Көлбеу қиманы қалай салуға болады. Бастауыш кәсіптік білім беретін оқу орындарының студенттеріне арналған геометрия сабақтарында көп қырлы қималарды салуға арналған GeoGebra бағдарламасын қолдану

Планиметрияның аксиомалары:

Әртүрлі оқулықтарда түзулер мен жазықтықтардың қасиеттері әртүрлі тәсілдермен, аксиома, одан қорытынды, теорема, лемма т.б. түрінде берілуі мүмкін. Погорелов А.В. оқулығын қарастырайық.

Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

0

Кез келген жарты түзуден берілген градустық өлшемі 180-ден аз бұрышты берілген жарты жазықтыққа салуға болады. 0 , және тек біреуі.

Үшбұрыш қандай болса да, берілген жерде берілген жарты сызыққа қатысты тең үшбұрыш бар.

Берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы жазықтықта берілгенге параллель ең көбі бір түзу жүргізуге болады.

Стереометрияның аксиомалары:

Қандай жазықтық болса да, осы жазықтыққа жататын нүктелер де, осы жазықтыққа жатпайтын нүктелер де, оған жатпайтын нүктелер де бар.

Егер екі түрлі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

Егер екі түрлі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады, тек біреуі ғана.

Қандай түзу болса да, осы түзуге жататын нүктелер де, оған жатпайтын нүктелер де бар.

Кез келген екі нүкте арқылы түзу сызық жүргізуге болады, тек бір ғана.

Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі қалған екеуінің арасында жатыр.

Әрбір сегменттің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы бар. Кесіндінің ұзындығы оның кез келген нүктесіне бөлінген бөліктердің ұзындықтарының қосындысына тең.

Жазықтыққа жататын түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градус өлшемі бар. Түзу бұрышы 180 0 . Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғалары арасынан өтетін кез келген сәулеге бөлінген бұрыштардың градустық өлшемдерінің қосындысына тең.

Кез келген жарты сызықта оның бастапқы нүктесінен берілген ұзындықтағы сегментті және тек біреуін салуға болады.

Оны қамтитын жазықтықтағы жарты сызықтан берілген градустық өлшемі 180-ден аз бұрышты берілген жарты жазықтыққа салуға болады. 0 , және тек біреуі.

Қандай үшбұрыш болса да, берілген жерде берілген жазықтықта сол жазықтықтағы берілген жарты сызыққа қатысты тең үшбұрыш бар.

Жазықтықта берілген түзудің бойында жатпайтын берілген нүкте арқылы берілгенге параллель ең көбі бір түзу жүргізуге болады.

Бөлім

Кеңістікте екі фигура, біздің жағдайымыз үшін жазықтық пен көпбұрыштың келесі өзара орналасуы болуы мүмкін: қиылыспайды, бір нүктеде қиылысады, түзу бойымен қиылысады және жазықтық көпбұрышты ішкі бойымен қиып өтеді (1-сурет). , және бір уақытта келесі сандарды құрайды:

а) бос фигура (қиылыспаңыз)

б) нүкте

в) сегмент

г) көпбұрыш

Егер көпбұрыш пен жазықтықтың қиылысында көпбұрыш болса, онда бұл көпбұрышкөпбұрыштың жазықтықпен кесіндісі деп аталады .

1-сурет

Анықтама. Бөлім кеңістіктік дене (мысалы, көп қырлы) дененің жазықтықпен қиылысуынан пайда болатын фигура.

Кесу ұшағы көп қырлы екі жағында берілген көпбұрыштың нүктелері орналасқан кез келген жазықтықты атаймыз.

Жазықтық көпбұрышты оның ішкі бойымен қиып өтетін жағдайды ғана қарастырамыз. Бұл жағдайда бұл жазықтықтың көпбұрыштың әрбір бетімен қиылысуы белгілі бір сегмент болады.

Егер жазықтықтар түзу бойымен қиылысатын болса, онда түзу түзу деп аталадыосы ұшақтардың бірінің артынан екіншісіне.

Жалпы алғанда, көпбұрыштың қиюшы жазықтығы оның әрбір бетінің жазықтығымен (сондай-ақ осы көпбұрыштың кез келген басқа кесу жазықтығы сияқты) қиылысады. Ол сондай-ақ көпбұрыштың шеттері жататын сызықтардың әрқайсысын қиып өтеді.

Көпбұрыштың кез келген бетінің жазықтығымен қиюшы жазықтық қиылысатын түзу деп аталадыкесу жазықтығы бойынша осы беттің жазықтығында және қиюшы жазықтықтың полиэдрдің кез келген жиегі бар түзуді қиып өтетін нүкте деп аталады.кесу жазықтығы бойынша қосулыбұл түзу сызық. Бұл нүкте де қиюшы жазықтықтағы түзудің ізі болып табылады. Егер қиюшы жазықтық полиэдрдің бетін тікелей қиып өтсе, онда біз беттегі қиюшы жазықтықтың ізі туралы және сол сияқты туралы айтуға болады.полиэдрдің шетіндегі кескіш жазықтықтың ізі, яғни қиюшы жазықтықтағы жиектің ізі туралы.

Түзу екі нүкте арқылы бірегей түрде анықталатындықтан, кез келген басқа жазықтықта және, атап айтқанда, полиэдрдің кез келген бетінің жазықтығында қиюшы жазықтықтың ізін табу үшін жазықтықтардың екі ортақ нүктесін салу жеткілікті.

Кесу жазықтығының ізін салу үшін, сондай-ақ осы жазықтықпен көп қырлы қиманы тұрғызу үшін тек көпбұрышты ғана емес, сонымен қатар қиюшы жазықтығы да көрсетілуі керек. Ал қима жазықтығының құрылысы осы жазықтықтың ерекшелігіне байланысты. Жазықтықты, атап айтқанда қиюшы жазықтықты анықтаудың негізгі жолдары мыналар:

бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте;

түзу және онда жатпайтын нүкте;

екі параллель түзу;

екі қиылысатын сызық;

нүкте және екі қиылысатын түзу;

Кесу жазықтығын көрсетудің басқа жолдары да мүмкін.

