Функцияның туындысы мектеп бағдарламасындағы күрделі тақырыптардың бірі болып табылады. Туынды дегеніміз не деген сұраққа әр түлек жауап бере бермейді.
Бұл мақалада туынды деген не және ол не үшін қажет екені қарапайым және түсінікті түрде түсіндіріледі.. Біз енді презентацияда математикалық қатаңдыққа ұмтылмаймыз. Ең бастысы - мағынасын түсіну.
Анықтаманы еске түсірейік:
Туынды – функцияның өзгеру жылдамдығы.
Суретте үш функцияның графиктері көрсетілген. Қайсысы тез өседі деп ойлайсыз?
Жауап анық - үшінші. Ол ең жоғары өзгеру жылдамдығына ие, яғни ең үлкен туынды.
Міне, тағы бір мысал.
Костя, Гриша және Матвей бір мезгілде жұмысқа орналасты. Бір жыл ішінде олардың табысы қалай өзгергенін көрейік:
График барлығын бірден көрсетеді, солай емес пе? Костяның табысы алты айда екі еседен астам өсті. Гришаның табысы да өсті, бірақ сәл ғана. Ал Матвейдің табысы нөлге дейін төмендеді. Бастапқы шарттар бірдей, бірақ функцияның өзгеру жылдамдығы, яғни туынды, - әртүрлі. Матвейге келетін болсақ, оның кіріс туындысы негізінен теріс.
Интуитивті түрде біз функцияның өзгеру жылдамдығын оңай бағалаймыз. Бірақ мұны қалай істейміз?
Біз шынымен қарайтын нәрсе - функцияның графигі қаншалықты тік көтерілетіні (немесе төмен). Басқаша айтқанда, х өзгерген кезде у қаншалықты тез өзгереді? Әлбетте, әртүрлі нүктелердегі бір функцияның әртүрлі туынды мәндері болуы мүмкін - яғни ол тезірек немесе баяу өзгеруі мүмкін.
Функцияның туындысы белгіленеді.
Оны график арқылы қалай табуға болатынын көрсетеміз.
Кейбір функцияның графигі сызылған. Абциссасы бар нүктені алайық. Осы нүктедегі функция графигіне жанама салайық. Біз функция графигі қаншалықты тік көтерілетінін бағалағымыз келеді. Бұл үшін қолайлы мән жанама бұрыштың тангенсі.
Функцияның нүктедегі туындысы осы нүктедегі функцияның графигіне түсірілген жанама бұрыштың тангенсіне тең.
Тангенстің көлбеу бұрышы ретінде жанама мен осьтің оң бағыты арасындағы бұрышты алатынымызды ескеріңіз.
Кейде оқушылар функцияның графигіне жанама қандай екенін сұрайды. Бұл осы бөлімдегі графикпен бір ортақ нүктесі бар және біздің суретте көрсетілгендей түзу сызық. Ол шеңберге жанамаға ұқсайды.
Оны тауып көрейік. Тікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыштың тангенсі қарама-қарсы қабырғасының көршілес қабырғасына қатынасына тең болатыны есімізде. Үшбұрыштан:
Функцияның формуласын білмей-ақ, график арқылы туындыны таптық. Мұндай есептер математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханда жиі кездеседі.
Тағы бір маңызды қарым-қатынас бар. Түзу теңдеу арқылы берілгенін еске түсірейік
Бұл теңдеудегі шама деп аталады түзу сызықтың еңісі. Ол түзудің оське еңкею бұрышының тангенсіне тең.
.
Біз мұны түсінеміз
Осы формуланы еске түсірейік. Туындының геометриялық мағынасын білдіреді.
Функцияның нүктедегі туындысы сол нүктедегі функцияның графигіне түсірілген жанаманың көлбеуіне тең.
Басқаша айтқанда, туынды жанама бұрыштың тангенсіне тең.
Бір функцияның әртүрлі нүктелерде әртүрлі туындылары болуы мүмкін екенін жоғарыда айттық. Туынды функцияның әрекетімен қалай байланысты екенін көрейік.
Кейбір функцияның графигін салайық. Бұл функция кейбір аймақтарда артып, басқаларында азайсын және әртүрлі қарқынмен. Және бұл функцияның максималды және минималды нүктелері болсын.
