Функцияның сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәні. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәні

1. Функцияның анықталу облысын табыңыз және оның барлық сегментті қамтитынын тексеріңіз.

2. Кесіндіге түсетін барлық қозғалмайтын нүктелерді анықтаңыз. Ол үшін функцияның туындысын тауып, оны нөлге теңеп, алынған теңдеуді шешіп, сәйкес түбірлерді таңдаймыз.

3. Егер стационарлық нүктелер болмаса немесе олардың ешқайсысы кесіндіге түспесе, онда келесі нүктеге көшіңіз.

4. Таңдалған стационарлық нүктелердегі (бар болса), сондай-ақ x = a және x = b нүктелеріндегі функцияның мәндерін есептейміз.

5. Алынған функция мәндерінің ішінен ең үлкенін және ең кішісін таңдаңыз - олар біз іздейтін мәндер болады.

10) Дөңес болу үшін жеткілікті шарт (шұңқырлық).Екі рет дифференциалданатын функцияның екінші туындысы Х жиынында оң (теріс) болса, онда функция осы жиында төмен (жоғары) дөңес болады.

11) Иілу нүктелеріне қажетті шарт. Екі рет үздіксіз дифференциалданатын функцияның x0 иілу нүктесіндегі екінші туынды f""(x) нөлге тең, яғни. f""(x0) = 0.

12) Иілу нүктелері үшін жеткілікті шарт.Егер екі рет дифференциалданатын функцияның екінші туындысы f""(x0) = 0 болатын x0 нүктесі арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда x0 оның графигінің иілу нүктесі болады.

6. Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдық есебі.

Функциялардың жартылай туындылары z = f(х,у) функцияның өсімшелерінің қатынасының шектері деп аталады z = z(x,y)бағыттар бойынша сәйкес аргументтің ұлғаюына Онемесе осағ Δx → 0Және Δу → 0тиісінше:

х-ке қатысты ішінара туынды:

Есептеу кезінде y = const деп есептеңіз.

у-ға қатысты ішінара туынды:

Есептеу кезінде x = const ескеріңіз.

Екі айнымалының берілген функциясының аргументтерінің мәндерінің барлық жұптарының G жиыны деп аталады. осы функцияны анықтау облысы.

z = f(x,y) функциясы шақырылады үздіксіз M0(x0,y0) нүктесінде, егер ол осы нүктеде және оның маңайында анықталса және қанағаттандырса

А саны аталады функцияның шегі z = f(x,y) M0(x0,y0) нүктесінде:

Функцияның жалпы өсімінің сызықтық (delta x және delta ig-ге қатысты) бөлігі деп аталады. толық дифференциалжәне dz арқылы белгіленеді:

мұндағы deix және deigric тәуелсіз айнымалылардың дифференциалдары, олар анықтамасы бойынша сәйкес өсімдерге тең.

Нүкте (x 0; y 0)нүкте деп атайды максималды функция z = f(x; y) (x 0; y 0)үшін

= <δ f(x; y)≤ f(x 0; y 0).

Нүкте (x 0; y 0)нүкте деп атайды минимум функциясы z = f(x; y) , егер барлық жерде нүктенің маңында (x 0; y 0)үшін

= <δ f(x; y) ≥ f(x 0; y 0).

Теңдеу арқылы берілген бет болсын . Берілген нүкте арқылы өтетін беттегі түзулерге жанама түзулердің барлығы орналасқан жазықтық , деп аталады жанама жазықтық M0 нүктесінде бетіне.

Нүкте арқылы жүргізілген түзу беттер , жанама жазықтыққа перпендикуляр деп аталады бетіне қалыпты.

Егер беті теңдеу арқылы берілсе , онда нүктедегі осы бетке жанама жазықтықтың теңдеуі түрінде жазылады: , ал сол нүктедегі бетке нормальдың теңдеуі мына түрде болады:

Дифференциалдаудың қажетті шарттары:егер f функциясы x0 нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл нүктеде оның барлық айнымалыларға қатысты жартылай туындылары болады, егер f функциясы x0 нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үздіксіз болады.

Дифференциалдау үшін жеткілікті шарттар: f() функциясы х0 нүктесінің кейбір маңайында анықталсын. Осы маңайдағы функцияның барлық айнымалыларға қатысты үзіліссіз жеке туындылары болсын, онда f функциясы осы нүктеде дифференциалданатын болады.

Алғы шарттарэкстремумның болуы : немесе кем дегенде бір ішінара туынды жоқ.

Жеткілікті шарттарэкстремумның болуы екі айнымалының функциялары:Егер > 0 болса

содан кейін а) > 0 функцияның минимумы бар ( мин)

IN) < 0 функцияның максималды мәні бар ( макс)

Егер<0 Бұл экстремум жоқ.

Егер= 0 болса, жоғары дәрежелі туындыларды қолданатын қосымша зерттеулер қажет.

Күрделі сандар

Анықтамалар:

1) Күрделі сан- әдетте арқылы белгіленетін нақты сандар жиынының кеңеюі. Кез келген күрделі санды формальды қосынды ретінде көрсетуге болады, мұндағы және нақты сандар және елестетілген бірлік болып табылады.

2) Күрделі санды , , түрінде жазуды атайды алгебралық пішінкүрделі сан.

3) Санға сәйкес нүктенің радиус векторының бұрышы (радианмен) деп аталады аргументсандар және арқылы белгіленеді.

4) Модулькүрделі сан – күрделі жазықтықтың сәйкес нүктесінің радиус векторының ұзындығы (немесе, ол бірдей, осы санға сәйкес күрделі жазықтықтың нүктесі мен координаталар басы арасындағы қашықтық).

Күрделі санның модулі өрнекпен белгіленеді және анықталады . Көбінесе немесе әріптерімен белгіленеді. Егер бұл нақты сан болса, онда ол осы нақты санның абсолютті мәнімен сәйкес келеді.

5) Күрделі сан болса, онда сан шақырылады конъюгат(немесе күрделі конъюгат) -ға (сонымен бірге белгіленеді). Күрделі жазықтықта конъюгаттық сандар бір-бірінің нақты оське қатысты айна бейнесі ретінде алынады. Конъюгаттық санның модулі бастапқымен бірдей және олардың аргументтері белгісі бойынша ерекшеленеді.

6) Егер күрделі санның нақты және жорамал бөліктері модулі және аргументі ( , ) арқылы өрнектелсе, онда нөлден басқа кез келген күрделі санды жазуға болады. тригонометриялық формалар e

7) Анықтама күрделі сандардың туындылары a + bi және a′ + b′i сандарын алгебралық биномдар ретінде көбейтуге болатындай және i санының i 2 =−1 қасиеті болатындай етіп орнатылған.

8) Ерікті натурал сан болсын . күрделі санның n-ші түбірі z күрделі сан, сондықтан .

9) Күрделі сандарды жазудың көрсеткіштік түрі

Күрделі дәреже көрсеткіші жағдайы үшін көрсеткіштің кеңеюі қайда.

Қасиеттер мен теоремалар:

1) Алгебралық түрдегі екі күрделі санның көбейтіндісімодулі факторлардың модульдерінің көбейтіндісіне тең, ал аргументі факторлардың аргументтерінің қосындысына тең болатын күрделі сан.

2) мақсатында тригонометриялық түрдегі екі күрделі санды көбейтужазбаларды модульдеріне көбейту керек және аргументтерді қосу керек. , мұндағы және , мұндағы тригонометриялық түрде жазылған екі ерікті күрделі сан болсын. Содан кейін.

3) Мойвр формуласыкүрделі сандар үшін кез келген үшін екенін айтады

4) мақсатында күрделі санды бөлу (а 1 + б 1 мен) басқа күрделі санға ( а 2 + б 2 мен), яғни табу , алымды да, азайғышты да бөлгішке жалғанатын санға көбейту керек.

5)

8. Бір айнымалы функциялардың интегралдық есебі.

1) Антитуынды

Белгілі бір (a,b) интервалында дифференциалданатын F(x) функциясы, егер әрбір x (a,b) үшін теңдік ақиқат болса, осы аралықтағы f(x) функциясы үшін антитуынды деп аталады.

2) Анықталмаған интеграл

Егер F(x) f(x) функциясы үшін белгілі бір аралықта қарсы туынды болса, F(x)+C өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және оны белгілейді.

3) Анықталған интеграл

Берілген f(x) функциясының берілген кесіндідегі анықталған интегралы деп оның қарсы туындысының сәйкес өсімін айтамыз, яғни.

4) Үзіліссіз функцияның дұрыс емес интегралы

f(x) функциясы үздіксіз a ≤x≤b және x=b нүктесінде үзіліс нүктесі болсын. Сонда үзіліссіз функцияның сәйкес бұрыс интегралы формула бойынша анықталады

және теңдіктің оң жағындағы шектің бар немесе жоқтығына байланысты конвергентті немесе дивергентті деп аталады.

5) Интегралдау интервалы шексіз бұрыс интеграл

a≤x≤b+∞ үшін f(x) функциясы үздіксіз болсын. Содан кейін анықтама бойынша

Егер шек бар болса, онда теңдіктің сол жағындағы интеграл жинақты деп аталады және оның мәні формула бойынша анықталады; әйтпесе теңдік мағынасын жоғалтады, сол жақтағы интеграл дивергентті деп аталады және оған сандық мән берілмейді

Қасиеттер мен теоремалар

6) Анықталмаған интегралдағы бөліктер бойынша интегралдау формуласы

7) Бөлшек-рационал функцияларды интегралдау ережелерін тұжырымдаңыз

1. Алымды бөлгішке бөл

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. Бөлшекті жай бөлшектердің қосындысына кеңейтеміз; ; ; ;

1 және 2 типті бөлшектердің интегралы дифференциал 3 және 4 белгісінің астындағы функцияны енгізіп, алдымен бөлгіштегі толық квадратты таңдау арқылы есептеледі.

8) Тригонометриялық функцияларды интегралдау ережесін тұжырымдаңыз

9) Анықталған интегралдың қасиеттерін тұжырымда

1. Анықталған интегралдың мәні интегралдау айнымалысының белгіленуіне тәуелді емес, яғни.

2. Шектері бірдей анықталған интеграл нөлге тең

3. Интегралдау шектерін қайта ретке келтіру кезінде анықталған интеграл таңбасын қарама-қарсысына өзгертеді.

4. Егер интегралдау интервалы ішінара аралықтардың ақырлы санына бөлінсе, онда интервал бойынша алынған анықталған интеграл оның барлық жеке аралықтарында алынған анықталған интегралдардың қосындысына тең болады.

5. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасынан шығаруға болады

6. Үздіксіз функциялардың ақырлы санының алгебралық қосындысының анықталған интегралы осы функциялардың анықталған интегралдарының бірдей алгебралық қосындысына тең.

10) Ньютон-Лейбниц формуласы

Егер f интервалда үздіксіз болса және F осы аралықта оның кез келген қарсы туындысы болса, онда теңдік орындалады

11) Анықталған интегралдағы бөліктер бойынша интегралдау формуласы

Қысқалық үшін біз белгілерді қолданамыз

2) Анықталмаған интегралдың қасиеттерін тұжырымда

1. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интегралға тең, ал анықталмаған интегралдың туындысы интегралға тең.

2. Үздіксіз дифференциалданатын функция дифференциалының анықталмаған интегралы осы функцияның өзіне тұрақты мүшеге дейін тең

3. Анықталмаған интегралдың таңбасынан нөлдік емес тұрақты көбейткішті шығаруға болады

4. Үздіксіз функциялардың ақырлы санының алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы осы функциялардың анықталмаған интегралдарының бірдей алгебралық қосындысына тең.

5) Анықталмаған интегралдағы айнымалының өзгеруі

Интегралды табу керек делік. Жаңа t айнымалысын енгізейік, x= (t) параметрі, мұндағы (t) үзіліссіз туындысы бар үздіксіз функция, оның кері функциясы t=Ψ(t). Одан кейін интегралданғаннан кейін оң жақта t=Ψ(x) ауыстыру керек.

3) Интегралдар кестесі

Логарифмдер

Көрсеткіштік функциялар

Иррационал функциялар

Тригонометриялық функциялар

12) Анықталған интегралдағы айнымалының өзгеруі

f(x) функциясы интервалда үзіліссіз, x= (t) функциясы [ интервалында үзіліссіз туындысы бар, a≤ (t)≤b және =a, =b

13) Жазық фигураның ауданын есептеу

f(x) функциясы интервалда үзіліссіз болсын. Егер f(x)≥0 бойынша болса, онда y=f(x), y=0, x=a, x=b түзулерімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы интеграл арқылы өрнектеледі:

Егер f(x)≤0 қосулы болса, онда –f(x)≥0 . Демек, сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданы S формула бойынша табылады

Полярлық координаттарда

Практикалық тұрғыдан алғанда, ең үлкен қызығушылық функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін туындыны пайдалану болып табылады. Бұл немен байланысты? Табысты арттыру, шығындарды азайту, жабдықтың оңтайлы жүктемесін анықтау... Басқаша айтқанда, өмірдің көптеген салаларында кейбір параметрлерді оңтайландыру мәселелерін шешуге тура келеді. Және бұл функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу міндеттері.

Айта кету керек, функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері әдетте функцияның бүкіл облысы немесе анықтау аймағының бөлігі болып табылатын белгілі бір X интервалында ізделеді. Х интервалының өзі кесінді, ашық интервал болуы мүмкін , шексіз интервал.

Бұл мақалада біз бір айнымалы y=f(x) анық көрсетілген функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу туралы айтатын боламыз.

Бетті шарлау.

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәні – анықтамалар, иллюстрациялар.

Негізгі анықтамаларға қысқаша тоқталайық.

Функцияның ең үлкен мәні бұл кез келген адамға теңсіздік ақиқат.

Функцияның ең кіші мәні X интервалындағы y=f(x) мұндай шама деп аталады бұл кез келген адамға теңсіздік ақиқат.

Бұл анықтамалар интуитивті: функцияның ең үлкен (ең кіші) мәні абсциссада қарастырылатын интервалдағы ең үлкен (ең кіші) қабылданған мән болып табылады.

Стационарлық нүктелер– бұл функцияның туындысы нөлге айналатын аргументтің мәндері.

Ең үлкен және ең кіші мәндерді тапқанда бізге стационарлық нүктелер не үшін қажет? Бұл сұраққа Ферма теоремасы жауап береді. Бұл теоремадан шығатыны, егер дифференциалданатын функция қандай да бір нүктеде экстремумға (жергілікті минимум немесе жергілікті максимум) ие болса, онда бұл нүкте стационар болады. Осылайша, функция көбінесе осы аралықтан стационарлық нүктелердің бірінде Х интервалында өзінің ең үлкен (ең кіші) мәнін алады.

Сондай-ақ, функция көбінесе ең үлкен және ең кіші мәндерін осы функцияның бірінші туындысы жоқ және функцияның өзі анықталған нүктелерде қабылдай алады.

Осы тақырып бойынша жиі кездесетін сұрақтардың біріне бірден жауап берейік: «Функцияның ең үлкен (ең кіші) мәнін анықтау әрқашан мүмкін бе?» Жоқ, әрқашан емес. Кейде Х интервалының шекаралары функцияның анықталу облысы шекараларымен сәйкес келеді немесе Х интервалы шексіз болады. Ал кейбір функциялар шексіздікте және анықтау облысы шекараларында шексіз үлкен де, шексіз кіші мәндерді де қабылдай алады. Бұл жағдайларда функцияның ең үлкен және ең кіші мәні туралы ештеңе айту мүмкін емес.

Түсінікті болу үшін біз графикалық иллюстрация береміз. Суреттерге қараңыз, көп нәрсе түсінікті болады.

Сегментте

Бірінші суретте функция [-6;6] сегментінің ішінде орналасқан стационарлық нүктелердегі ең үлкен (max y) және ең кіші (min y) мәндерді қабылдайды.

Екінші суретте бейнеленген жағдайды қарастырайық. сегментті өзгертейік. Бұл мысалда функцияның ең кіші мәні стационарлық нүктеде, ал ең үлкеніне абсциссасы интервалдың оң жақ шекарасына сәйкес келетін нүктеде қол жеткізіледі.

3-суретте [-3;2] кесіндісінің шекаралық нүктелері функцияның ең үлкен және ең кіші мәніне сәйкес нүктелердің абсциссалары болып табылады.

Ашық аралықта

Төртінші суретте функция ашық интервалдың (-6;6) ішінде орналасқан стационарлық нүктелердегі ең үлкен (max y) және ең кіші (min y) мәндерді қабылдайды.

аралықта ең үлкен мән туралы қорытынды жасауға болмайды.

Шексіздікте

Жетінші суретте берілген мысалда функция абсциссасы x=1 болатын стационарлық нүктеде ең үлкен мәнді (max y) қабылдайды, ал ең кіші мәнге (min y) интервалдың оң жақ шекарасында қол жеткізіледі. Минус шексіздікте функция мәндері асимптотикалық түрде y=3-ке жақындайды.

Аралық ішінде функция ең кіші мәнге де, ең үлкен мәнге де жетпейді. Оң жақтан x=2 жақындаған сайын функция мәндері минус шексіздікке бейім (x=2 сызығы тік асимптота), ал абсцисса плюс шексіздікке бейім болғандықтан, функция мәндері асимптотикалық түрде y=3-ке жақындайды. Бұл мысалдың графикалық иллюстрациясы 8-суретте көрсетілген.

Үздіксіз функцияның сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу алгоритмі.

Функцияның сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға мүмкіндік беретін алгоритмді жазайық.

1. Функцияның анықталу облысын табамыз және оның барлық сегментті қамтитынын тексереміз.
2. Біз бірінші туындысы жоқ және сегментте болатын барлық нүктелерді табамыз (әдетте мұндай нүктелер модуль таңбасының астындағы аргументі бар функцияларда және бөлшек-рационал көрсеткішті дәрежелік функцияларда кездеседі). Егер мұндай нүктелер болмаса, келесі нүктеге өтіңіз.
3. Біз кесіндіге түсетін барлық стационарлық нүктелерді анықтаймыз. Ол үшін оны нөлге теңеп, алынған теңдеуді шешіп, сәйкес түбірлерді таңдаймыз. Егер стационарлық нүктелер болмаса немесе олардың ешқайсысы кесіндіге түспесе, келесі нүктеге өтіңіз.
4. Функцияның мәндерін таңдалған стационарлық нүктелердегі (бар болса), бірінші туындысы жоқ нүктелердегі (бар болса), сондай-ақ x=a және x=b нүктелерінде есептейміз.
5. Функцияның алынған мәндерінен біз ең үлкен және ең кішісін таңдаймыз - олар сәйкесінше функцияның қажетті ең үлкен және ең кіші мәндері болады.

Сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін мысалды шешу алгоритмін талдап көрейік.

Мысал.

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз

• сегментте;
• сегментінде [-4;-1] .

Шешім.

Функцияның анықталу облысы нөлден басқа нақты сандар жиыны болып табылады, яғни. Екі сегмент те анықтау доменіне жатады.

Функцияның туындысын табыңыз:

Функцияның туындысы кесінділердің барлық нүктелерінде және [-4;-1] болатыны анық.

Теңдеуден стационар нүктелерді анықтаймыз. Жалғыз нақты түбір x=2. Бұл стационарлық нүкте бірінші сегментке түседі.

Бірінші жағдайда функцияның сегменттің ұштарында және стационарлық нүктеде мәндерін есептейміз, яғни x=1, x=2 және x=4:

Демек, функцияның ең үлкен мәні х=1 және ең кіші мәнде қол жеткізіледі – x=2 кезінде.

Екінші жағдайда біз [-4;-1] сегментінің ұштарында ғана функция мәндерін есептейміз (өйткені онда бір стационарлық нүкте жоқ):

Логарифмдері бар функциялар (ең үлкен және ең кіші мән). Бұл мақалада функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу мәселелері қарастырылады. Бірыңғай мемлекеттік емтиханға енгізілген есептер тобы бар - бұл логарифмдермен есептер. Зерттеу функцияларына байланысты тапсырмалар алуан түрлі. Логарифмдік функциялардан басқа мыналар болуы мүмкін: тригонометриялық функциялары бар функциялар, бөлшек-рационал функциялар және т.б.

Қалай болғанда да, мен «» мақаласында көрсетілген теорияны тағы бір рет қарастыруды ұсынамын. Егер сіз бұл материалды түсінсеңіз және туындыларды табуда жақсы дағдыға ие болсаңыз, онда сіз осы тақырыптағы кез келген мәселені қиындықсыз шеше аласыз.

Берілген сегменттегі функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін табу алгоритмін еске салайын:

1. Туындыны есептеңдер.

2. Оны нөлге теңеп, теңдеуді шешеміз.

3. Алынған түбірлер (туындының нөлдері) осы кесіндіге жататынын анықтаңыз. Тиістілерін белгілейміз.

4. Функцияның мәндерін сегменттің шекараларында және осы сегментке жататын нүктелердегі (алдыңғы абзацта алынған) есептейміз.

Тапсырмаларды қарастырайық:

y=5x–ln (x+5) 5 функциясының ең кіші мәнін табыңыз [–4,5;0] сегментінде.

Функцияның мәнін интервалдың соңында және экстремум нүктелерінде, егер осы аралықта бар болса, есептеп, олардың ең кішісін таңдау керек.

Туындыны есептеп, оны нөлге теңеп, теңдеуді шешеміз.

Берілген функцияның туындысын табайық:

Берілген кесіндідегі туындының нөлдерін табайық:

*Алым нөлге тең болғанда бөлшек нөлге тең.

x= – 4 нүктесі берілген интервалға жатады.

Осылайша, функцияның мәнін нүктелер бойынша есептейміз: – 4,5; – 4; 0.

Біз алған логарифмдермен мәндерді есептеуге (немесе талдауға) болады. Және бұл сегменттегі функцияның ең кіші мәні «– 20» екенін көресіз.

Бірақ оларды есептеудің қажеті жоқ. Неліктен? Жауаптың бүтін сан немесе соңғы ондық бөлшек болуы керек екенін білеміз (бұл В бөліміндегі Бірыңғай мемлекеттік емтихан шарты). Бірақ логарифмдері бар мәндер: – 22,5 – ln 0,5 5 және – ln3125 мұндай жауап бермейді.

x=–4 функциясы минималды мәнге ие болады, туындының таңбаларын (-дан) аралықтарында анықтауға болады.– 5: – 4) және (– 4; + ∞ ).

Енді туынды құралдармен қиындықтары жоқ және мұндай мәселелерді қалай шешуге болатынын түсінетіндер үшін ақпарат. Туындыны есептемей және қажетсіз есептеулерсіз қалай жасауға болады?

Сонымен, егер жауаптың бүтін сан немесе ақырлы ондық бөлшек болуы керек екенін ескерсек, онда мұндай мәнді х бүтін сан немесе соңғы ондық бөлшек бар бүтін сан болғанда ғана және таңбасының астында аламыз. жақшадағы логарифм бізде бірлік немесе e саны бар. Әйтпесе, келісілген мәнді ала алмаймыз. Бұл тек x = – 4 кезінде ғана мүмкін.

Бұл осы кезде функцияның мәні ең кіші болатынын білдіреді, оны есептейік:

Жауабы: – 20

Өзіңіз шешіңіз:

[–2,5;0] кесіндісінде y=3x– ln (x+3) 3 функциясының ең кіші мәнін табыңыз.

y=ln (x+5) функциясының ең үлкен мәнін табыңыз. 5 – 5x [–4,5;0] сегментінде.

y=x 2 –13x+11∙lnx+12 функциясының кесіндідегі ең үлкен мәнін табыңыз.

Функцияның кесіндідегі ең кіші мәнін табу үшін функцияның оның ұштарындағы, ал экстремум нүктелеріндегі, егер бар болса, берілген аралықтағы мәнін есептеу керек.

Туындыны есептеп, оны нөлге теңеп, алынған теңдеуді шешейік:

Квадрат теңдеуді шешіп, аламыз

x = 1 нүктесі берілген интервалға жатады.

х = 22/4 нүктесі оған тиесілі емес.

Осылайша, функцияның мәнін нүктелер бойынша есептейміз:

Жауаптың бүтін немесе ақырлы ондық бөлшек екенін білеміз, бұл функцияның ең үлкен мәні 0 екенін білдіреді. Бірінші және үшінші жағдайда біз мұндай мән алмаймыз, өйткені бұл бөлшектердің натурал логарифмі болмайды. осындай нәтиже беріңіз.

Сонымен қатар, нүктеде екеніне көз жеткізіңізx = 1 функция өзінің ең үлкен мәнін алады, туындының таңбаларын (0) аралығымен анықтауға болады.:1 ) және (1 ; + ∞ ).

Туындыны есептемей есептің бұл түрін қалай шешуге болады?

Жауаптың бүтін немесе ақырлы ондық бөлшек болуы керек екенін ескерсек, онда бұл шарт х бүтін немесе ақырлы ондық бөлшекті бүтін сан болғанда ғана қамтамасыз етіледі және сонымен бірге бізде бірлік немесе e саны бар. логарифм таңбасы астында.

Бұл x = 1 болғанда ғана мүмкін болады.

Бұл x = 1 (немесе 14/14) нүктесінде функцияның мәні ең үлкен болатынын білдіреді, оны есептейік:

Жауабы: 0

Өзіңіз шешіңіз:

y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 функциясының кесіндідегі ең үлкен мәнін табыңыз.

Мұндай тапсырмаларды туындыларды таппай шешу әдісін Бірыңғай мемлекеттік емтиханның өзінде тапсырманы есептеу кезінде уақытты үнемдеу үшін ғана қолдануға болатындығын ескертемін. Егер сіз туындыны табу арқылы (алгоритмді пайдалана отырып) мұндай есептерді қалай шешуге болатынын жақсы түсінсеңіз және оны жақсы орындасаңыз. Туындысыз шешу кезінде аналитикада біраз тәжірибеңіз болуы керек екені сөзсіз.

Кейде нақты тапсырмаларды орындауға көмектесетін көптеген «қиын» әдістер бар және олардың барлығын есте сақтау мүмкін емес. Ерітіндінің принциптері мен қасиеттерін түсіну маңызды. Егер сіз қандай да бір техникаға үміт артсаңыз, ол қарапайым себеппен жұмыс істемеуі мүмкін: сіз оны ұмытып кетесіз немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан бірінші рет көрген тапсырма түрін аласыз.

Біз осы бөлімдегі тапсырмаларды қарастыруды жалғастырамыз, жіберіп алмаңыз!

Бар болғаны. Сізге сәттілік!

Құрметпен, Александр Крутицких.

P.S: Әлеуметтік желідегі сайт туралы айтып берсеңіз, риза болар едім.

Функцияның max нүктесіндегі мәні осы нүктенің белгілі бір маңайында ғана ең үлкен болады және бұл міндетті емес. функцияны анықтаудың бүкіл өрісіндегі ең үлкен мән. Минимум туралы да солай айтуға болады. Бұл жағдайда олар абсолюттілерден айырмашылығы көбінесе жергілікті (жергілікті) макс және мин деп аталады, яғни. - ең үлкен және ең кіші мән. анықтау аймағында. Егер f(x) функциясы а,в бойынша берілсе және онда үздіксіз болса, онда ол кейбір нүктелерде оның ең үлкен және ең кіші мәндеріне жетеді. Оларды қалай табуға болады? a,b бойынша бірнеше макс болса, онда макс. ішіндегі мән (егер жеткен болса) олардың біріне сәйкес келеді. Сонымен бірге функция барлық a,b үшін ең үлкен мәніне бір ұшында жетуі мүмкін.

Ереже..

f(a) және f(b) барлық мин және шекаралық мәндерін салыстыру қажет. Ең кіші мән a,b бойынша функцияның ең кіші мәні болады.

Әдетте олар көп нәрсені тапқан кезде әрекет етеді. және аты қарапайым мәндер:

a,b кесіндісінің ішіндегі барлық критикалық нүктелерді табыңыз, олардағы функцияның мәндерін есептеңіз (олардың экстремумы бар-жоғын анықтамай), 2) f(a) және f ұштарындағы функцияның мәнін есептеңіз. (b), 3) алынған мәндерді салыстырыңыз: бұл мәндердің ең кіші мәні функцияның ең кіші мәні болады, ең үлкені a,b бойынша ең үлкен болады.

Мысалы:

Найти наиб. және y=na-1,2 функциясының ең кіші мәні,

1. (-1,2) нүктесінде сыни нүктелерді іздеу.
U"= =0, 2x+2x 3 -2x 3 =0, 2x=0,

=0. Басқалар жоқ.

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

f(0)=0, ең кіші мән, f(2)=4/5.- ең үлкен мән max, онда бұл а,в бойынша функцияның ең үлкен мәні, егер ол min болса, онда бұл а,в бойынша ең кіші мән. Бұл функция өрнегі әріптік өрнектерді қамтитын жағдайларда маңызды және соңында мәндерді салыстырудан гөрі экстремумды тексеру оңайырақ болады.

Ең үлкен және ең кіші мәндерді табу туралы айтылғанның бәрі (a, b) және  шексіз интервалына да қатысты екенін ескеру маңызды, тек осы жағдайда мәндер ұштары есепке алынбайды.

§4. Қисық және иілу нүктесінің ойыс бағыты

y=f(x) im функциясы болсын. қоса соңғы туынды. Содан кейін ол оларға айтты. осы нүктеде теңдеуі у-ге тең болатын тангенс =f "( )(X- ) немесе y=f( )+(x- )
.

Кейбір ауданда ( -Функцияның графигін әртүрлі тәсілдермен орналастыруға болады: не жанаманың үстінде, не астында, не екі жағында.

Анықтама.

Олар t.M деп айтады( ,) y=f(x) қисығы төмен ойыс немесе жай ойыс (жоғары ойыс немесе дөңес), егер кейбір көршілерден барлық x үшін ( - ұпай қисық сызықтың барлық нүктелері жанаманың үстінде (тангенстің астында) орналасқан.

Егер Т.М-де қисық жанаманың бір жағынан екінші жағына өтетін болса, онда Т.М деп аталады. қисықтың иілу нүктесі.

t.M1-де қисық ойыс, М2 - дөңес, М3 - иілу.

Иілу нүктесінде қисық дөңестен ойысқа немесе керісінше өзгереді. Иілу нүктесі - қисық сызықтың дөңес және ойыс бөліктерінің арасындағы шекара.

Айылу нүктесінің анықтамасы y = f (x) қисығына жанама перпендикуляр болған жағдайда жарамды болып қалады. осьтер о, t-дегілер. туынды "( )=, т.б. явл емес. қисықтың шыңы. Жағдайлардан айырмашылығы (сызбада көрсетілген),

x x

қайда т. және x иілу нүктелері емес.

Олар қандай шарттарда екенін табайық. белгілі бір ойыс немесе қисық иілу бағытының орны. y=f(x) ерікті t.x= .

Мысалы, қисық t.M( ,) дөңес. Сосын ол бір ауданда орналасқан ( -Бұл нүктенің  жанамасынан төмен y=f( )+f "( )(X- ). Көмекші функцияны қарастырайық(x)= f(x)-f( )-f "( )(X- ). Оның ішінде ()=0, in-көрші t.
. Осыдан келіп шығады функциясы
hasmax. Сонымен, нүктеде ""(). Бірақ ""( )=f ""(x) және сондықтан қоса. f ""( ).

Осылайша, y=f(x) қисығы t.x0 нүктесінде дөңес болуы үшін f ""( ). Егер t.x0 f ""( ), содан кейін қоса. -max, сондықтан қисық дөңес болады. Шарты f ""( .

) дөңес үшін жеткілікті, соның ішінде. Толығымен ұқсас жолмен пайымдай отырып, біз f «»( шартын аламыз. ) t.x0 кезінде ойыс болу үшін қажет және f ""() шарты

) ойыс үшін жеткілікті.

Қорытынды: егер т. екінші туынды оңf ""( екінші туынды терісф ""( ), онда қисық осы нүктеде дөңес болады.

«Кесе» ережесі ыңғайлы:

Иілу нүктелерінде белгілі бір ойыс немесе дөңес болмайды, сондықтан олар тек f ""( нүктесінде) болуы мүмкін. )=0. Бірақ f "" шарты( ) дәл осыны әлі қамтамасыз етпейді - иілу нүктесі. Мысалы, y=x 4 және y=-x 4 қисықтары үшін, соның ішінде. f ""( )=0, бірақ ондағы бірінші қисық ойыс, екіншісі дөңес.

) ойыс үшін жеткілікті. шарт f ""( )=0 явл. флексияның болуының қажетті шарты, соның ішінде . Бірақ, біз көргеніміздей, екінші туынды f""(

)= лай мүлдем жоқ. Қисықтың иілісі үшін жеткілікті шарт, соның ішінде. yavl. екінші туындының белгісінің өзгеруі f ""( ) т арқылы өткенде. . Оның үстіне t арқылы өткенде 2-ші туынды өзгерсе. +-ден - белгісіне, содан кейін қоса. ойыстан дөңеске қарай иілу, Егер ""( ) t арқылы өткенде таңбаны --ден +-ге өзгертеді. , содан кейін

дөңестен ойысқа ауысумен иілу.. Анықтама

. Егер қисық белгілі бір интервалдың әрбір нүктесінде ойыс (дөңес) болса, онда ол деп аталады. осы аралықта ойыс (дөңес).

y=f(x) функциясын дөңес, ойыс және иілу нүктелері үшін зерттеу келесі жоспар бойынша жүзеге асырылады:

1. Ауыстыру үшін күдікті барлық нүктелерді табыңыз, ол үшін:

а) екінші туындыны тауып, оны нөлге теңестіріп, алынған теңдеудің нақты түбірлерін табыңдар,

б) соңғы f ""(x) туындысы жоқ нүктелерді табыңыз,

2. Игілеуге күдікті әрбір нүктеден өткенде f ""(x) таңбасының өзгеруін тексеріңіз. Белгі өзгерсе, иілу бар, өзгермесе, жоқ.

Анықтама.

f ""(x0)  болатын нүктелер үшін қисық ойыс, мұнда, керісінше, дөңес. Экстрема жағдайындағы сияқты, егер иілу үшін күдікті нүктелердің шектеулі саны болса, интервал әдісі қолданылады.

Егер қисық белгілі бір интервалдың әрбір нүктесінде дөңес (ойыс) болса, ол деп аталады. осы аралықта дөңес (шұңқыр).

Мысал

y=x 4 -6x 2 +5 функциясының шығыңқылығын, ойыстығын, яғни иілуін қарастырыңыз. Аймақ Def. X=.

1. y"=4x 3 -12x, y""=12x 2 -12=12(x 2 -1), y""=0, x 2 -1=0, x 1,2 =-t . күдікті табыңыз. иілу үшін, басқалары жоқ.

Бүкіл облыс Def. (--1), (-1,1), (1,  аралықтарына бөлінеді, олардың әрқайсысында f ""(x) тұрақты таңбаға ие, өйткені оларда үзіліссіз. Ол оңай , (--1) +, (-1,1) - және (1,  +.) Осы жерден -1 және 1 нүктелерінде иілу бар екені анық. , ал ( -1)-де функция графигі ойыс, (-1,1)-де дөңес, (1, )-де ойыс. Бұл қызметпен сіз Word бағдарламасында пішімделген шешімі бар бір f(x) айнымалысы. Егер f(x,y) функциясы берілсе, сондықтан екі айнымалы функцияның экстремумын табу керек. Сонымен қатар функциялардың өсу және кему аралықтарын табуға болады.

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз

y =

сегментінде [ ;]

Теорияны қосыңыз

Функцияларды енгізу ережелері:

Бір айнымалы функцияның экстремумының қажетті шарты

f" 0 (x *) = 0 теңдеуі бір айнымалы функцияның экстремумының қажетті шарты болып табылады, яғни x * нүктесінде функцияның бірінші туындысы жойылуы керек. Ол функция орындалмайтын стационар x c нүктелерін анықтайды. арттыру немесе азайту.

Бір айнымалы функцияның экстремумының жеткілікті шарты

D жиынына жататын х-ке қатысты f 0 (x) екі есе дифференциалданатын болсын. Егер x * нүктесінде шарт орындалса:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Сонда x * нүктесі функцияның жергілікті (жаһандық) минималды нүктесі болып табылады.

Егер x * нүктесінде шарт орындалса:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Сонда x * нүктесі жергілікті (жаһандық) максимум болып табылады.

№1 мысал. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз: сегментте.
Шешім.

Критикалық нүкте бір x 1 = 2 (f’(x)=0). Бұл нүкте сегментке жатады. (x=0 нүктесі критикалық емес, өйткені 0∉).
Біз функцияның мәндерін сегменттің соңында және критикалық нүктеде есептейміз.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Жауабы: f min = 5/2 кезінде x=2; f max =9 кезінде x=1

№2 мысал. Жоғары ретті туындыларды пайдаланып, y=x-2sin(x) функциясының экстремумын табыңыз.
Шешім.
Функцияның туындысын табыңыз: y’=1-2cos(x) . Критикалық нүктелерді табайық: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y’’=2sin(x), есептейміз, бұл дегеніміз x= π / 3 +2πk, k∈Z – функцияның ең кіші нүктелері; , бұл дегеніміз x=- π / 3 +2πk, k∈Z – функцияның ең үлкен нүктелері.

№3 мысал. x=0 нүктесіне жақын экстремум функциясын зерттеңіз.
Шешім. Мұнда функцияның экстремумын табу керек. Егер экстремум x=0 болса, онда оның түрін табыңыз (минимум немесе максимум). Табылған нүктелер арасында х = 0 болмаса, f(x=0) функциясының мәнін есептеңіз.
Белгілі бір нүктенің әр жағындағы туынды өз таңбасын өзгертпегенде, тіпті дифференциалданатын функциялар үшін де мүмкін жағдайлар таусылмайтынын атап өткен жөн: бұл нүктенің бір жағындағы ерікті шағын көршілестік үшін x 0 немесе екі жағында туынды өзгерістер белгісі. Бұл нүктелерде экстремум үшін функцияларды зерттеудің басқа әдістерін қолдану қажет.