Дисперсиялық қатар. Дисперсия және стандартты ауытқу

Алайда, бұл сипаттаманың өзі кездейсоқ шаманы зерттеу үшін жеткіліксіз. Екі атқыштың нысанаға атуын елестетейік. Біреуі дәл түсіріп, ортаға жақын тиеді, ал екіншісі... жай ғана көңіл көтеріп, тіпті көздемейді. Бірақ бір қызығы, ол орташанәтиже бірінші атқышпен бірдей болады! Бұл жағдай шартты түрде келесі кездейсоқ шамалар арқылы суреттеледі:

«Мерген» математикалық күту «қызықты адам» үшін тең: – бұл да нөл!

Осылайша, қаншалықты алыс екенін сандық түрде анықтау қажет шашыраңқытаңбалар (кездейсоқ айнымалы мәндер) нысананың ортасына қатысты (математикалық күту). Жақсы шашыраулатын тілінен аударғанда басқа жолы жоқ дисперсия .

Сабақтың 1-бөліміндегі мысалдардың бірі арқылы бұл сандық сипаттама қалай анықталғанын көрейік:

Онда біз осы ойынның көңілсіз математикалық күтуін таптық, енді оның дисперсиясын есептеуіміз керек. арқылы белгіленедіарқылы.

Жеңіс/ұтылыстың орташа мәнге қатысты қаншалықты «шашылғанын» білейік. Ол үшін есептеу керек екені анық айырмашылықтарарасында кездейсоқ шама мәндеріжәне ол математикалық күту:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Енді нәтижелерді қорытындылау керек сияқты, бірақ бұл әдіс қолайлы емес - солға қарай ауытқулар оңға қарай ауытқулармен бірін-бірі жоққа шығаратындықтан. Мәселен, мысалы, «әуесқой» атқыш (жоғарыдағы мысал)айырмашылықтар болады , және қосқанда олар нөлді береді, сондықтан біз оның түсірілімінің дисперсиясын бағалауды алмаймыз.

Бұл мәселені шешу үшін сіз қарастыруға болады модульдерайырмашылықтар бар, бірақ техникалық себептерге байланысты тәсіл оларды квадратқа бөлгенде тамыр алды. Шешімді кестеде тұжырымдау ыңғайлырақ:

Және бұл жерде есептеуді өтінеді орташа өлшенгенквадраттық ауытқулардың мәні. Ал бұл НЕ? Бұл олардыкі математикалық күту, бұл шашырау өлшемі:

– анықтамасыауытқулар. Анықтамадан бұл бірден көрінеді дисперсия теріс болуы мүмкін емес- жаттығуға назар аударыңыз!

Күтілетін мәнді қалай табуға болатынын еске түсірейік. Квадрат айырмасын сәйкес ықтималдықтарға көбейтіңіз (кесте жалғасы):
– бейнелеп айтқанда, бұл «тарту күші»,
және нәтижелерді қорытындылау:

Ұтыспен салыстырғанда нәтиже тым үлкен болып шықты деп ойламайсыз ба? Дұрыс - біз оны шаршыға айналдырдық, ал ойынымыздың өлшеміне оралу үшін шаршы түбірді шығару керек. Бұл шама деп аталады стандартты ауытқу және гректің «сигма» әрпімен белгіленеді:

Бұл мән кейде деп аталады стандартты ауытқу .

Оның мағынасы қандай? Егер математикалық күтуден стандартты ауытқу арқылы солға және оңға ауытқысақ:

– онда кездейсоқ шаманың ең ықтимал мәндері осы интервалға «концентрленген» болады. Біз шынымен не байқаймыз:

Дегенмен, шашырауды талдау кезінде әрқашан дерлік дисперсия тұжырымдамасымен жұмыс істейтіні болады. Ойындарға қатысты нені білдіретінін анықтайық. Егер көрсеткілер жағдайында біз нысананың ортасына қатысты соққылардың «дәлдігі» туралы айтатын болсақ, онда дисперсия екі нәрсені сипаттайды:

Біріншіден, ставкалар көбейген сайын дисперсия да арта түсетіні анық. Мәселен, мысалы, 10 есе өсетін болсақ, онда математикалық күту 10 есе, ал дисперсия 100 есе артады. (өйткені бұл квадраттық шама). Бірақ ойын ережелерінің өзі өзгермегенін ескеріңіз! Тек ставкалар өзгерді, шамамен айтқанда, біз 10 рубль тіккенге дейін, қазір ол 100.

