Le disuguaglianze più semplici con i logaritmi. Risoluzione di semplici disuguaglianze logaritmiche

Obiettivi della lezione:

Didattico:

• Livello 1 – insegnare a risolvere le più semplici disuguaglianze logaritmiche, utilizzando la definizione di logaritmo e le proprietà dei logaritmi;
• Livello 2 – risolvere le disuguaglianze logaritmiche, scegliendo il proprio metodo di soluzione;
• Livello 3: essere in grado di applicare conoscenze e abilità in situazioni non standard.

Educativo: sviluppare memoria, attenzione, pensiero logico, capacità di confronto, essere in grado di generalizzare e trarre conclusioni

Educativo: coltivare l'accuratezza, la responsabilità per il compito svolto e l'assistenza reciproca.

Metodi di insegnamento: verbale , visivo , pratico , ricerca parziale , autogoverno , controllare.

Forme di organizzazione dell’attività cognitiva degli studenti: frontale , individuale , lavorare in coppia.

Attrezzatura: una serie di attività di test, note di riferimento, fogli bianchi per soluzioni.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Avanzamento della lezione

1. Momento organizzativo. Vengono comunicati l'argomento e gli obiettivi della lezione, il programma delle lezioni: a ogni studente viene consegnata una scheda di valutazione, che lo studente compila durante la lezione; per ogni coppia di studenti - i materiali stampati con i compiti devono essere completati in coppia; fogli di soluzione vuoti; fogli di supporto: definizione di logaritmo; grafico di una funzione logaritmica, sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche.

Tutte le decisioni dopo l'autovalutazione vengono sottoposte al docente.

Scheda dei punteggi dello studente

2. Aggiornamento delle conoscenze.

Istruzioni dell'insegnante. Richiama la definizione di logaritmo, il grafico di una funzione logaritmica e le sue proprietà. Per fare ciò, leggi il testo alle pagine 88–90, 98–101 del libro di testo “Algebra e gli inizi dell'analisi 10–11” edito da Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin e altri.

Agli studenti vengono consegnati dei fogli sui quali sono scritti: la definizione di logaritmo; mostra un grafico di una funzione logaritmica e le sue proprietà; proprietà dei logaritmi; algoritmo per risolvere disuguaglianze logaritmiche, un esempio di risoluzione di una disuguaglianza logaritmica che si riduce a quadratica.

3. Studio di nuovo materiale.

La risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche si basa sulla monotonia della funzione logaritmica.

Algoritmo per risolvere le disuguaglianze logaritmiche:

A) Trovare il dominio di definizione della disuguaglianza (l'espressione sublogaritmica è maggiore di zero).
B) Rappresentare (se possibile) i lati sinistro e destro della disuguaglianza come logaritmi sulla stessa base.
C) Determinare se la funzione logaritmica è crescente o decrescente: se t>1, allora crescente; se 0 1, poi decrescente.
D) Passare ad una disuguaglianza più semplice (espressioni sublogaritmiche), tenendo conto che il segno della disuguaglianza rimarrà lo stesso se la funzione aumenta e cambierà se diminuisce.

Elemento di apprendimento n. 1.

Obiettivo: consolidare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici

Forma di organizzazione dell'attività cognitiva degli studenti: lavoro individuale.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti. Per ogni disuguaglianza ci sono più risposte possibili; è necessario scegliere quella corretta e verificarla utilizzando la chiave.

CHIAVE: 13321, numero massimo di punti – 6 punti.

Elemento di apprendimento n.2.

Obiettivo: consolidare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche utilizzando le proprietà dei logaritmi.

Istruzioni dell'insegnante. Ricorda le proprietà fondamentali dei logaritmi. Per fare ciò, leggi il testo del libro di testo alle pagine 92, 103–104.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti.

CHIAVE: 2113, numero massimo di punti – 8 punti.

Elemento di apprendimento n. 3.

Scopo: studiare la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche mediante il metodo di riduzione a quadratico.

Istruzioni per l'insegnante: il metodo per ridurre una disuguaglianza a quadratica consiste nel trasformare la disuguaglianza in una forma tale che una certa funzione logaritmica sia denotata da una nuova variabile, ottenendo così una disuguaglianza quadratica rispetto a questa variabile.

Usiamo il metodo dell'intervallo.

Hai superato il primo livello di padronanza del materiale. Ora dovrai scegliere autonomamente un metodo per risolvere le equazioni logaritmiche, utilizzando tutte le tue conoscenze e capacità.

Elemento di apprendimento n. 4.

Obiettivo: consolidare la soluzione alle disuguaglianze logaritmiche scegliendo autonomamente un metodo di soluzione razionale.

Compiti per lavoro indipendente per 10 minuti

Elemento di apprendimento n.5.

Istruzioni dell'insegnante. Ben fatto! Hai imparato a risolvere equazioni del secondo livello di complessità. L'obiettivo del tuo ulteriore lavoro è applicare le tue conoscenze e abilità in situazioni più complesse e non standard.

Compiti per una soluzione indipendente:

Istruzioni dell'insegnante. È fantastico se hai completato l'intera attività. Ben fatto!

Il voto dell'intera lezione dipende dal numero di punti ottenuti per tutti gli elementi didattici:

• se N ≥ 20, ottieni una valutazione "5",
• per 16 ≤ N ≤ 19 – punteggio “4”,
• per 8 ≤ N ≤ 15 – punteggio “3”,
• al n< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Consegnare le schede di valutazione al docente.

5. Compiti a casa: se hai ottenuto non più di 15 punti, lavora sui tuoi errori (le soluzioni possono essere ottenute dall'insegnante), se hai ottenuto più di 15 punti, completa un compito creativo sull'argomento "Disequazioni logaritmiche".

Pensi che ci sia ancora tempo prima dell'Esame di Stato Unificato e avrai tempo per prepararti? Forse è così. Ma in ogni caso, prima lo studente inizia la preparazione, più con successo supera gli esami. Oggi abbiamo deciso di dedicare un articolo alle disuguaglianze logaritmiche. Questo è uno dei compiti, il che significa un'opportunità per ottenere credito extra.

Sai già cos'è un logaritmo? Lo speriamo davvero. Ma anche se non hai una risposta a questa domanda, non è un problema. Capire cos'è un logaritmo è molto semplice.

Perché 4? È necessario elevare il numero 3 a questa potenza per ottenere 81. Una volta compreso il principio si può procedere a calcoli più complessi.

Hai attraversato le disuguaglianze qualche anno fa. E da allora li hai costantemente incontrati in matematica. Se hai problemi a risolvere le disuguaglianze, consulta la sezione apposita.
Ora che abbiamo acquisito familiarità con i concetti singolarmente, passiamo a considerarli in generale.

La disuguaglianza logaritmica più semplice.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici non si limitano a questo esempio; ce ne sono altre tre, solo con segni diversi. Perché è necessario? Per comprendere meglio come risolvere le disuguaglianze con i logaritmi. Ora diamo un esempio più applicabile, ancora abbastanza semplice, lasceremo le disuguaglianze logaritmiche complesse per dopo.

Come risolvere questo problema? Tutto inizia con ODZ. Vale la pena saperne di più se vuoi risolvere sempre facilmente qualsiasi disuguaglianza.

Cos'è l'ODZ? ODZ per disuguaglianze logaritmiche

L'abbreviazione indica l'intervallo di valori accettabili. Questa formulazione compare spesso nei compiti per l'Esame di Stato Unificato. ODZ ti sarà utile non solo nel caso di disuguaglianze logaritmiche.

Guarda di nuovo l'esempio sopra. Considereremo l'ODZ sulla base di esso, in modo che tu possa comprendere il principio e risolvere le disuguaglianze logaritmiche non solleva domande. Dalla definizione di logaritmo segue che 2x+4 deve essere maggiore di zero. Nel nostro caso ciò significa quanto segue.

Questo numero, per definizione, deve essere positivo. Risolvi la disuguaglianza presentata sopra. Questo può essere fatto anche oralmente; qui è chiaro che X non può essere inferiore a 2. La soluzione della disuguaglianza sarà la definizione dell'intervallo di valori accettabili.
Passiamo ora alla risoluzione della disuguaglianza logaritmica più semplice.

Scartiamo i logaritmi stessi da entrambi i lati della disuguaglianza. Cosa ci resta di conseguenza? Disuguaglianza semplice.

Non è difficile da risolvere. X deve essere maggiore di -0,5. Ora combiniamo i due valori ottenuti in un sistema. Così,

Questo sarà l'intervallo di valori accettabili per la disuguaglianza logaritmica in esame.

Perché abbiamo bisogno dell'ODZ? Questa è un’opportunità per eliminare le risposte errate e impossibili. Se la risposta non rientra nell'intervallo di valori accettabili, semplicemente non ha senso. Vale la pena ricordarlo a lungo, poiché nell'Esame di Stato Unificato è spesso necessario cercare ODZ, e riguarda non solo le disuguaglianze logaritmiche.

Algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche

La soluzione si compone di diverse fasi. Innanzitutto, è necessario trovare l'intervallo di valori accettabili. Ci saranno due significati nell'ODZ, ne abbiamo discusso sopra. Successivamente, è necessario risolvere la disuguaglianza stessa. I metodi risolutivi sono i seguenti:

• metodo di sostituzione del moltiplicatore;
• decomposizione;
• metodo di razionalizzazione.

A seconda della situazione, vale la pena utilizzare uno dei metodi sopra indicati. Passiamo direttamente alla soluzione. Riveliamo il metodo più popolare, adatto a risolvere i compiti dell'esame di stato unificato in quasi tutti i casi. Successivamente esamineremo il metodo di scomposizione. Può essere d’aiuto se ti imbatti in una disuguaglianza particolarmente complessa. Quindi, un algoritmo per risolvere la disuguaglianza logaritmica.

Esempi di soluzioni :

Non per niente abbiamo preso proprio questa disuguaglianza! Presta attenzione alla base. Ricorda: se è maggiore di uno, il segno rimane lo stesso quando si trova l'intervallo di valori accettabili; altrimenti è necessario cambiare il segno di disuguaglianza.

Di conseguenza, otteniamo la disuguaglianza:

Ora riduciamo il lato sinistro alla forma dell'equazione uguale a zero. Al posto del segno “minore” mettiamo “uguale” e risolviamo l’equazione. Quindi troveremo l'ODZ. Ci auguriamo che non avrai problemi a risolvere un'equazione così semplice. Le risposte sono -4 e -2. Ma non è tutto. È necessario visualizzare questi punti sul grafico, posizionando “+” e “-”. Cosa è necessario fare per questo? Sostituisci i numeri degli intervalli nell'espressione. Dove i valori sono positivi, inseriamo "+" lì.

Risposta: x non può essere maggiore di -4 e minore di -2.

Abbiamo trovato l'intervallo di valori accettabili solo per il lato sinistro, ora dobbiamo trovare l'intervallo di valori accettabili per il lato destro. Questo è molto più semplice. Risposta: -2. Intersechiamo entrambe le aree risultanti.

E solo ora stiamo iniziando ad affrontare la disuguaglianza stessa.

Semplifichiamolo il più possibile per renderlo più semplice da risolvere.

Utilizziamo nuovamente il metodo dell'intervallo nella soluzione. Tralasciamo i calcoli, è già tutto chiaro dall'esempio precedente. Risposta.

Ma questo metodo è adatto se la disuguaglianza logaritmica ha le stesse basi.

La risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche con basi diverse richiede una riduzione iniziale alla stessa base. Successivamente, utilizzare il metodo descritto sopra. Ma c’è un caso più complicato. Consideriamo uno dei tipi più complessi di disuguaglianze logaritmiche.

Disuguaglianze logaritmiche a base variabile

Come risolvere disuguaglianze con tali caratteristiche? Sì, e queste persone possono essere trovate nell'Esame di Stato Unificato. Risolvere le disuguaglianze nel modo seguente avrà anche un effetto benefico sul tuo processo educativo. Esaminiamo la questione in dettaglio. Scartiamo la teoria e passiamo direttamente alla pratica. Per risolvere le disuguaglianze logaritmiche, è sufficiente familiarizzare con l'esempio una volta.

Per risolvere una disuguaglianza logaritmica della forma presentata, è necessario ridurre il membro di destra ad un logaritmo con la stessa base. Il principio ricorda le transizioni equivalenti. Di conseguenza, la disuguaglianza sarà simile a questa.

In realtà, non resta che creare un sistema di disuguaglianze senza logaritmi. Utilizzando il metodo della razionalizzazione, passiamo a un sistema equivalente di disuguaglianze. Capirai la regola stessa quando sostituirai i valori appropriati e monitorerai le loro modifiche. Il sistema avrà le seguenti disuguaglianze.

Quando si utilizza il metodo di razionalizzazione per risolvere le disuguaglianze, è necessario ricordare quanto segue: uno deve essere sottratto dalla base, x, per definizione del logaritmo, viene sottratto da entrambi i lati della disuguaglianza (destra da sinistra), due espressioni vengono moltiplicate e posto sotto il segno originario rispetto allo zero.

L'ulteriore soluzione viene eseguita utilizzando il metodo dell'intervallo, qui tutto è semplice. È importante che tu comprenda le differenze nei metodi di soluzione, quindi tutto inizierà a funzionare facilmente.

Ci sono molte sfumature nelle disuguaglianze logaritmiche. I più semplici sono abbastanza facili da risolvere. Come puoi risolverli ciascuno senza problemi? Hai già ricevuto tutte le risposte in questo articolo. Ora hai una lunga pratica davanti a te. Esercitati costantemente a risolvere una serie di problemi durante l'esame e sarai in grado di ottenere il punteggio più alto. Buona fortuna a te per il tuo difficile compito!

DISUGUAGLIANZE LOGARITMICHE NELL'USO

Sechin Michail Aleksandrovich

Piccola Accademia delle Scienze per Studenti della Repubblica del Kazakistan “Iskatel”

MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11a elementare, città. Distretto Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, insegnante dell'istituto scolastico comunale di bilancio “Scuola secondaria Sovetskaya n. 1”

Distretto sovietico

Scopo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere le disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.

Oggetto della ricerca:

3) Imparare a risolvere specifiche disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard.

Risultati:

Contenuto

Introduzione……………………………….4

Capitolo 1. Storia del problema……………………………...5

Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche …………… 7

2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli…………… 7

2.2. Metodo di razionalizzazione................................................................ 15

2.3. Sostituzione non standard………………................................. ..... .....22

2.4. Compiti con trappole…………………27

Conclusione…………………..……………..………….. 30

Letteratura……………………………………………………………………. 31

Introduzione

Frequento la terza media e ho intenzione di entrare in un'università dove la materia principale è la matematica. Ecco perché lavoro molto con i problemi della parte C. Nel compito C3, devo risolvere una disuguaglianza o un sistema di diseguaglianze non standard, solitamente correlato ai logaritmi. Durante la preparazione per l'esame, mi sono trovato di fronte al problema della carenza di metodi e tecniche per risolvere le disuguaglianze logaritmiche dell'esame offerti in C3. I metodi studiati nel curriculum scolastico su questo argomento non forniscono una base per risolvere i compiti C3. L'insegnante di matematica mi ha suggerito di lavorare sui compiti C3 in modo indipendente sotto la sua guida. Inoltre, mi interessava la domanda: incontriamo i logaritmi nelle nostre vite?

In quest’ottica è stato scelto l’argomento:

“Le disuguaglianze logaritmiche nell’Esame di Stato Unificato”

Scopo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere i problemi C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.

Oggetto della ricerca:

1) Trovare le informazioni necessarie sui metodi non standard per risolvere le disuguaglianze logaritmiche.

2) Trova ulteriori informazioni sui logaritmi.

3) Impara a risolvere problemi C3 specifici utilizzando metodi non standard.

Risultati:

Il significato pratico risiede nell'espansione dell'apparato per risolvere i problemi C3. Questo materiale può essere utilizzato in alcune lezioni, per i club e per le lezioni facoltative di matematica.

Il prodotto del progetto sarà la raccolta “C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.

Capitolo 1. Contesto

Nel corso del XVI secolo il numero dei calcoli approssimativi aumentò rapidamente, soprattutto in astronomia. Il miglioramento degli strumenti, lo studio dei movimenti planetari e altri lavori hanno richiesto calcoli colossali, a volte pluriennali. L'astronomia correva il rischio reale di annegare in calcoli inadempiuti. In altri settori sono sorte difficoltà, ad esempio nel settore assicurativo erano necessarie tabelle di interessi composti per diversi tassi di interesse. La difficoltà principale era la moltiplicazione e la divisione di numeri a più cifre, in particolare di quantità trigonometriche.

La scoperta dei logaritmi si basò sulle proprietà delle progressioni ben note alla fine del XVI secolo. Archimede ha parlato della connessione tra i termini della progressione geometrica q, q2, q3,... e la progressione aritmetica dei loro esponenti 1, 2, 3,... nel Salmo. Un altro prerequisito era l'estensione del concetto di grado agli esponenti negativi e frazionari. Molti autori hanno sottolineato che moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice in progressione geometrica corrispondono in aritmetica - nello stesso ordine - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Ecco l'idea del logaritmo come esponente.

Nella storia dello sviluppo della dottrina dei logaritmi sono passate diverse fasi.

Fase 1

I logaritmi furono inventati non più tardi del 1594 indipendentemente dal barone scozzese Napier (1550-1617) e dieci anni dopo dal meccanico svizzero Bürgi (1552-1632). Entrambi volevano fornire un nuovo e conveniente mezzo per i calcoli aritmetici, sebbene affrontassero questo problema in modi diversi. Napier espresse cinematicamente la funzione logaritmica ed entrò così in un nuovo campo della teoria delle funzioni. Bürgi si è mantenuto sulla base della considerazione delle progressioni discrete. Tuttavia, la definizione del logaritmo per entrambi non è simile a quella moderna. Il termine "logaritmo" (logarithmus) appartiene a Napier. Nasce da una combinazione di parole greche: logos - "relazione" e ariqmo - "numero", che significava "numero di relazioni". Inizialmente, Napier usò un termine diverso: numeri artificiales - "numeri artificiali", in contrapposizione a numeri naturalts - "numeri naturali".

Nel 1615, in una conversazione con Henry Briggs (1561-1631), professore di matematica al Gresh College di Londra, Napier suggerì di prendere zero come logaritmo di uno e 100 come logaritmo di dieci, o, il che equivale allo stesso cosa, solo 1. Ecco come furono stampati i logaritmi decimali e le prime tavole logaritmiche. Successivamente, le tavole di Briggs furono integrate dal libraio olandese e appassionato di matematica Adrian Flaccus (1600-1667). Napier e Briggs, sebbene arrivassero ai logaritmi prima di tutti gli altri, pubblicarono le loro tavole più tardi degli altri, nel 1620. I segni log e Log furono introdotti nel 1624 da I. Keplero. Il termine “logaritmo naturale” fu introdotto da Mengoli nel 1659 e seguito da N. Mercator nel 1668, e l'insegnante londinese John Speidel pubblicò tavole di logaritmi naturali dei numeri da 1 a 1000 sotto il nome di “Nuovi Logaritmi”.

Le prime tavole logaritmiche furono pubblicate in russo nel 1703. Ma in tutte le tavole logaritmiche c'erano errori di calcolo. Le prime tabelle prive di errori furono pubblicate nel 1857 a Berlino, elaborate dal matematico tedesco K. Bremiker (1804-1877).

Fase 2

L'ulteriore sviluppo della teoria dei logaritmi è associato ad una più ampia applicazione della geometria analitica e del calcolo infinitesimale. A quel punto era stata stabilita la connessione tra la quadratura di un'iperbole equilatera e il logaritmo naturale. La teoria dei logaritmi di questo periodo è associata ai nomi di numerosi matematici.

Il matematico, astronomo e ingegnere tedesco Nikolaus Mercator in un saggio

"Logarithmotechnics" (1668) fornisce una serie che fornisce lo sviluppo di ln(x+1) in

potenze di x:

Questa espressione corrisponde esattamente al corso del suo pensiero, anche se, ovviamente, non ha usato i segni d, ..., ma un simbolismo più ingombrante. Con la scoperta delle serie logaritmiche cambiò la tecnica per calcolare i logaritmi: si cominciò a determinarli utilizzando serie infinite. Nelle sue lezioni "Matematica elementare da un punto di vista più elevato", tenute nel 1907-1908, F. Klein propose di utilizzare la formula come punto di partenza per costruire la teoria dei logaritmi.

Fase 3

Definizione di una funzione logaritmica come funzione inversa

esponenziale, logaritmo come esponente di una data base

non è stato formulato immediatamente. Saggio di Leonhard Eulero (1707-1783)

"Introduzione all'analisi degli infinitesimi" (1748) servì ulteriormente

sviluppo della teoria delle funzioni logaritmiche. Così,

Sono passati 134 anni da quando furono introdotti per la prima volta i logaritmi

(contando dal 1614), prima che i matematici arrivassero alla definizione

il concetto di logaritmo, che oggi è alla base del percorso scolastico.

Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche

2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli.

Transizioni equivalenti

, se a > 1

, se 0 < а < 1

Metodo degli intervalli generalizzati

Questo metodo è il più universale per risolvere disuguaglianze di quasi ogni tipo. Il diagramma della soluzione è simile al seguente:

1. Porta la disuguaglianza nella forma in cui si trova la funzione sul lato sinistro
e a destra 0.

2. Trova il dominio della funzione
.

3. Trova gli zeri della funzione
, cioè risolvere l'equazione
(e risolvere un'equazione è solitamente più facile che risolvere una disuguaglianza).

4. Disegna il dominio della definizione e gli zeri della funzione sulla linea numerica.

5. Determinare i segni della funzione
sugli intervalli ottenuti.

6. Seleziona gli intervalli in cui la funzione assume i valori richiesti e annota la risposta.

Esempio 1.

Soluzione:

Applichiamo il metodo dell'intervallo

Dove

Per questi valori tutte le espressioni sotto i segni logaritmici sono positive.

Risposta:

Esempio 2.

Soluzione:

1° modo . L’ADL è determinata dalla disuguaglianza X> 3. Prendendo i logaritmi per tali X in base 10, otteniamo

L’ultima disuguaglianza potrebbe essere risolta applicando regole di espansione, cioè confrontando i fattori con lo zero. Tuttavia in questo caso è facile determinare gli intervalli di segno costante della funzione

pertanto è possibile applicare il metodo dell'intervallo.

Funzione F(X) = 2X(X- 3.5)lgĀ X- 3ǀ è continuo a X> 3 e svanisce nei punti X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Pertanto, determiniamo gli intervalli di segno costante della funzione F(X):

Risposta:

2° metodo . Applichiamo direttamente le idee del metodo degli intervalli alla disuguaglianza originale.

Per fare ciò, ricorda che le espressioni UN B- UN c e ( UN - 1)(B- 1) avere un segno. Allora la nostra disuguaglianza è pari a X> 3 equivale a disuguaglianza

O

L'ultima disuguaglianza viene risolta utilizzando il metodo dell'intervallo

Risposta:

Esempio 3.

Soluzione:

Applichiamo il metodo dell'intervallo

Risposta:

Esempio 4.

Soluzione:

Dal 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 per tutto reale X, Quello

Per risolvere la seconda disuguaglianza utilizziamo il metodo degli intervalli

Nella prima disuguaglianza effettuiamo la sostituzione

poi arriviamo alla disuguaglianza 2y 2 - sì - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sì, che soddisfano la disuguaglianza -0,5< sì < 1.

Da dove, perché

otteniamo la disuguaglianza

che viene eseguito quando X, per cui 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ora, tenendo conto della soluzione della seconda disuguaglianza del sistema, otteniamo finalmente

Risposta:

Esempio 5.

Soluzione:

La disuguaglianza equivale a un insieme di sistemi

O

Usiamo il metodo dell'intervallo o

Risposta:

Esempio 6.

Soluzione:

La disuguaglianza è uguale al sistema

Permettere

Poi sì > 0,

e la prima disuguaglianza

il sistema prende forma

o, svolgersi

trinomio quadratico scomposto,

Applicando il metodo dell'intervallo all'ultima disuguaglianza,

vediamo che le sue soluzioni soddisfano la condizione sì> 0 sarà tutto sì > 4.

Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente al sistema:

Quindi, le soluzioni alla disuguaglianza ci sono tutte

2.2. Metodo di razionalizzazione.

In precedenza, la disuguaglianza non veniva risolta utilizzando il metodo della razionalizzazione; Questo è "un nuovo metodo moderno ed efficace per risolvere disuguaglianze esponenziali e logaritmiche" (citazione dal libro di S.I. Kolesnikova)
E anche se l'insegnante lo conosceva, c'era il timore: l'esperto dell'Esame di Stato Unificato lo conosce e perché non lo danno a scuola? Ci sono state situazioni in cui l'insegnante ha detto allo studente: "Dove l'hai preso - 2."
Ora il metodo viene promosso ovunque. E per gli esperti ci sono linee guida associate a questo metodo e nelle "Edizioni più complete di opzioni standard..." nella Soluzione C3 viene utilizzato questo metodo.
METODO MERAVIGLIOSO!

"Tavolo Magico"

In altre fonti

Se a >1 e b >1, quindi log a b >0 e (a -1)(b -1)>0;

Se a >1 e 0

se 0<UN<1 и b >1, quindi registrare un b<0 и (a -1)(b -1)<0;

se 0<UN<1 и 00 e (a -1)(b -1)>0.

Il ragionamento svolto è semplice, ma semplifica notevolmente la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche.

Esempio 4.

ceppo x (x 2 -3)<0

Soluzione:

Esempio 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Soluzione:

Risposta. (0; 0,5)U.

Esempio 6.

Per risolvere questa disuguaglianza, al posto del denominatore scriviamo (x-1-1)(x-1) e al posto del numeratore scriviamo il prodotto (x-1)(x-3-9 + x).

Risposta : (3;6)

Esempio 7.

Esempio 8.

2.3. Sostituzione non standard.

Esempio 1.

Esempio 2.

Esempio 3.

Esempio 4.

Esempio 5.

Esempio 6.

Esempio 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Facciamo la sostituzione y=3 x -1; allora questa disuguaglianza assumerà la forma

Ceppo 4 ceppo 0,25
.

Perché logaritmo 0,25 = -log4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , quindi riscriviamo l'ultima disuguaglianza come 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Facciamo la sostituzione t =log 4 y e otteniamo la disuguaglianza t 2 -2t +≥0, la cui soluzione sono gli intervalli - .

Pertanto, per trovare i valori di y abbiamo un insieme di due semplici disuguaglianze
La soluzione di questo insieme sono gli intervalli 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente all'insieme di due disuguaglianze esponenziali,
cioè aggregati

La soluzione alla prima disuguaglianza di questo insieme è l'intervallo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Pertanto, la disuguaglianza originale è soddisfatta per tutti i valori di x dagli intervalli 0<х≤1 и 2≤х<+.

Esempio 8.

Soluzione:

La disuguaglianza è uguale al sistema

La soluzione alla seconda disuguaglianza che definisce l'ODZ sarà l'insieme di quelle X,

per cui X > 0.

Per risolvere la prima disuguaglianza facciamo la sostituzione

Quindi otteniamo la disuguaglianza

O

L'insieme delle soluzioni dell'ultima disuguaglianza si trova con il metodo

intervalli: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otteniamo

O

Molti di quelli X, che soddisfano l'ultima disuguaglianza

appartiene all'ODZ ( X> 0), quindi, è una soluzione del sistema,

e quindi la disuguaglianza originaria.

Risposta:

2.4. Compiti con trappole.

Esempio 1.

.

Soluzione. L'ODZ della disuguaglianza è tutto x che soddisfa la condizione 0 . Pertanto tutti gli x appartengono all'intervallo 0

Esempio 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Il punto è che il secondo numero è ovviamente maggiore di

Conclusione

Non è stato facile trovare metodi specifici per risolvere i problemi C3 da una grande abbondanza di diverse fonti educative. Nel corso del lavoro svolto, ho potuto studiare metodi non standard per risolvere disuguaglianze logaritmiche complesse. Questi sono: transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli, metodo di razionalizzazione , sostituzione non standard , compiti con trappole su ODZ. Questi metodi non sono inclusi nel curriculum scolastico.

Utilizzando diversi metodi, ho risolto 27 disuguaglianze proposte all'Esame di Stato Unificato nella parte C, ovvero C3. Queste disuguaglianze con soluzioni metodiche hanno costituito la base della raccolta “Disuguaglianze logaritmiche C3 con soluzioni”, che è diventata il prodotto progettuale della mia attività. L'ipotesi che avevo proposto all'inizio del progetto è stata confermata: i problemi C3 possono essere risolti efficacemente se si conoscono questi metodi.

Inoltre, ho scoperto fatti interessanti sui logaritmi. È stato interessante per me farlo. I prodotti del mio progetto saranno utili sia per gli studenti che per gli insegnanti.

Conclusioni:

Pertanto, l’obiettivo del progetto è stato raggiunto e il problema è stato risolto. E ho ricevuto l'esperienza più completa e diversificata delle attività progettuali in tutte le fasi del lavoro. Mentre lavoravo al progetto, il mio principale impatto sullo sviluppo è stato sulla competenza mentale, sulle attività legate alle operazioni mentali logiche, sullo sviluppo della competenza creativa, sull'iniziativa personale, sulla responsabilità, sulla perseveranza e sull'attività.

Una garanzia di successo nella creazione di un progetto di ricerca per Ho acquisito: esperienza scolastica significativa, capacità di ottenere informazioni da varie fonti, verificarne l'affidabilità e classificarle in base all'importanza.

Oltre alla conoscenza diretta della materia in matematica, ho ampliato le mie capacità pratiche nel campo dell'informatica, ho acquisito nuove conoscenze ed esperienze nel campo della psicologia, ho stabilito contatti con i compagni di classe e ho imparato a collaborare con gli adulti. Durante le attività del progetto sono state sviluppate competenze formative generali organizzative, intellettuali e comunicative.

Letteratura

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemi di disuguaglianze con una variabile (compiti standard C3).

2. Malkova A. G. Preparazione per l'esame di stato unificato in matematica.

3. Samarova S. S. Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche.

4. Matematica. Raccolta di opere di formazione a cura di A.L. Semenov e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Disuguaglianze logaritmiche

Nelle lezioni precedenti abbiamo conosciuto le equazioni logaritmiche e ora sappiamo cosa sono e come risolverle. La lezione di oggi sarà dedicata allo studio delle disuguaglianze logaritmiche. Quali sono queste disuguaglianze e qual è la differenza tra risolvere un'equazione logaritmica e una disuguaglianza?

Le disuguaglianze logaritmiche sono disuguaglianze che hanno una variabile che appare sotto il segno del logaritmo o alla sua base.

Oppure possiamo anche dire che una disuguaglianza logaritmica è una disuguaglianza in cui il suo valore incognito, come in un'equazione logaritmica, apparirà sotto il segno del logaritmo.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici hanno la seguente forma:

dove f(x) e g(x) sono alcune espressioni che dipendono da x.

Consideriamolo utilizzando questo esempio: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche

Prima di risolvere le disuguaglianze logaritmiche, vale la pena notare che una volta risolte sono simili alle disuguaglianze esponenziali, vale a dire:

Innanzitutto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, bisogna confrontare anche la base del logaritmo con uno;

In secondo luogo, quando risolviamo una disuguaglianza logaritmica utilizzando un cambiamento di variabili, dobbiamo risolvere le disuguaglianze rispetto alla variazione finché non otteniamo la disuguaglianza più semplice.

Ma tu ed io abbiamo considerato aspetti simili nella risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Ora prestiamo attenzione ad una differenza piuttosto significativa. Tu ed io sappiamo che la funzione logaritmica ha un dominio di definizione limitato, pertanto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno logaritmico, dobbiamo tenere conto dell'intervallo di valori consentiti (ADV).

Cioè, si dovrebbe tenere conto del fatto che quando si risolve un'equazione logaritmica, tu ed io possiamo prima trovare le radici dell'equazione e quindi verificare questa soluzione. Ma risolvere una disuguaglianza logaritmica non funzionerà in questo modo, poiché quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo sarà necessario annotare l'ODZ della disuguaglianza.

Inoltre, vale la pena ricordare che la teoria delle disuguaglianze è composta da numeri reali, che sono numeri positivi e negativi, oltre al numero 0.

Ad esempio, quando il numero “a” è positivo, è necessario utilizzare la seguente notazione: a >0. In questo caso anche la somma e il prodotto di questi numeri saranno positivi.

Il principio principale per risolvere una disuguaglianza è sostituirla con una disuguaglianza più semplice, ma la cosa principale è che sia equivalente a quella data. Inoltre, abbiamo ottenuto anche una disuguaglianza e l'abbiamo nuovamente sostituita con una di forma più semplice, ecc.

Quando risolvi le disuguaglianze con una variabile, devi trovare tutte le sue soluzioni. Se due disuguaglianze hanno la stessa variabile x, allora tali disuguaglianze sono equivalenti, purché le loro soluzioni coincidano.

Quando si eseguono compiti sulla risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche, è necessario ricordare che quando a > 1, la funzione logaritmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche

Ora diamo un'occhiata ad alcuni dei metodi utilizzati per risolvere le disuguaglianze logaritmiche. Per una migliore comprensione e assimilazione, cercheremo di capirli utilizzando esempi specifici.

Sappiamo tutti che la disuguaglianza logaritmica più semplice ha la seguente forma:

In questa disuguaglianza, V – è uno dei seguenti segni di disuguaglianza:<,>, ≤ o ≥.

Quando la base di un dato logaritmo è maggiore di uno (a>1), effettuando la transizione dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, in questa versione il segno di disuguaglianza viene preservato e la disuguaglianza avrà la seguente forma:

che è equivalente a questo sistema:

Nel caso in cui la base del logaritmo sia maggiore di zero e minore di uno (0

Questo è equivalente a questo sistema:

Diamo un'occhiata ad altri esempi di risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici mostrate nell'immagine qui sotto:

Risoluzione di esempi

Esercizio. Proviamo a risolvere questa disuguaglianza:

Risolvere l'intervallo di valori accettabili.

Ora proviamo a moltiplicare il suo lato destro per:

Vediamo cosa possiamo inventare:

Passiamo ora alla conversione delle espressioni sublogaritmiche. Poiché la base del logaritmo è 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

E da ciò ne consegue che l'intervallo da noi ottenuto appartiene interamente all'ODZ ed è una soluzione a tale disuguaglianza.

Ecco la risposta che abbiamo ottenuto:

Cosa è necessario per risolvere le disuguaglianze logaritmiche?

Ora proviamo ad analizzare di cosa abbiamo bisogno per risolvere con successo le disuguaglianze logaritmiche?

Per prima cosa, concentra tutta la tua attenzione e cerca di non commettere errori quando esegui le trasformazioni che si verificano in questa disuguaglianza. Inoltre, va ricordato che quando si risolvono tali disuguaglianze, è necessario evitare espansioni e contrazioni delle disuguaglianze, che possono portare alla perdita o all'acquisizione di soluzioni estranee.

In secondo luogo, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, è necessario imparare a pensare in modo logico e comprendere la differenza tra concetti come un sistema di disuguaglianze e un insieme di disuguaglianze, in modo da poter selezionare facilmente soluzioni alla disuguaglianza, essendo guidati dal suo DL.

In terzo luogo, per risolvere con successo tali disuguaglianze, ognuno di voi deve conoscere perfettamente tutte le proprietà delle funzioni elementari e comprenderne chiaramente il significato. Tali funzioni includono non solo logaritmica, ma anche razionale, potenza, trigonometrica, ecc., In una parola, tutte quelle che hai studiato durante l'algebra scolastica.

Come puoi vedere, dopo aver studiato il tema delle disuguaglianze logaritmiche, non c'è nulla di difficile nel risolvere queste disuguaglianze, a condizione che tu sia attento e persistente nel raggiungere i tuoi obiettivi. Per evitare qualsiasi problema nella risoluzione delle disuguaglianze, è necessario esercitarsi il più possibile risolvendo vari compiti e allo stesso tempo ricordare i metodi di base per risolvere tali disuguaglianze e i loro sistemi. Se non riesci a risolvere le disuguaglianze logaritmiche, dovresti analizzare attentamente i tuoi errori per non ripeterli in futuro.

Compiti a casa

Per comprendere meglio l'argomento e consolidare il materiale trattato, risolvi le seguenti disuguaglianze:

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