Istruzioni

Parti e gli angoli sono considerati elementi base UN. Un triangolo è completamente definito da uno qualsiasi dei suoi seguenti elementi fondamentali: tre lati, oppure un lato e due angoli, oppure due lati e un angolo compreso tra loro. Per l'esistenza triangolo dato da tre lati a, b, c, è necessario e sufficiente a soddisfare le disuguaglianze chiamate disuguaglianze triangolo:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Costruire triangolo sui tre lati a, b, c, è necessario dal punto C del segmento CB = a tracciare con un compasso una circonferenza di raggio b. Quindi, allo stesso modo, dal punto B traccia una circonferenza con raggio uguale al lato c. Il loro punto di intersezione A è il terzo vertice del desiderato triangolo ABC, dove AB=c, CB=a, CA=b - lati triangolo. Il problema si pone se i lati a, b, c soddisfano le disuguaglianze triangolo specificato al punto 1.

Area S costruita in questo modo triangolo ABC con i lati noti a, b, c, si calcola utilizzando la formula di Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
dove a, b, c sono lati triangolo, p – semiperimetro.
p = (a+b+c)/2

Se un triangolo è equilatero, cioè tutti i suoi lati sono uguali (a=b=c).Area triangolo calcolato con la formula:
S=(a^2 v3)/4

Se il triangolo è rettangolo, cioè uno dei suoi angoli è pari a 90°, e i cateti che lo compongono sono cateti, il terzo lato è l'ipotenusa. In questo caso piazzaè uguale al prodotto delle gambe diviso per due.
S=ab/2

Per trovare piazza triangolo, puoi utilizzare una delle tante formule. Scegli una formula in base ai dati già noti.

Ne avrai bisogno

• conoscenza delle formule per trovare l'area di un triangolo

Istruzioni

Se conosci la dimensione di uno dei lati e il valore dell'altezza abbassata su questo lato dall'angolo opposto ad esso, puoi trovare l'area utilizzando quanto segue: S = a*h/2, dove S è l'area del triangolo, a è uno dei lati del triangolo e h è l'altezza del lato a.

Esiste un metodo noto per determinare l'area di un triangolo se si conoscono i suoi tre lati. È la formula di Erone. Per semplificarne la registrazione si introduce un valore intermedio - semiperimetro: p = (a+b+c)/2, dove a, b, c - . Allora la formula di Erone è la seguente: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ esponenziale.

Supponiamo che tu conosca uno dei lati di un triangolo e tre angoli. Quindi è facile trovare l'area del triangolo: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), dove β è l'angolo opposto al lato a, e α e γ sono gli angoli adiacenti al lato.

Video sull'argomento

notare che

La formula più generale adatta a tutti i casi è la formula di Erone.

Fonti:

Suggerimento 3: come trovare l'area di un triangolo basato su tre lati

Trovare l'area di un triangolo è uno dei problemi più comuni nella planimetria scolastica. Conoscere i tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi particolari di triangoli equilateri è sufficiente conoscere rispettivamente la lunghezza di due e di un lato.

Ne avrai bisogno

• lunghezze dei lati dei triangoli, formula di Erone, teorema del coseno

Istruzioni

La formula di Heron per l'area di un triangolo è la seguente: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Se scriviamo il semiperimetro p, otteniamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (quadrato((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Puoi ricavare una formula per l'area di un triangolo da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.

Per il teorema del coseno, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Usando le notazioni introdotte, queste possono essere scritte anche nella forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Quindi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'area di un triangolo si trova anche dalla formula S = a*c*sin(ABC)/2 passante per due lati e l'angolo compreso tra loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso utilizzando l'identità trigonometrica di base: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Sostituendo il seno nella formula per l'area e scrivendolo , puoi arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.

Video sull'argomento

Per eseguire lavori di riparazione, potrebbe essere necessario misurare piazza muri Ciò semplifica il calcolo della quantità richiesta di vernice o carta da parati. Per le misurazioni, è meglio utilizzare un metro a nastro o un metro a nastro. Le misurazioni dovrebbero essere effettuate dopo muri sono stati livellati.