Бір нүктеде функция артады. Нүктеде сызылған графикке жанама сүйір бұрышты құрайды; оң ось бағытымен. Бұл нүктедегі туындының оң екенін білдіреді.
Осы кезде біздің функциямыз төмендейді. Осы нүктедегі жанама доғал бұрышты құрайды; оң ось бағытымен. Доғал бұрыштың тангенсі теріс болғандықтан, нүктедегі туынды теріс болады.
Не болады:
Егер функция өсетін болса, оның туындысы оң болады.
Егер ол төмендесе, оның туындысы теріс болады.
Максималды және минималды нүктелерде не болады? (максималды нүкте) және (ең кіші нүкте) нүктелерінде жанаманың көлденең екенін көреміз. Демек, бұл нүктелердегі жанаманың тангенсі нөлге тең, ал туынды да нөлге тең.
Нүкте – максималды нүкте. Бұл кезде функцияның ұлғаюы төмендеумен ауыстырылады. Демек, туындының таңбасы «плюс» «минус» нүктесінде өзгереді.
Нүктеде – ең төменгі нүкте – туынды да нөлге тең, бірақ оның белгісі «минус» пен «плюс» өзгереді.
Қорытынды: туындыны пайдалана отырып, біз функцияның әрекеті туралы бізді қызықтыратын барлық нәрсені таба аламыз.
Егер туынды оң болса, онда функция артады.
Егер туынды теріс болса, онда функция кемиді.
Максималды нүктеде туынды нөлге тең болады және «плюс» белгісін «минусқа» өзгертеді.
Минималды нүктеде туынды да нөлге тең болады және таңбаны «минус» пен «плюс» деп өзгертеді.
Осы қорытындыларды кесте түрінде жазайық:
| артады | максималды нүкте | төмендейді | ең төменгі нүкте | артады | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Екі шағын түсініктеме жасайық. Мәселені шешу кезінде сізге олардың біреуі қажет болады. Басқа - бірінші жылы, функциялар мен туындыларды неғұрлым байсалды зерттеумен.
Қандай да бір нүктедегі функцияның туындысы нөлге тең болуы мүмкін, бірақ функцияның бұл нүктеде максимумы да, минимумы да болмайды. Бұл деп аталатын нәрсе :
Бір нүктеде графикке жанама көлденең, ал туынды нөлге тең. Дегенмен, нүктеге дейін функция өсті - ал нүктеден кейін ол өсуді жалғастырады. Туындының белгісі өзгермейді - ол бұрынғыдай оң болып қалады.
Сонымен қатар, максимум немесе минимум нүктесінде туынды болмайды. Графикте бұл берілген нүктеде жанама салу мүмкін болмаған кезде күрт үзілуге сәйкес келеді.
Функция графикпен емес, формуламен берілсе, туындыны қалай табуға болады? Бұл жағдайда ол қолданылады
Математикада декарттық координаталық жазықтықтағы түзудің орнын сипаттайтын параметрлердің бірі осы түзудің бұрыштық коэффициенті болып табылады. Бұл параметр абсцисса осіне түзу сызықтың еңісін сипаттайды. Еңісті қалай табуға болатынын түсіну үшін алдымен XY координаталар жүйесіндегі түзу теңдеуінің жалпы түрін еске түсіріңіз.
Жалпы кез келген түзуді ax+by=c өрнегі арқылы көрсетуге болады, мұндағы a, b және c – ерікті нақты сандар, бірақ a 2 + b 2 ≠ 0.
Қарапайым түрлендірулерді қолдана отырып, мұндай теңдеуді y=kx+d түріне келтіруге болады, онда k және d нақты сандар. k саны еңіс болып табылады, ал бұл түрдегі түзудің теңдеуі еңіспен теңдеу деп аталады. Еңісті табу үшін бастапқы теңдеуді жоғарыда көрсетілген түрге келтіру керек екен. Толығырақ түсіну үшін нақты мысалды қарастырыңыз:
Есеп: 36х - 18у = 108 теңдеуімен берілген түзудің еңісін табыңдар.
Шешуі: Бастапқы теңдеуді түрлендірейік.
Жауап: Бұл түзудің қажетті еңісі 2.
Егер теңдеуді түрлендіру кезінде біз x = const сияқты өрнекті алып, нәтижесінде у-ны х-тің функциясы ретінде көрсете алмасақ, онда біз X осіне параллель түзумен айналысамыз түзу шексіздікке тең.
y = const сияқты теңдеумен өрнектелген сызықтар үшін көлбеу нөлге тең. Бұл абсцисса осіне параллель түзулерге тән. Мысалы:
Есеп: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 теңдеуімен берілген түзудің еңісін табыңыз.
Шешуі: Бастапқы теңдеуді оның жалпы түріне келтірейік
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Алынған өрнектен у-ны өрнектеу мүмкін емес, сондықтан бұл түзудің бұрыштық коэффициенті шексіздікке тең, ал түзудің өзі У осіне параллель болады.
Геометриялық мағынасы
Жақсырақ түсіну үшін суретке назар аударайық:
Суретте y = kx сияқты функцияның графигін көреміз. Жеңілдету үшін c = 0 коэффициентін алайық. OAB үшбұрышында BA қабырғасының AO жағына қатынасы k бұрыштық коэффициентіне тең болады. Бұл ретте BA/AO қатынасы OAB тікбұрышты үшбұрышындағы α сүйір бұрышының тангенсі болып табылады. Түзудің бұрыштық коэффициенті осы түзудің координаталық тордың абсцисса осімен жасайтын бұрышының жанамасына тең екені белгілі болды.
Түзудің бұрыштық коэффицентін қалай табуға болатынын есептей отырып, оның координаталық тордың Х осі мен арасындағы бұрыштың тангенсін табамыз. Қарастырылып отырған түзу координат осьтеріне параллель болған кездегі шекаралық жағдайлар жоғарыда айтылғандарды растайды. Шынында да, y=const теңдеуімен сипатталған түзу үшін оның абсцисса осінің арасындағы бұрыш нөлге тең. Нөлдік бұрыштың тангенсі де нөлге тең, ал еңісі де нөлге тең.
Х осіне перпендикуляр және x=const теңдеуімен сипатталған түзулер үшін олар мен X осінің арасындағы бұрыш 90 градусқа тең. Тік бұрыштың тангенсі шексіздікке тең, ал ұқсас түзулердің бұрыштық коэффициенті де шексіздікке тең, бұл жоғарыда жазылғанды растайды.
Тангенс көлбеу
Тәжірибеде жиі кездесетін жалпы тапсырма белгілі бір нүктедегі функция графигіне жанаманың көлбеулігін табу болып табылады. Тангенс – түзу, сондықтан көлбеу ұғымы оған да қолданылады.
Тангенстің көлбеуін қалай табуға болатынын анықтау үшін туынды ұғымын еске түсіру керек. Кез келген функцияның белгілі бір нүктедегі туындысы бұл функцияның графигіне көрсетілген нүктедегі жанама мен абсцисса осінің арасында пайда болатын бұрыштың тангенсіне сандық жағынан тең тұрақты шама. Х 0 нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтау үшін бастапқы функцияның осы нүктедегі k = f"(x 0) туындысының мәнін есептеу керек екен. Мысалға назар аударайық:
Есеп: x = 0,1 кезінде y = 12x 2 + 2xe x функциясына жанама түзудің еңісін табыңыз.
Шешуі: Бастапқы функцияның жалпы түрдегі туындысын табыңыз
y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1
Жауабы: x = 0,1 нүктесінде қажетті еңіс 4,831
«Тагенстің бұрыштық коэффициенті көлбеу бұрышының тангенсі ретінде» тақырыбына аттестаттау емтиханында бірнеше тапсырмалар беріледі. Жағдайына қарай бітірушіден толық жауап немесе қысқа жауап талап етілуі мүмкін. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсыруға дайындалған кезде студент тангенстің көлбеуін есептеуді талап ететін тапсырмаларды міндетті түрде қайталауы керек.
Бұл сізге Школково білім беру порталы көмектеседі. Біздің мамандар теориялық және практикалық материалдарды барынша қолжетімді түрде дайындап, ұсынды. Онымен танысқаннан кейін дайындықтың кез келген деңгейіндегі түлектер жанама бұрыштың тангенсін табу қажет туындыларға қатысты есептерді сәтті шығара алады.
