• apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che si traccia dal suo vertice (inoltre l'apotema è la lunghezza della perpendicolare, che si abbassa dal centro del poligono regolare ad uno dei suoi lati);
• facce laterali (ASB, BSC, CSD, DSA) - triangoli che si incontrano nel vertice;
• nervature laterali ( COME , B.S. , C.S. , D.S. ) — lati comuni delle facce laterali;
• sommità della piramide (t.S) - un punto che collega le nervature laterali e che non giace nel piano della base;
• altezza ( COSÌ ) - un segmento perpendicolare tracciato attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di tale segmento saranno la sommità della piramide e la base della perpendicolare);
• sezione diagonale della piramide- una sezione della piramide che passa per il vertice e la diagonale della base;
• base (ABCD) - un poligono che non appartiene al vertice della piramide.

Proprietà della piramide.

1. Quando tutti i bordi laterali hanno la stessa dimensione, allora:

• è facile descrivere un cerchio vicino alla base della piramide e la sommità della piramide verrà proiettata al centro di questo cerchio;
• le nervature laterali formano angoli uguali col piano della base;
• Inoltre è vero anche il contrario, cioè quando le nervature laterali formano angoli uguali con il piano della base, o quando si può descrivere un cerchio attorno alla base della piramide e la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio, significa che tutti i bordi laterali della piramide hanno la stessa dimensione.

2. Quando le facce laterali hanno un angolo di inclinazione rispetto al piano della base dello stesso valore, allora:

• è facile descrivere un cerchio vicino alla base della piramide e la sommità della piramide verrà proiettata al centro di questo cerchio;
• le altezze delle facce laterali sono di uguale lunghezza;
• l'area della superficie laterale è pari a ½ il prodotto del perimetro della base e dell'altezza della faccia laterale.

3. Una sfera può essere descritta attorno ad una piramide se alla base della piramide c'è un poligono attorno al quale si può descrivere un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano per il centro degli spigoli della piramide ad essi perpendicolari. Da questo teorema concludiamo che una sfera può essere descritta sia attorno a qualsiasi triangolo che attorno a qualsiasi piramide regolare.

4. Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici degli angoli diedri interni della piramide si intersecano nel 1° punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto diventerà il centro della sfera.

La piramide più semplice.

In base al numero degli angoli, la base della piramide si divide in triangolare, quadrangolare e così via.

Ci sarà una piramide triangolare, quadrangolare, e così via, quando la base della piramide è un triangolo, un quadrilatero e così via. Una piramide triangolare è un tetraedro: un tetraedro. Quadrangolare - pentagonale e così via.

Gli studenti incontrano il concetto di piramide molto prima di studiare la geometria. La colpa è delle famose grandi meraviglie egiziane del mondo. Pertanto, quando iniziano a studiare questo meraviglioso poliedro, la maggior parte degli studenti lo immagina già chiaramente. Tutte le attrazioni sopra menzionate hanno la forma corretta. Che è successo piramide regolare, e quali proprietà ha saranno discusse ulteriormente.

Definizione

Esistono molte definizioni di piramide. Fin dai tempi antichi è stato molto popolare.

Ad esempio, Euclide la definì come una figura corporea costituita da piani che, partendo da uno, convergono in un certo punto.

Heron ha fornito una formulazione più precisa. Ha insistito sul fatto che questa era la cifra ha una base e piani a forma di triangoli, convergenti in un punto.

Secondo l'interpretazione moderna, la piramide è rappresentata come un poliedro spaziale, costituito da un certo k-gon e k figure triangolari piatte, aventi un punto comune.

Vediamolo più in dettaglio, in quali elementi è composto:

• Il k-gon è considerato la base della figura;
• Forme trigonali sporgono come i bordi della parte laterale;
• la parte superiore da cui hanno origine gli elementi laterali è detta apice;
• tutti i segmenti che collegano un vertice sono chiamati spigoli;
• se una linea retta si abbassa dal vertice al piano della figura con un angolo di 90 gradi, allora la sua parte contenuta nello spazio interno è l'altezza della piramide;
• in qualsiasi elemento laterale si può tracciare una perpendicolare, detta apotema, al lato del nostro poliedro.

