Il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento. Valore massimo e minimo di una funzione

1. Trova il dominio di definizione della funzione e controlla se contiene l'intero segmento.

2. Determina tutti i punti stazionari che rientrano nel segmento. Per fare ciò, troviamo la derivata della funzione, uguagliamola a zero, risolviamo l'equazione risultante e selezioniamo le radici adatte.

3. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi rientra nel segmento, passa al punto successivo.

4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nonché in x = aex = b.

5. Dai valori della funzione ottenuti, seleziona il più grande e il più piccolo: saranno quelli che stiamo cercando.

10) Condizione sufficiente per la convessità (concavità). Se la derivata seconda di una funzione due volte differenziabile è positiva (negativa) su un insieme X, allora la funzione è convessa verso il basso (verso l'alto) su questo insieme.

11) Condizione necessaria per i punti di flesso. La derivata seconda f""(x) di una funzione differenziabile due volte in modo continuo nel punto di flesso x0 è uguale a zero, cioè f""(x0) = 0.

12) Condizione sufficiente per i punti di flesso. Se la derivata seconda di una funzione due volte differenziabile cambia segno quando passa per il punto x0 in cui f""(x0) = 0, allora x0 è il punto di flesso del suo grafico.

6.Calcolo differenziale di funzioni di più variabili.

Derivate parziali di funzioni z = F(x,y) sono chiamati limiti del rapporto tra gli incrementi della funzione z = z(x,y) all'incremento dell'argomento corrispondente in direzioni OH O OH A ∆x → 0 E Δу → 0 rispettivamente:

Derivata parziale rispetto a x:

Durante il calcolo, considerare y = cost.

Derivata parziale rispetto a y:

Nel calcolo, considerare x = cost.

Viene chiamato l'insieme G di tutte le coppie di valori degli argomenti di una data funzione di due variabili dominio di definizione di questa funzione.

Viene chiamata la funzione z = f(x,y). continuo nel punto M0(x0,y0), se è definito in questo punto e nel suo intorno e soddisfa

Viene chiamato il numero A limite della funzione z = f(x,y) nel punto M0(x0,y0):

Viene chiamata la parte lineare (relativa a delta x e delta ig) dell'incremento totale della funzione differenziale completo ed è indicato con dz:

dove deix e deigric sono differenziali di variabili indipendenti, che, per definizione, sono uguali agli incrementi corrispondenti

Punto (x0; y0) chiamato punto funzione massima z = f(x; y) (x0; y0) Per

= <δ f(x; y)≤ f(x0; y0).

Punto (x0; y0) chiamato punto funzione minima z = f(x; y) , se ovunque nelle vicinanze del punto (x0; y0) Per

= <δ f(x; y) ≥ f(x0; y0).

Sia una superficie data dall'equazione . Il piano in cui si trovano tutte le linee tangenti alle linee sulla superficie che passano per un dato punto , chiamato piano tangente alla superficie nel punto M0.

Una linea retta tracciata attraverso un punto superfici , si chiama perpendicolare al piano tangente normale alla superficie.

Se la superficie è data dall'equazione , quindi l'equazione del piano tangente a questa superficie nel punto è scritta nella forma: , e l'equazione della normale alla superficie nello stesso punto è nella forma:

Condizioni necessarie per la differenziabilità: se una funzione f è differenziabile in un punto x0, allora ha derivate parziali rispetto a tutte le variabili se una funzione f è differenziabile in un punto x0, allora è continua in questo punto.

Condizioni sufficienti per la differenziabilità: Sia definita la funzione f() in qualche intorno del punto x0. Sia una funzione in questo intorno ad avere derivate parziali continue rispetto a tutte le variabili, allora la funzione f è differenziabile a questo punto.

Prerequisiti esistenza di un estremo : o almeno una derivata parziale non esiste.

Condizioni sufficienti esistenza di un estremo funzioni di due variabili:Se > 0

quindi per a) > 0 la funzione ha un minimo ( min)

IN) < 0 la funzione ha un massimo ( massimo)

Se<0 Quello nessun estremo.

Se= 0, è necessaria un'ulteriore ricerca utilizzando derivati ​​di ordine superiore.

Numeri complessi

Definizioni:

1) Numero complesso- espansione dell'insieme dei numeri reali, solitamente indicati con . Qualsiasi numero complesso può essere rappresentato come una somma formale, dove e sono numeri reali ed è l'unità immaginaria.

2) Si dice che si scrive un numero complesso nella forma , forma algebrica numero complesso.

3) Si chiama l'angolo (in radianti) del raggio vettore del punto corrispondente al numero discussione numeri ed è indicato con .

4) Modulo di un numero complesso è la lunghezza del raggio vettore del punto corrispondente del piano complesso (o, che è lo stesso, la distanza tra il punto del piano complesso corrispondente a questo numero e l'origine delle coordinate).

Il modulo di un numero complesso è denotato e definito dall'espressione . Spesso indicato dalle lettere o . Se è un numero reale, coincide con il valore assoluto di questo numero reale.

5) Se è un numero complesso, viene chiamato il numero coniugare(o complesso coniugato) a (indicato anche con ). Sul piano complesso, i numeri coniugati si ottengono come immagini speculari l'uno dell'altro rispetto all'asse reale. Il modulo del numero coniugato è lo stesso dell'originale e i loro argomenti differiscono nel segno.

6) Se le parti reale e immaginaria di un numero complesso sono espresse tramite il modulo e l'argomento ( , ), allora qualsiasi numero complesso tranne zero può essere scritto in forme trigonometriche e

7) Definizione prodotti di numeri complessiè stabilito in modo tale che i numeri a + b·i e a′ + b′·i possano essere moltiplicati come binomi algebrici, e che il numero i abbia la proprietà i 2 =−1.

8) Sia un numero naturale arbitrario . Radice ennesima di un numero complesso z è un numero complesso tale che .

9) Forma esponenziale di scrittura dei numeri complessi

Dov'è l'espansione dell'esponenziale nel caso di un esponente complesso.

Proprietà e teoremi:

1) Il prodotto di due numeri complessi in forma algebricaè un numero complesso il cui modulo è uguale al prodotto dei moduli dei fattori e il cui argomento è uguale alla somma degli argomenti dei fattori.

2) Per moltiplicare due numeri complessi in forma trigonometrica i record devono essere moltiplicati per i loro moduli e gli argomenti aggiunti. Sia , dove e , dove sono due numeri complessi arbitrari scritti in forma trigonometrica. Poi .

3) La formula di Moivre per i numeri complessi afferma che per any

4) Per dividere un numero complesso (UN 1 + B 1 io) a un altro numero complesso ( UN 2 + B 2 io), cioè trovare , devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per il numero coniugato al denominatore.

5)

8.Calcolo integrale di funzioni di una variabile.

1) Antiderivativo

Una funzione F(x) che è differenziabile su un certo intervallo (a,b) si dice antiderivativa della funzione f(x) su tale intervallo se per ogni x (a,b) l'uguaglianza è vera

2) Integrale indefinito

Se F(x) è antiderivativa per la funzione f(x) su un certo intervallo, allora l'espressione F(x)+C è chiamata integrale indefinito della funzione f(x) e si denota

3) Integrale definito

Per integrale definito di una data funzione f(x) su un dato segmento intendiamo il corrispondente incremento della sua antiderivativa, cioè

4) Integrale improprio di una funzione discontinua

Sia la funzione f(x) continua a ≤x≤b e abbia un punto di discontinuità in x=b. Quindi il corrispondente integrale improprio della funzione discontinua è determinato dalla formula

e si dice convergente o divergente a seconda che esista o non esista il limite a destra dell'uguaglianza

5) Integrale improprio con intervallo di integrazione infinito

Sia la funzione f(x) continua per a≤x≤b+∞. Quindi per definizione

Se il limite esiste, allora l'integrale a sinistra dell'uguaglianza si chiama convergente e il suo valore è determinato dalla formula; altrimenti l'uguaglianza perde di significato, l'integrale di sinistra si dice divergente e non gli viene assegnato alcun valore numerico

Proprietà e teoremi

6) Formula per l'integrazione per parti nell'integrale indefinito

7) Formulare le regole per l'integrazione delle funzioni frazionarie-razionali

1. Dividi il numeratore per il denominatore

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. Espandiamo la frazione nella somma di frazioni semplici; ; ; ;

L'integrale delle frazioni di tipo 1 e 2 viene calcolato introducendo la funzione sotto il segno del differenziale, 3 e 4, per prima cosa viene selezionato un quadrato completo al denominatore.