Маңызды жерлер
Бірыңғай мемлекеттік емтиханда мұндай тапсырмалардың дұрыс және ұтымды шешімін табу үшін негізгі анықтаманы есте сақтау қажет: туынды функцияның өзгеру жылдамдығын білдіреді; ол функцияның графигіне белгілі бір нүктеде жүргізілген жанама бұрыштың тангенсіне тең. Сызбаны аяқтау бірдей маңызды. Ол туынды бойынша USE есептерінің дұрыс шешімін табуға мүмкіндік береді, онда жанама бұрыштың тангенсін есептеу керек. Түсінікті болу үшін графикті OXY жазықтығына салған дұрыс.
Егер сіз туындылар тақырыбы бойынша негізгі материалмен бұрыннан таныс болсаңыз және Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларына ұқсас жанама бұрыштың тангенсін есептеу мәселелерін шешуге дайын болсаңыз, мұны онлайн режимінде орындауға болады. Әрбір тапсырма үшін, мысалы, «Туындының дененің жылдамдығымен және үдеуімен байланысы» тақырыбына есептер, дұрыс жауап пен шешу алгоритмін жазып алдық. Сонымен бірге оқушылар күрделілік деңгейі әртүрлі тапсырмаларды орындауға машықтана алады. Қажет болса, шешімді кейін мұғаліммен талқылау үшін жаттығуды «Таңдаулылар» бөлімінде сақтауға болады.
Тақырыптың жалғасы, жазықтықтағы түзудің теңдеуі алгебра сабағынан түзуді оқуға негізделген. Бұл мақалада еңісі бар түзудің теңдеуі тақырыбы бойынша жалпы ақпарат берілген. Анықтамаларды қарастырып, теңдеудің өзін алып, басқа теңдеу түрлерімен байланысын анықтайық. Барлығы есептерді шешу мысалдары арқылы талқыланады.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Мұндай теңдеуді жазбас бұрын түзудің O x осіне еңкею бұрышын олардың бұрыштық коэффициентімен анықтау керек. Жазықтықтағы O x декарттық координаталар жүйесі берілген деп алайық.
Анықтама 1
Түзу сызықтың Ox осіне көлбеу бұрышы,жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде орналасқан O x y, бұл оң бағыттан O x түзуіне сағат тіліне қарсы өлшенетін бұрыш.
Түзу Ox-ке параллель болғанда немесе оған сәйкес келсе, көлбеу бұрышы 0-ге тең болады. Сонда берілген α түзуінің көлбеу бұрышы [ 0 , π) интервалында анықталады.
Анықтама 2
Тікелей еңісберілген түзудің көлбеу бұрышының тангенсі болып табылады.
Стандартты белгілеу k болып табылады. Анықтамадан біз k = t g α екенін көреміз. Түзу Ox-ке параллель болғанда, олар еңістің жоқ екенін айтады, өйткені ол шексіздікке барады.
Функцияның графигі өскен кезде көлбеу оң болады және керісінше. Суретте коэффициент мәнімен координаталар жүйесіне қатысты тік бұрыштың орналасуының әртүрлі вариациялары көрсетілген.
Бұл бұрышты табу үшін бұрыштық коэффициенттің анықтамасын қолдану және жазықтықтағы көлбеу бұрышының тангенсін есептеу керек.
Шешім
Шарт бойынша бізде α = 120° болады. Анықтама бойынша көлбеуді есептеу керек. Оны k = t g α = 120 = - 3 формуласынан табайық.
Жауап: k = - 3 .
Егер бұрыштық коэффициент белгілі болса және абсцисса осіне көлбеу бұрышын табу қажет болса, онда бұрыштық коэффициенттің мәнін ескеру керек. Егер k > 0 болса, онда тік бұрыш сүйір болады және α = a r c t g k формуласы бойынша табылады. Егер к< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
2-мысал
Бұрыштық коэффиценті 3-ке тең берілген түзудің О х-ке көлбеу бұрышын анықтаңыз.
Шешім
Шарттан біз бұрыштық коэффициент оң болады, бұл Ox көлбеу бұрышы 90 градустан аз екенін білдіреді. Есептер α = a r c t g k = a r c t g 3 формуласы арқылы жүргізіледі.
Жауабы: α = a r c t g 3 .
3-мысал
Көлбеу = - 1 3 болса түзудің O x осіне көлбеу бұрышын табыңыз.
Шешім
Бұрыштық коэффиценттің белгіленуі ретінде k әрпін алсақ, онда α – берілген түзу сызыққа О х оң бағыттағы көлбеу бұрышы. Демек, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Жауап: 5 π 6 .
y = k x + b түріндегі теңдеу, мұндағы k - көлбеу, b - қандай да бір нақты сан, еңісі бар түзудің теңдеуі деп аталады. Теңдеу O y осіне параллель емес кез келген түзуге тән.
Егер y = k x + b түріндегі бұрыштық коэффициенті бар теңдеу арқылы нақтыланатын қозғалмайтын координаталар жүйесіндегі жазықтықтағы түзуді егжей-тегжейлі қарастырсақ. Бұл жағдайда бұл теңдеу түзудің кез келген нүктесінің координатасына сәйкес келетінін білдіреді. Егер y = k x + b теңдеуіне M, M 1 (x 1, y 1) нүктесінің координаталарын қойсақ, онда бұл жағдайда түзу осы нүкте арқылы өтеді, әйтпесе нүкте түзуге жатпайды.
4-мысал
Көлбеу y = 1 3 x - 1 түзу берілген. M 1 (3, 0) және M 2 (2, - 2) нүктелерінің берілген түзуге жататындығын есептеңіз.
Шешім
Берілген теңдеуге М 1 (3, 0) нүктесінің координаталарын қою керек, сонда 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 аламыз. Теңдік ақиқат, бұл нүктенің түзуге жататынын білдіреді.
Егер М 2 (2, - 2) нүктесінің координаталарын ауыстырсақ, онда - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 түріндегі дұрыс емес теңдік шығады. М 2 нүктесі түзуге жатпайды деген қорытынды жасауға болады.
Жауап: M 1 сызыққа жатады, бірақ M 2 жоқ.
Түзу M 1 (0, b) арқылы өтетін y = k · x + b теңдеуімен анықталатыны белгілі, ауыстырған кезде b = k · 0 + b ⇔ b = b түріндегі теңдік алдық. Бұдан былай қорытынды жасауға болады: жазықтықтағы бұрыштық коэффициенті y = k x + b түзу теңдеуі 0, b нүктесі арқылы өтетін түзуді анықтайды. Ол O x осінің оң бағытымен α бұрышын құрайды, мұндағы k = t g α.
Мысал ретінде y = 3 x - 1 түрінде көрсетілген бұрыштық коэффициент арқылы анықталған түзуді қарастырайық. Түзу координатасы 0, - 1 нүктеден α = a r c t g 3 = π 3 радиан көлбеу O x осінің оң бағытта өтетінін аламыз. Бұл коэффициенттің 3 екенін көрсетеді.
Берілген нүкте арқылы өтетін еңісі бар түзудің теңдеуі
М 1 (x 1, y 1) нүктесі арқылы өтетін еңістігі берілген түзудің теңдеуін алу қажет болатын есепті шешу керек.
y 1 = k · x + b теңдігін дұрыс деп санауға болады, өйткені түзу M 1 (x 1, y 1) нүктесі арқылы өтеді. b санын алып тастау үшін сол және оң жағынан еңіспен теңдеуді алып тастау керек. Осыдан y - y 1 = k · (x - x 1) болатыны шығады. Бұл теңдік M 1 (x 1, y 1) нүктесінің координаталары арқылы өтетін, еңістігі k берілген түзудің теңдеуі деп аталады.
5-мысал
М 1 нүктесі арқылы өтетін координаталары (4, - 1), бұрыштық коэффициенті - 2-ге тең түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешім
Шарт бойынша бізде x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 болады. Осыдан түзудің теңдеуі былай жазылады: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Жауап: y = - 2 x + 7 .
6-мысал
Координаталары (3, 5), у = 2 х - 2 түзуіне параллель М 1 нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешім
Шарт бойынша бізде параллель түзулердің көлбеу бұрыштары бірдей, яғни бұрыштық коэффициенттер тең. Бұл теңдеуден көлбеуді табу үшін оның негізгі формуласын есте сақтау керек y = 2 x - 2, одан k = 2 шығады. Көлбеу коэффициентімен теңдеу құрып, мынаны аламыз:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Жауап: y = 2 x - 1 .
Еңісі бар түзу теңдеуден түзу теңдеулердің басқа түрлеріне көшу және кері
Бұл теңдеу есептерді шешу үшін әрқашан қолданыла бермейді, өйткені ол өте ыңғайлы жазылмайды. Ол үшін оны басқа формада көрсету керек. Мысалы, у = k · x + b түріндегі теңдеу түзудің бағыт векторының координаталарын немесе қалыпты вектордың координаталарын жазуға мүмкіндік бермейді. Ол үшін басқа типтегі теңдеулермен көрсетуді үйрену керек.
Жазықтықтағы түзудің канондық теңдеуін бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуін пайдалана аламыз. Біз x - x 1 a x = y - y 1 a y аламыз. b мүшесін сол жаққа жылжытып, алынған теңсіздіктің өрнегі бойынша бөлу керек. Сонда у = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k түріндегі теңдеу аламыз.
Еңісі бар түзудің теңдеуі осы түзудің канондық теңдеуі болды.
7-мысал
Бұрыштық коэффициенті y = - 3 x + 12 түзу теңдеуін канондық түрге келтіріңіз.
Шешім
Оны түзудің канондық теңдеуі түрінде есептеп, ұсынайық. Пішіннің теңдеуін аламыз:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Жауабы: x 1 = y - 12 - 3.
Түзудің жалпы теңдеуін y = k · x + b мәнінен алу ең оңай, бірақ ол үшін түрлендірулер жасау қажет: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Сызықтың жалпы теңдеуінен басқа түрдегі теңдеулерге көшу жүзеге асырылады.
8-мысал
y = 1 7 x - 2 түріндегі түзу теңдеуі берілген. А → = (- 1, 7) координаталары бар вектор қалыпты түзу векторы бола ма, анықтаңыз?
Шешім
Шешу үшін осы теңдеудің басқа түріне көшу керек, ол үшін жазамыз:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Айнымалылардың алдындағы коэффициенттер түзудің қалыпты векторының координаталары болып табылады. Оны былай жазайық: n → = 1 7, - 1, демек 1 7 х - у - 2 = 0. a → = (- 1, 7) векторы n → = 1 7, - 1 векторына коллинеар екені анық, өйткені бізде а → = - 7 · n → әділ қатынасы бар. Бұдан шығатыны, бастапқы а → = - 1, 7 векторы 1 7 x - y - 2 = 0 түзуінің нормаль векторы, яғни y = 1 7 x - 2 түзуі үшін нормаль векторы болып саналады.
Жауап:Бұл
Осы есептің кері есебін шешейік.
B ≠ 0 болатын A x + B y + C = 0 теңдеуінің жалпы түрінен бұрыштық коэффициенті бар теңдеуге көшу қажет. Ол үшін у теңдеуін шешеміз. Біз A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B аламыз.
Нәтиже - A B тең еңісі бар теңдеу.
9-мысал
2 3 x - 4 y + 1 = 0 түріндегі түзу теңдеуі берілген. Бұрыштық коэффициенті берілген түзудің теңдеуін алыңыз.
Шешім
Шартқа сүйене отырып, у үшін шешу керек, содан кейін келесі түрдегі теңдеуді аламыз:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Жауабы: у = 1 6 x + 1 4 .
x a + y b = 1 түріндегі теңдеу дәл осылай шешіледі, оны кесінділердегі түзу теңдеуі немесе x - x 1 a x = y - y 1 a y түріндегі канондық деп атайды. Біз оны у үшін шешуіміз керек, сонда ғана көлбеу теңдеу аламыз:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Канондық теңдеуді бұрыштық коэффициенті бар түрге келтіруге болады. Мұны істеу үшін:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
10-мысал
x 2 + y - 3 = 1 теңдеуі арқылы берілген түзу бар. Бұрыштық коэффициенті бар теңдеу түріне келтіріңіз.
