Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулері – бағыт векторына коллинеар берілген нүкте арқылы өтетін түзуді анықтайтын теңдеулер.

Нүкте мен бағыт векторы берілсін. Ерікті нүкте түзуде жатыр лжәне векторлары коллинеар болса ғана, яғни олар үшін шарт орындалады:

.

Жоғарыда келтірілген теңдеулер түзудің канондық теңдеулері болып табылады.

Сандар м , nЖәне ббағыт векторының координаталық осьтерге проекциялары. Вектор нөл емес болғандықтан, барлық сандар м , nЖәне ббір уақытта нөлге тең бола алмайды. Бірақ олардың біреуі немесе екеуі нөлге тең болуы мүмкін. Мысалы, аналитикалық геометрияда келесі жазбаға рұқсат етіледі:

,

бұл вектордың оське проекциялары дегенді білдіреді ОйЖәне Ознөлге тең. Демек, канондық теңдеулер арқылы анықталатын вектор да, түзу де осьтерге перпендикуляр болады. ОйЖәне Оз, яғни ұшақтар yOz .

1-мысал.Кеңістіктегі жазықтыққа перпендикуляр түзудің теңдеулерін жаз және осы жазықтықтың осьпен қиылысу нүктесі арқылы өту Оз .

Шешім. Осы жазықтықтың осімен қиылысу нүктесін табайық Оз. Кез келген нүкте осьте жатқандықтан Оз, координаталары бар, онда жазықтықтың берілген теңдеуінде алсақ x = y = 0, біз 4 аламыз z- 8 = 0 немесе z= 2 . Демек, бұл жазықтықтың осьпен қиылысу нүктесі Озкоординаталары бар (0; 0; 2) . Қажетті түзу жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, оның қалыпты векторына параллель болады. Демек, түзудің бағыттаушы векторы нормаль вектор бола алады берілген ұшақ.

Енді нүкте арқылы өтетін түзудің қажетті теңдеулерін жазайық А= (0; 0; 2) вектор бағыты бойынша:

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеулері

Түзу сызықты оның үстінде жатқан екі нүкте арқылы анықтауға болады Және Бұл жағдайда түзудің бағыттаушы векторы вектор болуы мүмкін. Содан кейін сызықтың канондық теңдеулері пішінді алады

.

Жоғарыдағы теңдеулер берілген екі нүкте арқылы өтетін түзуді анықтайды.

2-мысал.және нүктелері арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім. Теориялық анықтамада жоғарыда келтірілген түрде түзудің қажетті теңдеулерін жазайық:

.

болғандықтан, онда қажетті түзу оське перпендикуляр болады Ой .

Жазықтықтардың қиылысу сызығы сияқты түзу

Кеңістіктегі түзу екі параллель емес жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде және, яғни екі сызықтық теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын нүктелер жиынтығы ретінде анықталуы мүмкін.

Жүйенің теңдеулерін кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеулері деп те атайды.

3-мысал.Жалпы теңдеулер арқылы берілген кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін құрастыр

Шешім. Түзудің канондық теңдеулерін немесе бірдей екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеулерін жазу үшін түзудің кез келген екі нүктесінің координаталарын табу керек. Олар, мысалы, кез келген екі координаталық жазықтықпен түзудің қиылысу нүктелері болуы мүмкін yOzЖәне xOz .

Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі yOzабсциссасы бар x= 0. Сондықтан бұл теңдеулер жүйесінде қабылдау x= 0, біз екі айнымалысы бар жүйені аламыз:

Оның шешімі ж = 2 , z= 6 бірге x= 0 нүктені анықтайды А(0; 2; 6) қажетті жол. Содан кейін берілген теңдеулер жүйесінде қабылдаймыз ж= 0, біз жүйені аламыз

Оның шешімі x = -2 , z= 0 -мен бірге ж= 0 нүктені анықтайды Б(-2; 0; 0) түзудің жазықтықпен қиылысуы xOz .

Енді нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеулерін жазып алайық А(0; 2; 6) және Б (-2; 0; 0) :

,

немесе бөлгіштерді -2-ге бөлгеннен кейін:

,

Жазықтықтағы түзудің теңдеуі.
Бағыт векторы түзу. Қалыпты вектор

Жазықтықтағы түзу – бұл сізге бастауыш мектептен таныс қарапайым геометриялық фигуралардың бірі, біз бүгін аналитикалық геометрия әдістерін қолдана отырып, онымен күресуді үйренеміз. Материалды меңгеру үшін түзу сызықты сала білу керек; түзуді, атап айтқанда координаталар басы арқылы өтетін түзуді және координаталар осіне параллель түзулерді қандай теңдеу анықтайтынын білу. Бұл ақпаратты нұсқаулықта табуға болады Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері, Мен оны Mathan үшін жасадым, бірақ сызықтық функция туралы бөлім өте сәтті және егжей-тегжейлі болып шықты. Сондықтан, құрметті шәйнектер, алдымен сонда жылыныңыз. Сонымен қатар, сізде негізгі білім болуы керек векторлар, әйтпесе материалды түсіну толық болмайды.

Бұл сабақта біз жазықтықтағы түзудің теңдеуін құрудың жолдарын қарастырамыз. Мен практикалық мысалдарды (өте қарапайым болып көрінсе де) назардан тыс қалдырмауды ұсынамын, өйткені мен оларға болашақта, соның ішінде жоғары математиканың басқа бөлімдерінде қажет болатын қарапайым және маңызды фактілерді, техникалық әдістерді беремін.

