Ескерту 1
Егер санды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне түрлендіру керек болса, онда оны алдымен ондық санау жүйесіне түрлендіру, содан кейін ғана ондық санау жүйесінен кез келген басқа санау жүйесіне түрлендіру ыңғайлырақ.
Сандарды кез келген санау жүйесінен ондық жүйеге ауыстыру ережелері
Машина арифметикасын қолданатын есептеу техникасында сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіру маңызды рөл атқарады. Төменде біз мұндай түрлендірулердің (аудармалардың) негізгі ережелерін береміз.
Екілік санды ондық бөлшекке түрлендіру кезінде екілік санды көпмүше ретінде көрсету керек, оның әрбір элементі санның цифрының көбейтіндісі және негізгі санның сәйкес дәрежесі, бұл жағдайда $2$, содан кейін ондық арифметика ережелерін пайдаланып көпмүшені есептеу керек:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Сурет 1. 1-кесте
1-мысал
$11110101_2$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім.$2$ негізінің $1$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 6 +128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Санды сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін оны әр элементі санның цифрының көбейтіндісі және негізгі санның сәйкес дәрежесінің көбейтіндісі ретінде берілген көпмүше ретінде көрсету керек, бұл жағдайда $8$ жағдайда, содан кейін ондық арифметика ережелеріне сәйкес көпмүшені есептеу керек:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
2-сурет. 2-кесте
2-мысал
$75013_8$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім.$8$ негізінің $2$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Санды он алтылықтан ондыққа түрлендіру үшін оны көпмүше ретінде көрсету керек, оның әрбір элементі санның цифры мен негізгі санның сәйкес дәрежесінің көбейтіндісі ретінде көрсетіледі, бұл жағдайда $16$, содан кейін ондық арифметика ережелері бойынша көпмүшені есептеу керек:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Сурет 3. 3-кесте
3-мысал
$FFA2_(16)$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім.$8$ негізінің $3$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Сандарды ондық санау жүйесінен екіншісіне ауыстыру ережелері
- Санды ондық санау жүйесінен екілік жүйеге түрлендіру үшін оны $1$-дан кем немесе оған тең қалдық қалғанша $2$-ға ретімен бөлу керек. Екілік жүйедегі сан бөлудің соңғы нәтижесінің және бөлуден қалған қалдықтардың тізбегі ретінде кері ретпен беріледі.
4-мысал
$22_(10)$ санын екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешімі:
4-сурет.
$22_{10} = 10110_2$
- Санды ондық санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне айналдыру үшін оны $7$-дан кем немесе оған тең қалдық қалғанша $8$-ға ретімен бөлу керек. Сегіздік санау жүйесіндегі сан соңғы бөлу нәтижесінің цифрларының тізбегі және бөлуден қалған қалдықтар кері ретпен беріледі.
5-мысал
$571_(10)$ санын сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешімі:
5-сурет.
$571_{10} = 1073_8$
- Санды ондық санау жүйесінен он алтылық жүйеге түрлендіру үшін оны $15$-дан кем немесе оған тең қалдық қалғанша $16$-ға кезекпен бөлу керек. Он алтылық жүйедегі сан соңғы бөлу нәтижесінің цифрларының тізбегі және бөлудің қалған бөлігі кері ретпен беріледі.
6-мысал
$7467_(10)$ санын он алтылық санау жүйесіне түрлендіру.
Шешімі:
6-сурет.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Тиісті бөлшекті ондық санау жүйесінен ондық емес санау жүйесіне ауыстыру үшін түрлендірілетін санның бөлшек бөлігін оны түрлендіру қажет жүйенің негізіне ретімен көбейту керек. Жаңа жүйедегі бөлшектер біріншіден бастап өнімнің бүтін бөліктері ретінде көрсетіледі.
Мысалы: сегіздік санау жүйесінде $0,3125_((10))$ $0,24_((8))$ сияқты болады.
Бұл жағдайда соңғы ондық бөлшек ондық емес санау жүйесінде шексіз (периодтық) бөлшекке сәйкес келетін кезде мәселе туындауы мүмкін. Бұл жағдайда жаңа жүйеде ұсынылған бөлшектегі цифрлардың саны қажетті дәлдікке байланысты болады. Сондай-ақ, кез келген санау жүйесінде бүтін сандар бүтін, ал дұрыс бөлшектер бөлшек болып қала беретінін атап өткен жөн.