Шешім.
Шартқа сүйене отырып, түрлендіру қажет, содан кейін _формула_ түріндегі теңдеуді аламыз. Қажетті көлбеу теңдеуін алу үшін теңдеудің екі жағын - 3-ке көбейту керек. Трансформациялау арқылы біз мынаны аламыз:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.
Жауап: y = 3 2 x - 3 .
11-мысал
x - 2 2 = y + 1 5 түріндегі түзу теңдеуін бұрыштық коэффициенті бар түрге келтіріңіз.
Шешім
х - 2 2 = у + 1 5 өрнегін пропорция ретінде есептеу керек. Біз 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) болатынын аламыз. Енді мұны істеу үшін оны толығымен қосу керек:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Жауабы: у = 5 2 x - 6 .
Мұндай есептерді шешу үшін x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ түріндегі сызықтың параметрлік теңдеулерін жолдың канондық теңдеуіне келтіру керек, тек осыдан кейін ғана келесі теңдеуге көшуге болады: көлбеу коэффициенті.
12-мысал
Түзудің еңісін табыңыз, егер ол x = λ y = - 1 + 2 · λ параметрлік теңдеулермен берілген.
Шешім
Параметрлік көріністен еңіске көшу қажет. Ол үшін берілген параметрліктен канондық теңдеуді табамыз:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Енді бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуін алу үшін осы теңдікті у-ға қатысты шешу керек. Ол үшін оны былай жазайық:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Бұдан түзудің еңісі 2 болатыны шығады. Бұл k = 2 түрінде жазылады.
Жауап: k = 2.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз
Алдыңғы тарауда жазықтықта белгілі бір координаталар жүйесін таңдау арқылы қарастырылатын түзудің нүктелерін сипаттайтын геометриялық қасиеттерді ағымдағы координаталар арасындағы теңдеу арқылы аналитикалық түрде өрнектеуге болатындығы көрсетілген. Осылайша сызықтың теңдеуін аламыз. Бұл тарауда түзулердің теңдеулері қарастырылады.
Декарттық координаталардағы түзу теңдеуін құру үшін оның координаталық осьтерге қатысты орнын анықтайтын шарттарды қандай да бір түрде қою керек.
Алдымен түзудің жазықтықтағы орнын сипаттайтын шамалардың бірі болып табылатын түзудің бұрыштық коэффициенті ұғымымен таныстырамыз.
Оқ осін берілген түзумен сәйкес келетіндей (немесе оған параллель болып шығатындай) айналдыру қажет бұрышты түзудің Ох осіне еңкею бұрышы деп атаймыз. Әдеттегідей, таңбаны ескере отырып, бұрышты қарастырамыз (белгі айналу бағытымен анықталады: сағат тіліне қарсы немесе сағат тіліне қарсы). Ox осін 180° бұрыш арқылы қосымша айналдыру оны түзу сызықпен қайтадан теңестіретіндіктен, түзудің оське көлбеу бұрышын бір мәнді таңдау мүмкін емес (мүше ішінде, еселігі).
Бұл бұрыштың тангенсі бірегей түрде анықталады (өйткені бұрышты өзгерту оның тангенсін өзгертпейді).
Түзудің Окс осіне еңкею бұрышының тангенсі түзудің бұрыштық коэффициенті деп аталады.
Бұрыштық коэффициент түзудің бағытын сипаттайды (біз бұл жерде түзудің бір-біріне қарама-қарсы екі бағытын ажыратпаймыз). Егер түзудің еңісі нөлге тең болса, онда түзу х осіне параллель болады. Оң бұрыштық коэффициентпен түзудің Ox осіне еңкею бұрышы сүйір болады (бұл жерде көлбеу бұрыштың ең кіші оң мәнін қарастырамыз) (39-сурет); Оның үстіне, бұрыштық коэффициент неғұрлым үлкен болса, оның Окс осіне еңкею бұрышы соғұрлым үлкен болады. Егер бұрыштық коэффициент теріс болса, онда түзудің Ох осіне еңкею бұрышы доғал болады (40-сурет). Ox осіне перпендикуляр түзудің бұрыштық коэффициенті жоқ екенін ескеріңіз (бұрыштың тангенсі жоқ).