Толық квадрат теңдеу формуласын. Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

«, яғни бірінші дәрежелі теңдеулер. Бұл сабақта біз қарастырамыз квадрат теңдеу деп нені атайдыжәне оны қалай шешуге болады.

Квадрат теңдеу дегеніміз не?

Маңызды!

Теңдеудің дәрежесі белгісіздің ең жоғары дәрежесімен анықталады.

Егер белгісіз болатын максималды қуат «2» болса, онда сізде квадрат теңдеу бар.

Квадрат теңдеулердің мысалдары

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Маңызды! Квадрат теңдеудің жалпы түрі келесідей:

A x 2 + b x + c = 0

«a», «b» және «c» сандары берілген.

• «a» - бірінші немесе ең жоғары коэффициент;
• «b» – екінші коэффициент;
• «c» - бос мүше.

«a», «b» және «c» табу үшін теңдеуіңізді «ax 2 + bx + c = 0» квадрат теңдеудің жалпы түрімен салыстыру керек.

Квадрат теңдеулерде «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтауға жаттықтырайық.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

теңдеу	Мүмкіндіктер
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Квадрат теңдеулерді шешу жолы

Сызықтық теңдеулерден айырмашылығы, квадрат теңдеулерді шешу үшін арнайы әдіс қолданылады. түбірлерді табу формуласы.

Есіңізде болсын!

Квадрат теңдеуді шешу үшін мыналар қажет:

• квадрат теңдеуді «ax 2 + bx + c = 0» жалпы түріне келтіріңіз.
• Яғни, оң жағында тек «0» қалуы керек;

түбірлер үшін формуланы қолданыңыз:

Квадрат теңдеудің түбірлерін табу үшін формуланы пайдаланудың мысалын қарастырайық. Квадрат теңдеуді шешейік.

X 2 − 3x − 4 = 0 “x 2 − 3x − 4 = 0” теңдеуі әлдеқашан “ax 2 + bx + c = 0” жалпы түріне келтірілген және қосымша жеңілдетулерді қажет етпейді. Оны шешу үшін бізге тек өтініш беру керек.

квадрат теңдеудің түбірін табу формуласы

Осы теңдеу үшін «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтайық.
Осы теңдеу үшін «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтайық.
Осы теңдеу үшін «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтайық.
Осы теңдеу үшін «a», «b» және «c» коэффициенттерін анықтайық.

x 1;2 =

Оны кез келген квадрат теңдеуді шешуге пайдалануға болады.
«x 1;2 = » формуласында радикалды өрнек жиі ауыстырылады

«D» әрпі үшін «b 2 − 4ac» және дискриминант деп аталады. Дискриминант ұғымы «Дисскриминант дегеніміз не» сабағында толығырақ қарастырылады.

Квадрат теңдеудің тағы бір мысалын қарастырайық.

x 2 + 9 + x = 7x

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Енді сіз түбірлер үшін формуланы пайдалана аласыз.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Жауабы: x = 3

Квадрат теңдеулердің түбірі болмайтын кездер болады. Бұл жағдай формулада түбір астында теріс сан болған кезде орын алады.

Қазіргі қоғамда квадраттық айнымалысы бар теңдеулермен амалдарды орындау мүмкіндігі қызметтің көптеген салаларында пайдалы болуы мүмкін және ғылыми-техникалық әзірлемелерде тәжірибеде кеңінен қолданылады. Бұған теңіз және өзен кемелерінің, ұшақтар мен зымырандардың конструкциясы дәлел бола алады. Осындай есептеулерді пайдалана отырып, әртүрлі денелердің, соның ішінде ғарыш объектілерінің қозғалыс траекториялары анықталады. Квадрат теңдеулердің шешімі бар мысалдар тек экономикалық болжауда, ғимараттарды жобалау мен салуда ғана емес, сонымен қатар қарапайым күнделікті жағдайларда да қолданылады. Олар жаяу сапарларда, спорттық іс-шараларда, дүкендерде сатып алу кезінде және басқа да өте жиі кездесетін жағдайларда қажет болуы мүмкін.

Өрнекті құрамдас факторларға бөлейік

Теңдеудің дәрежесі өрнек құрамындағы айнымалының дәрежесінің ең үлкен мәнімен анықталады. Егер ол 2-ге тең болса, онда мұндай теңдеу квадрат деп аталады.

Егер біз формулалар тілінде айтатын болсақ, онда көрсетілген өрнектер қалай көрінсе де, өрнектің сол жағы үш мүшеден тұратын кезде әрқашан пішінге келтірілуі мүмкін. Олардың ішінде: ax 2 (яғни, оның коэффициенті бар квадратты айнымалы), bx (коэффиценті бар квадратсыз белгісіз) және с (бос компонент, яғни қарапайым сан). Осының бәрі оң жағында 0-ге тең. Мұндай көпмүшенің 2-ші балдан басқа құрамдас мүшелерінің бірі жетіспейтін жағдайда, ол толық емес квадрат теңдеу деп аталады. Мұндай есептерді шешудің мысалдары, айнымалылардың мәндерін табу оңай, бірінші кезекте қарастырылуы керек.

Егер өрнектің оң жағында екі мүшесі бар сияқты көрінсе, дәлірек айтқанда ax 2 және bx, x табудың ең оңай жолы айнымалыны жақшадан шығару болып табылады. Енді біздің теңдеуіміз келесідей болады: x(ax+b). Әрі қарай, не x=0, не мәселе келесі өрнектен айнымалыны табуға келетіні анық болады: ax+b=0. Бұл көбейтудің бір қасиетімен белгіленеді. Ереже екі фактордың көбейтіндісі олардың біреуі нөлге тең болса ғана 0 болатынын айтады.

Мысал

x=0 немесе 8x - 3 = 0

Нәтижесінде теңдеудің екі түбірін аламыз: 0 және 0,375.

Бұл түрдегі теңдеулер координаталар басы ретінде қабылданған белгілі бір нүктеден қозғала бастаған ауырлық күшінің әсерінен денелердің қозғалысын сипаттай алады. Мұнда математикалық жазу келесі формада болады: y = v 0 t + gt 2 /2. Қажетті мәндерді қойып, оң жағын 0-ге теңестіріп, мүмкін белгісіздерді табу арқылы дененің көтерілуінен құлағанға дейінгі уақытты, сонымен қатар басқа да көптеген шамаларды білуге ​​болады. Бірақ бұл туралы кейінірек айтатын боламыз.

Өрнекті факторинг

Жоғарыда сипатталған ереже бұл мәселелерді күрделі жағдайларда шешуге мүмкіндік береді. Осы типтегі квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.

X 2 - 33x + 200 = 0

Бұл квадрат үшмүше толық. Алдымен өрнекті түрлендірейік және көбейткіштерге бөлейік. Олардың екеуі бар: (х-8) және (х-25) = 0. Нәтижесінде бізде 8 және 25 екі түбір бар.

9-сыныпта квадрат теңдеулерді шешу мысалдары бұл әдіс тек екінші емес, тіпті үшінші және төртінші ретті өрнектерде айнымалыны табуға мүмкіндік береді.

Мысалы: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Оң жағын айнымалысы бар көбейткіштерге жіктегенде олардың үшеуі болады, яғни (х+1), (х-3) және (х+) 3).

Нәтижесінде бұл теңдеудің үш түбірі болатыны белгілі болады: -3; -1; 3.

Шаршы түбір

Толық емес екінші ретті теңдеудің тағы бір жағдайы – оң жағы ax 2 және c құрамдастарынан құрастырылатындай әріптер тілінде берілген өрнек. Мұнда айнымалының мәнін алу үшін бос мүше оң жаққа ауыстырылады, содан кейін теңдіктің екі жағынан да квадрат түбір алынады. Айта кету керек, бұл жағдайда әдетте теңдеудің екі түбірі болады. Айнымалысы нөлге тең болатын мүшесі мүлде жоқ теңдіктер, сондай-ақ оң жағы теріс болып шыққан кездегі өрнектердің нұсқалары ерекше жағдайлар болуы мүмкін. Соңғы жағдайда шешімдер мүлдем жоқ, өйткені жоғарыда аталған әрекеттерді тамырлармен орындау мүмкін емес. Осы типтегі квадрат теңдеулердің шешімдерінің мысалдарын қарастыру керек.

Бұл жағдайда теңдеудің түбірлері -4 және 4 сандары болады.

Жер көлемін есептеу

Мұндай есептеулерге деген қажеттілік ерте заманда пайда болды, өйткені сол шалғай дәуірлерде математиканың дамуы негізінен жер учаскелерінің аудандары мен периметрлерін барынша дәлдікпен анықтау қажеттілігімен айқындалды.

