Гаусс әдісін желіде кері қайтарыңыз. Гаусс әдісі немесе балалар математиканы неге түсінбейді

Бүгін біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісін қарастырамыз. Бұл жүйелердің не екендігі туралы сіз Cramer әдісі арқылы бірдей SLAE-ны шешуге арналған алдыңғы мақалада оқи аласыз. Гаусс әдісі ешқандай нақты білімді қажет етпейді, сізге тек мұқияттылық пен жүйелілік қажет. Математикалық тұрғыдан алғанда, оны қолдану үшін мектептегі дайындық жеткілікті болғанымен, оқушылар бұл әдісті меңгеруде қиынға соғады. Бұл мақалада біз оларды ештеңеге дейін азайтуға тырысамыз!

Гаусс әдісі

М Гаусс әдісі– SLAE шешудің ең әмбебап әдісі (өте үлкен жүйелерді қоспағанда). Бұрын талқыланғандардан айырмашылығы, ол жалғыз шешімі бар жүйелер үшін ғана емес, сонымен қатар шешімдердің шексіз саны бар жүйелер үшін де қолайлы. Мұнда үш ықтимал нұсқа бар.

1. Жүйенің бірегей шешімі бар (жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең емес);
2. Жүйеде шешімдердің шексіз саны бар;
3. Шешімдер жоқ, жүйе үйлесімсіз.

Сонымен, бізде жүйе бар (оның бір шешімі болсын) және біз оны Гаусс әдісімен шешеміз. Бұл қалай жұмыс істейді?

Гаусс әдісі екі кезеңнен тұрады – тура және кері.

Гаусс әдісінің тура штрихы

Алдымен жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық. Ол үшін негізгі матрицаға бос мүшелер бағанасын қосамыз.

Гаусс әдісінің барлық мәні - бұл матрицаны элементар түрлендірулер арқылы сатылы (немесе олар айтқандай, үшбұрышты) пішінге келтіру. Бұл пішінде матрицаның негізгі диагоналының астында (немесе жоғарыда) тек нөлдер болуы керек.

Сіз не істей аласыз:

1. Матрицаның жолдарын қайта реттеуге болады;
2. Егер матрицада тең (немесе пропорционалды) жолдар болса, олардың біреуінен басқасының барлығын жоюға болады;
3. Жолды кез келген санға (нөлден басқа) көбейтуге немесе бөлуге болады;
4. Нөлдік жолдар жойылады;
5. Жолға нөлден басқа санға көбейтілген жолды қосуға болады.

Кері Гаусс әдісі

Жүйені осылай түрлендіруден кейін бір белгісіз Xn белгілі болады, және сіз барлық қалған белгісіздерді кері ретпен таба аласыз, бұрыннан белгілі х-ті жүйенің теңдеулеріне біріншіге дейін ауыстырыңыз.

Интернет әрқашан қол астында болғанда, Гаусс әдісін қолданып, теңдеулер жүйесін шешуге болады онлайн.Интернеттегі калькуляторға коэффициенттерді енгізу жеткілікті. Бірақ мойындау керек, мысалды компьютерлік бағдарлама емес, сіздің миыңыз шешкенін түсіну әлдеқайда жағымды.

Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешуге мысал

Ал енді - бәрі түсінікті және түсінікті болатындай мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін және оны Гаусс әдісімен шешу керек:

Алдымен кеңейтілген матрицаны жазамыз:

Енді түрлендірулерді жасайық. Біз матрицаның үшбұрышты көрінісіне қол жеткізуіміз керек екенін есте ұстаймыз. 1-ші жолды (3) көбейтеміз. 2-ші жолды (-1) көбейтіңіз. 1-ші жолға 2-ші жолды қосып, мынаны алыңыз:

Содан кейін 3-ші жолды (-1) көбейтіңіз. 2-ші жолға 3-ші жолды қосамыз:

1-ші жолды (6) көбейтеміз. 2-ші жолды (13) көбейтеміз. 1-ші жолға 2-ші жолды қосамыз:

Voila - жүйе сәйкес пішінге келтірілді. Белгісіздерді табу керек:

Бұл мысалдағы жүйенің бірегей шешімі бар. Шешімдерінің шексіз саны бар жүйелерді шешуді жеке мақалада қарастырамыз. Мүмкін, алдымен сіз матрицаны түрлендіруді неден бастау керектігін білмейсіз, бірақ тиісті тәжірибеден кейін сіз оны игересіз және жаңғақ сияқты Гаусс әдісін қолданып SLAE-ді бұзасыз. Егер сіз кенеттен SLA-ға тап болсаңыз, ол тым қатал жаңғақ болып шығады, біздің авторларға хабарласыңыз! Сіз хат алмасу бөлімінде сұрау қалдыра аласыз. Кез келген мәселені бірге шешеміз!

