Логарифмдерді кез келген сандар сияқты қосуға, азайтуға және түрлендіруге болады. Бірақ логарифмдер дәл қарапайым сандар емес болғандықтан, мұнда шақырылатын ережелер бар негізгі қасиеттері.
Сіз бұл ережелерді білуіңіз керек - оларсыз бірде-бір маңызды логарифмдік мәселені шешу мүмкін емес. Сонымен қатар, олардың саны өте аз - сіз бір күнде бәрін біле аласыз. Ендеше, бастайық.
Логарифмдерді қосу және азайту
Негіздері бірдей екі логарифмді қарастырайық: log а xжәне журнал а ж. Содан кейін оларды қосуға және азайтуға болады, және:
- журнал а x+ журнал а ж=журнал а (x · ж);
- журнал а x− журнал а ж=журнал а (x : ж).
Сонымен, логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең, ал айырмасы бөліктің логарифміне тең. Назар аударыңыз: мұнда негізгі мәселе бірдей негіздер. Себептер әртүрлі болса, бұл ережелер жұмыс істемейді!
Бұл формулалар логарифмдік өрнекті оның жеке бөліктері ескерілмеген жағдайда да есептеуге көмектеседі («Логарифм дегеніміз не» сабағын қараңыз). Мысалдарды қарап шығыңыз және қараңыз:
Журнал 6 4 + журнал 6 9.
Логарифмдердің негіздері бірдей болғандықтан, біз қосынды формуласын қолданамыз:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 2 48 − log 2 3.
Негіздер бірдей, біз айырмашылық формуласын қолданамыз:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 3 135 − log 3 5.
Тағы да негіздер бірдей, сондықтан бізде:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Көріп отырғаныңыздай, бастапқы өрнектер бөлек есептелмейтін «жаман» логарифмдерден тұрады. Бірақ түрлендірулерден кейін толығымен қалыпты сандар алынады. Көптеген сынақтар осы фактіге негізделген. Иә, Бірыңғай мемлекеттік емтиханда сынаққа ұқсас өрнектер барлық маңыздылығымен (кейде іс жүзінде ешқандай өзгеріссіз) ұсынылады.
Логарифмадан дәреже көрсеткішін шығару
Енді тапсырманы сәл күрделендіріп көрейік. Логарифмнің негізі немесе аргументі дәреже болса ше? Сонда бұл дәреже көрсеткішін логарифм таңбасынан келесі ережелер бойынша шығаруға болады:
Соңғы ереже алғашқы екеуіне сәйкес келетінін байқау қиын емес. Бірақ бәрібір оны есте ұстаған жөн - кейбір жағдайларда бұл есептеулердің көлемін айтарлықтай азайтады.
Әрине, егер логарифмнің ODZ сақталса, бұл ережелердің барлығы мағынасы бар: а > 0, а ≠ 1, x> 0. Және тағы бір нәрсе: барлық формулаларды солдан оңға қарай ғана емес, керісінше қолдануға үйреніңіз, яғни. Логарифмнің өзіне логарифм белгісінің алдындағы сандарды енгізуге болады. Бұл ең жиі талап етілетін нәрсе.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 7 49 6 .
Бірінші формуланы пайдаланып дәлелдегі дәрежеден құтылайық:
журнал 7 49 6 = 6 журнал 7 49 = 6 2 = 12
Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:
[Суреттің жазуы]
Бөлгіште негізі мен аргументі дәл дәрежелер болатын логарифм бар екенін ескеріңіз: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бізде бар:
[Суреттің жазуы] Менің ойымша, соңғы мысал кейбір нақтылауды қажет етеді. Логарифмдер қайда кетті? Соңғы сәтке дейін біз тек бөлгішпен жұмыс істейміз. Біз сол жерде тұрған логарифмнің негізі мен аргументін дәрежелер түрінде ұсынып, дәрежелерді алып тастадық - біз «үш қабатты» бөлшек алдық.
Енді бас бөлшекті қарастырайық. Алым мен бөлгіш бірдей санды қамтиды: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 болғандықтан, біз бөлшекті азайта аламыз - 2/4 бөлгіште қалады. Арифметика ережелері бойынша төртеуін алымға көшіруге болады, бұл орындалды. Нәтиже келесідей болды: 2.
Жаңа негізге көшу
Логарифмдерді қосу және азайту ережелері туралы айта отырып, мен олардың тек бірдей негіздермен жұмыс істейтінін ерекше атап өттім. Себептер әртүрлі болса ше? Егер олар бірдей санның дәл дәрежелері болмаса ше?
Жаңа іргетасқа өту формулалары көмекке келеді. Оларды теорема түрінде тұжырымдаймыз:
Логарифм журналы берілсін а x. Содан кейін кез келген сан үшін всолай в> 0 және в≠ 1, теңдік дұрыс:
[Суреттің жазуы]
Атап айтқанда, қойсақ в = x, біз аламыз:
[Суреттің жазуы]
Екінші формуладан логарифмнің негізі мен аргументін ауыстыруға болатыны шығады, бірақ бұл жағдайда бүкіл өрнек «аударылады», яғни. логарифм бөлгіште пайда болады.
Бұл формулалар қарапайым сандық өрнектерде сирек кездеседі. Олардың қаншалықты ыңғайлы екенін логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде ғана бағалауға болады.
Дегенмен, жаңа іргетасқа көшуден басқа мүлде шешілмейтін мәселелер бар. Осылардың бірнешеуін қарастырайық:
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 5 16 log 2 25.
Екі логарифмнің аргументтері дәл дәрежелерді қамтитынын ескеріңіз. Көрсеткіштерді шығарайық: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Енді екінші логарифмді «кері» көрсетейік:
[Суреттің жазуы]Көбейткіштерді қайта орналастыру кезінде көбейтінді өзгермейтіндіктен, біз төрт пен екіні тыныштықпен көбейттік, содан кейін логарифмдермен айналыстық.
Тапсырма. Өрнектің мәнін табыңыз: log 9 100 lg 3.
Бірінші логарифмнің негізі мен аргументі дәл дәрежелер болып табылады. Осыны жазып, көрсеткіштерден арылайық:
[Суреттің жазуы]Енді жаңа негізге көшу арқылы ондық логарифмадан құтылайық:
[Суреттің жазуы]Негізгі логарифмдік сәйкестік
Көбінесе шешу процесінде санды берілген негізге логарифм түрінде көрсету қажет. Бұл жағдайда бізге келесі формулалар көмектеседі:
Бірінші жағдайда сан nаргументтегі дәреженің көрсеткішіне айналады. Сан nмүлдем кез келген болуы мүмкін, себебі бұл жай ғана логарифмдік мән.
Екінші формула шын мәнінде қайталанған анықтама болып табылады. Ол осылай аталады: негізгі логарифмдік сәйкестік.
Расында, сан болса не болады бсаны соншалықты күшке дейін көтеру босы қуатқа санды береді а? Дұрыс: сіз дәл осы нөмірді аласыз а. Осы абзацты қайтадан мұқият оқып шығыңыз - көптеген адамдар оған жабысып қалады.
Жаңа негізге көшу формулалары сияқты, негізгі логарифмдік сәйкестік кейде жалғыз мүмкін шешім болып табылады.
