Призма мысалы арқылы көпбұрыштың қималарын салу. Практикалық сабақ: «Параллелепипедтің қималарын салу»

Сабақтың мақсаттары:қиманың екі нүктесі бір бетке жататын болса, қималарды салуға есептер шығаруды қарастыру.

Сабақтың барысы

Жаңа ұғымдарды меңгерту
Анықтама 1. Көпбұрыштың қиюшы жазықтығы деп екі жағында берілген көпбұрыштың нүктелері орналасқан кез келген жазықтықты айтады.
Анықтама 2. Көпбұрыштың кесіндісі деп қабырғалары кесінділердің бойымен қиюшы жазықтық көпбұрыштың беттерін қиып өтетін көпбұрышты айтады.
Жаттығу. Параллелепипедтің беттерін қиюшы жазықтық қиып өтетін кесінділерді атаңыз (1-сурет). Параллелепипедтің қимасын атаңыз.

Бөлімдерді салу кезіндегі негізгі әрекеттер

	Теориялық негізі	Жауап
1. Бөлім салынғанын немесе салынбағанын қалай тексеруге болады	Бөлім анықтамасы	Бұл қабырғалары көпбұрыштың беттеріне жататын көпбұрыш болуы керек
2. Жұмысты бастамас бұрын тапсырма деректері негізінде бөлімді құру мүмкіндігін анықтаңыз	Жазықтықты анықтау әдістері	Мүмкін, егер бұл элементтер жазықтықты бірегей түрде анықтаса, яғни бір түзудің, нүкте мен түзудің бойында жатпайтын үш нүкте берілсе және т.б.
3. Кейбір беттердің жазықтығында қиюшы жазықтықтың екі нүктесі бар	Егер екі нүкте жазықтыққа жататын болса, онда бүкіл түзу жазықтыққа жатады	Осы нүктелер арқылы түзу сызыңыз
4. Параллель беттердің бірінде қима жағы, ал екіншісінде қима нүктесі бар	Параллель жазықтықтардың қасиеті	Осы нүкте арқылы осы нүктеге параллель түзу жүргіземіз
5. Бір бетінде қима нүктесі бар және қиюшы жазықтық осы бетке параллель түзу арқылы өтетіні белгілі.	Түзу мен жазықтық арасындағы параллельдік белгісі. Параллель жазықтықтардың қасиеті	Берілген түзуге параллель жазықтықтардың қиылысу сызығын сал
6. Бөлімнің екі нүктесі бір бетке жатады, ал үшінші нүктесі оған іргелес орналасқан	Стереометрияның аксиомалары	Кесу жазықтығы беттерді OC және AB кесінділерінің бойымен қиып өтеді, олар беттердегі кесу жазықтығының ізі деп аталады.

Мәселені шешу

1-тапсырма. EFKM немесе EFKL төртбұрыштарының қайсысы осы көпбұрыштың кесіндісі бола алады (2-сурет)? Неліктен?

2-тапсырма.Оқушы тетраэдрдің көлденең қимасын салды (3-сурет). Мұндай бөлім болуы мүмкін бе?

Шешім. N, M және H, L бір жазықтықта жататынын дәлелдеу керек. N және M нүктелері артқы бетке, H және L төменгі бетке тиесілі болсын, яғни NM мен HL қиылысу нүктесі екі жаққа да жататын түзуде жатуы керек, яғни АС. NM және HL түзулерін ұзартып, олардың қиылысу нүктесін табайық. Бұл нүкте AC сызығына жатпайды. Бұл N, M, L, H нүктелері жазық көпбұрыш түзбейді дегенді білдіреді. Мүмкін емес.

3-тапсырма. K, L, N нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен ABCS тетраэдрінің кесіндісін салыңыз, мұндағы K және N сәйкесінше SA және SB шеттерінің орта нүктелері (4-сурет).

1. Қима жақтарын қай бетке салуға болады?

2. Бөлім үзілетін нүктелердің бірін таңдаңыз.
Шешім. І әдіс. L нүктесін таңдаңыз.
Таңдалған нүкте жатқан бетті анықтаймыз және оған қима салу керек.

Таңдалған L нүктесі арқылы өтпей, KN түзуінің жататын бетін анықтаймыз.

ABC және ASB беттерінің қиылысу сызығын табыңыз.

KN және AB түзулерінің өзара орналасуы қандай (5-сурет)?
[Параллель.]

Егер қиюшы жазықтық жазықтықтардың қиылысу сызығына параллель түзу арқылы өтетін болса, нені салу керек?
[L нүктесі арқылы АВ-ға параллель түзу жүргізіңіз. Бұл түзу CB шетімен P нүктесінде қиылысады.]
Бір бетке жататын нүктелерді қосамыз. KLPN - қажетті бөлім.
II әдіс. N нүктесін таңдаңыз (Cурет 6).

N нүктесі мен KL түзу сызығы жатқан беттерді анықтаймыз.

Бұл жазықтықтардың қиылысу сызығы SC түзу болады. KL және SC түзулерінің қиылысу нүктесін табыңыз. Оны Y деп белгілейік.
N және Y нүктелерін қосыңыз. NY сызығы CB жиегін P нүктесінде қиып өтеді.
Бір бетке жататын нүктелерді қосамыз.
KLNP - қажетті бөлім.
Бұл шешімді түсіндіріңіз.
Бір оқушы тақтада, қалғандары дәптерде жұмыс істейді.

Мәселе 4. M, P және H, H ` (A1B1C1) нүктелері арқылы өтетін параллелепипедтің кесіндісін салыңыз (7-сурет).

Шешім. 1. Бір бетке жататын нүктелерді жалғаңыз.
2. Кесінді тұрғызу үшін қандай түзу мен нүктені таңдаймыз?
3. Бұдан әрі нені анықтаймыз?
4. Таңдалған түзу сызық пен беттердің қиылысу сызығының өзара орналасуы қандай (8-сурет)?

5. Н нүктесі арқылы өтетін В1С1Д1А1 бетіндегі қиюшы жазықтықтың ізі қалай салынады?
6. Бір бетке жататын нүктелерді жалғаңыз.
7. AA1D1D бетінде қиюшы жазықтықтың ізін салу үшін қандай түзу мен нүктені таңдау керек?
8. BB1C1C және AA1D1D беттерінің өзара орналасуы қандай?
9. AA1D1D бетінде қиюшы жазықтықтың ізін салу үшін қандай қасиет қолдану керек?
10. Қажетті бөлімді атаңыз.