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің қарапайым тәсілдерінің бірі – анықтауыштарды есептеуге негізделген әдіс ( Крамер ережесі). Оның артықшылығы - бұл шешімді дереу жазуға мүмкіндік береді, бұл жүйенің коэффициенттері сандар емес, кейбір параметрлер болған жағдайда өте ыңғайлы; Оның кемшілігі – теңдеулер саны көп болған жағдайда есептеулердің қиындығы, оның үстіне Крамер ережесі теңдеулер саны белгісіздер санымен сәйкес келмейтін жүйелерге тікелей қолданылмайды; Мұндай жағдайларда ол әдетте қолданылады Гаусс әдісі.

Шешімдері бірдей сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады эквивалент. Кез келген теңдеу ауыстырылса немесе теңдеулердің біреуі нөлдік емес қандай да бір санға көбейтілсе немесе бір теңдеу екіншісіне қосылса, сызықтық жүйенің шешімдер жиыны өзгермейтіні анық.

Гаусс әдісі (белгісіздерді дәйекті жою әдісі) элементар түрлендірулер көмегімен жүйе сатылы типті эквивалентті жүйеге келтіріледі. Біріншіден, 1-ші теңдеуді қолданып, біз жоямыз xЖүйенің барлық келесі теңдеулерінің 1-і. Содан кейін 2-ші теңдеуді қолданып, біз жоямыз x 3-ші және одан кейінгі барлық теңдеулерден 2. Бұл процесс деп аталады тура Гаусс әдісі, соңғы теңдеудің сол жағында бір ғана белгісіз қалғанша жалғасады x n. Осыдан кейін ол орындалады Гаусс әдісіне кері– соңғы теңдеуді шешіп, табамыз x n; содан кейін осы мәнді пайдаланып, соңғы теңдеуден есептейміз x n–1, т.б. Біз соңғысын табамыз xБірінші теңдеуден 1.

Гаусс түрлендірулерін теңдеулердің өздерімен емес, олардың коэффициенттерінің матрицаларымен түрлендіруді орындау арқылы жүргізу ыңғайлы. Матрицаны қарастырайық:

шақырды жүйенің кеңейтілген матрицасы,өйткені ол жүйенің негізгі матрицасына қосымша бос терминдер бағанасын қамтиды. Гаусс әдісі жүйенің кеңейтілген матрицасының элементар жол түрлендірулерін (!) пайдалана отырып, жүйенің негізгі матрицасын үшбұрышты түрге (немесе шаршы емес жүйелерде трапеция тәрізді түрге) келтіруге негізделген.

5.1-мысал.Жүйені Гаусс әдісімен шешіңіз:

Шешім. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және бірінші жолды пайдаланып, содан кейін қалған элементтерді қалпына келтіреміз:

біз бірінші бағанның 2, 3 және 4 жолдарында нөлдерді аламыз:

Енді бізге нөлге тең болу үшін 2-ші жолдың астындағы екінші бағандағы барлық элементтер қажет. Ол үшін екінші жолды –4/7-ге көбейтіп, 3-ші жолға қосуға болады. Дегенмен, бөлшектермен айналыспау үшін екінші бағанның 2-ші жолында бірлік құрайық және тек

Енді үшбұрышты матрицаны алу үшін, мұны істеу үшін 3-бағанның төртінші жолының элементін қалпына келтіру керек, үшінші жолды 8/54 көбейтіп, төртіншіге қосуға болады; Дегенмен, бөлшектермен айналыспау үшін біз 3-ші және 4-ші жолдарды және 3-ші және 4-ші бағандарды ауыстырамыз, содан кейін ғана біз көрсетілген элементті қалпына келтіреміз. Бағандарды қайта орналастыру кезінде сәйкес айнымалылар орындарын ауыстыратынын ескеріңіз және бұл есте сақталуы керек; бағандары бар басқа элементар түрлендірулерді (санға қосу және көбейту) орындау мүмкін емес!

