Applicazione pratica della dipendenza proporzionale diretta e inversa. Proporzionalità diretta e inversa

Oggi vedremo quali quantità sono chiamate inversamente proporzionali, come appare un grafico di proporzionalità inversa e come tutto ciò può esserti utile non solo nelle lezioni di matematica, ma anche al di fuori della scuola.

Proporzioni così diverse

Proporzionalità nominare due quantità che sono reciprocamente dipendenti.

La dipendenza può essere diretta e inversa. Di conseguenza, le relazioni tra le quantità sono descritte dalla proporzionalità diretta e inversa.

Proporzionalità diretta– si tratta di un rapporto tra due quantità in cui l'aumento o la diminuzione di una di esse porta ad un aumento o diminuzione dell'altra. Quelli. il loro atteggiamento non cambia.

Ad esempio, maggiore è lo sforzo che dedichi allo studio per gli esami, più alti saranno i tuoi voti. Oppure più cose porti con te durante un'escursione, più pesante sarà il tuo zaino da trasportare. Quelli. L'impegno profuso nella preparazione agli esami è direttamente proporzionale ai voti ottenuti. E il numero di cose messe in uno zaino è direttamente proporzionale al suo peso.

Proporzionalità inversa– si tratta di una dipendenza funzionale in cui una diminuzione o un aumento di più volte in un valore indipendente (si chiama argomento) provoca un aumento o una diminuzione proporzionale (cioè lo stesso numero di volte) in un valore dipendente (si chiama funzione).

Illustriamolo con un semplice esempio. Vuoi comprare delle mele al mercato. Le mele sul bancone e la quantità di denaro nel tuo portafoglio sono inversamente proporzionali. Quelli. Più mele compri, meno soldi ti rimarranno.

Funzione e suo grafico

La funzione di proporzionalità inversa può essere descritta come y = k/x. In cui X≠ 0 e k≠ 0.

Questa funzione ha le seguenti proprietà:

1. Il suo dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali tranne X = 0. D(sì): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. L'intervallo comprende tutti i numeri reali tranne sì= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Non ha valori massimi o minimi.
4. È strano e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
5. Non periodico.
6. Il suo grafico non interseca gli assi delle coordinate.
7. Non ha zeri.
8. Se k> 0 (cioè l'argomento aumenta), la funzione diminuisce proporzionalmente su ciascuno dei suoi intervalli. Se k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Man mano che l'argomento aumenta ( k> 0) i valori negativi della funzione sono nell'intervallo (-∞; 0) e i valori positivi sono nell'intervallo (0; +∞). Quando l'argomento diminuisce ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è chiamato iperbole. Mostrato come segue:

Problemi di proporzionalità inversa

Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a diverse attività. Non sono troppo complicati e risolverli ti aiuterà a visualizzare cos'è la proporzionalità inversa e come questa conoscenza può essere utile nella tua vita quotidiana.

Compito n. 1. Un'auto si muove alla velocità di 60 km/h. Gli ci sono volute 6 ore per arrivare a destinazione. Quanto tempo impiegherà a coprire la stessa distanza se si muove al doppio della velocità?

Possiamo iniziare scrivendo una formula che descrive la relazione tra tempo, distanza e velocità: t = S/V. D'accordo, ci ricorda molto la funzione di proporzionalità inversa. E indica che il tempo che un’auto trascorre sulla strada e la velocità con cui si muove sono inversamente proporzionali.

Per verificarlo troviamo V 2, che a seconda della condizione è 2 volte superiore: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Quindi calcoliamo la distanza utilizzando la formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ora non è difficile scoprire il tempo t 2 che ci viene richiesto in base alle condizioni del problema: t 2 = 360/120 = 3 ore.

Come puoi vedere, il tempo di viaggio e la velocità sono infatti inversamente proporzionali: a una velocità 2 volte superiore a quella originale, l'auto trascorrerà 2 volte meno tempo sulla strada.

La soluzione a questo problema può anche essere scritta come proporzione. Quindi creiamo prima questo diagramma:

↓ 60 km/ora – 6 ore

↓120 km/ora – x ​​h

Le frecce indicano una relazione inversamente proporzionale. Suggeriscono inoltre che quando si redige una proporzione si debba girare il lato destro del registro: 60/120 = x/6. Dove otteniamo x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Compito n. 2. L'officina impiega 6 lavoratori che possono completare una determinata quantità di lavoro in 4 ore. Se il numero dei lavoratori viene dimezzato, quanto tempo impiegheranno i restanti lavoratori a completare la stessa quantità di lavoro?

Scriviamo le condizioni del problema sotto forma di diagramma visivo:

↓ 6 lavoratori – 4 ore

↓ 3 operai – x h

Scriviamolo come una proporzione: 6/3 = x/4. E otteniamo x = 6 * 4/3 = 8 ore Se ci sono 2 volte meno lavoratori, quelli rimanenti impiegheranno 2 volte più tempo a svolgere tutto il lavoro.

Compito n. 3. Ci sono due tubi che conducono alla piscina. Attraverso un tubo l'acqua scorre ad una velocità di 2 l/s e riempie la piscina in 45 minuti. Attraverso un altro tubo la piscina si riempirà in 75 minuti. A quale velocità entra l'acqua nella piscina attraverso questo tubo?

Per cominciare, riduciamo alle stesse unità di misura tutte le quantità che ci vengono fornite in base alle condizioni del problema. Per fare ciò esprimiamo la velocità di riempimento della piscina in litri al minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Poiché dalla condizione consegue che la piscina si riempie più lentamente attraverso il secondo tubo, ciò significa che la portata dell'acqua è inferiore. La proporzionalità è inversa. Esprimiamo la velocità sconosciuta attraverso x e disegniamo il seguente diagramma:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

E poi compiliamo la proporzione: 120/x = 75/45, da dove x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Nel problema la velocità di riempimento della piscina è espressa in litri al secondo, riduciamo la risposta ricevuta alla stessa forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Compito n. 4. Una piccola tipografia privata stampa biglietti da visita. Un dipendente della tipografia lavora alla velocità di 42 biglietti da visita all'ora e lavora un'intera giornata - 8 ore. Se lavorasse più velocemente e stampasse 48 biglietti da visita in un’ora, quanto prima potrebbe tornare a casa?

Seguiamo il percorso provato e disegniamo un diagramma in base alle condizioni del problema, designando il valore desiderato come x:

↓ 42 biglietti da visita/ora – 8 ore

↓ 48 biglietti da visita/h – x h

Abbiamo un rapporto inversamente proporzionale: il numero di volte più biglietti da visita che un dipendente di una tipografia stampa all'ora, lo stesso numero di volte in meno tempo gli occorrerà per completare lo stesso lavoro. Sapendo questo, creiamo una proporzione:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Pertanto, avendo completato il lavoro in 7 ore, il dipendente della tipografia potrebbe tornare a casa un'ora prima.

Conclusione

Ci sembra che questi problemi di proporzionalità inversa siano davvero semplici. Ci auguriamo che ora anche voi li consideriate in questo modo. E la cosa principale è che la conoscenza della dipendenza inversamente proporzionale delle quantità può davvero esserti utile più di una volta.

Non solo nelle lezioni di matematica e negli esami. Ma anche allora, quando ti prepari per un viaggio, fai shopping, decidi di guadagnare qualche soldo extra durante le vacanze, ecc.

Raccontaci nei commenti quali esempi di rapporti proporzionali inversi e diretti noti intorno a te. Lascia che sia un gioco del genere. Vedrai quanto sarà emozionante. Non dimenticare di condividere questo articolo sui social network in modo che anche i tuoi amici e compagni di classe possano giocare.

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La proporzionalità è una relazione tra due quantità, in cui la variazione di una di esse comporta una variazione dell'altra della stessa entità.

La proporzionalità può essere diretta o inversa. In questa lezione esamineremo ciascuno di essi.

Contenuto della lezione

Proporzionalità diretta

Supponiamo che l'auto si muova ad una velocità di 50 km/h. Ricordiamo che la velocità è la distanza percorsa per unità di tempo (1 ora, 1 minuto o 1 secondo). Nel nostro esempio l'auto si muove ad una velocità di 50 km/h, cioè in un'ora percorrerà una distanza di cinquanta chilometri.

Rappresentiamo nella figura la distanza percorsa dall'auto in 1 ora.

Lasciate che l'auto guidi per un'altra ora alla stessa velocità di cinquanta chilometri orari. Quindi si scopre che l'auto percorrerà 100 km

Come si può vedere dall'esempio, il raddoppio del tempo ha portato ad un aumento della distanza percorsa della stessa quantità, cioè del doppio.

Quantità come il tempo e la distanza sono chiamate direttamente proporzionali. E si chiama la relazione tra tali quantità proporzionalità diretta.

La proporzionalità diretta è il rapporto tra due quantità in cui l'aumento di una di esse comporta un aumento dell'altra della stessa quantità.

e viceversa, se una quantità diminuisce di un certo numero di volte, allora l'altra diminuisce dello stesso numero di volte.

Supponiamo che il piano originale fosse quello di guidare un'auto per 100 km in 2 ore, ma dopo aver percorso 50 km, l'autista ha deciso di riposarsi. Quindi si scopre che riducendo la distanza della metà, il tempo diminuirà della stessa quantità. In altre parole, ridurre la distanza percorsa comporterà una diminuzione del tempo della stessa quantità.

Una caratteristica interessante delle quantità direttamente proporzionali è che il loro rapporto è sempre costante. Cioè, quando cambiano i valori delle quantità direttamente proporzionali, il loro rapporto rimane invariato.

Nell'esempio considerato la distanza iniziale era di 50 km e il tempo impiegato era di un'ora. Il rapporto tra distanza e tempo è il numero 50.

Ma abbiamo raddoppiato il tempo di viaggio, arrivando a due ore. Di conseguenza, la distanza percorsa è aumentata della stessa quantità, ovvero è diventata pari a 100 km. Il rapporto tra cento chilometri e due ore è ancora il numero 50

Viene chiamato il numero 50 coefficiente di proporzionalità diretta. Mostra quanta distanza c'è per ogni ora di movimento. In questo caso, il coefficiente svolge il ruolo della velocità di movimento, poiché la velocità è il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo.

Le proporzioni possono essere ricavate da quantità direttamente proporzionali. Ad esempio, i rapporti costituiscono la proporzione:

Cinquanta chilometri stanno a un'ora come cento chilometri stanno a due ore.

Esempio 2. Il costo e la quantità dei beni acquistati sono direttamente proporzionali. Se 1 kg di dolci costa 30 rubli, 2 kg degli stessi dolci costeranno 60 rubli, 3 kg 90 rubli. All'aumentare del costo di un prodotto acquistato, la sua quantità aumenta dello stesso importo.

Poiché il costo di un prodotto e la sua quantità sono quantità direttamente proporzionali, il loro rapporto è sempre costante.

Scriviamo qual è il rapporto tra trenta rubli e un chilogrammo

Ora scriviamo qual è il rapporto tra sessanta rubli e due chilogrammi. Questo rapporto sarà nuovamente pari a trenta:

Qui il coefficiente di proporzionalità diretta è il numero 30. Questo coefficiente mostra quanti rubli ci sono per chilogrammo di dolci. In questo esempio, il coefficiente svolge il ruolo del prezzo di un chilogrammo di merce, poiché il prezzo è il rapporto tra il costo della merce e la sua quantità.

Proporzionalità inversa

Considera il seguente esempio. La distanza tra le due città è di 80 km. Il motociclista è partito dalla prima città e, ad una velocità di 20 km/h, ha raggiunto la seconda città in 4 ore.

Se la velocità di un motociclista era di 20 km/h, ciò significa che ogni ora ha percorso una distanza di venti chilometri. Rappresentiamo nella figura la distanza percorsa dal motociclista e il tempo del suo movimento:

Al ritorno la velocità del motociclista era di 40 km/he ha trascorso 2 ore sullo stesso tragitto.

È facile notare che quando cambia la velocità, il tempo di movimento cambia della stessa quantità. Inoltre, è cambiato nella direzione opposta, ovvero la velocità è aumentata, ma il tempo, al contrario, è diminuito.

Grandezze come la velocità e il tempo sono chiamate inversamente proporzionali. E si chiama la relazione tra tali quantità proporzionalità inversa.

La proporzionalità inversa è il rapporto tra due quantità in cui l'aumento di una di esse comporta una diminuzione dell'altra della stessa quantità.

e viceversa, se una quantità diminuisce di un certo numero di volte, l'altra aumenta dello stesso numero di volte.

Ad esempio, se al ritorno la velocità del motociclista fosse di 10 km/h, allora percorrerebbe gli stessi 80 km in 8 ore:

Come si può vedere dall'esempio, una diminuzione della velocità ha portato ad un aumento del tempo di movimento della stessa quantità.

La particolarità delle quantità inversamente proporzionali è che il loro prodotto è sempre costante. Cioè quando cambiano i valori delle quantità inversamente proporzionali, il loro prodotto rimane invariato.

Nell'esempio considerato, la distanza tra le città era di 80 km. Quando la velocità e il tempo di movimento del motociclista cambiavano, questa distanza rimaneva sempre invariata

Un motociclista potrebbe percorrere questa distanza a una velocità di 20 km/h in 4 ore, a una velocità di 40 km/h in 2 ore e a una velocità di 10 km/h in 8 ore. In tutti i casi, il prodotto tra velocità e tempo era pari a 80 km

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Completato da: Chepkasov Rodion

Studente di 6a elementare

MBOU "Scuola Secondaria N. 53"

Barnaul

Responsabile: Bulykina O.G.

insegnante di matematica

MBOU "Scuola Secondaria N. 53"

Barnaul

Introduzione. 1

Relazioni e proporzioni. 3

Relazioni proporzionali dirette e inverse. 4

Applicazione del proporzionale diretto e inverso 6

dipendenze nella risoluzione di vari problemi.

Conclusione. 11

Letteratura. 12

Introduzione.

La parola proporzione deriva dalla parola latina proporzione, che generalmente significa proporzionalità, allineamento delle parti (un certo rapporto tra le parti). Nell'antichità la dottrina delle proporzioni era tenuta in grande considerazione dai Pitagorici. Alle proporzioni associavano pensieri sull'ordine e la bellezza nella natura, sugli accordi consonanti nella musica e sull'armonia nell'universo. Chiamavano alcuni tipi di proporzioni musicali o armoniche.

Anche nei tempi antichi, l'uomo ha scoperto che tutti i fenomeni in natura sono collegati tra loro, che tutto è in continuo movimento, cambiamento e, quando espresso in numeri, rivela schemi sorprendenti.

I Pitagorici e i loro seguaci cercavano un'espressione numerica per ogni cosa nel mondo. Hanno scoperto; che le proporzioni matematiche sono alla base della musica (il rapporto tra la lunghezza della corda e l'altezza, il rapporto tra gli intervalli, il rapporto tra i suoni negli accordi che danno un suono armonico). I Pitagorici cercarono di dimostrare matematicamente l'idea dell'unità del mondo e sostenevano che la base dell'universo erano forme geometriche simmetriche. I Pitagorici cercavano una base matematica per la bellezza.

Seguendo i Pitagorici, lo scienziato medievale Agostino chiamò la bellezza “uguaglianza numerica”. Il filosofo scolastico Bonaventura scriveva: “Non c’è bellezza e piacere senza proporzionalità, e la proporzionalità esiste innanzitutto nei numeri. È necessario che tutto sia numerabile”. Leonardo da Vinci scrisse sull’uso delle proporzioni nell’arte nel suo trattato sulla pittura: “Il pittore incarna nella forma della proporzione gli stessi modelli nascosti nella natura che lo scienziato conosce sotto forma della legge numerica”.

Le proporzioni venivano utilizzate per risolvere vari problemi sia nell'antichità che nel Medioevo. Alcuni tipi di problemi ora possono essere risolti facilmente e rapidamente utilizzando le proporzioni. Proporzioni e proporzionalità erano e sono usate non solo in matematica, ma anche in architettura e nell'arte. Proporzione in architettura e arte significa mantenere determinate relazioni tra le dimensioni delle diverse parti di un edificio, figura, scultura o altra opera d'arte. La proporzionalità in questi casi è una condizione per una costruzione e una rappresentazione corretta e bella

Nel mio lavoro ho cercato di considerare l'uso di rapporti proporzionali diretti e inversi in vari ambiti della vita, per tracciare il collegamento con le materie accademiche attraverso i compiti.

Relazioni e proporzioni.

Si chiama il quoziente di due numeri atteggiamento questi numeri.

L'atteggiamento mostra, quante volte il primo numero è maggiore del secondo o quale parte è il primo numero del secondo.

Compito.

Al negozio sono state portate 2,4 tonnellate di pere e 3,6 tonnellate di mele. Quale proporzione dei frutti portati sono pere?

Soluzione . Troviamo quanta frutta hanno portato: 2,4+3,6=6(t). Per trovare quale parte dei frutti portati sono pere, facciamo il rapporto 2,4:6=. La risposta può anche essere scritta come frazione decimale o come percentuale: = 0,4 = 40%.

Reciprocamente inverso chiamato numeri, i cui prodotti sono pari a 1. Pertanto la relazione è chiamata l'inverso della relazione.

Considera due rapporti uguali: 4,5:3 e 6:4. Mettiamo tra loro un segno uguale e otteniamo la proporzione: 4,5:3=6:4.

Proporzioneè l'uguaglianza di due relazioni: a : b =c :d oppure = , dove a e d sono termini estremi di proporzione, c e b – membri medi(tutti i termini della proporzione sono diversi da zero).

Proprietà fondamentale della proporzione:

nella proporzione corretta, il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.

Applicando la proprietà commutativa della moltiplicazione, troviamo che nella proporzione corretta i termini estremi o i termini medi possono essere scambiati. Anche le proporzioni risultanti saranno corrette.

Usando la proprietà di base della proporzione, puoi trovare il suo termine sconosciuto se tutti gli altri termini sono noti.

Per trovare il termine estremo sconosciuto della proporzione, è necessario moltiplicare i termini medi e dividere per il termine estremo noto. x : b = c : d , x =

Per trovare il termine medio sconosciuto di una proporzione, devi moltiplicare i termini estremi e dividere per il termine medio noto. un: b =x: d, x = .

Relazioni proporzionali dirette e inverse.

I valori di due quantità diverse possono dipendere reciprocamente l'uno dall'altro. Quindi, l'area del quadrato dipende dalla lunghezza del suo lato e viceversa: la lunghezza del lato del quadrato dipende dalla sua area.

Due quantità si dicono proporzionali se, crescendo

(diminuire) uno più volte, l'altro aumenta (diminuisce) lo stesso numero di volte.

Se due quantità sono direttamente proporzionali, i rapporti dei valori corrispondenti di queste quantità sono uguali.

Esempio dipendenza proporzionale diretta .

Ad una stazione di servizio 2 litri di benzina pesano 1,6 kg. Quanto peseranno 5 litri di benzina?

Soluzione:

Il peso del cherosene è proporzionale al suo volume.

2 l - 1,6 kg

5 l - kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6x=4

Risposta: 4kg.

Qui il rapporto peso/volume rimane invariato.

Due quantità si dicono inversamente proporzionali se, quando una di esse aumenta (diminuisce) più volte, l'altra diminuisce (aumenta) della stessa quantità.

Se le quantità sono inversamente proporzionali, il rapporto tra i valori di una quantità è uguale al rapporto inverso tra i valori corrispondenti di un'altra quantità.

P esempiorapporto inversamente proporzionale.

Due rettangoli hanno la stessa area. La lunghezza del primo rettangolo è 3,6 m e la larghezza è 2,4 m. La lunghezza del secondo rettangolo è 4,8 m. Trova la larghezza del secondo rettangolo.

Soluzione:

1 rettangolo 3,6 m 2,4 m

2 rettangoli 4,8 mx m

3,6xm

4,8 metri 2,4 metri

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Risposta: 1,8 mt.

Come puoi vedere, i problemi che coinvolgono quantità proporzionali possono essere risolti utilizzando le proporzioni.

Non ogni due quantità sono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali. Ad esempio, l’altezza di un bambino aumenta all’aumentare della sua età, ma questi valori non sono proporzionali, poiché quando l’età raddoppia, l’altezza del bambino non raddoppia.

Applicazione pratica della dipendenza proporzionale diretta e inversa.

Compito n. 1

La biblioteca scolastica dispone di 210 libri di testo di matematica, ovvero il 15% dell'intera collezione della biblioteca. Quanti libri ci sono nella collezione della biblioteca?

Soluzione:

Totale libri di testo - ? - 100%

Matematici - 210 -15%

15% 210 accademico.

X = 100* 210 = 1400 libri di testo

100% x conto. 15

Risposta: 1400 libri di testo.

Problema n.2

Un ciclista percorre 75 km in 3 ore. Quanto tempo impiegherà un ciclista a percorrere 125 km alla stessa velocità?

Soluzione:

3 ore – 75 km

H – 125 km

Tempo e distanza sono quindi quantità direttamente proporzionali

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Risposta: tra 5 ore.

Problema n.3

8 tubi identici riempiono una piscina in 25 minuti. Quanti minuti ci vorranno per riempire una piscina con 10 tubi di questo tipo?

Soluzione:

8 pipe – 25 minuti

10 tubi - ? minuti

Il numero di tubi è inversamente proporzionale al tempo, quindi

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Risposta: tra 20 minuti.

Problema n.4

Una squadra di 8 lavoratori completa l'attività in 15 giorni. Quanti lavoratori possono completare l'attività in 10 giorni lavorando con la stessa produttività?

Soluzione:

8 giorni lavorativi – 15 giorni

Lavoratori - 10 giorni

Il numero dei lavoratori è inversamente proporzionale al numero dei giorni, quindi

x:8 = 15:10,

x=
,

x=12.

Risposta: 12 lavoratori.

Problema n.5

Da 5,6 kg di pomodori si ottengono 2 litri di salsa. Quanti litri di salsa si possono ottenere da 54 kg di pomodori?

Soluzione:

5,6 kg – 2 litri

54 chilogrammi - ? l

Il numero di chilogrammi di pomodori è quindi direttamente proporzionale alla quantità di sugo ottenuto

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Risposta: 19 litri.

Problema n.6

Per riscaldare l'edificio scolastico, il carbone è stato immagazzinato per 180 giorni al ritmo di consumo

0,6 tonnellate di carbone al giorno. Quanti giorni durerà questa fornitura se si spendono 0,5 tonnellate al giorno?

Soluzione:

Numero di giorni

Tasso di consumo

Il numero di giorni è quindi inversamente proporzionale al tasso di consumo di carbone

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Risposta: 216 giorni.

Problema n.7

Nel minerale di ferro, per ogni 7 parti di ferro ci sono 3 parti di impurità. Quante tonnellate di impurità ci sono nel minerale che contiene 73,5 tonnellate di ferro?

Soluzione:

Numero di parti

Peso

Ferro

73,5

Impurità

Il numero di parti è quindi direttamente proporzionale alla massa

7:73,5 = 3:x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Risposta: 31,5 t

Problema n.8

L'auto ha percorso 500 km, utilizzando 35 litri di benzina. Quanti litri di benzina saranno necessari per percorrere 420 km?

Soluzione:

Distanza, km

Benzina, l

La distanza è direttamente proporzionale al consumo di benzina, quindi

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Risposta: 29,4 l

Problema n.9

In 2 ore abbiamo catturato 12 carassi. Quante carassi verranno catturate in 3 ore?

Soluzione:

Il numero di carassi non dipende dal tempo. Queste quantità non sono né direttamente proporzionali né inversamente proporzionali.

Risposta: Non esiste una risposta.

Problema n. 10

Un'impresa mineraria deve acquistare 5 nuove macchine per una certa somma di denaro al prezzo di 12 mila rubli l'una. Quante di queste macchine può acquistare un'impresa se il prezzo di una macchina diventa di 15mila rubli?

Soluzione:

Numero di auto, pz.

Prezzo, migliaia di rubli

Il numero di auto è inversamente proporzionale al costo, quindi

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Risposta: 4 auto.

Problema n. 11

In città N sulla piazza P c'è un negozio il cui proprietario è così severo che per ritardo detrae 70 rubli dallo stipendio per 1 ritardo al giorno. Due ragazze, Yulia e Natasha, lavorano in un dipartimento. Il loro salario dipende dal numero di giorni lavorativi. Yulia ha ricevuto 4.100 rubli in 20 giorni e Natasha avrebbe dovuto riceverne di più in 21 giorni, ma è arrivata in ritardo per 3 giorni consecutivi. Quanti rubli riceverà Natasha?

Soluzione:

Giorni lavorativi

Stipendio, strofina.

Giulia

4100

Natascia

Lo stipendio è quindi direttamente proporzionale al numero di giorni lavorativi

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 strofinare. Natasha avrebbe dovuto riceverlo.

4305 – 3 * 70 = 4095 (sfregamento)

Risposta: Natasha riceverà 4095 rubli.

Problema n. 12

La distanza tra due città sulla mappa è 6 cm. Trova la distanza tra queste città sul terreno se la scala della mappa è 1: 250000.

Soluzione:

Indichiamo la distanza tra le città sul terreno con x (in centimetri) e troviamo il rapporto tra la lunghezza del segmento sulla mappa e la distanza sul terreno, che sarà uguale alla scala della mappa: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Risposta: 15 km.

Problema n. 13

4000 g di soluzione contengono 80 g di sale. Qual è la concentrazione di sale in questa soluzione?

Soluzione:

Peso, g

Concentrazione,%

Soluzione

4000

Sale

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Risposta: La concentrazione di sale è del 2%.

Problema n. 14

La banca concede un prestito al 10% annuo. Hai ricevuto un prestito di 50.000 rubli. Quanto restituire in banca in un anno?

Soluzione:

50.000 rubli.

100%

x strofinare.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rubli. è del 10%.

50.000 + 5.000=55.000 (sfregamento)

Risposta: tra un anno la banca recupererà 55.000 rubli.

Conclusione.

Come possiamo vedere dagli esempi forniti, le relazioni proporzionali dirette e inverse sono applicabili in vari ambiti della vita:

Economia,

Commercio,

Nella produzione e nell’industria,

La vita scolastica,

Cucina,

Edilizia e architettura.

Sport,

Allevamento di animali,

Topografie,

fisici,

Chimica, ecc.

Nella lingua russa ci sono anche proverbi e detti che stabiliscono rapporti diretti e inversi:

Come ritorna, così risponderà.

Più alto è il ceppo, più alta è l'ombra.

Più persone, meno ossigeno.

Ed è pronto, ma stupido.

La matematica è una delle scienze più antiche; è nata sulla base dei bisogni e dei desideri dell'umanità. Avendo attraversato la storia della sua formazione fin dall'antica Grecia, rimane ancora rilevante e necessario nella vita quotidiana di ogni persona. Il concetto di proporzionalità diretta e inversa è noto fin dall'antichità, poiché erano le leggi delle proporzioni a motivare gli architetti durante qualsiasi costruzione o creazione di qualsiasi scultura.

La conoscenza delle proporzioni è ampiamente utilizzata in tutte le sfere della vita e dell'attività umana - non si può farne a meno quando si dipinge (paesaggi, nature morte, ritratti, ecc.), è diffusa anche tra architetti e ingegneri - in generale, è difficile immagina di creare qualcosa senza usare la conoscenza delle proporzioni e delle loro relazioni.

Letteratura.

Matematica-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev e altri.

Matematica-9, GIA-9, a cura di F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Matematica-6, materiali didattici, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Problemi di matematica per le classi 4-5, I.V Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Raccolta di problemi ed esempi nelle classi 5-6 di matematica, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. “Acquario” 1997

Obiettivi principali:

• introdurre il concetto di dipendenza proporzionale diretta e inversa delle quantità;
• insegnare come risolvere i problemi utilizzando queste dipendenze;
• promuovere lo sviluppo delle capacità di problem solving;
• consolidare l'abilità di risolvere equazioni usando le proporzioni;
• ripetere i passaggi con le frazioni ordinarie e decimali;
• sviluppare il pensiero logico degli studenti.

SVOLGIMENTO DELLA LEZIONE

IO. Autodeterminazione per l'attività(momento organizzativo)

- Ragazzi! Oggi nella lezione faremo conoscenza con i problemi risolti usando le proporzioni.

II. Aggiornamento delle conoscenze e registrazione delle difficoltà nelle attività

2.1. Lavoro orale (3 minuti)

– Trova il significato delle espressioni e scopri la parola criptata nelle risposte.

14 – s; 0,1 – e; 7 – l; 0,2 – un; 17 – dentro; 25 – a

– La parola che ne risulta è forza. Ben fatto!
– Il motto della nostra lezione di oggi: il potere è nella conoscenza! Sto cercando: ciò significa che sto imparando!
– Componi una proporzione dai numeri risultanti. (14:7 = 0,2:0,1 ecc.)

2.2. Consideriamo la relazione tra le quantità che conosciamo (7 minuti)

– la distanza percorsa dall'auto a velocità costante e il tempo del suo movimento: S = vt ( all'aumentare della velocità (tempo) la distanza aumenta);
– velocità del veicolo e tempo impiegato nel viaggio: v=S:t(all'aumentare del tempo di percorrenza del percorso diminuisce la velocità);
– il costo dei beni acquistati a un prezzo e la sua quantità: C = a · n (all'aumentare (diminuzione) del prezzo, il costo di acquisto aumenta (diminuisce));
– prezzo del prodotto e sua quantità: a = C: n (all’aumentare della quantità il prezzo diminuisce)
– area del rettangolo e sua lunghezza (larghezza): S = a · b (al crescere della lunghezza (larghezza), l'area aumenta;
– lunghezza e larghezza del rettangolo: a = S: b (all'aumentare della lunghezza diminuisce la larghezza;
– il numero di lavoratori che svolgono un lavoro con la stessa produttività del lavoro e il tempo necessario per completare questo lavoro: t = A: n (con un aumento del numero di lavoratori, il tempo impiegato per eseguire il lavoro diminuisce), ecc. .

Abbiamo ottenuto dipendenze in cui, aumentando più volte un valore, un altro aumenta immediatamente della stessa quantità (gli esempi sono mostrati con le frecce) e dipendenze in cui, aumentando più volte un valore, il secondo valore diminuisce del lo stesso numero di volte.
Tali dipendenze sono chiamate proporzionalità diretta e inversa.
Dipendenza direttamente proporzionale– una relazione in cui quando un valore aumenta (diminuisce) più volte, il secondo valore aumenta (diminuisce) della stessa quantità.
Rapporto inversamente proporzionale– una relazione in cui quando un valore aumenta (diminuisce) più volte, il secondo valore diminuisce (aumenta) della stessa quantità.

III. Impostazione di un compito di apprendimento

– Quale problema ci troviamo ad affrontare? (Impara a distinguere tra dipendenze dirette e inverse)
- Questo - bersaglio la nostra lezione. Ora formula argomento lezione. (Rapporto proporzionale diretto e inverso).
- Ben fatto! Annota l'argomento della lezione sui tuoi quaderni. (L’insegnante scrive l’argomento alla lavagna.)

IV. "Scoperta" di nuove conoscenze(10 minuti)

Diamo un'occhiata ai problemi n. 199.

1. La stampante stampa 27 pagine in 4,5 minuti. Quanto tempo ci vorrà per stampare 300 pagine?

27 pagine – 4,5 minuti.
300 pagine -x?

2. La scatola contiene 48 confezioni di tè da 250 g ciascuna. Quante confezioni da 150 g di questo tè riceverai?

48 confezioni – 250 g.
X? – 150 gr.

3. L'auto ha percorso 310 km, utilizzando 25 litri di benzina. Quanta distanza può percorrere un'auto con un serbatoio pieno da 40 litri?

310 km – 25 l
X? – 40 litri

4. Uno degli ingranaggi della frizione ha 32 denti e l'altro ne ha 40. Quanti giri farà il secondo ingranaggio mentre il primo fa 215 giri?

32 denti – 315 giri.
40 denti – x?

Per compilare una proporzione è necessaria una direzione delle frecce; per questo, nella proporzionalità inversa, un rapporto viene sostituito dall'inverso.

Alla lavagna gli studenti trovano il significato delle quantità; sul posto gli studenti risolvono un problema a loro scelta.

– Formulare una regola per risolvere problemi con dipendenza proporzionale diretta e inversa.

Sulla lavagna appare una tabella:

V. Consolidamento primario nel discorso esterno(10 minuti)

Compiti del foglio di lavoro:

1. Da 21 kg di semi di cotone si ottengono 5,1 kg di olio.
2. Quanto olio si otterrà da 7 kg di semi di cotone?

Per costruire lo stadio, 5 bulldozer hanno ripulito il sito in 210 minuti. Quanto tempo occorrerebbero 7 bulldozer per ripulire questo sito?VI. Lavoro indipendente con autotest secondo lo standard

(5 minuti)
Due studenti completano l'attività n. 225 in modo indipendente su schede nascoste e il resto su quaderni. Quindi controllano il lavoro dell'algoritmo e lo confrontano con la soluzione sulla lavagna. Gli errori vengono corretti e le loro cause vengono determinate. Se l'attività viene completata correttamente, gli studenti mettono un segno "+" accanto a loro.

Gli studenti che commettono errori nel lavoro indipendente possono avvalersi di consulenti.№ 271, № 270.

VII. Inclusione nel sistema della conoscenza e ripetizione

Nel consiglio lavorano sei persone. Dopo 3-4 minuti, gli studenti che lavorano alla lavagna presentano le loro soluzioni, mentre gli altri controllano i compiti e partecipano alla discussione.

VIII. Riflessione sull'attività (riassunto della lezione)
– Cosa hai imparato di nuovo durante la lezione?
- Cosa hanno ripetuto?
– Qual è l’algoritmo per risolvere i problemi di proporzione?
– Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo?

– Come valuti il ​​tuo lavoro?

Esempio

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8, ecc. Fattore di proporzionalità

Proporzionalità diretta

Proporzionalità diretta Viene chiamata una relazione costante di quantità proporzionali fattore di proporzionalità. Il coefficiente di proporzionalità mostra quante unità di una quantità sono per unità di un'altra.

- dipendenza funzionale, in cui una certa quantità dipende da un'altra quantità in modo tale che il loro rapporto rimane costante. In altre parole, queste variabili cambiano

proporzionalmente(X) = , in parti uguali, ovvero se l'argomento cambia due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione.X,, in parti uguali, ovvero se l'argomento cambia due volte in qualsiasi direzione, anche la funzione cambia due volte nella stessa direzione. = Matematicamente, la proporzionalità diretta è scritta come una formula:FUNCo

Proporzionalità inversa

N S

T

Proporzionalità inversa

- questa è una dipendenza funzionale, in cui un aumento del valore indipendente (argomento) provoca una diminuzione proporzionale del valore dipendente (funzione).

Matematicamente, la proporzionalità inversa è scritta come una formula: