Ал ежелгі мысырлықтар әртүрлі фигуралардың аудандарын есептеу үшін біздің әдістерге ұқсас әдістерді қолданған.
Менің кітаптарымда «Бастаулар»Атақты ежелгі грек математигі Евклид көптеген геометриялық фигуралардың аудандарын есептеудің көптеген әдістерін сипаттады. Ресейде геометриялық мәліметтері бар алғашқы қолжазбалар 16 ғасырда жазылған. Олар әртүрлі пішіндегі фигуралардың аудандарын табу ережелерін сипаттайды.
Бүгінгі таңда заманауи әдістерді қолдана отырып, сіз кез келген фигураның ауданын үлкен дәлдікпен таба аласыз.
Ең қарапайым фигуралардың бірі – тіктөртбұрышты және оның ауданын табу формуласын қарастырайық.
Тіктөртбұрыш ауданының формуласы
Қабырғалары $1$см болатын бір шаршының ауданы $1\см^2 деп жазылатын $8$ шаршылардан тұратын фигураны қарастырайық (1-сурет). $.
Бұл фигураның ауданы (1-сурет) $8\см^2$ тең болады.
Қабырғасы $1\ см$ болатын бірнеше шаршыға бөлуге болатын фигураның ауданы (мысалы, $p$) $p\ см^2$ тең болады.
Басқаша айтқанда, фигураның ауданы $1\см$ болатын қанша шаршыға бөлуге болатынына сонша $см^2$ тең болады.
Тіктөртбұрышты қарастырайық (2-сурет), ол $3$ жолақтардан тұрады, олардың әрқайсысы $1\ см$ қабырғасы бар $5$ шаршыларға бөлінген. бүкіл төртбұрыш $5\cdot 3=15$ осындай квадраттардан тұрады және оның ауданы $15\см^2$.
1-сурет.
2-сурет.
Фигуралар ауданы әдетте $S$ әрпімен белгіленеді.
Тіктөртбұрыштың ауданын табу үшін оның ұзындығын еніне көбейту керек.
Егер оның ұзындығын $a$ әрпімен, ал енін $b$ әрпімен белгілесек, онда тіктөртбұрыштың ауданының формуласы келесідей болады:
Анықтама 1
Фигуралар деп аталады теңегер бір-бірінің үстіне қойылған кезде сандар сәйкес келсе. Бірдей фигуралардың аудандары мен периметрлері бірдей.
Фигураның ауданын оның бөліктерінің аудандарының қосындысы ретінде табуға болады.
1-мысал
Мысалы, $3$ суретінде $ABCD$ төртбұрышы $KLMN$ сызығы бойынша екі бөлікке бөлінген. Бір бөліктің ауданы $12\ см^2$, ал екіншісі $9\см^2$. Сонда $ABCD$ тіктөртбұрышының ауданы $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$ тең болады. Формула арқылы төртбұрыштың ауданын табыңыз:
Көріп отырғаныңыздай, екі әдіспен табылған аудандар тең.
3-сурет.
4-сурет.
$AC$ кесіндісі тіктөртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: $ABC$ және $ADC$. Бұл әрбір үшбұрыштың ауданы бүкіл тіктөртбұрыштың жартысына тең екенін білдіреді.
Анықтама 2
Қабырғалары тең тіктөртбұрыш деп аталады шаршы.
Егер шаршының қабырғасын $a$ әрпімен белгілесек, онда шаршының ауданы мына формуламен табылады:
Осыдан $a$ санының квадраты аталды.
2-мысал
Мысалы, шаршының қабырғасы $5$ см болса, онда оның ауданы:
Томдар
Сауда мен құрылыстың дамуымен, тіпті ежелгі өркениеттер дәуірінде де көлемді табу қажеттілігі туындады. Математикада стереометрия деп аталатын кеңістіктік фигураларды зерттейтін геометрияның бір бөлімі бар. Математиканың бұл бөлек саласы туралы ескертулер біздің эрамызға дейінгі $IV$ ғасырда табылған.
Ежелгі математиктер қарапайым фигуралардың көлемін есептеу әдісін жасады - текше мен параллелепипед. Сол кездегі барлық ғимараттар осындай пішінде болды. Бірақ күрделі фигуралардың фигураларының көлемін есептеудің кейінірек әдістері табылды.
Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі
Егер сіз пішінді дымқыл құммен толтырсаңыз, содан кейін оны аударсаңыз, сіз көлеммен сипатталатын үш өлшемді фигураны аласыз. Бір қалыпты пайдаланып осындай бірнеше фигураларды жасасаңыз, көлемі бірдей фигуралар аласыз. Егер сіз пішінді сумен толтырсаңыз, онда судың көлемі мен құм фигурасының көлемі де тең болады.
5-сурет.
