Бүгін біз мектептегі геометрия есептеріне жиі қойылатын конустың генератриксін қалай табуға болатынын айтамыз.
Конус генерациясы туралы түсінік
Оң жақ конус - тікбұрышты үшбұрышты оның бір катетінің айналасында айналдыру арқылы алынған фигура. Конустың негізі шеңбер құрайды. Конустың тік қимасы үшбұрыш, көлденең қимасы шеңбер. Конустың биіктігі - конустың жоғарғы бөлігін негіздің ортасына қосатын кесінді. Конустың генератрисы - конустың төбесін негіздік шеңбер сызығының кез келген нүктесімен қосатын кесінді.
Конус тікбұрышты үшбұрышты айналдыру арқылы пайда болатындықтан, мұндай үшбұрыштың бірінші катеті биіктік, екіншісі - табанындағы шеңбердің радиусы, ал гипотенузасы - конустың генератриксі болып табылады. Пифагор теоремасы генератордың ұзындығын есептеу үшін пайдалы екенін болжау қиын емес. Ал енді конустың генератрицасының ұзындығын қалай табуға болатыны туралы толығырақ.
Генераторды табу
Генераторды қалай табу керектігін түсінудің ең оңай жолы - нақты мысал. Есептің келесі шарттары берілген делік: биіктігі 9 см, негізі шеңбердің диаметрі 18 см генератриканы табу керек.
Сонымен, конустың биіктігі (9 см) бұл конустың көмегімен пайда болған тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің бірі болып табылады. Екінші катет негізгі шеңбердің радиусы болады. Радиусы диаметрдің жартысы. Осылайша, бізге берілген диаметрді екіге бөліп, радиустың ұзындығын аламыз: 18:2 = 9. Радиус 9.
Енді конустың генератриксін табу өте оңай. Ол гипотенуза болғандықтан, оның ұзындығының квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына, яғни радиус пен биіктіктің квадраттарының қосындысына тең болады. Сонымен, генератор ұзындығының квадраты = 64 (радиус ұзындығының квадраты) + 64 (биіктік ұзындығының квадраты) = 64x2 = 128. Енді 128-дің квадрат түбірін аламыз. нәтижесінде екінің сегіз түбірін аламыз. Бұл конустың генератриксі болады.
Көріп отырғаныңыздай, бұл жерде күрделі ештеңе жоқ. Мысалы, біз есептің қарапайым шарттарын алдық, бірақ мектеп курсында олар күрделірек болуы мүмкін. Есіңізде болсын, генератрицаның ұзындығын есептеу үшін шеңбердің радиусы мен конустың биіктігін білу керек. Бұл деректерді біле отырып, генератрицаның ұзындығын табу оңай.
Мектепте оқытылатын айналу денелері цилиндр, конус және шар.
Егер математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға қатысты мәселеде конустың көлемін немесе шардың ауданын есептеу керек болса, өзіңізді бақытты деп санаңыз.
Цилиндрдің, конустың және шардың көлемі мен бетінің ауданына формулаларды қолданыңыз. Олардың барлығы біздің үстелде. Жаттап үйрен. Стереометрия туралы білім осыдан басталады.
Кейде көріністі жоғарыдан салу жақсы. Немесе, осы мәселедегідей, төменнен.
2. Тұрақты төртбұрышты пирамиданың айналасында сызылған конустың көлемі осы пирамидаға сызылған конустың көлемінен неше есе артық?
Бұл қарапайым - көріністі төменнен сызыңыз. Үлкен шеңбердің радиусы кіші шеңбердің радиусынан есе үлкен екенін көреміз. Екі конустың биіктігі бірдей. Демек, үлкен конустың көлемі екі есе үлкен болады.
Тағы бір маңызды сәт. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның В бөлімінің есептерінде жауап бүтін сан немесе соңғы ондық бөлшек түрінде жазылатыны есімізде. Сондықтан сіздің жауапыңызда В бөлігінде ешқандай немесе болмауы керек. Санның жуық мәнін ауыстырудың да қажеті жоқ! Ол міндетті түрде қысқаруы керек! Дәл осы мақсатта кейбір есептерде тапсырма келесідей тұжырымдалады: «Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын бөлуге бөліңіз».
Айналым денелерінің көлемі мен бетінің ауданы формулалары тағы қай жерде қолданылады? Әрине, С2 (16) есепте. Ол туралы да айтып береміз.
Конустың не екенін білеміз, оның бетінің ауданын табуға тырысайық. Неліктен сізге мұндай мәселені шешу керек? Мысалы, вафли конусын жасауға қанша қамыр кететінін түсіну керек пе? Немесе кірпіштен құлып төбесін жасау үшін қанша кірпіш қажет?
Конустың бүйір бетінің ауданын өлшеу оңай емес. Бірақ сол мүйізді матаға оралған елестетіп көрейік. Матаның бір бөлігінің ауданын табу үшін оны кесіп, үстелге қою керек. Нәтижесінде жалпақ фигура, оның ауданын таба аламыз.
Күріш. 1. Конустың генатрикс бойымен кесіндісі
Конуспен де солай істейік. Оның бүйір бетін кез келген генератрикс бойымен «кесіп» алайық, мысалы (1-суретті қараңыз).
Енді бүйір бетін жазықтыққа «тартайық». Біз сектор аламыз. Бұл сектордың центрі конустың төбесі, сектордың радиусы конустың генератриксіне тең, ал оның доғасының ұзындығы конус табанының шеңберімен сәйкес келеді. Бұл сектор конустың бүйір бетінің дамуы деп аталады (2-суретті қараңыз).
Күріш. 2. Бүйір бетінің дамуы
Күріш. 3. Радиандағы бұрышты өлшеу
Қолда бар деректерді пайдалана отырып, сектордың ауданын табуға тырысайық. Алдымен белгіні енгізейік: сектордың төбесіндегі бұрыш радианмен болсын (3-суретті қараңыз).
Бізге проблемаларды шешудің жоғарғы жағындағы бұрышпен жиі айналысуға тура келеді. Әзірге сұраққа жауап беруге тырысайық: бұл бұрыш 360 градустан жоғары бола алмайды ма? Яғни, сыпырудың өзі қабаттасатыны көрінбейді ме? Әрине жоқ. Мұны математикалық түрде дәлелдеп көрейік. Сканерлеудің өзіне «суперпозиц» болсын. Бұл сыпыру доғасының ұзындығы радиус шеңберінің ұзындығынан үлкен екенін білдіреді. Бірақ, жоғарыда айтылғандай, сыпыру доғасының ұзындығы шеңбердің ұзындығы радиусы . Ал конус табанының радиусы, әрине, генератрицадан кіші, мысалы, тікбұрышты үшбұрыштың катеті гипотенузаға қарағанда кіші
Содан кейін планиметрия курсынан екі формуланы еске түсірейік: доғаның ұзындығы. Саланың ауданы: .
Біздің жағдайда рөлді генератор атқарады , ал доғаның ұзындығы конус табанының шеңберіне тең, яғни. Бізде бар:
Соңында біз аламыз: .
Бүйір бетінің ауданымен қатар жалпы бетінің ауданын да табуға болады. Мұны істеу үшін негіздің ауданын бүйір бетінің ауданына қосыңыз. Бірақ негізі - формула бойынша ауданы -ге тең радиусы бар шеңбер.
Ақырында бізде: , мұндағы цилиндр табанының радиусы, генератор.
Берілген формулаларды пайдаланып, бірнеше есеп шығарайық.
Күріш. 4. Қажетті бұрыш
1-мысал. Конустың бүйір бетінің дамуы шыңында бұрышы бар сектор болып табылады. Конустың биіктігі 4 см, табанының радиусы 3 см болса, осы бұрышты табыңыз (4-суретті қараңыз).
Күріш. 5. Конусты құрайтын тікбұрышты үшбұрыш
Бірінші әрекет арқылы Пифагор теоремасы бойынша генераторды табамыз: 5 см (5-суретті қараңыз). Әрі қарай, біз мұны білеміз .
2-мысал. Конустың осьтік көлденең қимасының ауданы тең, биіктігі тең. Жалпы бетінің ауданын табыңыз (6-суретті қараңыз).