8) Formulare la regola per integrare le funzioni trigonometriche

9) Formulare le proprietà di un integrale definito

1. Il valore dell'integrale definito non dipende dalla designazione della variabile di integrazione, ad es.

2. L'integrale definito con gli stessi limiti è uguale a zero

3. Quando si riorganizzano i limiti dell'integrazione, l'integrale definito cambia segno in quello opposto

4. Se l'intervallo di integrazione è diviso in un numero finito di intervalli parziali, allora l'integrale definito preso sull'intervallo è uguale alla somma degli integrali definiti presi su tutti i suoi intervalli parziali

5. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale definito

6. L'integrale definito di una somma algebrica di un numero finito di funzioni continue è uguale alla stessa somma algebrica degli integrali definiti di queste funzioni

10) Formula di Newton-Leibniz

Se f è continua su un intervallo e F è una sua antiderivativa su questo intervallo, allora vale l'uguaglianza

11) Formula per l'integrazione per parti in un integrale definito

Per brevità usiamo la notazione

2) Formulare le proprietà dell'integrale indefinito

1. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando e la derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando

2. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione continuamente differenziabile è uguale a questa stessa funzione fino a un termine costante

3. Dal segno dell'integrale indefinito si può togliere un fattore costante diverso da zero

4. L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni continue è uguale alla stessa somma algebrica degli integrali indefiniti di queste funzioni

5) Cambio di variabile nell'integrale indefinito

Supponiamo di dover trovare l'integrale. Introduciamo una nuova variabile t, ponendo x= (t), dove (t) è una funzione continua con derivata continua, che ha una funzione inversa t=Ψ(t). Quindi, a destra dopo l'integrazione, si dovrebbe fare la sostituzione t=Ψ(x)

3) Tavola degli integrali

Logaritmi

Funzioni esponenziali

Funzioni irrazionali

Funzioni trigonometriche

12) Cambio di variabile in un integrale definito

La funzione f(x) è continua sull'intervallo, la funzione x= (t) ha derivata continua sull'intervallo [, con a≤ (t)≤b e =a, =b

13) Calcolo dell'area di una figura piana

Sia la funzione f(x) continua nell'intervallo. Se f(x)≥0 su , allora l'area del trapezio curvilineo delimitata dalle linee y=f(x), y=0, x=a, x=b, sarà espressa utilizzando l'integrale:

Se f(x)≤0 su , allora –f(x)≥0 su . Pertanto, l'area S del corrispondente trapezio curvilineo si trova dalla formula

In coordinate polari

Da un punto di vista pratico, l'interesse maggiore è utilizzare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione. A cosa è collegato questo? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle attrezzature... In altre parole, in molti ambiti della vita dobbiamo risolvere problemi di ottimizzazione di alcuni parametri. E questi sono i compiti di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Va notato che i valori più grandi e più piccoli di una funzione vengono solitamente ricercati su un certo intervallo X, che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio di definizione. L'intervallo X stesso può essere un segmento, un intervallo aperto , un intervallo infinito.

In questo articolo parleremo di come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione definita esplicitamente di una variabile y=f(x) .

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Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni.

Vediamo brevemente le principali definizioni.

Il valore più grande della funzione quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è chiamato tale valore quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (più piccolo) di una funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato sull'intervallo considerato nell'ascissa.

Punti stazionari– questi sono i valori dell’argomento ai quali la derivata della funzione diventa zero.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Da questo teorema segue che se una funzione differenziabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) in un punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione spesso assume il suo valore più grande (più piccolo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i suoi valori più grandi e più piccoli nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più comuni su questo argomento: “È sempre possibile determinare il valore più grande (più piccolo) di una funzione”? No, non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio di definizione della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla sul valore più grande e su quello più piccolo della funzione.

Per chiarezza forniremo un'illustrazione grafica. Guarda le immagini e tutto ti sarà più chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno del segmento [-6;6].

Consideriamo il caso rappresentato nella seconda figura. Cambiamo il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione si ottiene in un punto stazionario e il più grande nel punto in cui l'ascissa corrisponde al limite destro dell'intervallo.

Nella Figura 3, i punti di confine del segmento [-3;2] sono le ascisse dei punti corrispondenti al valore più grande e più piccolo della funzione.

Su un intervallo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Nell'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio presentato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y) in un punto stazionario con ascissa x=1, e il valore più piccolo (min y) viene raggiunto sul limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3.

Nell'intervallo la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Quando x=2 si avvicina da destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la linea x=2 è un asintoto verticale), e quando l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3. Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento.

Scriviamo un algoritmo che ci permetta di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

1. Troviamo il dominio di definizione della funzione e controlliamo se contiene l'intero segmento.
2. Troviamo tutti i punti in cui non esiste la derivata prima e che sono contenuti nel segmento (solitamente tali punti si trovano nelle funzioni con argomento sotto il segno modulo e nelle funzioni potenza con esponente frazionario-razionale). Se non ci sono tali punti, passa al punto successivo.
3. Determiniamo tutti i punti stazionari che rientrano nel segmento. Per fare ciò, lo equiparamo a zero, risolviamo l'equazione risultante e selezioniamo le radici adatte. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi rientra nel segmento, passa al punto successivo.
4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), nonché in x=a e x=b.
5. Dai valori ottenuti della funzione, selezioniamo il più grande e il più piccolo: saranno rispettivamente i valori più grande e più piccolo richiesti della funzione.

Analizziamo l'algoritmo per risolvere un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sul segmento [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione dello zero. Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Trovare la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1].

Determiniamo i punti stazionari dall'equazione. L'unica radice reale è x=2. Questo punto stazionario rientra nel primo segmento.

Per il primo caso calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento e nel punto stazionario, cioè per x=1, x=2 e x=4:

Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene con x=1 e il valore più piccolo – in x=2.

Per il secondo caso calcoliamo i valori della funzione solo agli estremi del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

Funzioni con logaritmi (valore massimo e minimo). Questo articolo si concentrerà sui problemi relativi alla ricerca dei valori più grandi e più piccoli di una funzione. C'è un gruppo di problemi inclusi nell'esame di stato unificato: questi sono problemi con i logaritmi. I compiti legati alle funzioni di ricerca sono molteplici. Oltre alle funzioni logaritmiche, possono esserci: funzioni con funzioni trigonometriche, funzioni frazionarie e altre.

In ogni caso, consiglio ancora una volta di rivedere la teoria esposta nell'articolo ““. Se comprendi questo materiale e hai una buona abilità nella ricerca di derivati, puoi risolvere qualsiasi problema in questo argomento senza difficoltà.

Lascia che ti ricordi l'algoritmo per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un dato segmento:

1. Calcola la derivata.

2. Lo equiparamo a zero e risolviamo l'equazione.

3. Determina se le radici risultanti (zeri della derivata) appartengono a questo segmento. Contrassegniamo quelli che appartengono.

4. Calcoliamo i valori della funzione ai confini del segmento e nei punti (ottenuti nel paragrafo precedente) appartenenti a questo segmento.

Consideriamo i compiti:

Trova il valore più piccolo della funzione y=5x–ln (x+5) 5 sul segmento [–4.5;0].

È necessario calcolare il valore della funzione alle estremità dell'intervallo e nei punti estremi, se ce ne sono su questo intervallo, e selezionare il più piccolo di essi.

Calcoliamo la derivata, la uguagliamo a zero e risolviamo l'equazione.

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata su un dato segmento:

*Una frazione è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero.

Il punto x= – 4 appartiene all'intervallo dato.

Calcoliamo quindi il valore della funzione nei punti: – 4.5; – 4; 0.

I valori con logaritmi che abbiamo ottenuto possono essere calcolati (o analizzati). E vedrai che il valore più piccolo della funzione su questo segmento è “- 20”.

Ma non è necessario calcolarli. Perché? Sappiamo che la risposta deve essere un numero intero o una frazione decimale finita (questa è la condizione dell'Esame di Stato Unificato nella Parte B). Ma i valori con logaritmi: – 22,5 – ln 0,5 5 e – ln3125 non daranno una risposta del genere.

x=–4 la funzione acquisisce un valore minimo, è possibile determinare i segni della derivata su intervalli da (– 5: – 4) e (– 4; + ∞ ).

Ora informazioni per coloro che non hanno difficoltà con i derivati ​​e informazioni su come risolvere tali problemi. Come puoi fare a meno del calcolo della derivata e senza calcoli inutili?

Quindi, se teniamo conto che la risposta deve essere un intero, ovvero una frazione decimale finita, allora possiamo ottenere tale valore solo quando x è un intero, ovvero un intero con frazione decimale finita, e sotto il segno della logaritmo tra parentesi abbiamo l'unità o il numero e. Altrimenti non saremo in grado di ottenere il valore concordato. E questo è possibile solo per x = – 4.

Ciò significa che a questo punto il valore della funzione sarà il più piccolo, calcoliamolo:

Risposta: – 20

Decidi tu stesso:

Trova il valore più piccolo della funzione y=3x– ln (x+3) 3 sul segmento [–2.5;0].

Trova il valore massimo della funzione y=ln (x+5) 5 – 5x sul segmento [–4.5;0].

Trova il valore massimo della funzione y=x 2 –13x+11∙lnx+12 sul segmento.

Per trovare il valore più piccolo di una funzione su un intervallo, è necessario calcolare il valore della funzione ai suoi estremi e nei punti estremi, se presenti, su questo intervallo.

Calcoliamo la derivata, uguagliamola a zero e risolviamo l'equazione risultante:

Risolvendo l'equazione quadratica, otteniamo

Il punto x = 1 appartiene ad un dato intervallo.

Il punto x = 22/4 non gli appartiene.

Pertanto, calcoliamo il valore della funzione nei punti:

Sappiamo che la risposta è un numero intero o una frazione decimale finita, il che significa che il valore più grande della funzione è 0. Nel primo e nel terzo caso non otterremo un tale valore, poiché il logaritmo naturale di queste frazioni non lo farà dare un risultato del genere.

Inoltre, assicurati che al puntox = 1 la funzione acquisisce il suo valore massimo, è possibile determinare i segni della derivata su intervalli da (0:1) e (1; + ∞ ).

Come risolvere questo tipo di problema senza calcolare la derivata?

Se teniamo conto che la risposta deve essere un intero o una frazione decimale finita, allora questa condizione è assicurata solo quando x è un intero o un intero con frazione decimale finita e allo stesso tempo abbiamo un'unità o il numero e sotto il segno del logaritmo.

Ciò è possibile solo quando x = 1.

Ciò significa che nel punto x = 1 (o 14/14) il valore della funzione sarà maggiore, calcoliamolo:

Risposta: 0

Decidi tu stesso:

Trova il valore massimo della funzione y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 sul segmento.

Noto che il metodo per risolvere tali compiti senza trovare derivati ​​può essere utilizzato solo per risparmiare tempo nel calcolo del compito sull'Esame di Stato Unificato stesso. E solo se capisci perfettamente come risolvere tali problemi trovando la derivata (usando un algoritmo) e sei bravo a farlo. Non c'è dubbio che quando si risolve senza derivata, è necessario avere una certa esperienza in analisi.

Esistono molte tecniche “complicate” che a volte aiutano in compiti specifici ed è impossibile ricordarle tutte. È importante comprendere i principi della soluzione e le proprietà. Se riponi le tue speranze su qualche tecnica, potrebbe semplicemente non funzionare per un semplice motivo: semplicemente lo dimenticherai o otterrai un tipo di compito sull'Esame di Stato Unificato che vedi per la prima volta.

Continueremo a considerare le attività in questa sezione, da non perdere!

Questo è tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

Il valore della funzione nel punto max è massimo solo in un certo intorno di questo punto e non è necessariamente così. il valore più grande nell’intero campo di definizione della funzione. Lo stesso si può dire del minimo. In questo caso, sono spesso chiamati massimi e minimi locali (locali) in contrasto con quelli assoluti, ad es. - il valore più grande e quello più piccolo. in tutta la regione di definizione. Se la funzione f(x) è data su а,в ed è continua su di esso, allora su di esso raggiunge in alcuni punti i suoi valori massimo e minimo. Come trovarli? Se ci sono diversi massimi su a,b, allora max. il valore all'interno (se raggiunto) corrisponde a uno di essi. Allo stesso tempo, la funzione può raggiungere il suo valore massimo per tutti a,b ad una delle estremità.

Regola..

È necessario confrontare tutti i valori minimi e limite f(a) e f(b). Il valore più piccolo sarà il valore più piccolo della funzione su a,b.

Di solito lo fanno quando trovano di più. e nome valori più semplici:

Trova tutti i punti critici all'interno del segmento a,b, calcola i valori della funzione in essi (senza determinare se hanno un estremo), 2) calcola il valore della funzione agli estremi f(a) e f (b), 3) confrontare i valori ottenuti tra is: il valore più piccolo di questi valori sarà il valore più piccolo della funzione, il più grande sarà il più grande su a,b.

Esempio:

Naiti naib. e il valore più piccolo della funzione y=na-1.2,

1. cercando punti critici a (-1,2).
U"= =0, 2x+2x 3 -2x 3 =0, 2x=0,

=0. Non ce ne sono altri.

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

f(0)=0, il valore più piccolo, f(2)=4/5.- il valore più grande max, allora questo è il valore più grande della funzione su а,в, se è min, allora questo è il valore più piccolo su а,в. Ciò è importante nei casi in cui l'espressione della funzione include espressioni letterali e risulta più semplice esaminare l'estremo piuttosto che confrontare i valori alle estremità.

È importante notare che tutto quanto detto riguardo la ricerca dei valori massimo e minimo vale sia per (a, b) che per l'intervallo infinito , solo che in questo caso i valori​​a le estremità non vengono prese in considerazione.

§4. Direzione della concavità della curva e punto di flesso

Sia la funzione y=f(x) im. incl. derivata finale. Poi glielo disse. a questo punto la tangente la cui equazione è y- =f "( )(X- ) o y=f( )+(x- )
.

In qualche quartiere ( -Il grafico della funzione può essere posizionato in diversi modi: sopra la tangente, o sotto, o su entrambi i lati.

Definizione.

Dicono che in t.M( ,) la curva y=f(x) è concava verso il basso o semplicemente concava (concava verso l'alto o convessa), se per tutti x da qualche intorno ( - punti tutti i punti della curva si trovano sopra la tangente (sotto la tangente).

Se in T.M la curva passa da un lato all'altro della tangente, allora si chiama T.M. punto di flesso della curva.

In t. M1 - la curva è concava, M2 è convessa, M3 è un'inflessione.

Nel punto di flesso la curva cambia da convessa a concava o viceversa. Il punto di flesso è il confine tra le sezioni convessa e concava della curva.

La definizione di punto di flesso resta valida nel caso in cui la tangente alla curva y = f (x) sia perpendicolare. assi oh, quelli in t. derivativof "( )=, ecc. non sì. punto cuspide della curva. A differenza dei casi (indicati nel disegno),

xx

dove t. e x non sono punti di flesso.

Troviamo le condizioni in cui essi. un luogo con una certa direzione di concavità o flessione di una curva. y=f(x) in un t.x= arbitrario .

Consideriamo, ad esempio, una curva in t.M( ,) convesso. Quindi si trova in qualche quartiere ( - di questo punto è al di sotto della tangente y=f( )+f "( )(X- ). Consideriamo la funzione ausiliaria(x)= f(x)-f( )-F "( )(X- ). incl. ()=0, nel quartiere  t.
. Ne consegue che al punto funzione
hasmax. Quindi al punto ""(). Ma ""( )=f ""(x) e quindi incl. F ""( ).

Pertanto, affinché la curva y=f(x) sia convessa in t.x0 è necessario che f ""( ). Se in t.x0 f ""( ), quindi incl. -max e la curva è quindi convessa. Condizione f ""( .

) sufficiente per convessità incl. Ragionando in modo del tutto simile, otteniamo che la condizione f ""( ) necessaria per la concavità a t.x0, e la condizione f ""(

) sufficiente per la concavità.

Conclusione: se in t. la derivata seconda è positivaf ""( la derivata seconda è negativaf ""( ), allora la curva è convessa in questo punto.

È conveniente la regola della “tazza”:

Nei punti di flesso non c'è concavità o convessità definita, e quindi possono trovarsi solo nei punti dove f ""( )=0. Ma la condizione f ""( ) non garantisce ancora esattamente questo - punto di flesso. Ad esempio, per le curve y=x 4 e y=-x 4, incl. F ""( )=0, ma in esso la prima curva è concava, la seconda è convessa.

) sufficiente per la concavità. condizione f ""( )=0 sì. una condizione necessaria per l'esistenza di un'inflessione, incluso . Ma, come abbiamo visto, possono esserci flessioni in cui la derivata seconda f""(

)= il limo non esiste affatto. Una condizione sufficiente per l'inflessione della curva, incl. sì. cambio di segno della derivata seconda f ""( ) quando si passa attraverso t. . Inoltre, se la derivata 2a cambia passando per t. segno da + a -, quindi incl. piegarsi con un cambiamento da concavità a convessità, Iff ""( ) cambia segno da - a + quando passa per t. , quindi incl.

piegare con un cambiamento da convessità a concavità.. Definizione

. Se una curva è concava (convessa) in ogni punto di un certo intervallo, allora viene chiamata. concavo (convesso) su questo intervallo.

Lo studio della funzione y=f(x) per convessità, concavità e punti di flesso viene effettuato secondo il seguente schema:

1. Trova tutti i punti sospetti di flesso, per i quali:

a) trova la derivata seconda, uguagliala a zero e trova le radici reali dell'equazione risultante,

b) trovare punti in cui la derivata finita f ""(x) non esiste,

2. Esaminare f ""(x) per un cambiamento di segno quando si passa attraverso ogni punto sospetto di flessione. Se il segno cambia, c'è un'inflessione; altrimenti, non c'è.

Definizione.

Per quei punti dove f ""(x0)  la curva è concava, dove invece è convessa. Proprio come nel caso degli estremi, se c'è un numero finito di punti sospetti di flessione, utilizzare il metodo dell'intervallo.

Se una curva è convessa (concava) in ogni punto di un certo intervallo, si chiama. convesso (concavo) su questo intervallo.

Esempio

Esamina la sporgenza, la concavità, cioè l'inflessione della funzione y=x 4 -6x 2 +5. Regione def. X=.

1. trovare y"=4x 3 -12x, y""=12x 2 -12=12(x 2 -1), y""=0, x 2 -1=0, x 1.2 =-t . sospetto per piegare, nessun altro.

L'intera regione def. è diviso in intervalli (--1), (-1,1), (1, , in ciascuno di essi f""(x) ha segno costante, perché in essi è continuo. È facile vedere, che in (--1) +, in (-1,1) -, e in (1,  +. Da qui è chiaro che nei punti -1 e 1 c'è un'inflessione , e in ( -1) il grafico della funzione è concavo, in (-1,1) è convesso, in (1,  è concavo. Con questo servizio puoi una variabile f(x) con la soluzione formattata in Word. Se è data la funzione f(x,y), occorre quindi trovare l'estremo della funzione a due variabili. Puoi anche trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

y =

sul segmento [ ;]

Includere la teoria

Regole per l'immissione delle funzioni:

Condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile

L'equazione f" 0 (x *) = 0 è una condizione necessaria per l'estremo di una funzione di una variabile, cioè nel punto x * la derivata prima della funzione deve annullarsi. Individua i punti stazionari x c in cui la funzione non aumentare o diminuire.

Condizione sufficiente per l'estremo di una funzione di una variabile

Sia f 0 (x) due volte differenziabile rispetto a x appartenente all'insieme D. Se al punto x* la condizione è soddisfatta:

F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Allora il punto x * è il punto minimo locale (globale) della funzione.

Se al punto x* la condizione è soddisfatta:

F"0(x*) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Allora il punto x * è un massimo locale (globale).

Esempio n. 1. Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione: sul segmento.
Soluzione.

Il punto critico è uno x 1 = 2 (f’(x)=0). Questo punto appartiene al segmento. (Il punto x=0 non è critico, poiché 0∉).
Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento e nel punto critico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Risposta: f min = 5 / 2 in x=2; fmax =9 in x=1

Esempio n.2. Utilizzando le derivate di ordine superiore, trova l'estremo della funzione y=x-2sin(x) .
Soluzione.
Trova la derivata della funzione: y’=1-2cos(x) . Troviamo i punti critici: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Troviamo y’’=2sin(x), calcola , che significa x= π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di minimo della funzione; , che significa che x=- π / 3 +2πk, k∈Z sono i punti di massimo della funzione.

Esempio n.3. Studiare la funzione estremo in prossimità del punto x=0.
Soluzione. Qui è necessario trovare gli estremi della funzione. Se l'estremo x=0, scoprine il tipo (minimo o massimo). Se tra i punti trovati non c'è x = 0, allora calcola il valore della funzione f(x=0).
È da notare che quando la derivata da ciascun lato di un dato punto non cambia segno, le situazioni possibili non sono esaurite anche per funzioni differenziabili: può accadere che per un intorno arbitrariamente piccolo da un lato del punto x 0 oppure da entrambi i lati la derivata cambia segno. A questi punti è necessario utilizzare altri metodi per studiare le funzioni estreme.