Il numero di spigoli viene calcolato utilizzando la formula 2*k, dove k è il numero di lati del k-gon. Quante facce ha un poliedro come una piramide può essere determinato usando l'espressione k+1.

Importante! Una piramide di forma regolare è una figura stereometrica il cui piano di base è un k-gon con i lati uguali.

Proprietà di base

Piramide corretta ha molte proprietà, che sono unici per lei. Li elenchiamo:

1. La base è una figura della forma corretta.
2. Gli spigoli della piramide che delimitano gli elementi laterali hanno valori numerici uguali.
3. Gli elementi laterali sono triangoli isosceli.
4. La base dell'altezza della figura cade al centro del poligono, mentre è contemporaneamente il punto centrale dell'inscritto e del circoscritto.
5. Tutte le nervature laterali sono inclinate rispetto al piano della base con lo stesso angolo.
6. Tutte le superfici laterali hanno lo stesso angolo di inclinazione rispetto alla base.

Grazie a tutte le proprietà elencate, eseguire i calcoli degli elementi è molto più semplice. Sulla base delle proprietà di cui sopra, prestiamo attenzione a due segni:

1. Nel caso in cui il poligono rientra in un cerchio, le facce laterali avranno angoli uguali con la base.
2. Quando si descrive un cerchio attorno a un poligono, tutti i bordi della piramide che partono dal vertice avranno uguali lunghezze e angoli uguali con la base.

La base è un quadrato

Piramide quadrangolare regolare - un poliedro la cui base è un quadrato.

Ha quattro facce laterali, che sono isoscele in apparenza.

Un quadrato è raffigurato su un piano, ma si basa su tutte le proprietà di un quadrilatero regolare.

Ad esempio, se è necessario mettere in relazione il lato di un quadrato con la sua diagonale, utilizzare la seguente formula: la diagonale è uguale al prodotto del lato del quadrato e della radice quadrata di due.

Si basa su un triangolo regolare

Una piramide triangolare regolare è un poliedro la cui base è un trigono regolare.

Se la base è un triangolo regolare e i bordi laterali sono uguali ai bordi della base, allora tale figura chiamato tetraedro.

Tutte le facce di un tetraedro sono 3 angoli equilateri. In questo caso, devi conoscere alcuni punti e non perdere tempo con essi durante il calcolo:

• l'angolo di inclinazione delle nervature rispetto a qualsiasi base è di 60 gradi;
• anche la dimensione di tutte le facce interne è di 60 gradi;
• qualsiasi volto può fungere da base;
• , disegnati all'interno della figura, si tratta di elementi uguali.

Sezioni di un poliedro

In ogni poliedro ci sono diversi tipi di sezioni Piatto. Spesso in un corso di geometria scolastica lavorano con due:

• assiale;
• parallelo alla base.

Una sezione assiale si ottiene intersecando un poliedro con un piano che passa per il vertice, gli spigoli laterali e l'asse. In questo caso l'asse è l'altezza tracciata dal vertice. Il piano di taglio è limitato dalle linee di intersezione con tutte le facce, risultando in un triangolo.

Attenzione! In una piramide regolare la sezione assiale è un triangolo isoscele.

Se il piano di taglio corre parallelo alla base, il risultato è la seconda opzione. In questo caso, abbiamo una figura in sezione trasversale simile alla base.

Ad esempio, se la base è un quadrato, anche la sezione parallela alla base sarà quadrata, solo di dimensioni inferiori.

Quando risolvono i problemi in questa condizione, usano segni e proprietà di somiglianza delle figure, basato sul teorema di Talete. Innanzitutto è necessario determinare il coefficiente di similarità.

Se il piano viene disegnato parallelo alla base e taglia la parte superiore del poliedro, nella parte inferiore si ottiene un tronco di piramide regolare. Allora le basi di un poliedro troncato si dicono poligoni simili. In questo caso le facce laterali sono trapezi isosceli. Anche la sezione assiale è isoscele.

Per determinare l'altezza di un poliedro troncato è necessario tracciare l'altezza nella sezione assiale, cioè nel trapezio.