Екінші, ең қызықтысы, дисперсия ойын стилін сипаттайды. Ойын ставкаларын ойша түзетіңіз белгілі бір деңгейде, және не екенін көрейік:

Төмен дисперсиялы ойын - сақтық ойыны. Ойыншы ең сенімді схемаларды таңдауға бейім, онда ол бір уақытта тым көп ұтылмайды/ұтылмайды. Мысалы, рулеткадағы қызыл/қара жүйе (мақаланың 4 мысалын қараңыз Кездейсоқ айнымалылар) .

Жоғары дисперсиялы ойын. Оны жиі шақырады дисперсиялықойын. Бұл шытырманды немесе агрессивті ойын стилі, онда ойыншы «адреналин» схемаларын таңдайды. Тым болмаса есімізге түсірейік «Мартингал», онда қауіп төніп тұрған сомалар алдыңғы тармақтың «тыныш» ойынынан үлкенірек мәндер болып табылады.

Покердегі жағдай индикативті: деп аталатындар бар тығызОйын қорларына сақтық танытатын және «дірілдететін» ойыншылар (банкроль). Таңқаларлық емес, олардың банкролдары айтарлықтай өзгермейді (аз дисперсия). Керісінше, егер ойыншының дисперсиясы жоғары болса, ол агрессор болып табылады. Ол жиі тәуекелге барады, үлкен ставкалар жасайды және үлкен банкті бұзады немесе өзін жоғалтады.

Форексте де солай болады және т.б. - мысалдар көп.

Оның үстіне, барлық жағдайда ойынның тиынға немесе мыңдаған долларға ойналғаны маңызды емес. Әр деңгейде төмен және жоғары дисперсті ойыншылар бар. Біздің есімізде, орташа ұтыс «жауапты» математикалық күту.

Сіз дисперсияны табу ұзақ және қиын процесс екенін байқаған боларсыз. Бірақ математика жомарт:

Дисперсияны табу формуласы

Бұл формула дисперсия анықтамасынан тікелей алынған және біз оны бірден қолданысқа енгіземіз. Мен жоғарыдағы ойынымызбен белгіні көшіремін:

және табылған математикалық күту.

Екінші тәсілмен дисперсияны есептейік. Алдымен математикалық күтуді - кездейсоқ шаманың квадратын табайық. Авторы математикалық күтуді анықтау:

Бұл жағдайда:

Осылайша, формула бойынша:

Олар айтқандай, айырмашылықты сезініңіз. Ал іс жүзінде, әрине, формуланы қолданған дұрыс (егер шарт басқаша талап етпесе).

Біз шешу және жобалау техникасын игереміз:

6-мысал

Оның математикалық күтуін, дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз.

Бұл тапсырма барлық жерде кездеседі және, әдетте, мағынасыз өтеді.
Сіз белгілі бір ықтималдықпен жындыханада жанатын сандары бар бірнеше шамдарды елестете аласыз :)

Шешім: Кестеде негізгі есептеулерді қорытындылау ыңғайлы. Алдымен жоғарғы екі жолға бастапқы деректерді жазамыз. Содан кейін біз өнімдерді, содан кейін оң жақ бағандағы сомаларды есептейміз:

Негізі барлығы дерлік дайын. Үшінші жол дайын математикалық күтуді көрсетеді: .

Формуланың көмегімен дисперсияны есептейміз:

Ақырында, стандартты ауытқу:
– Өз басым мен әдетте 2 ондық белгіге дейін дөңгелектеймін.

Барлық есептеулерді калькуляторда немесе одан да жақсырақ - Excel бағдарламасында жүргізуге болады:

Бұл жерде қателесу қиын :)

Жауап:

Қалағандар өмірін бұрынғыдан да жеңілдетіп, менің мүмкіндігімді пайдалана алады калькулятор (демо), ол бұл мәселені бірден шешіп қана қоймайды, сонымен қатар құрастырады тақырыптық графика (жақында жетеміз). Бағдарлама болуы мүмкін кітапханадан жүктеп алыңыз– кем дегенде бір оқу материалын жүктеп алсаңыз немесе алсаңыз басқа жол. Жобаны қолдағаныңыз үшін рахмет!

Өз бетіңізше шешуге болатын бірнеше тапсырма:

7-мысал

Анықтамасы бойынша алдыңғы мысалдағы кездейсоқ шаманың дисперсиясын есептеңіз.

