Трапецияның орта сызығының ұзындығының формуласы. Трапецияның ортаңғы сызығы

Трапецияның ауданы. Сәлем! Бұл жарияланымда біз осы формуланы қарастырамыз. Неліктен ол дәл солай және оны қалай түсінуге болады. Түсіну болса, оны үйретудің қажеті жоқ. Егер сіз жай ғана осы формуланы және шұғыл түрде қарағыңыз келсе, онда сіз бірден бетті төмен айналдыра аласыз))

Енді егжей-тегжейлі және ретімен.

Трапеция төртбұрыш, осы төртбұрыштың екі қабырғасы параллель, қалған екеуі параллель емес. Параллель еместер трапецияның табандары болып табылады. Қалған екеуі тараптар деп аталады.

Егер қабырғалары тең болса, онда трапеция тең қабырғалы деп аталады. Егер қабырғалардың біреуі табандарына перпендикуляр болса, онда мұндай трапеция тікбұрышты деп аталады.

Классикалық түрінде трапеция келесідей бейнеленген - үлкенірек негіз төменгі жағында, сәйкесінше кішірек жоғарғы жағында. Бірақ оны және керісінше бейнелеуге ешкім тыйым салмайды. Міне эскиздер:

Келесі маңызды тұжырымдама.

Трапецияның ортаңғы сызығы - қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді. Ортаңғы сызық трапеция табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең.

Енді тереңірек үңілейік. Неліктен бұлай?

Негіздері бар трапецияны қарастырайық а және бжәне ортаңғы сызықпен л, және кейбір қосымша конструкцияларды орындайық: табандар арқылы түзу сызықтарды, ал ортаңғы сызықтың ұштары арқылы табандармен қиылысқанша перпендикулярларды сызыңыз:

*Шыңдардың және басқа нүктелердің әріптік белгілері қажетсіз белгілеулерді болдырмау үшін әдейі қосылмаған.

Қараңдаршы, 1 және 2 үшбұрыштар үшбұрыштардың екінші теңдік белгісі бойынша тең, 3 және 4 үшбұрыштар бірдей. Үшбұрыштардың теңдігінен элементтердің, атап айтқанда, катеттердің теңдігі шығады (олар сәйкесінше көк және қызыл түспен белгіленген).

Енді назар аударыңыз! Егер біз көк және қызыл сегменттерді төменгі негізден ойша «қиып алсақ», онда бізде ортаңғы сызыққа тең сегмент (бұл тіктөртбұрыштың жағы) қалады. Әрі қарай, егер біз кесілген көк және қызыл сегменттерді трапецияның жоғарғы негізіне «жабыстырып» алсақ, біз трапецияның орта сызығына тең сегментті (бұл да тіктөртбұрыштың жағы) аламыз.

Түсінді ме? Негіздердің қосындысы трапецияның екі ортаңғы сызығына тең болады екен:

Басқа түсініктемені қараңыз

Мынаны орындайық – трапецияның төменгі табаны арқылы өтетін түзу және А және В нүктелері арқылы өтетін түзу салу:

Біз 1 және 2 үшбұрыштарды аламыз, олар бүйірлік және іргелес бұрыштар бойымен тең (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі). Бұл алынған сегменттің (эскизде ол көк түспен көрсетілген) трапецияның жоғарғы негізіне тең екенін білдіреді.

Енді үшбұрышты қарастырайық:

*Осы трапецияның ортаңғы сызығы мен үшбұрыштың орта сызығы сәйкес келеді.

Үшбұрыш оған параллель табанының жартысына тең екені белгілі, яғни:

Жарайды, біз түсіндік. Енді трапеция ауданы туралы.

Трапецияның ауданы формуласы:

Олар айтады: трапецияның ауданы оның табандары мен биіктігінің қосындысының жартысына көбейтіндісіне тең.