Ne avrai bisogno

• -roulette;
• -scala.

Istruzioni

Contare piazza pareti, è necessario conoscere l'altezza esatta dei soffitti e misurare anche la lunghezza lungo il pavimento. Questo viene fatto come segue: prendi un centimetro e adagialo sul battiscopa. Di solito un centimetro non è sufficiente per tutta la lunghezza, quindi fissatelo nell'angolo, quindi svolgetelo alla massima lunghezza. A questo punto, tracciate un segno con una matita, annotate il risultato ottenuto ed effettuate ulteriori misurazioni allo stesso modo, partendo dall'ultimo punto di misurazione.

I soffitti standard sono 2 metri e 80 centimetri, 3 metri e 3 metri e 20 centimetri, a seconda della casa. Se la casa è stata costruita prima degli anni '50, molto probabilmente l'altezza effettiva è leggermente inferiore a quella indicata. Se stai calcolando piazza per i lavori di riparazione, una piccola fornitura non farà male: considerare in base allo standard. Se hai ancora bisogno di conoscere l'altezza reale, prendi le misure. Il principio è simile alla misurazione della lunghezza, ma avrai bisogno di una scala a pioli.

Moltiplica gli indicatori risultanti: questo è piazza il tuo muri. È vero, quando si dipinge o si dipinge è necessario sottrarre piazza aperture di porte e finestre. Per fare questo, stendi un centimetro lungo l'apertura. Se stiamo parlando di una porta che cambierai successivamente, procedi con la rimozione del telaio della porta, tenendo conto solo piazza direttamente all'apertura stessa. L'area della finestra è calcolata lungo il perimetro del suo telaio. Dopo piazza finestra e porta calcolate, sottrarre il risultato dall'area totale risultante della stanza.

Si prega di notare che la misurazione della lunghezza e della larghezza della stanza viene eseguita da due persone, ciò rende più semplice fissare il centimetro o il metro a nastro e, di conseguenza, ottenere un risultato più accurato. Prendi la stessa misura più volte per assicurarti che i numeri ottenuti siano accurati.

Video sull'argomento

Trovare il volume di un triangolo è davvero un compito non banale. Il fatto è che un triangolo è una figura bidimensionale, cioè giace interamente su un piano, il che significa che semplicemente non ha volume. Naturalmente non è possibile trovare qualcosa che non esiste. Ma non molliamo! Possiamo accettare il seguente presupposto: il volume di una figura bidimensionale è la sua area. Cercheremo l'area del triangolo.

Ne avrai bisogno

• foglio di carta, matita, righello, calcolatrice

Istruzioni

Disegna su un pezzo di carta usando un righello e una matita. Esaminando attentamente il triangolo, puoi assicurarti che in realtà non ha un triangolo, poiché è disegnato su un piano. Etichetta i lati del triangolo: lascia che un lato sia il lato "a", l'altro lato "b" e il terzo lato "c". Etichetta i vertici del triangolo con le lettere "A", "B" e "C".

Misura qualsiasi lato del triangolo con un righello e scrivi il risultato. Successivamente, ripristinare una perpendicolare al lato misurato dal vertice opposto ad esso, tale perpendicolare sarà l'altezza del triangolo. Nel caso rappresentato in figura, la perpendicolare "h" viene ripristinata al lato "c" dal vertice "A". Misura l'altezza risultante con un righello e annota il risultato della misurazione.

Potrebbe essere difficile per te ripristinare la perpendicolare esatta. In questo caso dovresti usare una formula diversa. Misura tutti i lati del triangolo con un righello. Successivamente, calcola il semiperimetro del triangolo "p" sommando le lunghezze risultanti dei lati e dividendo la loro somma a metà. Avendo a disposizione il valore del semiperimetro, puoi utilizzare la formula di Erone. Per fare ciò, devi prendere la radice quadrata di quanto segue: p(p-a)(p-b)(p-c).

