Нұсқаулар

Тараптаржәне бұрыштар негізгі элементтер болып саналады А. Үшбұрыш оның келесі негізгі элементтерінің кез келгенімен толығымен анықталады: не үш қабырғасы, не бір қабырғасы және екі бұрышы немесе екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш. Тіршілік үшін үшбұрыш a, b, c үш жағы берілген, теңсіздіктер деп аталатын теңсіздіктерді қанағаттандыру үшін қажет және жеткілікті үшбұрыш:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Құрылысқа үшбұрыш a, b, c үш жағында CB = a кесіндісінің С нүктесінен циркульмен радиусы b шеңбер сызу қажет. Содан кейін дәл осылай В нүктесінен радиусы с қабырғасына тең шеңбер сызыңыз. Олардың қиылысу нүктесі А - қалағанның үшінші шыңы үшбұрыш ABC, мұндағы AB=c, CB=a, CA=b - жақтары үшбұрыш. Есепте, егер a, b, c жақтары теңсіздіктерді қанағаттандырса үшбұрыш 1-қадамда көрсетілген.

S ауданы осылай салынған үшбұрышБелгілі жақтары a, b, c болатын АВС Герон формуласымен есептеледі:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
мұндағы a, b, c қабырғалары үшбұрыш, p – жартылай периметр.
p = (a+b+c)/2

Егер үшбұрыш тең ​​қабырғалы болса, яғни оның барлық қабырғалары тең (a=b=c).Аудан үшбұрышформула бойынша есептеледі:
S=(a^2 v3)/4

Егер үшбұрыш тік бұрышты болса, яғни оның бір бұрышы 90°-қа тең болса және оны құрайтын қабырғалары катет болса, үшінші қабырғасы гипотенуза болады. Бұл жағдайда шаршыекіге бөлінген аяқтардың көбейтіндісіне тең.
S=ab/2

Табу үшін шаршы үшбұрыш, сіз көптеген формулалардың бірін пайдалана аласыз. Қандай деректер бұрыннан белгілі екеніне байланысты формуланы таңдаңыз.

Сізге қажет болады

• үшбұрыштың ауданын табу формулаларын білу

Нұсқаулар

Егер сіз қабырғалардың бірінің өлшемін және оған қарама-қарсы бұрыштан осы жаққа түсірілген биіктіктің мәнін білсеңіз, онда сіз ауданды мынаны пайдаланып таба аласыз: S = a*h/2, мұндағы S - аудан. үшбұрыштың а - үшбұрыштың қабырғаларының бірі, ал h - биіктігі, а жағына.

Үшбұрыштың ауданын анықтаудың белгілі әдісі бар, егер оның үш қабырғасы белгілі болса. Бұл Герон формуласы. Оның жазылуын жеңілдету үшін аралық мән енгізіледі - жартылай периметр: p = (a+b+c)/2, мұндағы a, b, c - . Сонда Герон формуласы келесідей: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ дәреже көрсеткіші.

Үшбұрыштың бір қабырғасы мен үш бұрышын білдіңіз делік. Сонда үшбұрыштың ауданын табу оңай: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), мұнда β - а қабырғасына қарама-қарсы бұрыш, ал α және γ - қабырғаға іргелес бұрыштар.

Тақырып бойынша бейнеролик

Ескерту

Барлық жағдайларға қолайлы ең жалпы формула – Герон формуласы.

Дереккөздер:

3-кеңес: Үш қабырғаға негізделген үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Үшбұрыштың ауданын табу мектептегі планиметриядағы ең көп таралған мәселелердің бірі болып табылады. Кез келген үшбұрыштың ауданын анықтау үшін үшбұрыштың үш қабырғасын білу жеткілікті. Тең бүйірлі үшбұрыштардың ерекше жағдайларында сәйкесінше екі және бір қабырғасының ұзындықтарын білу жеткілікті.