Сандарды екілік санау жүйесінен екіншісіне ауыстыру ережелері
- Санды екілік санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны ең аз мәнді цифрдан бастап, қажет болған жағдайда алдыңғы үштікке нөлдерді қосып, содан кейін әрбір триаданы сәйкес сегіздік разрядқа ауыстыру керек. 4-кестеге сәйкес.
Сурет 7. 4-кесте
7-мысал
$1001011_2$ санын сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім. 4-кестенің көмегімен санды екілік санау жүйесінен сегіздік жүйеге ауыстырамыз:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Санды екілік санау жүйесінен он алтылық санау жүйесіне түрлендіру үшін оны ең аз мәнді цифрдан бастап тетрадаларға (төрт таңбалы) бөлу керек, қажет болған жағдайда ең маңызды тетрадаға нөлдерді қосу, содан кейін әрбір тетраданы сәйкес сегіздік разрядпен ауыстыру керек. 4-кестеге сәйкес.
Нәтиже қазірдің өзінде алынды!
Санау жүйелері
Позициялық және позициялық емес санау жүйелері бар. Күнделікті өмірде қолданатын араб санау жүйесі позициялық, ал римдік санау жүйесі олай емес. Позициялық санау жүйелерінде санның орны санның шамасын бірегей түрде анықтайды. Оны ондық санау жүйесіндегі 6372 санына мысал келтіріп қарастырайық. Бұл санды нөлден бастап оңнан солға қарай нөмірлейміз:
Сонда 6372 санын келесідей көрсетуге болады:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
10 саны санау жүйесін анықтайды (бұл жағдайда ол 10). Берілген санның орнының мәндері дәреже ретінде қабылданады.
1287,923 нақты ондық санын қарастырайық. Оны нөлден бастап нөмірлейміз, ондық бөлшектен солға және оңға дейінгі санның орны:
Сонда 1287.923 санын келесідей көрсетуге болады:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Жалпы, формуланы келесідей көрсетуге болады:
C n с n +C n-1 · с n-1 +...+C 1 · с 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
мұндағы C n – позициядағы бүтін сан n, D -k - (-k) позициясындағы бөлшек сан, с- санау жүйесі.
Санау жүйелері туралы бірер сөз Ондық санау жүйесіндегі сан көп цифрдан (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), сегіздік санау жүйесінде көп цифрдан тұрады. (0,1, 2,3,4,5,6,7), екілік санау жүйесінде – цифрлар жиынынан (0,1), он алтылық санау жүйесінде – цифрлар жиынынан (0,1) ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), мұндағы A,B,C,D,E,F 10,11 сандарына сәйкес, 12,13,14,15 кестеде сандар әртүрлі санау жүйелерінде берілген.
| 1-кесте | |||
|---|---|---|---|
| Белгілеу | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | Б |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | Е | 15 | 1111 | 17 | Ф |
Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыру
Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстырудың ең оңай жолы – алдымен санды ондық санау жүйесіне түрлендіру, содан кейін ондық санау жүйесінен қажетті санау жүйесіне ауыстыру.
Сандарды кез келген санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру
(1) формуланы пайдаланып сандарды кез келген санау жүйесінен ондық санау жүйесіне түрлендіруге болады.
Мысал 1. 1011101.001 санын екілік санау жүйесінен (СС) ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4+ 1 ·2 3+ 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1+ 0 ·2 -2+ 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Мысал2. 1011101.001 санын сегіздік санау жүйесінен (СС) ондық СС жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
Мысал 3 . AB572.CDF санын он алтылық санау жүйесінен ондық SS жүйесіне түрлендіру. Шешімі:
Мұнда А-10 санына ауыстырылды, Б- 11-де, C- 12-де, Ф- 15 бойынша.
Сандарды ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру
Сандарды ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру үшін санның бүтін бөлігін және санның бөлшек бөлігін бөлек түрлендіру керек.
Санның бүтін бөлігі ондық СС-тен басқа санау жүйесіне санның бүтін бөлігін санау жүйесінің негізіне ретімен бөлу арқылы түрлендіріледі (екілік СС үшін - 2-ге, 8-арлы СС үшін - 8-ге, 16 үшін -ary SS - 16 және т.
Мысал 4 . 159 санын ондық СС-тен екілік SS-ге ауыстырайық:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Суреттен көрініп тұрғандай. 1, 159 саны 2-ге бөлінгенде 79 бөлімін және 1 қалдығын береді. Әрі қарай 79 саны 2-ге бөлінгенде 39 және қалдық 1, т.б. Нәтижесінде, бөлу қалдықтарынан (оңнан солға қарай) санды құра отырып, біз екілік SS жүйесіндегі санды аламыз: 10011111 . Сондықтан біз жаза аламыз:
159 10 =10011111 2 .