5-тапсырма. M, P және H нүктелері арқылы өтетін SABCD пирамидасының кесіндісін салыңыз,
H` (ABC) (Cурет 9).

Жауап: 10-суретті қараңыз.

Үйге тапсырма

Тапсырма. Нақты болса, конструкциялар қалай өзгереді
H өз орнын қалай өзгертеді? Әртүрлі опцияларды пайдаланып кесінділерді құрастырыңыз (Cурет 11).

Бүгін біз қалай екенін тағы да қарастырамыз тетраэдрдің жазықтықпен қимасын салу.
Ең қарапайым жағдайды (міндетті деңгей) қарастырайық, бұл кезде қима жазықтығының 2 нүктесі бір бетке, ал үшінші нүктесі екінші бетке жатады.

Еске сала кетейік бөлімдерді құру алгоритміосы түрдегі (жағдай: 2 ұпай бір бетке жатады).

1. Біз қима жазықтығының 2 нүктесін қамтитын бетті іздейміз. Бір бетінде жатқан екі нүкте арқылы түзу сызыңыз. Оның тетраэдр шеттерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Түзу сызықтың бетке бітетін бөлігі кесіндінің жағы болып табылады.

2. Көпбұрышты жабуға болатын болса, қима салынған. Егер жабу мүмкін болмаса, онда тұрғызылған түзудің қиылысу нүктесі мен үшінші нүктені қамтитын жазықтықты табамыз.

1. Е және F нүктелері бір жақта жатқанын көреміз (BCD), жазықтықта EF түзуін жүргіземіз (BCD).
2. EF түзуінің BD тетраэдрінің шетімен қиылысу нүктесін табайық, бұл Н нүктесі.
3. Енді EF түзуінің және үшінші G нүктесі бар жазықтықтың қиылысу нүктесін табу керек, яғни. жазықтық (ADC).
CD түзу сызығы (ADC) және (BDC) жазықтықтарында жатыр, яғни ол EF түзуін қиып өтеді, ал K нүктесі EF түзуінің және жазықтықтың (ADC) қиылысу нүктесі болып табылады.
4. Әрі қарай бір жазықтықта жатқан тағы екі нүктені табамыз. Бұл G және K нүктелері, екеуі де сол жақ беттің жазықтығында жатыр. Біз GK сызығын жүргіземіз және осы сызық тетраэдрдің шеттерін қиып өтетін нүктелерді белгілейміз. Бұл M және L нүктелері.
4. Бөлімді «жабу» қалады, яғни бір бетінде жатқан нүктелерді қосу. Бұл M және H нүктелері, сонымен қатар L және F. Бұл кесінділердің екеуі де көрінбейді, біз оларды нүктелі сызықпен жүргіземіз.

Көлденең қимасы төртбұрышты MHFL болып шықты. Оның барлық шыңдары тетраэдрдің шеттерінде жатыр. Алынған бөлімді таңдайық.

Енді тұжырымдап көрейік дұрыс құрастырылған бөлімнің «қасиеттері»:

1. Көпбұрыштың қима болып табылатын барлық төбелері тетраэдрдің (параллелепипед, көпбұрыш) шеттерінде жатыр.

2. Қиманың барлық жақтары көпбұрыштың беттерінде жатыр.
3. Көпбұрыштың әрбір бетінде қиманың бір жағынан артық емес (бір немесе жоқ!) болуы мүмкін

Бұл сабақта тетраэдр мен оның элементтерін (тетраэдрдің шеті, беті, беттері, шыңдары) қарастырамыз. Ал тетраэдрдегі қималарды тұрғызуға арналған бірнеше есептерді қималарды салудың жалпы әдісін қолданып шешеміз.

Тақырыбы: Түзулер мен жазықтықтардың параллелдігі

Сабақ: Тетраэдр. Тетраэдрдегі қималарды салуға есептер

Тетраэдрді қалай салуға болады? Ерікті үшбұрышты алайық ABC. Кез келген нүкте D, осы үшбұрыштың жазықтығында жатпайды. Біз 4 үшбұрыш аламыз. Осы 4 үшбұрыштан түзілген бет тетраэдр деп аталады (1. сурет). Осы бетпен шектелген ішкі нүктелер де тетраэдр құрамына кіреді.

Күріш. 1. ABCD тетраэдр

Тетраэдр элементтері
А,Б, C, D - тетраэдрдің төбелері.
AB, А.С., AD, б.з.б., BD, CD - тетраэдр шеттері.
ABC, АҚШ, BDC, ADC - тетраэдр беттері.

Пікір:тегіс алуға болады ABCүшін тетраэдр негізі, содан кейін көрсетіңіз Dболып табылады тетраэдрдің шыңы. Тетраэдрдің әрбір шеті екі жазықтықтың қиылысуы болып табылады. Мысалы, қабырға AB- бұл жазықтықтардың қиылысы ABDЖәне ABC. Тетраэдрдің әрбір төбесі үш жазықтықтың қиылысуы болып табылады. Шың Аұшақтарда жатыр ABC, ABD, АDМЕН. Нүкте Аүш белгіленген жазықтықтың қиылысы болып табылады. Бұл факт былайша жазылған: А= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Тетраэдр анықтамасы

Сонымен, тетраэдртөрт үшбұрыштан құралған бет.

Тетраэдр шеті- тетраэдрдің екі жазықтығының қиылысу сызығы.

6 сіріңкеден 4 бірдей үшбұрыш жасаңыз. Мәселені ұшақта шешу мүмкін емес. Ал мұны ғарышта жасау оңай. Тетраэдрді алайық. 6 сіріңке оның жиектері, тетраэдрдің төрт беті және төрт бірдей үшбұрыш болады. Мәселе шешілді.

Тетраэдр берілген ABCD. Нүкте Мтетраэдрдің шетіне жатады AB, нүкте Нтетраэдрдің шетіне жатады INDжәне кезең Ршетіне жатады DМЕН(Cурет 2.). Тетраэдрдің жазықтықпен кесіндісін сал MNP.

Күріш. 2. 2-есептің суреті – Тетраэдрдің жазықтықпен қимасын тұрғызу

Шешім:
Тетраэдрдің бетін қарастырайық DКүн. Бұл жағынан НЖәне Пбеттерге жатады DКүн, демек тетраэдр. Бірақ нүктенің жағдайына қарай Н, Пкесу жазықтығына жатады. білдіреді, NP- бұл екі жазықтықтың қиылысу сызығы: бет жазықтығы DКүнжәне кесу ұшағы. Бұл түзулер деп алайық NPЖәне Күнпараллель емес. Олар бір жазықтықта жатады DКүн.Түзулердің қиылысу нүктесін табайық NPЖәне Күн. Оны белгілейік Е(Cурет 3.).