• Бұрыш коэффициенті бар түзудің теңдеуі қалай жазылады?
• Қалай ?
• Түзудің жалпы теңдеуін пайдаланып бағыт векторын қалай табуға болады?
• Нүкте мен нормаль векторы берілген түзудің теңдеуі қалай жазылады?

және біз бастаймыз:

Еңісі бар түзудің теңдеуі

Түзу теңдеуінің белгілі «мектеп» түрі деп аталады еңісі бар түзудің теңдеуі. Мысалы, егер түзу теңдеу арқылы берілсе, онда оның еңісі: . Осы коэффициенттің геометриялық мағынасын және оның мәні сызықтың орналасуына қалай әсер ететінін қарастырайық:

Бұл геометрия курсында дәлелденген түзудің еңісі тең бұрыштың тангенсіоң ось бағыты арасындажәне бұл сызық: , ал бұрыш сағат тіліне қарсы «бұрады».

Сызбаны шатастырмау үшін мен тек екі түзу үшін бұрыштар сыздым. «Қызыл» сызықты және оның еңісін қарастырайық. Жоғарыда айтылғандарға сәйкес: («альфа» бұрышы жасыл доғамен көрсетілген). Бұрыш коэффициенті бар «көк» түзу үшін теңдік ақиқат («бета» бұрышы қоңыр доғамен көрсетілген). Ал егер бұрыштың тангенсі белгілі болса, қажет болса оны табу оңай және бұрыштың өзікері функцияны қолдану - артангенс. Олар айтқандай, сіздің қолыңызда тригонометриялық кесте немесе микрокалькулятор. Осылайша, бұрыштық коэффициент түзу сызықтың абсцисса осіне еңкею дәрежесін сипаттайды.

Келесі жағдайлар мүмкін:

1) Егер еңіс теріс болса: онда сызық, шамамен айтқанда, жоғарыдан төменге қарай жүреді. Мысалдар сызбадағы «көк» және «таңқурай» түзу сызықтары.

2) Егер көлбеу оң болса: , онда сызық төменнен жоғарыға өтеді. Мысалдар – сызбадағы «қара» және «қызыл» түзу сызықтар.

3) Егер көлбеу нөлге тең болса: , онда теңдеу пішінді қабылдайды және сәйкес түзу оське параллель болады. Мысалы, «сары» түзу.

4) Оське параллель түзулер тобы үшін (сызбада осьтің өзінен басқа мысал жоқ), бұрыштық коэффициент жоқ (90 градус тангенсі анықталмаған).

Абсолюттік мәндегі көлбеу коэффициенті неғұрлым үлкен болса, сызықтық график соғұрлым тік болады..

Мысалы, екі түзу сызықты қарастырайық. Демек, мұнда түзу сызықтың еңісі тік болады. Естеріңізге сала кетейін, модуль белгіні елемеуге мүмкіндік береді, бізді тек қызықтырады абсолютті мәндербұрыштық коэффициенттер.

Өз кезегінде түзу сызық түзу сызықтарға қарағанда тік болады .

Керісінше: абсолютті мәндегі көлбеу коэффициенті неғұрлым аз болса, соғұрлым түзу тегіс болады.

Түзу сызықтар үшін теңсіздік ақиқат, сондықтан түзу сызық тегіс болады. Өзіңізге көгеріп, соққы бермеу үшін балалар слайды.

Бұл не үшін қажет?

Азапты ұзартыңыз Жоғарыда аталған фактілерді білу қателеріңізді, атап айтқанда, графиктерді құру кезіндегі қателерді бірден көруге мүмкіндік береді - егер сызба «бірдеңе дұрыс емес» болып шықса. Сіз жасаған жөн бірденмысалы, түзудің өте тік және төменнен жоғары қарай өтетіні, ал түзудің өте тегіс, оське жақын басылып, жоғарыдан төмен қарай жүретіні анық болды.

Геометриялық есептерде бірнеше түзу сызықтар жиі пайда болады, сондықтан оларды қандай да бір жолмен белгілеу ыңғайлы.

Белгілер: түзу сызықтар шағын латын әріптерімен белгіленеді: . Танымал нұсқа - оларды табиғи әріптермен бірдей әріппен белгілеу. Мысалы, біз қарастырған бес жолды арқылы белгілеуге болады .

Кез келген түзу екі нүктемен бірегей түрде анықталатындықтан, оны мына нүктелермен белгілеуге болады: т.б. Белгілеу нүктелердің сызыққа жататынын анық білдіреді.

Кішкене жылыту уақыты келді:

Бұрыш коэффициенті бар түзудің теңдеуі қалай жазылады?

Егер белгілі бір түзуге жататын нүкте және осы түзудің бұрыштық коэффициенті белгілі болса, онда бұл түзудің теңдеуі мына формуламен өрнектеледі:

1-мысал

Егер нүктенің берілген түзуге жататыны белгілі болса, көлбеу түзудің теңдеуін жаз.

Шешім: Формула арқылы түзудің теңдеуін құрастырайық . Бұл жағдайда:

Жауап:

Емтиханқарапайым орындалады. Алдымен біз алынған теңдеуге қарап, көлбеуіміздің орнында екеніне көз жеткіземіз. Екіншіден, нүктенің координаталары осы теңдеуді қанағаттандыруы керек. Оларды теңдеуге қосайық:

Дұрыс теңдік алынады, бұл нүкте алынған теңдеуді қанағаттандыратынын білдіреді.

Қорытынды: Теңдеу дұрыс табылды.