Мысал 5 . 615 санын ондық СС-тен сегіздік СС-ке ауыстырайық.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Санды ондық СС-тен сегіздік СС-ке түрлендіру кезінде 8-ден кіші бүтін қалдық алынғанша санды 8-ге кезекпен бөлу керек. Нәтижесінде бөлу қалдықтарынан (оңнан солға қарай) санды құрастырамыз. сегіздік SS ішіндегі сан: 1147 (2-суретті қараңыз). Сондықтан біз жаза аламыз:
615 10 =1147 8 .
Мысал 6 . 19673 санын ондық санау жүйесінен он алтылық SS жүйесіне ауыстырайық.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
3-суреттен көрініп тұрғандай, 19673 санын 16-ға ретімен бөлгенде, қалдық 4, 12, 13, 9 болады. Он алтылық санау жүйесінде 12 саны С, 13 саны D. Сондықтан біздің он алтылық сан – 4 CD9.
Тұрақты ондық бөлшектерді (бүтін бөлігі нөлге тең нақты санды) негізі s болатын санау жүйесіне айналдыру үшін бөлшек бөлігінде таза нөл болғанша бұл санды s-ке дәйекті түрде көбейту керек немесе цифрлардың қажетті санын аламыз . Егер көбейту нәтижесінде бүтін бөлігі нөлден басқа сан шыққан болса, онда бұл бүтін бөлік есепке алынбайды (олар нәтижеге ретімен енгізіледі).
Жоғарыдағыларды мысалдармен қарастырайық.
Мысал 7 . Ондық санау жүйесінен 0,214 санын екілік SS жүйесіне ауыстырайық.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
4-суреттен көрініп тұрғандай, 0,214 саны 2-ге дәйекті түрде көбейтіледі.Егер көбейтудің нәтижесі бүтін бөлігі нөлден басқа сан болса, онда бүтін бөлігі бөлек жазылады (санның сол жағында), және сан нөлдік бүтін бөлігімен жазылады. Егер көбейту нәтижесінде бүтін бөлігі нөл болатын сан болса, оның сол жағына нөл жазылады. Көбейту процесі бөлшек бөлігі таза нөлге жеткенше немесе қажетті цифрлар санын алғанша жалғасады. Қалың сандарды (4-сурет) жоғарыдан төменге қарай жаза отырып, екілік санау жүйесінде қажетті санды аламыз: 0. 0011011 .
Сондықтан біз жаза аламыз:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Мысал 8 . Ондық санау жүйесінен 0,125 санын екілік SS жүйесіне ауыстырайық.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
0,125 санын ондық SS жүйесінен екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін бұл санды ретімен 2-ге көбейту керек. Үшінші кезеңде нәтиже 0. Демек, келесі нәтиже шығады:
0.125 10 =0.001 2 .
Мысал 9 . Ондық санау жүйесінен 0,214 санын он алтылық SS жүйесіне ауыстырайық.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
4 және 5 мысалдарынан кейін біз 3, 6, 12, 8, 11, 4 сандарын аламыз. Бірақ он алтылық SS жүйесінде 12 және 11 сандары C және B сандарына сәйкес келеді. Сондықтан бізде:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Мысал 10 . 0,512 санын ондық санау жүйесінен сегіздік SS жүйесіне ауыстырайық.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Алынған:
0.512 10 =0.406111 8 .
Мысал 11 . Ондық санау жүйесінен 159,125 санын екілік SS жүйесіне ауыстырайық. Ол үшін санның бүтін бөлігін (4-мысал) және санның бөлшек бөлігін (8-мысал) бөлек аударамыз. Осы нәтижелерді біріктіре отырып, біз мыналарды аламыз:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Мысал 12 . 19673.214 санын ондық санау жүйесінен он алтылық SS жүйесіне ауыстырайық. Ол үшін санның бүтін бөлігін (6-мысал) және санның бөлшек бөлігін (9-мысал) бөлек аударамыз. Әрі қарай, біз осы нәтижелерді біріктіреміз.
Бұл мақалада мен сізге компьютерлік технологияның негіздерін айтамын - бұл екілік жүйе. Бұл ең төменгі деңгей, бұл компьютер жұмыс істейтін сандар. Және бір жүйеден көшіруді үйренесіз
1-кесте – Сандардың әртүрлі жүйелерде берілуі
есептеу (басы)
Санау жүйелері |
||||
Ондық |
Екілік |
Сегіздік |
Он алтылық |
BCD |
Ондық жүйеден екілік жүйеге түрлендіру үшін сізде екі опция бар.
1) Мысалы, 37 санын ондық жүйеден екілік жүйеге ауыстыру керек, содан кейін оны екіге бөлу керек, содан кейін бөлудің қалған бөлігін тексеру керек. Егер қалдық тақ болса, онда біз төменгі жағына бір жазамыз және келесі бөлу циклі жұп сан арқылы өтеді, егер бөлудің қалған бөлігі жұп болса, онда біз нөлді жазамыз; Соңында 1 алу керек. Ал енді алынған нәтижені екілік жүйеге айналдырамыз, ал сан оңнан солға қарай жүреді.
Қадам сайын: 37 - тақ сан, яғни 1 , онда 36/2 = 18. Сан жұп, бұл 0 дегенді білдіреді. 18/2 = 9 - тақ сан, яғни 1 , онда 8/2 = 4. Сан жұп, 0 оқыңыз. 4/2 = 2, жұп сан 0, 2/2 = 1 дегенді білдіреді.
Сонымен нөмірді алдық. Оңнан солға қарай санауды ұмытпаңыз: 100101 - енді екілік жүйеде сан бар. Жалпы, бұл төмендегі суретте көрсетілгендей, бағанға бөлу ретінде жазылған:
2) Бірақ екінші жол бар. Ол маған көбірек ұнайды. Бір жүйеден екінші жүйеге ауыстыру келесідей:
мұндағы ai – санның i-ші цифры;
k – санның бөлшек бөлігіндегі цифрлар саны;
m – санның бүтін бөлігіндегі цифрлар саны;
N - санау жүйесінің негізі.
N санау жүйесінің негізі i-ші цифрдың «салмағы» цифрдың «салмағынан» (i-1) неше есе артық екенін көрсетеді. Санның бүтін бөлігі бөлшек бөлігінен нүкте (үтір) арқылы бөлінеді.
N1 негізі бар AN1 санының бүтін бөлігі N2 негізі бар санау жүйесіне AN1 санының бүтін бөлігін N1 негізі бар сан ретінде жазылған N2 негізіне қалдық болғанша ретпен бөлу арқылы түрлендіріледі. алынған бөлік қайтадан N2 негізіне бөлінеді және бұл процесс бөлшек бөлгіштен кішірек болғанша қайталануы керек. Бөлу кезінде алынған қалдықтар және соңғы бөлік бөлу кезінде алынған кері тәртіпте жазылады. Жасалған сан N2 негізі бар бүтін сан болады.
N1 негізі бар AN1 санының бөлшек бөлігін N1 негізі бар сан түрінде жазылған AN1 санының бөлшек бөлігін N2 негізіне ретімен көбейту арқылы негізі N1 болатын сандық жүйеге айналдырылады. Әрбір көбейту кезінде көбейтіндінің бүтін бөлігі сәйкес цифрдың келесі цифры түрінде, ал қалғанның бөлшек бөлігі жаңа көбейту ретінде қабылданады. Көбейту саны N2 санау жүйесіндегі АН1 санының бөлшек бөлігін көрсететін нәтиженің цифрлық сыйымдылығын анықтайды. Санның бөлшек бөлігі аударылғанда жиі дұрыс емес беріледі.
Мұны мысалмен жасайық:
Ондық жүйеден екілік жүйеге түрлендіру
Ондық жүйедегі 37 санды екілік санау жүйесіне түрлендіру керек. Дәрежелермен жұмыс жасайық:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 және т.б.... ad infinitum
Бұл дегеніміз: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Жауап екілік жүйеде келесідей: 100101.
658 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне ауыстырайық:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. Екілік жүйеде сан келесідей болады: 1010010010.
Ондық жүйеден сегіздікке ауыстыру
Ондық санаудан сегіздікке түрлендіру қажет болса, алдымен екілік санау жүйесіне, содан кейін екілік санаудан сегіздікке түрлендіру керек. Яғни, бұл оңайырақ, бірақ оны бірден аударуға болады. Екілік жүйеге түрлендіруге ұқсас алгоритмді пайдалану, жоғарыдан қараңыз.
Ондық жүйеден он алтылық санау жүйесіне түрлендіру
Ондық жүйеден он алтылық санау жүйесіне түрлендіру қажет болса, алдымен екілік жүйеге түрлендіру керек, содан кейін екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне түрлендіру керек. Яғни, бұл оңайырақ, бірақ оны бірден аударуға болады. Екілік жүйеге түрлендіруге ұқсас алгоритмді пайдалану, жоғарыдан қараңыз.
Екілік жүйеден сегіздікке түрлендіру
Санды екілік жүйеден сегіздікке ауыстыру үшін екілік жүйені үш санға бөлу керек.
Мысалы, алынған 1010010010 саны үш санға бөлінеді және бөлу оңнан солға қарай жүреді: 1 010 010 010 = 1222. Ең басындағы кестені қараңыз.
Екілік жүйеден он алтылық жүйеге түрлендіру
Санды екілік жүйеден он алтылық жүйеге түрлендіру үшін оны тетрадаларға (әрқайсысы төрт) бөлу керек.
10 1001 0010 = 292
Міне, сізге қарап шығу үшін бірнеше мысал:
Түрлендіру екілік жүйеден сегіздік жүйеге, одан кейін он алтылық жүйеге, содан кейін екілік жүйеден ондық жүйеге ауыстырылады
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Түрлендіру он алтылықтан екілік жүйеге, содан кейін сегіздікке, содан кейін екілік жүйеден ондық жүйеге жүзеге асырылады.
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
|
Екілік санау жүйесін компьютерлік пәндерді оқығанда кездестіреміз. Өйткені, дәл осы жүйенің негізінде процессор және шифрлаудың кейбір түрлері салынған. Ондық санды екілік жүйеде және керісінше жазудың арнайы алгоритмдері бар. Егер сіз жүйені құру принципін білсеңіз, онда жұмыс істеу қиын болмайды. Нөлдер мен бірліктер жүйесін құру принципіЕкілік санау жүйесі екі цифрдың көмегімен құрастырылған: нөл және бір. Неліктен бұл нақты сандар? Бұл процессорда қолданылатын сигналдарды құру принципіне байланысты. Ең төменгі деңгейде сигнал тек екі мәнді қабылдайды: жалған және ақиқат. Сондықтан «жалған» деген сигналдың жоқтығын нөлмен, ал оның барын «шын» деп бірмен белгілеу әдетке айналған. Бұл комбинация техникалық тұрғыдан оңай жүзеге асырылады. Екілік жүйедегі сандар ондық жүйедегідей қалыптасады. Сан жоғарғы шегіне жеткенде, ол нөлге қалпына келтіріліп, жаңа цифр қосылады. Бұл принцип ондық жүйеде ондық арқылы өту үшін қолданылады. Сонымен, сандар нөлдер мен бірліктердің комбинацияларынан тұрады және бұл комбинация «екілік санау жүйесі» деп аталады.
Екілік санды ондық сан ретінде қалай жазуға болады?Сандарды екілік және керісінше түрлендіретін онлайн қызметтер бар, бірақ мұны өзіңіз жасай алғаныңыз дұрыс. Аударылған кезде екілік жүйе 2 тармақшасымен белгіленеді, мысалы, 101 2. Кез келген жүйедегі әрбір санды сандардың қосындысы ретінде көрсетуге болады, мысалы: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - ондық жүйеде. Сан екілік жүйеде де көрсетіледі. Ерікті 101 санын алып, оны қарастырайық. Оның 3 цифры бар, сондықтан санды ретімен орналастырамыз: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, мұндағы индекс 10 ондық жүйені білдіреді.
Жай санды екілік жүйеде қалай жазуға болады?Санды екіге бөлу арқылы екілік санау жүйесіне көшіру өте оңай. Оны толығымен аяқтауға мүмкіндік болғанша бөлу керек. Мысалы, 871 санын алайық. Қалғанын жазып алу үшін бөлуді бастаймыз: 871:2=435 (қалған 1) 435:2=217 (қалған 1) 217:2=108 (қалған 1) Жауап алынған қалдықтарға сәйкес соңынан басына қарай бағытта жазылады: 871 10 =101100111 2. Бұрын сипатталған кері аударманы пайдаланып, есептеулердің дұрыстығын тексеруге болады.
Неліктен сізге аударма ережелерін білу керек?Екілік санау жүйесі микропроцессорлық электроникамен, кодтаумен, мәліметтерді тасымалдаумен және шифрлаумен байланысты көптеген пәндерде және бағдарламалаудың әртүрлі салаларында қолданылады. Кез келген жүйеден екілік жүйеге аудару негіздерін білу бағдарламашыға әртүрлі микросұлбаларды жасауға және процессордың және басқа ұқсас жүйелердің жұмысын бағдарламалық түрде басқаруға көмектеседі. Екілік санау жүйесі шифрланған арналар бойынша деректер пакеттерін беру әдістерін енгізу және олардың негізінде клиент-сервер бағдарламалық жобаларын құру үшін де қажет. Мектептегі информатика курсында екілік жүйеге және керісінше түрлендіру негіздері болашақта программалауды оқып үйренуге және қарапайым программаларды құруға арналған негізгі материал болып табылады. Ескерту 1 Егер санды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне түрлендіру керек болса, онда оны алдымен ондық санау жүйесіне түрлендіру, содан кейін ғана ондық санау жүйесінен кез келген басқа санау жүйесіне түрлендіру ыңғайлырақ. Сандарды кез келген санау жүйесінен ондық жүйеге ауыстыру ережелеріМашина арифметикасын қолданатын есептеу техникасында сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіру маңызды рөл атқарады. Төменде біз мұндай түрлендірулердің (аудармалардың) негізгі ережелерін береміз. Екілік санды ондық бөлшекке түрлендіру кезінде екілік санды көпмүше ретінде көрсету керек, оның әрбір элементі санның цифрының көбейтіндісі және негізгі санның сәйкес дәрежесі, бұл жағдайда $2$, содан кейін ондық арифметика ережелерін пайдаланып көпмүшені есептеу керек: $X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$ Сурет 1. 1-кесте 1-мысал $11110101_2$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешім.$2$ негізінің $1$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз: $11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 6 +128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$ Санды сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін оны әр элементі санның цифрының көбейтіндісі және негізгі санның сәйкес дәрежесінің көбейтіндісі ретінде берілген көпмүше ретінде көрсету керек, бұл жағдайда $8$ жағдайда, содан кейін ондық арифметика ережелеріне сәйкес көпмүшені есептеу керек: $X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$ 2-сурет. 2-кесте 2-мысал $75013_8$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешім.$8$ негізінің $2$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз: $75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$ Санды он алтылықтан ондыққа түрлендіру үшін оны көпмүше ретінде көрсету керек, оның әрбір элементі санның цифры мен негізгі санның сәйкес дәрежесінің көбейтіндісі ретінде көрсетіледі, бұл жағдайда $16$, содан кейін ондық арифметика ережелері бойынша көпмүшені есептеу керек: $X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$ Сурет 3. 3-кесте 3-мысал $FFA2_(16)$ санын ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешім.$8$ негізінің $3$ дәрежелерінің берілген кестесін пайдаланып, санды көпмүше ретінде көрсетеміз: $FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$ Сандарды ондық санау жүйесінен екіншісіне ауыстыру ережелері
4-мысал $22_(10)$ санын екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
4-сурет. $22_{10} = 10110_2$
5-мысал $571_(10)$ санын сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
5-сурет. $571_{10} = 1073_8$
6-мысал $7467_(10)$ санын он алтылық санау жүйесіне түрлендіру. Шешімі:
6-сурет. $7467_(10) = 1D2B_(16)$ Тиісті бөлшекті ондық санау жүйесінен ондық емес санау жүйесіне ауыстыру үшін түрлендірілетін санның бөлшек бөлігін оны түрлендіру қажет жүйенің негізіне ретімен көбейту керек. Жаңа жүйедегі бөлшектер біріншіден бастап өнімнің бүтін бөліктері ретінде көрсетіледі. Мысалы: сегіздік санау жүйесінде $0,3125_((10))$ $0,24_((8))$ сияқты болады. Бұл жағдайда соңғы ондық бөлшек ондық емес санау жүйесінде шексіз (периодтық) бөлшекке сәйкес келетін кезде мәселе туындауы мүмкін. Бұл жағдайда жаңа жүйеде ұсынылған бөлшектегі цифрлардың саны қажетті дәлдікке байланысты болады. Сондай-ақ, кез келген санау жүйесінде бүтін сандар бүтін, ал дұрыс бөлшектер бөлшек болып қала беретінін атап өткен жөн. Сандарды екілік санау жүйесінен екіншісіне ауыстыру ережелері
Сурет 7. 4-кесте 7-мысал $1001011_2$ санын сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешім. 4-кестенің көмегімен санды екілік санау жүйесінен сегіздік жүйеге ауыстырамыз: $001 001 011_2 = 113_8$
| ||||||||||||||||||||||||||||