Aree superficiali

I principali problemi geometrici che devono essere risolti in un corso di geometria scolastica sono trovare l'area della superficie e il volume di una piramide.

Esistono due tipi di valori di superficie:

• area degli elementi laterali;
• area dell'intera superficie.

Già dal nome stesso è chiaro di cosa stiamo parlando. La superficie laterale comprende solo gli elementi laterali. Ne consegue che per trovarlo basta sommare le aree dei piani laterali, cioè le aree dei 3-goni isosceli. Proviamo a ricavare la formula per l'area degli elementi laterali:

1. L'area di un 3-gono isoscele è pari a Str=1/2(aL), dove a è il lato della base, L è l'apotema.
2. Il numero di piani laterali dipende dal tipo di k-gon alla base. Ad esempio, una piramide quadrangolare regolare ha quattro piani laterali. Occorre quindi sommare le aree di quattro cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. L'espressione si semplifica in questo modo perché il valore è 4a = Rosn, dove Rosn è il perimetro della base. E l'espressione 1/2*Rosn è il suo semiperimetro.
3. Quindi, concludiamo che l'area degli elementi laterali di una piramide regolare è uguale al prodotto del semiperimetro della base e dell'apotema: Sside = Rosn * L.

L'area della superficie totale della piramide è costituita dalla somma delle aree dei piani laterali e della base: Sp.p = Sside + Sbas.

Per quanto riguarda l'area della base, qui la formula viene utilizzata in base al tipo di poligono.

Volume di una piramide regolare pari al prodotto dell'area del piano di base e dell'altezza diviso tre: V=1/3*Sbas*H, dove H è l'altezza del poliedro.

Cos'è una piramide regolare in geometria

Proprietà di una piramide quadrangolare regolare

Livello base

Piramide. Guida visiva (2019)

Cos'è una piramide?

Che aspetto ha?

Vedi: alla base della piramide (dicono “ alla base") un poligono e tutti i vertici di questo poligono sono collegati a un punto nello spazio (questo punto è chiamato " vertice»).

L'intera struttura lo ha ancora facce laterali, nervature laterali E nervature di base. Ancora una volta, disegniamo una piramide insieme a tutti questi nomi:

Alcune piramidi possono sembrare molto strane, ma sono pur sempre piramidi.

Qui, ad esempio, è completamente “obliquo” piramide.

E qualcosa in più sui nomi: se c'è un triangolo alla base della piramide, allora la piramide si chiama triangolare, se è un quadrilatero, allora quadrangolare, e se è un centagono, allora... indovina tu stesso .

Allo stesso tempo, il punto in cui è caduto altezza, chiamato base in altezza. Si prega di notare che nelle piramidi "storte". altezza potrebbero addirittura finire fuori dalla piramide. In questo modo:

E non c’è niente di sbagliato in questo. Sembra un triangolo ottuso.

Piramide corretta.

Molte parole complicate? Decifriamo: "Alla base - corretto" - questo è comprensibile. Ora ricordiamo che un poligono regolare ha un centro, un punto che è il centro di e , e .

Ebbene la dicitura “il piano è proiettato nel centro della base” significa che la base dell'altezza cade esattamente nel centro della base. Guarda come sembra liscio e carino piramide regolare.

Esagonale: alla base c'è un esagono regolare, il vertice è proiettato nel centro della base.

Quadrangolare: la base è un quadrato, la parte superiore è proiettata nel punto di intersezione delle diagonali di questo quadrato.

Triangolare: alla base c'è un triangolo regolare, il vertice è proiettato nel punto di intersezione delle altezze (sono anche mediane e bisettrici) di questo triangolo.

Molto proprietà importanti di una piramide regolare:

Nella piramide di destra

• tutti i bordi laterali sono uguali.
• tutte le facce laterali sono triangoli isosceli e tutti questi triangoli sono uguali.

Volume piramidale

La formula principale per il volume di una piramide:

Da dove viene esattamente? Non è così semplice, e all'inizio devi solo ricordare che la piramide e il cono hanno volume nella formula, ma il cilindro no.

Ora calcoliamo il volume delle piramidi più popolari.

Sia uguale il lato della base e uguale il bordo laterale. Dobbiamo trovare e.

Questa è l'area di un triangolo regolare.

Ricordiamo come cercare quest'area. Usiamo la formula dell'area:

Per noi “ ” è questo, e “ ” è anche questo, eh.

Ora troviamolo.

Secondo il teorema di Pitagora per

Qual è la differenza? Questo è il circumraggio in perché piramidecorretto e, quindi, il centro.

Poiché - anche il punto di intersezione delle mediane.

(Teorema di Pitagora per)

Sostituiamolo nella formula per.

E sostituiamo tutto nella formula del volume:

Attenzione: se hai un tetraedro regolare (cioè), la formula risulta così:

Sia uguale il lato della base e uguale il bordo laterale.

Non c'è bisogno di guardare qui; Dopotutto, la base è un quadrato, e quindi.

Lo troveremo. Secondo il teorema di Pitagora per

Lo sappiamo? Beh, quasi. Aspetto:

(lo abbiamo visto guardandolo).

Sostituisci nella formula per:

E ora sostituiamo e nella formula del volume.

Lascia che il lato della base sia uguale e il bordo laterale.

Come trovarlo? Guarda, un esagono è formato esattamente da sei triangoli regolari identici. Abbiamo già cercato l'area di un triangolo regolare calcolando il volume di una piramide triangolare regolare, qui utilizziamo la formula che abbiamo trovato;

Ora troviamo (esso).

Secondo il teorema di Pitagora per

Ma cosa importa? È semplice perché (e anche tutti gli altri) hanno ragione.

Sostituiamo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDE. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Una piramide è un poliedro costituito da un qualsiasi poligono piatto (), un punto che non giace nel piano della base (parte superiore della piramide) e tutti i segmenti che collegano la parte superiore della piramide con i punti della base (bordi laterali).

Una perpendicolare che scende dalla sommità della piramide al piano della base.

Piramide corretta- una piramide in cui alla base si trova un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata al centro della base.

Proprietà di una piramide regolare:

• In una piramide regolare tutti gli spigoli laterali sono uguali.
• Tutte le facce laterali sono triangoli isosceli e tutti questi triangoli sono uguali.

Piramide. Piramide tronca

Piramideè un poliedro, una delle cui facce è un poligono ( base ), e tutte le altre facce sono triangoli con un vertice comune ( facce laterali ) (figura 15). La piramide si chiama corretto , se la sua base è un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata nel centro della base (Fig. 16). Si chiama piramide triangolare con tutti gli spigoli uguali tetraedro .

Nervatura laterale di una piramide è il lato della faccia laterale che non appartiene alla base Altezza la piramide è la distanza dalla sua sommità al piano della base. Tutti gli spigoli laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro, tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. Si chiama altezza della faccia laterale di una piramide regolare tracciata dal vertice apotema . Sezione diagonale si chiama sezione di una piramide mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Superficie laterale la piramide è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Superficie totale si chiama somma delle aree di tutte le facce laterali e della base.

Teoremi

1. Se in una piramide tutti gli spigoli laterali sono ugualmente inclinati rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide si proietta nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

2. Se in una piramide tutti gli spigoli laterali hanno uguale lunghezza, allora la sommità della piramide si proietta al centro di un cerchio circoscritto vicino alla base.

3. Se tutte le facce di una piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora la sommità della piramide viene proiettata al centro di un cerchio inscritto nella base.

Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, la formula corretta è:

Dove V- volume;

Base S– superficie della base;

H– altezza della piramide.

Per una piramide regolare valgono le seguenti formule:

Dove P– perimetro di base;

h a– apotema;

H- altezza;

S pieno

Lato S

Base S– superficie della base;

V– volume di una piramide regolare.

Piramide tronca chiamata la parte della piramide racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide (Fig. 17). Piramide regolare tronca chiamata la parte di piramide regolare racchiusa tra la base e un piano di taglio parallelo alla base della piramide.

Motivi piramide tronca - poligoni simili. Facce laterali – trapezi. Altezza di una piramide tronca è la distanza tra le sue basi. Diagonale una piramide tronca è un segmento che collega i suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia. Sezione diagonale è una sezione di una piramide tronca mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Per una piramide tronca valgono le seguenti formule:

(4)

Dove S 1 , S 2 – zone delle basi superiore ed inferiore;

S pieno– superficie totale;

Lato S– superficie laterale;

H- altezza;

V– volume di una piramide tronca.

Per una piramide tronca regolare la formula è corretta:

Dove P 1 , P 2 – perimetri delle basi;

h a– apotema di una piramide regolare tronca.

Esempio 1. In una piramide triangolare regolare l'angolo diedro alla base è 60º. Trova la tangente dell'angolo di inclinazione del bordo laterale rispetto al piano della base.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 18).

La piramide è regolare, cioè alla base c'è un triangolo equilatero e tutte le facce laterali sono triangoli isosceli uguali. L'angolo diedro alla base è l'angolo di inclinazione della faccia laterale della piramide rispetto al piano della base. L'angolo lineare è l'angolo UN tra due perpendicolari: ecc. La sommità della piramide è proiettata al centro del triangolo (il centro della circonferenza circoscritta e il cerchio inscritto del triangolo ABC). L'angolo di inclinazione del bordo laterale (ad es S.B.) è l'angolo compreso tra il bordo stesso e la sua proiezione sul piano della base. Per la costola S.B. questo angolo sarà l'angolo SBD. Per trovare la tangente devi conoscere i cateti COSÌ E O.B.. Lasciamo la lunghezza del segmento B.D equivale a 3 UN. Punto DI segmento B.Dè diviso in parti: e Da troviamo COSÌ: Da troviamo:

Risposta:

Esempio 2. Trova il volume di una piramide quadrangolare tronca regolare se le diagonali delle sue basi sono uguali a cm e cm e la sua altezza è 4 cm.

Soluzione. Per trovare il volume di una piramide tronca, usiamo la formula (4). Per trovare l'area delle basi, devi trovare i lati dei quadrati di base, conoscendone le diagonali. I lati delle basi sono rispettivamente pari a 2 cm e 8 cm. Ciò significa che le aree delle basi e Sostituendo tutti i dati nella formula, calcoliamo il volume della piramide tronca:

Risposta: 112 cm3.

Esempio 3. Trova l'area della faccia laterale di una piramide tronca triangolare regolare, i cui lati delle basi sono 10 cm e 4 cm, e l'altezza della piramide è 2 cm.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 19).

La faccia laterale di questa piramide è un trapezio isoscele. Per calcolare l'area di un trapezio è necessario conoscere la base e l'altezza. Le basi sono fornite in base alle condizioni, solo l'altezza rimane sconosciuta. La troveremo da dove? UN 1 E perpendicolare da un punto UN 1 sul piano della base inferiore, UN 1 D– perpendicolare da UN 1 p AC. UN 1 E= 2 cm, poiché questa è l'altezza della piramide. Per trovare DE Realizziamo un disegno aggiuntivo che mostri la vista dall'alto (Fig. 20). Punto DI– proiezione dei centri delle basi superiore ed inferiore. poiché (vedi Fig. 20) e D'altra parte OK– raggio inscritto nel cerchio e OM– raggio inscritto in una circonferenza:

MK = DE.

Secondo il teorema di Pitagora di

Zona della faccia laterale:

Risposta:

Esempio 4. Alla base della piramide si trova un trapezio isoscele, le cui basi UN E B (UN> B). Ciascuna faccia laterale forma un angolo uguale al piano della base della piramide J. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 21). Superficie totale della piramide SABCD uguale alla somma delle aree e dell'area del trapezio ABCD.

Usiamo l'affermazione che se tutte le facce della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora il vertice è proiettato nel centro del cerchio inscritto nella base. Punto DI– proiezione del vertice S alla base della piramide. Triangolo SODè la proiezione ortogonale del triangolo CSD al piano della base. Utilizzando il teorema sull'area della proiezione ortogonale di una figura piana, otteniamo:

Allo stesso modo significa Pertanto, il problema si è ridotto a trovare l'area del trapezio ABCD. Disegniamo un trapezio ABCD separatamente (Fig. 22). Punto DI– il centro di una circonferenza inscritta in un trapezio.

Poiché un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora o Dal teorema di Pitagora abbiamo