Күріш. 3. Есептің суреті 2. Е нүктесін табу

Нүкте Еқима жазықтығына жатады MNP, өйткені ол сызықта жатыр NP, және түзу NPтолығымен қима жазықтығында жатыр MNP.

Сондай-ақ нүкте Еұшақта жатыр ABC, өйткені ол түзу сызықта жатыр Күнұшақтан ABC.

Біз мұны түсінеміз EM- жазықтықтардың қиылысу сызығы ABCЖәне MNP,ұпай бері ЕЖәне Мекі жазықтықта бір уақытта жату - ABCЖәне MNP.Нүктелерді байланыстырайық МЖәне Е, және тура жалғастырыңыз EMсызықпен қиылысуға дейін AC. Түзулердің қиылысу нүктесі EMЖәне ACбелгілейік Q.

Сонымен, бұл жағдайда NPQМ- қажетті бөлім.

Күріш. 4. 2-есептің суреті. 2-есептің шешімі

Енді қашан болған жағдайды қарастырайық NPпараллель б.з.б.. Тіке болса NPкейбір түзуге параллель, мысалы, түзу Күнұшақтан ABC, содан кейін түзу NPбүкіл жазықтыққа параллель ABC.

Қажетті қима жазықтығы түзу сызық арқылы өтеді NP, жазықтыққа параллель ABC, және жазықтықты түзу бойымен қиып өтеді MQ. Сонымен, қиылысу сызығы MQсызыққа параллель NP. аламыз NPQМ- қажетті бөлім.

Нүкте Мбүйір шетінде жатыр АDINтетраэдр ABCD. Тетраэдрдің нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін сал Мнегізіне параллель ABC.

Күріш. 5. 3-есептің суреті Тетраэдрдің жазықтықпен қимасын тұрғыз

Шешімі:
Кесу ұшағы φ жазықтыққа параллель ABCшартқа сәйкес, бұл бұл ұшақты білдіреді φ сызықтарға параллель AB, AC, Күн.
Ұшақта ABDнүкте арқылы Мтікелей жасайық PQпараллель AB(Cурет 5). Тіке PQұшақта жатыр ABD. Ұшақта да солай ACDнүкте арқылы Ртікелей жасайық PRпараллель AC. Ұпай алдым Р. Екі қиылысатын сызық PQЖәне PRұшақ PQRтиісінше екі қиылысатын түзуге параллель ABЖәне ACұшақ ABC, бұл ұшақтарды білдіреді ABCЖәне PQRпараллель. PQR- қажетті бөлім. Мәселе шешілді.

Тетраэдр берілген ABCD. Нүкте М- ішкі нүкте, тетраэдр бетіндегі нүкте ABD. Н- кесіндінің ішкі нүктесі DМЕН(Cурет 6.). Түзудің қиылысу нүктесін салыңыз Н.М.және ұшақтар ABC.

Күріш. 6. 4-есептің суреті

Шешімі:
Мұны шешу үшін біз көмекші ұшақты саламыз DМ.Н. Ол түзу болсын DМнүктесінде AB түзуін қиып өтеді TO(Cурет 7.). Содан кейін, С.ҚD- бұл ұшақтың бір бөлігі DМ.Нжәне тетраэдр. Ұшақта DМ.Нөтірік және түзу Н.М., және алынған түзу С.Қ. Сонымен, егер Н.М.параллель емес С.Қ, содан кейін олар бір нүктеде қиылысады Р. Нүкте Ржәне сызықтың қажетті қиылысу нүктесі болады Н.М.және ұшақтар ABC.

Күріш. 7. 4-есептің суреті. 4-есептің шешімі

Тетраэдр берілген ABCD. М- беттің ішкі нүктесі ABD. Р- беттің ішкі нүктесі ABC. Н- жиектің ішкі нүктесі DМЕН(Cурет 8.). Нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен тетраэдрдің қимасын сал М, НЖәне Р.

Күріш. 8. 5-есептің суреті Тетраэдрдің жазықтықпен қимасын тұрғыз

Шешімі:
Бірінші жағдайды қарастырайық, қашан түзу М.Нжазықтыққа параллель емес ABC. Алдыңғы есепте түзудің қиылысу нүктесін таптық М.Нжәне ұшақтар ABC. Мәселе мынада TO, ол көмекші жазықтықтың көмегімен алынады DМ.Н, яғни. жүргізіп жатырмыз DМжәне біз ұпай аламыз Ф. орындаймыз CFжәне қиылысында М.Нұпай аламыз TO.

Күріш. 9. Есептің суреті 5. К нүктесін табу

Директ жасайық ҚР. Тіке ҚРқима жазықтықта да, жазықтықта да жатады ABC. Ұпайларды алу P 1Және R 2. Қосылуда P 1Және Мжәне жалғасы ретінде біз түйінді аламыз М 1. Нүктенің қосылуы R 2Және Н. Нәтижесінде біз қажетті бөлімді аламыз P 1 P 2 NM 1. Бірінші жағдайда мәселе шешілді.
Екінші жағдайды қарастырайық, қашан түзу М.Нжазықтыққа параллель ABC. Ұшақ MNPтүзу сызық арқылы өтеді М.Нжазықтыққа параллель ABCжәне жазықтықты қиып өтеді ABCкейбір түзу сызық бойымен R 1 R 2, содан кейін түзу R 1 R 2берілген түзуге параллель М.Н(Cурет 10.).

Күріш. 10. 5-есептің суреті. Қажетті бөлім

Енді түзу сызық сызайық R 1 Mжәне біз ұпай аламыз М 1.P 1 P 2 NM 1- қажетті бөлім.

Сонымен, біз тетраэдрге қарап, кейбір типтік тетраэдрлік есептерді шештік. Келесі сабақта параллелепипедті қарастырамыз.

1. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. – 5-ші басылым, түзетілген және кеңейтілген – М.: Мнемосине, 2008. – 288 б. : науқас. Геометрия. 10-11 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарының оқушыларына арналған оқулық (базалық және бейінді деңгейлер)

2. Шарыгин И.Ф.- М.: Бустард, 1999. - 208 б.: ауру. Геометрия. 10-11 сыныптар: Жалпы білім беретін мекемелерге арналған оқулық

3. Е.В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-шы басылым, стереотип. - М.: Тоқаш, 008. - 233 б. :il. Геометрия. 10-сынып: Математиканы тереңдетіп және мамандандырылған оқытатын жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық

Қосымша веб-ресурстар

2. Тетраэдрдің көлденең қимасы қалай салынады. Математика ().