Сізге қажет болады

• үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары, Герон формуласы, косинус теоремасы

Нұсқаулар

Үшбұрыштың ауданы үшін Герон формуласы келесідей: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Егер р жарты периметрін жазсақ, мынаны аламыз: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Үшбұрыштың ауданы үшін формуланы ойлардан шығаруға болады, мысалы, косинус теоремасын қолдану арқылы.

Косинус теоремасы бойынша AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Енгізілген белгілерді пайдалана отырып, оларды келесі түрде де жазуға болады: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Демек, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Үшбұрыштың ауданы екі қабырға мен олардың арасындағы бұрышты пайдаланып S = a*c*sin(ABC)/2 формуласы бойынша да табылады. ABC бұрышының синусын негізгі тригонометриялық сәйкестендіру арқылы өрнектеуге болады: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2).Синусты ауданның формуласына қойып, оны жазу арқылы. , сіз ABC үшбұрышының ауданының формуласына келе аласыз.

Тақырып бойынша бейнеролик

Жөндеу жұмыстарын жүргізу үшін өлшеу қажет болуы мүмкін шаршықабырғалар Бұл бояудың немесе тұсқағаздың қажетті мөлшерін есептеуді жеңілдетеді. Өлшеу үшін таспаны немесе өлшеуіш таспаны қолданған дұрыс. Өлшеулер кейін жүргізілуі керек қабырғалартеңестірілді.

Сізге қажет болады

• -рулетка;
• - баспалдақ.

Нұсқаулар

Санау үшін шаршықабырғалар үшін сіз төбелердің нақты биіктігін білуіңіз керек, сонымен қатар еденнің ұзындығын өлшеуіңіз керек. Бұл келесідей жасалады: сантиметрді алып, оны тақтайшаның үстіне қойыңыз. Әдетте сантиметр бүкіл ұзындығы үшін жеткіліксіз, сондықтан оны бұрышта бекітіңіз, содан кейін оны максималды ұзындыққа дейін босатыңыз. Осы кезде қарындашпен белгі қойыңыз, алынған нәтижені жазып алыңыз және соңғы өлшеу нүктесінен бастап дәл осылай әрі қарай өлшеуді жүргізіңіз.

Стандартты төбелер үйге байланысты 2 метр 80 сантиметр, 3 метр және 3 метр 20 сантиметр. Егер үй 50-ші жылдарға дейін салынған болса, онда нақты биіктік көрсетілгеннен сәл төмен болуы мүмкін. Есептеп жатсаңыз шаршыжөндеу жұмыстары үшін, содан кейін шағын жеткізілім зиян тигізбейді - стандартты ескере отырып қарастырыңыз. Егер сіз әлі де нақты биіктікті білуіңіз керек болса, өлшемдерді алыңыз. Принцип ұзындықты өлшеуге ұқсас, бірақ сізге баспалдақ қажет болады.

Алынған көрсеткіштерді көбейтіңіз - бұл шаршысенікі қабырғалар. Рас, кескіндеме немесе бояу үшін оны шегеру керек шаршыесіктер мен терезе саңылаулары. Мұны істеу үшін саңылаудың бойымен сантиметрді қойыңыз. Егер сіз кейіннен өзгерткіңіз келетін есік туралы айтатын болсақ, онда тек ескеріп, есік жақтауын алып тастауды жалғастырыңыз. шаршытікелей ашудың өзіне. Терезенің ауданы оның жақтауының периметрі бойынша есептеледі. Кейін шаршытерезе мен есікті есептеп, нәтижені бөлменің жалпы ауданынан шегеріңіз.

Бөлменің ұзындығы мен енін өлшеуді екі адам орындайтынын ескеріңіз, бұл сантиметрді немесе рулетканы бекітуді жеңілдетеді және сәйкесінше дәлірек нәтиже алыңыз. Алынған сандардың дәлдігіне көз жеткізу үшін бірдей өлшемді бірнеше рет орындаңыз.

