Formula completa dell'equazione quadratica. Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

", cioè equazioni di primo grado. In questa lezione vedremo quella che viene chiamata equazione quadratica e come risolverlo.

Cos'è un'equazione quadratica?

Importante!

Il grado di un'equazione è determinato dal grado più alto in cui si trova l'incognita.

Se la potenza massima in cui l'incognita è “2”, allora hai un'equazione quadratica.

Esempi di equazioni quadratiche

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x2+x+

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x2-8 = 0

Importante! La forma generale di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Ax2 + bx + c = 0

Ad “a”, “b” e “c” vengono assegnati numeri.

• “a” è il primo o il coefficiente più alto;
• “b” è il secondo coefficiente;
• “c” è un termine libero.

Per trovare “a”, “b” e “c” devi confrontare la tua equazione con la forma generale dell’equazione quadratica “ax 2 + bx + c = 0”.

Esercitiamoci a determinare i coefficienti "a", "b" e "c" nelle equazioni quadratiche.

5x2 − 14x + 17 = 0 −7x2 − 13x + 8 = 0 −x2+x+

Equazione	Probabilità
un = 5 b = −14 c = 17
un = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• un = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

x2-8 = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Come risolvere le equazioni quadratiche

A differenza delle equazioni lineari, per risolvere le equazioni quadratiche viene utilizzato un metodo speciale. formula per trovare le radici.

Ricordare!

Per risolvere un'equazione quadratica è necessario:

• portare l'equazione quadratica alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”.
• Cioè, solo lo “0” dovrebbe rimanere sul lato destro;

usa la formula per le radici:

Diamo un'occhiata a un esempio di come utilizzare la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Risolviamo un'equazione quadratica.

X2 − 3x − 4 = 0 L'equazione “x 2 − 3x − 4 = 0” è già stata ridotta alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0” e non necessita di ulteriori semplificazioni. Per risolverlo, dobbiamo solo applicare.

formula per trovare le radici di un'equazione quadratica

Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.

x1;2 =

Può essere utilizzato per risolvere qualsiasi equazione quadratica.
Nella formula “x 1;2 = ” l'espressione radicale viene spesso sostituita

“b 2 − 4ac” per la lettera “D” ed è detto discriminante. Il concetto di discriminante è discusso più in dettaglio nella lezione "Cos'è un discriminante".

Consideriamo un altro esempio di equazione quadratica.

x2 + 9 + x = 7x

X2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Ora puoi usare la formula per le radici.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =

6

2

x = 3
Risposta: x = 3

Ci sono momenti in cui le equazioni quadratiche non hanno radici. Questa situazione si verifica quando la formula contiene un numero negativo sotto la radice.

Nella società moderna, la capacità di eseguire operazioni con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. La prova di ciò può essere trovata nella progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e razzi. Utilizzando tali calcoli, vengono determinate le traiettorie di movimento di un'ampia varietà di corpi, compresi gli oggetti spaziali. Gli esempi con la soluzione di equazioni quadratiche vengono utilizzati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Potrebbero essere necessari durante le escursioni, in occasione di eventi sportivi, nei negozi per fare acquisti e in altre situazioni molto comuni.

Suddividiamo l'espressione nei suoi fattori che la compongono

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, le espressioni indicate, non importa come appaiono, possono sempre essere riportate nella forma quando il lato sinistro dell'espressione è composto da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (una componente libera, cioè un numero ordinario). Tutto questo sul lato destro è uguale a 0. Nel caso in cui tale polinomio manchi di uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione dell'asse 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Per prima cosa dovrebbero essere considerati esempi con la soluzione di tali problemi, i valori delle variabili in cui sono facili da trovare.

Se l'espressione appare in modo tale che l'espressione a destra contenga due termini, più precisamente ax 2 e bx, il modo più semplice per trovare x è posizionare la variabile fuori parentesi. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Successivamente diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Ciò è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola afferma che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno dei due è zero.

Esempio

x=0 oppure 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'influenza della gravità, che hanno iniziato a muoversi da un certo punto, preso come origine delle coordinate. Qui la notazione matematica assume la forma seguente: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando le possibili incognite, si può scoprire il tempo che passa dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a tante altre quantità. Ma di questo parleremo più tardi.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi nei casi più complessi. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadratico è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la fattorizziamo. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la risoluzione di equazioni quadratiche di grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e del quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si fattorizza il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, cioè (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -1; 3.

Radice quadrata

Un altro caso di equazione del secondo ordine incompleta è un'espressione rappresentata nel linguaggio delle lettere in modo tale che il membro destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, il termine libero viene trasferito a destra, quindi viene estratta la radice quadrata da entrambi i lati dell'uguaglianza. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni possono essere le uguaglianze che non contengono affatto un termine con, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro risulta essere negativo. In quest'ultimo caso non esiste alcuna soluzione poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con root. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo della superficie terrestre

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa nei tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte determinato dalla necessità di determinare con la massima precisione le aree e i perimetri dei terreni.

Dovremmo anche considerare esempi di risoluzione di equazioni quadratiche basate su problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un appezzamento di terreno rettangolare, la cui lunghezza è 16 metri maggiore della larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito se sai che la sua superficie è di 612 m2.

Per iniziare, creiamo prima l'equazione necessaria. Indichiamo con x la larghezza dell'area, quindi la sua lunghezza sarà (x+16). Da quanto scritto segue che l'area è determinata dall'espressione x(x+16), che, secondo le condizioni del nostro problema, è 612. Ciò significa che x(x+16) = 612.

Risolvere equazioni quadratiche complete, e questa espressione è esattamente quella, non può essere fatta allo stesso modo. Perché? Sebbene il lato sinistro contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati metodi diversi.

Discriminante

Prima di tutto, effettueremo le trasformazioni necessarie, quindi l'aspetto di questa espressione sarà simile a questo: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto l'espressione in una forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c= -612.

Questo potrebbe essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un discriminante. Qui i calcoli necessari vengono effettuati secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questa quantità ausiliaria non solo consente di trovare le quantità richieste in un'equazione del secondo ordine, ma determina il numero di opzioni possibili. Se D>0 ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

A proposito delle radici e della loro formula

Nel nostro caso il discriminante è pari a: 256 - 4(-612) = 2704. Ciò suggerisce che il nostro problema ha una risposta. Se conosci k, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata utilizzando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione di questo dilemma non può essere una soluzione, perché le dimensioni del terreno non possono essere misurate in quantità negative, il che significa che x (cioè la larghezza del terreno) è 18 m. Da qui calcoliamo la lunghezza: 18 +16=34, e il perimetro 2(34+ 18)=104(m2).

Esempi e compiti

Continuiamo il nostro studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e soluzioni dettagliate di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Spostiamo tutto a sinistra dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, cioè otteniamo il tipo di equazione che di solito viene chiamata standard e la equiparamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Aggiungendo quelli simili, determiniamo il discriminante: D = 49 - 48 = 1. Ciò significa che la nostra equazione avrà due radici. Calcoliamoli secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo a 1.

2) Ora risolviamo misteri di tipo diverso.

Scopriamo se ci sono radici qui x 2 - 4x + 5 = 1? Per ottenere una risposta esauriente riduciamo il polinomio alla corrispondente forma usuale e calcoliamo il discriminante. Nell'esempio sopra non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché questa non è affatto l'essenza del problema. In questo caso D = 16 - 20 = -4, il che significa che in realtà non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

È conveniente risolvere le equazioni quadratiche utilizzando le formule precedenti e il discriminante, quando la radice quadrata viene ricavata dal valore di quest'ultimo. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, in questo caso esistono molti modi per ottenere i valori delle variabili. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da qualcuno che visse nella Francia del XVI secolo e fece una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai suoi contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema notato dal famoso francese era il seguente. Dimostrò che la somma numerica delle radici dell'equazione dà: -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata ai compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità trasformiamo l'espressione:

x2 + 7x - 18 = 0

Usiamo il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver verificato, ci assicureremo che questi valori variabili si adattino effettivamente all'espressione.

Grafico ed equazione della parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di ciò sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici un po' più in dettaglio. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale relazione, rappresentata come grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono presentati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0 vanno alti all'infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice si possono trovare utilizzando la formula appena data x 0 = -b/2a. E sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola, che appartiene all'asse delle ordinate.

L'intersezione dei rami di una parabola con l'asse delle ascisse

Esistono molti esempi di risoluzione di equazioni quadratiche, ma esistono anche modelli generali. Diamo un'occhiata a loro. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se 0 assume valori negativi. E per a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico della parabola puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più semplice costruire un grafico.

Dalla storia

Usando equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi non solo facevano calcoli matematici e determinavano le aree delle figure geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandi scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. Ciò è accaduto quattro secoli prima della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano radicalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell’esistenza dei numeri negativi. Inoltre non avevano familiarità con altre sottigliezze che ogni scolaretto moderno conosce.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama iniziò a risolvere le equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi in passato si interessavano a questioni simili. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nelle loro opere da grandi scienziati come Newton, Cartesio e molti altri.

Ad esempio, per il trinomio \(3x^2+2x-7\), il discriminante sarà uguale a \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). E per il trinomio \(x^2-5x+11\), sarà uguale a \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Il discriminante è indicato dalla lettera \(D\) ed è spesso utilizzato nella risoluzione. Inoltre, dal valore del discriminante, puoi capire come appare approssimativamente il grafico (vedi sotto).

Discriminante e radici di un'equazione quadratica

Il valore discriminante mostra il numero di equazioni quadratiche:
- se \(D\) è positivo l'equazione avrà due radici;
- se \(D\) è uguale a zero – la radice è una sola;
- se \(D\) è negativo, non ci sono radici.

Non c'è bisogno di insegnarlo, non è difficile giungere a una conclusione del genere, semplicemente sapendo che dal discriminante (cioè \(\sqrt(D)\) è incluso nella formula per calcolare le radici di una quadratica equazione: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) e \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Esaminiamo ogni caso più in dettaglio.

Se il discriminante è positivo

In questo caso, la sua radice è un numero positivo, il che significa che \(x_(1)\) e \(x_(2)\) avranno significati diversi, perché nella prima formula \(\sqrt(D)\ ) viene aggiunto e nel secondo viene sottratto. E abbiamo due radici diverse.

Esempio : Trova le radici dell'equazione \(x^2+2x-3=0\)
Soluzione :

Risposta : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Se il discriminante è zero

Quante radici ci saranno se il discriminante è zero? Ragioniamo.

Le formule di radice hanno questo aspetto: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) e \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . E se il discriminante è zero, anche la sua radice è zero. Poi si scopre:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Cioè, i valori delle radici dell'equazione coincideranno, perché aggiungere o sottrarre zero non cambia nulla.

Esempio : Trova le radici dell'equazione \(x^2-4x+4=0\)
Soluzione :

\(x^2-4x+4=0\)		Scriviamo i coefficienti:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Calcoliamo il discriminante utilizzando la formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Trovare le radici dell'equazione
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Abbiamo due radici identiche, quindi non ha senso scriverle separatamente: le scriviamo come una sola.

Risposta : \(x=2\)

Formule per le radici di un'equazione quadratica. Vengono considerati i casi di radici reali, multiple e complesse. Fattorizzazione di un trinomio quadratico. Interpretazione geometrica. Esempi di determinazione delle radici e fattorizzazione.

Formule di base

Considera l'equazione quadratica:
(1) .
Radici di un'equazione quadratica(1) sono determinati dalle formule:
; .
Queste formule possono essere combinate in questo modo:
.
Quando le radici di un'equazione quadratica sono note, un polinomio di secondo grado può essere rappresentato come un prodotto di fattori (fattoriale):
.

Successivamente assumiamo che siano numeri reali.
Consideriamo discriminante di un'equazione quadratica:
.
Se il discriminante è positivo, allora l’equazione quadratica (1) ha due radici reali diverse:
; .
Allora la fattorizzazione del trinomio quadratico ha la forma:
.
Se il discriminante è uguale a zero, allora l'equazione quadratica (1) ha due radici reali multiple (uguali):
.
Fattorizzazione:
.
Se il discriminante è negativo, allora l'equazione quadratica (1) ha due radici complesse coniugate:
;
.
Ecco l'unità immaginaria, ;
e sono le parti reali e immaginarie delle radici:
; .
Poi

.

Interpretazione grafica

Se disegni la funzione
,
che è una parabola, allora i punti di intersezione del grafico con l'asse saranno le radici dell'equazione
.
In , il grafico interseca l'asse x (asse) in due punti.
Quando , il grafico tocca l'asse x in un punto.
Quando , il grafico non incrocia l'asse x.

Di seguito sono riportati esempi di tali grafici.

Formule utili relative all'equazione quadratica

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Effettuiamo trasformazioni e applichiamo le formule (f.1) e (f.3):




,
Dove
; .

Quindi, abbiamo ottenuto la formula per un polinomio di secondo grado nella forma:
.
Ciò dimostra che l'equazione

eseguito a
E .
Cioè, e sono le radici dell'equazione quadratica
.

Esempi di determinazione delle radici di un'equazione quadratica

Esempio 1

(1.1) .

Soluzione

.
Confrontando con la nostra equazione (1.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Troviamo il discriminante:
.
Poiché il discriminante è positivo, l’equazione ha due radici reali:
;
;
.

Da qui si ottiene la fattorizzazione del trinomio quadratico:

.

Grafico della funzione y = 2 x 2 + 7 x + 3 interseca l'asse x in due punti.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Attraversa l'asse delle ascisse (asse) in due punti:
E .
Questi punti sono le radici dell'equazione originale (1.1).

Risposta

;
;
.

Esempio 2

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(2.1) .

Soluzione

Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
.
Confrontando con l'equazione originale (2.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Troviamo il discriminante:
.
Poiché il discriminante è zero, l'equazione ha due radici multiple (uguali):
;
.

Allora la fattorizzazione del trinomio ha la forma:
.

Grafico della funzione y = x 2 - 4 x + 4 tocca l'asse x in un punto.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Tocca l'asse x (asse) in un punto:
.
Questo punto è la radice dell'equazione originale (2.1). Perché questa radice viene scomposta due volte:
,
allora tale radice viene solitamente chiamata multipla. Cioè, credono che ci siano due radici uguali:
.

Risposta

;
.

Esempio 3

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(3.1) .

Soluzione

Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
(1) .
Riscriviamo l'equazione originale (3.1):
.
Confrontando con la (1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Troviamo il discriminante:
.
Il discriminante è negativo.

Quindi non esistono vere e proprie radici.
;
;
.

Puoi trovare radici complesse:


.

Poi

Tracciamo la funzione
.
Il grafico della funzione non attraversa l'asse x. Non ci sono vere e proprie radici.

Risposta

Il grafico di questa funzione è una parabola. Non interseca l'asse x (asse). Quindi non esistono vere e proprie radici.
;
;
.

Non ci sono vere e proprie radici. Radici complesse:

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. Il discriminante consente di risolvere qualsiasi equazione quadratica utilizzando una formula generale, che ha la seguente forma:

La formula discriminante dipende dal grado del polinomio. La formula sopra è adatta per risolvere equazioni quadratiche della seguente forma:

Il discriminante ha le seguenti proprietà che devi conoscere:

* "D" è 0 quando il polinomio ha più radici (radici uguali);

* "D" è un polinomio simmetrico rispetto alle radici del polinomio ed è quindi un polinomio nei suoi coefficienti; inoltre i coefficienti di questo polinomio sono interi indipendentemente dall'estensione in cui vengono prese le radici.

Diciamo che ci viene data un'equazione quadratica della seguente forma:

1 equazione

Secondo la formula abbiamo:

Poiché \, l'equazione ha 2 radici. Definiamoli:

Dove posso risolvere un'equazione utilizzando un risolutore online discriminante?