Бір ыдысқа су құйып, екінші ыдысқа құю арқылы екі ыдыстың көлемін салыстыруға болады. Егер екінші ыдыс толығымен толтырылған болса, онда ыдыстардың көлемі бірдей болады. Егер бірінші ыдыста су қалса, онда бірінші ыдыстың көлемі екіншісінің көлемінен үлкен болады. Егер бірінші ыдыстан суды құйған кезде екінші ыдысты толық толтыру мүмкін болмаса, онда бірінші ыдыстың көлемі екінші ыдыстың көлемінен аз болады.
Көлем келесі өлшем бірліктері арқылы өлшенеді:
$mm^3$ -- текше миллиметр,
$см^3$ -- текше сантиметр,
$дм^3$ -- текше дециметр,
$m^3$ -- текше метр,
$km^3$ -- текше километр.
Жалпы шолу. Стереометриялық формулалар!
Сәлем, қымбатты достар! Бұл мақалада мен стереометрия мәселелеріне жалпы шолу жасауды шештім Математикадан бірыңғай мемлекеттік емтихане. Бұл топтың тапсырмалары әртүрлі, бірақ қиын емес екенін айту керек. Бұл геометриялық шамаларды: ұзындықтарды, бұрыштарды, аудандарды, көлемдерді табуға арналған есептер.
Қарастырылған: текше, куб тәрізді, призма, пирамида, құрама көпбұрыш, цилиндр, конус, шар. Өкінішке орай, кейбір түлектер емтихан кезінде мұндай мәселелерді шешпейді, бірақ олардың 50% -дан астамы жай ғана, дерлік ауызша шешіледі.
Қалғандары аз күш-жігерді, білім мен арнайы техниканы қажет етеді. Болашақ мақалаларда біз осы тапсырмаларды қарастырамыз, оны жіберіп алмаңыз, блог жаңартуларына жазылыңыз.
Шешу үшін білу керек бетінің аудандары мен көлемінің формулаларыпараллелепипед, пирамида, призма, цилиндр, конус және шар. Ешқандай қиын мәселелер жоқ, олардың барлығы 2-3 қадаммен шешіледі, қандай формуланы қолдану керектігін «көру» маңызды.
Барлық қажетті формулалар төменде берілген:
Шар немесе шар. Сфералық немесе сфералық бет (кейде жай шар) бір нүктеден – шардың ортасынан бірдей қашықтықта орналасқан кеңістіктегі нүктелердің геометриялық локусы болып табылады.
Шардың көлемітабаны шардың бетімен бірдей ауданы бар пирамиданың көлеміне тең, ал биіктігі шардың радиусы
Шардың көлемі оның айналасында сызылған цилиндрдің көлемінен бір жарым есе аз.
Дөңгелек конусты тікбұрышты үшбұрышты оның бір катетінің айналасында айналдыру арқылы алуға болады, сондықтан дөңгелек конусты айналу конусы деп те атайды. Сондай-ақ дөңгелек конустың бетінің ауданын қараңыз
Дөңгелек конустың көлемі S базис ауданы мен H биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең:
(H – текше жиегінің биіктігі)
Параллелепипед – табаны параллелограмм болатын призма. Параллелепипедтің алты беті бар және олардың барлығы параллелограммдар. Төрт бүйір беті тіктөртбұрышты параллелепипед түзу параллелепипед деп аталады. Алты беті тіктөртбұрыштардан тұратын тік бұрышты параллелепипед тікбұрыш деп аталады.
Тік бұрышты параллелепипедтің көлемінегіз ауданы мен биіктіктің көбейтіндісіне тең:
(S – пирамида табанының ауданы, h – пирамиданың биіктігі)
Пирамида – көп қырлы, оның бір беті – пирамиданың табаны – ерікті көпбұрыш, ал қалғандары – бүйір беттері – пирамиданың төбесі деп аталатын ортақ төбесі бар үшбұрыштар.
Пирамиданың табанына параллель кесінді пирамиданы екі бөлікке бөледі. Пирамиданың оның табаны мен осы бөлігінің арасындағы бөлігі кесілген пирамида болып табылады.
Кесілген пирамиданың көлемібиіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең h(OS)жоғарғы табанының аудандарының қосындысы бойынша S1 (abcde), кесілген пирамиданың төменгі табаны S2 (ABCDE)және олардың арасындағы орташа пропорционал.
| 1. | В= |
n – дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының саны – дұрыс пирамиданың табандары
а – дұрыс көпбұрыштың қабырғасы – дұрыс пирамиданың табаны
h – дұрыс пирамиданың биіктігі
Тұрақты үшбұрышты пирамида – көп қырлы, оның бір беті – пирамиданың табаны – дұрыс үшбұрыш, ал қалғандары – бүйір беттері – төбесі ортақ тең үшбұрыштар. Биіктігі жоғарыдан негіздің ортасына түседі.
