Motori elettrici
Educazione statale federale
Istituzione di istruzione professionale superiore
"UNIVERSITÀ FINANZIARIA SOTTO IL GOVERNO DELLA FEDERAZIONE RUSSA"
Dipartimento di Matematica Applicata
V.Yu.Popov V.I.Troitsky
METODI PER RISOLVERE PROBLEMI DI PROVA IN FISICA
Mosca 2011
Introduzione IN ultimamente per testare le conoscenze attuali degli studenti, condurre test intermedi, nonché durante il superamento degli esami e la valutazione delle conoscenze residue degli studenti, vengono sempre più utilizzati varie forme
test. Il manuale è destinato alla preparazione efficace degli studenti universitari nelle aree di “Matematica applicata e Informatica” e “Informatica applicata” per le prove nella disciplina “Fisica”.
Le matrici di rotazione vengono utilizzate per ruotare un vettore in una nuova direzione. Quando si trasformano i vettori nello spazio 3D, si incontrano spesso matrici di rotazione. Le matrici di rotazione vengono utilizzate in due sensi: possono essere utilizzate per ruotare un vettore in una nuova posizione, oppure possono essere utilizzate per ruotare una base di coordinate in una nuova. In questo caso il vettore rimane solo, ma le sue componenti nella nuova base differiranno dalle componenti della base originale. Ogni rotazione è specificata da un angolo di rotazione. L'angolo di rotazione è definito come positivo per la rotazione, in senso antiorario, quando l'osservatore guarda lungo l'asse di rotazione nella direzione dell'origine.
- 1. Meccanica
- cinematica del punto e moto traslatorio di un corpo rigido;
- dinamica di un punto e moto traslatorio di un corpo rigido;
- parametri dinamici del moto rotatorio di un corpo rigido;
- dinamica del moto rotatorio;
- leggi di conservazione in meccanica;
elementi della teoria della relatività speciale. Qualsiasi rotazione arbitraria può essere una combinazione di questi tre. I prossimi tre numeri mostrano come appaiono le rotazioni positive per ciascun asse di rotazione. Per ogni rotazione esiste una rotazione inversa che soddisfa A - 1 A = 1. Ad esempio, matrice inversa
La rotazione dell'asse x si ottiene cambiando il segno dell'angolo.
Problema 1. Il punto materiale M si muove in un cerchio con velocità. La Figura 1 mostra un grafico della proiezione della velocità in funzione del tempo (– vettore unitario della direzione positiva, – proiezione in questa direzione). Inoltre, che direzione ha il vettore?
piena accelerazione nella Fig. 2 (1, 3, 4, 2)?
Ora qualsiasi vettore può essere scritto come combinazione lineare di qualsiasi insieme di vettori base. Una piattaforma circolare ruota attorno ad un asse ad essa perpendicolare, che passa per il suo centro con andamento uniforme velocità angolareω. Trovare l'espressione della velocità dell'auto vista dalla piattaforma e dall'osservatore in assoluto riposo.
Descrivi le traiettorie che l'auto descrive per ciascuno di questi osservatori. Determina le grandezze cinematiche dell'istante mostrato in figura. Cosa deve accadere affinché l'asse di rotazione istantaneo e lo scorrimento minimo passino per il centro del disco? In questo caso, calcolare la derivata temporale della riduzione cinematica. . Di conseguenza vi è sempre un tratto rettilineo della superficie laterale del cono a contatto con il raggio del disco. Quando il cono viene spostato, si ribalta senza scivolare sul disco.
Il problema 1 mostra che la velocità del punto materiale M diminuisce nel tempo. Sappiamo che quando la velocità diminuisce, il vettore accelerazione tangenziale è diretto in modo opposto alla velocità (cioè opposto al vettore τ), e il vettore accelerazione normale è sempre verso il centro della traiettoria (il centro del cerchio). Pertanto, la direzione dell'accelerazione totale è 4.
Indicare la posizione degli assi istantanei dei vari movimenti esistenti in questo sistema. Nota. 
- Contrazioni cinematiche dei movimenti relativi.
- Assi di rotazione e natura dei movimenti.
- Campi di accelerazione.
Problema 2. Se e sono le componenti tangenziale e normale dell'accelerazione, allora per quale tipo di movimento (moto circolare uniforme, moto curvilineo uniforme, moto rettilineo uniformemente accelerato, moto rettilineo uniforme) sono valide le seguenti relazioni: a τ = 0,a τ = 0?
0 è valido solo per moto rettilineo uniforme.
Inoltre, i coni si muovono in modo che i loro punti di contatto non abbiano alcuno slittamento relativo. È ragionevole ottenere una coppia cinematica che descriva in caso generale movimento istantaneo consentito al solido 2 rispetto alla striscia. Qual è il numero di gradi di libertà del sistema? . Il disco ruota con una velocità angolare costante ω, il cui asse di rotazione coincide con l'asta. I ventilatori piatti sono stati installati su due pareti perpendicolari con orientamento fisso, entrambe alla stessa altezza e con i rispettivi centri posti ad uguale distanza dall'angolo.
Problema 3. Un corpo rigido da uno stato di riposo inizia a ruotare attorno all'asse Z con accelerazione angolare, la cui proiezione varia nel tempo, come mostrato nel grafico.
In quale momento la velocità angolare di rotazione del corpo raggiungerà il suo valore massimo?
In questo problema, dalla dipendenza dell'accelerazione angolare ε Z dalla velocità, è necessario trovare l'istante temporale,
quando la velocità angolare raggiunge il suo valore massimo. È noto che ε Z = | Da dove viene dω? | ||
ε Z dt иω (t) =∫ 0 t ε Ζ (t) dt. Cioè, il valore della velocità angolare ω (t) è determinato dall'area | |||
sotto la curva ε Ζ (t) tenendo conto che l'area sopra l'asse t è positiva, sotto l'asse - | |||
negativo. In base a ciò si può vedere che l'area totale più grande (tenendo conto del segno) corrisponde a t = 10c.
Problema 4. In quali situazioni si applica la seconda legge di Newton nella forma dov'è la forza, agendo sul corpo da altri corpi?
a) adatto a descrivere il movimento di microoggetti; b) valido solo a velocità del corpo molto inferiori alla velocità della luce nel vuoto; c) valido a velocità del corpo piccole e paragonabili alla velocità della luce nel vuoto; in qualsiasi sistema di riferimento.
La seconda legge di Newton nella forma m a = ∑ F: è valida solo per velocità del corpo inferiori alla velocità della luce nel vuoto. A velocità commisurate alla velocità della luce, è vero
equazione relativistica della dinamica d dt p = ∑ F , dove p è la quantità di moto relativistica. La descrizione del movimento dei microoggetti viene effettuata in termini quantistici
meccanica. Le leggi di Newton sono valide solo nei sistemi di riferimento inerziali.
Problema 5. Il punto M si muove in una spirale a velocità costante nella direzione indicata dalla freccia. Allo stesso tempo, come si comporta l'entità dell'accelerazione totale (non cambia, aumenta, diminuisce)
Dalla figura si vede che il raggio di curvatura della traiettoria del punto M diminuisce e sebbene
la velocità non cambia, e quindi l'accelerazione tangenziale (a T =d dt ν) è zero,
Il sistema è composto da tre palline di massa m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, che si muovono come mostrato in figura.
Se le velocità delle palline sono v1 =3m/s, v2 =2m/s, v3 =1m/s, allora qual è il valore della velocità del centro di massa di questo sistema in m/s?
Impulso totale sistemi meccanici(in questo caso un sistema di tre palline) è uguale alla somma
impulsi degli elementi del sistema, ad es. | (∑ m i) V c= ∑ m l | ν l o velocità del centro di massa del sistema |
|||||||||||||||||||||
pari a V c = | ∑ mjυj | ||||||||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
Di conseguenza, proiezioni | sugli assi xey sono uguali a υ | ∑mjυxj | |||||||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
m 10 + m 22 2+ m 30 | ; υce | ∑ mjυj | 3 milioni | M20 | M3 (1 m | 1 3 − 3 1 | |||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
Cioè υ c = υ cx = 2 m | |||||||||||||||||||||||
La quantità di moto del corpo è cambiata sotto l'influenza di un impatto a breve termine ed è diventata uguale, come mostrato nella figura.
In quale direzione agiva la forza al momento dell'impatto?
Sappiamo che la seconda legge di Newton può essere rappresentata come | ∆p = | ∆t, |
||||||||
∆ p = p 2 − p 1 . Si può vedere che la direzione della forza | ||||||||||
F cp coincide con la direzione del cambiamento |
||||||||||
quantità di moto ∆ p, che si trova utilizzando la regola dell'addizione vettoriale: p 2 | P 1 + ∆ p , cioè in |
|||||||||
al momento dell'impatto la forza agisce nella direzione 3. | ||||||||||
Problema 8. Una pallina da tennis stava volando con slancio in direzione orizzontale quando il tennista la colpì con un colpo forte della durata di 0,1 s. La quantità di moto modificata della palla è diventata uguale (la scala è indicata nella figura). Qual è la forza d'impatto media?
Simile al problema precedente F cp ∆ t = p 2 − p 1 . Avendo trovato modulo e direzione di ∆ p = p 2 − p 1
e dividendo per ∆ t | ||||||||||||||
La figura mostra come trovarlo | ∆p(p | + ∆p =p | ). Su scala cellulare | ∆p2= 3 2kl + 4 2kl = 5 2kl |
||||||||||
∆ p= 5 cl= 5 1 kgm s=5kg/s | ||||||||||||||
Fcp= | ∆p | 5 chilogrammi | 50 ore | |||||||||||
∆t | ||||||||||||||
0,1 s | ||||||||||||||
Problema 9. Il punto materiale M si muove su una circonferenza con velocità. Nella fig. La Figura 1 mostra un grafico della dipendenza dal tempo (– vettore unitario di direzione positiva,–
proiezione in questa direzione). In Fig. 2, indicare la direzione della forza che agisce su T.M al tempo t 1.
t 1 corrisponde al tratto in cui la velocità aumenta Tenendo conto del fatto che l'accelerazione normale è diretta verso il centro del cerchio, l'accelerazione totale a (a = a T + a n)
Nella sezione t 2, la velocità non cambia, a T = 0, e l'accelerazione tangenziale totale con velocità crescente è a = a H ed è diretta come 2. Nella sezione t 3, dove la velocità diminuisce, la velocità totale
l'accelerazione è diretta come 4 (l'accelerazione tangenziale è opposta alla velocità) La direzione della forza, come sappiamo, coincide con la direzione dell'accelerazione a
Problema 10 In un campo potenziale, la forza è proporzionale al gradiente di energia potenziale
Se il grafico dell'energia potenziale rispetto alla coordinata x ha la forma mostrata in figura,
Proiezioni di forza nelle direzioni x, y, z
sono uguali a F = −
∂W pag
∂W pag
; F = −
∂W pag
Considerando,
∂X
∂y
∂z
che la dipendenza W
(x) assomiglia
= α x 2, allora
F = − (α x2 ) "
= − 2 dx , quindi la dipendenza
la proiezione della forza sull'asse X ha la forma 2.
Problema 11. Un corpo che pesa 2 kg viene sollevato sopra la Terra. La sua energia potenziale è 400 J. Se sulla superficie della Terra l'energia potenziale di un corpo è zero e le forze di resistenza dell'aria possono essere trascurate, quale dovrebbe essere la velocità con cui cadrà sulla Terra?
(40 m/s, 20 m/s, 10 m/s, 14 m/s)
Un corpo di massa m=2m è sollevato da terra. La sua energia potenziale è 400J. Supponendo che sulla superficie della Terra energia potenziale = 0 e non vi sia resistenza atmosferica,
troviamo l'energia cinetica del corpo sulla superficie della terra usando la formula | mν2 | Mgh= 400 J. |
|||||||
V2 = 400m2 | e V = 20 | ||||||||
Problema 12. Un piccolo disco inizia a muoversi senza velocità iniziale su liscio scivolo di ghiaccio dal punto A. La resistenza dell'aria è trascurabile. Dipendenza dal potenziale
l'energia del disco rispetto alle coordinate è mostrata nel grafico
Qual è il rapporto tra l'energia cinetica del disco nei punti C e B?
2 volte meno che al punto B; 1,75 volte di più rispetto al punto B; 1,75 volte inferiore rispetto al punto B; 2 volte di più del punto B.
Se non si tiene conto della resistenza al movimento della rondella, l'energia meccanica totale della rondella non cambia, cioè in qualsiasi punto con coordinate X è uguale all'energia nel punto A.
Se nel punto A c'è movimento senza velocità iniziale (l'energia cinetica è 0), allora l'energia totale è uguale all'energia potenziale E = 100 J.
Se nel punto B l'energia potenziale è 70 J, allora l'energia cinetica = 30 J, e nel punto C l'energia potenziale è 40 J e l'energia cinetica è 60 J. Allora l'energia cinetica nel punto C è 2 volte maggiore che in punto C.
Problema 13. Un cerchio con massa m=0,3 kg e raggio R=0,5 m è stato messo in rotazione, dandogli un'energia rotazionale di 1200 J, e abbassato sul pavimento in modo che il suo asse di rotazione fosse parallelo al pavimento piatto. Se il cerchio iniziasse a muoversi senza scivolare, avendo un'energia cinetica di movimento traslazionale di 200 J, quanto lavoro è stato compiuto dalla forza di attrito?
Opzione 5
5.1. Nella figura, le frecce mostrano le direzioni dell'accelerazione angolare dei dischi rotanti e indicano anche come la loro velocità angolare cambia modulo nel tempo. Che tipo di dischi girano? in senso orario(se guardi il disco dal basso)?
5.2. Il disco ruota con accelerazione angolare costante ε = 5 rad/s. Quanti giri N farà il disco quando la velocità di rotazione cambia da n 1 = 240 min Da -1 a n2 = 90 min-1? Trova un momento durante il quale ciò accadrà.
5.3. 
Il corpo rigido inizia a ruotare attorno all'asse Z con una velocità angolare, la cui proiezione cambia nel tempo, come mostrato nel grafico. A quale angolo (in lieto) il corpo verrà ruotato rispetto alla posizione iniziale dopo 10 Con ?
5.4. Vengono considerati tre corpi: un disco, un tubo a pareti sottili e una palla solida; e le masse M e i raggi delle basi del disco e del tubo sono gli stessi. Per i momenti d'inerzia dei corpi considerati rispetto agli assi indicati vale la relazione...
1) J3< J 2 < J 1 2) J 3 < J 1 < J 2 3) J 1 < J 2 < J 3 4) J 3 < J 1 = J 2
5.5. I dischi ruotano attorno ad assi verticali fissi. La figura mostra con una freccia il senso di rotazione del disco e come cambia la velocità angolare di rotazione nel tempo. Indicare i numeri dei dischi il cui momento angolare è diretto lungo l'asse di rotazione verso il basso.
5.6. Un filo è avvolto lungo il bordo di una puleggia montata su un asse comune con un volano, all'estremità della quale si trova un carico che pesa M = 4,0 kg. Di quanto deve essere abbassato il carico affinché la ruota e la puleggia ricevano una velocità corrispondente alla frequenza? N = 60 giri/min? Momento d'inerzia di una ruota con puleggia J = 0,42 kgm2, raggio della puleggia r = 10cm. Questo è il compito numero 2
5.7. La figura mostra un grafico della proiezione della velocità angolare di un corpo rotante sull'asse di rotazione in funzione del tempo. Il momento delle forze agenti sul corpo era costante e non uguale a zero nell'area...
5.8. Un uomo si trova su una panca Zhukovsky, ruota con un attrito trascurabile e riceve una palla di mano con una massa M = 0,4 kg, volando in direzione orizzontale con una velocità v = 20 SM. La traiettoria della palla passa a distanza R = 0,8 M dall'asse verticale di rotazione del banco. A quale velocità angolare ω inizierà a ruotare la panchina Zhukovsky con la persona che ha preso la palla? Considerare il momento d'inerzia totale della persona e della panca J = 6 kg∙m2.
5.9. Il volano gira a norma di legge, espresso dall'equazioneφ = 2+16 T- 2t2, lieto. Trovare potenza media, sviluppato dalle forze che agiscono sul volano durante il suo movimento fino all'arresto, se il suo momento di inerzia J = 100 kg∙m2 Qual è il potere in questo momento? t = 3 secondi.
5.10. Un ragazzo lancia un cerchio superficie orizzontale con una velocità v=7,2 km/h Trova l'altezza (in metri) alla quale il cerchio può rotolare su per la collina a causa della sua energia cinetica, se si trascura la forza di attrito volvente. L'angolo di inclinazione della slitta è .