Сондықтан көп қырлылардың қималарын салудың барлық әдістерін әдістерге бөлуге болады.

Көп қырлылардың қималарын салу әдістері

Стереометриядағы көп қырлылардың кесінділері әдісі құрылыс есептерінде қолданылады. Ол көпбұрыштың қимасын тұрғызу және қиманың түрін анықтау қабілетіне негізделген.

Көп қырлы бөліктерді салудың үш негізгі әдісі бар:

Аксиоматикалық әдіс:

Бақылау әдісі.

Біріктірілген әдіс.

Координат әдісі.

Ескерту із әдісі мен көмекші бөлім әдісі сорт екенінБөлімдерді салудың аксиоматикалық әдісі.

Сондай-ақ көп қырлы қималарды салудың келесі әдістерін ажыратуға болады:

берілген нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың қимасын салу;

берілген түзу арқылы басқа берілген түзуге параллель өтетін қиманы салу;

берілген екі қиылысатын түзуге параллель берілген нүкте арқылы өтетін қиманы салу;

берілген жазықтыққа перпендикуляр берілген түзу арқылы өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың қимасын салу;

берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтығы бар көпбұрыштың кесіндісін салу.

Қиындықтарды салу әдістерін құрайтын негізгі әрекеттерге түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесін табу, екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу, жазықтыққа параллель, жазықтыққа перпендикуляр түзу салу жатады. Екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу үшін әдетте оның екі нүктесі табылып, олар арқылы түзу жүргізіледі. Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін тұрғызу үшін жазықтықтан берілген сызықты қиып өтетін түзуді табыңдар. Содан кейін табылған түзудің берілгенімен қиылысында қажетті нүкте алынады.

Біз санамалағандарды бөлек қарастырайықКөп қырлылардың қималарын салу әдістері:

Бақылау әдісі.

Бақылау әдісі стереометрия аксиомаларына негізделген (негізделген), әдістің мәні фигураның кез келген бетінің жазықтығымен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызығының кескіні болып табылатын көмекші сызықты тұрғызу болып табылады. Төменгі табанның жазықтығымен қиюшы жазықтықтың қиылысу сызығының кескінін салу ең қолайлы. Бұл сызықкесу жазықтығының негізгі ізі деп аталады . Ізді пайдалана отырып, фигураның бүйір жиектерінде немесе беттерінде орналасқан қиюшы жазықтық нүктелерінің кескіндерін салу оңай. Осы нүктелердің кескіндерін дәйекті түрде байланыстыра отырып, біз қажетті бөліктің бейнесін аламыз.

Ескертіп қой қиюшы жазықтықтың негізгі ізін салу кезінде келесі мәлімдеме қолданылады.

Егер нүктелер қиюшы жазықтыққа жататын болса және бір түзуде жатпаса және олардың жазықтыққа проекциясы (орталық немесе параллель) негізгі болып таңдалған болса, онда нүктелер сәйкесінше онда сәйкес түзулердің қиылысу нүктелері, яғни нүктелер мен бір түзудің бойында жатады (1, а, б-сурет).

1.а-сур.1.б

Бұл түзу қиюшы жазықтықтың негізгі ізі болып табылады. Нүктелер негізгі ізде жатқандықтан, оны тұрғызу үшін осы үш нүктеден екі нүктені табу жеткілікті.

Көмекші бөлімдер әдісі.

Көп қырлы бөліктерді салудың бұл әдісі әмбебап болып табылады. Кесу жазықтығының қалаған ізі (немесе іздері) сызбадан тыс болған жағдайда, бұл әдіс тіпті белгілі бір артықшылықтарға ие. Сонымен қатар, бұл әдіспен орындалған құрылыстар көбінесе «толып» болатынын есте ұстаған жөн. Дегенмен, кейбір жағдайларда көмекші бөлімдер әдісі ең ұтымды болып шығады.

Біріктірілген әдіс

Көпжүзділердің қималарын салудың құрама әдісінің мәні аксиоматикалық әдіспен бірге кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігі туралы теоремаларды қолдану болып табылады.

Бөлімдерді салудың координаталық әдісі.

Координаталық әдістің мәні жазықтықтың теңдеуі арқылы нақтыланатын қиюшы жазықтықпен шеттердің немесе көпбұрыштардың қиылысу нүктелерінің координаталарын есептеу болып табылады. Кесу жазықтығының теңдеуі есеп шарттары негізінде есептеледі.

Ескерту , көп қырлы қиманы құрудың бұл әдісі компьютер үшін қолайлы, өйткені ол есептеулердің үлкен көлемімен байланысты, сондықтан бұл әдісті компьютердің көмегімен жүзеге асырған жөн.

Біздің негізгі міндетіміз жазықтықпен көпбұрыштың қимасын салу болады, яғни. осы екі жиынның қиылысын салуда.

Көп қырлылардың қималарының құрылысы

Ең алдымен дөңес көпбұрыштың қимасы дөңес жалпақ көпбұрыш екенін, оның төбелері жалпы жағдайда қиюшы жазықтықтың көпбұрыштың шеттерімен, ал қабырғалары оның қиылысу нүктелері болатынын атап өтеміз. беттер.

Бөлімдерді құру мысалдары:

Бөлімді анықтау әдістері өте алуан түрлі. Олардың ең көп тарағаны – бір түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы қиюшы жазықтықты анықтау әдісі.

1-мысал. Параллелепипед ABCDA үшін 1 Б 1 C 1 D 1 . M, N, L нүктелері арқылы өтетін қиманы тұрғыз.

Шешімі:

АА жазықтығында жатқан M және L нүктелерін қосыңыз 1 D 1 D.

ML түзуін (қимаға жататын) А жиегімен қиылысайық 1 D 1 1 D 1 D. X нүктесін алыңыз 1 .

X1 нүктесі А шетінде жатыр 1 D 1 , демек А жазықтығы 1 Б 1 C 1 D 1 , біз оны бір жазықтықта жатқан N тігісімен қосамыз.