Яғни, ол орталық сызық пен биіктіктің көбейтіндісіне тең болады:

Сіз мұның анық екенін байқаған боларсыз. Мұны геометриялық түрде былай көрсетуге болады: егер біз трапециядан 2 және 4 үшбұрыштарды ойша қиып алып, сәйкесінше 1 және 3 үшбұрыштарға орналастырсақ:

Содан кейін біз трапецияның ауданына тең тіктөртбұрыш аламыз. Бұл тіктөртбұрыштың ауданы орталық сызық пен биіктіктің көбейтіндісіне тең болады, яғни мынаны жаза аламыз:

Бірақ бұл жерде мәселе жазуда емес, әрине, түсінуде.

Мақала материалын *pdf форматында жүктеп алыңыз (қараңыз).

Бар болғаны. Сізге сәттілік!

Құрметпен, Александр.

Бұл мақалада біз трапецияның қасиеттерін мүмкіндігінше толық көрсетуге тырысамыз. Атап айтқанда, трапецияның жалпы сипаттамалары мен қасиеттері, сонымен қатар трапецияға сызылған трапеция мен шеңбердің қасиеттері туралы айтатын боламыз. Біз сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапецияның қасиеттеріне тоқталамыз.

Талқыланған қасиеттерді пайдалана отырып, мәселені шешудің мысалы, оны сіздің басыңыздағы орындарға сұрыптауға және материалды жақсы есте сақтауға көмектеседі.

Трапеция және барлығы

Алдымен трапеция дегеніміз не және онымен қандай басқа ұғымдар байланысты екенін қысқаша еске түсірейік.

Сонымен, трапеция - төртбұрышты фигура, оның екі қабырғасы бір-біріне параллель (бұл негіздер). Және екеуі параллель емес - бұл тараптар.

Трапецияда биіктікті төмендетуге болады - негіздерге перпендикуляр. Орталық сызық пен диагональдар сызылады. Сондай-ақ трапецияның кез келген бұрышынан биссектриса салуға болады.

Енді біз осы элементтердің барлығымен және олардың комбинацияларымен байланысты әртүрлі қасиеттер туралы айтатын боламыз.

Трапецияның диагональдарының қасиеттері

Түсінікті болу үшін, сіз оқып жатқанда, қағаз парағына ACME трапециясының сызбасын сызыңыз және оған диагональдарды сызыңыз.

1. Егер сіз диагональдардың әрқайсысының ортаңғы нүктелерін тауып (осы нүктелерді X және T деп атаймыз) және оларды қоссаңыз, сіз кесінді аласыз. Трапецияның диагональдарының қасиеттерінің бірі HT сегментінің орта сызықта жатуы. Ал оның ұзындығын негіздердің айырмасын екіге бөлу арқылы алуға болады: ХТ = (a – b)/2.
2. Біздің алдымызда сол трапеция ACME. Диагональдар О нүктесінде қиылысады.Трапецияның табандарымен бірге диагональдардың кесінділерінен құрылған AOE және MOK үшбұрыштарын қарастырайық. Бұл үшбұрыштар ұқсас. Үшбұрыштардың k ұқсастық коэффициенті трапеция табандарының қатынасы арқылы өрнектеледі: k = AE/KM.
   AOE және MOK үшбұрыштарының аудандарының қатынасы k 2 коэффициентімен сипатталады.
3. Сол трапеция, О нүктесінде қиылысатын бірдей диагональдар. Тек осы жолы трапецияның қабырғаларымен бірге диагональдардың кесінділері құрған үшбұрыштарды қарастырамыз. AKO және EMO үшбұрыштарының аудандары өлшемдері бойынша тең - олардың аудандары бірдей.
4. Трапецияның тағы бір қасиеті диагональдарды салуды қамтиды. Сонымен, егер сіз АК және ME жақтарын кішірек негіз бағытында жалғастырсаңыз, онда олар ерте ме, кеш пе белгілі бір нүктеде қиылысады. Әрі қарай трапеция табандарының ортасы арқылы түзу сызық сызыңыз. Ол табандарды X және T нүктелерінде қиып өтеді.
   Енді XT түзуін ұзартсақ, онда ол трапеция О диагональдарының қиылысу нүктесін, Х және Т табандарының қабырғаларының ұзартулары мен ортасының қиылысу нүктесін қосады.
5. Диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарын қосатын кесінді саламыз (Т кіші KM табанында, X үлкен AE табанында). Диагональдардың қиылысу нүктесі бұл кесіндіні келесі қатынасқа бөледі: TO/OX = KM/AE.
6. Енді диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарына (а және b) параллель кесінді жүргіземіз. Қиылысу нүктесі оны екі тең бөлікке бөледі. Формула арқылы кесіндінің ұзындығын табуға болады 2ab/(a + b).