Соңғы жеңілдетілген матрица бастапқыға эквивалентті теңдеулер жүйесіне сәйкес келеді:

Осыдан Гаусс әдісінің кері әдісін қолданып, төртінші теңдеуден табамыз x 3 = –1; үшіншіден x 4 = –2, екіншісінен x 2 = 2 және бірінші теңдеуден x 1 = 1. Матрицалық түрде жауап былай жазылады

Біз жүйе белгілі болған жағдайды қарастырдық, яғни. бір ғана шешім болғанда. Жүйе сәйкес келмесе немесе белгісіз болса не болатынын көрейік.

5.2-мысал.Гаусс әдісі арқылы жүйені зерттеңіз:

Шешім. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, түрлендіреміз

Жеңілдетілген теңдеулер жүйесін жазамыз:

Мұнда, соңғы теңдеуде 0=4, яғни. қайшылық. Демек, жүйеде шешім жоқ, яғни. ол үйлеспейтін. à

5.3-мысал.Гаусс әдісі арқылы жүйені зерттеңіз және шешіңіз:

Шешім. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, түрлендіреміз:

Түрлендірулердің нәтижесінде соңғы жолда тек нөлдер бар. Бұл теңдеулер саны біреуге азайғанын білдіреді:

Осылайша, жеңілдетілгеннен кейін екі теңдеу қалады, ал төрт белгісіз, яғни. екі белгісіз «қосымша». Олар «артық» болсын, немесе олар айтқандай, еркін айнымалылар, болады x 3 және x 4. Содан кейін

Сену x 3 = 2аЖәне x 4 = б, аламыз x 2 = 1–аЖәне x 1 = 2б–а; немесе матрицалық түрде

Осылай жазылған шешім деп аталады жалпы, өйткені, параметрлерді береді аЖәне бәртүрлі мәндер, жүйенің барлық мүмкін шешімдерін сипаттауға болады. а

1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

1.1 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі туралы түсінік

Теңдеулер жүйесі - бірнеше айнымалыға қатысты бірнеше теңдеулердің бір уақытта орындалуынан тұратын шарт. Құрамында m теңдеу және n белгісіз бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (бұдан әрі - SLAE) келесі түрдегі жүйе деп аталады:

мұндағы a ij сандары жүйелік коэффициенттер, b i сандары бос мүшелер деп аталады, a ijЖәне б мен(i=1,…, m; b=1,…, n) кейбір белгілі сандарды және х-ті білдіреді 1 ,…, x n– белгісіз. Коэффициенттерді белгілеуде a ijбірінші индекс i теңдеудің нөмірін білдіреді, ал екінші j - осы коэффициент тұрған белгісіз саны. x n сандарын табу керек. Мұндай жүйені ықшам матрицалық түрде жазу ыңғайлы: AX=B.Мұндағы А – негізгі матрица деп аталатын жүйе коэффициенттерінің матрицасы;

– xj белгісіздердің баған векторы.
би еркін мүшелерінің баған векторы болып табылады.

A*X матрицаларының көбейтіндісі анықталған, өйткені А матрицасында қанша жол болса, сонша X матрицасындағы жолдар болса (n дана).

Жүйенің кеңейтілген матрицасы - бос терминдер бағанымен толықтырылған жүйенің А матрицасы.

1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу

Теңдеулер жүйесінің шешімі сандардың реттелген жиыны (айнымалылардың мәндері), оларды айнымалылардың орнына қойғанда жүйенің әрбір теңдеуі шынайы теңдікке айналады.

Жүйенің шешімі x1=c1, x2=c2,…, xn=cn белгісіздердің n мәні болып табылады, оларды ауыстырғанда жүйенің барлық теңдеулері ақиқат теңдікке айналады. Жүйенің кез келген шешімін баған матрицасы түрінде жазуға болады

Теңдеулер жүйесі ең болмағанда бір шешімі болса консистенциялы, ал шешімі жоқ болса сәйкессіз деп аталады.

Тұрақты жүйе бір шешімі болса детерминативті, ал бірнеше шешімі болса белгісіз деп аталады. Соңғы жағдайда оның әрбір шешімі жүйенің белгілі бір шешімі деп аталады. Барлық жеке шешімдер жиынтығы жалпы шешім деп аталады.