X 1 N А жиегін қиып өтеді 1 Б 1 К нүктесінде.

Бір АА жазықтығында жатқан К және М нүктелерін қосыңыз 1 Б 1 Б.

Қима жазықтығының ДД жазықтығымен қиылысу түзуін табайық 1 C 1 C:

ML түзуін (қимаға жататын) DD жиегімен қиылысайық 1 , олар AA бір жазықтықта жатады 1 D 1 D, біз X нүктесін аламыз 2 .

KN түзуін (қимаға жататын) D шетімен қиылысайық 1 C 1 , олар бір жазықтықта жатады А 1 Б 1 C 1 D 1 , біз X3 нүктесін аламыз;

X2 және X3 нүктелері DD жазықтығында жатыр 1 C 1 C. Х түзуін сызыңыз 2 X 3 , ол C шетімен қиылысады 1 C T нүктесінде, ал DC жиегі P нүктесінде. Және ABCD жазықтығында жатқан L және P нүктелерін қосыңыз.

Сонымен, егер жазықтық көпбұрыштың беттерін қиып өтетін барлық кесінділер табылса, мәселе шешілген болып саналады, біз солай істедік. MKNTPL - қажетті бөлім.

Ескерту. Қима құрудың дәл осы мәселесін параллель жазықтықтар қасиетін пайдалана отырып шешуге болады.

Жоғарыда айтылғандардан осы типтегі есептерді шешудің алгоритмін (ережесін) құруға болады.

Көп қырлы бөліктерді салу ережелері:

1. бір жазықтықта жатқан нүктелер арқылы түзулер жүргізу;

   Біз қима жазықтығының көпбұрыштың беттерімен тікелей қиылысуларын іздейміз, ол үшін:

2-мысал. DЛ, М

Аксиоматикалық әдіс арқылы шешейік:

Көмекші жазықтықты салайықDKM, ол АВ және ВС шеттерін Е және нүктелерінде қиып өтедіФ(2-суреттегі шешімнің орындалу барысы). Осы көмекші жазықтықта қима жазықтығының CM «ізін» салайық, СМ мен Е қиылысу нүктесін табайық.Ф– P нүктесі. Р нүктесі, сияқтыЛ, ABC жазықтығында жатыр және оның бойымен қима жазықтығы АВС жазықтығымен қиылысатын түзу жүргізуге болады («АВС жазықтығындағы қиманың ізі»).

3-мысал. MABCD пирамидасының АВ және AD шеттерінде сәйкесінше P және Q нүктелерін, осы шеттердің ортаңғы нүктелерін, ал MC шетінде R нүктесін анықтаймыз. Пирамиданың жазықтық өтетін кесіндісін салайық. P, Q және R нүктелері.

Біз шешімді аралас әдіспен орындаймыз:

1). PQR жазықтығының негізгі ізі PQ түзу сызығы екені анық.

2). MAC жазықтығы PQ түзуін қиып өтетін К нүктесін табайық. K және R нүктелері PQR және MAC жазықтығына жатады. Сондықтан KR түзуін жүргізе отырып, осы жазықтықтардың қиылысу сызығын аламыз.

3). N=AC BD нүктесін тауып, MN түзуін жүргізіп, F=KR MN нүктесін табайық.

4). F нүктесі PQR және MDB жазықтықтарының ортақ нүктесі, яғни бұл жазықтықтар F нүктесі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады. Сонымен бірге PQ АҚШ үшбұрышының орта сызығы болғандықтан, PQ BD параллель, яғни PQ сызығы MDB жазықтығына параллель. Сонда PQ түзу сызығы арқылы өтетін PQR жазықтығы МДБ жазықтығымен PQ түзуіне параллель түзу бойымен, яғни параллель және түзу BD қиылысады. Сондықтан MDB жазықтығында F нүктесі арқылы BD түзуіне параллель түзу жүргіземіз.

5). Әрі қарайғы құрылыстар суреттен анық көрінеді. Нәтижесінде біз PQD «RB» көпбұрышын аламыз - қажетті қима

Призманың көлденең қималарын қарастырайық қарапайымдылығы үшін, яғни логикалық ойлаудың ыңғайлылығы үшін кубтың қималарын қарастырайық (3.а-сурет):

Күріш. 3.а

Бүйір шеттеріне параллель жазықтықтары бар призманың кесінділері параллелограммдар. Атап айтқанда, диагональды қималар параллелограмм болып табылады (4-сурет).

Def. Диагональды қима Призманы бір бетке жатпайтын екі бүйір шетінен өтетін жазықтық кеседі.

Призманың диагональ кесіндісінің нәтижесінде пайда болатын көпбұрыш параллелограмм болып табылады. Диагональды қималардың саны туралы сұрақn-бұрыштық призма диагональдар саны туралы сұраққа қарағанда қиынырақ. Негізде диагональдар қанша болса, сонша бөлімдер болады. Біз дөңес призманың табанында дөңес көпбұрыштар, ал дөңес призма болатынын білемізn-диагональдардың гонасы. Сонымен, диагональ қималары диагональдардың жартысына тең деп айта аламыз.

Ескерту: Суретте параллелепипедтің қималарын салғанда, егер қиюшы жазықтық кейбір кесінділер бойымен екі қарама-қарсы бетті қиып өтсе, онда бұл кесінділер параллелепипедтің қасиеті бойынша параллель болатынын ескеру керек, яғни. Параллелепипедтің қарама-қарсы беттері параллель және тең».

Біз жиі қойылатын сұрақтарға жауап береміз:

Кубты жазықтықпен кескенде қандай көпбұрыштар алынады?

«үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш».

Текшені ұшақпен жетібұрышқа кесуге бола ма? Сегізбұрыш ше?

«олар алмайды».

3) Сұрақ туындайды: көпбұрышты жазықтықпен қию арқылы көпбұрыш қабырғаларының ең көп саны қанша болады?

Көпбұрышты жазықтықпен кесу арқылы алынған көпбұрыштың қабырғаларының ең көп саны көпбұрыштың беттерінің санына тең .