Тақырып бойынша бейнеролик

Үшбұрыштың көлемін табу шынымен де тривиальды емес тапсырма. Өйткені, үшбұрыш екі өлшемді фигура, яғни. ол толығымен бір жазықтықта жатыр, яғни оның көлемі жоқ. Әрине, жоқ нәрсені таба алмайсыз. Бірақ берілмейік! Біз келесі болжамды қабылдай аламыз: екі өлшемді фигураның көлемі оның ауданы болып табылады. Біз үшбұрыштың ауданын іздейміз.

Сізге қажет болады

• парақ, қарындаш, сызғыш, калькулятор

Нұсқаулар

Сызғыш пен қарындашты пайдаланып қағаз бетіне сурет салыңыз. Үшбұрышты мұқият зерттей отырып, оның шын мәнінде үшбұрышы жоқ екеніне көз жеткізуге болады, өйткені ол жазықтықта сызылған. Үшбұрыштың қабырғаларын белгілеңіз: бір қабырғасы «a», екінші қабырғасы «b», үшінші қабырғасы «c» болсын. Үшбұрыштың төбелерін «А», «В» және «С» әріптерімен белгіле.

Үшбұрыштың кез келген қабырғасын сызғышпен өлшеп, нәтижесін жаз. Осыдан кейін өлшенген жаққа перпендикулярды оған қарама-қарсы шыңнан қалпына келтіріңіз, мұндай перпендикуляр үшбұрыштың биіктігі болады. Суретте көрсетілген жағдайда перпендикуляр «h» «А» шыңынан «c» жағына қалпына келтіріледі. Алынған биіктікті сызғышпен өлшеп, өлшеу нәтижесін жазыңыз.

Сізге дәл перпендикулярды қалпына келтіру қиын болуы мүмкін. Бұл жағдайда басқа формуланы пайдалану керек. Үшбұрыштың барлық қабырғаларын сызғышпен өлшеңіз. Осыдан кейін қабырғалардың алынған ұзындықтарын қосу және олардың қосындысын екіге бөлу арқылы «p» үшбұрышының жарты периметрін есептеңіз. Жартылай периметрдің мәні сіздің қолыңызда болса, сіз Герон формуласын пайдалана аласыз. Ол үшін мыналардың квадрат түбірін алу керек: p(p-a)(p-b)(p-c).

Сіз үшбұрыштың қажетті ауданын алдыңыз. Үшбұрыштың көлемін табу мәселесі шешілген жоқ, бірақ жоғарыда айтылғандай, көлемі шешілмейді. Сіз үш өлшемді әлемде негізінен үшбұрыш болып табылатын көлемді таба аласыз. Егер біздің бастапқы үшбұрышымыз үш өлшемді пирамидаға айналды деп елестетсек, онда мұндай пирамиданың көлемі оның табанының ұзындығы мен үшбұрыштың алынған ауданына көбейтіндісі болады.

Ескерту

Неғұрлым мұқият өлшесеңіз, есептеулеріңіз соғұрлым дәл болады.

Дереккөздер:

• «Бәрі бәріне» калькуляторы – анықтамалық мәндер порталы
• 2019 жылы үшбұрыш көлемі

Декарттық координаталар жүйесінде үшбұрышты бірегей түрде анықтайтын үш нүкте оның төбелері болып табылады. Координаталық осьтердің әрқайсысына қатысты олардың орнын біле отырып, сіз осы жазық фигураның кез келген параметрлерін, соның ішінде оның периметрімен шектелген параметрлерін есептей аласыз. шаршы. Мұны бірнеше жолмен жасауға болады.