Өз бетіңізше шешуге қиынырақ мысал:

2-мысал

Түзудің осінің оң бағытына көлбеу бұрышы , ал нүктесі осы түзуге жататыны белгілі болса, оның теңдеуін жазыңыз.

Егер сізде қандай да бір қиындықтар туындаса, теориялық материалды қайта оқып шығыңыз. Дәлірек айтқанда, практикалық, мен көптеген дәлелдерді өткізіп жіберемін.

Соңғы қоңырау соғылды, мектеп бітіру кеші аяқталды, туған мектебіміздің қақпасының сыртында бізді аналитикалық геометрияның өзі күтіп тұр. Әзілдер бітті... Немесе олар енді басталып жатқан шығар =)

Сағынышпен қаламымызды танысқа бұлғап, түзудің жалпы теңдеуімен танысамыз. Өйткені аналитикалық геометрияда дәл осылай қолданылады:

Түзу сызықтың жалпы теңдеуі мынадай түрге ие: , кейбір сандар қайда. Бұл ретте коэффициенттер бір мезгілденөлге тең емес, өйткені теңдеу мағынасын жоғалтады.

Костюм киіп, көлбеу коэффициентімен теңдеуді байланыстырайық. Алдымен барлық терминдерді сол жаққа жылжытайық:

«Х» белгісі бар термин бірінші орынға қойылуы керек:

Негізінде, теңдеу қазірдің өзінде нысаны бар , бірақ математикалық этикет ережелеріне сәйкес бірінші мүшенің коэффициенті (бұл жағдайда) оң болуы керек. Белгілерді өзгерту:

Бұл техникалық мүмкіндікті есте сақтаңыз!Біз бірінші коэффициентті (көбінесе) оң жасаймыз!

Аналитикалық геометрияда түзу теңдеуі әрқашан дерлік жалпы түрде беріледі. Қажет болса, оны бұрыштық коэффициенті бар «мектеп» формасына оңай азайтуға болады (ординат осіне параллель түзу сызықтарды қоспағанда).

Өзімізден не деп сұрап көрейік жеткіліктітүзу сызық салуды білесіз бе? Екі ұпай. Бірақ бұл балалық шақтағы оқиға туралы көбірек, енді көрсеткілер ережесімен жабысады. Әрбір түзу сызықтың «бейімделу» оңай болатын өте нақты еңісі бар. векторы.

Түзуге параллель болатын вектор сол түзудің бағыт векторы деп аталады. Кез келген түзудің шексіз көп бағыт векторлары болатыны анық және олардың барлығы коллинеар болады (бір бағыттағы немесе жоқ – маңызды емес).

Бағыт векторын былай белгілеймін: .

Бірақ бір вектор түзу салу үшін жеткіліксіз, вектор еркін және жазықтықтың кез келген нүктесіне байланысты емес; Сондықтан түзуге жататын кейбір нүктені білу қосымша қажет.

Түзу теңдеуін нүкте мен бағыт векторы арқылы қалай жазуға болады?

Егер түзуге жататын белгілі бір нүкте және осы түзудің бағыт векторы белгілі болса, онда бұл түзудің теңдеуін мына формула арқылы құрастыруға болады:

Кейде оны атайды сызықтың канондық теңдеуі .

Қашан не істеу керек координаттарының бірінөлге тең, біз төменде практикалық мысалдарда түсінеміз. Айтпақшы, назар аударыңыз - екеуі де бірденкоординаттар нөлге тең болуы мүмкін емес, өйткені нөлдік вектор нақты бағытты көрсетпейді.

3-мысал

Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзу теңдеуін жаз

Шешім: Формула арқылы түзу теңдеуін құрастырайық. Бұл жағдайда:

Пропорцияның қасиеттерін пайдалана отырып, біз бөлшектерден құтыламыз:

Ал теңдеуді оның жалпы түріне келтіреміз:

Жауап:

Әдетте, мұндай мысалдарда сурет салудың қажеті жоқ, бірақ түсіну үшін:

Сызбада біз бастапқы нүктені, бастапқы бағыт векторын (оны жазықтықтың кез келген нүктесінен салуға болады) және салынған түзуді көреміз. Айтпақшы, көп жағдайда бұрыштық коэффиценті бар теңдеуді пайдаланып түзу салу ең қолайлы. Біздің теңдеуімізді пішінге түрлендіру және түзу салу үшін басқа нүктені оңай таңдау оңай.

Параграфтың басында атап өтілгендей, түзудің шексіз саны бағыт векторлары бар және олардың барлығы коллинеар. Мысалы, мен үш векторды салдым: . Қандай бағыт векторын таңдасақ та, нәтиже әрқашан бірдей түзу теңдеуі болады.

Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзудің теңдеуін құрайық:

Пропорцияны шешу:

Екі жағын –2-ге бөліп, таныс теңдеуді алыңыз:

Қызығушылық танытқандар векторларды дәл осылай тексере алады немесе кез келген басқа коллинеар вектор.

Енді кері есепті шешейік:

Түзудің жалпы теңдеуін пайдаланып бағыт векторын қалай табуға болады?

Өте қарапайым:

Егер түзу тікбұрышты координаталар жүйесінде жалпы теңдеу арқылы берілсе, онда вектор осы түзудің бағыт векторы болады.

Түзулердің бағыт векторларын табу мысалдары:

Мәлімдеме шексіз санның ішінен тек бір бағыт векторын табуға мүмкіндік береді, бірақ бізге артық қажет емес. Кейбір жағдайларда бағыт векторларының координаталарын азайтқан жөн:

Осылайша, теңдеу оське параллель болатын түзуді анықтайды және алынған бағыт векторының координаталары –2-ге ыңғайлы түрде бөлінеді, дәл базистік векторды бағыт векторы ретінде алады. Логикалық.

Сол сияқты теңдеу оське параллель түзуді көрсетеді және вектордың координаталарын 5-ке бөлу арқылы бағыт векторы ретінде бірлік векторды аламыз.

Енді жасайық 3-мысалды тексеру. Мысал жоғарылады, сондықтан мен онда біз нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзу теңдеуін құрастырғанымызды еске саламын.

Біріншіден, түзудің теңдеуін пайдаланып, оның бағыт векторын қалпына келтіреміз: – бәрі жақсы, біз бастапқы векторды алдық (кейбір жағдайларда нәтиже түпнұсқаға коллинеар вектор болуы мүмкін және оны әдетте сәйкес координаттардың пропорционалдылығынан байқау оңай).

Екіншіден, нүктенің координаталары теңдеуді қанағаттандыру керек. Оларды теңдеуге ауыстырамыз:

Дұрыс теңдік алынды, бұл біз өте қуаныштымыз.

Қорытынды: Тапсырма дұрыс орындалды.

4-мысал

Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзу теңдеуін жаз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Шешімі мен жауабы сабақтың соңында. Жаңа талқыланған алгоритмді пайдаланып тексерген жөн. Әрқашан (мүмкіндігінше) жобаны тексеруге тырысыңыз. 100% болдырмауға болатын қателіктер жасау ақымақтық.

Бағыт векторының координаттарының бірі нөлге тең болған жағдайда өте қарапайым әрекетті орындаңыз:

5-мысал

Шешім: Оң жақтағы бөлгіш нөлге тең болғандықтан, формула қолайлы емес. Шығу жолы бар! Пропорцияның қасиеттерін пайдалана отырып, біз формуланы пішінде қайта жазамыз, ал қалғандары терең жол бойымен айналдырылады:

Жауап:

Емтихан:

1) түзудің бағыттаушы векторын қалпына келтіріңіз:
– алынған вектор бастапқы бағыт векторына коллинеар.

2) Нүктенің координаталарын теңдеуге қойыңыз:

Дұрыс теңдік алынады

Қорытынды: тапсырма дұрыс орындалды

Сұрақ туындайды, егер кез келген жағдайда жұмыс істейтін әмбебап нұсқасы бар болса, формуламен неге алаңдау керек? Оның екі себебі бар. Біріншіден, формула бөлшек түрінде әлдеқайда жақсы есте қалды. Ал екіншіден, әмбебап формуланың кемшілігі мынада шатастыру қаупі айтарлықтай артадыкоординаталарды ауыстырғанда.

6-мысал

Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзу теңдеуін жаз.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал.

Барлық жерде кездесетін екі тармаққа оралайық:

Екі нүктені пайдаланып түзу теңдеуін қалай жазуға болады?

Егер екі нүкте белгілі болса, онда осы нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеуін мына формула арқылы құрастыруға болады:

Шындығында, бұл формуланың бір түрі, сондықтан: егер екі нүкте белгілі болса, онда вектор берілген түзудің бағыт векторы болады. Сыныпта Манекендерге арналған векторларбіз ең қарапайым мәселені қарастырдық - екі нүктеден вектордың координаталарын қалай табуға болады. Осы есеп бойынша бағыт векторының координаталары:

Ескерту : нүктелерді «ауыстыруға» және формуланы пайдалануға болады . Мұндай шешім эквивалентті болады.

7-мысал

Екі нүктені пайдаланып түзудің теңдеуін жаз .

Шешім: Біз формуланы қолданамыз:

Бөлгіштерді біріктіру:

Және палубаны араластырыңыз:

Дәл қазір бөлшек сандардан құтылу ыңғайлы. Бұл жағдайда екі жағын 6-ға көбейту керек:

Жақшаларды ашып, мына теңдеуді еске түсіріңіз:

Жауап:

Емтихананық - бастапқы нүктелердің координаталары алынған теңдеуді қанағаттандыруы керек:

1) Нүктенің координаталарын ауыстыр:

Нағыз теңдік.

2) Нүктенің координаталарын ауыстыр:

Нағыз теңдік.

Қорытынды: Жолдың теңдеуі дұрыс жазылған.

Егер кем дегенде біреуінүктелердің саны теңдеуді қанағаттандырмайды, қатені іздеңіз.

Айта кету керек, бұл жағдайда графикалық тексеру қиын, өйткені түзу сызықты салу және нүктелердің оған тиесілілігін көру , соншалықты қарапайым емес.

Мен шешімнің тағы бірнеше техникалық аспектілерін атап өтемін. Мүмкін, бұл мәселеде айна формуласын пайдалану тиімдірек және сол нүктелерде теңдеу құру:

Аз фракциялар. Қаласаңыз, шешімді соңына дейін орындауға болады, нәтиже бірдей теңдеу болуы керек.

Екінші мәселе - соңғы жауапты қарау және оны одан әрі жеңілдетуге болатынын анықтау. Мысалы, егер сіз теңдеуді алсаңыз, оны екіге азайтқан жөн: – теңдеу бірдей түзуді анықтайды. Дегенмен, бұл қазірдің өзінде әңгіме тақырыбы сызықтардың салыстырмалы орналасуы.

Жауабын алған соң 7-мысалда мен теңдеудің БАРЛЫҚ коэффициенттерінің 2-ге, 3-ке немесе 7-ге бөлінетінін тексердім. Дегенмен, көбінесе мұндай қысқартулар шешу кезінде жасалады.

8-мысал

нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз .

Бұл есептеу әдістерін жақсырақ түсінуге және тәжірибе жасауға мүмкіндік беретін тәуелсіз шешімнің үлгісі.

Алдыңғы абзацқа ұқсас: формулада болса бөлгіштердің бірі (бағыт векторының координатасы) нөлге айналады, содан кейін оны түрінде қайта жазамыз. Қайтадан оның қаншалықты ыңғайсыз және абдырап тұрғанына назар аударыңыз. Мен практикалық мысалдар келтірудің мағынасын көрмеймін, өйткені біз бұл мәселені шешіп қойдық (№ 5, 6 қараңыз).

Тура қалыпты вектор (қалыпты вектор)

Қалыпты деген не? Қарапайым сөзбен айтқанда, нормаль - перпендикуляр. Яғни түзудің нормаль векторы берілген түзуге перпендикуляр. Кез келген түзуде олардың шексіз саны (бағыт векторлары сияқты) болатыны анық, ал түзудің барлық қалыпты векторлары коллинеар болады (кодирекциялық немесе жоқ, айырмашылығы жоқ).

Олармен жұмыс істеу бағыттаушы векторларға қарағанда оңайырақ болады:

Егер түзу тікбұрышты координаталар жүйесінде жалпы теңдеу арқылы берілсе, онда вектор осы түзудің нормаль векторы болады.

Бағыт векторының координаталарын теңдеуден мұқият «шығару» керек болса, онда қалыпты вектордың координаттарын жай ғана «алып тастауға» болады.

Қалыпты вектор әрқашан түзудің бағыт векторына ортогональ болады. Осы векторлардың ортогоналдылығын пайдаланып тексерейік нүктелік өнім:

Мен бағыт векторы сияқты теңдеулермен мысалдар келтіремін:

Бір нүкте мен нормаль векторы берілген түзудің теңдеуін құруға болады ма? Мен оны ішімде сеземін, бұл мүмкін. Егер қалыпты вектор белгілі болса, онда түзу сызықтың бағыты нақты анықталған - бұл 90 градус бұрышы бар «қатты құрылым».

Нүкте мен нормаль векторы берілген түзудің теңдеуі қалай жазылады?

Егер түзуге жататын белгілі бір нүкте және осы түзудің нормаль векторы белгілі болса, онда бұл түзудің теңдеуі мына формуламен өрнектеледі:

Мұнда бәрі бөлшек және басқа тосынсыйларсыз орындалды. Бұл біздің қалыпты векторымыз. Оны сүй. Және құрмет =)

9-мысал

Нүкте мен нормаль векторы берілген түзудің теңдеуін жазыңыз. Түзудің бағыт векторын табыңыз.

Шешім: Біз формуланы қолданамыз:

Түзудің жалпы теңдеуі алынды, тексерейік:

1) нормаль векторының координаталарын теңдеуден «алып тастаңыз»: – иә, шынында да, бастапқы вектор шарттан алынды (немесе коллинеар векторды алу керек).

2) нүктенің теңдеуді қанағаттандыратынын тексерейік:

Нағыз теңдік.

Теңдеудің дұрыс құрастырылғанына көз жеткізгеннен кейін тапсырманың екінші жеңіл бөлігін орындаймыз. Түзудің бағыттаушы векторын шығарамыз:

Жауап:

Сызбада жағдай келесідей көрінеді:

Оқу мақсаттары үшін өз бетінше шешуге арналған ұқсас тапсырма:

10-мысал

Нүкте мен нормаль векторы берілген түзудің теңдеуін жазыңыз. Түзудің бағыт векторын табыңыз.

Сабақтың қорытынды бөлімі жазықтықтағы түзу теңдеулерінің сирек кездесетін, бірақ маңызды түрлеріне арналады.

Кесінділердегі түзудің теңдеуі.
Параметрлік түрдегі түзудің теңдеуі

Кесінділердегі түзудің теңдеуі нөлдік емес тұрақтылар түрінде болады. Теңдеулердің кейбір түрлерін бұл формада көрсету мүмкін емес, мысалы, тура пропорционалдық (еркін мүше нөлге тең және оң жағында біреуін алу мүмкіндігі жоқ болғандықтан).

Бұл, бейнелеп айтқанда, теңдеудің «техникалық» түрі. Жалпы тапсырма – сызықтың жалпы теңдеуін кесінділердегі түзудің теңдеуі ретінде көрсету. Бұл қалай ыңғайлы? Кесінділердегі түзудің теңдеуі координаталық осьтері бар түзудің қиылысу нүктелерін жылдам табуға мүмкіндік береді, бұл жоғары математиканың кейбір есептерінде өте маңызды болуы мүмкін.

Түзудің осімен қиылысу нүктесін табайық. Біз «y» мәнін нөлге келтіреміз және теңдеу пішінін алады. Қажетті нүкте автоматты түрде алынады: .

Осьпен бірдей – түзудің ордината осімен қиылысатын нүктесі.

Бұл мақалада жазықтықта орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің туындысы ашылады. Тік бұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін шығарайық. Өтілген материалға қатысты бірнеше мысалдарды анық көрсетіп, шешеміз.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін алудан бұрын кейбір фактілерге назар аудару қажет. Жазықтықтағы екі дивергентті нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болатынын айтатын аксиома бар. Басқаша айтқанда, жазықтықта берілген екі нүкте осы нүктелер арқылы өтетін түзу арқылы анықталады.

Егер жазықтық Oxy тікбұрышты координаталар жүйесімен анықталса, онда бейнеленген кез келген түзу жазықтықтағы түзудің теңдеуіне сәйкес болады. Түзудің бағыттаушы векторымен де байланыс бар, бұл деректер екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрастыру үшін жеткілікті.

Ұқсас есепті шешудің мысалын қарастырайық. Декарттық координаталар жүйесінде орналасқан M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) екі дивергентті нүктелер арқылы өтетін а түзуінің теңдеуін құру керек.

x - x 1 a x = y - y 1 a y түріндегі жазықтықтағы түзудің канондық теңдеуінде O x y тікбұрышты координаталар жүйесі онымен M 1 (x) координаталары бар нүктеде қиылысатын түзумен көрсетілген. 1, y 1) бағыттаушы векторымен a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін а түзуінің канондық теңдеуін құру қажет.

a түзуінің координаталары (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → бағыт векторы бар, өйткені ол M 1 және M 2 нүктелерін қиып өтеді. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) бағыт векторының координаталары және оларда жатқан M 1 нүктелерінің координаталары бар канондық теңдеуді түрлендіру үшін қажетті мәліметтерді алдық. (x 1, y 1) және M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Есептеулерден кейін координаталары M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) екі нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы түзудің параметрлік теңдеулерін жазамыз. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ немесе x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ түріндегі теңдеуді аламыз. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Бірнеше мысалды шешуді егжей-тегжейлі қарастырайық.

1-мысал

Координаталары M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 берілген 2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Координаталары x 1, y 1 және x 2, y 2 болатын екі нүктеде қиылысатын түзудің канондық теңдеуі x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 түрін алады. Есептің шарты бойынша бізде x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 болады. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 теңдеуіне сандық мәндерді ауыстыру қажет. Осы жерден канондық теңдеу х - (- 5) 1 - (- 5) = у - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 түрін алатынын көреміз.

Жауабы: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Егер сізге басқа типтегі теңдеумен мәселені шешу қажет болса, онда алдымен канондық теңдеуге өтуге болады, өйткені одан кез келген басқасына өту оңайырақ.

2-мысал

O xy координаталар жүйесіндегі M 1 (1, 1) және M 2 (4, 2) координаталары бар нүктелер арқылы өтетін түзудің жалпы теңдеуін құрастырыңыз.

Шешім

Алдымен берілген екі нүкте арқылы өтетін берілген түзудің канондық теңдеуін жазу керек. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Канондық теңдеуді қажетті пішінге келтірейік, содан кейін аламыз:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Жауап: x - 3 y + 2 = 0 .

Мұндай тапсырмалардың мысалдары мектеп оқулықтарында алгебра сабақтарында талқыланды. Мектеп есептері y = k x + b түріндегі бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуі белгілі болуымен ерекшеленді. y = k x + b теңдеуі O x y жүйесіндегі M 1 (x 1, y 1) және M 2 ( нүктелері арқылы өтетін түзуді анықтайтын k көлбеуінің мәнін және b санын табу қажет болса. x 2, y 2) , мұндағы x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 болғанда , онда бұрыштық коэффициент шексіздік мәнін қабылдайды, ал M 1 M 2 түзу x - x 1 = 0 түріндегі жалпы толық емес теңдеумен анықталады. .

Өйткені ұпайлар М 1Және М 2түзу сызықта болса, онда олардың координаталары y 1 = k x 1 + b және y 2 = k x 2 + b теңдеуін қанағаттандырады. k және b үшін y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b теңдеулер жүйесін шешу керек.

Ол үшін k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 немесе k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = мәнін табамыз. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Осы k және b мәндерімен берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x болады. 1 немесе y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Мұндай көп формулаларды бірден есте сақтау мүмкін емес. Ол үшін есептерді шығаруда қайталау санын көбейту қажет.

3-мысал

Координаталары M 2 (2, 1) және у = k x + b нүктелері арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Есепті шешу үшін y = k x + b түріндегі бұрыштық коэффициенті бар формуланы қолданамыз. k және b коэффициенттері бұл теңдеу M 1 (- 7, - 5) және M 2 (2, 1) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін түзуге сәйкес келетіндей мән алуы керек.

Ұпайлар М 1Және М 2түзуде орналасса, онда олардың координаталары y = k x + b теңдеуін шын теңдікке айналдыруы керек. Бұдан біз мынаны аламыз - 5 = k · (- 7) + b және 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b жүйесіне теңдеуді біріктіріп, шешейік.

Ауыстыру кезінде біз оны аламыз

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Енді k = 2 3 және b = - 1 3 мәндері y = k x + b теңдеуіне ауыстырылды. Берілген нүктелер арқылы өтетін қажетті теңдеу у = 2 3 x - 1 3 түріндегі теңдеу болатынын көреміз.

Бұл шешім әдісі көп уақытты жоғалтуды алдын ала анықтайды. Тапсырманы сөзбе-сөз екі қадаммен шешудің жолы бар.

M 2 (2, 1) және M 1 (- 7, - 5) арқылы өтетін түзудің x - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) түріндегі канондық теңдеуін жазайық. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Енді көлбеу теңдеуіне көшейік. Біз мынаны аламыз: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Жауабы: у = 2 3 x - 1 3 .

Егер үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2) берілген екі сәйкес келмейтін нүктесі бар O x y z тікбұрышты координаталар жүйесі болса, олардан 1 M 2 өтетін M түзу сызығын, осы түзудің теңдеуін алу керек.

Бізде x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z түріндегі канондық теңдеулер және x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z түріндегі параметрлік теңдеулер бар. 1 + a z · λ бағыт векторы a → = (a x, a y, a z) координаталары (x 1, y 1, z 1) бар нүктелер арқылы өтетін O x y z координаталар жүйесіндегі түзуді анықтай алады.

Тікелей M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) түріндегі бағыт векторы бар, мұндағы түзу M 1 нүктесі арқылы өтеді (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2 , y 2 , z 2), демек, канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 түрінде болуы мүмкін. z 2 - z 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, өз кезегінде параметрлік x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ немесе x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Кеңістікте берілген 2 нүктені және түзу теңдеуін көрсететін сызбаны қарастырайық.

4-мысал

Координаталары M 1 (2, - 3, 0) және M 2 (1, - 3, - 5) берілген екі нүкте арқылы өтетін үш өлшемді кеңістіктің O x y z тік бұрышты координаталар жүйесінде анықталған түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Канондық теңдеуді табу керек. Әңгіме үш өлшемді кеңістік туралы болғандықтан, бұл түзу берілген нүктелерден өткенде, қалаған канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z пішінін алатынын білдіреді. - z 1 z 2 - z 1 .

Шарт бойынша бізде x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 болады. Бұдан шығатыны, қажетті теңдеулер келесі түрде жазылады:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Жауабы: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Евклид геометриясындағы түзудің қасиеттері.

Кез келген нүкте арқылы шексіз көп түзулер жүргізуге болады.

Кез келген екі сәйкес келмейтін нүкте арқылы бір түзу сызық жүргізуге болады.

Жазықтықтағы екі дивергентті түзу не бір нүктеде қиылысады, не болады

параллель (алдыңғыдан кейін).

Үш өлшемді кеңістікте екі жолдың өзара орналасуының үш нұсқасы бар:

• сызықтар қиылысады;

• түзулер параллель;

• түзу сызықтар қиылысады.

Тіке сызық— бірінші ретті алгебралық қисық: декарттық координаттар жүйесіндегі түзу

жазықтықта бірінші дәрежелі теңдеу (сызықтық теңдеу) арқылы беріледі.

Түзудің жалпы теңдеуі.

Анықтама. Жазықтықтағы кез келген түзуді бірінші ретті теңдеу арқылы анықтауға болады

Ax + Wu + C = 0,

және тұрақты А, Ббір уақытта нөлге тең емес. Бұл бірінші ретті теңдеу деп аталады жалпы

түзудің теңдеуі.Тұрақтылардың мәндеріне байланысты А, БЖәне МЕНКелесі ерекше жағдайлар мүмкін:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- координат басынан түзу өтеді

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- осіне параллель түзу О

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- осіне параллель түзу О

. B = C = 0, A ≠0- түзу сызық осімен сәйкес келеді О

. A = C = 0, B ≠0- түзу сызық осімен сәйкес келеді О

Түзу теңдеуі кез келген берілгенге байланысты әртүрлі формада берілуі мүмкін

бастапқы шарттар.

Нүктеден түзу және нормаль вектордың теңдеуі.

Анықтама. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінде құрамдас бөліктері (A, B) бар вектор.

теңдеуімен берілген түзуге перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Мысал. Нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз A(1, 2)векторға перпендикуляр (3, -1).

Шешім. A = 3 және B = -1 болса, түзудің теңдеуін құрайық: 3x - y + C = 0. С коэффициентін табу үшін

Алынған өрнекке берілген А нүктесінің координаталарын қойып көрейік: 3 - 2 + С = 0, демек

C = -1. Барлығы: қажетті теңдеу: 3х - у - 1 = 0.

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Кеңістікте екі нүкте берілсін M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Және M2 (x 2, y 2, z 2),Содан кейін түзудің теңдеуі,

осы нүктелерден өту:

Егер бөлгіштердің кез келгені нөлге тең болса, сәйкес алым нөлге тең болуы керек. Қосулы

жазықтықта жоғарыда жазылған түзудің теңдеуі жеңілдетілген:

Егер x 1 ≠ x 2Және x = x 1, Егер x 1 = x 2 .

Бөлшек = kшақырды еңіс тікелей.

Мысал. А(1, 2) және В(3, 4) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Жоғарыда жазылған формуланы қолданып, аламыз:

Нүкте мен көлбеу арқылы түзу теңдеуі.

Егер түзудің жалпы теңдеуі Ax + Wu + C = 0әкеледі:

және белгілеу , содан кейін алынған теңдеу шақырылады

Көлбеулігі k болатын түзудің теңдеуі.

Нүктеден түзу және бағыт векторының теңдеуі.

Қалыпты вектор арқылы өтетін түзудің теңдеуін қарастыратын нүктеге ұқсастық бойынша тапсырманы енгізуге болады

нүкте арқылы өтетін түзу және түзудің бағыттаушы векторы.

Анықтама. Әрбір нөлдік емес вектор (α 1 , α 2), оның құрамдастары шартты қанағаттандырады

Aα 1 + Bα 2 = 0шақырды түзудің бағыттаушы векторы.

Ax + Wu + C = 0.

Мысал. Бағыт векторы (1, -1) және А(1, 2) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Біз қалаған жолдың теңдеуін келесі түрде іздейміз: Ax + By + C = 0.Анықтамаға сәйкес,

коэффициенттер келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

1 * A + (-1) * B = 0, яғни. A = B.

Сонда түзу теңдеуі келесі түрге ие болады: Ax + Ay + C = 0,немесе x + y + C / A = 0.

сағ x = 1, y = 2аламыз C/A = -3, яғни. қажетті теңдеу:

x + y - 3 = 0

Кесінділердегі түзудің теңдеуі.

Егер Ах + Ву + С түзуінің жалпы теңдеуінде = 0 С≠0 болса, онда -С-ге бөлгенде мынаны аламыз:

немесе қайда

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы мынада: а коэффициенті қиылысу нүктесінің координатасы болып табылады

осімен түзу О,А б- түзудің осімен қиылысу нүктесінің координаты О.

Мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген x - y + 1 = 0.Осы түзудің кесінділердегі теңдеуін табыңыз.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Сызықтың қалыпты теңдеуі.

Егер теңдеудің екі жағы да болса Ax + Wu + C = 0санға бөлу деп аталады

нормалаушы фактор, содан кейін аламыз

xcosφ + ysinφ - p = 0 -түзудің нормаль теңдеуі.

Нормалдаушы фактордың ± белгісін таңдау керек μ*C< 0.

r- басынан түзу сызыққа түсірілген перпендикуляр ұзындығы,

А φ - осьтің оң бағытымен осы перпендикуляр түзетін бұрыш О.

Мысал. Сызықтың жалпы теңдеуі берілген 12x - 5y - 65 = 0. Әртүрлі типтегі теңдеулерді жазу қажет

бұл түзу сызық.

Бұл түзудің кесінділердегі теңдеуі:

Бұл түзудің еңіспен теңдеуі: (5-ке бөлу)

Сызықтың теңдеуі:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Айта кету керек, әрбір түзуді кесінділердегі теңдеумен көрсетуге болмайды, мысалы, түзулер,

осьтерге параллель немесе координат басынан өтетін.

Жазықтықтағы түзулердің арасындағы бұрыш.

Анықтама. Егер екі жол берілсе y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, содан кейін осы сызықтар арасындағы сүйір бұрыш

ретінде анықталатын болады

Екі түзу параллель болса k 1 = k 2. Екі түзу перпендикуляр

Егер k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Тікелей Ax + Wu + C = 0Және A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициенттер пропорционал болғанда параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Егер де С 1 = λС, содан кейін сызықтар сәйкес келеді. Екі түзудің қиылысу нүктесінің координаталары

осы түзулердің теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табылады.

Берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Анықтама. Нүкте арқылы өтетін түзу M 1 (x 1, y 1)және түзуге перпендикуляр y = kx + b

теңдеумен өрнектеледі:

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

Теорема. Егер ұпай берілсе M(x 0, y 0),содан кейін түзу сызыққа дейінгі қашықтық Ax + Wu + C = 0ретінде анықталады:

Дәлелдеу. Нүкте болсын M 1 (x 1, y 1)- нүктеден түсірілген перпендикулярдың табаны Мберілген үшін

тікелей. Содан кейін нүктелер арасындағы қашықтық МЖәне М 1:

(1)

Координаттар x 1Және 1-детеңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табуға болады:

Жүйенің екінші теңдеуі берілген М 0 нүктесі арқылы перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі.

түзу берілген. Жүйенің бірінші теңдеуін келесі түрге түрлендірсек:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

онда шешіп, біз аламыз:

Осы өрнектерді (1) теңдеуге қойып, табамыз:

Теорема дәлелденді.

Теңдеу параболаларквадраттық функция болып табылады. Бұл теңдеуді құрудың бірнеше нұсқасы бар. Мұның бәрі мәселе туралы мәлімдемеде қандай параметрлер берілгеніне байланысты.

Нұсқаулар

Парабола - пішіні доғаға ұқсайтын және дәреже функциясының графигі болып табылатын қисық. Параболаның сипаттамаларына қарамастан, бұл жұп. Мұндай функция анықтамадан аргументтің барлық мәндері үшін жұп деп аталады, аргументтің таңбасы өзгергенде, мәні өзгермейді: f (-x) = f (x) Ең қарапайым функциядан бастаңыз: y; = x^2. Оның пайда болуынан біз х аргументінің оң және теріс мәндері үшін дұрыс деп қорытынды жасауға болады. x=0, және сол уақытта у =0 болатын нүкте нүкте болып саналады.

Төменде осы функцияны құрудың барлық негізгі нұсқалары және оның . Бірінші мысал ретінде төменде мына түрдегі функцияны қарастырамыз: f(x)=x^2+a, мұндағы a - бүтін сан Бұл функцияның графигін құру үшін оның графигін жылжыту қажет f(x) функциясын бірлікпен. Мысал y=x^2+3 функциясы болып табылады, мұнда y осі бойымен функция екі бірлікке жылжиды. Егер таңбасы қарама-қарсы функция берілсе, мысалы, y=x^2-3, онда оның графигі у осі бойымен төмен жылжиды.

Параболаға берілуі мүмкін функцияның тағы бір түрі f(x)=(x +a)^2. Мұндай жағдайларда график, керісінше, абсцисса осі (х осі) бойымен бірлікке жылжиды. Мысалы, y=(x +4)^2 және y=(x-4)^2 функцияларын қарастыруға болады. Бірінші жағдайда, қосу таңбасы бар функция бар болса, график х осі бойымен солға, ал екінші жағдайда - оңға жылжытылады. Барлық осы жағдайлар суретте көрсетілген.