3-мысал. А призманың көлденең қимасын сал 1 Б 1 C 1 D 1 M, N, K үш нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен ABCD.

Призманың бетіндегі M, N, K нүктелерінің орналасу жағдайын қарастырайық (5-сурет).

Жағдайды қарастырайық: Бұл жағдайда M1 = B1 екені анық.

Құрылысы:

4-мысал. ABCDA параллелепипедінің кесіндісін сал 1 Б 1 C 1 D 1 M, N, P нүктелері арқылы өтетін жазықтық (нүктелер сызбада көрсетілген (сурет 6)).

Шешімі:

Күріш. 6

N және P нүктелері қима жазықтығында және параллелепипедтің төменгі табанының жазықтығында жатыр. Осы нүктелер арқылы өтетін түзу жүргізейік. Бұл түзу параллелепипед табанының жазықтығына қиюшы жазықтықтың ізі.

Параллелепипедтің АВ қай жағында жатқан түзуді жалғастырайық. AB және NP түзулері қандай да бір S нүктесінде қиылысады. Бұл нүкте қима жазықтығына жатады.

М нүктесі де қима жазықтығына жатады және АА түзуін қиып өтетіндіктен 1 белгілі бір уақытта X.

X және N нүктелері АА бетінің бір жазықтығында жатыр 1 D 1 D, оларды қосып, XN түзу сызығын алыңыз.

Параллелепипедтің беттерінің жазықтықтары параллель болғандықтан, М нүктесі арқылы А бетіне түзу жүргізуге болады. 1 Б 1 C 1 D 1 , NP сызығына параллель. Бұл сызық В жағымен қиылысады 1 МЕН 1 Y нүктесінде.

Сол сияқты XN түзуіне параллель YZ түзуін жүргіземіз. Біз Z-ді P-мен байланыстырамыз және қажетті бөлімді аламыз - MYZPNX.

Пирамиданың төбесінен өтетін жазықтықтар кесінділері үшбұрыштар болып табылады. Атап айтқанда, үшбұрыштар диагональды кесінділер болып табылады. Бұл пирамиданың екі іргелес емес бүйір жиегі арқылы өтетін жазықтықтардың кесінділері.

4-мысал. ABC пирамидасының кесіндісін салDК нүктелері арқылы өтетін жазықтық,Л, М.

Шешімі:

1. Тағы бір көмекші жазықтықты салайықҚДТжәне В қиылысу нүктесін салыңызЛЖәнеDK – E нүктесі. Бұл нүкте екі көмекші жазықтыққа да жатады (7-сурет, б);

   Кесінділердің қиылысу нүктесін табайықЛ.М.және EC (бұл сегменттер жазықтықта жатырBLC, 7-сурет, в) – нүктеФ. НүктеФқима жазықтықта және жазықтықта жатырҚДТ;

   Директ жасайықҚ.Фжәне осы түзудің қиылысу нүктесін табыңызDC– нүктеН(нүктеНбөліміне жатады). ТөртбұрышKLNM– қажетті бөлім.

Осы бір мысалды басқаша шешейік .

К нүктелерінде деп есептейік,Л, және M құрастырылған бөлімKLNM(Cурет 7). арқылы белгілейікФтөртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесіKLNM. Директ жасайықDFжәне арқылы белгілеңізФ 1 оның ABC жиегімен қиылысу нүктесі. НүктеФ 1 AM және SC түзулерінің қиылысу нүктесіне сәйкес келеді (Ф 1 бір мезгілде AM ұшақтарына жатадыDЖәнеDSK). Толық аялдамаФ 1 салу оңай. Әрі қарай біз нүкте саламызФқиылысу нүктесі ретіндеDF 1 ЖәнеЛ.М.. Әрі қарай біз нүктені табамызН.

Қарастырылған техника деп аталадыішкі дизайн әдісі . (Біздің жағдайда біз орталық дизайн туралы айтып отырмыз. ТөртбұрышҚMSA - төртбұрыштың проекциясыKMNLнүктесіненD. Бұл жағдайда диагональдардың қиылысу нүктесіKMNL– нүктеФ– төртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесіне барадыҚMSA - нүктеФ 1 .

Көпбұрыштың қима ауданы.

Көпбұрыштың көлденең қимасының ауданын есептеу мәселесі әдетте бірнеше кезеңде шешіледі. Егер есепте кесінді салынған (немесе қиюшы жазықтық сызылған және т.б.) болса, онда шешімнің бірінші кезеңінде кесіндіде алынған фигураның түрі анықталады.

Бұл көлденең қиманың ауданын есептеу үшін сәйкес формуланы таңдау үшін жасалуы керек. Бөлімде алынған фигураның түрі нақтыланғаннан кейін және осы фигураның ауданын есептеу үшін формула таңдалғаннан кейін біз тікелей есептеу жұмысына көшеміз.

Кейбір жағдайларда бөлімде алынған фигураның түрін анықтамай, теоремадан туындайтын формуланы пайдаланып оның ауданын тікелей есептеуге өтсеңіз, оңайырақ болуы мүмкін.

Көпбұрыштың ортогональ проекциясының ауданы туралы теорема: Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы оның ауданы мен көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең: .

Секцияның ауданын есептеудің дұрыс формуласы: мұндағы кесіндіде алынған фигураның ортогональ проекциясының ауданы және бұл кескін проекцияланатын қиюшы жазықтық пен жазықтық арасындағы бұрыш. Бұл шешіммен кесіндіде алынған фигураның ортогональ проекциясын салу және есептеу керек.

Егер мәселенің қойылымында кесінді тұрғызу керек және алынған бөліктің ауданын табу керек болса, онда бірінші кезеңде берілген қиманы негізді түрде салу керек, содан кейін, әрине, алынған фигураның түрін анықтау керек. бөлім және т.

Келесі фактіні атап өтейік: дөңес көпбұрыштардың кесінділері салынғандықтан, қима көпбұрышы да дөңес болады, сондықтан оның ауданын үшбұрыштарға бөлу арқылы табуға болады, яғни қима ауданы аудандарының қосындысына тең. ол құрастырылған үшбұрыштар.