Hai ottenuto l'area richiesta del triangolo. Il problema di trovare il volume di un triangolo non è stato risolto ma, come accennato in precedenza, il volume no. Puoi trovare un volume che è essenzialmente un triangolo nel mondo tridimensionale. Se immaginiamo che il nostro triangolo originale sia diventato una piramide tridimensionale, il volume di tale piramide sarà il prodotto della lunghezza della sua base e dell'area risultante del triangolo.

notare che

Quanto più attentamente misuri, tanto più accurati saranno i tuoi calcoli.

Fonti:

• Calcolatrice "Tutto a tutto" - un portale per valori di riferimento
• volume del triangolo nel 2019

I tre punti che definiscono univocamente un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, puoi calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, compresi quelli limitati dal suo perimetro piazza. Questo può essere fatto in diversi modi.

Istruzioni

Utilizza la formula di Erone per calcolare l'area triangolo. Implica le dimensioni dei tre lati della figura, quindi inizia i calcoli con . La lunghezza di ciascun lato deve essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue proiezioni sugli assi coordinati. Se indichiamo le coordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) e C(X₃,Y₃,Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Per semplificare i calcoli, introdurre una variabile ausiliaria: semiperimetro (P). Dal fatto che questa è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Per determinare l'area di un triangolo, puoi utilizzare diverse formule. Tra tutti i metodi, quello più semplice e utilizzato è quello di moltiplicare l'altezza per la lunghezza della base e poi dividere il risultato per due. Tuttavia, questo metodo non è l’unico. Di seguito puoi leggere come trovare l'area di un triangolo utilizzando diverse formule.

Separatamente, esamineremo i modi per calcolare l'area di tipi specifici di triangoli: rettangolari, isosceli ed equilateri. Accompagniamo ogni formula con una breve spiegazione che ti aiuterà a comprenderne l'essenza.

Metodi universali per trovare l'area di un triangolo

Le formule seguenti utilizzano notazioni speciali. Decifreremo ciascuno di essi:

• a, b, c – le lunghezze dei tre lati della figura che stiamo considerando;
• r è il raggio del cerchio inscrivibile nel nostro triangolo;
• R è il raggio del cerchio che si può descrivere attorno ad esso;
• α è l'ampiezza dell'angolo formato dai lati b e c;
• β è l'ampiezza dell'angolo tra a e c;
• γ è l'ampiezza dell'angolo formato dai lati aeb;
• h è l'altezza del nostro triangolo, abbassata dall'angolo α al lato a;
• p – metà della somma dei lati a, b e c.

È logicamente chiaro il motivo per cui puoi trovare l'area di un triangolo in questo modo. Il triangolo può essere facilmente completato in un parallelogramma, in cui un lato del triangolo fungerà da diagonale. L'area di un parallelogramma si trova moltiplicando la lunghezza di uno dei suoi lati per il valore dell'altezza su di esso. La diagonale divide questo parallelogramma condizionale in 2 triangoli identici. Pertanto, è abbastanza ovvio che l'area del nostro triangolo originale deve essere uguale alla metà dell'area di questo parallelogramma ausiliario.

S=½ a b peccato γ

Secondo questa formula, l'area di un triangolo si trova moltiplicando le lunghezze dei suoi due lati, cioè a e b, per il seno dell'angolo da essi formato. Questa formula è logicamente derivata dalla precedente. Se abbassiamo l'altezza dall'angolo β al lato b, quindi, secondo le proprietà di un triangolo rettangolo, moltiplicando la lunghezza del lato a per il seno dell'angolo γ, otteniamo l'altezza del triangolo, cioè h .

L'area della figura in questione si trova moltiplicando metà del raggio del cerchio in esso inscrivibile per il suo perimetro. In altre parole, troviamo il prodotto del semiperimetro per il raggio del cerchio menzionato.

S= a b c/4R

Secondo questa formula, il valore di cui abbiamo bisogno può essere trovato dividendo il prodotto dei lati della figura per 4 raggi del cerchio descritto attorno ad essa.

Queste formule sono universali, poiché consentono di determinare l'area di qualsiasi triangolo (scaleno, isoscele, equilatero, rettangolare). Questo può essere fatto utilizzando calcoli più complessi, sui quali non ci soffermeremo in dettaglio.