Трапецияның орта сызығының қасиеттері

Трапецияның табандарына параллель ортаңғы сызықты сызыңыз.

1. Трапецияның ортаңғы сызығының ұзындығын табандарының ұзындықтарын қосып, оларды екіге бөлу арқылы есептеуге болады: m = (a + b)/2.
2. Кез келген кесіндіні (мысалы, биіктік) трапецияның екі табаны арқылы жүргізсеңіз, ортаңғы сызық оны екі тең бөлікке бөледі.

Трапецияның биссектрисасының қасиеті

Трапецияның кез келген бұрышын таңдап, биссектрисасын салыңыз. Мысалы, ACME трапециямыздың KAE бұрышын алайық. Құрылысты өзіңіз аяқтағаннан кейін, биссектриса негізден (немесе оның фигураның сыртындағы түзу сызықтағы жалғасы) бүйірімен бірдей ұзындықтағы сегментті кесіп тастайтынын оңай тексеруге болады.

Трапециялық бұрыштардың қасиеттері

1. Қабырғаға іргелес жатқан екі жұп бұрыштың қайсысын таңдасаңыз да, жұптағы бұрыштардың қосындысы әрқашан 180 0 болады: α + β = 180 0 және γ + δ = 180 0.
2. Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелерін TX кесіндісімен қосамыз. Енді трапеция табанындағы бұрыштарды қарастырайық. Егер олардың кез келгені үшін бұрыштардың қосындысы 90 0 болса, TX сегментінің ұзындығын негіздердің ұзындықтарындағы айырмашылық негізінде екіге бөлу арқылы оңай есептеуге болады: TX = (AE – KM)/2.
3. Егер трапеция бұрышының қабырғалары арқылы параллель түзулер жүргізілсе, олар бұрыштың қабырғаларын пропорционал кесінділерге бөледі.

Тең қабырғалы (тең қабырғалы) трапецияның қасиеттері

1. Тең қабырғалы трапецияда кез келген табандағы бұрыштар тең.
2. Енді не туралы айтып жатқанымызды елестетуді жеңілдету үшін қайтадан трапеция салыңыз. AE негізіне мұқият қараңыз - қарама-қарсы M негізінің шыңы AE бар түзудің белгілі бір нүктесіне проекцияланады. А төбесінен М төбесінің проекция нүктесіне және тең қабырғалы трапецияның ортаңғы сызығына дейінгі қашықтық тең.
3. Тең қабырғалы трапеция диагональдарының қасиеті туралы бірнеше сөз – олардың ұзындықтары тең. Және де осы диагональдардың трапеция табанына еңкею бұрыштары бірдей.
4. Шеңберді тек тең қабырғалы трапецияның айналасында ғана сипаттауға болады, өйткені төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180 0 - бұл үшін қажетті шарт.
5. Тең қабырғалы трапецияның қасиеті алдыңғы абзацтан туындайды - егер трапецияның жанында шеңберді сипаттауға болатын болса, ол тең қабырғалы.
6. Тең бүйірлі трапецияның ерекшеліктерінен трапеция биіктігінің қасиеті шығады: егер оның диагональдары тік бұрышта қиылса, онда биіктік ұзындығы табандарының қосындысының жартысына тең болады: h = (a + b)/2.
7. Тағы да трапеция табандарының ортаңғы нүктелері арқылы TX кесіндісін жүргіземіз – тең қабырғалы трапецияда ол табандарына перпендикуляр. Сонымен қатар TX тең қабырғалы трапецияның симметрия осі болып табылады.
8. Бұл жолы трапецияның қарама-қарсы шыңынан үлкенірек табанға биіктікті түсіріңіз (оны а деп атаймыз). Сіз екі сегмент аласыз. Бірдің ұзындығын табады, егер негіздердің ұзындықтарын қосса және екіге бөлсе: (a + b)/2. Үлкен негізден кішісін алып тастап, алынған айырманы екіге бөлгенде екіншісін аламыз: (а – б)/2.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Біз қазірдің өзінде шеңберге жазылған трапеция туралы айтып жатқандықтан, бұл мәселеге толығырақ тоқталайық. Атап айтқанда, шеңбердің центрі трапецияға қатысты қай жерде. Мұнда да қарындаш алып, төменде талқыланатын нәрселерді салуға уақыт бөлу ұсынылады. Осылайша сіз тезірек түсініп, жақсы есте сақтайсыз.

1. Шеңбер центрінің орналасуы трапеция диагоналінің оның бүйіріне еңкею бұрышымен анықталады. Мысалы, диагональ трапецияның төбесінен тік бұрышпен жағына қарай созылуы мүмкін. Бұл жағдайда үлкенірек негіз шектелген шеңбердің ортасын дәл ортасында қиып өтеді (R = ½AE).
2. Диагональ мен бүйір жағы да өткір бұрышта кездесуі мүмкін - онда шеңбердің ортасы трапеция ішінде болады.
3. Шектелген шеңбердің центрі трапецияның диагоналы мен бүйірінің арасында доғал бұрыш болса, оның үлкен табанынан тыс трапециядан тыс болуы мүмкін.
4. ACME трапециясының диагоналы мен үлкен табаны (іштей сызылған бұрыш) түзетін бұрыш оған сәйкес келетін орталық бұрыштың жартысын құрайды: MAE = ½MOE.
5. Шектелген шеңбердің радиусын табудың екі жолы туралы қысқаша. Бірінші әдіс: сызбаңызға мұқият қараңыз - не көріп тұрсыз? Сіз диагональ трапецияны екі үшбұрышқа бөлетінін оңай байқауға болады. Радиусты үшбұрыштың қабырғасының қарсы бұрыштың синусына қатынасын екіге көбейту арқылы табуға болады. Мысалы, R = AE/2*sinAME. Осыған ұқсас формуланы екі үшбұрыштың кез келген қабырғалары үшін жазуға болады.
6. Екінші әдіс: трапецияның диагоналы, қабырғасы және табанынан құралған үшбұрыштың ауданы арқылы сызылған шеңбердің радиусын табыңыз: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Егер бір шарт орындалса, шеңберді трапецияға салуға болады. Бұл туралы төменде оқыңыз. Және бірге бұл фигуралардың комбинациясы бірқатар қызықты қасиеттерге ие.

1. Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, оның орта сызығының ұзындығын қабырғалардың ұзындықтарын қосып, алынған қосындыны екіге бөлу арқылы оңай табуға болады: m = (c + d)/2.
2. Шеңбер бойынша сипатталған ACME трапециясы үшін табандарының ұзындықтарының қосындысы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең: AK + ME = KM + AE.
3. Трапецияның табандарының бұл қасиетінен қарама-қарсы тұжырым шығады: табандарының қосындысы оның қабырғаларының қосындысына тең болатын трапецияға шеңберді сызуға болады.
4. Радиусы r трапецияға іштей сызылған шеңбердің жанама нүктесі қабырғасын екі кесіндіге бөледі, оларды а және b деп атаймыз. Шеңбердің радиусын мына формула бойынша есептеуге болады: r = √ab.
5. Және тағы бір мүлік. Шатаспау үшін осы мысалды өзіңіз де салыңыз. Бізде жақсы ескі трапеция ACME бар, ол шеңбер бойымен сипатталған. Ол О нүктесінде қиылысатын диагональдарды қамтиды. Диагональдардың кесінділері мен бүйір қабырғалары түзген AOK және EOM үшбұрыштары тікбұрышты.
   Гипотенуздарға (яғни трапецияның бүйір жақтары) түсірілген бұл үшбұрыштардың биіктіктері сызылған шеңбердің радиустарымен сәйкес келеді. Ал трапецияның биіктігі іштей сызылған шеңбердің диаметрімен сәйкес келеді.

Тік бұрышты трапецияның қасиеттері

Трапецияның бір бұрышы тік болса, тікбұрышты деп аталады. Ал оның қасиеттері осы жағдайдан туындайды.

1. Тік бұрышты трапецияның бір қабырғасы табанына перпендикуляр болады.
2. Тік бұрышқа іргелес жатқан трапецияның биіктігі мен қабырғасы тең. Бұл тікбұрышты трапецияның ауданын есептеуге мүмкіндік береді (жалпы формула S = (a + b) * h/2) биіктік арқылы ғана емес, сонымен қатар оң жақ бұрышқа іргелес жатқан жағы арқылы.
3. Тікбұрышты трапеция үшін жоғарыда сипатталған трапеция диагональдарының жалпы қасиеттері маңызды.

Трапецияның кейбір қасиеттерінің дәлелі

Тең қабырғалы трапеция табанындағы бұрыштардың теңдігі:

• Сіз бұл жерде тағы да AKME трапециясы қажет болатынын болжаған боларсыз - тең қабырғалы трапецияны сызыңыз. М төбесінен АК (МТ || АК) жағына параллель MT түзуін сызыңыз.

Алынған төртбұрыш AKMT параллелограмм болып табылады (АК || МТ, КМ || АТ). ME = KA = MT болғандықтан, ∆ MTE тең қабырғалы және MET = MTE.

АК || МТ, демек MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME қайда болады.

Q.E.D.

Енді тең қабырғалы трапеция қасиетіне (диагональдардың теңдігі) сүйене отырып, біз мұны дәлелдейміз ACME трапециясы тең қабырғалы:

• Бастау үшін MX – MX || түзуін сызайық Қ.Е. KMHE параллелограммын аламыз (негізі – MX || KE және KM || EX).

∆AMX тең қабырғалы, өйткені AM = KE = MX, және MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, сондықтан MAE = MXE.

AKE және EMA үшбұрыштары бір-біріне тең болады, өйткені AM = KE және AE екі үшбұрыштың ортақ қабырғасы. Сондай-ақ MAE = MXE. АК = ME деп қорытынды жасауға болады, және осыдан AKME трапециясы тең қабырғалы екендігі шығады.

Тапсырманы қайталау

ACME трапециясының табандары 9 см және 21 см, бүйір жағы KA, 8 см-ге тең, кіші табанымен 150 0 бұрыш жасайды. Трапецияның ауданын табу керек.

Шешуі: K шыңынан трапецияның үлкен табанына биіктікті түсіреміз. Ал енді трапецияның бұрыштарын қарауды бастайық.

AEM және KAN бұрыштары бір жақты. Бұл олардың барлығы 180 0 беретінін білдіреді. Демек, KAN = 30 0 (трапециялық бұрыштар қасиетіне негізделген).

Енді тікбұрышты ∆ANC-ті қарастырайық (бұл ой оқырмандарға қосымша дәлелсіз анық деп ойлаймын). Одан KH трапеция биіктігін табамыз – үшбұрышта ол 30 0 бұрышқа қарама-қарсы жатқан катет. Демек, KH = ½AB = 4 см.

Трапецияның ауданын мына формула арқылы табамыз: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2.

Кейінгі сөз

Егер сіз осы мақаланы мұқият және мұқият зерттесеңіз, қолыңыздағы қарындашпен барлық берілген қасиеттер үшін трапецияларды салуға және оларды іс жүзінде талдауға жалқау болмасаңыз, материалды жақсы меңгеруіңіз керек еді.

Әрине, мұнда әртүрлі және кейде тіпті шатастыратын көптеген ақпарат бар: сипатталған трапецияның қасиеттерін жазылғанның қасиеттерімен шатастыру қиын емес. Бірақ сіз өзіңіз байқадыңыз, айырмашылық өте үлкен.

Енді сізде трапецияның барлық жалпы қасиеттерінің егжей-тегжейлі схемасы бар. Сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапециялардың өзіндік қасиеттері мен сипаттамалары. Тесттер мен емтихандарға дайындалу үшін пайдалану өте ыңғайлы. Өзіңіз көріңіз және сілтемені достарыңызбен бөлісіңіз!

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

Сабақтың мақсаттары:

1) оқушыларды трапецияның орта сызығы туралы түсінікпен таныстыру, оның қасиеттерін қарастыру және дәлелдеу;

2) трапецияның орта сызығын салуды үйрету;

3) оқушылардың трапецияның ортаңғы сызығының анықтамасын және трапецияның ортаңғы сызығының қасиеттерін есептер шығаруда қолдана білу дағдыларын дамыту;

4) қажетті математикалық терминдерді қолдана отырып, оқушылардың сауатты сөйлеу қабілетін дамытуды жалғастыру; өз көзқарасын дәлелдеу;

5) логикалық ойлауын, есте сақтауын, зейінін дамыту.

Сабақтың барысы

1. Үй тапсырмасы сабақ барысында тексеріледі. Үй тапсырмасы ауызша болды, есіңізде болсын:

а) трапецияның анықтамасын; трапеция түрлері;

б) үшбұрыштың орта сызығын анықтау;

в) үшбұрыштың орта сызығының қасиеті;

г) үшбұрыштың ортаңғы сызығының таңбасы.

2. Жаңа материалды оқу.

а) Тақтада ABCD трапециясы көрсетілген.

б) Мұғалім трапеция анықтамасын есте сақтауды сұрайды. Әрбір үстелде «Трапеция» тақырыбындағы негізгі ұғымдарды есте сақтауға көмектесетін анықтамалық диаграмма бар (1-қосымшаны қараңыз). Әр партаға 1-қосымша беріледі.

Оқушылар дәптерлеріне ABCD трапециясын салады.

в) Мұғалім ортаңғы сызық ұғымы қай тақырыпта кездескенін есте сақтауды сұрайды («Үшбұрыштың орта сызығы»). Оқушылар үшбұрыштың орта сызығының анықтамасын және оның қасиеттерін еске түсіреді.

д) Трапецияның орта сызығының анықтамасын дәптерге сызып жаз.

Ортаңғы сызықТрапеция - оның қабырғаларының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді.

Трапецияның ортаңғы сызығының қасиеті бұл кезеңде дәлелденбеген күйінде қалады, сондықтан сабақтың келесі кезеңі трапецияның орта сызығының қасиетін дәлелдеу жұмыстарын қамтиды.

Теорема. Трапецияның орта сызығы оның табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең.

Берілген: ABCD – трапеция,

MN – ABCD ортаңғы сызығы

Дәлелдеу, Не:

1. BC || MN || А.Д.

2. MN = (AD + BC).

Теореманың шарттарынан туындайтын кейбір қорытындыларды жаза аламыз:

AM = MB, CN = ND, BC || А.Д.

Тек аталған қасиеттерге сүйене отырып, не талап етілетінін дәлелдеу мүмкін емес. Сұрақтар мен жаттығулар жүйесі оқушыларды трапецияның ортаңғы сызығын қандай да бір үшбұрыштың ортаңғы сызығымен байланыстыруға ұмтылуға, оның қасиеттерін бұрыннан білетіндігіне жетелеуі керек. Егер ұсыныстар болмаса, онда сіз сұрақ қоя аласыз: MN сегменті орта сызық болатын үшбұрышты қалай салу керек?

Жағдайлардың біріне қосымша құрылыс жазайық.

AD қабырғасының жалғасын К нүктесінде қиып өтетін BN түзуін жүргізейік.

Қосымша элементтер пайда болады - үшбұрыштар: ABD, BNM, DNK, BCN. Егер біз BN = NK екенін дәлелдесек, онда бұл MN АҚШ-тың ортаңғы сызығы екенін білдіреді, содан кейін үшбұрыштың орта сызығының қасиетін пайдаланып, қажет екенін дәлелдей аламыз.

Дәлелдеу:

1. BNC және DNK қарастырайық, олар мыналарды қамтиды:

а) CNB =DNK (тік бұрыштар қасиеті);

б) BCN = NDK (ішкі көлденең жатқан бұрыштардың қасиеті);

в) CN = ND (теореманың шарттарына сәйкес).

Бұл BNC =DNK (бүйір және екі іргелес бұрыштар) дегенді білдіреді.

Q.E.D.

Дәлелдеуді сабақта ауызша жасауға және үйде қалпына келтіруге және дәптерге жазуға болады (мұғалімнің қалауы бойынша).

Бұл теореманы дәлелдеудің басқа мүмкін жолдары туралы айту керек:

1. Трапецияның диагональдарының бірін сызып, үшбұрыштың орта сызығының таңбасы мен қасиетін қолдан.

2. CF || орындаңыз BA және ABCF және DCF параллелограммдарын қарастырыңыз.

3. EF || орындаңыз BA және FND және ENC теңдігін қарастырыңыз.

ж) Бұл кезеңде үйге тапсырма беріледі: 84-параграф, оқулық ред. Атанасян Л.С. (трапецияның орта сызығының қасиетін векторлық әдіс арқылы дәлелдеу), дәптеріңе жазып алу.

з) Дайын сызбалар арқылы трапецияның орта сызығының анықтамасы мен қасиеттерін пайдаланып есептер шығарамыз (2-қосымшаны қараңыз). 2-қосымша әр оқушыға беріледі, есептердің шешімі сол параққа қысқаша түрде жазылады.

Тек екі қабырғасы параллель болатын төртбұрыш деп аталады трапеция.

Трапецияның параллель қабырғалары оның деп аталады себептері, ал параллель емес қабырғалар деп аталады жақтары. Егер жақтары тең болса, онда мұндай трапеция тең қабырғалы болады. Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

Ортаңғы сызықты трапеция

Ортаңғы сызық – трапецияның бүйір жақтарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді. Трапецияның ортаңғы сызығы оның табандарына параллель.

Теорема:

Егер бір қабырғасының ортасын кесіп өтетін түзу трапеция табандарына параллель болса, онда ол трапецияның екінші қабырғасын екіге бөледі.

Теорема:

Ортаңғы жолдың ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының орташа арифметикалық мәніне тең

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN ортаңғы сызығы, AB және CD – табандары, AD және BC – бүйір жақтары

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Трапецияның орта сызығының ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының арифметикалық ортасына тең.

Негізгі тапсырма: Трапецияның орта сызығы ұштары трапеция табандарының ортасында жатқан кесіндіні екіге бөлетінін дәлелдеңдер.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы

Үшбұрыштың екі қабырғасының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді үшбұрыштың орта сызығы деп аталады. Ол үшінші жағына параллель және оның ұзындығы үшінші жақтың ұзындығының жартысына тең.
Теорема: Егер үшбұрыштың бір қабырғасының ортасын қиып өтетін түзу үшбұрыштың екінші қабырғасына параллель болса, онда ол үшінші қабырғасын екіге бөледі.

AM = MC және BN = NC =>

Үшбұрыш пен трапецияның орта сызығының қасиеттерін қолдану

Кесіндіні белгілі бір тең бөліктерге бөлу.
Тапсырма: АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөл.
Шешімі:
Бастысы А нүктесі болатын және АВ түзуінде жатпайтын кездейсоқ сәуле p болсын. Біз p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5 бойынша 5 бірдей сегментті ретімен бөлеміз.
А 5-ті В-ге қосамыз және А 5 В-ға параллель болатын A 4, A 3, A 2 және A 1 арқылы осындай түзулерді жүргіземіз. Олар АВ-ны тиісінше B 4, B 3, B 2 және B 1 нүктелерінде қиып өтеді. Бұл нүктелер АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөледі. Шынында да, BB 3 A 3 A 5 трапециясынан BB 4 = B 4 B 3 екенін көреміз. Дәл осылай B 4 B 2 A 2 A 4 трапециясынан B 4 B 3 = B 3 B 2 аламыз.

Трапециядан B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 болғанда.
Сонда B 2 AA 2-ден B 2 B 1 = B 1 A болатыны шығады. Қорытындылай келе, мынаны аламыз:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
АВ кесіндісін басқа тең бөліктерге бөлу үшін р сәулесіне бірдей кесінділердің санын проекциялау керек екені түсінікті. Содан кейін жоғарыда сипатталған тәсілмен жалғастырыңыз.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Сіздің жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.