1-тапсырма.

– табанының қабырғасы тең және биіктігі тең үшбұрышты пирамида Пирамиданың қабырғасының ортасы болатын нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен кесіндісін салып, оның ауданын табыңдар (8-сурет).

Шешім.

Пирамиданың көлденең қимасы үшбұрыш. Оның ауданын табайық.

Пирамиданың табаны тең бүйірлі үшбұрыш және нүктесі қабырғасының ортасы болғандықтан, ол биіктігі, содан кейін, .

Үшбұрыштың ауданын табуға болады:

2-тапсырма.

Дұрыс призманың бүйір қыры табанының бүйір жағына тең. Жазықтықтары нүкте арқылы өтетін призманың кесінділерін салА, түзуге перпендикуляр Егер призманың алынған көлденең қимасының ауданын тапсақ.

Шешім.

Берілген бөлімді құрастырайық. Мұны таза геометриялық ойлардан жасайық, мысалы, келесідей.

Берілген түзу мен берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықта осы нүкте арқылы өтетін түзуге перпендикуляр түзу жүргізіңіз (9-сурет). Ол үшін үшбұрыштағы фактіні қолданайық яғни оның медианасы да осы үшбұрыштың биіктігі. Сондықтан бұл түзу.

Нүкте арқылы түзуге перпендикуляр тағы бір түзу жүргіземіз. Оны, мысалы, түзу арқылы өтетін жазықтықта сызайық. Бұл сызық түзу сызық екені анық

Сонымен, түзуге перпендикуляр екі қиылысатын түзу салынады. Бұл түзулер түзуге перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықты анықтайды, яғни қиюшы жазықтық көрсетіледі.

Осы жазықтықпен призманың кесіндісін тұрғызайық. Себебі түзу жазықтыққа параллель екенін ескеріңіз. Сонда түзу арқылы өтетін жазықтық жазықтықты түзуге параллель түзудің, яғни түзудің бойымен қиып өтеді. Нүкте арқылы түзу жүргізіп, алынған нүктені нүктемен қосамыз.

Төртбұрыш берілген кесінді. Оның ауданын анықтайық.

Төртбұрыштың тіктөртбұрыш, яғни оның ауданы екені түсінікті

күріш. 9

Көп қырлылардың жазықтықпен кесіндісі не деп аталатынын білесіз бе? Егер сіз осы сұраққа жауабыңыздың дұрыстығына әлі де күмәндансаңыз, өзіңізді оңай тексере аласыз. Төменде қысқаша сынақтан өтуді ұсынамыз.

Сұрақ. Параллелепипедтің жазықтықпен кесіндісін көрсететін фигураның нөмірі қандай?

Сонымен, дұрыс жауап 3-суретте берілген.

Егер сіз дұрыс жауап берсеңіз, бұл сіздің немен айналысып жатқаныңызды түсінгеніңізді растайды. Бірақ, өкінішке орай, тест сұрағына дұрыс жауап тіпті «Көп қырлы бөлімдер» тақырыбы бойынша сабақтарда ең жоғары баға алуға кепілдік бермейді. Ақыр соңында, ең қиын нәрсе - дайын сызбалардағы бөлімдерді тану емес, бірақ бұл өте маңызды, бірақ олардың құрылысы.

Алдымен көп қырлы қиманың анықтамасын тұжырымдаймыз. Сонымен, көпбұрыштың кесіндісі деп төбелері көпбұрыштың шеттерінде, ал қабырғалары оның беттерінде жататын көпбұрышты айтады.

Енді қиылысу нүктелерін тез және дәл салуға жаттығып көрейік берілген жазықтықпен берілген түзу. Ол үшін келесі есепті шығарайық.

M нүктесі CC 1 бүйір жиегіне, ал N нүктесі ВВ 1 жиегіне жататын жағдайда ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың төменгі және жоғарғы табандарының жазықтықтарымен MN түзуінің қиылысу нүктелерін тұрғызыңыз.

Сызбада MN түзуін екі жаққа да ұзартудан бастайық (1-сурет). Содан кейін есеппен талап етілетін қиылысу нүктелерін алу үшін үстіңгі және төменгі негізде жатқан сызықтарды ұзартамыз. Енді мәселені шешудің ең қиын сәті келеді: екі негіздегі сызықтарды ұзарту керек, өйткені олардың әрқайсысында үш сызық бар.

Құрылыстың соңғы сатысын дұрыс аяқтау үшін тікелей негіздердің қайсысы бізді қызықтыратын MN түзу сызығымен бір жазықтықта орналасқанын анықтау керек. Біздің жағдайда бұл төменгі жақтағы түзу CB және жоғарғы негіздегі C 1 B 1. Дәл осылар NM түзуімен қиылысқанша ұзартылады (2-сурет).

Алынған P және P 1 нүктелері MN түзуінің ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың жоғарғы және төменгі табандарының жазықтықтарымен қиылысу нүктелері болып табылады.

Ұсынылған мәселені талдағаннан кейін сіз тікелей көп қырлы бөліктерді салуға кірісе аласыз. Мұндағы негізгі мәселе қалаған нәтижеге жетуге көмектесетін ой-пікір болады. Нәтижесінде біз осы типтегі есептерді шешу кезінде әрекеттер тізбегін көрсететін үлгіні жасауға тырысамыз.

Сонымен, келесі мәселені қарастырайық. Сәйкесінше AA 1, AC және BB 1 қырларына жататын X, Y, Z нүктелері арқылы өтетін жазықтығы бар ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың кесіндісін сал.

Шешуі: Сызба сызып, бір жазықтықта қандай жұп нүктелер жатқанын анықтайық.

X және Y, X және Z нүктелерінің жұптарын қосуға болады, өйткені олар бір жазықтықта жатады.

Z нүктесімен бір беткейде жататын қосымша нүктені тұрғызайық. Ол үшін XY және CC 1 түзулерін кеңейтіңіз, өйткені олар AA 1 C 1 C бет жазықтығында жатады.Алынған нүктені Р деп атаймыз.