Жүйені шешу оның үйлесімді немесе сәйкес келмейтінін анықтауды білдіреді. Егер жүйе дәйекті болса, оның жалпы шешімін табыңыз.

Екі жүйенің жалпы шешімі бірдей болса, эквивалентті (эквивалентті) деп аталады. Басқаша айтқанда, егер олардың біреуінің әрбір шешімі екіншісінің шешімі болса және керісінше болса, жүйелер эквивалентті болады.

Қолданылуы жүйені бастапқыға эквивалентті жаңа жүйеге айналдыратын түрлендіру эквивалентті немесе эквивалентті түрлендіру деп аталады. Эквивалентті түрлендірулердің мысалдарына келесі түрлендірулер жатады: жүйенің екі теңдеуін ауыстыру, барлық теңдеулердің коэффициенттерімен бірге екі белгісізді ауыстыру, жүйенің кез келген теңдеуінің екі жағын нөлден басқа санға көбейту.

Барлық бос мүшелер нөлге тең болса, сызықтық теңдеулер жүйесі біртекті деп аталады:

Біртекті жүйе әрқашан сәйкес келеді, өйткені x1=x2=x3=…=xn=0 жүйенің шешімі болып табылады. Бұл шешім нөлдік немесе тривиальды деп аталады.

2. Гауссты жою әдісі

2.1 Гауссты жою әдісінің мәні

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдісі белгісіздерді тізбектей жою әдісі болып табылады - Гаусс әдісі(ол Гаусс жою әдісі деп те аталады). Бұл элементар түрлендірулерді пайдалана отырып, теңдеулер жүйесі сатылы (немесе үшбұрышты) түрдегі эквивалентті жүйеге келтірілгенде, бұл айнымалы мәндерді дәйекті түрде жою әдісі, оның ішінен барлық қалған айнымалылар соңғысынан бастап дәйекті түрде табылды. сан) айнымалылар.

Гаусс әдісін қолданатын шешім процесі екі кезеңнен тұрады: алға және артқа жылжу.

1. Тікелей инсульт.

Бірінші кезеңде жолдар бойынша элементар түрлендірулер арқылы жүйе сатылы немесе үшбұрышты пішінге келтірілгенде немесе жүйенің үйлесімсіз екендігі анықталғанда тікелей жылжыту деп аталады. Атап айтқанда, матрицаның бірінші бағанының элементтерінің ішінен нөлден басқасы таңдалады, ол жолдарды қайта реттеу арқылы ең жоғарғы орынға жылжытылады және қайта реттеуден кейін алынған бірінші жол қалған жолдардан оны көбейту арқылы шегеріледі. осы жолдардың әрқайсысының бірінші элементінің бірінші жолдың бірінші элементіне қатынасына тең сома бойынша, осылайша оның астындағы бағанды ​​нөлге теңейді.

Көрсетілген түрлендірулер аяқталғаннан кейін бірінші жол мен бірінші баған ойша сызылады және нөлдік өлшемді матрица қалғанша жалғастырылады. Егер кез келген итерацияда бірінші бағанның элементтері арасында нөлдік емес элемент болмаса, келесі бағанға өтіп, ұқсас әрекетті орындаңыз.

Бірінші кезеңде (тікелей инсульт) жүйе сатылы (атап айтқанда, үшбұрышты) пішінге дейін азаяды.

Төмендегі жүйенің қадамдық формасы бар:

,

aii коэффициенттері жүйенің негізгі (жетекші) элементтері деп аталады.

(егер a11=0 болса, матрицаның жолдарын қайта реттеңіз а 11 0-ге тең болмады. Бұл әрқашан мүмкін, өйткені әйтпесе матрицада нөлдік баған бар, оның анықтауышы нөлге тең және жүйе сәйкес емес).

Біріншіден басқа барлық теңдеулерде белгісіз x1-ді жою арқылы жүйені түрлейік (жүйенің элементар түрлендірулерін қолдана отырып). Ол үшін бірінші теңдеудің екі жағын көбейту керек

және жүйенің екінші теңдеуімен мүшені мүше бойынша қосыңыз (немесе екінші теңдеуден біріншіге көбейтілген мүшені азайтыңыз). Содан кейін бірінші теңдеудің екі жағын көбейтеміз және оларды жүйенің үшінші теңдеуіне қосамыз (немесе үшіншіден бірінші көбейтіндіні шегереміз). Осылайша, біз бірінші жолды ретімен санға көбейтеміз және оған қосамыз менші жол, үшін i= 2, 3, …,n.