3. Педагогикалық идеялар фестивалі ().

Үйде «Тетраэдр» тақырыбына есептер шығару, тетраэдрдің жиегін, тетраэдрдің беттерін, төбелерін және тетраэдр бетін қалай табуға болады

1. Геометрия. 10-11 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарының оқушыларына арналған оқулық (базалық және бейінді деңгейлер) И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. - 5-ші басылым, түзетілген және кеңейтілген - М.: Мнемосине, 2008. - 288 б.: ауру. 18, 19, 20 тапсырмалар 50 б

2. Нүкте Еортаңғы қабырға М.Атетраэдр MAVS. Тетраэдрдің нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін сал В, СЖәне Е.

3. MABC тетраэдрінде М нүктесі AMV бетіне, Р нүктесі BMC бетіне, К нүктесі АС шетіне жатады. Тетраэдрдің нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін сал М, Р, Қ.

4. Тетраэдрдің жазықтықпен қиылысуы нәтижесінде қандай фигуралар алуға болады?

Планиметрияның аксиомалары:

Әртүрлі оқулықтарда түзулер мен жазықтықтардың қасиеттері әртүрлі тәсілдермен, аксиома, одан қорытынды, теорема, лемма т.б. түрінде берілуі мүмкін. Погорелов А.В. оқулығын қарастырайық.

Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

0

Кез келген жарты түзуден берілген градустық өлшемі 180-ден аз бұрышты берілген жарты жазықтыққа салуға болады. 0 , және тек біреуі.

Үшбұрыш қандай болса да, берілген жерде берілген жарты сызыққа қатысты тең үшбұрыш бар.

Берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы жазықтықта берілгенге параллель ең көбі бір түзу жүргізуге болады.

Стереометрияның аксиомалары:

Қандай жазықтық болса да, осы жазықтыққа жататын нүктелер де, осы жазықтыққа жатпайтын нүктелер де, оған жатпайтын нүктелер де бар.

Егер екі түрлі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

Егер екі түрлі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады, тек біреуі ғана.

Қандай түзу болса да, осы түзуге жататын нүктелер де, оған жатпайтын нүктелер де бар.

Кез келген екі нүкте арқылы түзу сызық жүргізуге болады, тек бір ғана.

Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі қалған екеуінің арасында жатыр.

Әрбір сегменттің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы бар. Кесіндінің ұзындығы оның кез келген нүктесіне бөлінген бөліктердің ұзындықтарының қосындысына тең.

Жазықтыққа жататын түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градус өлшемі бар. Түзу бұрышы 180 0 . Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғалары арасынан өтетін кез келген сәулеге бөлінген бұрыштардың градустық өлшемдерінің қосындысына тең.

Кез келген жарты сызықта оның бастапқы нүктесінен берілген ұзындықтағы сегментті және тек біреуін салуға болады.

Оны қамтитын жазықтықтағы жарты сызықтан берілген градустық өлшемі 180-ден аз бұрышты берілген жарты жазықтыққа салуға болады. 0 , және тек біреуі.

Қандай үшбұрыш болса да, берілген жазықтықта сол жазықтықтағы берілген жарты түзуге қатысты тең үшбұрыш бар.

Жазықтықта берілген түзудің бойында жатпайтын берілген нүкте арқылы берілгенге параллель ең көбі бір түзу жүргізуге болады.

Бөлім

Кеңістікте екі фигура, біздің жағдайымыз үшін жазықтық пен көпбұрыштың келесі өзара орналасуы болуы мүмкін: қиылыспайды, бір нүктеде қиылысады, түзу бойымен қиылысады және жазықтық көпбұрышты ішкі бойымен қиып өтеді (1-сурет). , және бір уақытта келесі сандарды құрайды:

а) бос фигура (қиылыспаңыз)

б) нүкте

в) сегмент

г) көпбұрыш

Егер көпбұрыш пен жазықтықтың қиылысында көпбұрыш болса, онда бұл көпбұрышкөпбұрыштың жазықтықпен кесіндісі деп аталады .

1-сурет

Анықтама. Бөлім кеңістіктік дене (мысалы, көпбұрыш) дененің жазықтықпен қиылысуынан пайда болатын фигура.

Кесу ұшағы көп қырлы екі жағында да берілген көпбұрыштың нүктелері орналасқан кез келген жазықтықты атаймыз.

Жазықтық көпбұрышты оның ішкі бөлігінің бойымен қиып өткен жағдайды ғана қарастырамыз. Бұл жағдайда бұл жазықтықтың көпбұрыштың әрбір бетімен қиылысуы белгілі бір сегмент болады.

Егер жазықтықтар түзу бойымен қиылса, онда түзу түзу деп аталадыосы ұшақтардың бірінің артынан екіншісіне.

Жалпы алғанда, көпбұрыштың қиюшы жазықтығы оның әрбір бетінің жазықтығымен (сондай-ақ осы көпбұрыштың кез келген басқа кесу жазықтығы сияқты) қиылысады. Ол сондай-ақ көпбұрыштың шеттері жататын сызықтардың әрқайсысын қиып өтеді.

Көпбұрыштың кез келген бетінің жазықтығымен қиюшы жазықтық қиылысатын түзу деп аталадыкесу жазықтығы бойынша осы беттің жазықтығында және қиюшы жазықтықтың полиэдрдің кез келген жиегі бар түзумен қиылысу нүктесі деп аталады.кесу жазықтығы бойынша қосулыбұл түзу сызық. Бұл нүкте де қиюшы жазықтықтағы түзудің ізі болып табылады. Егер қиюшы жазықтық полиэдрдің бетін тікелей қиып өтсе, онда біз беттегі қиюшы жазықтықтың ізі туралы және сол сияқты туралы айтуға болады.полиэдрдің шетіндегі кескіш жазықтықтың ізі, яғни қиюшы жазықтықтағы жиектің ізі туралы.

Түзу екі нүкте арқылы бірегей түрде анықталатындықтан, кез келген басқа жазықтықта және, атап айтқанда, полиэдрдің кез келген бетінің жазықтығында қиюшы жазықтықтың ізін табу үшін жазықтықтардың екі ортақ нүктесін салу жеткілікті.