P және Z нүктелері бір жазықтықта - CC 1 B 1 B бетінің жазықтығында жатыр. Сондықтан оларды қосуға болады. PZ түзу сызығы CB шетін белгілі бір нүктеде қиып өтеді, оны T деп атаймыз. Y және T нүктелері призманың төменгі жазықтығында жатыр, оларды қосыңыз. Осылайша, YXZT төртбұрышы құрылды және бұл қалаған қима.

Қорытындылайық. Көпбұрыштың жазықтықпен кесіндісін салу үшін мынаны орындау керек:

1) бір жазықтықта жатқан жұп нүктелер арқылы түзулер жүргізу.

2) көпбұрыштың қима жазықтықтары мен беттері қиылысатын түзулерді табыңыз. Ол үшін беттердің бірінде жатқан түзумен қима жазықтығына жататын түзудің қиылысу нүктелерін табу керек.

Көп қырлылардың қималарын салу процесі күрделі, себебі ол әрбір нақты жағдайда әртүрлі. Және ешбір теория оны басынан аяғына дейін сипаттамайды. Шындығында, кез келген көп қырлылардың қималарын тез және дәл салуды үйренудің бір ғана сенімді жолы бар - бұл тұрақты тәжірибе. Сіз неғұрлым көп бөлімдерді құрастырсаңыз, болашақта мұны істеу оңайырақ болады.

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

Көп қырлылардың жазықтықпен кесіндісі не деп аталатынын білесіз бе? Егер сіз осы сұраққа жауабыңыздың дұрыстығына әлі де күмәндансаңыз, өзіңізді оңай тексере аласыз. Төменде қысқаша сынақтан өтуді ұсынамыз.

Сұрақ. Параллелепипедтің жазықтықпен кесіндісін көрсететін фигураның нөмірі қандай?

Сонымен, дұрыс жауап 3-суретте берілген.

Егер сіз дұрыс жауап берсеңіз, бұл сіздің немен айналысып жатқаныңызды түсінгеніңізді растайды. Бірақ, өкінішке орай, тест сұрағына дұрыс жауап тіпті «Көп қырлы бөлімдер» тақырыбы бойынша сабақтарда ең жоғары баға алуға кепілдік бермейді. Ақыр соңында, ең қиын нәрсе - дайын сызбалардағы бөлімдерді тану емес, бірақ бұл өте маңызды, бірақ олардың құрылысы.

Алдымен көп қырлы қиманың анықтамасын тұжырымдаймыз. Сонымен, көпбұрыштың кесіндісі деп төбелері көпбұрыштың шеттерінде, ал қабырғалары оның беттерінде жататын көпбұрышты айтады.

Енді қиылысу нүктелерін тез және дәл салуға жаттығып көрейік берілген жазықтықпен берілген түзу. Ол үшін келесі есепті шығарайық.

M нүктесі CC 1 бүйір жиегіне, ал N нүктесі ВВ 1 жиегіне жататын жағдайда ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың төменгі және жоғарғы табандарының жазықтықтарымен MN түзуінің қиылысу нүктелерін тұрғызыңыз.

Сызбада MN түзуін екі жаққа да ұзартудан бастайық (1-сурет). Содан кейін есеппен талап етілетін қиылысу нүктелерін алу үшін үстіңгі және төменгі негізде жатқан сызықтарды ұзартамыз. Енді мәселені шешудің ең қиын сәті келеді: екі негіздегі сызықтарды ұзарту керек, өйткені олардың әрқайсысында үш сызық бар.

Құрылыстың соңғы сатысын дұрыс аяқтау үшін тікелей негіздердің қайсысы бізді қызықтыратын MN түзу сызығымен бір жазықтықта орналасқанын анықтау керек. Біздің жағдайда бұл төменгі жақтағы түзу CB және жоғарғы негіздегі C 1 B 1. Дәл осылар NM түзуімен қиылысқанша ұзартылады (2-сурет).

Алынған P және P 1 нүктелері MN түзуінің ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың жоғарғы және төменгі табандарының жазықтықтарымен қиылысу нүктелері болып табылады.

Ұсынылған мәселені талдағаннан кейін сіз тікелей көп қырлы бөліктерді салуға кірісе аласыз. Мұндағы негізгі мәселе қалаған нәтижеге жетуге көмектесетін ой-пікір болады. Нәтижесінде біз осы типтегі есептерді шешу кезінде әрекеттер тізбегін көрсететін үлгіні жасауға тырысамыз.

Сонымен, келесі мәселені қарастырайық. Сәйкесінше AA 1, AC және BB 1 қырларына жататын X, Y, Z нүктелері арқылы өтетін жазықтығы бар ABCA 1 B 1 C 1 үшбұрышты призманың кесіндісін сал.

Шешуі: Сызба сызып, бір жазықтықта қандай жұп нүктелер жатқанын анықтайық.

X және Y, X және Z нүктелерінің жұптарын қосуға болады, өйткені олар бір жазықтықта жатады.

Z нүктесімен бір беткейде жататын қосымша нүктені тұрғызайық. Ол үшін XY және CC 1 түзулерін кеңейтіңіз, өйткені олар AA 1 C 1 C бет жазықтығында жатады.Алынған нүктені Р деп атаймыз.

P және Z нүктелері бір жазықтықта - CC 1 B 1 B бетінің жазықтығында жатыр. Сондықтан оларды қосуға болады. PZ түзу сызығы CB шетін белгілі бір нүктеде қиып өтеді, оны T деп атаймыз. Y және T нүктелері призманың төменгі жазықтығында жатыр, оларды қосыңыз. Осылайша, YXZT төртбұрышы құрылды және бұл қалаған қима.

Қорытындылайық. Көпбұрыштың жазықтықпен кесіндісін салу үшін мынаны орындау керек:

1) бір жазықтықта жатқан жұп нүктелер арқылы түзулер жүргізу.

2) көпбұрыштың қима жазықтықтары мен беттері қиылысатын түзулерді табыңыз. Ол үшін беттердің бірінде жатқан түзумен қима жазықтығына жататын түзудің қиылысу нүктелерін табу керек.