Сондай-ақ осы тектес есептер негізінде квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырған жөн.

Сонымен, ұзындығы енінен 16 метр үлкен төртбұрышты жер телімі делік. Егер сіз оның ауданы 612 м2 екенін білсеңіз, сайттың ұзындығын, енін және периметрін табуыңыз керек.

Бастау үшін алдымен қажетті теңдеуді құрайық. Ауданның енін х деп белгілейік, сонда оның ұзындығы (x+16) болады. Жазылғандардан аудан x(x+16) өрнегі арқылы анықталатыны шығады, ол біздің есептің шарты бойынша 612. Бұл x(x+16) = 612 дегенді білдіреді.

Толық квадрат теңдеулерді шешу және дәл осы өрнекті дәл осылай орындау мүмкін емес. Неліктен? Сол жағында әлі екі фактор болса да, олардың көбейтіндісі мүлдем 0-ге тең емес, сондықтан мұнда әртүрлі әдістер қолданылады.

Дискриминант

Ең алдымен біз қажетті түрлендірулерді жасаймыз, содан кейін бұл өрнектің көрінісі келесідей болады: x 2 + 16x - 612 = 0. Бұл біз өрнекті бұрын көрсетілген стандартқа сәйкес формада алдық дегенді білдіреді, мұндағы a=1, b=16, c= -612.

Бұл дискриминантты пайдаланып квадрат теңдеулерді шешудің мысалы болуы мүмкін. Мұнда сызба бойынша қажетті есептеулер жүргізіледі: D = b 2 - 4ac. Бұл көмекші шама екінші ретті теңдеуде қажетті шамаларды табуға мүмкіндік беріп қана қоймайды, мүмкін болатын нұсқалардың санын анықтайды. Егер D>0 болса, олардың екеуі бар; D=0 үшін бір түбір бар. Д жағдайда<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Түбірлер және олардың формуласы туралы

Біздің жағдайда дискриминант мынаған тең: 256 - 4(-612) = 2704. Бұл біздің мәселеміздің жауабы бар екенін көрсетеді. Егер сіз k білсеңіз, квадрат теңдеулерді шешуді төмендегі формула арқылы жалғастыру керек. Ол түбірлерді есептеуге мүмкіндік береді.

Бұл ұсынылған жағдайда: x 1 =18, x 2 =-34 дегенді білдіреді. Бұл дилеммадағы екінші нұсқа шешім бола алмайды, өйткені жер учаскесінің өлшемдерін теріс мөлшерде өлшеу мүмкін емес, яғни х (яғни учаскенің ені) 18 м. Осы жерден біз ұзындығын есептейміз: 18 +16=34, ал периметрі 2(34+ 18)=104(м2).

Мысалдар мен тапсырмалар

Квадрат теңдеулерді оқуды жалғастырамыз. Олардың бірнешеуінің мысалдары мен егжей-тегжейлі шешімдері төменде келтірілген.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Барлығын теңдіктің сол жағына жылжытайық, түрлендіру жасайық, яғни стандартты деп аталатын теңдеу түрін аламыз және оны нөлге теңестіреміз.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ұқсастарды қосып, дискриминантты анықтаймыз: D = 49 - 48 = 1. Бұл біздің теңдеуіміздің екі түбірі болады дегенді білдіреді. Оларды жоғарыдағы формула бойынша есептейік, яғни олардың біріншісі 4/3-ке, екіншісі 1-ге тең болады.

2) Енді басқа түрдегі жұмбақтарды шешейік.

Мұнда x 2 - 4x + 5 = 1 түбірлері бар-жоғын анықтайық? Толық жауап алу үшін көпмүшені сәйкес кәдімгі пішінге келтіріп, дискриминантты есептейік. Жоғарыда келтірілген мысалда квадрат теңдеуді шешудің қажеті жоқ, өйткені бұл мәселенің мәні мүлде емес. Бұл жағдайда D = 16 - 20 = -4, бұл шын мәнінде түбірлердің жоқтығын білдіреді.

Виетаның теоремасы

Квадрат теңдеулерді жоғарыда келтірілген формулалар мен дискриминантты пайдаланып шешу ыңғайлы, егер соңғысының мәнінен квадрат түбір алынғанда. Бірақ бұл әрқашан бола бермейді. Дегенмен, бұл жағдайда айнымалы мәндерді алудың көптеген жолдары бар. Мысалы: Виет теоремасын пайдаланып квадрат теңдеулерді шешу. Ол 16 ғасырда Францияда өмір сүрген және оның математикалық таланты мен соттағы байланыстарының арқасында тамаша мансапқа ие болған адамның есімімен аталған. Оның портретін мақаладан көруге болады.

Атақты француз байқаған үлгі мынадай болды. Ол теңдеудің түбірлері сан жағынан -p=b/a қосылатынын, ал олардың көбейтіндісі q=c/a сәйкес келетінін дәлелдеді.

Енді нақты тапсырмаларды қарастырайық.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Қарапайымдылық үшін өрнекті түрлендірейік:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виет теоремасын қолданайық, бұл бізге келесіні береді: түбірлердің қосындысы -7, ал олардың көбейтіндісі -18. Осыдан біз теңдеудің түбірлері -9 және 2 сандары екенін аламыз. Тексергеннен кейін бұл айнымалы мәндердің өрнекке шынымен сәйкес келетініне көз жеткіземіз.

Парабола графигі және теңдеуі

Квадраттық функция мен квадрат теңдеулер ұғымдары бір-бірімен тығыз байланысты. Бұған мысалдар бұрын да келтірілген. Енді кейбір математикалық жұмбақтарды толығырақ қарастырайық. Сипатталған түрдегі кез келген теңдеуді көрнекі түрде беруге болады. График ретінде сызылған мұндай қатынас парабола деп аталады. Оның әртүрлі түрлері төмендегі суретте берілген.

Кез келген параболаның төбесі, яғни оның тармақтары шығатын нүктесі болады. Егер а>0 болса, олар шексіздікке дейін көтеріледі, ал а болғанда<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функциялардың көрнекі көріністері кез келген теңдеулерді, соның ішінде квадраттық теңдеулерді шешуге көмектеседі. Бұл әдіс графикалық деп аталады. Ал х айнымалысының мәні график сызығының 0х-пен қиылысатын нүктелеріндегі абсцисса координатасы болып табылады. Төбенің координаталарын x 0 = -b/2a берілген формула арқылы табуға болады. Ал алынған мәнді функцияның бастапқы теңдеуіне қойып, у 0, яғни ордината осіне жататын парабола төбесінің екінші координатасын табуға болады.

Парабола тармақтарының абсцисса осімен қиылысуы

Квадрат теңдеулерді шешудің көптеген мысалдары бар, бірақ жалпы заңдылықтар да бар. Оларды қарастырайық. Графиктің a>0 үшін 0x осімен қиылысуы 0 теріс мәндерді қабылдаған жағдайда ғана мүмкін болатыны анық. Және а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Әйтпесе D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Парабола графигінен түбірлерін де анықтауға болады. Керісінше де шындық. Яғни, квадраттық функцияның көрнекі көрінісін алу оңай болмаса, өрнектің оң жағын 0-ге теңестіріп, алынған теңдеуді шешуге болады. Ал 0x осімен қиылысу нүктелерін біле отырып, графикті құру оңайырақ.

Тарихтан

Квадрат айнымалысы бар теңдеулерді пайдалана отырып, ескі күндерде олар тек математикалық есептеулер жүргізіп қана қоймай, геометриялық фигуралардың аудандарын анықтады. Ежелгі адамдарға мұндай есептеулер физика мен астрономия салаларындағы үлкен жаңалықтар үшін, сондай-ақ астрологиялық болжамдар жасау үшін қажет болды.

Қазіргі ғалымдардың пайымдауынша, Вавилон тұрғындары квадрат теңдеулерді бірінші болып шешкен. Бұл біздің дәуірден төрт ғасыр бұрын болған. Әрине, олардың есептеулері қазіргі уақытта қабылданғандардан түбегейлі өзгеше болды және әлдеқайда қарапайым болып шықты. Мысалы, Месопотамия математиктерінде теріс сандардың бар екендігі туралы түсінік болмаған. Олар сондай-ақ кез келген қазіргі мектеп оқушысы білетін басқа нәзіктіктермен таныс емес еді.

Үндістандық данышпан Баудхаяма Вавилон ғалымдарынан да ертерек квадрат теңдеулерді шеше бастады. Бұл Мәсіхтің дәуірінен шамамен сегіз ғасыр бұрын болған. Рас, ол берген екінші ретті теңдеулер, шешу әдістері ең қарапайым болды. Одан басқа қытай математиктерін де ертеде осындай сұрақтар қызықтырған. Еуропада квадрат теңдеулер 13 ғасырдың басында ғана шешіле бастады, бірақ кейінірек оларды Ньютон, Декарт және басқа да көптеген ұлы ғалымдар өз еңбектерінде пайдаланды.

Мысалы, үшмүшелік \(3x^2+2x-7\) үшін дискриминант \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) тең болады. Ал \(x^2-5x+11\) үшмүшесі үшін ол \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) тең болады.

Дискриминант \(D\) әрпімен белгіленеді және оны шешуде жиі қолданылады. Сондай-ақ, дискриминанттың мәні бойынша графиктің шамамен қалай көрінетінін түсінуге болады (төменде қараңыз).

Квадрат теңдеудің дискриминанты және түбірлері

Дискриминант мәні квадрат теңдеулердің санын көрсетеді:
- егер \(D\) оң болса, теңдеудің екі түбірі болады;
- егер \(D\) нөлге тең болса – бір ғана түбір бар;
- егер \(D\) теріс болса, онда түбірлер болмайды.

Бұны үйретудің қажеті жоқ, дискриминанттан (яғни, \(\sqrt(D)\) квадраттың түбірлерін есептеу формуласына кіретінін біле тұра, мұндай қорытындыға келу қиын емес. теңдеу: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) және \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt() D))(2a)\) Әр жағдайды толығырақ қарастырайық.

Егер дискриминант оң болса

Бұл жағдайда оның түбірі қандай да бір оң сан, яғни \(x_(1)\) және \(x_(2)\) әртүрлі мағынаға ие болады, өйткені бірінші формулада \(\sqrt(D)\ ) қосылады, ал екіншісінде шегеріледі. Ал бізде екі түрлі тамыр бар.

Мысал : \(x^2+2x-3=0\) теңдеуінің түбірін табыңыз.
Шешім :

Жауап : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Егер дискриминант нөлге тең болса

Дискриминант нөлге тең болса, неше түбір болады? Дәлелдеп көрейік.

Түбір формулалары келесідей: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) және \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ал егер дискриминант нөлге тең болса, онда оның түбірі де нөлге тең болады. Сонда былай шығады:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Яғни, теңдеу түбірлерінің мәндері сәйкес келеді, өйткені нөлді қосу немесе азайту ештеңені өзгертпейді.

Мысал : \(x^2-4x+4=0\) теңдеуінің түбірін табыңыз.
Шешім :

\(x^2-4x+4=0\)		Коэффициенттерді жазамыз:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Дискриминантты \(D=b^2-4ac\) формуласы арқылы есептейміз.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Теңдеудің түбірлерін табу
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Бізде екі бірдей түбір бар, сондықтан оларды бөлек жазудың қажеті жоқ - біз оларды бір деп жазамыз.

Жауап : \(x=2\)

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулалары. Нақты, еселік және күрделі түбірлердің жағдайлары қарастырылады. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу. Геометриялық интерпретация. Түбірлерді анықтау және факторинг мысалдары.

Негізгі формулалар

Квадрат теңдеуді қарастырайық:
(1) .
Квадрат теңдеудің түбірлері(1) формулалар бойынша анықталады:
; .
Бұл формулаларды келесідей біріктіруге болады:
.
Квадрат теңдеудің түбірлері белгілі болса, екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштердің көбейтіндісі (көбейткіш) ретінде көрсетуге болады:
.

Содан кейін біз бұл нақты сандар деп есептейміз.
қарастырайық квадрат теңдеудің дискриминанты:
.
Егер дискриминант оң болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі түрлі нақты түбірі болады:
; .
Сонда квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу келесідей болады:
.
Егер дискриминант нөлге тең болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі еселі (тең) нақты түбірі болады:
.
Факторизация:
.
Егер дискриминант теріс болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі күрделі конъюгаттық түбірі болады:
;
.
Мұндағы елестету бірлік, ;
және түбірлердің нақты және елес бөліктері:
; .
Содан кейін

.

Графикалық интерпретация

Функцияның сызбасын салсаңыз
,
ол парабола болса, онда графтың осімен қиылысу нүктелері теңдеудің түбірлері болады
.
нүктесінде график х осін (осін) екі нүктеде қиып өтеді.
болғанда, график бір нүктеде х осіне тиеді.
болғанда, график х осін кесіп өтпейді.

Төменде осындай графиктердің мысалдары берілген.

Квадрат теңдеулерге қатысты пайдалы формулалар

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Түрлендірулерді орындаймыз және (f.1) және (f.3) формулаларын қолданамыз:




,
Қайда
; .

Сонымен, біз екінші дәрежелі көпмүшенің формуласын алдық:
.
Бұл теңдеу екенін көрсетеді

орындалады
Және .
Яғни және квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады
.

Квадрат теңдеудің түбірлерін анықтау мысалдары

1-мысал

(1.1) .

Шешім

.
(1.1) теңдеуімен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант оң болғандықтан теңдеудің екі нақты түбірі болады:
;
;
.

Осыдан квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуді аламыз:

.

y = функциясының графигі 2 x 2 + 7 x + 3х осін екі нүктеде қиып өтеді.

Функцияның графигін салайық
.
Бұл функцияның графигі парабола. Ол абсцисса осін (ось) екі нүктеде кесіп өтеді:
Және .
Бұл нүктелер (1.1) бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады.

Жауап

;
;
.

2-мысал

Квадрат теңдеудің түбірін табыңыз:
(2.1) .

Шешім

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазайық:
.
Бастапқы (2.1) теңдеуімен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант нөлге тең болғандықтан, теңдеудің екі еселі (тең) түбірі болады:
;
.

Сонда үшмүшені көбейткіштерге жіктеу келесідей болады:
.

y = x функциясының графигі 2 - 4 x + 4бір нүктеде x осіне тиеді.

Функцияның графигін салайық
.
Бұл функцияның графигі парабола. Ол бір нүктеде x осіне (осіне) тиеді:
.
Бұл нүкте (2.1) бастапқы теңдеудің түбірі болып табылады. Өйткені бұл түбір екі рет көбейткіштерге бөлінеді:
,
онда мұндай түбір әдетте еселік деп аталады. Яғни, олар екі бірдей түбір бар деп есептейді:
.

Жауап

;
.

3-мысал

Квадрат теңдеудің түбірін табыңыз:
(3.1) .

Шешім

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазайық:
(1) .
Бастапқы (3.1) теңдеуді қайта жазайық:
.
(1)-мен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Біз дискриминантты табамыз:
.
Дискриминант теріс, .

Сондықтан нақты тамырлар жоқ.
;
;
.

Сіз күрделі түбірлерді таба аласыз:


.

Содан кейін

Функцияның графигін салайық
.
Функцияның графигі х осінен қиылыспайды. Нақты тамырлар жоқ.

Жауап

Бұл функцияның графигі парабола. Ол х осімен (ось) қиылыспайды. Сондықтан нақты тамырлар жоқ.
;
;
.

Нақты тамырлар жоқ. Күрделі тамырлар:

Теңдеулерді қолдану өмірімізде кең таралған. Олар көптеген есептеулерде, құрылымдарды салуда және тіпті спортта қолданылады. Адам ерте заманда теңдеулерді қолданды, содан бері олардың қолданылуы тек көбейді. Дискриминант кез келген квадрат теңдеуді жалпы формуланы пайдаланып шешуге мүмкіндік береді, оның келесі формасы бар:

Дискриминант формуласы көпмүшенің дәрежесіне байланысты. Жоғарыда келтірілген формула келесі түрдегі квадрат теңдеулерді шешу үшін қолайлы:

Дискриминанттың білуі керек келесі қасиеттері бар:

* Көпмүшенің көп түбірлері (түбірлері тең) болғанда «D» 0 болады;

* «D» көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше, сондықтан оның коэффициенттері бойынша көпмүше болып табылады; оның үстіне бұл көпмүшенің коэффициенттері түбірлері алынған кеңейтімге қарамастан бүтін сандар болып табылады.

Бізге келесі түрдегі квадрат теңдеу берілді делік:

1 теңдеу

Формула бойынша бізде:

\ болғандықтан теңдеудің 2 түбірі бар. Оларды анықтайық:

Дискриминантты онлайн шешуші арқылы теңдеуді қай жерде шешуге болады?