Кесу жазықтығының ізін салу үшін, сондай-ақ осы жазықтықпен көп қырлы қиманы тұрғызу үшін тек көпбұрышты ғана емес, сонымен қатар қиюшы жазықтығы да көрсетілуі керек. Ал қима жазықтығының құрылысы осы жазықтықтың ерекшелігіне байланысты. Жазықтықты, атап айтқанда қиюшы жазықтықты анықтаудың негізгі жолдары мыналар:

бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте;

түзу және онда жатпайтын нүкте;

екі параллель түзу;

екі қиылысатын сызық;

нүкте және екі қиылысатын түзу;

Кесу жазықтығын анықтаудың басқа жолдары да мүмкін.

Сондықтан көп қырлылардың қималарын салудың барлық әдістерін әдістерге бөлуге болады.

Көп қырлылардың қималарын салу әдістері

Стереометриядағы көп қырлылардың кесінділері әдісі құрылыс есептерінде қолданылады. Ол көпбұрыштың қимасын тұрғызу және қиманың түрін анықтау қабілетіне негізделген.

Көп қырлы бөліктерді салудың үш негізгі әдісі бар:

Аксиоматикалық әдіс:

Бақылау әдісі.

Біріктірілген әдіс.

Координат әдісі.

Ескерту із әдісі мен көмекші бөлім әдісі сорт екенінБөлімдерді салудың аксиоматикалық әдісі.

Сондай-ақ көп қырлы қималарды салудың келесі әдістерін ажыратуға болады:

берілген нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың қимасын салу;

берілген түзу арқылы басқа берілген түзуге параллель өтетін қиманы салу;

берілген екі қиылысатын түзуге параллель берілген нүкте арқылы өтетін қиманы салу;

берілген жазықтыққа перпендикуляр берілген түзу арқылы өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың қимасын салу;

берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың кесіндісін салу.

Қиындықтарды салу әдістерін құрайтын негізгі әрекеттерге түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесін табу, екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу, жазықтыққа параллель, жазықтыққа перпендикуляр түзу салу жатады. Екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу үшін әдетте оның екі нүктесі табылып, олар арқылы түзу жүргізіледі. Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін тұрғызу үшін жазықтықтан берілген сызықты қиып өтетін түзуді табыңдар. Содан кейін табылған түзудің берілгенімен қиылысында қажетті нүкте алынады.

Біз санамалағандарды бөлек қарастырайықКөп қырлылардың қималарын салу әдістері:

Бақылау әдісі.

Бақылау әдісі стереометрия аксиомаларына негізделген (негізделген), әдістің мәні фигураның кез келген бетінің жазықтығымен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызығының кескіні болып табылатын көмекші сызықты тұрғызу болып табылады. Төменгі табанның жазықтығымен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызығының кескінін салу ең қолайлы. Бұл сызықкесу жазықтығының негізгі ізі деп аталады . Ізді пайдалана отырып, фигураның бүйір жиектерінде немесе беттерінде орналасқан қиюшы жазықтық нүктелерінің кескіндерін салу оңай. Осы нүктелердің кескіндерін дәйекті түрде байланыстыра отырып, біз қажетті бөліктің кескінін аламыз.

Ескертіп қой қиюшы жазықтықтың негізгі ізін салу кезінде келесі мәлімдеме қолданылады.

Егер нүктелер қиюшы жазықтыққа жататын болса және бір түзуде жатпаса және олардың жазықтыққа проекциясы (орталық немесе параллель) негізгі болып таңдалған болса, онда нүктелер сәйкесінше онда сәйкес түзулердің қиылысу нүктелері, яғни нүктелер мен бір түзудің бойында жатады (1, а, б-сурет).

1.а сур.1.б

Бұл түзу қиюшы жазықтықтың негізгі ізі болып табылады. Нүктелер негізгі ізде жатқандықтан, оны тұрғызу үшін осы үш нүктеден екі нүктені табу жеткілікті.

Көмекші бөлімдер әдісі.

Көп қырлы бөліктерді салудың бұл әдісі әмбебап болып табылады. Кесу жазықтығының қалаған ізі (немесе іздері) сызбадан тыс болған жағдайда, бұл әдіс тіпті белгілі бір артықшылықтарға ие. Сонымен қатар, бұл әдіспен орындалған құрылыстар көбінесе «толып» болатынын есте ұстаған жөн. Дегенмен, кейбір жағдайларда көмекші бөлімдер әдісі ең ұтымды болып шығады.

Біріктірілген әдіс

Көпжүзділердің қималарын салудың құрама әдісінің мәні аксиоматикалық әдіспен бірге кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігі туралы теоремаларды қолдану болып табылады.

Бөлімдерді салудың координаталық әдісі.

Координаталық әдістің мәні жазықтықтың теңдеуі арқылы нақтыланатын қырлардың немесе көпбұрыштардың қиылысу жазықтығымен қиылысу нүктелерінің координаталарын есептеу болып табылады. Кесу жазықтығының теңдеуі есеп шарттары негізінде есептеледі.

Ескерту көп қырлы қиманы құрудың бұл әдісі компьютер үшін қолайлы, өйткені ол үлкен көлемдегі есептеулерді қамтиды, сондықтан бұл әдісті компьютер арқылы жүзеге асыру орынды.

Біздің негізгі міндетіміз көпбұрыштың жазықтықпен қимасын салу болады, яғни. осы екі жиынның қиылысын салуда.

Көп қырлылардың қималарының құрылысы

Ең алдымен, дөңес көпбұрыштың қимасы дөңес жалпақ көпбұрыш екенін, оның төбелері жалпы жағдайда қиюшы жазықтықтың көпбұрыштың шеттерімен, ал қабырғалары оның қиылысу нүктелері болатынын атап өтеміз. беттер.

Бөлімдерді құру мысалдары:

Бөлімді анықтау әдістері өте алуан түрлі. Олардың ең көп тарағаны – бір түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы қиюшы жазықтықты анықтау әдісі.

1-мысал. Параллелепипед ABCDA үшін 1 Б 1 C 1 D 1 . M, N, L нүктелері арқылы өтетін қиманы тұрғыз.

Шешімі:

АА жазықтығында жатқан M және L нүктелерін қосыңыз 1 D 1 D.

ML түзуін (қимаға жататын) А жиегімен қиылысайық 1 D 1 1 D 1 D. X нүктесін алыңыз 1 .

X1 нүктесі А шетінде жатыр 1 D 1 , демек А жазықтығы 1 Б 1 C 1 D 1 , біз оны бір жазықтықта жатқан N тігісімен байланыстырамыз.

X 1 N А жиегін қиып өтеді 1 Б 1 К нүктесінде.

Бір АА жазықтығында жатқан К және М нүктелерін қосыңыз 1 Б 1 Б.

Қима жазықтығының ДД жазықтығымен қиылысу түзуін табайық 1 C 1 C:

ML түзуін (қимаға жататын) DD жиегімен қиылысайық 1 , олар AA бір жазықтықта жатады 1 D 1 D, біз X нүктесін аламыз 2 .

KN түзуін (қимаға жататын) D шетімен қиылысайық 1 C 1 , олар бір жазықтықта жатады А 1 Б 1 C 1 D 1 , біз X3 нүктесін аламыз;

X2 және X3 нүктелері DD жазықтығында жатыр 1 C 1 C. Х түзуін сызыңыз 2 X 3 , ол C шетімен қиылысады 1 C T нүктесінде, ал DC жиегі P нүктесінде. Және ABCD жазықтығында жатқан L және P нүктелерін қосыңыз.

Сонымен, егер жазықтық көпбұрыштың беттерін қиып өтетін барлық кесінділер табылса, мәселе шешілген болып саналады, біз солай істедік. MKNTPL - қажетті бөлім.

Ескерту. Қима құрудың дәл осы мәселесін параллель жазықтықтар қасиетін пайдалана отырып шешуге болады.

Жоғарыда айтылғандардан осы типтегі есептерді шешудің алгоритмін (ережесін) құруға болады.

Көп қырлы бөліктерді салу ережелері:

1. бір жазықтықта жатқан нүктелер арқылы түзулер жүргізу;

   Біз қима жазықтығының көпбұрыштың беттерімен тікелей қиылысуларын іздейміз, ол үшін:

2-мысал. DЛ, М

Аксиоматикалық әдіс арқылы шешейік:

Көмекші жазықтықты салайықDKM, ол АВ және ВС шеттерін Е және нүктелерінде қиып өтедіФ(2-суреттегі шешімнің орындалу барысы). Осы көмекші жазықтықта қима жазықтығының CM «ізін» салайық, СМ мен Е қиылысу нүктесін табайық.Ф– P нүктесі. Р нүктесі, сияқтыЛ, ABC жазықтығында жатыр және оның бойымен қима жазықтығы АВС жазықтығымен қиылысатын түзу жүргізуге болады («АВС жазықтығындағы қиманың ізі»).

3-мысал. MABCD пирамидасының АВ және AD шеттерінде сәйкесінше P және Q нүктелерін, осы шеттердің ортаңғы нүктелерін, ал MC шетінде R нүктесін анықтаймыз. Пирамиданың жазықтық өтетін кесіндісін салайық. P, Q және R нүктелері.

Біз шешімді аралас әдіспен орындаймыз:

1). PQR жазықтығының негізгі ізі PQ түзу сызығы екені анық.

2). MAC жазықтығы PQ түзуін қиып өтетін К нүктесін табайық. K және R нүктелері PQR және MAC жазықтығына жатады. Сондықтан KR түзуін жүргізе отырып, осы жазықтықтардың қиылысу сызығын аламыз.

3). N=AC BD нүктесін тауып, MN түзуін жүргізіп, F=KR MN нүктесін табайық.

4). F нүктесі PQR және MDB жазықтықтарының ортақ нүктесі, яғни бұл жазықтықтар F нүктесі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады. Сонымен бірге PQ АҚШ үшбұрышының орта сызығы болғандықтан, PQ BD параллель, яғни PQ сызығы MDB жазықтығына параллель. Сонда PQ түзу сызығы арқылы өтетін PQR жазықтығы МДБ жазықтығымен PQ түзуіне параллель түзу бойымен, яғни BD параллель және түзуімен қиылысады. Сондықтан MDB жазықтығында F нүктесі арқылы BD түзуіне параллель түзу жүргіземіз.

5). Әрі қарайғы құрылыстар суреттен анық көрінеді. Нәтижесінде біз PQD «RB» көпбұрышын аламыз - қажетті қима

Призманың көлденең қималарын қарастырайық қарапайымдылығы үшін, яғни логикалық ойлаудың ыңғайлылығы үшін кубтың қималарын қарастырайық (3.а-сурет):

Күріш. 3.а

Бүйір шеттеріне параллель жазықтықтары бар призманың кесінділері параллелограммдар. Атап айтқанда, диагональды қималар параллелограмм болып табылады (4-сурет).

Def. Диагональды қима Призманы бір бетке жатпайтын екі бүйір шетінен өтетін жазықтық кеседі.

Призманың диагональ кесіндісінің нәтижесінде пайда болатын көпбұрыш параллелограмм болып табылады. Диагональды қималардың саны туралы сұрақn-бұрыштық призма диагональдар саны туралы сұраққа қарағанда қиынырақ. Негізде диагональдар қанша болса, сонша бөлімдер болады. Біз дөңес призманың табанында дөңес көпбұрыштар, ал дөңес призма болатынын білемізn-диагональдардың гонасы. Сонымен, диагональ қималары диагональдардың жартысына тең деп айта аламыз.

Ескерту: Суретте параллелепипедтің қималарын салғанда, егер қиюшы жазықтық кейбір кесінділер бойымен екі қарама-қарсы бетті қиып өтсе, онда бұл кесінділер параллелепипедтің қасиеті бойынша параллель болатынын ескеру керек, яғни. Параллелепипедтің қарама-қарсы беттері параллель және тең».

Біз жиі қойылатын сұрақтарға жауап береміз:

Кубты жазықтықпен кескенде қандай көпбұрыштар алынады?

«үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш».

Текшені ұшақпен жетібұрышқа кесуге бола ма? Сегізбұрыш ше?

«олар алмайды».

3) Сұрақ туындайды: көпбұрышты жазықтықпен қию арқылы көпбұрыш қабырғаларының ең көп саны қанша болады?

Көпбұрышты жазықтықпен кесу арқылы алынған көпбұрыштың қабырғаларының ең көп саны көпбұрыштың беттерінің санына тең .

3-мысал. А призманың көлденең қимасын сал 1 Б 1 C 1 D 1 M, N, K үш нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен ABCD.

Призманың бетіндегі M, N, K нүктелерінің орналасу жағдайын қарастырайық (5-сурет).

Жағдайды қарастырайық: Бұл жағдайда M1 = B1 екені анық.