Осы процесті жалғастыра отырып, біз эквивалентті жүйені аламыз:

– формулалар арқылы анықталатын жүйенің соңғы m-1 теңдеулеріндегі белгісіз және бос мүшелер үшін коэффициенттердің жаңа мәндері:

Осылайша, бірінші қадамда бірінші жетекші элементтің астында жатқан барлық коэффициенттер 11 жойылады

0, екінші қадамда екінші жетекші элементтің астында жатқан элементтер а 22 (1) жойылады (егер а 22 (1) 0), т.б. Бұл процесті әрі қарай жалғастыра отырып, біз ақырында (m-1) қадамда бастапқы жүйені үшбұрышты жүйеге келтіреміз.

Егер жүйені сатылы түрге келтіру процесінде нөлдік теңдеулер пайда болса, яғни. 0=0 түріндегі теңдіктер, олар жойылады. Пішіннің теңдеуі пайда болса

онда бұл жүйенің сәйкессіздігін көрсетеді.

Гаусс әдісінің тікелей прогрессиясы осы жерде аяқталады.

2. Кері инсульт.

Екінші кезеңде кері қозғалыс деп аталатын әрекет орындалады, оның мәні барлық алынған негізгі айнымалыларды базистік еместер арқылы өрнектеу және шешімдердің іргелі жүйесін құру немесе, егер барлық айнымалылар негізгі болса. , содан кейін сызықтық теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімін сандық түрде өрнектеңіз.

Бұл процедура соңғы теңдеуден басталады, оның ішінен сәйкес негізгі айнымалы өрнектеледі (онда біреу ғана бар) және алдыңғы теңдеулерге ауыстырылады және т.б. «қадамдар» бойынша жоғары көтеріледі.

Әрбір жол дәл бір базистік айнымалыға сәйкес келеді, сондықтан соңғыдан (ең жоғарғыдан) басқа әрбір қадамда жағдай соңғы жолдың жағдайын дәл қайталайды.

Ескерту: іс жүзінде жүйемен емес, оның жолдарындағы барлық элементар түрлендірулерді орындай отырып, оның кеңейтілген матрицасымен жұмыс істеу ыңғайлырақ. a11 коэффициентінің 1-ге тең болуы ыңғайлы (теңдеулерді қайта реттеңіз немесе теңдеудің екі жағын а11-ге бөліңіз).

2.2 Гаусс әдісімен SLAE шешу мысалдары

Бұл бөлімде үш түрлі мысалды пайдалана отырып, біз Гаусс әдісінің SLAE-ны қалай шешуге болатынын көрсетеміз.

Мысал 1. 3-ші ретті SLAE шешіңіз.

коэффициенттерін қалпына келтірейік

екінші және үшінші жолдарда. Ол үшін оларды тиісінше 2/3 және 1-ге көбейтіп, бірінші жолға қосыңыз:

Шешуді қажет ететін сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін (жүйенің әрбір теңдеуін теңдікке айналдыратын xi белгісіздерінің мәндерін табыңыз).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі келесідей болуы мүмкін екенін білеміз:

1) Шешім жоқ (бол бірлескен емес).
2) Шешімі шексіз көп.
3) Жалғыз шешімге ие болыңыз.

Естеріңізде болса, Крамер ережесі мен матрицалық әдіс жүйенің шешімдері шексіз көп немесе сәйкес келмейтін жағдайларда жарамайды. Гаусс әдісі – кез келген сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табудың ең қуатты және әмбебап құралы, қай әрбір жағдайдабізді жауапқа жетелейді! Әдіс алгоритмінің өзі үш жағдайда да бірдей жұмыс істейді. Егер Крамер және матрицалық әдістер анықтауыштарды білуді қажет етсе, Гаусс әдісін қолдану үшін тек арифметикалық амалдар туралы білім қажет, бұл оны тіпті бастауыш сынып оқушылары үшін де қолжетімді етеді.

Толықтырылған матрицалық түрлендірулер ( бұл жүйенің матрицасы - тек белгісіздердің коэффициенттерінен тұратын матрица және бос терминдер бағанасы)Гаусс әдісіндегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

1) бірге трокиматрицалар мүмкін қайта реттеукейбір жерлерде.

