Un cilindro è un corpo geometrico delimitato da due piani paralleli e una superficie cilindrica. Nell'articolo parleremo di come trovare l'area di un cilindro e, utilizzando la formula, risolveremo diversi problemi a titolo di esempio.
Un cilindro ha tre superfici: una superiore, una base e una superficie laterale.
La parte superiore e la base di un cilindro sono cerchi e sono facili da identificare.
È noto che l'area di un cerchio è uguale a πr 2. Pertanto, la formula per l'area di due cerchi (la parte superiore e la base del cilindro) sarà πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
La terza superficie laterale del cilindro è la parete curva del cilindro. Per immaginare meglio questa superficie, proviamo a trasformarla per ottenere una forma riconoscibile. Immagina che il cilindro sia un normale barattolo di latta senza coperchio né fondo. Facciamo un taglio verticale sulla parete laterale dall'alto alla base della lattina (Step 1 nella figura) e proviamo ad aprire (raddrizzare) il più possibile la figura risultante (Step 2).
Dopo che il barattolo risultante sarà completamente aperto, vedremo una figura familiare (passaggio 3), questo è un rettangolo. L'area di un rettangolo è facile da calcolare. Ma prima torniamo per un momento al cilindro originale. Il vertice del cilindro originale è un cerchio, e sappiamo che la circonferenza si calcola con la formula: L = 2πr. Nella figura è segnato in rosso.
Quando la parete laterale del cilindro è completamente aperta, vediamo che la circonferenza diventa la lunghezza del rettangolo risultante. I lati di questo rettangolo saranno la circonferenza (L = 2πr) e l'altezza del cilindro (h). L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati - S = lunghezza x larghezza = L x h = 2πr x h = 2πrh. Di conseguenza, abbiamo ricevuto una formula per calcolare l'area della superficie laterale del cilindro.
Formula per la superficie laterale di un cilindro
Lato S = 2πrh
Superficie totale di un cilindro
Infine, se sommiamo l'area di tutte e tre le superfici, otteniamo la formula per la superficie totale di un cilindro. L'area della superficie di un cilindro è uguale all'area della sommità del cilindro + l'area della base del cilindro + l'area della superficie laterale del cilindro oppure S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. A volte questa espressione è scritta identica alla formula 2πr (r + h).
Formula per la superficie totale di un cilindro
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raggio del cilindro, h – altezza del cilindro
Esempi di calcolo della superficie di un cilindro
Per comprendere le formule di cui sopra, proviamo a calcolare la superficie di un cilindro utilizzando degli esempi.
1. Il raggio della base del cilindro è 2, l'altezza è 3. Determina l'area della superficie laterale del cilindro.
La superficie totale si calcola utilizzando la formula: lato S. = 2πrh
Lato S = 2*3,14*2*3
Lato S = 6,28 * 6
Lato S = 37,68
La superficie laterale del cilindro è 37,68.
2. Come trovare la superficie di un cilindro se l'altezza è 4 e il raggio è 6?
La superficie totale si calcola con la formula: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.
La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:
Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).
I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.
La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:
Consideriamo i compiti:
I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.
La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:
*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.
Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:
Pertanto, la superficie della piramide è:
Risposta: 28224
I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.
La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.
La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:
Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:
Pertanto la superficie laterale è:
Risposta: 3240
*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.
27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.
Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:
L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.
La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):
*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.
La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):
Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:
Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:
Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:
Risposta: 96
27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.
27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.
Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:
P- perimetro della base, l- apotema della piramide
*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.
Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.Questo è tutto. Buona fortuna a te!
Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.
P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.
Tipici problemi geometrici nel piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinazione delle aree superficiali di diverse figure. In questo articolo presentiamo la formula per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.
Cos'è una piramide?
Diamo una definizione geometrica rigorosa di piramide. Supponiamo di avere un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non si troverà nel piano dell'n-gono specificato e colleghiamolo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura con un certo volume, chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura sotto come appare una piramide pentagonale.
I due elementi importanti di ogni piramide sono la base (n-gon) e il suo apice. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. La perpendicolare che scende dall'alto alla base si chiama altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), tale piramide viene chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, allora l'intera piramide si dice regolare. L'immagine qui sotto mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.
Superficie della piramide
Prima di passare alla questione della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, è opportuno soffermarsi più in dettaglio sul concetto di superficie stessa.
Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono i triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.
Conviene studiare una superficie utilizzando l'esempio dello sviluppo di una figura. Lo sviluppo di una piramide quadrangolare regolare è mostrato nelle figure seguenti.
Vediamo che la sua superficie è pari alla somma di quattro aree di triangoli isosceli identici e l'area di un quadrato.
L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati di una figura è solitamente chiamata area della superficie laterale. Successivamente mostreremo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.
Superficie laterale di una piramide regolare quadrangolare
Per calcolare la superficie laterale della figura indicata, torniamo nuovamente allo sviluppo di cui sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può vedere che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. Dal corso di geometria sappiamo che l'area S t di un triangolo è uguale al prodotto della base per l'altezza, che va divisa a metà. Questo è:
Dove h b è l'altezza di un triangolo isoscele disegnato con la base a. Per una piramide, questa altezza è un apotema. Resta ora da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S b della superficie laterale della piramide in questione:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultima è nota nella maggior parte delle condizioni problematiche, la prima deve essere calcolata conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h b per due casi:
- quando è nota la lunghezza della nervatura laterale;
- quando si conosce l'altezza della piramide.
Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h b è determinato dalla formula:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo della superficie laterale.
Se si conosce l'altezza h della piramide, l'apotema h b può essere calcolato come segue:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Non è difficile ottenere questa espressione anche se consideriamo un triangolo rettangolo interno alla piramide, formato dai cateti h e a/2 e dall'ipotenusa h b.
Ti mostreremo come applicare queste formule risolvendo due problemi interessanti.
Problema con l'area superficiale nota
È noto che l'area della superficie laterale del quadrangolare è di 108 cm 2. È necessario calcolare la lunghezza del suo apotema h b se l'altezza della piramide è di 7 cm.
Scriviamo la formula per l'area S b della superficie laterale in termini di altezza. Abbiamo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Qui abbiamo semplicemente sostituito la formula dell'apotema appropriata nell'espressione per S b. Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:
Sb2 = 4*a2 *h2 + a4.
Per trovare il valore di a, effettuiamo un cambio di variabili:
t2 + 4*h2 *t - Sb2 = 0.
Ora sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione quadratica:
t2 + 196*t - 11664 = 0.
Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno uguali a:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Per ottenere la lunghezza dell'apotema basta usare la formula:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Superficie laterale della piramide di Cheope
Determiniamo il valore della superficie laterale della più grande piramide egizia. È noto che alla sua base si trova un quadrato con il lato lungo 230,363 metri. L'altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituiamo questi numeri nella formula corrispondente per S b, otteniamo:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.
Il valore riscontrato è leggermente più grande dell’area di 17 campi da calcio.
Piramide- una delle varietà di poliedro formato da poligoni e triangoli che si trovano alla base e ne sono le facce.
Inoltre, al vertice della piramide (cioè in un punto) tutte le facce sono unite.
Per calcolare l'area di una piramide, vale la pena determinare che la sua superficie laterale è composta da diversi triangoli. E possiamo facilmente trovare le loro aree utilizzando
varie formule. A seconda dei dati che conosciamo sui triangoli, cerchiamo la loro area.
Elenchiamo alcune formule che possono essere utilizzate per trovare l'area dei triangoli:
- S = (a*h)/2 . In questo caso conosciamo l'altezza del triangolo H , che è abbassato di lato UN .
- S = a*b*sinβ . Ecco i lati del triangolo UN , B , e l'angolo tra loro è β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Ecco i lati del triangolo a, b, c . Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo è R .
- S = (a*b*c)/4*R . Il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo è R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Questa formula dovrebbe essere applicata solo quando il triangolo è rettangolo.
- S = (a²*√3)/4 . Applichiamo questa formula a un triangolo equilatero.
Solo dopo aver calcolato le aree di tutti i triangoli che costituiscono le facce della nostra piramide, possiamo calcolare l'area della sua superficie laterale. Per fare ciò, utilizzeremo le formule sopra.
Per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide non sorgono difficoltà: è necessario scoprire la somma delle aree di tutti i triangoli. Esprimiamolo con la formula:
Sp = ΣSi
Qui Sì è l'area del primo triangolo e S N - area della superficie laterale della piramide.
Diamo un'occhiata a un esempio. Data una piramide regolare, le sue facce laterali sono formate da più triangoli equilateri,
« La geometria è lo strumento più potente per affinare le nostre capacità mentali».
Galileo Galilei.
e il quadrato è la base della piramide. Inoltre, il bordo della piramide ha una lunghezza di 17 cm. Troviamo l'area della superficie laterale di questa piramide.
Ragioniamo così: sappiamo che le facce della piramide sono triangoli, sono equilateri. Sappiamo anche qual è la lunghezza del bordo di questa piramide. Ne consegue che tutti i triangoli hanno i lati uguali e la loro lunghezza è 17 cm.
Per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, puoi utilizzare la seguente formula:
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²
Quindi, poiché sappiamo che alla base della piramide si trova un quadrato, risulta che abbiamo quattro triangoli equilateri. Ciò significa che la superficie laterale della piramide può essere facilmente calcolata utilizzando la seguente formula: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²
La nostra risposta è la seguente: 500.548 cm² - questa è l'area della superficie laterale di questa piramide.
Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.
Come trovare l'area della base della piramide?
Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.
Triangolo regolare
Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Piazza
La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:
N-gon regolare arbitrario
Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?
Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.
L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:
S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.
Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:
S = n/2 * in 2 sin α .
Compito n. 1
Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.
Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Risposta. 10√3 cm2.
Problema n.2
Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.
Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.
I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.
Risulta: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.
Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.
Problema n.3
Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.
Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.
Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.
L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Risposta. 96 cm2.
Problema n.4
Condizione. Viene indicato il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è la superficie laterale di questo poliedro?
Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.
Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli con la formula di Erone, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.
Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.
Risposta. La base è 726√3 cm 2, la superficie laterale è 3960 cm 2, l'area totale è 5217 cm 2.