Құрылысы:

4-мысал. ABCDA параллелепипедінің кесіндісін сал 1 Б 1 C 1 D 1 M, N, P нүктелері арқылы өтетін жазықтық (нүктелер сызбада көрсетілген (6-сурет)).

Шешімі:

Күріш. 6

N және P нүктелері қима жазықтығында және параллелепипедтің төменгі табанының жазықтығында жатыр. Осы нүктелер арқылы өтетін түзу салайық. Бұл түзу параллелепипед табанының жазықтығына қиюшы жазықтықтың ізі.

Параллелепипедтің АВ қай жағында жатқан түзуді жалғастырайық. AB және NP түзулері қандай да бір S нүктесінде қиылысады. Бұл нүкте қима жазықтығына жатады.

М нүктесі де қима жазықтығына жатады және АА түзуін қиып өтетіндіктен 1 белгілі бір уақытта X.

X және N нүктелері АА бетінің бір жазықтығында жатыр 1 D 1 D, оларды қосып, XN түзуін алыңыз.

Параллелепипедтің беттерінің жазықтықтары параллель болғандықтан, М нүктесі арқылы А бетіне түзу жүргізуге болады. 1 Б 1 C 1 D 1 , NP сызығына параллель. Бұл сызық В жағымен қиылысады 1 МЕН 1 Y нүктесінде.

Сол сияқты XN түзуіне параллель YZ түзуін жүргіземіз. Біз Z-ді P-мен байланыстырамыз және қажетті бөлімді аламыз - MYZPNX.

Пирамиданың төбесінен өтетін жазықтықтар кесінділері үшбұрыштар болып табылады. Атап айтқанда, үшбұрыштар диагональды кесінділер болып табылады. Бұл пирамиданың екі іргелес емес бүйір жиегі арқылы өтетін жазықтықтардың кесінділері.

4-мысал. ABC пирамидасының көлденең қимасын салDК нүктелері арқылы өтетін жазықтық,Л, М.

Шешімі:

1. Тағы бір көмекші жазықтықты салайықҚДТжәне В қиылысу нүктесін салыңызЛЖәнеDK – E нүктесі. Бұл нүкте екі көмекші жазықтыққа да жатады (7-сурет, б);

   Кесінділердің қиылысу нүктесін табайықЛ.М.және EC (бұл сегменттер жазықтықта жатырBLC, 7-сурет, в) – нүктеФ. НүктеФқима жазықтықта және жазықтықта жатырҚДТ;

   Директ жасайықҚ.Фжәне осы түзудің қиылысу нүктесін табыңызDC– нүктеН(нүктеНбөліміне жатады). ТөртбұрышKLNM– қажетті бөлім.

Осы бір мысалды басқаша шешейік .

К нүктелерінде деп есептейік,Л, және M құрастырылған бөлімKLNM(Cурет 7). арқылы белгілейікФтөртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесіKLNM. Директ жасайықDFжәне арқылы белгілеңізФ 1 оның ABC жиегімен қиылысу нүктесі. НүктеФ 1 AM және SC түзулерінің қиылысу нүктесіне сәйкес келеді (Ф 1 бір мезгілде AM ұшақтарына жатадыDЖәнеDSK). Толық аялдамаФ 1 салу оңай. Әрі қарай біз нүкте саламызФқиылысу нүктесі ретіндеDF 1 ЖәнеЛ.М.. Әрі қарай біз нүктені табамызН.

Қарастырылған техника деп аталадыішкі дизайн әдісі . (Біздің жағдайда біз орталық дизайн туралы айтып отырмыз. ТөртбұрышҚMSA - төртбұрыштың проекциясыKMNLнүктесіненD. Бұл жағдайда диагональдардың қиылысу нүктесіKMNL– нүктеФ– төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесіне барадыҚMSA - нүктеФ 1 .

Көпбұрыштың қима ауданы.

Көпбұрыштың көлденең қимасының ауданын есептеу мәселесі әдетте бірнеше кезеңде шешіледі. Егер есепте кесінді салынған (немесе қиюшы жазықтық сызылған және т.б.) болса, онда шешімнің бірінші кезеңінде кесіндіде алынған фигураның түрі анықталады.

Бұл көлденең қиманың ауданын есептеу үшін сәйкес формуланы таңдау үшін жасалуы керек. Бөлімде алынған фигураның түрі нақтыланғаннан кейін және осы фигураның ауданын есептеу үшін формула таңдалғаннан кейін біз тікелей есептеу жұмысына көшеміз.

Кейбір жағдайларда бөлімде алынған фигураның түрін анықтамай, теоремадан туындайтын формуланы пайдаланып оның ауданын тікелей есептеуге өтсеңіз, оңайырақ болуы мүмкін.

Көпбұрыштың ортогональ проекциясының ауданы туралы теорема: Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы оның ауданы мен көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең: .

Секцияның ауданын есептеудің дұрыс формуласы: мұндағы кесіндіде алынған фигураның ортогональ проекциясының ауданы және бұл кескін проекцияланатын қиюшы жазықтық пен жазықтық арасындағы бұрыш. Бұл шешіммен кесіндіде алынған фигураның ортогональ проекциясын салу және есептеу керек.

Егер мәселенің қойылымында кесінді тұрғызу керек және алынған бөліктің ауданын табу керек болса, онда бірінші кезеңде берілген қиманы негізді түрде салу керек, содан кейін, әрине, алынған фигураның түрін анықтау керек. бөлім және т.

Келесі фактіні атап өтейік: дөңес көпбұрыштардың кесінділері салынғандықтан, қима көпбұрышы да дөңес болады, сондықтан оның ауданын үшбұрыштарға бөлу арқылы табуға болады, яғни қима ауданы аудандарының қосындысына тең. ол құрастырылған үшбұрыштар.

1-тапсырма.

– табанының қабырғасы тең және биіктігі тең үшбұрышты пирамида Пирамиданың қабырғасының ортасы болатын нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін салып, оның ауданын табыңдар (8-сурет).

Шешім.

Пирамиданың көлденең қимасы үшбұрыш. Оның ауданын табайық.

Пирамиданың табаны тең бүйірлі үшбұрыш және нүктесі қабырғасының ортасы болғандықтан, ол биіктігі, содан кейін, .

Үшбұрыштың ауданын табуға болады:

2-тапсырма.

Дұрыс призманың бүйір қыры табанының бүйір жағына тең. Жазықтықтары нүкте арқылы өтетін призманың кесінділерін салА, түзуге перпендикуляр Егер призманың алынған көлденең қимасының ауданын тапсақ.

Шешім.