2) егер матрицада пропорционалды (ерекше жағдайда – бірдей) жолдар пайда болса (немесе бар), онда сіз жоюматрицадан осы жолдардың барлығынан басқа.

3) егер түрлендірулер кезінде матрицада нөлдік жол пайда болса, онда ол да болуы керек жою.

4) матрицаның жолы болуы мүмкін көбейту (бөлу)нөлден басқа кез келген санға.

5) матрица жолына санға көбейтілген басқа жолды қосыңыз, нөлден өзгеше.

Гаусс әдісінде элементар түрлендірулер теңдеулер жүйесінің шешімін өзгертпейді.

Гаусс әдісі екі кезеңнен тұрады:

1. «Тікелей жылжыту» - элементар түрлендірулерді қолдана отырып, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасын «үшбұрышты» қадамдық пішінге келтіріңіз: негізгі диагональдан төмен орналасқан кеңейтілген матрицаның элементтері нөлге тең (жоғарыдан төмен жылжыту). Мысалы, осы түрге:

Ол үшін келесі қадамдарды орындаңыз:

1) Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін қарастырайық және х 1 үшін коэффициент K-ке тең. Екінші, үшінші, т.б. теңдеулерді былай түрлендіреміз: әрбір теңдеуді (белгісіздер үшін коэффициенттерді, оның ішінде бос мүшелерді) әрбір теңдеуде болатын белгісіз х 1 коэффициентіне бөлеміз және К-ге көбейтеміз. Осыдан кейін екіншісінен біріншіні шегереміз. теңдеу (белгісіздер мен бос мүшелер үшін коэффициенттер). Екінші теңдеудегі x 1 үшін 0 коэффициентін аламыз. Үшінші түрлендірілген теңдеуден біріншіден басқа барлық теңдеулер белгісіз x 1 үшін 0 коэффициентіне ие болғанша бірінші теңдеуді шегереміз.

2) Келесі теңдеуге көшейік. Бұл екінші теңдеу және M-ге тең x 2 коэффициенті болсын. Біз жоғарыда сипатталғандай барлық «төменгі» теңдеулерді жалғастырамыз. Осылайша, белгісіз x 2 «астында» барлық теңдеулерде нөлдер болады.

3) Соңғы белгісізге және түрлендірілген бос мүше қалғанша келесі теңдеуге көшіңіз және т.б.

1. Гаусс әдісінің «кері жылжуы» сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімін алу («төменнен жоғары» жылжу).

Соңғы «төменгі» теңдеуден біз бір бірінші шешімді аламыз - белгісіз x n. Ол үшін A * x n = B элементар теңдеуін шешеміз. Жоғарыда келтірілген мысалда x 3 = 4. Табылған мәнді келесі «жоғарғы» теңдеуге ауыстырамыз және оны келесі белгісізге қатысты шешеміз. Мысалы, x 2 – 4 = 1, яғни. x 2 = 5. Барлық белгісіздерді тапқанша осылай жалғаса береді.

Мысал.

Кейбір авторлар кеңес бергендей, сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешейік:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік:
1 қадам . Бірінші жолға –1-ге көбейтілген екінші жолды қосамыз. Яғни, біз ойша екінші жолды –1-ге көбейтіп, бірінші және екінші жолдарды қостық, ал екінші жол өзгермеді.

Енді жоғарғы сол жақта «минус бір» бар, ол бізге өте қолайлы. +1 алғысы келетін кез келген адам қосымша әрекетті орындай алады: бірінші жолды –1-ге көбейтіңіз (оның белгісін өзгертіңіз).

2-қадам . 5-ке көбейтілген бірінші жол екінші жолға қосылды 3-ке көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

3-қадам . Бірінші жол –1-ге көбейтілді, негізінен бұл сұлулық үшін. Үшінші жолдың белгісі де өзгертіліп, екінші орынға ауыстырылды, осылайша екінші «қадамда» бізде қажетті бірлік болды.

4-қадам . Үшінші жол екінші жолға қосылып, 2-ге көбейтілді.

5-қадам . Үшінші жол 3-ке бөлінді.

Есептердегі қатені көрсететін белгі (сирек, қате) «жаман» төменгі сызық болып табылады. Яғни, төменнен (0 0 11 |23) және сәйкесінше 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 сияқты нәрсені алсақ, онда жоғары ықтималдық дәрежесімен элементарлы оқыту кезінде қате жіберілді деп айтуға болады. түрлендірулер.