Тапсырма. Өрнектің мағынасын табыңыз:
[Суреттің жазуы]
Log 25 64 = log 5 8 - жай ғана логарифмнің негізі мен аргументінен шаршыны алғанын ескеріңіз. Дәрежелерді бірдей негізге көбейту ережелерін ескере отырып, біз аламыз:
[Суреттің жазуы]Егер біреу білмесе, бұл Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан алынған нақты тапсырма болды :)
Логарифмдік бірлік және логарифмдік нөл
Қорытындылай келе, мен қасиеттер деп атауға болмайтын екі сәйкестікті беремін - дәлірек айтқанда, олар логарифмді анықтаудың салдары. Олар үнемі проблемаларда пайда болады және таңқаларлық, тіпті «озық» студенттер үшін де қиындықтар тудырады.
- журнал а а= 1 - логарифмдік бірлік. Бір рет және мәңгі есте сақтаңыз: кез келген негізге логарифм аосы базадан бірге тең.
- журнал а 1 = 0 - логарифмдік нөл. Негіз акез келген болуы мүмкін, бірақ аргумент бір болса, логарифм нөлге тең! Өйткені а 0 = 1 - анықтаманың тікелей салдары.
Міне, барлық қасиеттер. Міндетті түрде оларды іс жүзінде қолдануды үйреніңіз! Сабақтың басында көшірме парағын жүктеп алыңыз, оны басып шығарыңыз және есептерді шешіңіз.
Қоғам дамып, өндіріс күрделене түскен сайын математика да дамыды. Қарапайымнан күрделіге жылжу. Қосу және азайту әдісін қолданатын қарапайым есептен олардың бірнеше рет қайталануымен біз көбейту және бөлу ұғымына келдік. Көбейтудің қайталанатын операциясын азайту дәрежеге шығару ұғымына айналды. Сандардың негізге және дәрежеге шығару санына тәуелділігінің алғашқы кестелерін сонау 8 ғасырда үнді математигі Варасена құрастырған. Олардан логарифмдердің пайда болу уақытын санауға болады.
Тарихи эскиз
16 ғасырда Еуропаның қайта жандануы механиканың дамуына да түрткі болды. Т көп есептеуді қажет еттікөп таңбалы сандарды көбейту және бөлумен байланысты. Ежелгі үстелдер үлкен қызмет етті. Олар күрделі операцияларды қарапайым амалдармен – қосу және алумен ауыстыруға мүмкіндік берді. Алға үлкен қадам 1544 жылы жарық көрген математик Майкл Штифельдің жұмысы болды, онда ол көптеген математиктердің идеясын жүзеге асырды. Бұл кестелерді жай сандар түріндегі дәрежелер үшін ғана емес, сонымен қатар ерікті рационалдар үшін де қолдануға мүмкіндік берді.
1614 жылы шотландық Джон Непьер осы идеяларды дамыта отырып, алғаш рет «санның логарифмі» деген жаңа терминді енгізді. Синустар мен косинустардың логарифмдерін, сондай-ақ тангенстерді есептеу үшін жаңа күрделі кестелер құрастырылды. Бұл астрономдардың жұмысын айтарлықтай азайтты.
Үш ғасыр бойы ғалымдар сәтті пайдаланған жаңа кестелер пайда бола бастады. Алгебрадағы жаңа операция өзінің дайын түрін алғанша көп уақыт өтті. Логарифмнің анықтамасы беріліп, оның қасиеттері зерттелді.
Тек 20 ғасырда калькулятор мен компьютердің пайда болуымен адамзат 13 ғасыр бойы табысты жұмыс істеген көне кестелерден бас тартты.
Бүгін біз а-ның негізін алу үшін b-ның логарифмін x саны деп атаймыз, бұл а-ның b-ға дейінгі дәрежесі. Бұл формула түрінде жазылады: x = log a(b).
Мысалы, 3(9) журналы 2-ге тең болады. Егер анықтаманы орындасаңыз, бұл анық. Егер 3-ті 2-нің дәрежесіне көтерсек, 9 шығады.
Осылайша, тұжырымдалған анықтама бір ғана шектеу қояды: a және b сандары нақты болуы керек.
Логарифмдердің түрлері
Классикалық анықтама нақты логарифм деп аталады және шын мәнінде a x = b теңдеуінің шешімі болып табылады. a = 1 нұсқасы шекаралық және қызығушылық тудырмайды. Назар аударыңыз: кез келген дәрежедегі 1 1-ге тең.
Логарифмнің нақты мәнінегіз мен аргумент 0-ден үлкен болғанда ғана анықталады, ал негіз 1-ге тең болмауы керек.
Математика саласында алатын орны ерекшелогарифмдерді ойнаңыз, олар базасының өлшеміне байланысты аталады:
Ережелер мен шектеулер
Логарифмдердің негізгі қасиеті мынада: көбейтіндінің логарифмі логарифмдік қосындыға тең. log abp = log a(b) + log a(p).
Бұл мәлімдеменің нұсқасы ретінде ол: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) болады, бөлім функциясы функциялардың айырмасына тең.
Алдыңғы екі ережеден мынаны түсіну оңай: log a(b p) = p * log a(b).
Басқа қасиеттерге мыналар жатады:
Пікір. Жалпы қате жасаудың қажеті жоқ – қосындының логарифмі логарифмдердің қосындысына тең емес.
Көптеген ғасырлар бойы логарифмді табу операциясы көп уақытты қажет ететін жұмыс болды. Математиктер көпмүшелердің кеңеюінің логарифмдік теориясының белгілі формуласын пайдаланды:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), мұндағы n – 1-ден үлкен натурал сан, ол есептеудің дәлдігін анықтайды.
Басқа негіздері бар логарифмдер бір негізден екіншісіне өту және туындының логарифмінің қасиеті туралы теорема арқылы есептелді.
Өйткені бұл әдіс өте көп еңбекті қажет етеді және практикалық есептерді шешу кезіндежүзеге асыру қиын, біз логарифмдердің алдын ала құрастырылған кестелерін қолдандық, бұл барлық жұмысты айтарлықтай жылдамдатты.
Кейбір жағдайларда логарифмдердің арнайы әзірленген графиктері пайдаланылды, бұл аз дәлдік берді, бірақ қажетті мәнді іздеуді айтарлықтай жылдамдатады. Бірнеше нүктелер бойынша салынған y = log a(x) функциясының қисығы кез келген басқа нүктедегі функцияның мәнін табу үшін қалыпты сызғышты пайдалануға мүмкіндік береді. Инженерлер осы мақсаттар үшін ұзақ уақыт бойы графикалық қағаз деп аталатынды пайдаланып келеді.
17 ғасырда алғашқы көмекші аналогтық есептеу шарттары пайда болды, олар 19 ғасырда толық формаға ие болды. Ең сәтті құрылғы слайд ережесі деп аталды. Құрылғының қарапайымдылығына қарамастан, оның сыртқы түрі барлық инженерлік есептеулер процесін айтарлықтай жылдамдатты және бұл асыра бағалау қиын. Қазіргі уақытта бұл құрылғымен таныс адамдар аз.
Калькуляторлар мен компьютерлердің пайда болуы кез келген басқа құрылғыларды пайдалануды мағынасыз етті.
Теңдеулер мен теңсіздіктер
Әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді логарифмдердің көмегімен шешу үшін келесі формулалар қолданылады:
- Бір негізден екіншісіне көшу: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Алдыңғы опцияның салдары ретінде: log a(b) = 1 / log b(a).
Теңсіздіктерді шешу үшін мынаны білу пайдалы:
- Логарифмнің мәні негіз мен аргумент екеуі де біреуден үлкен немесе кіші болса ғана оң болады; егер кем дегенде бір шарт бұзылса, логарифм мәні теріс болады.
- Егер логарифм функциясы теңсіздіктің оң және сол жақтарына қолданылса, ал логарифмнің негізі бірден үлкен болса, онда теңсіздіктің таңбасы сақталады; әйтпесе өзгереді.
Үлгі есептер
Логарифмдерді және олардың қасиеттерін қолданудың бірнеше нұсқасын қарастырайық. Теңдеулерді шешуге мысалдар:
Логарифмді дәрежеде орналастыру нұсқасын қарастырыңыз:
- Есеп 3. 25^log 5(3) есептеңіз. Шешуі: есеп шарттарында жазба келесіге ұқсас (5^2)^log5(3) немесе 5^(2 * log 5(3)). Оны басқаша жазайық: 5^log 5(3*2), немесе функция аргументі ретіндегі санның квадратын функцияның өзінің квадраты ретінде жазуға болады (5^log 5(3))^2. Логарифмдердің қасиеттерін пайдаланып, бұл өрнек 3^2-ге тең. Жауап: есептеу нәтижесінде 9 аламыз.
Практикалық қолдану
Таза математикалық құрал бола отырып, логарифм нақты әлемдегі объектілерді сипаттау үшін кенеттен үлкен мәнге ие болғаны нақты өмірден алыс сияқты. Қолданбаған ғылымды табу қиын. Бұл тек табиғи ғана емес, сонымен қатар гуманитарлық білім салаларына да толығымен қатысты.
Логарифмдік тәуелділіктер
Мұнда сандық тәуелділіктің кейбір мысалдары берілген:
Механика және физика
Тарихи тұрғыдан механика мен физика әрқашан математикалық зерттеу әдістерін қолдана отырып дамыды және сонымен бірге математиканың, соның ішінде логарифмдердің дамуы үшін ынталандыру қызметін атқарды. Физика заңдарының көпшілігінің теориясы математика тілінде жазылған. Логарифм арқылы физикалық заңдарды сипаттауға екі ғана мысал келтірейік.
Зымыранның жылдамдығы сияқты күрделі шаманы есептеу мәселесін Циолковский формуласы арқылы шешуге болады, ол ғарышты игеру теориясының негізін қалады:
V = I * ln (M1/M2), мұндағы
- V - ұшақтың соңғы жылдамдығы.
- I – қозғалтқыштың меншікті импульсі.
- M 1 – зымыранның бастапқы массасы.
- M 2 – соңғы масса.
Тағы бір маңызды мысал- бұл термодинамикадағы тепе-теңдік күйін бағалауға қызмет ететін тағы бір ұлы ғалым Макс Планктың формуласында қолданылады.
S = k * ln (Ω), мұндағы
- S – термодинамикалық қасиет.
- k – Больцман тұрақтысы.
- Ω – әртүрлі күйлердің статистикалық салмағы.
Химия
Химияда логарифмдердің қатынасын қамтитын формулаларды қолдану азырақ анық. Екі ғана мысал келтірейік:
- Нернст теңдеуі, заттардың активтілігіне және тепе-теңдік константасына қатысты ортаның тотығу-тотықсыздану потенциалының шарты.
- Автолиз индексі және ерітіндінің қышқылдығы сияқты константаларды есептеу де біздің функциямызсыз орындалмайды.
Психология және биология
Ал оған психологияның қандай қатысы бар екені анық емес. Сезім күші бұл функция арқылы тітіркендіргіш интенсивтілік мәнінің төменгі интенсивтілік мәніне кері қатынасы ретінде жақсы сипатталатыны белгілі болды.
Жоғарыда келтірілген мысалдардан кейін логарифм тақырыбының биологияда кеңінен қолданылуы таңқаларлық емес. Логарифмдік спиральдарға сәйкес келетін биологиялық формалар туралы бүкіл томдарды жазуға болады.
Басқа аймақтар
Дүниенің өмір сүруі осы функциямен байланыссыз мүмкін емес сияқты және ол барлық заңдарды басқарады. Әсіресе, табиғат заңдары геометриялық прогрессиямен байланысты болса. MatProfi веб-сайтына жүгінген жөн және келесі қызмет салаларында мұндай мысалдар көп:
Тізім шексіз болуы мүмкін. Бұл функцияның негізгі принциптерін меңгере отырып, сіз шексіз даналық әлеміне ене аласыз.
Осы бейне арқылы мен логарифмдік теңдеулер туралы ұзақ сабақтар топтамасын бастаймын. Енді сізде үш мысал бар, олардың негізінде біз ең қарапайым есептерді шешуді үйренеміз, олар деп аталады - қарапайымдылар.
log 0,5 (3x − 1) = −3
журнал (x + 3) = 3 + 2 журнал 5
Ең қарапайым логарифмдік теңдеу мынаны еске саламын:
log a f(x) = b
Бұл жағдайда х айнымалысы тек аргумент ішінде, яғни f (x) функциясында ғана болуы маңызды. Ал a және b сандары жай ғана сандар және ешбір жағдайда х айнымалысы бар функциялар болып табылмайды.
Негізгі шешу әдістері
Мұндай құрылымдарды шешудің көптеген жолдары бар. Мысалы, мектеп мұғалімдерінің көпшілігі мына әдісті ұсынады: Формула арқылы f (x) функциясын бірден өрнектеңіз f ( x ) = a b. Яғни, ең қарапайым құрылысқа тап болған кезде, қосымша әрекеттер мен конструкцияларсыз бірден шешімге көшуге болады.
Иә, әрине, шешім дұрыс болады. Дегенмен, бұл формуланың мәселесі студенттердің көпшілігінде түсінбеймін, ол қайдан шыққан және неге а әрпін б әрпіне көтереміз.
Нәтижесінде, мысалы, бұл әріптерді ауыстырған кезде мен өте тітіркендіргіш қателерді жиі көремін. Бұл формуланы не түсіну керек, не сығымдау керек, ал екінші әдіс ең сәтсіз және ең маңызды сәттерде қателіктерге әкеледі: емтихандар, сынақтар және т.б.
Сондықтан мен барлық студенттеріме стандартты мектеп формуласынан бас тартуды және логарифмдік теңдеулерді шешудің екінші әдісін қолдануды ұсынамын, оны сіз атынан болжағаныңыздай деп атайды. канондық пішін.
Канондық форманың идеясы қарапайым. Мәселені тағы да қарастырайық: сол жақта бізде log a бар, ал a әрпі арқылы санды және ешбір жағдайда х айнымалысы бар функцияны білдіреміз. Демек, бұл әріп логарифм негізіне қолданылатын барлық шектеулерге бағынады. атап айтқанда:
1 ≠ a > 0
Екінші жағынан, сол теңдеуден біз логарифм b санына тең болуы керек екенін көреміз және бұл әріпке ешқандай шектеулер қойылмайды, өйткені ол кез келген мәнді - оңды да, терісті де қабылдай алады. Мұның бәрі f(x) функциясының қандай мәндерді алатынына байланысты.
Бұл жерде біз кез келген b санын а негізіне b дәрежесіне логарифм ретінде беруге болатын тамаша ережемізді еске аламыз:
b = log a a b
Бұл формуланы қалай есте сақтау керек? Иә, өте қарапайым. Келесі құрылысты жазайық:
b = b 1 = b log a a
Әрине, бұл жағдайда біз басында жазған барлық шектеулер туындайды. Енді логарифмнің негізгі қасиетін қолданып, b көбейткішін а дәрежесі ретінде енгізейік. Біз аламыз:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Нәтижесінде бастапқы теңдеу келесідей қайта жазылады:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Міне бітті. Жаңа функция бұдан былай логарифмді қамтымайды және оны стандартты алгебралық әдістер арқылы шешуге болады.
Әрине, енді біреу қарсы болады: неліктен қандай да бір канондық формуланы ойлап табу керек болды, егер бастапқы дизайннан соңғы формулаға дереу көшу мүмкін болса, неліктен қосымша екі қажетсіз қадамды орындау керек? Иә, егер студенттердің көпшілігі бұл формуланың қайдан шыққанын түсінбейтіндіктен және нәтижесінде оны қолдану кезінде үнемі қателіктер жіберетін болса.
Бірақ үш қадамнан тұратын бұл әрекеттер тізбегі түпкілікті формуланың қайдан шыққанын түсінбесеңіз де, бастапқы логарифмдік теңдеуді шешуге мүмкіндік береді. Айтпақшы, бұл жазба канондық формула деп аталады:
log a f (x) = log a a b
Канондық форманың ыңғайлылығы сонымен қатар оны біз бүгін қарастыратын қарапайым теңдеулерді ғана емес, логарифмдік теңдеулердің өте кең класын шешу үшін қолдануға болатындығына байланысты.
Шешімдердің мысалдары
Енді нақты мысалдарды қарастырайық. Сонымен, шешім қабылдаңыз:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Оны былай қайта жазайық:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Көптеген оқушылар асығып, 0,5 санын бастапқы есептен бізге келген қуатқа бірден көтеруге тырысады. Шынында да, сіз осындай мәселелерді шешуге жақсы үйренген болсаңыз, сіз бұл қадамды дереу орындай аласыз.
Дегенмен, егер сіз бұл тақырыпты енді ғана зерттей бастасаңыз, қорлайтын қателіктер жібермеу үшін ешқайда асықпағаныңыз жөн. Сонымен, бізде канондық пішін бар. Бізде бар:
3x − 1 = 0,5 −3
Бұл енді логарифмдік теңдеу емес, х айнымалысына қатысты сызықтық теңдеу. Оны шешу үшін алдымен 0,5 санының −3 дәрежесіне қараймыз. 0,5 1/2 екенін ескеріңіз.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Логарифмдік теңдеуді шешу кезінде барлық ондық бөлшектерді жай бөлшектерге айналдыру.
Біз қайта жазамыз және аламыз:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Болды, жауабын алдық. Бірінші мәселе шешілді.
Екінші тапсырма
Екінші тапсырмаға көшейік:
Көріп отырғанымыздай, бұл теңдеу енді ең қарапайым емес. Тек сол жақта айырмашылық болғандықтан, бір негізге бір логарифм болмаса.
Сондықтан бұл айырмашылықтан қалай да құтылуымыз керек. Бұл жағдайда бәрі өте қарапайым. Негіздерді толығырақ қарастырайық: сол жақта түбірдің астындағы сан:
Жалпы ұсыныс: барлық логарифмдік теңдеулерде радикалдардан құтылуға тырысыңыз, яғни түбірлері бар жазбалардан және дәрежелік функцияларға көшіңіз, өйткені бұл дәрежелердің дәрежелері логарифм таңбасынан оңай шығарылады және, сайып келгенде, осындай жазба есептеулерді айтарлықтай жеңілдетеді және жылдамдатады. Оны былай жазайық:
Енді логарифмнің тамаша қасиетін еске түсірейік: қуаттарды аргументтен де, негізден де алуға болады. Негіз болған жағдайда мыналар орын алады:
log a k b = 1/k loga b
Басқаша айтқанда, негізгі дәрежеде болған сан алға шығарылады және бір уақытта төңкеріледі, яғни ол кері санға айналады. Біздің жағдайда базалық дәреже 1/2 болды. Сондықтан оны 2/1 деп шығаруға болады. Біз аламыз:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Назар аударыңыз: бұл қадамда ешбір жағдайда логарифмдерден құтылуға болмайды. 4-5 сынып математикасын және амалдардың орындалу ретін есте сақтаңыз: алдымен көбейту, содан кейін ғана қосу және азайту орындалады. Бұл жағдайда 10 элементтен бірдей элементтердің біреуін алып тастаймыз:
9 журнал 5 x = 18
log 5 x = 2
Енді біздің теңдеуіміз керек сияқты көрінеді. Бұл ең қарапайым құрылыс және біз оны канондық форма арқылы шешеміз:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Міне бітті. Екінші мәселе шешілді.
Үшінші мысал
Үшінші тапсырмаға көшейік:
журнал (x + 3) = 3 + 2 журнал 5
Келесі формуланы еске сала кетейін:
log b = log 10 b
Егер қандай да бір себептермен сіз b жазбасымен шатастырсаңыз, онда барлық есептеулерді орындау кезінде сіз жай ғана log 10 b жаза аласыз. Ондық логарифмдермен басқалармен бірдей жұмыс істеуге болады: lg 10 түрінде кез келген сандарды қосу және көрсету.
Дәл осы қасиеттерді біз енді мәселені шешу үшін қолданамыз, өйткені бұл біздің сабағымыздың басында жазған ең қарапайым емес.
Біріншіден, lg 5 алдындағы 2 коэффициентін енгізуге болатынын және 5 негізінің дәрежесіне айналатынын ескеріңіз. Сонымен қатар, 3 бос термині логарифм ретінде де ұсынылуы мүмкін - бұл біздің белгілеуімізден байқау өте оңай.
Өзіңіз бағалаңыз: кез келген санды 10 негізге журнал ретінде көрсетуге болады:
3 = журнал 10 10 3 = журнал 10 3
Алынған өзгерістерді ескере отырып, бастапқы есепті қайта жазайық:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
журнал (x − 3) = журнал 25 000
Біздің алдымызда қайтадан канондық пішін бар және біз оны түрлендіру сатысынан өтпей-ақ алдық, яғни ең қарапайым логарифмдік теңдеу еш жерде пайда болған жоқ.
Бұл туралы мен сабақтың басында айттым. Канондық пішін көптеген мектеп мұғалімдері беретін стандартты мектеп формуласынан гөрі кеңірек есептерді шешуге мүмкіндік береді.
Міне, біз ондық логарифмнің таңбасынан құтылып, қарапайым сызықтық құрылыс аламыз:
x + 3 = 25 000
x = 24,997
Барлығы! Мәселе шешілді.
Қолдану аясы туралы ескерту
Осы жерде мен анықтаманың көлеміне қатысты маңызды ескерту айтқым келеді. «Біз логарифмдермен өрнектерді шешкенде, f (x) аргументі нөлден үлкен болуы керек екенін есте ұстауымыз керек!» деп айтатын студенттер мен мұғалімдердің болатыны сөзсіз. Осыған байланысты логикалық сұрақ туындайды: неге біз қарастырылған есептердің ешқайсысында бұл теңсіздіктің қанағаттандырылуын талап етпедік?
Уайымдама. Бұл жағдайда қосымша тамырлар пайда болмайды. Және бұл шешімді тездетуге мүмкіндік беретін тағы бір керемет трюк. Егер есепте х айнымалысы тек бір жерде (дәлірек айтсақ, бір логарифмнің бір аргументінде) кездессе және біздің жағдайда х айнымалысы басқа еш жерде кездеспейтінін біліңіз, онда анықтау облысын жазыңыз. қажет емес, себебі ол автоматты түрде орындалады.
Өзіңіз бағалаңыз: бірінші теңдеуде біз 3x − 1 мәнін алдық, яғни аргумент 8-ге тең болуы керек. Бұл автоматты түрде 3x − 1 нөлден үлкен болатынын білдіреді.
Дәл осындай жетістікпен біз екінші жағдайда x 5 2-ге тең болуы керек деп жаза аламыз, яғни ол нөлден үлкен. Үшінші жағдайда, мұнда x + 3 = 25 000, яғни тағы да нөлден үлкен. Басқаша айтқанда, аумақ автоматты түрде қанағаттандырылады, бірақ тек бір ғана логарифм аргументінде x орын алса ғана.
Ең қарапайым есептерді шешу үшін осыны білу керек. Бұл ереженің өзі трансформация ережелерімен бірге есептердің өте кең класын шешуге мүмкіндік береді.
Бірақ шынын айтайық: бұл әдістемені түпкілікті түсіну, логарифмдік теңдеудің канондық түрін қолдануды үйрену үшін бір ғана бейне сабақты көру жеткіліксіз. Сондықтан дәл қазір осы бейне сабаққа қоса берілген тәуелсіз шешімдердің нұсқаларын жүктеп алыңыз және осы екі тәуелсіз жұмыстың кем дегенде біреуін шешуге кірісіңіз.
Бұл сізге бірнеше минутты алады. Бірақ мұндай жаттығулардың әсері сіз осы бейне сабақты көргеннен гөрі әлдеқайда жоғары болады.
Бұл сабақ логарифмдік теңдеулерді түсінуге көмектеседі деп үміттенемін. Канондық пішінді пайдаланыңыз, логарифмдермен жұмыс істеу ережелерін қолдана отырып, өрнектерді жеңілдетіңіз - және сіз ешқандай проблемалардан қорықпайсыз. Бүгінгі күнім осы ғана.
Анықтау аймағын ескере отырып
Енді логарифмдік функцияның анықталу облысына және бұл логарифмдік теңдеулерді шешуге қалай әсер ететініне тоқталайық. Пішіннің құрылысын қарастырыңыз
log a f (x) = b
Мұндай өрнек ең қарапайым деп аталады - оның құрамында бір ғана функция бар, ал a және b сандары жай сандар және ешбір жағдайда х айнымалысына тәуелді функция емес. Оны өте қарапайым шешуге болады. Сізге тек формуланы пайдалану керек:
b = log a a b
Бұл формула логарифмнің негізгі қасиеттерінің бірі болып табылады және бастапқы өрнекке ауыстырған кезде келесіні аламыз:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Бұл мектеп оқулықтарындағы таныс формула. Көптеген студенттерде сұрақ туындауы мүмкін: бастапқы өрнекте f (x) функциясы журнал белгісінің астында болғандықтан, оған келесі шектеулер қойылған:
f(x) > 0
Бұл шектеу теріс сандардың логарифмі болмағандықтан қолданылады. Мүмкін, осы шектеудің нәтижесінде жауаптарды тексеруді енгізу керек шығар? Мүмкін оларды көзге енгізу керек шығар?
Жоқ, қарапайым логарифмдік теңдеулерде қосымша тексеру қажет емес. Міне, себебі. Біздің соңғы формуламызды қараңыз:
f (x) = a b
Шындығында, а саны кез келген жағдайда 0-ден үлкен - бұл талап логарифммен де қойылады. a саны негіз болып табылады. Бұл жағдайда b санына ешқандай шектеулер қойылмайды. Бірақ бұл маңызды емес, өйткені біз қандай қуатқа оң санды көтерсек те, шығыста бәрібір оң сан аламыз. Осылайша, f(x) > 0 талабы автоматты түрде орындалады.
Шын мәнінде тексеруге тұрарлық нәрсе - журнал белгісінің астындағы функцияның домені. Күрделі құрылымдар болуы мүмкін, және сіз оларды шешу процесінде міндетті түрде қадағалауыңыз керек. Көрейік.
Бірінші тапсырма:
Бірінші қадам: оң жақтағы бөлшекті түрлендіру. Біз аламыз:
Біз логарифм белгісінен құтыламыз және әдеттегі иррационал теңдеуді аламыз:
Алынған тамырлардың ішінен біріншісі ғана сәйкес келеді, өйткені екінші түбір нөлден аз. Жалғыз жауап 9 саны болады.Болды, мәселе шешілді. Логарифм таңбасының астындағы өрнектің 0-ден үлкен болуын қамтамасыз ету үшін қосымша тексерулер қажет емес, өйткені ол тек 0-ден үлкен емес, бірақ теңдеудің шарты бойынша ол 2-ге тең. Сондықтан «нөлден үлкен ” автоматты түрде қанағаттандырылады.
Екінші тапсырмаға көшейік:
Мұнда бәрі бірдей. Біз үштіктің орнына құрылысты қайта жазамыз:
Логарифм таңбаларынан құтылып, иррационал теңдеуді аламыз:
Шектеулерді ескере отырып, біз екі жағын квадраттаймыз және аламыз:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Алынған теңдеуді дискриминант арқылы шешеміз:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Бірақ x = −6 бізге сәйкес келмейді, өйткені бұл санды теңсіздігімізбен алмастырсақ, мынаны аламыз:
−6 + 4 = −2 < 0
Біздің жағдайда оның 0-ден үлкен болуы немесе төтенше жағдайларда тең болуы талап етіледі. Бірақ x = −1 бізге сәйкес келеді:
−1 + 4 = 3 > 0
Біздің жағдайда жалғыз жауап x = -1 болады. Бұл шешім. Есептеріміздің ең басына оралайық.
Бұл сабақтың негізгі түйіні қарапайым логарифмдік теңдеулердегі функциядағы шектеулерді тексерудің қажеті жоқ. Өйткені шешім процесі кезінде барлық шектеулер автоматты түрде орындалады.
Дегенмен, бұл тексеруді мүлдем ұмытуға болмайды дегенді білдірмейді. Логарифмдік теңдеумен жұмыс істеу барысында ол иррационалды теңдеуге айналуы мүмкін, оның оң жақ бөлігіне қатысты өз шектеулері мен талаптары болады, оны біз бүгін екі түрлі мысалда көрдік.
Мұндай мәселелерді шешуге қымсынбаңыз және даудың түбірі болса, әсіресе сақ болыңыз.
Негіздері әртүрлі логарифмдік теңдеулер
Біз логарифмдік теңдеулерді зерттеуді жалғастырамыз және күрделі конструкцияларды шешуге сән болатын тағы екі өте қызықты әдісті қарастырамыз. Бірақ алдымен ең қарапайым есептердің қалай шешілетінін еске түсірейік:
log a f (x) = b
Бұл жазбада a және b сандар болып табылады және f (x) функциясында x айнымалысы болуы керек және тек сонда, яғни х тек аргументте болуы керек. Мұндай логарифмдік теңдеулерді канондық форма арқылы түрлендіреміз. Мұны істеу үшін мынаны ескеріңіз
b = log a a b
Оның үстіне, a b дәл аргумент болып табылады. Бұл өрнекті келесідей қайта жазайық:
log a f (x) = log a a b
Дәл осы нәрсеге қол жеткізуге тырысамыз, сондықтан сол және оң жақта а негізін қалау үшін логарифм бар. Бұл жағдайда, бейнелеп айтқанда, журнал белгілерін сызып тастауға болады және математикалық тұрғыдан біз аргументтерді жай ғана теңестіреміз деп айта аламыз:
f (x) = a b
Нәтижесінде біз шешуге оңай болатын жаңа өрнек аламыз. Осы ережені бүгінгі проблемаларымызға қолданайық.
Сонымен, бірінші дизайн:
Ең алдымен, оң жақта бөлгіші лог болатын бөлшек тұрғанын ескертемін. Осындай өрнекті көргенде, логарифмдердің тамаша қасиетін есте ұстаған жөн:
Орыс тіліне аударғанда, бұл кез келген логарифмді кез келген с негізімен екі логарифмнің бөлімі ретінде көрсетуге болатындығын білдіреді. Әрине 0< с ≠ 1.
Сонымен: бұл формулада c айнымалысы айнымалыға тең болғанда бір тамаша ерекше жағдай бар б. Бұл жағдайда біз келесідей құрылыс аламыз:
Дәл осы құрылысты біз теңдеуіміздің оң жағындағы белгіден көреміз. Бұл конструкцияны log a b дегенмен ауыстырайық, біз мынаны аламыз:
Басқаша айтқанда, бастапқы тапсырмамен салыстырғанда біз аргумент пен логарифм негізін ауыстырдық. Оның орнына біз бөлшекті кері қайтаруымыз керек болды.
Кез келген дәрежені келесі ережеге сәйкес негізден алуға болатынын есте сақтаңыз:
Басқаша айтқанда, негіздің күші болып табылатын k коэффициенті инверттелген бөлшек түрінде өрнектеледі. Оны инверттелген бөлшек түрінде көрсетейік:
Бөлшек көбейткіштің алдында қалдыруға болмайды, өйткені бұл жағдайда біз бұл белгілеуді канондық форма ретінде көрсете алмаймыз (ақыр соңында канондық түрде екінші логарифмге дейін қосымша көбейткіш жоқ). Сондықтан аргументке 1/4 бөлігін дәреже ретінде қосайық:
Енді біз негіздері бірдей аргументтерді теңестіреміз (және біздің негіздеріміз шынымен бірдей) және жазамыз:
x + 5 = 1
x = −4
Міне бітті. Бірінші логарифмдік теңдеудің жауабын алдық. Назар аударыңыз: бастапқы мәселеде x айнымалысы тек бір журналда пайда болады және ол өз аргументінде пайда болады. Сондықтан доменді тексерудің қажеті жоқ және біздің x = −4 саны шын мәнінде жауап болып табылады.
Енді екінші өрнекке көшейік:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Мұнда әдеттегі логарифмдерден басқа f (x) журналымен жұмыс істеуге тура келеді. Мұндай теңдеуді қалай шешуге болады? Дайындығы жоқ студентке бұл қиын тапсырма сияқты көрінуі мүмкін, бірақ іс жүзінде бәрін қарапайым жолмен шешуге болады.
lg 2 log 2 терминіне мұқият қараңыз 7. Бұл туралы не айта аламыз? log және lg негіздері мен аргументтері бірдей және бұл кейбір идеяларды беруі керек. Логарифм белгісінің астынан қуаттардың қалай шығарылатынын тағы бір рет еске түсірейік:
log a b n = nlog a b
Басқаша айтқанда, аргументтегі b дәрежесі қандай болса, журналдың алдындағы факторға айналады. Осы формуланы lg 2 log 2 7 өрнегіне қолданайық. lg 2-ден қорықпаңыз - бұл ең көп таралған өрнек. Сіз оны келесідей қайта жаза аласыз:
Кез келген басқа логарифмге қолданылатын барлық ережелер ол үшін жарамды. Атап айтқанда, алдыңғы факторды дәлел дәрежесіне қосуға болады. Оны жазып алайық:
Көбінесе студенттер бұл әрекетті тікелей көрмейді, өйткені бір журналды басқасының белгісімен енгізу жақсы емес. Шын мәнінде, бұл жерде қылмыстық ештеңе жоқ. Сонымен қатар, біз маңызды ережені есте сақтасаңыз, есептеу оңай формуланы аламыз:
Бұл формуланы анықтама ретінде де, оның қасиеттерінің бірі ретінде де қарастыруға болады. Кез келген жағдайда, логарифмдік теңдеуді түрлендіретін болсаңыз, кез келген санның журналдық көрінісін білетіндей бұл формуланы білуіңіз керек.
Тапсырмамызға оралайық. Біз оны теңдік белгісінің оң жағындағы бірінші мүшесі lg 7-ге тең болатынын ескере отырып, қайта жазамыз. Бізде:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
lg 7-ні солға жылжытайық, біз мынаны аламыз:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Сол жақтағы өрнектерді алып тастаймыз, себебі олардың негізі бірдей:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Енді біз алған теңдеуді егжей-тегжейлі қарастырайық. Бұл іс жүзінде канондық пішін, бірақ оң жақта −3 коэффициенті бар. Оны дұрыс lg аргументіне қосамыз:
log 8 = log (x + 4) −3
Біздің алдымызда логарифмдік теңдеудің канондық түрі тұр, сондықтан біз lg белгілерін сызып тастаймыз және аргументтерді теңестіреміз:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Міне бітті! Екінші логарифмдік теңдеуді шештік. Бұл жағдайда қосымша тексерулер қажет емес, өйткені бастапқы есепте х тек бір аргументте болды.
Осы сабақтың негізгі тұстарын тағы да тізіп көрейін.
Логарифмдік теңдеулерді шешуге арналған осы беттегі барлық сабақтарда оқытылатын негізгі формула канондық форма болып табылады. Көптеген мектеп оқулықтары мұндай мәселелерді басқаша шешуге үйрететінінен қорықпаңыз. Бұл құрал өте тиімді жұмыс істейді және біз сабағымыздың басында зерттеген қарапайым есептерге қарағанда әлдеқайда кеңірек есептерді шешуге мүмкіндік береді.
Сонымен қатар, логарифмдік теңдеулерді шешу үшін негізгі қасиеттерді білу пайдалы болады. Атап айтқанда:
- Бір негізге көшу формуласы және журналды кері айналдырған кездегі ерекше жағдай (бұл бірінші мәселеде бізге өте пайдалы болды);
- Логарифм таңбасынан дәрежелерді қосу және азайту формуласы. Мұнда көптеген студенттер тұрып қалады және алынған және енгізілген дәреженің өзінде f (x) log болуы мүмкін екенін көрмейді. Бұл жерде ештеңе жоқ. Біз бір журналды екіншісінің белгісіне сәйкес енгізе аламыз және сонымен бірге мәселені шешуді айтарлықтай жеңілдете аламыз, бұл біз екінші жағдайда байқаймыз.
Қорытындылай келе, осы жағдайлардың әрқайсысында анықтау облысын тексеру қажет емес екенін қосқым келеді, өйткені барлық жерде х айнымалысы тек бір журнал белгісінде болады және сонымен бірге оның аргументінде болады. Нәтижесінде аумақтың барлық талаптары автоматты түрде орындалады.
Айнымалы базаға қатысты мәселелер
Бүгін біз логарифмдік теңдеулерді қарастырамыз, олар көптеген оқушылар үшін стандартты емес, тіпті толық шешілмейтін болып көрінеді. Біз сандарға емес, айнымалыларға және тіпті функцияларға негізделген өрнектер туралы айтып отырмыз. Біз мұндай конструкцияларды стандартты техникамызбен, атап айтқанда канондық форма арқылы шешеміз.
Алдымен қарапайым сандарға негізделген қарапайым есептер қалай шығарылатынын еске түсірейік. Сонымен, ең қарапайым құрылыс деп аталады
log a f (x) = b
Мұндай есептерді шешу үшін келесі формуланы қолдануға болады:
b = log a a b
Біз бастапқы өрнекті қайта жазамыз және аламыз:
log a f (x) = log a a b
Содан кейін біз аргументтерді теңестіреміз, яғни жазамыз:
f (x) = a b
Осылайша, біз журнал белгісінен құтыламыз және әдеттегі мәселені шешеміз. Бұл жағдайда шешімнен алынған түбірлер бастапқы логарифмдік теңдеудің түбірлері болады. Сонымен қатар, сол және оң жақтары бір логарифмде, негізі бірдей болған жазба канондық форма деп аталады. Дәл осындай рекорд үшін біз бүгінгі дизайнды азайтуға тырысамыз. Ендеше, кеттік.
Бірінші тапсырма:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
1 санын log x − 2 (x − 2) 1 мәнімен ауыстырыңыз. Аргументте біз байқайтын дәреже шын мәнінде теңдік белгісінің оң жағында тұрған b саны болып табылады. Сонымен, өрнекті қайта жазайық. Біз аламыз:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Біз не көріп тұрмыз? Біздің алдымызда логарифмдік теңдеудің канондық түрі тұр, сондықтан біз аргументтерді қауіпсіз түрде теңестіре аламыз. Біз аламыз:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Бірақ шешім мұнымен бітпейді, өйткені бұл теңдеу бастапқыға тең емес. Ақыр соңында, алынған құрылыс бүкіл сандар жолында анықталған функциялардан тұрады және біздің бастапқы логарифмдер барлық жерде анықталмайды және әрқашан емес.
Сондықтан анықтау облысын бөлек жазуымыз керек. Шашты бөлмей, алдымен барлық талаптарды жазайық:
Біріншіден, логарифмдердің әрқайсысының аргументі 0-ден үлкен болуы керек:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Екіншіден, база тек 0-ден үлкен емес, сонымен қатар 1-ден өзгеше болуы керек:
x − 2 ≠ 1
Нәтижесінде біз жүйені аламыз:
Бірақ алаңдамаңыз: логарифмдік теңдеулерді өңдеу кезінде мұндай жүйені айтарлықтай жеңілдетуге болады.
Өзіңіз бағалаңыз: бір жағынан, квадраттық функция нөлден үлкен болуы талап етіледі, ал екінші жағынан, бұл квадраттық функция белгілі бір сызықтық өрнекке теңестіріледі, ол да нөлден үлкен болуы талап етіледі.
Бұл жағдайда, егер біз x − 2 > 0 деп талап етсек, онда 2x 2 − 13x + 18 > 0 талабы автоматты түрде орындалады, сондықтан біз квадраттық функцияны қамтитын теңсіздікті қауіпсіз түрде сызып тастай аламыз. Осылайша, біздің жүйедегі өрнектер саны үшке дейін азаяды.
Әрине, дәл осындай табыспен біз сызықтық теңсіздікті сызып тастай аламыз, яғни x − 2 > 0 және 2x 2 − 13x + 18 > 0 болуын талап ете аламыз. Бірақ сіз қарапайым сызықтық теңсіздікті шешу әлдеқайда жылдамырақ болатынымен келісесіз. және осы бүкіл жүйені шешу нәтижесінде біз бірдей түбірлерді алатын болсақ та, квадраттыққа қарағанда қарапайым.
Жалпы алғанда, мүмкіндігінше есептеулерді оңтайландыруға тырысыңыз. Ал логарифмдік теңдеулер жағдайында ең қиын теңсіздіктерді сызып тастаңыз.
Жүйемізді қайта жазайық:
Міне, үш өрнектен тұратын жүйе, олардың екеуін біз қазірдің өзінде қарастырдық. Квадрат теңдеуді бөлек жазып, оны шешейік:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Біздің алдымызда қысқартылған квадрат үшмүше бар, сондықтан біз Виетаның формулаларын пайдалана аламыз. Біз аламыз:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Енді біз жүйемізге ораламыз және x = 2 бізге сәйкес келмейтінін анықтаймыз, өйткені бізден x 2-ден үлкен болуы талап етіледі.
Бірақ х = 5 бізге өте қолайлы: 5 саны 2-ден үлкен, сонымен бірге 5 3-ке тең емес. Сондықтан бұл жүйенің жалғыз шешімі х = 5 болады.
Міне, мәселе шешілді, оның ішінде ОДЗ есепке алынды. Екінші теңдеуге көшейік. Мұнда бізді қызықты және танымдық есептеулер күтеді:
Бірінші қадам: өткен жолы сияқты, біз бұл мәселені канондық формаға келтіреміз. Ол үшін 9 санын былай жазуға болады:
Негізді түбірмен тигізудің қажеті жоқ, бірақ дәлелді түрлендіру жақсы. Рационал көрсеткішті түбірден дәрежеге көшейік. Жазып көрейік:
Бүкіл үлкен логарифмдік теңдеуді қайта жазбай-ақ, бірден аргументтерді теңестіруге рұқсат етіңіз:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Біздің алдымызда жаңадан қысқартылған квадрат үшмүше бар, Виетаның формулаларын қолданып, жазайық:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Сонымен, біз түбірлерді алдық, бірақ олардың бастапқы логарифмдік теңдеуге сәйкес келетініне ешкім кепілдік бермеді. Ақыр соңында, журнал белгілері қосымша шектеулер қояды (мұнда біз жүйені жазып алуымыз керек еді, бірақ бүкіл құрылымның ауыр сипатына байланысты мен анықтау аймағын бөлек есептеуді шештім).
Ең алдымен, аргументтер 0-ден үлкен болуы керек екенін есте сақтаңыз, атап айтқанда:
Бұл анықтау көлемімен қойылған талаптар.
Жүйенің алғашқы екі өрнектерін бір-біріне теңестіретіндіктен, олардың кез келгенін сызып тастауға болатынын бірден атап өтейік. Біріншісін сызып тастаймыз, өйткені ол екіншісіне қарағанда қауіптірек көрінеді.
Сонымен қатар, екінші және үшінші теңсіздіктердің шешімі бірдей жиындар болатынын ескеріңіз (кейбір санның кубы нөлден үлкен, егер бұл санның өзі нөлден үлкен болса; сол сияқты, үшінші дәрежелі түбірмен - бұл теңсіздіктер толығымен ұқсас, сондықтан біз сызып тастай аламыз).
Бірақ үшінші теңсіздікпен бұл жұмыс істемейді. Екі бөлікті текшеге көтеру арқылы сол жақтағы түбегейлі белгіден құтылайық. Біз аламыз:
Осылайша біз келесі талаптарды аламыз:
− 2 ≠ x > −3
Біздің түбірлеріміздің қайсысы: x 1 = −3 немесе x 2 = −1 осы талаптарға сәйкес келеді? Әлбетте, тек x = −1, өйткені x = −3 бірінші теңсіздікті қанағаттандырмайды (біздің теңсіздігіміз қатаң болғандықтан). Сонымен, мәселемізге оралсақ, біз бір түбір аламыз: x = −1. Міне, мәселе шешілді.
Тағы да, бұл тапсырманың негізгі сәттері:
- Логарифмдік теңдеулерді канондық форманы пайдаланып қолдануға және шешуге еркін болыңыз. Бастапқы есептен тікелей log a f (x) = b сияқты конструкцияға көшудің орнына, мұндай жазуды жасайтын студенттер бір жерге асығып, есептеулердің аралық қадамдарын өткізіп жіберетіндерге қарағанда әлдеқайда аз қателіктер жібереді;
- Логарифмде айнымалы негіз пайда болғаннан кейін мәселе ең қарапайым болудан қалады. Сондықтан оны шешу кезінде анықтау облысын ескеру қажет: аргументтер нөлден үлкен болуы керек, ал негіздер тек 0-ден үлкен емес, олар 1-ге тең болмауы керек.
Қорытынды талаптарды түпкілікті жауаптарға әртүрлі тәсілдермен қолдануға болады. Мысалы, анықтау доменіне қойылатын барлық талаптарды қамтитын тұтас жүйені шеше аласыз. Екінші жағынан, сіз алдымен мәселенің өзін шеше аласыз, содан кейін анықтау облысын есте сақтай аласыз, оны жүйе түрінде бөлек өңдеп, нәтижесінде алынған түбірлерге қолдана аласыз.
Белгілі бір логарифмдік теңдеуді шешуде қандай әдісті таңдау сізге байланысты. Қалай болғанда да, жауап бірдей болады.
Натурал логарифмнің негізгі қасиеттері, графигі, анықталу облысы, мәндер жиыны, негізгі формулалары, туынды, интегралдық, дәрежелік қатарларды кеңейту және ln x функциясының комплекс сандарды қолдану арқылы бейнеленуі берілген.
Анықтама
Натурал логарифм y = функциясы болып табылады ln x, экспоненциалға кері шамасы, x = e y және e санының негізіне логарифм болып табылады: ln x = log e x.
Натурал логарифм математикада кеңінен қолданылады, өйткені оның туындысы қарапайым пішінге ие: (ln x)′ = 1/ x.
Негізделген анықтамалар, натурал логарифмнің негізі - сан e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = функциясының графигі ln x.
Натурал логарифм графигі (функция у = ln x) экспоненциалды графиктен у = х түзуіне қатысты айнамен шағылысу арқылы алынады.
Табиғи логарифм х айнымалысының оң мәндері үшін анықталады.
Ол анықтау аймағында монотонды түрде артады. 0 x → кезінде
натурал логарифмнің шегі минус шексіздікке (-∞) тең.
x → + ∞ болғандықтан, натурал логарифмнің шегі плюс шексіздікке (+ ∞) тең. Үлкен x үшін логарифм өте баяу өседі. Оң көрсеткіші а болатын кез келген дәрежелік функция x a логарифмнен жылдам өседі.
Натурал логарифмнің қасиеттері
Натурал логарифм монотонды өсетін функция, сондықтан оның экстремумы жоқ. Табиғи логарифмнің негізгі қасиеттері кестеде берілген.
ln x мәндері
ln 1 = 0
Натурал логарифмдердің негізгі формулалары
Кері функцияның анықтамасынан шығатын формулалар:
Логарифмдердің негізгі қасиеті және оның салдары
Негізді ауыстыру формуласы
Кез келген логарифмді табиғи логарифмдер арқылы негізгі алмастыру формуласы арқылы өрнектеуге болады:
Бұл формулалардың дәлелдері «Логарифм» бөлімінде берілген.
Кері функция
Натурал логарифмге кері көрсеткіш – көрсеткіш.
Егер болса, онда
Егер, онда.
Туынды ln x
Натурал логарифмнің туындысы:
.
х модулінің натурал логарифмінің туындысы:
.
n-ші ретті туынды:
.
Формулаларды шығару > > >
Интегралдық
Интеграл бөліктер бойынша интегралдау арқылы есептеледі:
.
Сонымен,
Күрделі сандарды қолданатын өрнектер
z күрделі айнымалысының функциясын қарастырайық:
.
Күрделі айнымалыны өрнектеп көрейік zмодуль арқылы rжәне дәлел φ
:
.
Логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып, бізде:
.
Немесе
.
φ аргументі біркелкі анықталмаған. қойсаңыз
, мұндағы n бүтін сан,
ол әртүрлі n үшін бірдей сан болады.
Демек, натурал логарифм күрделі айнымалының функциясы ретінде бір мәнді функция емес.
Қуат қатарын кеңейту
Кеңейту орын алған кезде:
Пайдаланылған әдебиеттер:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженерлер мен колледж студенттеріне арналған математика анықтамалығы, «Лан», 2009 ж.
a (a>0, a 1-ге тең емес) негізіне оң b санының логарифмі a c = b болатындай c саны: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
Оң емес санның логарифмі анықталмағанын ескеріңіз. Сонымен қатар, логарифмнің негізі 1-ге тең емес оң сан болуы керек. Мысалы, егер -2 квадратын алсақ, 4 санын аламыз, бірақ бұл логарифм 4-тің негізіне -2 дегенді білдірмейді. 2-ге тең.
Негізгі логарифмдік сәйкестік
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Бұл формуланың оң және сол жақтарын анықтау ауқымы әртүрлі болуы маңызды. Сол жағы тек b>0, a>0 және a ≠ 1 үшін анықталады. Оң жағы кез келген b үшін анықталады және а-ға мүлдем тәуелді емес. Осылайша, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу кезінде негізгі логарифмдік «тұлғаны» қолдану ОД өзгеруіне әкелуі мүмкін.
Логарифмді анықтаудың екі айқын салдары
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Шынында да, а санын бірінші дәрежеге көтергенде, біз бірдей сан аламыз, ал нөлдік дәрежеге көтергенде, біз бір сан аламыз.
Көбейтіндінің логарифмі және бөліндінің логарифмі
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Мектеп оқушыларын логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде бұл формулаларды ойланбай қолданудан сақтандырғым келеді. Оларды «солдан оңға қарай» пайдаланған кезде ОДЗ тарылады, ал логарифмдердің қосындысынан немесе айырмасынан көбейтіндінің немесе бөліктің логарифміне ауысқанда ОДЗ кеңейеді.
Шынында да, log a (f (x) g (x)) өрнегі екі жағдайда анықталады: екі функция да қатаң оң болғанда немесе f (x) және g (x) екеуі де нөлден кіші болғанда.
Бұл өрнекті log a f (x) + log a g (x) қосындысына түрлендіре отырып, біз f(x)>0 және g(x)>0 болған жағдаймен ғана шектелуге мәжбүр боламыз. Қолайлы мәндер диапазонының тарылуы бар және бұл мүлдем қолайсыз, өйткені бұл шешімдердің жоғалуына әкелуі мүмкін. Ұқсас мәселе (6) формула үшін де бар.
Дәрежені логарифм таңбасынан шығаруға болады
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Тағы да дәлдікке шақырғым келеді. Келесі мысалды қарастырыңыз:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Теңдіктің сол жағы f(x) нөлден басқа барлық мәндер үшін анық анықталған. Оң жағы тек f(x)>0 үшін! Логарифмнен дәрежені алу арқылы біз ОДЗ-ны тағы да тарылтамыз. Кері процедура қолайлы мәндер ауқымының кеңеюіне әкеледі. Бұл ескертулердің барлығы 2-ші қуатқа ғана емес, сонымен қатар кез келген біркелкі қуатқа да қатысты.
Жаңа негізге көшу формуласы
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Трансформация кезінде ODZ өзгермейтін сирек жағдай. Егер сіз c негізін ақылмен таңдаған болсаңыз (оң және 1-ге тең емес), жаңа негізге көшу формуласы толығымен қауіпсіз.
Жаңа с негізі ретінде b санын таңдасақ, формуланың (8) маңызды ерекше жағдайын аламыз:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Логарифмдермен бірнеше қарапайым мысалдар
Мысал 1. Есептеңіз: log2 + log50.
Шешім. log2 + log50 = log100 = 2. Логарифмдердің қосындысын (5) формуласын және ондық логарифмнің анықтамасын қолдандық.
2-мысал. Есептеңіз: lg125/lg5.
Шешім. log125/log5 = log 5 125 = 3. Жаңа негізге көшу үшін формуланы қолдандық (8).
Логарифмдерге қатысты формулалар кестесі
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |