Oggi ti diremo come trovare la generatrice di un cono, spesso richiesta nei problemi di geometria scolastica.
Il concetto di generatrice del cono
Un cono retto è una figura che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo attorno a una delle sue gambe. La base del cono forma un cerchio. La sezione verticale del cono è un triangolo, la sezione orizzontale è un cerchio. L'altezza di un cono è il segmento che collega la sommità del cono al centro della base. La generatrice di un cono è un segmento che collega il vertice del cono con un punto qualsiasi della retta del cerchio di base.
Poiché un cono si forma ruotando un triangolo rettangolo, risulta che la prima gamba di tale triangolo è l'altitudine, la seconda è il raggio del cerchio alla base e l'ipotenusa è la generatrice del cono. Non è difficile intuire che il teorema di Pitagora è utile per calcolare la lunghezza del generatore. E ora qualcosa in più su come trovare la lunghezza della generatrice del cono.
Trovare il generatore
Il modo più semplice per capire come trovare un generatore è con un esempio specifico. Supponiamo che siano date le seguenti condizioni del problema: l'altezza è 9 cm, il diametro del cerchio di base è 18 cm. È necessario trovare una generatrice.
Quindi, l'altezza del cono (9 cm) è una delle gambe del triangolo rettangolo con l'aiuto del quale è stato formato questo cono. La seconda gamba sarà il raggio del cerchio di base. Il raggio è la metà del diametro. Quindi dividiamo a metà il diametro che ci è stato dato e otteniamo la lunghezza del raggio: 18:2 = 9. Il raggio è 9.
Ora è molto semplice trovare la generatrice del cono. Poiché è un'ipotenusa, il quadrato della sua lunghezza sarà uguale alla somma dei quadrati dei cateti, cioè della somma dei quadrati del raggio e dell'altezza. Quindi, il quadrato della lunghezza del generatore = 64 (il quadrato della lunghezza del raggio) + 64 (il quadrato della lunghezza dell'altezza) = 64x2 = 128. Ora prendiamo la radice quadrata di 128. Come a risultato, otteniamo otto radici di due. Questa sarà la generatrice del cono.
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questo. Ad esempio, abbiamo preso le condizioni semplici del problema, ma in un corso scolastico possono essere più complesse. Ricorda che per calcolare la lunghezza della generatrice devi conoscere il raggio del cerchio e l'altezza del cono. Conoscendo questi dati è facile trovare la lunghezza della generatrice.
I corpi di rotazione studiati a scuola sono il cilindro, il cono e la sfera.
Se in un problema dell'Esame di Stato Unificato di matematica devi calcolare il volume di un cono o l'area di una sfera, considerati fortunato.
Applicare le formule per il volume e l'area superficiale di un cilindro, cono e sfera. Sono tutti nella nostra tavola. Impara a memoria. È qui che inizia la conoscenza della stereometria.
A volte è bene disegnare la vista dall'alto. Oppure, come in questo problema, dal basso.
2. Quante volte il volume di un cono circoscritto ad una piramide quadrangolare regolare è maggiore del volume di un cono inscritto in questa piramide?
È semplice: disegna la vista dal basso. Vediamo che il raggio del cerchio più grande è volte più grande del raggio di quello più piccolo. Le altezze di entrambi i coni sono le stesse. Pertanto, il volume del cono più grande sarà due volte più grande.
Un altro punto importante. Ricordiamo che nei problemi della parte B dell'Esame di Stato Unificato di matematica la risposta si scrive come numero intero o frazione decimale finale. Pertanto non dovrebbe esserci alcuna o nella tua risposta nella parte B. Non è nemmeno necessario sostituire il valore approssimativo del numero! Deve assolutamente rimpicciolirsi! È a questo scopo che in alcuni problemi il compito viene formulato, ad esempio, come segue: "Trova l'area della superficie laterale del cilindro divisa per".
Dove altro vengono utilizzate le formule per il volume e la superficie dei corpi di rivoluzione? Naturalmente, nel problema C2 (16). Ve ne parleremo anche noi.
Sappiamo cos'è un cono, proviamo a trovare la sua superficie. Perché hai bisogno di risolvere un problema del genere? Ad esempio, devi capire quanto impasto servirà per fare un cono di cialda? Oppure quanti mattoni ci vogliono per realizzare il tetto di un castello in mattoni?
Semplicemente non è possibile misurare la superficie laterale di un cono. Ma immaginiamo lo stesso corno avvolto nel tessuto. Per trovare l'area di un pezzo di tessuto, devi tagliarlo e stenderlo sul tavolo. Il risultato è una figura piatta, possiamo trovare la sua area.
Riso. 1. Sezione di un cono lungo la generatrice
Facciamo lo stesso con il cono. Ad esempio, "tagliamo" la sua superficie laterale lungo una qualsiasi generatrice (vedi Fig. 1).
Ora "svolgiamo" la superficie laterale su un piano. Otteniamo un settore. Il centro di questo settore è il vertice del cono, il raggio del settore è uguale alla generatrice del cono, e la lunghezza del suo arco coincide con la circonferenza della base del cono. Questo settore è chiamato sviluppo della superficie laterale del cono (vedi Fig. 2).
Riso. 2. Sviluppo della superficie laterale
Riso. 3. Misura dell'angolo in radianti
Proviamo a trovare l'area del settore utilizzando i dati disponibili. Per prima cosa introduciamo la notazione: lascia che l'angolo al vertice del settore sia in radianti (vedi Fig. 3).
Spesso dovremo affrontare i problemi dell'angolo in alto. Per ora, proviamo a rispondere alla domanda: questo angolo non può risultare superiore a 360 gradi? Cioè, non verrebbe fuori che la scansione si sovrapporrebbe a se stessa? Ovviamente no. Dimostriamolo matematicamente. Lascia che la scansione si “sovrappone” su se stessa. Ciò significa che la lunghezza dell'arco di spazzata è maggiore della lunghezza del cerchio di raggio. Ma, come già accennato, la lunghezza dell'arco di spazzata è la lunghezza del cerchio di raggio . E il raggio della base del cono, ovviamente, è minore della generatrice, ad esempio, perché il cateto di un triangolo rettangolo è minore dell'ipotenusa
Ricordiamo poi due formule del corso di planimetria: lunghezza dell'arco. Zona del settore: .
Nel nostro caso, il ruolo è svolto dal generatore , e la lunghezza dell'arco è uguale alla circonferenza della base del cono. Abbiamo:
Alla fine otteniamo: .
Oltre alla superficie laterale si può trovare anche la superficie totale. Per fare ciò, aggiungi l'area della base all'area della superficie laterale. Ma la base è un cerchio di raggio, la cui area secondo la formula è uguale a .
Infine abbiamo: , dove è il raggio della base del cilindro, è la generatrice.
Risolviamo un paio di problemi utilizzando le formule fornite.
Riso. 4. Angolo richiesto
Esempio 1. Lo sviluppo della superficie laterale del cono è un settore con un angolo al vertice. Trova questo angolo se l'altezza del cono è 4 cm e il raggio della base è 3 cm (vedi Fig. 4).
Riso. 5. Triangolo rettangolo che forma un cono
Alla prima azione, secondo il teorema di Pitagora, troviamo il generatore: 5 cm (vedi Fig. 5). Successivamente, lo sappiamo .
Esempio 2. L'area della sezione trasversale assiale del cono è pari a , l'altezza è pari a . Trova la superficie totale (vedi Fig. 6).