Aree di triangoli con proprietà specifiche

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo? La particolarità di questa figura è che i suoi due lati sono contemporaneamente le sue altezze. Se a e b sono cateti e c diventa l'ipotenusa, allora troviamo l'area in questo modo:

Come trovare l'area di un triangolo isoscele? Ha due lati di lunghezza a e un lato di lunghezza b. Di conseguenza, la sua area può essere determinata dividendo per 2 il prodotto del quadrato di lato a per il seno dell'angolo γ.

Come trovare l'area di un triangolo equilatero? In esso, la lunghezza di tutti i lati è uguale ad a e la grandezza di tutti gli angoli è α. La sua altezza è pari alla metà del prodotto della lunghezza del lato a e della radice quadrata di 3. Per trovare l'area di un triangolo regolare è necessario moltiplicare il quadrato di lato a per la radice quadrata di 3 e dividere per 4.

Un triangolo è una figura geometrica composta da tre linee rette che si uniscono in punti che non giacciono sulla stessa linea retta. I punti di connessione delle linee sono i vertici del triangolo, designati con lettere latine (ad esempio A, B, C). Le linee rette che connettono un triangolo sono chiamate segmenti, che di solito sono anche indicati con lettere latine. Si distinguono i seguenti tipi di triangoli:

• Rettangolare.
• Ottuso.
• Acuto angolare.
• Versatile.
• Equilatero.
• Isoscele.

Formule generali per il calcolo dell'area di un triangolo

Formula per l'area di un triangolo in base alla lunghezza e all'altezza

S= a*h/2,
dove a è la lunghezza del lato del triangolo di cui bisogna trovare l'area, h è la lunghezza dell'altezza portata alla base.

La formula di Erone

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
dove √ è la radice quadrata, p è il semiperimetro del triangolo, a,b,c è la lunghezza di ciascun lato del triangolo. Il semiperimetro di un triangolo può essere calcolato utilizzando la formula p=(a+b+c)/2.

Formula per l'area di un triangolo in base all'angolo e alla lunghezza del segmento

S = (a*b*peccato(α))/2,
dove b,c è la lunghezza dei lati del triangolo, sin(α) è il seno dell'angolo compreso tra i due lati.

Formula per l'area di un triangolo dato il raggio del cerchio inscritto e tre lati

S=p*r,
dove p è il semiperimetro del triangolo di cui bisogna trovare l'area, r è il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo.

Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio circoscritto ad esso

S= (a*b*c)/4*R,
dove a,b,c è la lunghezza di ciascun lato del triangolo, R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Formula per l'area di un triangolo utilizzando le coordinate cartesiane dei punti

Le coordinate cartesiane dei punti sono coordinate nel sistema xOy, dove x è l'ascissa, y è l'ordinata. Il sistema di coordinate cartesiane xOy su un piano è costituito dagli assi numerici reciprocamente perpendicolari Ox e Oy con un'origine comune nel punto O. Se le coordinate dei punti su questo piano sono date nella forma A(x1, y1), B(x2, y2 ) e C(x3, y3 ), quindi puoi calcolare l'area del triangolo utilizzando la seguente formula, che si ottiene dal prodotto vettoriale di due vettori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
dove || sta per modulo.

Come trovare l'area di un triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo che misura 90 gradi. Un triangolo può avere solo uno di questi angoli.

Formula per l'area di un triangolo rettangolo su due lati

S=a*b/2,
dove a,b è la lunghezza delle gambe. Le gambe sono i lati adiacenti ad un angolo retto.

Formula per l'area di un triangolo rettangolo basata sull'ipotenusa e sull'angolo acuto

S = a*b*sen(α)/ 2,
dove a, b sono i cateti del triangolo e sin(α) è il seno dell'angolo in cui si intersecano le rette a, b.

Formula per l'area di un triangolo rettangolo in base al lato e all'angolo opposto

S = a*b/2*tg(β),
dove a, b sono i cateti del triangolo, tan(β) è la tangente dell'angolo in cui sono collegati i cateti a, b.

Come calcolare l'area di un triangolo isoscele

Un triangolo isoscele è quello che ha due lati uguali. Questi lati sono chiamati lati e l'altro lato è base. Per calcolare l'area di un triangolo isoscele, puoi utilizzare una delle seguenti formule.

Formula base per il calcolo dell'area di un triangolo isoscele

S=h*c/2,
dove c è la base del triangolo, h è l'altezza del triangolo abbassata alla base.

Formula di un triangolo isoscele basato su lato e base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
dove c è la base del triangolo, a è la dimensione di uno dei lati del triangolo isoscele.

Come trovare l'area di un triangolo equilatero

Un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti i lati sono uguali. Per calcolare l'area di un triangolo equilatero, puoi utilizzare la seguente formula:
S = (√3*a*a)/4,
dove a è la lunghezza del lato del triangolo equilatero.

Le formule di cui sopra ti permetteranno di calcolare l'area richiesta del triangolo. È importante ricordare che per calcolare l'area dei triangoli è necessario considerare la tipologia del triangolo e i dati a disposizione che possono essere utilizzati per il calcolo.

Concetto di zona

Il concetto di area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per unità di area di qualsiasi figura geometrica prenderemo l'area di un quadrato il cui lato è uguale a uno. Per completezza ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di aree delle figure geometriche.

Proprietà 1: Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Proprietà 2: Qualsiasi figura può essere divisa in più figure. Inoltre, l'area della figura originale è uguale alla somma delle aree di tutte le sue figure costituenti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Ovviamente, uno dei lati del triangolo è la diagonale di un rettangolo, un lato del quale ha una lunghezza di $5$ (poiché ci sono celle da $5$) e l'altro è $6$ (poiché ci sono celle da $6$). Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo. L'area del rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è uguale a

Risposta: $ 15 $.

Successivamente, considereremo diversi metodi per trovare le aree dei triangoli, vale a dire utilizzando l'altezza e la base, utilizzando la formula di Erone e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come la metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza di quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

dove $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza che lo raggiunge.

Prova.

Consideriamo un triangolo $ABC$ in cui $AC=α$. Da questo lato viene disegnata l'altezza $BH$, che è uguale a $h$. Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ come nella Figura 2.

L'area del rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$ e l'area del rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$. Poi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Pertanto, l'area richiesta del triangolo, per la proprietà 2, è uguale a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 2

Trova l'area del triangolo nella figura seguente se la cella ha un'area uguale a uno

La base di questo triangolo è pari a $9$ (poiché $9$ sono $9$ quadrati). Anche l'altezza è $ 9 $. Quindi, per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Risposta: $ 40,5 $.

La formula di Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Prova.

Considera la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ si ottiene

Dal triangolo $CBH$, secondo il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, che significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Un triangolo è la figura geometrica più semplice, composta da tre lati e tre vertici. Per la sua semplicità, il triangolo è stato utilizzato fin dall'antichità per effettuare varie misurazioni, e oggi la figura può essere utile per risolvere problemi pratici e quotidiani.

Caratteristiche di un triangolo

La figura è stata utilizzata per i calcoli fin dall'antichità, ad esempio agrimensori e astronomi utilizzano le proprietà dei triangoli per calcolare aree e distanze. È facile esprimere l'area di qualsiasi n-gon attraverso l'area di questa figura, e questa proprietà veniva utilizzata dagli antichi scienziati per ricavare formule per le aree dei poligoni. Il lavoro costante con i triangoli, in particolare il triangolo rettangolo, divenne la base per un intero ramo della matematica: la trigonometria.

Geometria del triangolo

Le proprietà della figura geometrica sono state studiate fin dall'antichità: le prime informazioni sul triangolo sono state trovate nei papiri egiziani di 4.000 anni fa. Poi la figura fu studiata nell'antica Grecia e i maggiori contributi alla geometria del triangolo furono dati da Euclide, Pitagora e Airone. Lo studio del triangolo non cessò mai e nel XVIII secolo Leonhard Euler introdusse il concetto di ortocentro di una figura e il cerchio di Eulero. A cavallo tra il XIX e il XX secolo, quando sembrava che si sapesse assolutamente tutto sul triangolo, Frank Morley formulò il teorema sui trisettori angolari e Waclaw Sierpinski propose il triangolo frattale.

Esistono diversi tipi di triangoli piatti che ci sono familiari dai corsi di geometria scolastica:

• acuto: tutti gli angoli della figura sono acuti;
• ottuso: la figura ha un angolo ottuso (più di 90 gradi);
• rettangolare: la figura contiene un angolo retto pari a 90 gradi;
• isoscele: un triangolo con due lati uguali;
• equilatero: un triangolo con tutti i lati uguali.
• Nella vita reale esistono tutti i tipi di triangoli e in alcuni casi potrebbe essere necessario calcolare l'area di una figura geometrica.

Area di un triangolo

L'area è una stima della porzione di piano racchiusa da una figura. L'area di un triangolo può essere trovata in sei modi, utilizzando i lati, l'altezza, gli angoli, il raggio del cerchio inscritto o circoscritto, nonché utilizzando la formula di Erone o calcolando l'integrale doppio lungo le linee che delimitano il piano. La formula più semplice per calcolare l'area di un triangolo è:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

Tuttavia, nella pratica non è sempre conveniente per noi trovare l'altezza di una figura geometrica. L'algoritmo del nostro calcolatore permette di calcolare l'area conoscendo:

• tre lati;
• due lati e l'angolo compreso tra loro;
• un lato e due angoli.

Per determinare l'area dei tre lati utilizziamo la formula di Erone:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

dove p è il semiperimetro del triangolo.

L'area su due lati e un angolo viene calcolata utilizzando la formula classica:

S = a × b × peccato(alfa),

dove alfa è l'angolo formato dai lati a e b.

Per determinare l'area in termini di un lato e due angoli, utilizziamo la relazione che:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Utilizzando una proporzione semplice, determiniamo la lunghezza del secondo lato, dopodiché calcoliamo l'area utilizzando la formula S = a × b × sin(alfa). Questo algoritmo è completamente automatizzato e devi solo inserire le variabili specificate e ottenere il risultato. Diamo un'occhiata a un paio di esempi.

Esempi dalla vita

Lastre per pavimentazione

Supponiamo che tu voglia pavimentare il pavimento con piastrelle triangolari e per determinare la quantità di materiale necessario, devi conoscere l'area di una piastrella e l'area del pavimento. Supponiamo di dover lavorare 6 metri quadrati di superficie utilizzando una piastrella le cui dimensioni sono a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Ovviamente, per calcolare l'area di un triangolo, la calcolatrice utilizza la formula di Erone e dà il risultato:

Pertanto, l'area di un elemento della piastrella sarà di 0,021 metri quadrati e per il miglioramento del pavimento saranno necessari 6/0,021 = 285 triangoli. I numeri 20, 21 e 29 formano una tripla pitagorica che soddisfa . Ed è vero, la nostra calcolatrice ha calcolato anche tutti gli angoli del triangolo e l'angolo gamma è esattamente di 90 gradi.

Compito scolastico

In un problema scolastico, devi trovare l'area di un triangolo, sapendo che il lato a = 5 cm e gli angoli alfa e beta sono rispettivamente di 30 e 50 gradi. Per risolvere questo problema manualmente, dovremmo prima trovare il valore del lato b utilizzando la proporzione tra le proporzioni e i seni degli angoli opposti, quindi determinare l'area utilizzando la semplice formula S = a × b × sin(alfa). Risparmiamo tempo, inseriamo i dati nel modulo della calcolatrice e otteniamo una risposta immediata

Quando si utilizza la calcolatrice è importante indicare correttamente gli angoli e i lati, altrimenti il ​​risultato sarà errato.

Conclusione

Il triangolo è una figura unica che si trova sia nella vita reale che nei calcoli astratti. Utilizza il nostro calcolatore online per determinare l'area dei triangoli di qualsiasi tipo.