Нұсқаулар

Ауданды есептеу үшін Герон формуласын пайдаланыңыз үшбұрыш. Ол фигураның үш жағының өлшемдерін қамтиды, сондықтан есептеулерді -ден бастаңыз. Әрбір жақтың ұзындығы оның координаталық осьтерге проекцияларының ұзындықтарының квадраттарының қосындысының түбіріне тең болуы керек. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) және C(X₃,Y₃,Z₃) координаталарын белгілесек, олардың қабырғаларының ұзындықтарын былай өрнектеуге болады: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Есептеулерді жеңілдету үшін көмекші айнымалыны енгізіңіз - жартылай периметр (P). Бұл барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысының жартысы болғандықтан: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Үшбұрыштың ауданын анықтау үшін әртүрлі формулаларды қолдануға болады. Барлық әдістердің ішінде ең оңай және жиі қолданылатын - биіктікті негіздің ұзындығына көбейту, содан кейін нәтижені екіге бөлу. Дегенмен, бұл әдіс жалғыздан алыс. Төменде әртүрлі формулаларды пайдаланып үшбұрыштың ауданын қалай табуға болатынын оқи аласыз.

Бөлек, біз үшбұрыштардың нақты түрлерінің ауданын есептеу жолдарын қарастырамыз - тікбұрышты, тең қабырғалы және теңбүйірлі. Біз әрбір формулаға оның мәнін түсінуге көмектесетін қысқаша түсіндірмені қоса береміз.

Үшбұрыштың ауданын табудың әмбебап әдістері

Төмендегі формулалар арнайы белгілерді пайдаланады. Біз олардың әрқайсысының шифрын ашамыз:

• a, b, c – біз қарастырып отырған фигураның үш жағының ұзындықтары;
• r – біздің үшбұрышқа сызуға болатын шеңбердің радиусы;
• R - оның айналасында сипатталатын шеңбердің радиусы;
• α - b және c қабырғалары түзетін бұрыштың шамасы;
• β – а мен с арасындағы бұрыштың шамасы;
• γ - а және b қабырғалары түзетін бұрыштың шамасы;
• h - α бұрышынан а жағына түсірілген үшбұрышымыздың биіктігі;
• p – a, b және c жақтарының қосындысының жартысы.

Неліктен үшбұрыштың ауданын осылай табуға болатыны логикалық түсінікті. Үшбұрышты параллелограмға оңай толтыруға болады, онда үшбұрыштың бір жағы диагональ ретінде әрекет етеді. Параллелограммның ауданы оның бір қабырғасының ұзындығын оған түсірілген биіктіктің мәніне көбейту арқылы табылады. Диагональ бұл шартты параллелограммды 2 бірдей үшбұрышқа бөледі. Демек, біздің бастапқы үшбұрышымыздың ауданы осы көмекші параллелограммның жартысына тең болуы керек екені анық.

S=½ a b sin γ

Бұл формула бойынша үшбұрыштың ауданы оның екі қабырғасының ұзындықтарын, яғни а және b-ны олар жасаған бұрыштың синусына көбейту арқылы табылады. Бұл формула алдыңғысынан логикалық түрде алынған. Егер биіктікті β бұрышынан b қабырғасына түсірсек, онда тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттеріне сәйкес а қабырғасының ұзындығын γ бұрышының синусына көбейткенде үшбұрыштың биіктігін аламыз, яғни h. .

Қарастырылып отырған фигураның ауданы оған жазуға болатын шеңбердің радиусының жартысын оның периметріне көбейту арқылы табылады. Басқаша айтқанда, біз аталған шеңбердің жартылай периметрі мен радиусының көбейтіндісін табамыз.

S= a b c/4R

Бұл формула бойынша бізге қажетті шаманы фигураның қабырғаларының көбейтіндісін оның айналасында сипатталған шеңбердің 4 радиусына бөлу арқылы табуға болады.

Бұл формулалар әмбебап болып табылады, өйткені олар кез келген үшбұрыштың ауданын анықтауға мүмкіндік береді (масштаб, тең қабырғалы, теңбүйірлі, тікбұрышты). Мұны біз егжей-тегжейлі тоқтатпайтын күрделі есептеулер арқылы жасауға болады.