Көп қырлылардың қималарын салу процесі күрделі, себебі ол әрбір нақты жағдайда әртүрлі. Және ешбір теория оны басынан аяғына дейін сипаттамайды. Шындығында, кез келген көп қырлылардың қималарын тез және дәл салуды үйренудің бір ғана сенімді жолы бар - бұл тұрақты тәжірибе. Сіз неғұрлым көп бөлімдерді құрастырсаңыз, болашақта мұны істеу оңайырақ болады.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Тапсырманың өзі әдетте келесідей естіледі: «Кесінді фигураның табиғи көрінісін құру». Әрине, біз бұл мәселені шетте қалдырмауды шештік және мүмкіндігінше көлбеу қиманың қалай салынғанын түсіндіруге тырыстық.

Көлбеу қиманың қалай салынғанын түсіндіру үшін мен бірнеше мысалдар келтіремін. Мен, әрине, мысалдардың күрделілігін біртіндеп арттыра отырып, қарапайымдардан бастаймын. Секциялық сызбалардың осы мысалдарын талдағаннан кейін сіз оның қалай жасалғанын түсінесіз және оқу тапсырмаңызды өзіңіз орындай аласыз деп үміттенемін.

Өлшемдері 40x60x80 мм болатын «кірпішті» және ерікті көлбеу жазықтықты қарастырайық. Кесу жазықтығы оны 1-2-3-4 нүктелерінде кеседі. Менің ойымша, бұл жерде бәрі түсінікті.

Кесінді фигураның табиғи көрінісін құруға көшейік.
1. Ең алдымен қима осін сызайық. Ось қима жазықтығына параллель жүргізілуі керек - негізгі көріністе жазықтық проекцияланатын сызыққа параллель - әдетте негізгі көріністе тапсырма орындалады. көлбеу қиманың құрылысы(Одан әрі мен әрқашан негізгі көріністі атап өтемін, бұл әрқашан оқу сызбаларында болатынын есте ұстаймын).
2. Осьте қиманың ұзындығын саламыз. Менің сызбамда ол L деп белгіленген. L өлшемі негізгі көріністе анықталады және бөліктің бөлікке кіру нүктесінен одан шығу нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең.
3. Алынған екі нүктеден оське перпендикуляр, осы нүктелердегі қиманың енін саламыз. Бөлімге кіру нүктесінде және бөліктен шығу нүктесіндегі қиманың енін жоғарғы көріністе анықтауға болады. Бұл жағдайда 1-4 және 2-3 сегменттерінің екеуі де 60 мм-ге тең. Жоғарыдағы суреттен көріп отырғаныңыздай, қиманың шеттері түзу, сондықтан біз 1-2-3-4 тіктөртбұрышын аламыз, нәтижесінде екі сегментті біріктіреміз. Бұл біздің кірпіштің көлденең қимасының көлбеу жазықтықтағы табиғи көрінісі.

Енді өз бөлімімізді күрделендірейік. 120x80x20 мм негізге кірпіш қойып, фигураға қатайтатын қабырғаларды қосамыз. Кесу жазықтығы фигураның барлық төрт элементінен (негіз, кірпіш және екі қатайтқыш арқылы) өтетіндей етіп саламыз. Төмендегі суретте сіз осы бөліктің үш көрінісін және шынайы бейнесін көре аласыз.

Осы көлбеу бөліктің табиғи көрінісін құруға тырысайық. Қайтадан қима осінен бастайық: оны негізгі көріністе көрсетілген қима жазықтығына параллель сызыңыз. Оған кесіндінің ұзындығын А-Е-ге тең етіп саламыз. А нүктесі - бөліктің бөлікке кіру нүктесі, ал нақты жағдайда кесіндінің негізге кіру нүктесі. Негізден шығу нүктесі В нүктесі болып табылады. Бөлім осінде В нүктесін белгілеңіз. Сол сияқты, біз кіру және шығу нүктелерін шетіне, «кірпішке» және екінші шетіне белгілейміз. А және В нүктелерінен оське перпендикуляр, біз негіздің еніне тең сегменттерді саламыз (осьтен әр бағытта 40, барлығы 80 мм). Ең шеткі нүктелерді қосамыз - біз тіктөртбұрыш аламыз, ол бөліктің негізінің табиғи көлденең қимасы болып табылады.

Енді бөліктің шетінің бөлігі болып табылатын бөліктің бір бөлігін салу уақыты келді. B және C нүктелерінен біз әр бағытта 5 мм перпендикулярларды саламыз - біз 10 мм сегменттерді аламыз. Ең шеткі нүктелерді біріктіріп, қабырғаның бір бөлігін алайық.

C және D нүктелерінен біз «кірпіштің» еніне тең перпендикуляр сегменттерді саламыз - осы сабақтың бірінші мысалына толығымен ұқсас.

Екінші жиектің еніне тең D және Е нүктелерінен перпендикулярларды шетке қойып, шеткі нүктелерді қоса отырып, оның кесіндісінің табиғи көрінісін аламыз.

Алынған бөліктің жеке элементтері арасындағы секіргіштерді өшіріп, көлеңкелеуді қолдану ғана қалады. Ол келесідей көрінуі керек:

Егер фигураны берілген бөлікке бөлсек, келесі көріністі көреміз:

Алгоритмді сипаттайтын жалықтыратын абзацтар сізді қорқытпайды деп үміттенемін. Жоғарыда айтылғандардың барлығын оқып, әлі де толық түсінбесеңіз, көлбеу қиманы қалай салу керек, Мен сізге қағаз парағы мен қарындашты алып, меннен кейін барлық қадамдарды қайталауға тырысуға кеңес беремін - бұл материалды үйренуге 100% дерлік көмектеседі.

Мен бірде осы мақаланың жалғасын беруге уәде бердім. Ақырында, мен сізге үй тапсырмасы деңгейіне жақын бөліктің көлбеу бөлігін кезең-кезеңімен салуды ұсынуға дайынмын. Сонымен қатар, көлбеу қима үшінші көріністе анықталады (көлбеу қима сол жақта анықталады)

немесетелефон нөмірімізді жазып, достарыңызға біз туралы айтыңыз - біреу сызбаларды аяқтаудың жолын іздеп жатқан шығар

немесеПарақшаңызға немесе блогыңызға біздің сабақтарымыз туралы жазба жасаңыз - сонда басқа біреу сурет салуды меңгере алады.

Иә, бәрі жақсы, бірақ мен, мысалы, фаскалармен және конус тәрізді саңылаумен күрделірек бөлікте дәл осындай нәрсені қалай жасау керектігін көргім келеді.

Рақмет сізге. Секцияларда қатайтатын қабырғалар сызылған жоқ па?
Дәл. Олар балапаннан шықпайтындар. Өйткені бұл кесулерді жасаудың жалпы ережелері. Дегенмен, олар әдетте аксонометриялық проекцияларда кесулерді жасағанда көлеңкеленеді - изометрия, диметрия және т.б. Көлбеу секцияларды жасағанда, қатайтқышқа қатысты аймақ та көлеңкеленген.

Рахмет, өте қолжетімді. Айтыңызшы, көлбеу бөлімді жоғарғы көріністе жасауға болады ма, егер солай болса, мен қарапайым мысалды көргім келеді.

Мұндай бөлімдерді жасауға болады. Бірақ, өкінішке орай, менде дәл қазір мысал жоқ. Тағы бір қызық жайт бар: бір жағынан, онда жаңа ештеңе жоқ, бірақ екінші жағынан, іс жүзінде мұндай бөлімдерді салу қиынырақ. Белгілі бір себептермен бәрі басына шатаса бастайды және студенттердің көпшілігі қиындықтарға тап болады. Бірақ берілме!

Ия, бәрі жақсы, бірақ мен дәл осылай жасалғанын көргім келеді, бірақ тесіктермен (арқылы және арқылы емес), әйтпесе олар ешқашан бастағы эллипске айналмайды.

маған күрделі мәселеге көмектесіңіз

Бұл жерде жазғаныңыз өкінішті. Егер сіз бізге электрондық пошта арқылы хат жазсаңыз, бізде бәрін талқылауға уақыт болуы мүмкін.

Жақсы түсіндіресіз. Бөлшектің бір жағы жартылай шеңберлі болса ше? Сондай-ақ бөлікте тесіктер бар.

Илья, «Цилиндрдің көлбеу жазықтықпен қимасы» сызба геометрия тарауындағы сабақты пайдаланыңыз. Оның көмегімен сіз саңылаулармен (олар да цилиндрлер) және жартылай шеңберлі жағымен не істеу керектігін анықтай аласыз.

Мақала үшін авторға алғыс айтамын, ол 20 жыл бұрын мен ғылымның гранитін кемірдім, қазір мен ұлыма көмектесіп жатырмын. Мен көп нәрсені ұмытып кеттім, бірақ сіздің мақалаңыз тақырыптың түбегейлі түсінігін берді, мен цилиндрдің көлбеу бөлігін анықтаймын.)

Пікіріңізді қосыңыз.

Бүгін біз қалай екенін тағы да қарастырамыз тетраэдрдің жазықтықпен қимасын салу.
Ең қарапайым жағдайды (міндетті деңгей) қарастырайық, бұл кезде қима жазықтығының 2 нүктесі бір бетке, ал үшінші нүктесі екінші бетке жатады.

Еске сала кетейік бөлімдерді құру алгоритміосы түрдегі (жағдай: 2 ұпай бір бетке жатады).

1. Біз қима жазықтығының 2 нүктесін қамтитын бетті іздейміз. Бір бетінде жатқан екі нүкте арқылы түзу сызыңыз. Оның тетраэдр шеттерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Түзу сызықтың бетке бітетін бөлігі кесіндінің жағы болып табылады.

2. Көпбұрышты жабуға болатын болса, қима салынған. Егер жабу мүмкін болмаса, онда тұрғызылған түзудің қиылысу нүктесі мен үшінші нүктені қамтитын жазықтықты табамыз.

1. Е және F нүктелері бір жақта жатқанын көреміз (BCD), жазықтықта EF түзуін жүргіземіз (BCD).
2. EF түзуінің BD тетраэдрінің шетімен қиылысу нүктесін табайық, бұл Н нүктесі.
3. Енді EF түзуінің және үшінші G нүктесі бар жазықтықтың қиылысу нүктесін табу керек, яғни. жазықтық (ADC).
CD түзу сызығы (ADC) және (BDC) жазықтықтарында жатыр, яғни ол EF түзуін қиып өтеді, ал K нүктесі EF түзуінің және жазықтықтың (ADC) қиылысу нүктесі болып табылады.
4. Әрі қарай бір жазықтықта жатқан тағы екі нүктені табамыз. Бұл G және K нүктелері, екеуі де сол жақ беттің жазықтығында жатыр. Біз GK сызығын жүргіземіз және осы сызық тетраэдрдің шеттерін қиып өтетін нүктелерді белгілейміз. Бұл M және L нүктелері.
4. Бөлімді «жабу» қалады, яғни бір бетінде жатқан нүктелерді қосу. Бұл M және H нүктелері, сонымен қатар L және F. Бұл кесінділердің екеуі де көрінбейді, біз оларды нүктелі сызықпен жүргіземіз.

Көлденең қимасы төртбұрышты MHFL болып шықты. Оның барлық шыңдары тетраэдрдің шеттерінде жатыр. Алынған бөлімді таңдайық.

Енді тұжырымдап көрейік дұрыс құрастырылған бөлімнің «қасиеттері»:

1. Көпбұрыштың қима болып табылатын барлық төбелері тетраэдрдің (параллелепипед, көпбұрыш) шеттерінде жатыр.

2. Қиманың барлық жақтары көпбұрыштың беттерінде жатыр.
3. Көпбұрыштың әрбір бетінде қиманың бір жағынан артық емес (бір немесе жоқ!) болуы мүмкін