Және ұқсас мысал:

8-мысал

Дискретті кездейсоқ шама оның таралу заңымен анықталады:

Иә, кездейсоқ шаманың мәндері өте үлкен болуы мүмкін (нақты жұмыстан мысал), және бұл жерде мүмкіндігінше Excel бағдарламасын пайдаланыңыз. Айтпақшы, 7-мысалдағыдай - бұл жылдамырақ, сенімдірек және жағымдырақ.

Шешімдер мен жауаптар беттің төменгі жағында.

Сабақтың 2-ші бөлімін қорытындылау үшін біз тағы бір типтік мәселені қарастырамыз, тіпті шағын басқатырғышты айтуға болады:

9-мысал

Дискретті кездейсоқ шама тек екі мәнді қабылдай алады: және , және . Ықтималдық, математикалық күту және дисперсия белгілі.

Шешім: Белгісіз ықтималдықтан бастайық. Кездейсоқ шама тек екі мәнді қабылдай алатындықтан, сәйкес оқиғалардың ықтималдығының қосындысы:

және содан бері, содан кейін.

Тек табу ғана қалды..., айтуға оңай :) Бірақ, мінекей, кеттік. Математикалық күтудің анықтамасы бойынша:
– белгілі шамаларды алмастыру:

– және бұл теңдеуден басқа ештеңе сығымдалмайды, тек оны әдеттегі бағытта қайта жазуға болады:

немесе:

Келесі қадамдарды болжай аласыз деп ойлаймын. Жүйені құрастырып шешейік:

Ондық сандар, әрине, толық масқара; Екі теңдеуді 10-ға көбейтіңіз:

және 2-ге бөліңіз:

Бұл жақсырақ. 1-ші теңдеуден өрнектейміз:
(бұл оңай жол)– 2-ші теңдеуді ауыстырыңыз:

Біз салып жатырмыз шаршыжәне оңайлатулар жасаңыз:

Көбейту:

Нәтиже болды квадрат теңдеу, біз оның дискриминантын табамыз:
- Тамаша!

және біз екі шешімді аламыз:

1) егер , Бұл ;

2) егер , Бұл.

Мәндердің бірінші жұбы шартты қанағаттандырады. Жоғары ықтималдықпен бәрі дұрыс, бірақ соған қарамастан таралу заңын жазайық:

және тексеруді орындаңыз, атап айтқанда, күтуді табыңыз:

Зерттелетін сипаттамасы бойынша популяция топтарға бөлінетін болса, онда осы жиынтық бойынша дисперсияның келесі түрлерін есептеуге болады: жалпы, топтық (топ ішінде), топтың орташа (топ ішіндегі орташа), топ аралық.

Бастапқыда ол зерттелетін белгінің жалпы вариациясының қандай бөлігі топаралық вариация екенін көрсететін детерминация коэффициентін есептейді, яғни. топтастыру ерекшелігіне байланысты:

Эмпирикалық корреляциялық қатынас топтастыру (факторлық) мен өнімділік сипаттамалары арасындағы байланыстың жақындығын сипаттайды.

Эмпирикалық корреляция коэффициенті 0-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдауы мүмкін.

Эмпирикалық корреляциялық қатынасқа негізделген байланыстың жақындығын бағалау үшін Чаддок қатынастарын қолдануға болады:

4-мысал.Меншіктің әртүрлі нысандарындағы жобалау-іздестіру ұйымдарының жұмыстарды орындауы туралы мынадай мәліметтер бар:

Анықтаңыз:

1) жалпы дисперсия;

2) топтық ауытқулар;

3) топтық ауытқулардың орташа мәні;

4) топаралық дисперсия;

5) дисперсияларды қосу ережесіне негізделген жалпы дисперсия;

6) детерминация коэффициенті және эмпирикалық корреляциялық қатынас.

Қорытынды жасау.

Шешімі:

1. Меншіктің екі нысанындағы кәсіпорындар орындаған жұмыстардың орташа көлемін анықтайық:

Жалпы дисперсияны есептейік:

2. Топтық орташа мәндерді анықтаңыз:

миллион рубль;

миллион рубль

Топтық ауытқулар:

;

3. Топтық дисперсиялардың орташа мәнін есептеңіз:

4. Топаралық дисперсияны анықтайық:

5. Дисперсияларды қосу ережесі негізінде жалпы дисперсияны есептеңіз:

6. Детерминация коэффициентін анықтайық:

.

Осылайша, жобалық-іздестіру ұйымдарының орындайтын жұмыс көлемі 22%-ға кәсіпорындардың меншік нысанына байланысты.

Эмпирикалық корреляция коэффициенті формула арқылы есептеледі

.

Есептелген көрсеткіштің мәні кәсіпорынның меншік нысанына жұмыс көлемінің тәуелділігі аз екенін көрсетеді.

5-мысал.Өндірістік аймақтардың технологиялық тәртібін зерттеу нәтижесінде келесі мәліметтер алынды:

Детерминация коэффициентін анықтаңыз

Есептеп көрейікХАНЫМEXCELүлгі дисперсиясы және стандартты ауытқу. Кездейсоқ шаманың таралуы белгілі болса, оның дисперсиясын да есептейміз.

Алдымен қарастырайық дисперсия, содан кейін стандартты ауытқу.

Үлгі дисперсиясы

Үлгі дисперсиясы (үлгі дисперсиясы,үлгідисперсия) қатысты массивтегі мәндердің таралуын сипаттайды.

Барлық 3 формула математикалық эквивалентті.

Бірінші формуладан бұл анық үлгі дисперсиясымассивтегі әрбір мәннің квадраттық ауытқуларының қосындысы болып табылады орташадан, үлгі өлшеміне минус 1 бөледі.

ауытқулар үлгілері DISP() функциясы пайдаланылады, ағылшын. VAR атауы, яғни. VARIance. MS EXCEL 2010 нұсқасынан оның аналогы DISP.V(), ағылшын тілін пайдалану ұсынылады. VARS атауы, яғни. VARiance үлгісі. Сонымен қатар, MS EXCEL 2010 нұсқасынан бастап DISP.Г(), ағылшын тілі функциясы бар. VARP атауы, яғни. Популяцияның VARiance, ол есептейді дисперсияүшін халық. Бүкіл айырмашылық бөлгішке келеді: DISP.V() сияқты n-1 орнына DISP.G() азайғышта тек n болады. MS EXCEL 2010 нұсқасына дейін жиынтық дисперсиясын есептеу үшін VAR() функциясы пайдаланылды.

Үлгі дисперсиясы
=QUADROTCL(Үлгі)/(COUNT(Үлгі)-1)
=(СОМ(Үлгі)-COUNT(Үлгі)*Орташа(Үлгі)^2)/ (COUNT(Үлгі)-1)- кәдімгі формула
=SUM((Үлгі -Орташа(Үлгі))^2)/ (COUNT(Үлгі)-1) –

Үлгі дисперсиясы 0-ге тең, егер барлық мәндер бір-біріне тең болса және сәйкесінше тең болса орташа мән. Әдетте, мән соғұрлым үлкен болады ауытқулар, массивтегі мәндердің таралуы соғұрлым көп болады.

Үлгі дисперсиясынүктелік бағалау болып табылады ауытқуларол жасалған кездейсоқ шаманың таралуы үлгі. Құрылыс туралы сенімділік интервалдарыбағалау кезінде ауытқулармақаласынан оқуға болады.

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Есептеу үшін дисперсиякездейсоқ шама, сіз оны білуіңіз керек.

үшін ауытқуларкездейсоқ шама X жиі Var(X) деп белгіленеді. Дисперсия E(X) орташа мәннен ауытқу квадратына тең: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

дисперсияформула бойынша есептеледі:

мұндағы x i – кездейсоқ шама қабылдай алатын мән, ал μ – орташа мән (), p(x) – кездейсоқ шаманың х мәнін қабылдау ықтималдығы.

Кездейсоқ шамада болса, онда дисперсияформула бойынша есептеледі:

Өлшем ауытқуларбастапқы мәндердің өлшем бірлігінің квадратына сәйкес келеді. Мысалы, егер үлгідегі мәндер бөлік салмағының өлшемдерін білдірсе (кг), онда дисперсия өлшемі кг 2 болады. Мұны түсіндіру қиын болуы мүмкін, сондықтан мәндердің таралуын сипаттау үшін квадрат түбірге тең мән ауытқулар – стандартты ауытқу.

Кейбір қасиеттер ауытқулар:

Var(X+a)=Var(X), мұндағы X – кездейсоқ шама, ал а – тұрақты.

Var(aХ)=a 2 Var(X)

Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

Бұл дисперсиялық қасиет қолданылады сызықтық регрессия туралы мақала.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), мұндағы X және Y – кездейсоқ шама, Cov(X;Y) – осы кездейсоқ шамалардың ковариациясы.

Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олар ковариация 0-ге тең, сондықтан Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Дисперсияның бұл қасиеті туындыда қолданылады.

Тәуелсіз шамалар үшін Var(X-Y)=Var(X+Y) болатынын көрсетейік. Шынында да, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var( X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). Бұл дисперсиялық қасиет құрастыру үшін пайдаланылады.

Стандартты ауытқу үлгісі

Стандартты ауытқу үлгісі- үлгідегі мәндердің оларға қатысты қаншалықты кең шашыраңқы көрсеткіші.

Анықтама бойынша, стандартты ауытқуквадрат түбіріне тең ауытқулар:

Стандартты ауытқуішіндегі мәндердің шамасын есепке алмайды үлгі, бірақ олардың айналасындағы құндылықтардың таралу дәрежесі ғана орташа. Мұны түсіндіру үшін мысал келтірейік.

2 үлгі үшін стандартты ауытқуды есептейік: (1; 5; 9) және (1001; 1005; 1009). Екі жағдайда да s=4. Үлгілер арасында стандартты ауытқудың массив мәндеріне қатынасы айтарлықтай ерекшеленетіні анық. Мұндай жағдайларда ол қолданылады Вариация коэффициенті(Вариация коэффициенті, CV) – қатынас Стандартты ауытқуорташаға дейін арифметика, пайызбен көрсетілген.

Есептеу үшін MS EXCEL 2007 және бұрынғы нұсқаларында Стандартты ауытқу үлгісі=STDEVAL() функциясы пайдаланылады, ағылшын. атауы STDEV, яғни. Стандартты ауытқу. MS EXCEL 2010 нұсқасынан оның аналогы =STANDDEV.B() , ағылшын тілін пайдалану ұсынылады. атауы STDEV.S, яғни. Стандартты ауытқу үлгісі.

Сонымен қатар, MS EXCEL 2010 нұсқасынан бастап STANDARDEV.G(), ағылшын тілі функциясы бар. атауы STDEV.P, яғни. Есептейтін халық стандартының ауытқуы стандартты ауытқуүшін халық. Бүкіл айырмашылық азайғышқа келеді: STANDARDEV.V() сияқты n-1 орнына STANDARDEVAL.G() азайғышта n ғана бар.

Стандартты ауытқутөмендегі формулалар арқылы тікелей есептеуге болады (мысалы файлды қараңыз)
=ROOT(QUADROTCL(Үлгі)/(COUNT(Үлгі)-1))
=ТҮБІР((СОМ(Үлгі)-САН(Үлгі)*Орташа(Үлгі)^2)/(COUNT(Үлгі)-1))

Басқа шашырау шаралары

SQUADROTCL() функциясы арқылы есептейді мәндерінің олардың шамасынан квадраттық ауытқуларының қосындысы орташа. Бұл функция =DISP.G( формуласымен бірдей нәтижені береді. Үлгі)*ТЕКСЕРУ( Үлгі), Қайда Үлгі- үлгі мәндерінің массивін қамтитын диапазонға сілтеме (). QUADROCL() функциясындағы есептеулер мына формула бойынша орындалады:

SROTCL() функциясы да деректер жиынының таралуының өлшемі болып табылады. SROTCL() функциясы мәндердің ауытқуларының абсолютті мәндерінің орташа мәнін есептейді орташа. Бұл функция формула сияқты нәтижені қайтарады =ҚОРЫНДЫ(ABS(Үлгі-орташа(Үлгі)/COUNT(Үлгі), Қайда Үлгі- үлгі мәндерінің массивін қамтитын ауқымға сілтеме.

SROTCL () функциясындағы есептеулер мына формула бойынша орындалады:

.

Керісінше, егер теріс емес а.е. осылай қызмет етеді , онда оның тығыздығы болатын абсолютті үздіксіз ықтималдық өлшемі бар.

Лебег интегралындағы өлшемді ауыстыру:

,

мұндағы ықтималдық өлшеміне қатысты интегралданатын кез келген Борел функциясы.

Дисперсия, дисперсия түрлері және қасиеттері Дисперсия туралы түсінік

Статистикадағы дисперсиясипаттаманың жеке мәндерінің орташа арифметикалық квадраттан стандартты ауытқуы ретінде табылады. Бастапқы деректерге байланысты қарапайым және өлшенген дисперсия формулалары арқылы анықталады:

1. Қарапайым дисперсия(топталмаған деректер үшін) мына формула бойынша есептеледі:

2. Салмақталған дисперсия (вариациялық қатар үшін):

мұндағы n – жиілік (X факторының қайталануы)

Дисперсияны табудың мысалы

Бұл бетте дисперсияны табудың стандартты мысалы сипатталған, оны табуға арналған басқа есептерді де қарауға болады

Мысал 1. Топтық, топтық орташа, топаралық және жалпы дисперсияны анықтау

Мысал 2. Топтау кестесінде дисперсия мен вариация коэффициентін табу

Мысал 3. Дискретті қатардағы дисперсияны табу

Мысал 4. Төмендегі деректер сырттай оқитын 20 студенттен тұратын топ үшін қолжетімді. Сипаттаманың таралу интервалдық қатарын құру, сипаттаманың орташа мәнін есептеу және оның дисперсиясын зерттеу қажет.

Интервалды топтастыруды құрастырайық. Формула арқылы интервал диапазонын анықтайық:

мұндағы X max – топтастыру сипаттамасының ең үлкен мәні; X min – топтастыру сипаттамасының ең аз мәні; n – интервалдар саны:

Біз n=5 қабылдаймыз. Қадам: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Интервалды топтастыруды жасайық

Әрі қарай есептеулер үшін біз көмекші кестені құрастырамыз:

X"i – аралық ортасы. (мысалы, 159 – 165,6 = 162,3 аралығының ортасы)

Орташа арифметикалық формула бойынша оқушылардың орташа бойын анықтаймыз:

Формуланың көмегімен дисперсияны анықтайық:

Формула келесідей түрлендіруге болады:

Бұл формуладан мынау шығады дисперсиясы тең опциялар квадраттарының орташа мәні мен квадрат пен орташа арасындағы айырмашылық.

Вариациялық қатардағы дисперсиятең интервалдармен момент әдісін қолданып, дисперсияның екінші қасиетін (барлық опцияларды интервал мәніне бөлу) пайдалана отырып, келесі жолмен есептеуге болады. Дисперсияны анықтау, момент әдісімен есептелетін, келесі формуланы қолданып, аз еңбекті қажет етеді:

мұндағы i – интервалдың мәні; А – шартты нөл, ол үшін ең жоғары жиіліктегі интервалдың ортасын пайдалану ыңғайлы; m1 – бірінші ретті моменттің квадраты; м2 – екінші ретті момент

Альтернативті белгілердің ауытқуы (егер статистикалық популяцияда сипаттама бір-бірін жоққа шығаратын екі нұсқа болатындай өзгерсе, онда мұндай өзгергіштік альтернативті деп аталады) мына формула арқылы есептелуі мүмкін:

Осы дисперсия формуласына q = 1- p мәнін қойып, мынаны аламыз:

Дисперсия түрлері

Толық дисперсияОсы вариацияны тудыратын барлық факторлардың әсерінен тұтастай алғанда бүкіл популяциядағы сипаттаманың өзгеруін өлшейді. Ол х-тің жалпы орташа мәнінен х сипаттамасының жеке мәндерінің ауытқуларының орташа квадратына тең және қарапайым дисперсия немесе өлшенген дисперсия ретінде анықталуы мүмкін.

Топ ішіндегі дисперсия кездейсоқ вариацияны сипаттайды, яғни. есепке алынбаған факторлардың әсерінен болатын және топтың негізін құрайтын фактор-атрибутқа тәуелді емес вариацияның бөлігі. Мұндай дисперсия Х тобындағы атрибуттың жеке мәндерінің топтың орташа арифметикалық мәнінен ауытқуының орташа квадратына тең және жай дисперсия немесе салмақты дисперсия ретінде есептелуі мүмкін.

Осылайша, топ ішіндегі ауытқу өлшемдерітоптағы белгінің өзгеруі және мына формуламен анықталады:

мұндағы xi – топтың орташа мәні; ni – топтағы бірліктердің саны.

Мысалы, цехтағы еңбек өнімділігінің деңгейіне жұмысшылардың біліктілігінің әсерін зерттеу тапсырмасын орындау кезінде анықтауды қажет ететін топ ішілік ауытқулар әр топтағы барлық мүмкін факторлардан (жабдықтың техникалық жағдайы, жабдықтың болуы) туындаған өнім көлемінің ауытқуын көрсетеді. құралдар мен материалдар, жұмысшылардың жасы, еңбек сыйымдылығы және т.б.), біліктілік санатындағы айырмашылықтарды қоспағанда (топ ішінде барлық жұмысшылардың біліктілігі бірдей).

Топ ішіндегі дисперсиялардың орташа мәні кездейсоқ вариацияны, яғни топтастыру факторын қоспағанда, барлық басқа факторлардың әсерінен болған вариацияның сол бөлігін көрсетеді. Ол формула бойынша есептеледі:

Топаралық дисперсиятоптың негізін құрайтын фактор-атрибуттың әсерінен туындайтын сипаттаманың жүйелі түрленуін сипаттайды. Ол жалпы ортадан топтық құралдардың ауытқуларының орташа квадратына тең. Топаралық дисперсия мына формула бойынша есептеледі:

Дисперсиякездейсоқ шама- берілгеннің таралу өлшемі кездейсоқ шама, яғни ол ауытқуларматематикалық күтуден. Статистикада дисперсияны белгілеу үшін белгілеу (сигма квадраты) жиі қолданылады. тең дисперсияның квадрат түбірі деп аталады стандартты ауытқунемесе стандартты таралу. Стандартты ауытқу кездейсоқ шаманың өзі сияқты бірліктермен өлшенеді, ал дисперсия сол бірлік квадраттарымен өлшенеді.

Бүкіл іріктемені бағалау үшін тек бір мәнді (мысалы, орташа немесе режим және медиана) пайдалану өте ыңғайлы болғанымен, бұл тәсіл дұрыс емес қорытындыларға оңай әкелуі мүмкін. Бұл жағдайдың себебі мәннің өзінде емес, бірақ бір мәннің деректер мәндерінің таралуын ешбір түрде көрсетпеуінде.

Мысалы, үлгіде:

орташа мәні 5.

Дегенмен, үлгінің өзінде 5 мәні бар бірде-бір элемент жоқ. Үлгідегі әрбір элементтің оның орташа мәніне жақындық дәрежесін білу қажет болуы мүмкін. Немесе басқаша айтқанда, мәндердің дисперсиясын білу қажет болады. Деректердің өзгеру дәрежесін біле отырып, сіз жақсырақ түсіндіре аласыз орташа мән, медианаЖәне сән. Таңдама мәндерінің өзгеру дәрежесі олардың дисперсиясы мен стандартты ауытқуын есептеу арқылы анықталады.

Стандартты ауытқу деп аталатын дисперсия және дисперсияның квадрат түбірі таңдамалы орташа мәннен орташа ауытқуды сипаттайды. Осы екі шаманың ішінде ең маңыздысы стандартты ауытқу. Бұл мәнді элементтердің үлгінің ортаңғы элементінен болатын орташа қашықтығы ретінде қарастыруға болады.

Айырмашылықты мағыналы түсіндіру қиын. Дегенмен, бұл мәннің квадрат түбірі стандартты ауытқу болып табылады және оны оңай түсіндіруге болады.

Стандартты ауытқу алдымен дисперсияны анықтау, содан кейін дисперсияның квадрат түбірін алу арқылы есептеледі.

Мысалы, суретте көрсетілген деректер массиві үшін келесі мәндер алынады:

1-сурет

Мұнда квадраттық айырмашылықтардың орташа мәні 717,43-ке тең. Стандартты ауытқуды алу үшін осы санның квадрат түбірін алу ғана қалады.

Нәтиже шамамен 26,78 болады.

Стандартты ауытқу элементтердің таңдамалы орташа мәннен болатын орташа қашықтық ретінде түсіндірілетінін есте сақтаңыз.

Стандартты ауытқу орташа мәннің бүкіл үлгіні қаншалықты жақсы сипаттайтынын өлшейді.

Сіз ДК құрастыру өндірісі бөлімінің бастығысыз делік. Тоқсандық есепте соңғы тоқсандағы өндіріс 2500 ДК құрады деп көрсетілген. Бұл жақсы ма, әлде жаман ба? Сіз есепте осы деректер үшін стандартты ауытқуды көрсетуді сұрадыңыз (немесе есепте осы баған бар). Стандартты ауытқу көрсеткіші, мысалы, 2000. Өндірістік желі жақсы басқаруды қажет ететіні (жинақталатын ДК санының тым үлкен ауытқуы) бөлім басшысы ретінде сізге түсінікті болады.

Естеріңізге сала кетейік, стандартты ауытқу үлкен болған кезде деректер орта шаманың айналасында кеңінен шашыраңқы болады, ал стандартты ауытқу аз болған кезде олар орташа мәнге жақын шоғырланады.

Төрт статистикалық функция VAR(), VAR(), STDEV() және STDEV() ұяшықтар ауқымындағы сандардың дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептеуге арналған. Деректер жиынының дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептемес бұрын, деректер жиынтықты немесе жиынтық үлгісін көрсететінін анықтау керек. Жалпы жиынтықтан таңдалған жағдайда, VAR() және STDEV() функцияларын, ал жалпы жиынтық жағдайда VAR() және STDEV() функцияларын пайдалану керек:

Халық	Функция
	DISPR()
	STANDOTLONP()
Үлгі
	DISP()
	STDEV()

Дисперсия (сонымен қатар стандартты ауытқу) біз атап өткендей, деректер жиынына енгізілген мәндердің орташа арифметикалық шама айналасында шашыраңқы дәрежесін көрсетеді.

Дисперсияның немесе стандартты ауытқудың шағын мәні барлық деректердің орташа арифметикалық шаманың айналасында шоғырланғанын көрсетеді, ал бұл мәндердің үлкен мәні деректердің мәндердің кең ауқымында шашыраңқы екенін көрсетеді.

Дисперсияны мағыналы түсіндіру өте қиын (кіші мән, үлкен мән нені білдіреді?). Орындау Тапсырмалар 3деректер жиыны үшін дисперсияның мағынасын графикте көрнекі түрде көрсетуге мүмкіндік береді.

Квесттер

· 1-тапсырма.

· 2.1. Ұғымдарды беріңіз: дисперсия және стандартты ауытқу; статистикалық деректерді өңдеу үшін олардың символдық белгіленуі.

· 2.2. Жұмыс парағын 1-суретке сәйкес толтырыңыз және қажетті есептеулерді жасаңыз.

· 2.3. Есептерде қолданылатын негізгі формулаларды келтіріңіз

· 2.4. Барлық белгілерді түсіндіріңіз ( , , )

· 2.5. Дисперсиялық және орташа квадраттық ауытқу ұғымдарының практикалық мағынасын түсіндіріңіз.

2-тапсырма.

1.1. Ұғымдарды беріңіз: жалпы жиынтық және іріктеме; статистикалық мәліметтерді өңдеуге арналған математикалық күту және олардың орташа арифметикалық символдық белгіленуі.

1.2. 2-суретке сәйкес жұмыс парағын дайындаңыз және есептер жасаңыз.

1.3. Есептеулерде қолданылатын негізгі формулаларды келтіріңіз (жалпы жиынтық және іріктеме үшін).

2-сурет

1.4. 46.43 және 48.78 сияқты үлгілерде мұндай орташа арифметикалық мәндерді неге алуға болатынын түсіндіріңіз (қосымша файлды қараңыз). Қорытынды жасау.

3-тапсырма.

Деректер жиыны әртүрлі екі үлгі бар, бірақ олар үшін орташа мән бірдей болады:

3-сурет

3.1. Жұмыс парағын 3-суретке сәйкес толтырыңыз және қажетті есептеулерді жасаңыз.

3.2. Негізгі есептеу формулаларын келтіріңіз.

3.3. 4, 5-суреттерге сәйкес графиктерді тұрғызыңыз.

3.4. Алынған тәуелділіктерді түсіндіріңіз.

3.5. Екі үлгінің деректері үшін ұқсас есептеулерді орындаңыз.

Түпнұсқа үлгі 11119999

Екінші үлгінің орташа арифметикалық мәні бірдей болатындай етіп екінші үлгінің мәндерін таңдаңыз, мысалы:

Екінші үлгі үшін мәндерді өзіңіз таңдаңыз. 3, 4, 5-суреттерге ұқсас есептеулер мен графиктерді орналастырыңыз. Есептеулерде қолданылған негізгі формулаларды көрсетіңіз.

Тиісті қорытынды жасаңыз.

Барлық тапсырмаларды барлық қажетті суреттермен, графиктермен, формулалармен және қысқаша түсіндірмелермен есеп түрінде орындаңыз.

Ескерту: графиктерді құру сызбалармен және қысқаша түсініктемелермен түсіндірілуі керек.