Арнайы қасиеттері бар үшбұрыштардың аудандары

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады? Бұл фигураның ерекшелігі - оның екі жағы бір мезгілде оның биіктігі болып табылады. Егер a және b катеттер болса, ал с гипотенузаға айналса, онда ауданды келесідей табамыз:

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады? Оның ұзындығы а екі жағы және ұзындығы b бір жағы бар. Демек, оның ауданын а қабырғасының квадратының көбейтіндісін γ бұрышының синусына 2-ге бөлу арқылы анықтауға болады.

Теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады? Онда барлық қабырғалардың ұзындығы а-ға тең, ал барлық бұрыштардың шамасы α-ға тең. Оның биіктігі а қабырғасының ұзындығы мен 3-тің квадрат түбірінің көбейтіндісінің жартысына тең. Дұрыс үшбұрыштың ауданын табу үшін а қабырғасының квадратын 3-тің квадрат түбіріне көбейтіп, оны бөлу керек. 4.

Үшбұрыш – бір түзудің бойында жатпайтын нүктелерде қосылатын үш түзуден тұратын геометриялық фигура. Сызықтардың қосылу нүктелері үшбұрыштың төбелері болып табылады, олар латын әріптерімен белгіленеді (мысалы, A, B, C). Үшбұрыштың байланыстырушы түзулері кесінділер деп аталады, олар да әдетте латын әріптерімен белгіленеді. Үшбұрыштардың келесі түрлері бөлінеді:

• Тікбұрышты.
• Доғал.
• Жедел бұрыштық.
• Жан-жақты.
• Тең жақты.
• Изосцелярлар.

Үшбұрыштың ауданын есептеудің жалпы формулалары

Ұзындығы мен биіктігіне негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула

S= a*h/2,
Мұндағы a – ауданы табылуға тиісті үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы, h – табанына түсірілген биіктіктің ұзындығы.

Герон формуласы

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
мұндағы √ – квадрат түбірі, p – үшбұрыштың жарты периметрі, a,b,c – үшбұрыштың әр қабырғасының ұзындығы. Үшбұрыштың жарты периметрін p=(a+b+c)/2 формуласы арқылы есептеуге болады.

Сегменттің бұрышы мен ұзындығына негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула

S = (a*b*sin(α))/2,
Мұндағы b,c – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы, sin(α) – екі қабырға арасындағы бұрыштың синусы.

Іштей сызылған шеңбер мен үш қабырғаның радиусы берілген үшбұрыштың ауданына арналған формула

S=p*r,
Мұндағы p – ауданы табылуға тиісті үшбұрыштың жарты периметрі, r – осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

Үш қабырғаға негізделген үшбұрыштың ауданы және оның айналасында сызылған шеңбердің радиусы формуласы

S= (a*b*c)/4*R,
Мұндағы a,b,c – үшбұрыштың әр қабырғасының ұзындығы, R – үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің радиусы.

Нүктелердің декарттық координаталары арқылы үшбұрыштың ауданына арналған формула

Нүктелердің декарттық координаталары xOy жүйесіндегі координаталар, мұндағы х - абцисса, у - ордината. Жазықтықтағы xOy декарттық координаталар жүйесі О нүктесінде ортақ басы бар Ox және Oy өзара перпендикуляр сандық осьтер. Егер осы жазықтықтағы нүктелердің координаталары A(x1, y1), B(x2, y2) түрінде берілсе. ) және C(x3, y3 ), содан кейін екі вектордың векторлық көбейтіндісінен алынатын келесі формуланы пайдаланып үшбұрыштың ауданын есептеуге болады.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
қайда || модуль дегенді білдіреді.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Тік бұрышты үшбұрыш – бір бұрышы 90 градус болатын үшбұрыш. Үшбұрышта осындай бір ғана бұрыш болуы мүмкін.

Екі жағындағы тікбұрышты үшбұрыштың ауданының формуласы

S= a*b/2,
мұндағы a,b – аяқтардың ұзындығы. Аяқтар - тік бұрышқа іргелес жатқан жақтар.

