Көптеген қарапайым емес формулаларға байланысты бұл тақырып бастапқыда күрделі болып көрінуі мүмкін. Квадрат теңдеулердің өзінде ұзын белгілер ғана емес, түбірі де дискриминант арқылы табылады. Барлығы үш жаңа формула алынды. Есте сақтау өте оңай емес. Мұндай теңдеулерді жиі шешкеннен кейін ғана мүмкін болады. Сонда барлық формулалар өздігінен есте қалады.

Квадрат теңдеудің жалпы көрінісі

Мұнда ең алдымен ең үлкен дәреже, содан кейін кему ретімен жазылған кезде олардың айқын белгілеуін ұсынамыз. Терминдер сәйкес келмейтін жағдайлар жиі кездеседі. Содан кейін теңдеуді айнымалының дәрежесінің кему ретімен қайта жазған дұрыс.

Кейбір белгілерді енгізейік. Олар төмендегі кестеде берілген.

Егер бұл белгілерді қабылдайтын болсақ, онда барлық квадрат теңдеулер келесі белгілерге келтіріледі.

Сонымен қатар, a ≠ 0 коэффициенті. Бұл формула бірінші нөмірмен белгіленсін.

Теңдеу берілгенде, жауапта қанша түбір болатыны белгісіз. Өйткені үш нұсқаның бірі әрқашан мүмкін:

• ерітіндінің екі тамыры болады;
• жауап бір сан болады;
• теңдеудің түбірі мүлдем болмайды.

Ал шешім түпкілікті шешілмейінше, нақты жағдайда қандай нұсқа пайда болатынын түсіну қиын.

Квадрат теңдеулерді жазу түрлері

Тапсырмаларда әртүрлі жазбалар болуы мүмкін. Олар әрқашан жалпы квадрат теңдеу формуласына ұқсамайды. Кейде кейбір терминдер жетіспейді. Жоғарыда жазылған нәрсе толық теңдеу. Ондағы екінші немесе үшінші терминді алып тастасаңыз, сіз басқа нәрсе аласыз. Бұл жазбаларды квадрат теңдеулер деп те атайды, тек толық емес.

Оның үстіне «b» және «c» коэффициенттері бар мүшелер ғана жойылуы мүмкін. «a» саны ешбір жағдайда нөлге тең бола алмайды. Өйткені бұл жағдайда формула сызықтық теңдеуге айналады. Толық емес теңдеулердің формулалары келесідей болады:

Сонымен, тек екі түрі бар, толық емес квадрат теңдеулер де бар; Бірінші формула екі, ал екіншісі - үш болсын.

Дискриминант және түбірлер санының оның мәніне тәуелділігі

Теңдеудің түбірлерін есептеу үшін бұл санды білу керек. Квадрат теңдеудің формуласы қандай болса да, оны әрқашан есептеуге болады. Дискриминантты есептеу үшін төменде жазылған теңдікті пайдалану керек, оның төрт саны болады.

Осы формулаға коэффициент мәндерін ауыстырғаннан кейін әртүрлі таңбалары бар сандарды алуға болады. Егер жауап иә болса, онда теңдеудің жауабы екі түрлі түбір болады. Егер сан теріс болса, квадрат теңдеудің түбірі болмайды. Егер ол нөлге тең болса, онда бір ғана жауап болады.

Толық квадрат теңдеуді қалай шешуге болады?

Негізі бұл мәселені қарау басталып та кетті. Өйткені алдымен дискриминант табу керек. Квадрат теңдеудің түбірлері бар екені анықталып, олардың саны белгілі болғаннан кейін айнымалылар үшін формулаларды қолдану керек. Егер екі түбір болса, онда келесі формуланы қолдану керек.

Онда «±» белгісі бар болғандықтан, екі мағына болады. Квадрат түбір белгісінің астындағы өрнек дискриминант болып табылады. Сондықтан формуланы басқаша қайта жазуға болады.

Формула нөмірі бес. Бір жазбадан, егер дискриминант нөлге тең болса, онда екі түбір де бірдей мәндерді қабылдайтыны анық.

Егер квадрат теңдеулерді шешу әлі пысықталмаған болса, дискриминант және айнымалы формулаларды қолданбас бұрын барлық коэффициенттердің мәндерін жазып алған дұрыс. Кейінірек бұл сәт қиындық тудырмайды. Бірақ ең басында түсінбеушілік бар.

Толық емес квадрат теңдеуді қалай шешуге болады?

Мұнда бәрі әлдеқайда қарапайым. Тіпті қосымша формулалардың қажеті де жоқ. Ал дискриминант пен белгісіз үшін бұрыннан жазылып қойғандары қажет болмайды.

Біріншіден, екінші нөмірлі толық емес теңдеуді қарастырайық. Бұл теңдікте жақшаның ішінен белгісіз шаманы шығарып, жақшада қалатын сызықтық теңдеуді шешу керек. Жауаптың екі түбірі болады. Біріншісі міндетті түрде нөлге тең, өйткені айнымалының өзінен тұратын көбейткіш бар. Екіншісі сызықтық теңдеуді шешу арқылы алынады.

Үшінші нөмірлі толық емес теңдеу санды теңдіктің сол жағынан оңға жылжыту арқылы шешіледі. Содан кейін белгісізге қарайтын коэффициентке бөлу керек. Тек квадрат түбірді шығарып алу және оны екі рет қарама-қарсы белгілермен жазуды ұмытпаңыз.

Төменде квадрат теңдеулерге айналатын теңдіктердің барлық түрлерін шешуді үйренуге көмектесетін бірнеше қадамдар берілген. Олар оқушының зейінсіздігінен қателік жібермеуіне көмектеседі. Бұл кемшіліктер «Квадрат теңдеулер (8-сынып)» кең тақырыбын оқығанда нашар бағаға әкелуі мүмкін. Кейіннен бұл әрекеттерді үнемі орындау қажет болмайды. Өйткені тұрақты шеберлік пайда болады.

• Алдымен теңдеуді стандартты түрде жазу керек. Яғни, алдымен айнымалының ең үлкен дәрежесі бар термин, содан кейін - дәрежесі жоқ, ал соңғысы - жай ғана сан.

• Егер «a» коэффициентінің алдында минус пайда болса, бұл квадрат теңдеулерді зерттейтін жаңадан бастаушылар үшін жұмысты қиындатуы мүмкін. Одан құтылған дұрыс. Ол үшін барлық теңдіктерді «-1»-ге көбейту керек. Бұл барлық терминдер таңбаны керісінше өзгертетінін білдіреді.

• Дәл осылай фракциялардан құтылу ұсынылады. Бөлгіштер жойылуы үшін теңдеуді сәйкес көбейткішке көбейтіңіз.

Мысалдар

Келесі квадрат теңдеулерді шешу қажет:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Бірінші теңдеу: x 2 − 7x = 0. Ол толық емес, сондықтан ол екінші формула үшін сипатталғандай шешіледі.

Оны жақшадан шығарғаннан кейін былай шығады: x (x - 7) = 0.

Бірінші түбір мына мәнді қабылдайды: x 1 = 0. Екіншісі сызықтық теңдеуден табылады: x - 7 = 0. Х 2 = 7 екенін көру оңай.

Екінші теңдеу: 5x 2 + 30 = 0. Тағы да толық емес. Тек ол үшінші формула үшін сипатталғандай шешіледі.

30-ды теңдеудің оң жағына жылжытқаннан кейін: 5x 2 = 30. Енді 5-ке бөлу керек. Көрсетіледі: x 2 = 6. Жауаптар сандар болады: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Үшінші теңдеу: 15 − 2x − x 2 = 0. Бұдан әрі квадрат теңдеулерді шешу оларды стандартты түрде қайта жазудан басталады: − x 2 − 2x + 15 = 0. Енді екінші пайдалы кеңесті пайдаланып, барлығын көбейту керек. минус бір. x 2 + 2x - 15 = 0 шығады. Төртінші формуланы пайдаланып, дискриминантты есептеу керек: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Бұл оң сан. Жоғарыда айтылғандардан теңдеудің екі түбірі бар екені белгілі болды. Оларды бесінші формула арқылы есептеу керек. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Сонда x 1 = 3, x 2 = - 5 болады.

Төртінші теңдеу x 2 + 8 + 3x = 0 мынаған түрлендіріледі: x 2 + 3x + 8 = 0. Оның дискриминанты осы мәнге тең: -23. Бұл сан теріс болғандықтан, бұл тапсырманың жауабы келесі жазба болады: «Түбірлер жоқ».

12x + x 2 + 36 = 0 бесінші теңдеу келесі түрде қайта жазылуы керек: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминант үшін формуланы қолданғаннан кейін нөл саны алынады. Бұл оның бір түбірі болатынын білдіреді, атап айтқанда: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Алтыншы теңдеу (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) түрлендірулерді қажет етеді, олар алдымен жақшаларды аша отырып, ұқсас мүшелерді әкелу керек екендігінде тұрады. Біріншісінің орнына келесі өрнек болады: x 2 + 2x + 1. Теңдіктен кейін мына жазба пайда болады: x 2 + 3x + 2. Ұқсас мүшелер есептеліп болғаннан кейін теңдеу мына пішінді алады: x 2 - x = 0. Ол толық емес болды. Бұған ұқсас нәрсе сәл жоғарыда талқыланды. Мұның түбірі 0 және 1 сандары болады.

-мен жұмыс жасайық квадрат теңдеулер. Бұл өте танымал теңдеулер! Квадрат теңдеу өзінің ең жалпы түрінде келесідей болады:

Мысалы:

Мұнда А =1; б = 3; в = -4

Мұнда А =2; б = -0,5; в = 2,2

Мұнда А =-3; б = 6; в = -18

Ал, түсінесің...

Квадрат теңдеулерді қалай шешуге болады?Егер сіздің алдыңызда осы пішінде квадрат теңдеу болса, онда бәрі қарапайым. Сиқырлы сөзді есте сақтаңыз дискриминант . Бұл сөзді естімеген мектеп оқушысы сирек! «Біз дискриминант арқылы шешеміз» деген тіркес сенім мен сенімділікті шабыттандырады. Өйткені дискриминанттан қулық күтудің қажеті жоқ! Оны пайдалану оңай және қиындықсыз. Сонымен, квадрат теңдеудің түбірлерін табу формуласы келесідей:

Түбір белгісінің астындағы өрнек бір дискриминант. Көріп отырғаныңыздай, X табу үшін біз пайдаланамыз тек a, b және c. Сол. квадрат теңдеуден алынған коэффициенттер. Тек мәндерді мұқият ауыстырыңыз a, b және cБұл біз есептейтін формула. ауыстырайық өз белгілеріңмен! Мысалы, бірінші теңдеу үшін А =1; б = 3; в= -4. Мұнда біз оны жазамыз:

Мысал дерлік шешілді:

Міне бітті.

Бұл формуланы қолданғанда қандай жағдайлар болуы мүмкін? Тек үш жағдай бар.

1. Дискриминант оң. Бұл тамырды одан алуға болады дегенді білдіреді. Тамыр жақсы немесе нашар шығарылды ма, бұл басқа мәселе. Ең бастысы, негізінен не алынғаны. Сонда сіздің квадрат теңдеуіңіздің екі түбірі болады. Екі түрлі шешім.

2. Дискриминант нөлге тең. Сонда сізде бір шешім бар. Қатаң айтқанда, бұл бір тамыр емес, бірақ екеуі бірдей. Бірақ бұл теңсіздікте рөл атқарады, онда біз мәселені толығырақ зерттейміз.

3. Дискриминант теріс. Теріс санның квадрат түбірін алу мүмкін емес. О, жақсы. Бұл шешімдер жоқ дегенді білдіреді.

Бұл өте қарапайым. Ал сіз қателесу мүмкін емес деп ойлайсыз ба? Иә, қалай...
Ең жиі кездесетін қателер - таңба мәндерімен шатасу a, b және c. Дәлірек айтқанда, олардың белгілерімен емес (қайда шатастыру керек?), Теріс мәндерді түбірлерді есептеу формуласына ауыстыру арқылы. Мұнда нақты сандармен формуланы егжей-тегжейлі жазу көмектеседі. Есептеуде қиындықтар туындаса, мұны істе!

Бізге келесі мысалды шешу керек делік:

Мұнда a = -6; b = -5; c = -1

Сіз бірінші рет жауаптарды сирек алатыныңызды білесіз делік.

Жарайды, жалқау болмаңыз. Қосымша жолды жазу үшін шамамен 30 секунд қажет болады және қателер саны күрт төмендейді. Сондықтан біз барлық жақшалармен және белгілермен егжей-тегжейлі жазамыз:

Соншалықты мұқият жазу өте қиын сияқты. Бірақ бұл тек солай сияқты. Байқап көріңіз. Жақсы, немесе таңдаңыз. Қайсысы жақсы, жылдам немесе дұрыс? Оның үстіне мен сені бақытты етемін. Біраз уақыттан кейін бәрін мұқият жазудың қажеті болмайды. Ол өз бетімен жұмыс істейді. Әсіресе төменде сипатталған практикалық әдістерді қолдансаңыз. Көптеген минустары бар бұл жаман мысалды оңай және қатесіз шешуге болады!

Сонымен, квадрат теңдеулерді шешу жолдарыбіз еске түсірген дискриминант арқылы. Немесе олар үйренді, бұл да жақсы. Сіз қалай дұрыс анықтау керектігін білесіз a, b және c. Сіз білесіз бе? мұқиятоларды түбір формуласына ауыстырыңыз және мұқиятнәтижені санау. Сіз бұл жерде негізгі сөз екенін түсінесіз мұқият?

Дегенмен, квадрат теңдеулер көбінесе сәл басқаша көрінеді. Мысалы, келесідей:

Бұл толық емес квадрат теңдеулер . Оларды дискриминант арқылы да шешуге болады. Бұл жерде олардың немен тең екенін дұрыс түсіну керек. a, b және c.

Сіз оны анықтадыңыз ба? Бірінші мысалда a = 1; b = -4;А в? Ол мүлде жоқ! Иә, дұрыс. Математикада бұл дегеніміз c = 0 ! Міне бітті. Оның орнына формулаға нөлді қойыңыз в,және біз табысқа жетеміз. Екінші мысалмен бірдей. Тек бізде бұл жерде нөл жоқ бірге, А б !

Бірақ толық емес квадрат теңдеулерді оңайырақ шешуге болады. Ешқандай кемсітусіз. Бірінші толық емес теңдеуді қарастырайық. Сол жақта не істеуге болады? Сіз жақшаның ішінен X-ті алып тастай аласыз! Оны шығарып алайық.

Сонда бұл ше? Ал көбейтіндінің нөлге тең болуы, егер факторлардың кез келгені нөлге тең болса ғана! Маған сенбейсіз бе? Жарайды, онда көбейтілгенде нөл болатын екі нөлдік емес санды ойлап табыңыз!
Жұмыс істемейді ме? Міне бітті...
Сондықтан біз сенімді түрде жаза аламыз: x = 0, немесе x = 4

Барлығы. Бұл біздің теңдеуіміздің түбірлері болады. Екеуі де қолайлы. Олардың кез келгенін бастапқы теңдеуге ауыстырған кезде біз дұрыс сәйкестендіруді аламыз 0 = 0. Көріп отырғаныңыздай, шешім дискриминантты пайдаланудан әлдеқайда қарапайым.

Екінші теңдеуді де оңай шешуге болады. 9-ды оң жаққа жылжытыңыз. Біз аламыз:

9-дан түбірді алу ғана қалады, және солай. Шығарылады:

Сондай-ақ екі тамыр . x = +3 және x = -3.

Барлық толық емес квадрат теңдеулер осылай шешіледі. Не жақшаның ішіне X қою арқылы, не жай ғана санды оңға жылжытып, содан кейін түбірді шығару арқылы.
Бұл әдістерді шатастыру өте қиын. Тек бірінші жағдайда X түбірін шығаруға тура келетіндіктен, бұл қандай да бір түсініксіз, ал екінші жағдайда жақшадан шығаратын ештеңе жоқ...

Енді қателер санын күрт азайтатын практикалық әдістерге назар аударыңыз. Дәл сол сияқтылар немқұрайлылыққа байланысты... Ол үшін кейінірек ауырып, қорлайтын болады...

Алғашқы кездесу. Квадрат теңдеуді шешу алдында жалқау болмаңыз және оны стандартты түрге келтіріңіз. Бұл нені білдіреді?
Барлық түрлендірулерден кейін келесі теңдеуді аламыз делік:

Түбір формуласын жазуға асықпаңыз! Сіз ықтималдықтарды араластыра аласыз a, b және c.Мысалды дұрыс құрастырыңыз. Алдымен Х квадраты, содан кейін квадратсыз, содан кейін бос мүше. Бұл сияқты:

Тағы да, асықпаңыз! X квадратының алдындағы минус сізді шынымен ренжітуі мүмкін. Ұмыту оңай... Минусты алып тастаңыз. Қалай? Иә, өткен тақырыпта айтылғандай! Біз барлық теңдеуді -1-ге көбейтуіміз керек. Біз аламыз:

Бірақ енді сіз түбірлердің формуласын қауіпсіз жазып, дискриминантты есептеп, мысалды шешуді аяқтай аласыз. Өзіңіз шешіңіз. Енді сізде 2 және -1 түбірлері болуы керек.

Екінші қабылдау.Тамырларды тексеріңіз! Виетаның теоремасы бойынша. Қорықпа, мен бәрін түсіндіремін! Тексеру соңғытеңдеу. Сол. түбір формуласын жазып алатынымыз. Егер (осы мысалдағыдай) коэффициент a = 1, тамырларды тексеру оңай. Оларды көбейту жеткілікті. Нәтиже тегін мүше болуы керек, яғни. біздің жағдайда -2. Назар аударыңыз, 2 емес, -2! Тегін мүше сіздің белгіңізбен . Егер ол нәтиже бермесе, бұл олардың бір жерде бұрмаланғанын білдіреді. Қатені іздеңіз. Егер ол жұмыс істесе, тамырларды қосу керек. Соңғы және соңғы тексеру. коэффициент болуы керек ббірге қарама-қарсы таныс. Біздің жағдайда -1+2 = +1. Коэффицент б X алдында тұрған , -1-ге тең. Сонымен, бәрі дұрыс!
Өкінішке орай, бұл x квадраты таза, коэффициенті бар мысалдар үшін ғана қарапайым a = 1.Бірақ, кем дегенде, мұндай теңдеулерді тексеріңіз! Барған сайын қателер аз болады.

Үшінші қабылдау. Егер сіздің теңдеуіңізде бөлшек коэффициенттер болса, бөлшектерден құтылыңыз! Алдыңғы бөлімде сипатталғандай теңдеуді ортақ бөлгішке көбейтіңіз. Бөлшектермен жұмыс істегенде, қандай да бір себептермен қателер пайда болады ...

Айтпақшы, мен жаман мысалды көптеген минустармен жеңілдетуге уәде бердім. Өтінемін! Міне, ол.

Минустармен шатастырмау үшін теңдеуді -1-ге көбейтеміз. Біз аламыз:

Міне бітті! Шешу - бұл рахат!

Олай болса, тақырыпты қорытындылайық.

Практикалық кеңестер:

1. Шешу алдында квадрат теңдеуді стандартты түрге келтіріп, құрастырамыз Дұрыс.

2. Егер Х квадратының алдында теріс коэффициент болса, оны барлық теңдеуді -1-ге көбейту арқылы жоямыз.

3. Егер коэффициенттер бөлшек болса, онда барлық теңдеуді сәйкес көбейткішке көбейту арқылы бөлшектерді жоямыз.

4. Егер x квадраты таза болса, оның коэффициенті бірге тең болса, шешімді Виет теоремасы арқылы оңай тексеруге болады. Жаса!

Бөлшек теңдеулер. ОДЗ.

Теңдеулерді меңгеруді жалғастырамыз. Біз сызықтық және квадрат теңдеулермен жұмыс істеуді білеміз. Соңғы көрініс қалды - бөлшек теңдеулер. Немесе олар әлдеқайда құрметті деп аталады - бөлшек рационал теңдеулер. Бұл бірдей нәрсе.

Бөлшек теңдеулер.

Аты айтып тұрғандай, бұл теңдеулер міндетті түрде бөлшектерді қамтиды. Бірақ жай бөлшектер емес, бар бөлшектер бөлгіште белгісіз. Кем дегенде біреуінде. Мысалы:

Естеріңізге сала кетейін, егер деноминаторлар ғана сандар, бұл сызықтық теңдеулер.

Қалай шешуге болады бөлшек теңдеулер? Ең алдымен, фракциялардан арылыңыз! Осыдан кейін теңдеу көбінесе сызықтық немесе квадраттыққа айналады. Содан кейін біз не істеу керектігін білеміз... Кейбір жағдайларда ол 5=5 сияқты сәйкестікке немесе 7=2 сияқты қате өрнекке айналуы мүмкін. Бірақ бұл сирек кездеседі. Мен бұл туралы төменде айтамын.

Бірақ фракциялардан қалай құтылуға болады!? Өте қарапайым. Бірдей түрлендірулерді қолдану.

Бүкіл теңдеуді бірдей өрнекке көбейту керек. Осылайша, барлық бөлгіштер азайтылады! Барлығы бірден оңайырақ болады. Мысалмен түсіндірейін. Теңдеуді шешуіміз керек:

Бастауыш мектепте қалай оқытылдыңыз? Біз бәрін бір жаққа жылжытамыз, оны ортақ бөлгішке келтіреміз және т.б. Жаман түс сияқты ұмыт! Бөлшектерді қосқанда немесе азайтқанда мұны істеу керек. Немесе теңсіздіктермен жұмыс жасайсыз. Ал теңдеулерде біз екі жағын бірден барлық бөлгіштерді азайтуға мүмкіндік беретін өрнекке көбейтеміз (яғни, мәні бойынша, ортақ бөлгішпен). Және бұл қандай өрнек?

Сол жақта бөлгішті азайту үшін көбейту керек x+2. Ал оң жақта 2-ге көбейту керек, бұл теңдеуді көбейту керек дегенді білдіреді 2(x+2). Көбейту:

Бұл жай бөлшектерді көбейту, бірақ мен оны егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Мен кронштейнді әлі ашпағанымды ескеріңіз (x + 2)! Сонымен, мен оны толығымен жазамын:

Сол жағында ол толығымен қысқарады (x+2), және оң жақта 2. Бұл талап етілді! Қысқартқаннан кейін біз аламыз сызықтықтеңдеу:

Және бұл теңдеуді әркім шеше алады! x = 2.

Тағы бір мысалды шешейік, сәл күрделірек:

3 = 3/1 екенін есте сақтасақ, және 2x = 2x/ 1, біз жаза аламыз:

Тағы да біз өзімізге ұнамайтын нәрселерден - фракциялардан арыламыз.

Азайғышты Х-пен азайту үшін бөлшекті көбейту керек екенін көреміз (x – 2). Ал кейбіреулері бізге кедергі емес. Ал, көбейтейік. Барлығысол жағы және барлығыоң жағы:

Қайтадан жақша (x – 2)Мен ашпаймын. Мен жақшамен бір сан сияқты тұтас жұмыс істеймін! Бұл әрқашан жасалуы керек, әйтпесе ештеңе азаймайды.

Терең қанағат сезімімен біз төмендетеміз (x – 2)ал бөлшексіз, сызғышы бар теңдеу аламыз!

Енді жақшаларды ашайық:

Біз ұқсастарын әкелеміз, бәрін сол жаққа жылжытамыз және аламыз:

Классикалық квадрат теңдеу. Бірақ алда тұрған минус жақсы емес. Әрқашан -1-ге көбейту немесе бөлу арқылы одан құтылуға болады. Бірақ мысалға мұқият қарасаңыз, бұл теңдеуді -2-ге бөлген дұрыс екенін байқайсыз! Бір соққыда минус жойылып, коэффициенттер тартымды болады! -2-ге бөліңіз. Сол жақта - термин бойынша, ал оң жақта - нөлді -2, нөлге бөліңіз және біз аламыз:

Дискриминант арқылы шешеміз және Виета теоремасын пайдаланып тексереміз. аламыз x = 1 және x = 3. Екі тамыр.

Көріп отырғаныңыздай, бірінші жағдайда түрлендіруден кейінгі теңдеу сызықты болды, бірақ бұл жерде квадрат болады. Бөлшектерден арылғаннан кейін барлық Х азаяды. 5=5 сияқты бір нәрсе қалады. Бұл дегеніміз x кез келген нәрсе болуы мүмкін. Қандай болса да, ол бәрібір азаяды. Және бұл таза ақиқат болып шығады, 5=5. Бірақ, бөлшектерден құтылғаннан кейін, 2=7 сияқты мүлдем жалған болып шығуы мүмкін. Және бұл дегеніміз шешімдер жоқ! Кез келген Х жалған болып шығады.

Негізгі шешімді жүзеге асырды бөлшек теңдеулер? Бұл қарапайым және логикалық. Біз бастапқы өрнекті өзгертеміз, сонда бізге ұнамайтын нәрсе жойылады. Немесе ол кедергі жасайды. Бұл жағдайда бұл бөлшектер. Біз логарифмдермен, синустармен және басқа да қасіреттермен күрделі мысалдардың барлық түрлерімен де солай істейміз. Біз ӘрқашанОсының бәрінен арылайық.

Дегенмен, біз бастапқы өрнекті қажетті бағытта өзгертуіміз керек ережелерге сәйкес, иә... Оны меңгеру – математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Сондықтан біз оны меңгеріп жатырмыз.

Енді біреуін айналып өтуді үйренеміз Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы негізгі шабуылдар! Бірақ алдымен, сіз оған түсесіз бе, жоқ па соны көрейік?

Қарапайым мысалды қарастырайық:

Мәселе бұрыннан таныс, біз екі жағын көбейтеміз (x – 2), біз аламыз:

Еске саламын, жақшамен (x – 2)Біз бір, интегралдық өрнекпен жұмыс істейміз!

Бұл жерде мен енді бөлгіштерге бір жазбадым, ол мінсіз... Ал мен бөлгіштерге жақша салмадым, тек x – 2ештеңе жоқ, сурет салудың қажеті жоқ. Қысқартып көрейік:

Жақшаларды ашыңыз, бәрін солға жылжытыңыз және ұқсастарын беріңіз:

Шешеміз, тексереміз, екі түбір аламыз. x = 2Және x = 3. Тамаша.

Тапсырмада түбірді немесе бірнеше түбір болса, олардың қосындысын жазу керек делік. Біз не жазамыз?

Жауапты 5 деп шешсеңіз, сіз тұтқынға алынды. Ал тапсырма сізге есептелмейді. Олар бекер жұмыс жасады... Дұрыс жауап 3.

Не болды?! Ал сіз тексеруге тырысыңыз. Белгісіз мәндерді орнына қойыңыз түпнұсқамысал. Ал егер болса x = 3бәрі бірге керемет өседі, біз 9 = 9 аламыз, содан кейін қашан x = 2Ол нөлге бөлінетін болады! Сіз мүлдем жасай алмайтын нәрсе. білдіреді x = 2шешім болып табылмайды және жауапта ескерілмейді. Бұл бөгде немесе қосымша түбір деп аталады. Біз оны жай ғана тастаймыз. Соңғы түбір – бір. x = 3.

Қалай солай?! – Мен ашулы дауыстарды естимін. Бізге теңдеуді өрнекке көбейтуге болатынын үйретті! Бұл бірдей трансформация!

Иә, бірдей. Кішкентай шарт бойынша - біз көбейтетін (бөлетін) өрнек - нөлден өзгеше. А x – 2сағ x = 2нөлге тең! Сондықтан бәрі әділетті.

Енді не істеуіміз керек?! Өрнек арқылы көбейтпейсіз бе? Әр жолы тексеріп тұруым керек пе? Тағы да түсініксіз!

Тыныштықпен! Дүрлікпеңіз!

Осындай қиын жағдайда үш сиқырлы әріп бізді құтқарады. Мен сенің не ойлайтыныңды білемін. Дұрыс! Бұл ОДЗ . Рұқсат етілген құндылықтар аймағы.

Қазіргі қоғамда квадраттық айнымалысы бар теңдеулермен амалдарды орындау мүмкіндігі қызметтің көптеген салаларында пайдалы болуы мүмкін және ғылыми-техникалық әзірлемелерде тәжірибеде кеңінен қолданылады. Бұған теңіз және өзен кемелерінің, ұшақтар мен зымырандардың конструкциясы дәлел бола алады. Осындай есептеулерді пайдалана отырып, әртүрлі денелердің, соның ішінде ғарыш объектілерінің қозғалыс траекториялары анықталады. Квадрат теңдеулердің шешімі бар мысалдар тек экономикалық болжауда, ғимараттарды жобалау мен салуда ғана емес, сонымен қатар қарапайым күнделікті жағдайларда да қолданылады. Олар жаяу сапарларда, спорттық іс-шараларда, дүкендерде сатып алу кезінде және басқа да өте жиі кездесетін жағдайларда қажет болуы мүмкін.

Өрнекті құрамдас факторларға бөлейік

Теңдеудің дәрежесі өрнек құрамындағы айнымалының дәрежесінің ең үлкен мәнімен анықталады. Егер ол 2-ге тең болса, онда мұндай теңдеу квадрат деп аталады.

Егер біз формулалар тілінде айтатын болсақ, онда көрсетілген өрнектер қалай көрінсе де, өрнектің сол жағы үш мүшеден тұратын кезде әрқашан пішінге келтірілуі мүмкін. Олардың ішінде: ax 2 (яғни, оның коэффициенті бар квадратты айнымалы), bx (коэффиценті бар квадратсыз белгісіз) және с (бос компонент, яғни қарапайым сан). Осының бәрі оң жағында 0-ге тең. Мұндай көпмүшенің 2-ші балдан басқа құрамдас мүшелерінің бірі жетіспейтін жағдайда, ол толық емес квадрат теңдеу деп аталады. Мұндай есептерді шешудің мысалдары, айнымалылардың мәндерін табу оңай, бірінші кезекте қарастырылуы керек.

Егер өрнектің оң жағында екі мүшесі бар сияқты көрінсе, дәлірек айтқанда ax 2 және bx, x табудың ең оңай жолы айнымалыны жақшадан шығару болып табылады. Енді біздің теңдеуіміз келесідей болады: x(ax+b). Әрі қарай, не x=0, не мәселе келесі өрнектен айнымалыны табуға келетіні анық болады: ax+b=0. Бұл көбейтудің бір қасиетімен белгіленеді. Ереже екі фактордың көбейтіндісі олардың біреуі нөлге тең болса ғана 0 болатынын айтады.

Мысал

x=0 немесе 8x - 3 = 0

Нәтижесінде теңдеудің екі түбірін аламыз: 0 және 0,375.

Бұл түрдегі теңдеулер координаталар басы ретінде қабылданған белгілі бір нүктеден қозғала бастаған ауырлық күшінің әсерінен денелердің қозғалысын сипаттай алады. Мұнда математикалық жазу келесі формада болады: y = v 0 t + gt 2 /2. Қажетті мәндерді қойып, оң жағын 0-ге теңестіріп, мүмкін белгісіздерді табу арқылы дененің көтерілуінен құлағанға дейінгі уақытты, сонымен қатар басқа да көптеген шамаларды білуге ​​болады. Бірақ бұл туралы кейінірек айтатын боламыз.

Өрнекті факторинг

Жоғарыда сипатталған ереже бұл мәселелерді күрделірек жағдайларда шешуге мүмкіндік береді. Осы типтегі квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.

X 2 - 33x + 200 = 0

Бұл квадрат үшмүше толық. Алдымен өрнекті түрлендірейік және көбейткіштерге бөлейік. Олардың екеуі бар: (х-8) және (х-25) = 0. Нәтижесінде бізде 8 және 25 екі түбір бар.

9-сыныпта квадрат теңдеулерді шешу мысалдары бұл әдіс тек екінші емес, тіпті үшінші және төртінші ретті өрнектерде айнымалыны табуға мүмкіндік береді.

Мысалы: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Оң жағын айнымалысы бар көбейткіштерге жіктегенде олардың үшеуі болады, яғни (х+1), (х-3) және (х+) 3).

Нәтижесінде бұл теңдеудің үш түбірі болатыны белгілі болады: -3; -1; 3.

Шаршы түбір

Толық емес екінші ретті теңдеудің тағы бір жағдайы – оң жағы ax 2 және c құрамдастарынан құрастырылатындай әріптер тілінде берілген өрнек. Мұнда айнымалының мәнін алу үшін бос мүше оң жаққа ауыстырылады, содан кейін теңдіктің екі жағынан да квадрат түбір алынады. Айта кету керек, бұл жағдайда әдетте теңдеудің екі түбірі болады. Айнымалысы нөлге тең болатын мүшесі мүлде жоқ теңдіктер, сондай-ақ оң жағы теріс болып шыққан кездегі өрнектердің нұсқалары ерекше жағдайлар болуы мүмкін. Соңғы жағдайда шешімдер мүлдем жоқ, өйткені жоғарыда аталған әрекеттерді тамырлармен орындау мүмкін емес. Осы типтегі квадрат теңдеулердің шешімдерінің мысалдарын қарастыру керек.

Бұл жағдайда теңдеудің түбірлері -4 және 4 сандары болады.

Жер көлемін есептеу

Мұндай есептеулерге деген қажеттілік ерте заманда пайда болды, өйткені сол шалғай дәуірлерде математиканың дамуы негізінен жер учаскелерінің аудандары мен периметрлерін барынша дәлдікпен анықтау қажеттілігімен айқындалды.

Сондай-ақ осы тектес есептер негізінде квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырған жөн.

Сонымен, ұзындығы енінен 16 метр үлкен төртбұрышты жер телімі делік. Егер сіз оның ауданы 612 м 2 екенін білсеңіз, сайттың ұзындығын, енін және периметрін табуыңыз керек.

Бастау үшін алдымен қажетті теңдеуді құрайық. Ауданның енін х деп белгілейік, сонда оның ұзындығы (x+16) болады. Жазылғандардан аудан x(x+16) өрнегі арқылы анықталатыны шығады, ол біздің есептің шарты бойынша 612. Бұл x(x+16) = 612 дегенді білдіреді.

Толық квадрат теңдеулерді шешу және дәл осы өрнекті дәл осылай орындау мүмкін емес. Неліктен? Сол жағында әлі екі фактор болса да, олардың көбейтіндісі мүлдем 0-ге тең емес, сондықтан мұнда әртүрлі әдістер қолданылады.

Дискриминант

Ең алдымен біз қажетті түрлендірулерді жасаймыз, содан кейін бұл өрнектің көрінісі келесідей болады: x 2 + 16x - 612 = 0. Бұл біз өрнекті бұрын көрсетілген стандартқа сәйкес формада алдық дегенді білдіреді, мұндағы a=1, b=16, c= -612.

Бұл дискриминантты пайдаланып квадрат теңдеулерді шешудің мысалы болуы мүмкін. Мұнда сызба бойынша қажетті есептеулер жүргізіледі: D = b 2 - 4ac. Бұл көмекші шама екінші ретті теңдеуде қажетті шамаларды табуға мүмкіндік беріп қана қоймайды, мүмкін болатын нұсқалардың санын анықтайды. Егер D>0 болса, олардың екеуі бар; D=0 үшін бір түбір бар. Д жағдайда<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Түбірлер және олардың формуласы туралы

Біздің жағдайда дискриминант мынаған тең: 256 - 4(-612) = 2704. Бұл біздің мәселеміздің жауабы бар екенін көрсетеді. Егер сіз k білсеңіз, квадрат теңдеулерді шешуді төмендегі формула арқылы жалғастыру керек. Ол түбірлерді есептеуге мүмкіндік береді.

Бұл ұсынылған жағдайда: x 1 =18, x 2 =-34 дегенді білдіреді. Бұл дилеммадағы екінші нұсқа шешім бола алмайды, өйткені жер учаскесінің өлшемдерін теріс мөлшерде өлшеу мүмкін емес, яғни х (яғни учаскенің ені) 18 м. Осы жерден біз ұзындығын есептейміз: 18 +16=34, ал периметрі 2(34+ 18)=104(м2).

Мысалдар мен тапсырмалар

Квадрат теңдеулерді оқуды жалғастырамыз. Олардың бірнешеуінің мысалдары мен егжей-тегжейлі шешімдері төменде келтірілген.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Барлығын теңдіктің сол жағына жылжытайық, түрлендіру жасайық, яғни стандартты деп аталатын теңдеу түрін аламыз және оны нөлге теңестіреміз.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ұқсастарды қосып, дискриминантты анықтаймыз: D = 49 - 48 = 1. Бұл біздің теңдеуіміздің екі түбірі болады дегенді білдіреді. Оларды жоғарыдағы формула бойынша есептейік, яғни олардың біріншісі 4/3-ке, екіншісі 1-ге тең болады.

2) Енді басқа түрдегі жұмбақтарды шешейік.

Мұнда x 2 - 4x + 5 = 1 түбірлері бар-жоғын анықтайық? Толық жауап алу үшін көпмүшені сәйкес кәдімгі пішінге келтіріп, дискриминантты есептейік. Жоғарыда келтірілген мысалда квадрат теңдеуді шешудің қажеті жоқ, өйткені бұл мәселенің мәні мүлде емес. Бұл жағдайда D = 16 - 20 = -4, бұл шын мәнінде түбірлердің жоқтығын білдіреді.

Виетаның теоремасы

Квадрат теңдеулерді жоғарыда келтірілген формулалар мен дискриминантты пайдаланып шешу ыңғайлы, егер соңғысының мәнінен квадрат түбір алынғанда. Бірақ бұл әрқашан бола бермейді. Дегенмен, бұл жағдайда айнымалы мәндерді алудың көптеген жолдары бар. Мысалы: Виет теоремасын пайдаланып квадрат теңдеулерді шешу. Ол 16 ғасырда Францияда өмір сүрген және оның математикалық таланты мен соттағы байланыстарының арқасында тамаша мансап жасаған адамның есімімен аталған. Оның портретін мақаладан көруге болады.

Атақты француз байқаған үлгі мынадай болды. Ол теңдеудің түбірлері сан жағынан -p=b/a қосылатынын, ал олардың көбейтіндісі q=c/a сәйкес келетінін дәлелдеді.

Енді нақты тапсырмаларды қарастырайық.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Қарапайымдылық үшін өрнекті түрлендірейік:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виет теоремасын қолданайық, бұл бізге келесіні береді: түбірлердің қосындысы -7, ал олардың көбейтіндісі -18. Осыдан біз теңдеудің түбірлері -9 және 2 сандары екенін аламыз. Тексергеннен кейін бұл айнымалы мәндердің өрнекке шынымен сәйкес келетініне көз жеткіземіз.

Парабола графигі және теңдеуі

Квадраттық функция мен квадрат теңдеулер ұғымдары бір-бірімен тығыз байланысты. Бұған мысалдар бұрын да келтірілген. Енді кейбір математикалық жұмбақтарды толығырақ қарастырайық. Сипатталған түрдегі кез келген теңдеуді көрнекі түрде беруге болады. График ретінде сызылған мұндай қатынас парабола деп аталады. Оның әртүрлі түрлері төмендегі суретте берілген.

Кез келген параболаның төбесі, яғни оның тармақтары шығатын нүктесі болады. Егер а>0 болса, олар шексіздікке дейін көтеріледі, ал а болғанда<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функциялардың көрнекі көріністері кез келген теңдеулерді, соның ішінде квадраттық теңдеулерді шешуге көмектеседі. Бұл әдіс графикалық деп аталады. Ал х айнымалысының мәні график сызығының 0х-пен қиылысатын нүктелеріндегі абсцисса координатасы болып табылады. Төбенің координаталарын x 0 = -b/2a берілген формула арқылы табуға болады. Ал алынған мәнді функцияның бастапқы теңдеуіне қойып, у 0, яғни ордината осіне жататын парабола төбесінің екінші координатасын табуға болады.

Парабола тармақтарының абсцисса осімен қиылысуы

Квадрат теңдеулерді шешудің көптеген мысалдары бар, бірақ жалпы заңдылықтар да бар. Оларды қарастырайық. Графиктің a>0 үшін 0x осімен қиылысуы 0 теріс мәндерді қабылдаған жағдайда ғана мүмкін болатыны анық. Және а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Әйтпесе D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Парабола графигінен түбірлерін де анықтауға болады. Керісінше де шындық. Яғни, квадраттық функцияның көрнекі көрінісін алу оңай болмаса, өрнектің оң жағын 0-ге теңестіріп, алынған теңдеуді шешуге болады. Ал 0x осімен қиылысу нүктелерін біле отырып, графикті құру оңайырақ.

Тарихтан

Квадрат айнымалысы бар теңдеулерді пайдалана отырып, ескі күндерде олар тек математикалық есептеулер жүргізіп қана қоймай, геометриялық фигуралардың аудандарын анықтады. Ежелгі адамдарға мұндай есептеулер физика мен астрономия салаларындағы үлкен жаңалықтар үшін, сондай-ақ астрологиялық болжамдар жасау үшін қажет болды.

Қазіргі ғалымдардың пайымдауынша, Вавилон тұрғындары квадрат теңдеулерді бірінші болып шешкен. Бұл біздің дәуірден төрт ғасыр бұрын болған. Әрине, олардың есептеулері қазіргі уақытта қабылданғандардан түбегейлі өзгеше болды және әлдеқайда қарапайым болып шықты. Мысалы, Месопотамия математиктерінде теріс сандардың бар екендігі туралы түсінік болмаған. Олар сондай-ақ кез келген қазіргі мектеп оқушысы білетін басқа нәзіктіктермен таныс емес еді.

Үндістандық данышпан Баудхаяма Вавилон ғалымдарынан да ертерек квадрат теңдеулерді шеше бастады. Бұл Мәсіхтің дәуірінен шамамен сегіз ғасыр бұрын болған. Рас, ол берген екінші ретті теңдеулер, шешу әдістері ең қарапайым болды. Одан басқа қытай математиктерін де ертеде осындай сұрақтар қызықтырған. Еуропада квадрат теңдеулер 13 ғасырдың басында ғана шешіле бастады, бірақ кейінірек оларды Ньютон, Декарт және басқа да көптеген ұлы ғалымдар өз еңбектерінде пайдаланды.

Біз тақырыпты зерттеуді жалғастырамыз» теңдеулерді шешу" Біз сызықтық теңдеулермен бұрыннан таныс болдық және танысуға көшеміз квадрат теңдеулер.

Алдымен квадрат теңдеудің не екенін, оның жалпы түрде қалай жазылатынын қарастырамыз және соған байланысты анықтамалар береміз. Осыдан кейін біз толық емес квадрат теңдеулердің қалай шешілетінін егжей-тегжейлі тексеру үшін мысалдарды қолданамыз. Әрі қарай толық теңдеулерді шешуге көшеміз, түбір формуласын аламыз, квадрат теңдеудің дискриминантымен танысамыз және типтік мысалдардың шешімдерін қарастырамыз. Соңында түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланыстарды қадағалап көрейік.

Бетті шарлау.

Квадрат теңдеу дегеніміз не? Олардың түрлері

Алдымен квадрат теңдеудің не екенін нақты түсіну керек. Сондықтан квадрат теңдеулер туралы әңгімені квадрат теңдеудің анықтамасынан, сондай-ақ оған қатысты анықтамалардан бастаған жөн. Осыдан кейін квадрат теңдеулердің негізгі түрлерін қарастыруға болады: келтірілген және келтірілмеген теңдеулер, сондай-ақ толық және толық емес теңдеулер.

Квадрат теңдеулердің анықтамасы және мысалдары

Анықтама.

Квадрат теңдеутүрінің теңдеуі болып табылады a x 2 +b x+c=0, мұндағы х - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар, ал а - нөл емес.

Бірден айтайық, квадрат теңдеулерді көбінесе екінші дәрежелі теңдеулер деп атайды. Бұл квадрат теңдеудің болатындығына байланысты алгебралық теңдеуекінші дәрежелі.

Берілген анықтама квадрат теңдеулерге мысалдар келтіруге мүмкіндік береді. Сонымен 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, т.б. Бұл квадрат теңдеулер.

Анықтама.

Сандар a, b және c деп аталады квадрат теңдеудің коэффициенттері a·x 2 +b·x+c=0, ал а коэффициенті бірінші немесе ең үлкен деп аталады немесе х 2 коэффициенті, b - екінші коэффициент немесе х коэффициенті, ал с - бос мүше. .

Мысалы, 5 x 2 −2 x −3=0 түріндегі квадрат теңдеуді алайық, мұндағы жетекші коэффициент 5, екінші коэффициент −2, бос мүшесі −3-ке тең. Жаңа ғана келтірілген мысалдағыдай b және/немесе c коэффициенттері теріс болған кезде квадрат теңдеудің қысқаша түрі 5 x 2 +(−2 ) емес, 5 x 2 −2 x−3=0 болатынын ескеріңіз. ·x+(−3)=0 .

Айта кету керек, a және/немесе b коэффициенттері 1 немесе −1-ге тең болса, онда олар әдетте квадрат теңдеуде анық көрсетілмейді, бұл мұндай жазудың ерекшеліктеріне байланысты. Мысалы, y 2 −y+3=0 квадрат теңдеуінде жетекші коэффициент бір, ал у коэффициенті −1-ге тең.

Келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер

Жетекші коэффициенттің мәніне қарай келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер ажыратылады. Сәйкес анықтамаларды берейік.

Анықтама.

Жетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу. Әйтпесе квадрат теңдеу болады тимеген.

Осы анықтамаға сәйкес квадрат теңдеулер x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, т.б. – берілген, олардың әрқайсысында бірінші коэффициент бірге тең. A 5 x 2 −x−1=0, т.б. - келтірілмеген квадрат теңдеулер, олардың жетекші коэффициенттері 1-ден өзгеше.

Кез келген азайтылмаған квадрат теңдеуден екі жағын жетекші коэффициентке бөлу арқылы қысқартылғанға өтуге болады. Бұл әрекет эквивалентті түрлендіру болып табылады, яғни осылайша алынған келтірілген квадрат теңдеудің бастапқы келтірілмеген квадрат теңдеудің түбірі бірдей немесе сол сияқты түбірі жоқ.

Келтірілген квадрат теңдеуден қысқартылғанға көшу қалай орындалатынын мысалға келтірейік.

Мысал.

3 x 2 +12 x−7=0 теңдеуінен сәйкес келтірілген квадрат теңдеуге өтіңіз.

Шешім.

Бізге бастапқы теңдеудің екі жағын да жетекші коэффициент 3-ке бөлу керек, ол нөлге тең емес, сондықтан біз бұл әрекетті орындай аламыз. Бізде (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ол бірдей, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, содан кейін (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, қайдан . Осылайша біз бастапқыға тең келетін келтірілген квадрат теңдеуді алдық.

Жауап:

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасы а≠0 шартын қамтиды. Бұл шарт a x 2 + b x + c = 0 теңдеуі квадраттық болуы үшін қажет, өйткені a = 0 болғанда ол шын мәнінде b x + c = 0 түріндегі сызықтық теңдеу болады.

b және c коэффициенттеріне келетін болсақ, олар жеке де, бірге де нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайларда квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама.

a x 2 +b x+c=0 квадрат теңдеу деп аталады толық емес, егер b, c коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болса.

Кезек бойынша

Анықтама.

Толық квадрат теңдеубарлық коэффициенттері нөлден өзгеше болатын теңдеу.

Мұндай атаулар кездейсоқ қойылмаған. Бұл келесі талқылаулардан белгілі болады.

Егер b коэффициенті нөлге тең болса, онда квадрат теңдеу a·x 2 +0·x+c=0 түрін алады және ол a·x 2 +c=0 теңдеуіне эквивалент болады. Егер c=0 болса, яғни квадрат теңдеудің a·x 2 +b·x+0=0 түрі болса, онда оны a·x 2 +b·x=0 түрінде қайта жазуға болады. Ал b=0 және c=0 болғанда a·x 2 =0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы сол жақтарында х айнымалы мүшесі де, бос мүшесі де, екеуі де жоқ. Сондықтан олардың атауы – толық емес квадрат теңдеулер.

Сонымен x 2 +x+1=0 және −2 x 2 −5 x+0,2=0 теңдеулері толық квадрат теңдеулердің мысалы болып табылады, ал x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Алдыңғы абзацтағы ақпараттан бар екендігі шығады толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі:

• a·x 2 =0, оған b=0 және c=0 коэффициенттері сәйкес келеді;
• b=0 кезінде a x 2 +c=0;
• және c=0 кезінде a·x 2 +b·x=0.

Осы түрлердің әрқайсысының толық емес квадрат теңдеулері қалай шешілетінін ретімен қарастырайық.

a x 2 =0

b және c коэффициенттері нөлге тең болатын толық емес квадрат теңдеулерді шешуден бастайық, яғни a x 2 =0 түріндегі теңдеулерден. a·x 2 =0 теңдеуі х 2 =0 теңдеуіне тең, ол екі бөлікті де нөлдік емес а санына бөлу арқылы түпнұсқадан алынған. Әлбетте, x 2 =0 теңдеуінің түбірі нөлге тең, өйткені 0 2 =0. Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, бұл кез келген нөлдік емес p саны үшін p 2 >0 теңсіздігі орындалатынымен түсіндіріледі, яғни p≠0 үшін p 2 =0 теңдігі ешқашан орындалмайды.

Сонымен, a·x 2 =0 толық емес квадрат теңдеуінің x=0 бір түбірі бар.

Мысал ретінде −4 x 2 =0 толық емес квадрат теңдеудің шешімін береміз. Ол x 2 =0 теңдеуіне тең, оның жалғыз түбірі х=0, сондықтан бастапқы теңдеудің бір түбірі нөлге ие.

Бұл жағдайда қысқаша шешімді келесідей жазуға болады:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Енді b коэффициенті нөлге тең және c≠0 болатын толық емес квадрат теңдеулердің, яғни a x 2 +c=0 түріндегі теңдеулердің қалай шешілетінін қарастырайық. Теңдеудің бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбалы мүшені жылжыту, сондай-ақ теңдеудің екі жағын да нөлдік емес санға бөлу эквивалентті теңдеуді беретінін білеміз. Демек, a x 2 +c=0 толық емес квадрат теңдеудің келесі эквивалентті түрлендірулерін жүзеге асыруға болады:

• c-ны оң жаққа жылжытыңыз, бұл a x 2 =−c теңдеуін береді,
• және екі жағын а-ға бөлсек, аламыз.

Алынған теңдеу оның түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. a және c мәндеріне байланысты өрнектің мәні теріс (мысалы, егер a=1 және c=2 болса, онда ) немесе оң (мысалы, a=−2 және c=6 болса, онда ), ол нөлге тең емес, өйткені c≠0 шарты бойынша. Біз жағдайларды бөлек талдаймыз және.

Егер болса, онда теңдеудің түбірі болмайды. Бұл тұжырым кез келген санның квадраты теріс емес сан болатынынан шығады. Бұдан шығатыны, болғанда, кез келген p саны үшін теңдік ақиқат бола алмайды.

Егер болса, онда теңдеудің түбірлерімен жағдай басқаша болады. Бұл жағдайда, егер біз туралы еске түсірсек, онда теңдеудің түбірі бірден анық болады, өйткені . Санның теңдеудің түбірі екенін болжау оңай, шын мәнінде, . Бұл теңдеудің басқа түбірі жоқ, оны, мысалы, қайшылық арқылы көрсетуге болады. Мұны істейік.

Жаңа ғана жарияланған теңдеудің түбірлерін x 1 және −x 1 деп белгілейік. Теңдеудің көрсетілген x 1 және −x 1 түбірлерінен басқа тағы бір x 2 түбірі бар делік. Оның түбірлерін х орнына теңдеумен ауыстыру теңдеуді дұрыс сандық теңдікке айналдыратыны белгілі. x 1 және −x 1 үшін бізде , ал x 2 үшін бізде болады. Сандық теңдіктердің қасиеттері дұрыс сандық теңдіктерді мүше бойынша азайтуды орындауға мүмкіндік береді, сондықтан теңдіктердің сәйкес бөліктерін алып тастағанда x 1 2 −x 2 2 =0 шығады. Сандармен амалдардың қасиеттері алынған теңдікті (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатынын, егер олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана білеміз. Демек, алынған теңдіктен x 1 −x 2 =0 және/немесе x 1 +x 2 =0, бұл бірдей, x 2 =x 1 және/немесе x 2 =−x 1 шығады. Сонымен біз қарама-қайшылыққа келдік, өйткені біз басында x 2 теңдеуінің түбірі х 1 және −x 1-ден өзгеше екенін айтқанбыз. Бұл теңдеудің және -ден басқа түбірі жоқ екенін дәлелдейді.

Осы абзацтағы ақпаратты қорытындылайық. a x 2 +c=0 толық емес квадрат теңдеуі мына теңдеуге эквивалентті.

• тамыры жоқ, егер,
• екі түбірі бар және егер .

a·x 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.

9 x 2 +7=0 квадрат теңдеуінен бастайық. Бос мүшені теңдеудің оң жағына жылжытқаннан кейін ол 9 x 2 =−7 пішінін алады. Алынған теңдеудің екі жағын 9-ға бөлсек, біз мынаған келеміз. Оң жағында теріс сан болғандықтан, бұл теңдеудің түбірі жоқ, сондықтан бастапқы толық емес 9 x 2 +7 = 0 квадрат теңдеудің түбірі жоқ.

Тағы −x 2 +9=0 толық емес квадрат теңдеуді шешейік. Тоғызды оң жаққа жылжытамыз: −x 2 =−9. Енді екі жағын −1-ге бөлеміз, х 2 =9 аламыз. Оң жағында оң сан бар, одан біз немесе деп қорытынды жасаймыз. Содан соң соңғы жауапты жазамыз: −x 2 +9=0 толық емес квадрат теңдеудің x=3 немесе x=−3 екі түбірі бар.

a x 2 +b x=0

С=0 үшін аяқталмаған квадрат теңдеулердің соңғы түрін шешумен айналысу қалды. a x 2 + b x = 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді. факторизация әдісі. Әлбетте, біз теңдеудің сол жағында орналаса аламыз, ол үшін жақшаның ішінен жалпы x көбейткішін алу жеткілікті. Бұл бастапқы толық емес квадрат теңдеуден x·(a·x+b)=0 түріндегі эквивалентті теңдеуге көшуге мүмкіндік береді. Және бұл теңдеу x=0 және a·x+b=0 екі теңдеу жиынына тең, соңғысы сызықтық және x=−b/a түбірі бар.

Сонымен, a·x 2 +b·x=0 толық емес квадрат теңдеуінің x=0 және x=−b/a екі түбірі бар.

Материалды бекіту үшін біз нақты мысалдың шешімін талдаймыз.

Мысал.

Теңдеуді шеш.

Шешім.

Жақшаның ішінен х-ті алып тастасақ, теңдеу шығады. Ол x=0 және екі теңдеуіне тең. Алынған сызықтық теңдеуді шешеміз: , ал аралас санды жай бөлшекке бөлу арқылы -ді табамыз. Демек, бастапқы теңдеудің түбірлері x=0 және .

Қажетті тәжірибені алғаннан кейін мұндай теңдеулердің шешімдерін қысқаша жазуға болады:

Жауап:

x=0, .

Дискриминант, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулерді шешу үшін түбір формуласы бар. Оны жазып алайық квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы: , Қайда D=b 2 −4 a c- деп аталатын квадрат теңдеудің дискриминанты. Енгізу негізінен мынаны білдіреді.

Түбір формуласы қалай шығарылғанын және оның квадрат теңдеулердің түбірлерін табуда қалай қолданылатынын білу пайдалы. Осыны анықтап көрейік.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат теңдеуін шешуіміз керек. Кейбір эквивалентті түрлендірулерді орындайық:

• Бұл теңдеудің екі жағын да нөлдік емес а санына бөлуге болады, нәтижесінде келесі квадрат теңдеу шығады.
• Қазір толық шаршыны таңдаңызоның сол жағында: . Осыдан кейін теңдеу пішінін алады.
• Бұл кезеңде соңғы екі мүшені қарама-қарсы таңбамен оң жаққа ауыстыруға болады, бізде .
• Оң жақтағы өрнекті де түрлендірейік: .

Нәтижесінде a·x 2 +b·x+c=0 бастапқы квадрат теңдеуіне эквивалентті теңдеуге келеміз.

Біз қарастырған кезде алдыңғы параграфтарда пішіні ұқсас теңдеулерді шештік. Бұл теңдеудің түбірлеріне қатысты келесі қорытындыларды жасауға мүмкіндік береді:

• егер болса, онда теңдеудің нақты шешімдері жоқ;
• егер , онда теңдеу оның жалғыз түбірі көрінетін , демек, түрінде болады;
• егер , онда немесе , ол немесе -мен бірдей, яғни теңдеудің екі түбірі болады.

Сонымен, теңдеудің түбірлерінің болуы немесе болмауы, демек, бастапқы квадрат теңдеу өрнектің оң жағындағы таңбасына байланысты. Өз кезегінде бұл өрнектің таңбасы алым белгісімен анықталады, өйткені 4·а 2 бөлгіш әрқашан оң, яғни b 2 −4·a·c өрнегінің таңбасы арқылы. Бұл b 2 −4 a c өрнегі деп аталды квадрат теңдеудің дискриминантыжәне хатпен белгіленеді D. Осы жерден дискриминанттың мәні түсінікті – оның мәні мен белгісіне сүйене отырып, олар квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар ма, егер бар болса, олардың саны қандай – бір немесе екі деген қорытынды жасайды.

Теңдеуге оралайық және оны дискриминант белгісін пайдаланып қайта жазайық: . Және біз қорытынды жасаймыз:

• егер Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• егер D=0 болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады;
• соңында, егер D>0 болса, онда теңдеудің екі түбірі бар немесе, оны немесе түрінде қайта жазуға болады, ал бөлшектерді кеңейтіп, ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін аламыз.

Сонымен, біз квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын шығардық, олардың пішіні бар, мұнда D дискриминанты D=b 2 −4·a·c формуласымен есептеледі.

Олардың көмегімен оң дискриминантпен квадрат теңдеудің екі нақты түбірін де есептеуге болады. Дискриминант нөлге тең болғанда, екі формула да квадрат теңдеудің бірегей шешіміне сәйкес түбірдің бірдей мәнін береді. Ал теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолдануға тырысқанда, біз теріс санның квадрат түбірін шығаруға тап боламыз, бұл бізді мектеп бағдарламасының шеңберінен шығарады. Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірі жоқ, бірақ жұбы болады күрделі конъюгатбіз алған бірдей түбір формулалары арқылы табуға болатын тамырлар.

Түбір формулалары арқылы квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

Практикада квадрат теңдеулерді шешу кезінде олардың мәндерін есептеу үшін бірден түбір формуласын қолдануға болады. Бірақ бұл күрделі түбірлерді табумен көбірек байланысты.

Алайда мектептегі алгебра курсында біз әдетте күрделі емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлері туралы айтамыз. Бұл жағдайда квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданбас бұрын, алдымен дискриминантты тауып, оның теріс емес екеніне көз жеткізген жөн (әйтпесе, теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытынды жасауға болады), содан кейін ғана түбірлердің мәндерін есептеңіз.

Жоғарыдағы пайымдаулар жазуға мүмкіндік береді квадрат теңдеуді шешу алгоритмі. a x 2 +b x+c=0 квадрат теңдеуін шешу үшін мыналар қажет:

• D=b 2 −4·a·c дискриминант формуласын пайдаланып, оның мәнін есептеңіз;
• егер дискриминант теріс болса квадрат теңдеудің нақты түбірі болмайды деген қорытынды жасау;
• формула бойынша теңдеудің жалғыз түбірін есептеңіз, егер D=0;
• дискриминант оң болса, түбір формуласын пайдаланып квадрат теңдеудің екі нақты түбірін табыңыз.

Мұнда дискриминант нөлге тең болса, формуланы қолдануға болады, ол сияқты мән береді;

Квадрат теңдеулерді шешу алгоритмін қолдану мысалдарына көшуге болады.

Квадрат теңдеулерді шешу мысалдары

Оң, теріс және нөлдік дискриминанты бар үш квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырайық. Олардың шешімін қарастырып, аналогия бойынша кез келген басқа квадрат теңдеуді шешуге болады. бастайық.

Мысал.

x 2 +2·x−6=0 теңдеуінің түбірлерін табыңыз.

Шешім.

Бұл жағдайда бізде квадрат теңдеудің келесі коэффициенттері бар: a=1, b=2 және c=−6. Алгоритмге сәйкес, бұл үшін алдымен дискриминантты есептеу керек, біз дискриминант формуласына көрсетілген a, b және c-ті ауыстырамыз; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, яғни дискриминант нөлден үлкен болғандықтан, квадрат теңдеудің екі нақты түбірі болады. Түбір формуласы арқылы оларды табайық, біз аламыз, мұнда сіз нәтижелі өрнектерді орындау арқылы жеңілдетуге болады көбейткішті түбір белгісінен тыс жылжытусодан кейін бөлшекті азайту:

Жауап:

Келесі типтік мысалға көшейік.

Мысал.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Біз дискриминантты табудан бастаймыз: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Демек, бұл квадрат теңдеудің бір түбірі бар, біз оны келесідей табамыз, яғни,

Жауап:

x=3,5.

Теріс дискриминанты бар квадрат теңдеулерді шешуді қарастыру қалды.

Мысал.

5·y 2 +6·y+2=0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Мұнда квадрат теңдеудің коэффициенттері берілген: a=5, b=6 және c=2. Біз бұл мәндерді дискриминант формуласына ауыстырамыз, бізде бар D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминант теріс, сондықтан бұл квадрат теңдеудің нақты түбірі жоқ.

Егер күрделі түбірлерді көрсету қажет болса, онда квадрат теңдеудің түбірлеріне белгілі формуланы қолданып, орындаймыз күрделі сандармен амалдар:

Жауап:

нақты түбірлер жоқ, күрделі түбірлер: .

Тағы бір рет атап өтейік, егер квадрат теңдеудің дискриминанты теріс болса, онда мектепте олар әдетте нақты түбірлердің жоқтығын және күрделі түбірлердің табылмайтынын көрсететін жауапты дереу жазады.

Жұп екінші коэффициенттер үшін түбір формуласы

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы, мұнда D=b 2 −4·a·c ықшам түрдегі формуланы алуға мүмкіндік береді, x үшін жұп коэффициенті бар квадрат теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді (немесе жай ғана a 2·n түріндегі коэффициент, мысалы, немесе 14· ln5=2·7·ln5 ). Оны шығарайық.

a x 2 +2 n x+c=0 түріндегі квадрат теңдеуді шешу керек делік. Өзіміз білетін формула арқылы оның түбірлерін табайық. Ол үшін дискриминантты есептейміз D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), содан кейін біз түбір формуласын қолданамыз:

n 2 −a c өрнегін D 1 деп белгілейік (кейде ол D " деп белгіленеді). Сонда 2 n екінші коэффициентімен қарастырылып отырған квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы мына түрге ие болады. , мұндағы D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 немесе D 1 =D/4 екенін байқау қиын емес. Басқаша айтқанда, D 1 дискриминанттың төртінші бөлігі. D 1 белгісі D белгісімен бірдей екені анық. Яғни, D 1 белгісі де квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығын көрсететін көрсеткіш болып табылады.

Сонымен, екінші коэффициенті 2·n болатын квадрат теңдеуді шешу үшін сізге қажет

• Есептеңіз D 1 =n 2 −a·c ;
• Егер D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Егер D 1 =0 болса, онда формула арқылы теңдеудің жалғыз түбірін есептеңіз;
• Егер D 1 >0 болса, формула бойынша екі нақты түбірді табыңыз.

Осы тармақта алынған түбір формуласы арқылы мысалды шешуді қарастырайық.

Мысал.

5 x 2 −6 x −32=0 квадрат теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Бұл теңдеудің екінші коэффициентін 2·(−3) түрінде көрсетуге болады. Яғни, бастапқы квадрат теңдеуді 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, мұнда a=5, n=−3 және c=−32 түрінде қайта жазып, төртінші бөлігін есептеуге болады. дискриминант: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Оның мәні оң болғандықтан, теңдеудің екі нақты түбірі болады. Тиісті түбір формуласы арқылы оларды табайық:

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы қолдануға болатынын ескеріңіз, бірақ бұл жағдайда көбірек есептеу жұмыстарын орындауға тура келеді.

Жауап:

Квадрат теңдеулердің түрін жеңілдету

Кейде квадрат теңдеудің түбірлерін формулалар арқылы есептеуді бастамас бұрын: «Бұл теңдеудің түрін жеңілдету мүмкін бе?» Деген сұрақты қоюдың зияны жоқ. 1100 x 2 −400 x−600=0-ге қарағанда 11 x 2 −4 x−6=0 квадрат теңдеуді шешу оңайырақ болатынымен келісіңіз.

Әдетте квадрат теңдеудің түрін жеңілдету екі жағын да белгілі бір санға көбейту немесе бөлу арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, алдыңғы абзацта екі жағын 100-ге бөлу арқылы 1100 x 2 −400 x −600=0 теңдеуін оңайлатуға болатын еді.

Ұқсас түрлендіру коэффициенттері емес квадрат теңдеулермен жүзеге асырылады. Бұл жағдайда теңдеудің екі жағы әдетте оның коэффициенттерінің абсолютті мәндеріне бөлінеді. Мысалы, 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат теңдеуін алайық. оның коэффициенттерінің абсолютті мәндері: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын 6-ға бөлсек, 2 x 2 −7 x+8=0 эквивалентті квадрат теңдеуге келеміз.

Ал квадрат теңдеудің екі жағын көбейту әдетте бөлшек коэффициенттерден құтылу үшін жасалады. Бұл жағдайда көбейту оның коэффициенттерінің бөлгіштері арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, егер квадрат теңдеудің екі жағы да LCM(6, 3, 1)=6-ға көбейтілсе, онда ол х 2 +4·x−18=0 қарапайым түрін алады.

Осы тармақты қорытындылай келе, олар барлық мүшелердің таңбаларын өзгерту арқылы квадрат теңдеудің ең жоғары коэффициентіндегі минустан әрқашан дерлік құтылатынын атап өтеміз, бұл екі жағын −1-ге көбейтуге (немесе бөлуге) сәйкес келеді. Мысалы, әдетте −2 x 2 −3 x+7=0 квадрат теңдеуінен 2 x 2 +3 x−7=0 шешіміне көшеді.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланыс

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы өрнектейді. Түбір формуласына сүйене отырып, түбірлер мен коэффициенттер арасындағы басқа қатынастарды алуға болады.

Вьета теоремасының ең танымал және қолданылатын формулалары және пішіні болып табылады. Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат теңдеуінің түрі арқылы оның түбірлерінің қосындысы 7/3-ке, ал түбірлердің көбейтіндісі 22/3-ке тең деп бірден айта аламыз.

Жазылған формулаларды пайдалана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да бірқатар байланыстарды алуға болады. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын оның коэффициенттері арқылы өрнектеуге болады: .

Анықтамалар.

• Алгебра:оқулық 8 сыныпқа арналған. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; өңдеген С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. – М.: Білім, 2008. – 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8 сынып. 2 сағатта 1 бөлім. Жалпы білім беретін оқу орындарының оқушыларына арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемосине, 2009. - 215 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01155-2.

Бұл математикалық бағдарламамен сіз жасай аласыз квадрат теңдеуді шешу.

Бағдарлама мәселеге жауап беріп қана қоймайды, сонымен қатар шешу процесін екі жолмен көрсетеді:
- дискриминантты қолдану
- Виет теоремасын қолдану (мүмкіндігінше).

Оның үстіне жауап шамамен емес, дәл көрсетіледі.
Мысалы, \(81x^2-16x-1=0\) теңдеуі үшін жауап келесі пішінде көрсетіледі:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ және мұндай емес: \(x_1 = 0,247; \төрт x_2 = -0,05\)

Бұл бағдарлама жалпы білім беретін мектептердің жоғары сынып оқушылары үшін тесттер мен емтихандарға дайындалу кезінде, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімдерін тексеру кезінде және ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін.

Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе математика немесе алгебра бойынша үй тапсырмасын мүмкіндігінше тез орындағыңыз келе ме? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.

Осылайша, сіз өзіңіздің оқуыңызды және/немесе іні-қарындастарыңызды оқытуды жүргізе аласыз, сонымен бірге мәселелерді шешу саласындағы білім деңгейі артады.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелері
Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.

Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), т.б.
Сандарды бүтін немесе бөлшек сандар ретінде енгізуге болады.

Оның үстіне бөлшек сандарды ондық бөлшек түрінде ғана емес, жай бөлшек түрінде де енгізуге болады.
Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Ондық бөлшектерде бөлшек бөлігін бүтін бөліктен нүкте немесе үтір арқылы бөлуге болады.

Мысалы, ондық бөлшектерді келесідей енгізуге болады: 2,5x - 3,5x^2
Жай бөлшектерді енгізу ережелері.

Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.

Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес. /
Сандық бөлшекті енгізу кезінде алым бөлгіштен бөлу белгісімен бөлінеді: &
Бүкіл бөлік бөлшектен амперсанд белгісімен бөлінеді:
Енгізу: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Нәтиже: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Өрнекті енгізу кезіндежақшаларды қолдануға болады
. Бұл жағдайда квадрат теңдеуді шешу кезінде енгізілген өрнек алдымен жеңілдетіледі.

=0

Мысалы: x^2+2x-1

Шешіңіз
Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.

Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпа қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Кішкене теория.

Квадрат теңдеу және оның түбірлері. Толық емес квадрат теңдеулер

Теңдеулердің әрқайсысы
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ұқсайды
\(ax^2+bx+c=0, \)
мұндағы х – айнымалы, a, b және c – сандар.
Бірінші теңдеуде a = -1, b = 6 және c = 1,4, екіншісінде a = 8, b = -7 және c = 0, үшіншіде a = 1, b = 0 және c = 4/9. Мұндай теңдеулер деп аталады квадрат теңдеулер.

Анықтама.
Квадрат теңдеу ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеу деп аталады, мұндағы х - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар және \(a \neq 0 \).

a, b және c сандары квадрат теңдеудің коэффициенттері болып табылады. а саны бірінші коэффициент, b саны екінші коэффициент, с саны бос мүше деп аталады.

ax 2 +bx+c=0 түріндегі теңдеулердің әрқайсысында, мұндағы \(a \neq 0 \), х айнымалысының ең үлкен дәрежесі квадрат болып табылады. Осыдан аталды: квадрат теңдеу.

Квадрат теңдеуді екінші дәрежелі теңдеу деп те атайтынын ескеріңіз, өйткені оның сол жағы екінші дәрежелі көпмүше болып табылады.

х 2 коэффициенті 1-ге тең болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу. Мысалы, берілген квадрат теңдеулер теңдеулер болып табылады
\(x^2-11x+30=0, \төрт x^2-6x=0, \төрт x^2-8=0 \)

Егер ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуінде b немесе c коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда мұндай теңдеу деп аталады. толық емес квадрат теңдеу. Сонымен, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 теңдеулер толық емес квадрат теңдеулер. Оның біріншісінде b=0, екіншісінде c=0, үшіншісінде b=0 және с=0.

Толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі бар:
1) ax 2 +c=0, мұндағы \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, мұндағы \(b \neq 0 \);
3) балта 2 =0.

Осы түрлердің әрқайсысының теңдеулерін шешуді қарастырайық.

\(c \neq 0 \) үшін ax 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді шешу үшін оның бос мүшесін оң жаққа жылжытып, теңдеудің екі жағын а-ға бөліңіз:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Өйткені \(c \neq 0 \), онда \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Егер \(-\frac(c)(a)>0\), онда теңдеудің екі түбірі болады.

Егер \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеуді \(b \neq 0 \) көбейткіштері арқылы шешу үшін оның сол жағын көбейтіп, теңдеуді алыңыз.
\(x(ax+b)=0 \Оң жақ көрсеткі \солға\( \begin(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(массив) \оңға. \Оң жақ көрсеткі \солға\( \басталады (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(массив) \оң жақ.

Бұл \(b \neq 0 \) үшін ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеудің әрқашан екі түбірі болатынын білдіреді.

ax 2 =0 түріндегі толық емес квадрат теңдеу x 2 =0 теңдеуіне эквивалентті, сондықтан бір түбірі 0 болады.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Енді белгісіздердің коэффициенттері де, бос мүшесі де нөлге тең емес квадрат теңдеулерді шешу жолын қарастырайық.

Квадрат теңдеуді жалпы түрде шешіп, нәтижесінде түбірлердің формуласын аламыз. Бұл формуланы кез келген квадрат теңдеуді шешу үшін пайдалануға болады.

ax 2 +bx+c=0 квадрат теңдеуін шешейік

Екі жағын а-ға бөлсек, эквивалентті келтірілген квадрат теңдеуді аламыз
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Бұл теңдеуді биномның квадратын таңдау арқылы түрлендірейік:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Оң жақ көрсеткі \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\оң)^ 2 - \frac(c)(a) \Оң жақ көрсеткі \) \(\сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Оң жақ көрсеткі \сол(x+\frac(b)(2a)\оң)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Оң жақ көрсеткі \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Оң жақ көрсеткі x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Оң жақ көрсеткі \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Радикалды өрнек деп аталады квадрат теңдеудің дискриминанты ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» латын тілінде – дискриминатор). Ол D әрпімен белгіленеді, яғни.
\(D = b^2-4ac\)

Енді дискриминант белгісін пайдаланып, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қайта жазамыз:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), мұнда \(D= b^2-4ac \)

Бұл анық:
1) Егер D>0 болса, онда квадрат теңдеудің екі түбірі болады.
2) Егер D=0 болса, онда квадрат теңдеудің бір түбірі \(x=-\frac(b)(2a)\) болады.
3) Егер D Осылайша, дискриминанттың мәніне байланысты квадрат теңдеудің екі түбірі болуы мүмкін (D > 0 үшін), бір түбірі (D = 0 үшін) немесе түбірлері жоқ (D үшін осыны пайдаланып квадрат теңдеуді шешкенде формула бойынша келесі жолды орындаған жөн:
1) дискриминантты есептеу және оны нөлмен салыстыру;
2) егер дискриминант оң немесе нөлге тең болса, онда дискриминант теріс болса, түбір формуласын қолданыңыз, онда түбірлер жоқ деп жазыңыз;

Виетаның теоремасы

Берілген ax 2 -7x+10=0 квадрат теңдеуінің түбірлері 2 және 5. Түбірлердің қосындысы 7, көбейтіндісі 10. Түбірлердің қосындысы қарама-қарсы алынған екінші коэффициентке тең екенін көреміз. таңбасы, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Түбірлері бар кез келген қысқартылған квадрат теңдеудің осы қасиеті бар.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.

Сол. Виет теоремасы x 2 +px+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің x 1 және x 2 түбірлерінің мынадай қасиеті бар екенін айтады:
\(\left\( \begin(массив)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(массив) \оңға. \)