бет басып шығару үшін қанша уақыт қажет?
27 бет – 4,5 мин.
300 бет - x?
2. Қорапта әрқайсысы 250 г 48 пакет шай бар. Бұл шайдың қанша 150 г пакетін аласыз?
48 қаптама – 250 г.
X? – 150 г.
3. Көлік 25 литр бензин жұмсап, 310 км жүрді. Толық 40 л цистернамен көлік қанша жол жүре алады?
310 км – 25 л
X? – 40 л
4. Ілініс берілістерінің бірінде 32 тіс, екіншісінде 40. Біріншісі 215 айналым жасағанда екінші беріліс неше айналым жасайды?
32 тіс – 315 рев.
40 тіс – х?
Пропорцияны құрастыру үшін бұл үшін көрсеткілердің бір бағыты қажет, кері пропорционалдықта бір қатынас керімен ауыстырылады;
Тақтада оқушылар шамалардың мағынасын орнында табады, оқушылар өздері таңдаған бір есепті шығарады;
– Тура және кері пропорционал тәуелділікке есептер шығару ережесін тұжырымдаңыз.
Тақтада кесте пайда болады:
V. Сыртқы сөйлеудегі алғашқы бекіту(10 мин)
Парақтардағы тапсырмалар:
- 21 кг мақта тұқымынан 5,1 кг май алынды.
- 7 кг мақтадан қанша май алынады?
Стадионды салу үшін 5 бульдозер 210 минутта алаңды тазартты. Бұл учаскені тазарту үшін 7 бульдозер қанша уақыт алады?VI. Стандарт бойынша өзін-өзі тексерумен өзіндік жұмыс
(5 мин)
Екі оқушы No225 тапсырманы жасырын тақтада, ал қалғандары дәптерде өз бетінше орындайды. Содан кейін олар алгоритм жұмысын тексеріп, оны тақтадағы шешіммен салыстырады. Қателер түзетіліп, олардың себептері анықталады. Егер тапсырма дұрыс орындалса, оқушылар жанына «+» белгісін қояды.
Өздік жұмыста қате жіберген студенттер кеңесшілерді пайдалана алады.№ 271, № 270.
VII. Білім жүйесіне қосу және қайталау
Басқармада алты адам жұмыс істейді. 3-4 минуттан кейін тақтада жұмыс істейтін оқушылар өз шешімдерін ұсынады, ал қалғандары тапсырмаларды тексеріп, оларды талқылауға қатысады.
VIII. Белсенділік туралы рефлексия (сабақты қорытындылау)
- Сабақта қандай жаңа нәрсе білдің?
-Олар нені қайталады?
– Пропорция есептерін шығару алгоритмі қандай?
– Мақсатымызға жеттік пе?
– Жұмысыңызды қалай бағалайсыз?
Мысал1,6 / 2 = 0,8;
4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 және т.б.Пропорционалдық факторы
Тура пропорционалдық
Тура пропорционалдықПропорционал шамалардың тұрақты қатынасы деп аталады пропорционалдық фактор. Пропорционалдық коэффициенті бір шаманың басқа бірлігіне қанша бірлік келетінін көрсетеді.
- белгілі бір шама басқа шамаға олардың қатынасы тұрақты болып қалатындай тәуелді болатын функционалдық тәуелділік. Басқаша айтқанда, бұл айнымалылар өзгереді
пропорционалды түрде(x) = , тең үлестерде, яғни аргумент кез келген бағытта екі рет өзгерсе, онда функция да бір бағытта екі рет өзгереді.x,, тең үлестерде, яғни аргумент кез келген бағытта екі рет өзгерсе, онда функция да бір бағытта екі рет өзгереді. = Математикалық тұрғыдан тура пропорционалдық формула түрінде жазылады:fаво
Кері пропорционалдық
nс
т
Кері пропорционалдық
- бұл функционалдық тәуелділік, онда тәуелсіз мәннің (аргументтің) өсуі тәуелді мәннің (функцияның) пропорционалды төмендеуін тудырады.
Математикалық тұрғыдан кері пропорционалдық формула түрінде жазылады: