Quando si sommano e sottraggono frazioni algebriche con denominatori diversi, le frazioni portano prima a denominatore comune. Ciò significa che trovano un denominatore diviso per il denominatore originale di ciascuna frazione algebrica inclusa nell'espressione data.
Come sai, se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati (o divisi) per lo stesso numero diverso da zero, il valore della frazione non cambierà. Questa è la proprietà principale di una frazione. Pertanto, quando le frazioni vengono ridotte a un denominatore comune, essenzialmente moltiplicano il denominatore originale di ciascuna frazione per il fattore mancante per ottenere un denominatore comune. In questo caso, devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo fattore (è diverso per ogni frazione).
Ad esempio, data la seguente somma di frazioni algebriche:
È necessario semplificare l'espressione, ovvero aggiungere due frazioni algebriche. Per fare questo, prima di tutto, devi portare i termini della frazione a un denominatore comune. Il primo passo è trovare un monomio divisibile sia per 3x che per 2y. In questo caso, è auspicabile che sia il più piccolo, ovvero trovare il minimo comune multiplo (LCM) per 3x e 2y.
Per i coefficienti numerici e le variabili, l'LCM viene cercato separatamente. MCM(3, 2) = 6 e MCM(x, y) = xy. Successivamente, i valori trovati vengono moltiplicati: 6xy.
Ora dobbiamo determinare per quale fattore dobbiamo moltiplicare 3x per ottenere 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Ciò significa che quando si riduce la prima frazione algebrica a un denominatore comune, il suo numeratore deve essere moltiplicato per 2y (il denominatore è già stato moltiplicato durante la riduzione a un denominatore comune). Allo stesso modo si cerca il moltiplicatore del numeratore della seconda frazione. Sarà uguale a 3x.
Otteniamo così: 
Quindi puoi agire come con le frazioni con denominatori identici: somma i numeratori e scrivi un denominatore comune: 
Dopo le trasformazioni si ottiene un'espressione semplificata, ovvero una frazione algebrica, che è la somma delle due originali: 
Le frazioni algebriche nell'espressione originale possono contenere denominatori che sono polinomi anziché monomi (come nell'esempio sopra). In questo caso, prima di cercare un denominatore comune, dovresti fattorizzare i denominatori (se possibile). Successivamente, il denominatore comune viene raccolto da diversi fattori. Se il moltiplicatore è in più denominatori originali, viene preso una volta. Se il moltiplicatore ha potenze diverse nei denominatori originali, viene preso con quello più grande. Per esempio: 
Qui il polinomio a 2 – b 2 può essere rappresentato come il prodotto (a – b)(a + b). Il fattore 2a – 2b viene espanso come 2(a – b). Pertanto, il denominatore comune sarà 2(a – b)(a + b).
Inizialmente volevo includere le tecniche del denominatore comune nella sezione Addizione e sottrazione di frazioni. Ma si è scoperto che ci sono così tante informazioni e la loro importanza è così grande (dopotutto, non solo le frazioni numeriche hanno denominatori comuni), che è meglio studiare questo problema separatamente.
Quindi, diciamo che abbiamo due frazioni con denominatori diversi. E vogliamo assicurarci che i denominatori diventino gli stessi. Viene in soccorso la proprietà fondamentale della frazione che, lasciatemelo ricordare, suona così:
Una frazione non cambierà se il suo numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero.
Pertanto, se scegli correttamente i fattori, i denominatori delle frazioni diventeranno uguali: questo processo è chiamato riduzione a un denominatore comune. E i numeri richiesti, che “uniformano” i denominatori, sono chiamati fattori aggiuntivi.
Perché dobbiamo ridurre le frazioni a un denominatore comune? Ecco solo alcuni motivi:
- Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi. Non esiste altro modo per eseguire questa operazione;
- Confronto tra frazioni. A volte la riduzione a un denominatore comune semplifica notevolmente questo compito;
- Risoluzione di problemi con frazioni e percentuali. Le percentuali sono essenzialmente espressioni ordinarie che contengono frazioni.
Esistono molti modi per trovare numeri che, moltiplicati per loro, renderanno uguali i denominatori delle frazioni. Ne considereremo solo tre, in ordine crescente di complessità e, in un certo senso, di efficacia.
Moltiplicazione incrociata
Il metodo più semplice e affidabile, che garantisce l'equalizzazione dei denominatori. Agiremo “a capofitto”: moltiplichiamo la prima frazione per il denominatore della seconda frazione e la seconda per il denominatore della prima. Di conseguenza, i denominatori di entrambe le frazioni diventeranno uguali al prodotto dei denominatori originali. Dai un'occhiata:
Come fattori aggiuntivi, considera i denominatori delle frazioni vicine. Otteniamo:
Sì, è così semplice. Se stai appena iniziando a studiare le frazioni, è meglio lavorare utilizzando questo metodo: in questo modo ti assicurerai contro molti errori e avrai la garanzia di ottenere il risultato.
L'unico inconveniente di questo metodo è che devi contare molto, perché i denominatori vengono moltiplicati "fino in fondo" e il risultato può essere numeri molto grandi. Questo è il prezzo da pagare per l'affidabilità.
Metodo dei divisori comuni
Questa tecnica aiuta a ridurre significativamente i calcoli, ma sfortunatamente viene utilizzata abbastanza raramente. Il metodo è il seguente:
- Prima di procedere direttamente (ad esempio utilizzando il metodo incrociato), dai un'occhiata ai denominatori. Forse uno di essi (quello più grande) è diviso nell'altro.
- Il numero risultante da questa divisione sarà un fattore aggiuntivo per la frazione con denominatore più piccolo.
- In questo caso, una frazione con un grande denominatore non ha bisogno di essere moltiplicata per nulla: è qui che risiedono i risparmi. Allo stesso tempo, la probabilità di errore è drasticamente ridotta.
Compito. Trova il significato delle espressioni:
Si noti che 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Poiché in entrambi i casi un denominatore viene diviso senza resto dall'altro, utilizziamo il metodo dei fattori comuni. Abbiamo:
Si noti che la seconda frazione non è stata moltiplicata per nulla. In effetti, abbiamo ridotto della metà la quantità di calcoli!
A proposito, non ho preso le frazioni in questo esempio per caso. Se sei interessato, prova a contarli utilizzando il metodo incrociato. Dopo la riduzione, le risposte saranno le stesse, ma ci sarà molto più lavoro da fare.
Questo è il potere del metodo dei divisori comuni, ma, ancora una volta, può essere utilizzato solo quando uno dei denominatori viene diviso dall'altro senza resto. Cosa che accade abbastanza raramente.
Metodo del multiplo meno comune
Quando riduciamo le frazioni a un denominatore comune, stiamo essenzialmente cercando di trovare un numero che sia divisibile per ciascun denominatore. Quindi portiamo i denominatori di entrambe le frazioni a questo numero.
Esistono molti di questi numeri e il più piccolo di essi non sarà necessariamente uguale al prodotto diretto dei denominatori delle frazioni originali, come si presume nel metodo "incrociato".
Ad esempio, per i denominatori 8 e 12, il numero 24 è abbastanza adatto, poiché 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Questo numero è molto inferiore al prodotto 8 · 12 = 96.
Il numero più piccolo che è divisibile per ciascuno dei denominatori è chiamato minimo comune multiplo (LCM).
Notazione: il minimo comune multiplo di a e b è indicato con MCM(a ; b) . Ad esempio, LCM(16, 24) = 48 ; MMC(8; 12) = 24 .
Se riesci a trovare un numero del genere, la quantità totale di calcoli sarà minima. Guarda gli esempi:
Compito. Trova il significato delle espressioni:
Nota che 234 = 117 2; 351 = 1173. I fattori 2 e 3 sono coprimi (non hanno fattori comuni diversi da 1) e il fattore 117 è comune. Pertanto MCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Allo stesso modo, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. I fattori 3 e 4 sono coprimi e il fattore 5 è comune. Pertanto MCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Ora portiamo le frazioni ai denominatori comuni:
Nota quanto è stato utile fattorizzare i denominatori originali:
- Avendo scoperto fattori identici, siamo subito arrivati al minimo comune multiplo, che, in generale, è un problema non banale;
- Dall'espansione risultante puoi scoprire quali fattori “mancano” in ciascuna frazione. Ad esempio, 234 · 3 = 702, quindi per la prima frazione il fattore addizionale è 3.
Per apprezzare quanta differenza fa il metodo del minimo comune multiplo, prova a calcolare questi stessi esempi utilizzando il metodo incrociato. Ovviamente senza calcolatrice. Penso che dopo questo i commenti non saranno più necessari.
Non pensare che non ci siano frazioni così complesse negli esempi reali. Si incontrano continuamente e i compiti di cui sopra non sono il limite!
L'unico problema è come trovare proprio questo NOC. A volte tutto può essere trovato in pochi secondi, letteralmente “a occhio”, ma in generale si tratta di un compito computazionale complesso che richiede un esame separato. Non ne parleremo qui.
Il denominatore della frazione aritmetica a/b è il numero b, che mostra la dimensione delle frazioni di un'unità da cui è composta la frazione. Il denominatore di una frazione algebrica A/B è l'espressione algebrica B. Per eseguire operazioni aritmetiche con le frazioni, è necessario ridurle al minimo comune denominatore.
Ne avrai bisogno
- Per lavorare con le frazioni algebriche e trovare il minimo comune denominatore, devi sapere come fattorizzare i polinomi.
Istruzioni
Consideriamo la riduzione di due frazioni aritmetiche n/m e s/t al minimo comune denominatore, dove n, m, s, t sono numeri interi. È chiaro che queste due frazioni possono essere ridotte a qualsiasi denominatore divisibile per m e t. Ma cercano di arrivare al minimo comune denominatore. È uguale al minimo comune multiplo dei denominatori m e t delle frazioni indicate. Il minimo multiplo (LMK) di un numero è il più piccolo divisibile per tutti i numeri dati contemporaneamente. Quelli. nel nostro caso, dobbiamo trovare il minimo comune multiplo dei numeri m e t. Indicato come LCM (m, t). Successivamente, le frazioni vengono moltiplicate per quelle corrispondenti: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Troviamo il minimo comune denominatore di tre frazioni: 4/5, 7/8, 11/14. Innanzitutto, espandiamo i denominatori 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Successivamente, calcoliamo il MCM (5, 8, 14) moltiplicando tutti i numeri compresi in almeno una delle espansioni. MCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Si noti che se un fattore si verifica nell'espansione di più numeri (fattore 2 nell'espansione dei denominatori 8 e 14), allora prendiamo il fattore a in misura maggiore (2^3 nel nostro caso).
Quindi, quello generale è ricevuto. È uguale a 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Qui otteniamo i numeri per i quali dobbiamo moltiplicare le frazioni con i corrispondenti denominatori per portarle al minimo comune denominatore. Otteniamo 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
La riduzione delle frazioni algebriche al minimo comune denominatore viene effettuata per analogia con quelle aritmetiche. Per chiarezza, esaminiamo il problema utilizzando un esempio. Siano date due frazioni (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) e (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Fattorizziamo entrambi i denominatori. Nota che il denominatore della prima frazione è un quadrato perfetto: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Per
Per risolvere esempi con le frazioni, devi essere in grado di trovare il minimo comune denominatore. Di seguito sono riportate le istruzioni dettagliate.
Come trovare il minimo comune denominatore: concetto
Il minimo comune denominatore (LCD), in parole semplici, è il numero minimo divisibile per i denominatori di tutte le frazioni in un dato esempio. In altre parole, si chiama Minimo Comune Multiplo (LCM). NOS si usa solo se i denominatori delle frazioni sono diversi.
Come trovare il minimo comune denominatore - esempi
Diamo un'occhiata ad esempi di ricerca di NOC.
Calcola: 3/5 + 2/15.
Soluzione (sequenza di azioni):
- Osserviamo i denominatori delle frazioni, ci assicuriamo che siano diversi e che le espressioni siano il più abbreviate possibile.
- Troviamo il numero più piccolo che è divisibile sia per 5 che per 15. Questo numero sarà 15. Quindi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Abbiamo scoperto il denominatore. Cosa ci sarà nel numeratore? Un moltiplicatore aggiuntivo ci aiuterà a capirlo. Un ulteriore fattore è il numero ottenuto dividendo la Nuova Zelanda per il denominatore di una particolare frazione. Per 3/5 il fattore addizionale è 3, poiché 15/5 = 3. Per la seconda frazione, il fattore addizionale è 1, poiché 15/15 = 1.
- Dopo aver scoperto il fattore aggiuntivo, lo moltiplichiamo per i numeratori delle frazioni e aggiungiamo i valori risultanti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Risposta: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Se nell'esempio non vengono aggiunte o sottratte 2, ma 3 o più frazioni, è necessario cercare nel NCD tante frazioni quante sono indicate.
Calcola: 1/2 – 5/12 + 3/6
Soluzione (sequenza di azioni):
- Trovare il minimo comune denominatore. Il numero minimo divisibile per 2, 12 e 6 è 12.
- Otteniamo: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Stiamo cercando ulteriori moltiplicatori. Per 1/2 – 6; per 5/12 – 1; per 3/6 – 2.
- Moltiplichiamo per i numeratori e assegniamo i segni corrispondenti: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Risposta: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.