Мысалдарды құрастыруда керісінше жасайық, жүйенің өзі жиі қайта жазылмайды, бірақ теңдеулер «тікелей берілген матрицадан алынады». Кері қозғалыс, еске саламын, төменнен жоғарыға қарай жұмыс істейді. Бұл мысалда нәтиже сыйлық болды:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, сондықтан x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Жауап:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Ұсынылған алгоритм арқылы сол жүйені шешейік. аламыз

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Екінші теңдеуді 5-ке, үшінші теңдеуді 3-ке бөлеміз. Біз мынаны аламыз:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Екінші және үшінші теңдеулерді 4-ке көбейтсек, мынаны аламыз:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Екінші және үшінші теңдеулерден бірінші теңдеуді алып тастасақ, бізде:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Үшінші теңдеуді 0,64-ке бөліңіз:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Үшінші теңдеуді 0,4-ке көбейтіңіз

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Үшінші теңдеуден екіншісін алып тастап, біз «сатылы» кеңейтілген матрицаны аламыз:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Осылайша, есептеулер кезінде қате жинақталғандықтан, біз x 3 = 0,96 немесе шамамен 1 аламыз.

x 2 = 3 және x 1 = –1.

Осылайша шешу арқылы сіз есептеулерде ешқашан шатастырмайсыз және есептеу қателеріне қарамастан нәтиже аласыз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің бұл әдісі оңай бағдарламаланады және белгісіздер үшін коэффициенттердің спецификалық ерекшеліктерін ескермейді, өйткені іс жүзінде (экономикалық және техникалық есептеулерде) бүтін емес коэффициенттермен айналысуға тура келеді.

Сізге сәттілік тілеймін! Сабақта кездескенше! Тәрбиеші.

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

Екі сызықтық теңдеулер жүйесі, егер олардың барлық шешімдерінің жиыны сәйкес келсе, эквивалентті деп аталады.

Теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулері:

1. Жүйеден тривиальды теңдеулерді жою, яғни. барлық коэффициенттері нөлге тең болатындар;
2. Кез келген теңдеуді нөлден басқа санға көбейту;
3. Кез келген i-ші теңдеуге кез келген j-ші теңдеуді кез келген санға көбейту.

x i айнымалысы бос деп аталады, егер бұл айнымалыға рұқсат етілмесе, бірақ барлық теңдеулер жүйесі рұқсат етілсе.

Теорема. Элементар түрлендірулер теңдеулер жүйесін эквивалентті түрге айналдырады.

Гаусс әдісінің мәні бастапқы теңдеулер жүйесін түрлендіру және эквивалентті шешілген немесе эквивалентті сәйкес келмейтін жүйені алу.

Сонымен, Гаусс әдісі келесі қадамдардан тұрады:

1. Бірінші теңдеуді қарастырайық. Бірінші нөлдік емес коэффициентті таңдап алып, барлық теңдеуді оған бөлейік. Кейбір x i айнымалысы 1 коэффициентімен енетін теңдеуді аламыз;
2. Осы теңдеуді қалған теңдеулердегі x i айнымалысының коэффициенттері нөлге тең болатындай сандарға көбейтіп, қалғандарының барлығынан шегерейік. Біз x i айнымалысына қатысты шешілген және бастапқыға эквивалентті жүйені аламыз;
3. Егер тривиальды теңдеулер пайда болса (сирек, бірақ бұл орын алады; мысалы, 0 = 0), біз оларды жүйеден сызып тастаймыз. Нәтижесінде бір теңдеу аз болады;
4. Алдыңғы қадамдарды n реттен артық емес қайталаймыз, мұндағы n – жүйедегі теңдеулер саны. Әр жолы біз «өңдеу» үшін жаңа айнымалыны таңдаймыз. Егер сәйкес келмейтін теңдеулер пайда болса (мысалы, 0 = 8), жүйе сәйкес емес.

Нәтижесінде, бірнеше қадамдардан кейін біз шешілген жүйені (мүмкін еркін айнымалылары бар) немесе сәйкес келмейтінін аламыз. Рұқсат етілген жүйелер екі жағдайға бөлінеді:

1. Айнымалылар саны теңдеулер санына тең. Бұл жүйенің анықталғанын білдіреді;
2. Айнымалылар саны теңдеулер санынан көп. Біз барлық бос айнымалыларды оң жақта жинаймыз - рұқсат етілген айнымалылар үшін формулаларды аламыз. Бұл формулалар жауапта жазылған.

Міне бітті! Сызықтық теңдеулер жүйесі шешілді! Бұл өте қарапайым алгоритм және оны меңгеру үшін жоғары математика мұғалімімен байланысудың қажеті жоқ. Мысал қарастырайық:

Тапсырма. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Қадамдардың сипаттамасы:

1. Екінші және үшіншіден бірінші теңдеуді алып тастаймыз - рұқсат етілген x 1 айнымалысын аламыз;
2. Екінші теңдеуді (−1) көбейтеміз, ал үшінші теңдеуді (−3) бөлеміз – 1 коэффициентімен х 2 айнымалысы кіретін екі теңдеу аламыз;
3. Біріншіге екінші теңдеуді қосамыз, ал үшіншіден шегереміз. Біз рұқсат етілген x 2 айнымалысын аламыз;
4. Соңында біріншіден үшінші теңдеуді алып тастаймыз - рұқсат етілген x 3 айнымалысын аламыз;
5. Біз бекітілген жүйені алдық, жауапты жазыңыз.

Сызықтық теңдеулердің бір мезгілдегі жүйесінің жалпы шешімі – барлық рұқсат етілген айнымалылар бос сандармен өрнектелетін, бастапқыға баламалы жаңа жүйе.

Жалпы шешім қашан қажет болуы мүмкін? Егер сізге k-ден аз қадамдар жасау керек болса (k - қанша теңдеу бар). Дегенмен, процестің қандай да бір қадаммен аяқталуының себептері l< k , может быть две:

1. l-ші қадамнан кейін біз (l + 1) саны бар теңдеу жоқ жүйені алдық. Негізі бұл жақсы, өйткені... рұқсат етілген жүйе әлі де алынған - тіпті бірнеше қадам бұрын.
2. l-ші қадамнан кейін біз айнымалылардың барлық коэффициенттері нөлге тең, ал бос коэффициент нөлден өзгеше болатын теңдеу алдық. Бұл қарама-қайшы теңдеу, сондықтан жүйе сәйкес емес.

Гаусс әдісін қолдана отырып, сәйкес келмейтін теңдеудің пайда болуы сәйкессіздікке жеткілікті негіз екенін түсіну маңызды. Сонымен қатар, біз l-ші қадамның нәтижесінде тривиальды теңдеулер қалуы мүмкін емес екенін атап өтеміз - олардың барлығы процесте сызып тасталады.

Қадамдардың сипаттамасы:

1. Екіншіден 4-ке көбейтілген бірінші теңдеуді алып тастаңыз. Үшіншіге бірінші теңдеуді қосамыз – рұқсат етілген x 1 айнымалысын аламыз;
2. Екіншіден 2-ге көбейтілген үшінші теңдеуді алып тастасақ - қарама-қайшы 0 = −5 теңдеуін аламыз.

Осылайша, жүйе сәйкес емес, өйткені сәйкес емес теңдеу табылды.

Тапсырма. Үйлесімділікті зерттеп, жүйенің жалпы шешімін табыңыз:

Қадамдардың сипаттамасы:

1. Бірінші теңдеуді екіншісінен (екіге көбейткеннен кейін) алып тастаймыз және үшіншіден - рұқсат етілген x 1 айнымалысын аламыз;
2. Үшіншіден екінші теңдеуді алып тастаңыз. Бұл теңдеулердің барлық коэффициенттері бірдей болғандықтан, үшінші теңдеу тривиальды болады. Бұл ретте екінші теңдеуді (−1) көбейтіңіз;
3. Бірінші теңдеуден екіншісін алып тастаймыз - рұқсат етілген x 2 айнымалысын аламыз. Енді теңдеулер жүйесі де шешілді;
4. x 3 және x 4 айнымалылары бос болғандықтан, рұқсат етілген айнымалыларды өрнектеу үшін оларды оңға жылжытамыз. Бұл жауап.

Сонымен, жүйе дәйекті және анықталмаған, өйткені рұқсат етілген екі айнымалы (x 1 және x 2) және екі бос (x 3 және x 4) бар.