Гипотенузаға және сүйір бұрышқа негізделген тікбұрышты үшбұрыштың ауданы үшін формула

S = a*b*sin(α)/ 2,
мұндағы a, b – үшбұрыштың катеттері, ал sin(α) – a, b түзулері қиылысатын бұрыштың синусы.

Тікбұрышты үшбұрыштың бүйіріне және қарама-қарсы бұрышына негізделген ауданы үшін формула

S = a*b/2*tg(β),
мұндағы a, b – үшбұрыштың катеттері, tan(β) – a, b катеттері қосылған бұрыштың тангенсі.

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын қалай есептеуге болады

Тең қабырғалы үшбұрыш - екі қабырғасы тең. Бұл жақтарды қабырғалар деп атайды, ал екінші жағы негіз болып табылады. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептеу үшін келесі формулалардың бірін қолдануға болады.

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептеудің негізгі формуласы

S=h*c/2,
мұндағы c – үшбұрыштың табаны, h – табанына түсірілген үшбұрыштың биіктігі.

Қабырғасы мен табанына негізделген тең қабырғалы үшбұрыштың формуласы

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
мұндағы c – үшбұрыштың табаны, а – тең қабырғалы үшбұрыштың бір қабырғасының өлшемі.

Теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Тең бүйірлі үшбұрыш - барлық қабырғалары тең болатын үшбұрыш. Тең бүйірлі үшбұрыштың ауданын есептеу үшін келесі формуланы қолдануға болады:
S = (√3*a*a)/4,
мұндағы a – теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы.

Жоғарыда келтірілген формулалар үшбұрыштың қажетті ауданын есептеуге мүмкіндік береді. Үшбұрыштардың ауданын есептеу үшін үшбұрыштың түрін және есептеу үшін пайдалануға болатын қолда бар деректерді ескеру қажет екенін есте ұстаған жөн.

Аудан туралы түсінік

Кез келген геометриялық фигураның, атап айтқанда үшбұрыштың ауданы туралы түсінік шаршы сияқты фигурамен байланысты болады. Кез келген геометриялық фигураның бірлік ауданы үшін қабырғасы бірге тең шаршының ауданын аламыз. Толық болу үшін геометриялық фигуралардың аудандары түсінігінің екі негізгі қасиетін еске түсірейік.

1-қасиет:Егер геометриялық фигуралар тең болса, онда олардың аудандары да тең болады.

2-қасиет:Кез келген фигураны бірнеше фигураға бөлуге болады. Сонымен қатар, бастапқы фигураның ауданы оны құрайтын барлық фигуралардың аудандарының қосындысына тең.

Бір мысалды қарастырайық.

1-мысал

Әлбетте, үшбұрыштың бір қабырғасы тіктөртбұрыштың диагоналы, оның бір қабырғасының ұзындығы $5$ (өйткені $5$ ұяшықтары бар), ал екіншісі $6$ (өйткені $6$ ұяшықтары бар). Демек, бұл үшбұрыштың ауданы осындай тіктөртбұрыштың жартысына тең болады. Тіктөртбұрыштың ауданы

Сонда үшбұрыштың ауданы тең болады

Жауабы: $15$.

Әрі қарай, үшбұрыштардың аудандарын табудың бірнеше әдістерін қарастырамыз, атап айтқанда биіктігі мен негізін пайдалана отырып, Герон формуласы мен теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын пайдалана отырып.

Үшбұрыштың биіктігі мен табанын пайдаланып оның ауданын қалай табуға болады

Теорема 1

Үшбұрыштың ауданын қабырғасының ұзындығы мен сол қабырғаға биіктігінің көбейтіндісінің жартысы ретінде табуға болады.

Математикалық тұрғыдан ол осылай көрінеді

$S=\frac(1)(2)αh$

мұндағы $a$ — жақтың ұзындығы, $h$ — оған тартылған биіктік.

Дәлелдеу.

$AC=α$ болатын $ABC$ үшбұрышын қарастырайық. Осы жағына $BH$ биіктігі тартылады, ол $h$-ға тең. Оны 2-суреттегідей $AXYC$ шаршысына дейін құрастырайық.

$AXBH$ тіктөртбұрышының ауданы $h\cdot AH$, ал $HBYC$ тіктөртбұрышының ауданы $h\cdot HC$. Содан кейін

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Демек, 2 қасиеті бойынша үшбұрыштың қажетті ауданы тең

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорема дәлелденді.

2-мысал

Төмендегі суреттен үшбұрыштың ауданын табыңыз, егер ұяшықтың ауданы біреуге тең болса

Бұл үшбұрыштың негізі $9$-ға тең (себебі $9$ - $9$ шаршы). Биіктігі де 9 долларды құрайды. Содан кейін 1-теорема бойынша біз аламыз

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Жауабы: $40,5$.

Герон формуласы

2-теорема

Егер бізге $α$, $β$ және $γ$ үшбұрышының үш қабырғасы берілсе, онда оның ауданын келесідей табуға болады.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

мұнда $ρ$ осы үшбұрыштың жарты периметрін білдіреді.

Дәлелдеу.

Келесі суретті қарастырыңыз:

Пифагор теоремасы бойынша $ABH$ үшбұрышынан аламыз

$CBH$ үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша бізде бар

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Осы екі қатынастан біз теңдік аламыз

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ болғандықтан, $α+β+γ=2ρ$, яғни

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

1-теорема бойынша біз аламыз

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Үшбұрыш – үш қабырғасы мен үш төбесінен тұратын ең қарапайым геометриялық фигура. Қарапайымдылығының арқасында үшбұрыш ежелден әртүрлі өлшемдерді алу үшін қолданылған және бүгінгі күні бұл фигура практикалық және күнделікті мәселелерді шешу үшін пайдалы болуы мүмкін.

Үшбұрыштың ерекшеліктері

Бұл фигура ежелден бері есептеулер үшін қолданылған, мысалы, жер зерттеушілер мен астрономдар аудандар мен қашықтықтарды есептеу үшін үшбұрыштардың қасиеттерімен жұмыс істейді. Бұл фигураның ауданы арқылы кез келген n-бұрыштың ауданын өрнектеу оңай және бұл сипатты ежелгі ғалымдар көпбұрыштардың аудандары үшін формулаларды алу үшін пайдаланған. Үшбұрыштармен, әсіресе тікбұрышты үшбұрышпен тұрақты жұмыс математиканың тұтас бір саласы – тригонометрияға негіз болды.

Үшбұрыштың геометриясы

Геометриялық фигураның қасиеттері ерте заманнан бері зерттеліп келеді: үшбұрыш туралы ең алғашқы мәліметтер 4000 жыл бұрын Египет папирустарынан табылған. Содан кейін фигура Ежелгі Грецияда зерттелді және үшбұрыштың геометриясына ең үлкен үлестерді Евклид, Пифагор және Герон жасады. Үшбұрышты зерттеу ешқашан тоқтаған жоқ, 18 ғасырда Леонгард Эйлер фигураның ортоцентрі және Эйлер шеңбері ұғымын енгізді. 19-20 ғасырлар тоғысында үшбұрыш туралы бәрі белгілі болып көрінген кезде, Фрэнк Морли бұрыш трисектрисалары туралы теореманы тұжырымдады, ал Ваклав Сиерпински фракталдық үшбұрышты ұсынды.

Мектептегі геометрия курстарынан бізге таныс жалпақ үшбұрыштардың бірнеше түрі бар:

• өткір - фигураның барлық бұрыштары өткір;
• доғал - фигураның бір доғал бұрышы бар (90 градустан астам);
• тікбұрышты - фигура 90 градусқа тең бір тік бұрышты қамтиды;
• тең қабырғалы – екі қабырғасы тең үшбұрыш;
• теңбүйірлі – барлық қабырғалары тең үшбұрыш.
• Шынайы өмірде үшбұрыштардың барлық түрлері бар және кейбір жағдайларда геометриялық фигураның ауданын есептеу қажет болуы мүмкін.

Үшбұрыштың ауданы

Аудан - фигура жазықтықтың қанша бөлігін қамтитынын бағалау. Үшбұрыштың ауданын алты жолмен табуға болады: қабырғалары, биіктігі, бұрыштары, сызылған немесе сызылған шеңбердің радиусы, сондай-ақ Герон формуласы немесе жазықтықты шектейтін сызықтар бойынша қос интегралды есептеу. Үшбұрыштың ауданын есептеудің ең қарапайым формуласы:

мұндағы a – үшбұрыштың қабырғасы, h – биіктігі.

Бірақ іс жүзінде бізге геометриялық фигураның биіктігін табу әрқашан қолайлы бола бермейді. Біздің калькулятордың алгоритмі ауданды білуге ​​мүмкіндік береді:

• үш жағы;
• екі жағы және олардың арасындағы бұрыш;
• бір жағы және екі бұрышы.

Үш жағы арқылы ауданды анықтау үшін Герон формуласын қолданамыз:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

мұндағы p – үшбұрыштың жарты периметрі.

Екі жақтың ауданы мен бұрышы классикалық формула бойынша есептеледі:

S = a × b × sin(альфа),

мұндағы альфа - а және b қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Ауданды бір қабырғасы мен екі бұрышы бойынша анықтау үшін мына қатынасты қолданамыз:

a / sin(альфа) = b / sin(бета) = c / sin(гамма)

Қарапайым пропорцияны пайдалана отырып, біз екінші жақтың ұзындығын анықтаймыз, содан кейін S = a × b × sin(alfa) формуласы арқылы ауданды есептейміз. Бұл алгоритм толығымен автоматтандырылған және тек көрсетілген айнымалыларды енгізіп, нәтиже алу керек. Бір-екі мысалды қарастырайық.

Өмірден мысалдар

Тротуар тақталары

Еденді үшбұрышты плиткамен төсегіңіз келеді делік және қажетті материалдың мөлшерін анықтау үшін сіз бір плитканың ауданы мен еденнің ауданын білуіңіз керек. Өлшемдері a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см болатын тақтайшаны пайдаланып, 6 шаршы метрді өңдеу керек делік, үшбұрыштың ауданын есептеу үшін калькулятор Герон формуласын қолданады және береді. нәтиже:

Осылайша, бір плитка элементінің ауданы 0,021 шаршы метрді құрайды, ал еденді жақсарту үшін сізге 6/0,021 = 285 үшбұрыш қажет. 20, 21 және 29 сандары қанағаттандыратын пифагор үштік сандарын құрайды. Бұл дұрыс, біздің калькулятор да үшбұрыштың барлық бұрыштарын есептеді, ал гамма бұрышы дәл 90 градус.

Мектеп тапсырмасы

Мектеп мәселесінде қабырғасы a = 5 см, ал альфа және бета бұрыштары сәйкесінше 30 және 50 градус екенін біле отырып, үшбұрыштың ауданын табу керек. Бұл мәселені қолмен шешу үшін алдымен арақатынасының пропорциясы мен қарама-қарсы бұрыштардың синусы арқылы b жағының мәнін табамыз, содан кейін S = a × b × sin(alfa) қарапайым формуласы арқылы ауданды анықтаймыз. Уақытты үнемдейік, деректерді калькулятор пішініне енгізіп, лезде жауап алайық

Калькуляторды пайдалану кезінде бұрыштар мен жақтарды дұрыс көрсету маңызды, әйтпесе нәтиже дұрыс емес болады.

Қорытынды

Үшбұрыш – өмірде де, дерексіз есептеулерде де кездесетін ерекше фигура. Кез келген түрдегі үшбұрыштардың ауданын анықтау үшін онлайн калькуляторды пайдаланыңыз.