Берілген бөлімді құрастырайық. Мұны таза геометриялық ойлардан жасайық, мысалы, келесідей.

Берілген түзу мен берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықта осы нүкте арқылы өтетін түзуге перпендикуляр түзу жүргізіңіз (9-сурет). Ол үшін үшбұрыштағы фактіні қолданайық яғни оның медианасы да осы үшбұрыштың биіктігі. Сондықтан бұл түзу.

Нүкте арқылы түзуге перпендикуляр тағы бір түзу жүргіземіз. Оны, мысалы, түзу арқылы өтетін жазықтықта сызайық. Бұл сызық түзу сызық екені анық

Сонымен, түзуге перпендикуляр екі қиылысатын түзу салынады. Бұл түзулер түзуге перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықты анықтайды, яғни қиюшы жазықтық көрсетіледі.

Осы жазықтықпен призманың кесіндісін тұрғызайық. Себебі түзу жазықтыққа параллель екенін ескеріңіз. Сонда түзу арқылы өтетін жазықтық жазықтықты түзуге параллель түзудің, яғни түзудің бойымен қиып өтеді. Нүкте арқылы түзу жүргізіп, алынған нүктені нүктемен қосамыз.

Төртбұрышты кесінді. Оның ауданын анықтайық.

Төртбұрыштың тіктөртбұрыш екені анық, яғни оның ауданы

күріш. 9

Көп қырлылардың жазықтықпен кесіндісі не деп аталатынын білесіз бе? Егер сіз осы сұраққа жауабыңыздың дұрыстығына әлі де күмәндансаңыз, өзіңізді оңай тексере аласыз. Төменде қысқаша сынақтан өтуді ұсынамыз.

Сұрақ. Параллелепипедтің жазықтықпен кесіндісін көрсететін фигураның нөмірі қандай?

Сонымен, дұрыс жауап 3-суретте берілген.

Егер сіз дұрыс жауап берсеңіз, бұл сіздің немен айналысып жатқаныңызды түсінгеніңізді растайды. Бірақ, өкінішке орай, тест сұрағына дұрыс жауап тіпті «Көп қырлы бөлімдер» тақырыбы бойынша сабақтарда ең жоғары баға алуға кепілдік бермейді. Ақыр соңында, ең қиын нәрсе - дайын сызбалардағы бөлімдерді тану емес, бірақ бұл өте маңызды, бірақ олардың құрылысы.

Алдымен көп қырлы қиманың анықтамасын тұжырымдаймыз. Сонымен, көпбұрыштың кесіндісі деп төбелері көпбұрыштың шеттерінде, ал қабырғалары оның беттерінде жататын көпбұрышты айтады.

Енді қиылысу нүктелерін тез және дәл салуға жаттығып көрейік берілген жазықтықпен берілген түзу. Ол үшін келесі есепті шығарайық.

M нүктесі CC 1 бүйір жиегіне, ал N нүктесі ВВ 1 жиегіне жататын жағдайда ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың төменгі және жоғарғы табандарының жазықтықтарымен MN түзуінің қиылысу нүктелерін тұрғызыңыз.

Сызбада MN түзуін екі жаққа да ұзартудан бастайық (1-сурет). Содан кейін есеппен талап етілетін қиылысу нүктелерін алу үшін үстіңгі және төменгі негізде жатқан сызықтарды ұзартамыз. Енді мәселені шешудің ең қиын сәті келеді: екі негіздегі сызықтарды ұзарту керек, өйткені олардың әрқайсысында үш сызық бар.

Құрылыстың соңғы сатысын дұрыс аяқтау үшін тікелей негіздердің қайсысы бізді қызықтыратын MN түзу сызығымен бір жазықтықта орналасқанын анықтау керек. Біздің жағдайда бұл төменгі жақтағы түзу CB және жоғарғы негіздегі C 1 B 1. Және дәл осылар NM түзуімен қиылысқанша ұзартылады (2-сурет).

Алынған P және P 1 нүктелері MN түзуінің ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың жоғарғы және төменгі табандарының жазықтықтарымен қиылысу нүктелері болып табылады.

Ұсынылған мәселені талдағаннан кейін сіз тікелей көп қырлы бөліктерді салуға кірісе аласыз. Мұндағы негізгі мәселе қалаған нәтижеге жетуге көмектесетін ой-пікір болады. Нәтижесінде біз осы типтегі есептерді шешу кезінде әрекеттер тізбегін көрсететін үлгіні жасауға тырысамыз.

Сонымен, келесі мәселені қарастырайық. ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың сәйкесінше AA 1, AC және BB 1 қырларына жататын X, Y, Z нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін салыңыз.

Шешуі: Сызба сызып, бір жазықтықта қандай жұп нүктелер жатқанын анықтайық.

X және Y, X және Z нүктелерінің жұптарын қосуға болады, өйткені олар бір жазықтықта жатады.

Z нүктесімен бір беткейде жататын қосымша нүктені тұрғызайық.Ол үшін XY және CC 1 түзулерін ұзартамыз, өйткені олар AA 1 C 1 C бет жазықтығында жатады.Алынған нүктені Р деп атаймыз.

P және Z нүктелері бір жазықтықта - CC 1 B 1 B бетінің жазықтығында жатыр. Сондықтан оларды қосуға болады. PZ түзу сызығы CB жиегін белгілі бір нүктеде қиып өтеді, оны T деп атаймыз. Y және T нүктелері призманың төменгі жазықтығында жатыр, оларды қосыңыз. Осылайша, YXZT төртбұрышы құрылды және бұл қалаған қима.

Қорытындылайық. Көпбұрыштың жазықтықпен кесіндісін салу үшін мынаны орындау керек:

1) бір жазықтықта жатқан жұп нүктелер арқылы түзулер жүргізу.

2) көпбұрыштың қима жазықтықтары мен беттері қиылысатын түзулерді табыңыз. Ол үшін беттердің бірінде жатқан түзумен қима жазықтығына жататын түзудің қиылысу нүктелерін табу керек.

Көп қырлылардың қималарын салу процесі күрделі, себебі ол әрбір нақты жағдайда әртүрлі. Және ешбір теория оны басынан аяғына дейін сипаттамайды. Шындығында, кез-келген көп қырлылардың бөлімдерін тез және дәл салуды үйренудің бір ғана сенімді жолы бар - бұл тұрақты тәжірибе. Сіз неғұрлым көп бөлімдерді құрастырсаңыз, болашақта мұны істеу оңайырақ болады.

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.