Дұрыс үшбұрышты пирамиданың көлемінегізі болып табылатын дұрыс үшбұрыштың ауданы көбейтіндісінің үштен біріне тең S (ABC)биіктікке h(OS)
а – дұрыс үшбұрыштың қабырғасы – дұрыс үшбұрышты пирамиданың табаны
h – дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі
Тетраэдр көлемінің формуласын шығару
Тетраэдрдің көлемі пирамида көлемінің классикалық формуласы арқылы есептеледі. Тетраэдрдің биіктігін және дұрыс (теңбүйірлі) үшбұрыштың ауданын ауыстыру қажет.
Тетраэдрдің көлемі- бөлгіштегі екінің квадрат түбірі он екі болатын бөлшекке тетраэдр жиегінің ұзындығының кубына көбейтілген бөлшекке тең.
(h – ромбтың қабырғасының ұзындығы)
Шеңбер бшамамен үш бүтін және шеңбер диаметрінің ұзындығының жетінші бөлігін құрайды. Шеңбер шеңберінің оның диаметріне дәл қатынасы грек әрпімен көрсетілген π
Нәтижесінде шеңбердің немесе шеңбердің периметрі формула арқылы есептеледі
| π r n |
(r – доғаның радиусы, n – доғаның орталық бұрышы градус).
Кез келген геометриялық денені бетінің ауданы (S) және көлемі (V) арқылы сипаттауға болады. Ауданы мен көлемі бірдей нәрсе емес. Нысанның салыстырмалы түрде шағын V және үлкен S болуы мүмкін, мысалы, адамның миы осылай жұмыс істейді. Қарапайым геометриялық фигуралар үшін бұл көрсеткіштерді есептеу әлдеқайда оңай.
Параллелепипед: анықтамасы, түрлері және қасиеттері
Параллелепипед – табанында параллелограммы бар төртбұрышты призма. Фигураның көлемін табу формуласы не үшін қажет болуы мүмкін? Күнделікті өмірден алынған кітаптар, орауыш қораптар және басқа да көптеген заттар ұқсас пішінге ие. Тұрғын үй және кеңсе ғимараттарындағы бөлмелер, әдетте, тікбұрышты параллелепипедтер. Желдетуді, кондиционерді орнату және бөлмедегі қыздыру элементтерінің санын анықтау үшін бөлменің көлемін есептеу қажет.
Фигураның 6 беті бар - параллелограммдар және 12 шеттері ерікті түрде таңдалған беттер деп аталады; Параллелепипедтің бірнеше түрі болуы мүмкін. Айырмашылықтар іргелес жиектер арасындағы бұрыштарға байланысты. Әртүрлі көпбұрыштардың V-терін табу формулалары сәл өзгеше.
Егер геометриялық фигураның 6 беті тіктөртбұрыш болса, оны тікбұрыш деп те атайды. Куб - барлық 6 беті тең квадрат болатын параллелепипедтің ерекше жағдайы. Бұл жағдайда V табу үшін тек бір қабырғасының ұзындығын тауып, оны үшінші дәрежеге көтеру керек.
Есептерді шешу үшін тек дайын формулаларды ғана емес, фигураның қасиеттерін де білу қажет. Тікбұрышты призманың негізгі қасиеттерінің тізімі шағын және түсінуге өте оңай:
- Фигураның қарама-қарсы жақтары тең және параллель. Бұл қарама-қарсы орналасқан қабырғалардың ұзындығы мен көлбеу бұрышы бірдей екенін білдіреді.
- Оң жақ параллелепипедтің барлық бүйір беттері тіктөртбұрыштар.
- Геометриялық фигураның төрт негізгі диагоналы бір нүктеде қиылысады және онымен екіге бөлінеді.
- Параллелепипед диагоналының квадраты фигураның өлшемдерінің квадраттарының қосындысына тең (Пифагор теоремасы бойынша).
Пифагор теоремасытікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына салынған квадраттардың аудандарының қосындысы сол үшбұрыштың гипотенузасына салынған үшбұрыштың ауданына тең екенін айтады.
Соңғы мүліктің дәлелін төмендегі суреттен көруге болады. Мәселені шешу процесі қарапайым және егжей-тегжейлі түсініктемелерді қажет етпейді.
Тік бұрышты параллелепипедтің көлемінің формуласы
Геометриялық фигуралардың барлық түрлерін табу формуласы бірдей: V=S*h, мұндағы V – қажетті көлем, S – параллелепипед табанының ауданы, h – қарама-қарсы төбеден түсірілген биіктік және негізіне перпендикуляр. Тіктөртбұрышта h фигураның қабырғаларының бірімен сәйкес келеді, сондықтан тікбұрышты призманың көлемін табу үшін үш өлшемді көбейту керек.
Көлем әдетте см3-де көрсетіледі. a, b және c мәндерінің барлық үш мәнін білу, фигураның көлемін табу қиын емес. Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы ең көп таралған есеп түрі - параллелепипедтің көлемін немесе диагоналін табу. Тіктөртбұрыштың көлемінің формуласынсыз көптеген стандартты Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларын шешу мүмкін емес. Тапсырманың мысалы және оны шешудің дизайны төмендегі суретте көрсетілген.
Ескерту 1. Тіктөртбұрышты призманың бетінің ауданын фигураның үш бетінің аудандарының қосындысын 2-ге көбейту арқылы табуға болады: негізі (ab) және екі іргелес бүйір беттері (bc + ac).
Ескерту 2. Бүйірлік беттердің бетінің ауданын негіздің периметрін параллелепипедтің биіктігіне көбейту арқылы оңай анықтауға болады.
Параллелепипедтердің бірінші қасиетіне негізделген АВ = А1В1, ал беті B1D1 = BD. Пифагор теоремасының қорытындылары бойынша тікбұрышты үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180°, ал 30° бұрышқа қарама-қарсы катет гипотенузаға тең. Осы білімді үшбұрышқа қолдана отырып, АВ және AD қабырғаларының ұзындығын оңай таба аламыз. Содан кейін алынған мәндерді көбейтіп, параллелепипедтің көлемін есептейміз.
Көлбеу параллелепипедтің көлемін табу формуласы
Көлбеу параллелепипедтің көлемін табу үшін фигураның табанының ауданын қарама-қарсы бұрыштан берілген табанға түсірілген биіктікке көбейту керек.
Осылайша, қажетті V h түрінде ұсынылуы мүмкін - S базалық ауданы бар парақтар саны, сондықтан палубаның көлемі барлық карталардың Vs-інен тұрады.
Есептерді шешу мысалдары
Бірыңғай емтиханның тапсырмалары белгілі бір уақыт ішінде орындалуы керек. Типтік есептер, әдетте, көп есептеулер мен күрделі бөлшектерді қамтымайды. Көбінесе оқушыдан дұрыс емес геометриялық фигураның көлемін қалай табуға болатынын сұрайды. Мұндай жағдайларда жалпы көлем құрамдас бөліктердің Vs қосындысына тең болатын қарапайым ережені есте сақтау керек.
Жоғарыдағы суреттегі мысалдан көріп отырғаныңыздай, мұндай есептерді шешуде қиын ештеңе жоқ. Күрделі бөлімдердің тапсырмалары Пифагор теоремасын және оның салдарын, сондай-ақ фигураның диагоналінің ұзындығының формуласын білуді талап етеді. Тест тапсырмаларын сәтті шешу үшін типтік тапсырмалар үлгілерімен алдын ала танысу жеткілікті.
«А алу» бейне курсы 60-65 баллмен математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханды сәтті тапсыруға қажетті барлық тақырыптарды қамтиды. Математикадан профильді бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-13 барлық тапсырмаларын орындаңыз. Сондай-ақ математикадан Базалық Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыруға жарамды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханды 90-100 баллмен тапсырғыңыз келсе, 1 бөлімді 30 минутта қатесіз шешуіңіз керек!
10-11 сыныптарға, сондай-ақ мұғалімдерге арналған Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық курсы. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 1-бөлігін (алғашқы 12 есеп) және 13-есепті (тригонометрия) шешу үшін қажет нәрсенің бәрі. Ал бұл Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы 70 ұпайдан жоғары және оларсыз 100 баллдық студент те, гуманитарлық пәннің студенті де істей алмайды.
Барлық қажетті теория. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның жылдам шешімдері, қателері мен құпиялары. FIPI тапсырмалар банкінен 1-бөлімнің барлық ағымдағы тапсырмалары талданды. Курс 2018 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханның талаптарына толығымен сәйкес келеді.
Курс әрқайсысы 2,5 сағаттан тұратын 5 үлкен тақырыпты қамтиды. Әрбір тақырып нөлден бастап, қарапайым және түсінікті түрде беріледі.
Жүздеген Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмалары. Сөздік есептер және ықтималдықтар теориясы. Есептерді шешудің қарапайым және есте сақтау оңай алгоритмдері. Геометрия. Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларының барлық түрлеріне теория, анықтамалық материал, талдау. Стереометрия. Күрделі шешімдер, пайдалы парақтар, кеңістіктік қиялды дамыту. Тригонометрия нөлден есеп 13. Тығыздау орнына түсіну. Күрделі ұғымдарды нақты түсіндіру. Алгебра. Түбірлер, дәрежелер және логарифмдер, функция және туынды. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның 2-бөлімінің күрделі есептерін шешуге негіз.