Determinare la strategia ottimale per l'utilizzo dell'attrezzatura per un periodo di tempo duraturo T anni e profitto per ogni io anni, io= dall'età di utilizzo dell'attrezzatura T gli anni dovrebbero essere massimi.
Conosciuto
R(T) – ricavi derivanti dalla vendita di prodotti realizzati ogni anno utilizzando attrezzature secolari T anni;
l(T) – costi annuali a seconda dell'età dell'attrezzatura T;
Con(T) – valore residuo delle attrezzature vetuste T anni;
R - costo delle nuove attrezzature.
L'età dell'apparecchiatura si riferisce al periodo di funzionamento dell'apparecchiatura dopo l'ultima sostituzione, espresso in anni.
Usiamo le fasi precedenti per compilare un modello matematico del problema.
1. Determinazione del numero di passaggi. Il numero di passaggi è pari al numero di anni di utilizzo dell'attrezzatura.
2. Determinazione degli stati del sistema. Lo stato dell'impianto è caratterizzato dall'età dell'apparecchiatura T, t= .
3. Definizione di equazioni. All'inizio io-esimo passo io= è possibile selezionare uno dei due controlli: sostituire o non sostituire l'attrezzatura. Ad ogni opzione di controllo viene assegnato un numero
4. Definizione della funzione di payoff su io-esimo passo. Funzione Win attiva io l'esimo passo è il profitto derivante dall'utilizzo dell'attrezzatura finale io- anno di attività, t= , io= . Pertanto, se l'attrezzatura non viene venduta, il profitto derivante dal suo utilizzo è la differenza tra il costo di produzione e i costi operativi. In caso di sostituzione dell'attrezzatura, il profitto è la differenza tra il valore residuo dell'attrezzatura e il costo della nuova attrezzatura, a cui si aggiunge la differenza tra il costo di produzione e i costi operativi per le nuove attrezzature, la cui età all'inizio io L'esimo passo è 0 anni.
5. Definizione della funzione di cambiamento di stato
(9.7)
Quindi, se l'attrezzatura non cambia x io=0, l'età dell'apparecchiatura aumenta di un anno T+1 se cambia l'equipaggiamento x io=1, l'attrezzatura avrà un anno.
6. Elaborazione di un'equazione funzionale per io=T
La riga superiore dell'equazione funzionale corrisponde alla situazione in cui L'anno scorso l'attrezzatura non cambia e la società riceve un guadagno pari all'importo della differenza tra i ricavi R(T) e costi annuali l(T).
7. Elaborazione dell'equazione funzionale di base
Dove W i(T T anni da allora io-esimo passo (dalla fine io IV anno) fino alla fine dell'esercizio;
W io + 1 (T) – trarre profitto dall'uso di attrezzature antiquate t+ 1 anno da ( io+1)esimo passaggio fino alla fine del periodo di funzionamento.
È stato costruito un modello matematico del problema.
Esempio
T=12, p= 10, Con(T)=0, R(T) – l(T)=φ (T).
Valori φ (T) sono riportati nella tabella 9.1.
Tabella 9.1.
| T | |||||||||||||
| φ (T) |
Per questo esempio, le equazioni funzionali saranno simili
Vediamo come compilare la tabella per diversi passaggi.
L'ottimizzazione condizionale inizia dall'ultimo dodicesimo passaggio. Per io=vengono considerati 12 possibili stati del sistema t= 0, 1, 2, …, 12. L'equazione funzionale al 12° passo ha la forma
1) t= 0 
X 12 (0)=0.
2) t= 1 
X 12 (1)=0.
10) t= 9 
X 12 (9)=0.
11) t= 10 
X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.
13) t= 12 
X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.
Pertanto, al 12° passaggio, le apparecchiature di età compresa tra 0 e 9 anni non necessitano di essere sostituite. Le attrezzature di età compresa tra 10 e 12 anni possono essere sostituite o continuare ad essere utilizzate, poiché per t= 10, 11, 12 ci sono due controlli di ottimizzazione condizionale 1 e 0.
In base ai risultati del calcolo vengono compilate due colonne della Tabella 9.2, corrispondenti io= 12.
Ottimizzazione condizionale dell'11° passaggio.
Per io=11 vengono considerati tutti i possibili stati del sistema T=0, 1, 2, …, 12. L'equazione funzionale all'undicesimo passo ha la forma
1) t= 0 X 11 (0)=0.
2) t= 1 X 11 (1)=0.
6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.
7) t= 6 X 11 (6)=1.
13) t= 12 X 11 (12)=1.
Pertanto, al punto 11, non è necessario sostituire apparecchiature vecchie di 0 – 4 anni. Per le apparecchiature che hanno 5 anni sono possibili due strategie di utilizzo: sostituire o continuare a funzionare.
Dal 6° anno in poi l'attrezzatura dovrà essere sostituita. In base ai risultati del calcolo vengono compilate due colonne della Tabella 9.2, corrispondenti io=11.
1) t= 0 X 10 (0)=0.
2) t= 1 X 10 (1)=0.
3) t= 2 X 10 (2)=0.
4) t= 3 X 10 (3)=0.
5) t= 4 X 10 (4)=1.
13) t= 12 X 10 (12)=1.
Al punto 10, non sostituire le apparecchiature che hanno da 0 a 3 anni. Dal quarto anno in poi, le attrezzature dovrebbero essere sostituite poiché le nuove attrezzature generano maggiori profitti.
In base ai risultati del calcolo vengono compilate due colonne in 9.2, corrispondenti io=10.
Le restanti nove colonne della Tabella 9.2 vengono compilate allo stesso modo. Durante il calcolo W io + 1 (T) ad ogni passo di valore φ (T) per ciascuno T=0, 1, 2, …, 12 sono presi dalla tabella 9.1 dei dati iniziali forniti nella formulazione del problema, e i valori W i(T) – dall'ultima colonna compilata nel passaggio precedente in 9.2.
La fase di ottimizzazione condizionale termina dopo la compilazione della Tabella 9.2.
L'ottimizzazione incondizionata inizia con il primo passaggio.
Supponiamo che nel primo passaggio io=1 c'è una nuova attrezzatura la cui età è 0 anni.
Per t=t 1 = 0 è il profitto ottimale W 1 (0)=82. Questo valore corrisponde al massimo profitto derivante dall'utilizzo di nuove attrezzature per 12 anni.
L*=L 1 (0)=82.
Vincerò W 1 (0)=82 corrisponde X 1 (0)=0.
Per io=2 secondo la formula (9.7) T 2 =t 1 +1=1.
Controllo ottimale incondizionato X 2 (1)=0.
Per io=3 secondo la formula (9.7) T 3 =t 2 +1=2.
Controllo ottimale incondizionato X 3 (2)=0.
| io=4 | T 4 =t 3 +1=3 | X 4 (3)=0 |
| io=5 | T 5 =t 4 +1=4 | X 5 (4)=1 |
| io=6 | T 6 = 1 | X 6 (1)=0 |
| io=7 | T 7 =t 6 +1=2 | X 7 (2)=0 |
| io=8 | T 8 =t 7 +1=3 | X 8 (3)=0 |
| io=9 | T 9 =t 8 +1=4 | X 9 (4)=1 |
| io=10 | T 10 = 1 | X 10 (1)=0 |
| io=11 | T 11 =t 10 +1=2 | X 11 (2)=0 |
| io=12 | T 12 =t 11 +1=3 | X 12 (3)=0 |
A questo scopo, la strategia ottimale è sostituire l’attrezzatura quando raggiunge i 4 anni di età. Allo stesso modo, è possibile determinare la strategia ottimale per l'utilizzo di apparecchiature di qualsiasi età.
La colonna di sinistra della Tabella 9.2 registra i possibili casi del sistema T= , nella riga superiore – numeri dei passaggi io= . Per ogni passaggio vengono determinati i controlli ottimali condizionali x io(T) e payoff ottimale condizionato W i(T)C io-esimo passaggio e fino alla fine per l'età dell'attrezzatura T anni.
I controlli che costituiscono la strategia ottimale per l'utilizzo delle apparecchiature sono evidenziati in grassetto nella Tabella 9.2.
Tabella 9.2.
| T | io=12 | io=11 | io=10 | io=9 | io=8 | io=7 | io=6 | io=5 | io=4 | io=3 | io=2 | io=1 | ||||||||||||
| X 12 | W 12 | X 11 | W 11 | X 10 | W 10 | X 9 | W 9 | X 8 | W 8 | X 7 | W 7 | X 6 | W 6 | X 5 | W 5 | X 4 | W 4 | X 3 | W 3 | X 2 | W 2 | X 1 | W 1 | |
| 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | ||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 |
Strategia ottimale di sostituzione delle apparecchiature
Uno dei problemi economici importanti è la determinazione strategia ottimale nella sostituzione di vecchie macchine, unità, macchine con nuove.
L'invecchiamento delle apparecchiature comprende la sua usura fisica e morale, a seguito della quale aumentano i costi di produzione per la produzione di prodotti su vecchie apparecchiature, aumentano i costi di riparazione e manutenzione, la produttività e il valore liquido diminuiscono.
Arriva un momento in cui è più redditizio vendere le vecchie apparecchiature e sostituirle con delle nuove piuttosto che utilizzarle a caro prezzo costi elevati; Inoltre, può essere sostituito con nuove attrezzature dello stesso tipo o nuove e più avanzate.
La strategia ottimale per la sostituzione delle apparecchiature consiste nel determinare i tempi di sostituzione ottimali. Il criterio di ottimalità in questo caso può essere il profitto derivante dall'utilizzo dell'attrezzatura, che dovrebbe essere ottimizzato, o i costi operativi totali durante il periodo di tempo considerato, che dovrebbero essere ridotti al minimo.
Introduciamo la seguente notazione: r(t) è il costo dei prodotti fabbricati in un anno su un'unità di attrezzatura di età t anni;
u(t) - costi di manutenzione annuali per apparecchiature di età t anni;
s(t) - valore residuo delle attrezzature di età t anni;
P è il prezzo di acquisto dell'attrezzatura.
Consideriamo un periodo di N anni entro il quale è necessario determinare il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature.
Indichiamo con fN(t) il reddito massimo ricevuto da attrezzature di età t anni per i restanti N anni del ciclo di utilizzo delle attrezzature, soggetto ad una strategia ottimale.
L'età dell'attrezzatura viene misurata nella direzione del flusso del processo. Pertanto, t = 0 corrisponde al caso di utilizzo di nuove apparecchiature. Le fasi temporali del processo sono numerate in senso inverso rispetto all'avanzamento del processo. Pertanto, N = 1 si riferisce alla fase temporale rimanente fino al completamento del processo e N = N all'inizio del processo.
In ciascuna fase del processo N-stage è necessario decidere se conservare o sostituire le apparecchiature. L'opzione scelta dovrebbe garantire il massimo profitto.
Le equazioni funzionali basate sul principio di ottimalità hanno la forma:
La prima equazione descrive un processo a N stadi, mentre la seconda descrive un processo a uno stadio. Entrambe le equazioni sono composte da due parti: la riga superiore determina il reddito ricevuto dalla manutenzione dell'attrezzatura; inferiore: reddito ricevuto durante la sostituzione dell'attrezzatura e la continuazione del processo di lavoro su nuove attrezzature.
Nella prima equazione, la funzione r(t) - u(t) è la differenza tra il costo dei prodotti fabbricati e i costi operativi nell'ennesima fase del processo.
La funzione fN–1 (t + 1) caratterizza il profitto totale derivante da (N - 1) fasi rimanenti per apparecchiature la cui età all'inizio di queste fasi è (t + 1) anni.
Il risultato finale della prima equazione è caratterizzato come segue: la funzione s(t) - P rappresenta il costo netto di sostituzione di apparecchiature vecchie di t anni.
La funzione r(0) esprime il reddito ricevuto da nuove apparecchiature di 0 anni. Si presuppone che il passaggio dal lavoro su attrezzature vecchie di t anni al lavoro su attrezzature nuove avvenga istantaneamente, vale a dire. il periodo di sostituzione delle vecchie attrezzature e il passaggio al lavoro su nuove attrezzature si inseriscono nella stessa fase.
L'ultima funzione fN–1 rappresenta il reddito delle restanti fasi N - 1, prima dell'inizio delle quali l'apparecchiatura ha un anno.
Un'interpretazione simile può essere data all'equazione per un processo ad una fase. Non esiste un termine della forma f0(t + 1), poiché N assume il valore 1, 2,..., N. L'uguaglianza f0(t) = 0 segue dalla definizione della funzione fN(t).
Le equazioni sono relazioni ricorrenti che permettono di determinare il valore di fN(t) in funzione di fN–1(t + 1). La struttura di queste equazioni mostra che quando si passa da una fase del processo a quella successiva, l'età dell'attrezzatura aumenta da t a (t + 1) anni e il numero delle fasi rimanenti diminuisce da N a (N - 1) .
Il calcolo inizia utilizzando la prima equazione. Le equazioni consentono di valutare le opzioni per la sostituzione e la manutenzione delle apparecchiature al fine di accettare quella che offre i maggiori ricavi. Questi rapporti consentono non solo di scegliere una linea d'azione quando si decide se mantenere o sostituire l'attrezzatura, ma anche di determinare il profitto ricevuto quando si prende ciascuna di queste decisioni.
Esempio. Determinare il ciclo di sostituzione ottimale dell'attrezzatura con i seguenti dati iniziali: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), presentati nella tabella.
Soluzione. Scriviamo le equazioni nella seguente forma:
Continuiamo i calcoli finché la condizione f1(1) > f2(2) è soddisfatta, cioè V questo momento l'attrezzatura deve essere sostituita, poiché l'importo del profitto ricevuto a seguito della sostituzione dell'attrezzatura è maggiore rispetto al caso di utilizzo di quella vecchia. Inseriamo i risultati del calcolo nella tabella, contrassegniamo il momento della sostituzione con un asterisco, dopodiché interrompiamo ulteriori calcoli lungo la linea.
Non devi risolvere l’equazione ogni volta, ma eseguire i calcoli in una tabella. Ad esempio, calcoliamo f4(t):
Interrompiamo ulteriori calcoli per f4(t), poiché f4(4) = 23 Sulla base dei risultati del calcolo e lungo la linea che delimita le aree decisionali per la manutenzione e la sostituzione delle apparecchiature, troviamo il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature. Per questo compito sono 4 anni.
Risposta. Per ottenere il massimo profitto dall'utilizzo delle apparecchiature in un processo in dodici fasi, il ciclo ottimale prevede la sostituzione delle apparecchiature ogni 4 anni.
Allocazione ottimale delle risorse
Supponiamo che ci sia una certa quantità di risorse x che deve essere distribuita tra n diverse imprese, oggetti, lavori, ecc. in modo da ottenere la massima efficienza complessiva dal metodo di distribuzione prescelto.
Introduciamo la seguente notazione: xi - la quantità di risorse assegnate all'impresa i-esima (i = );
gi(xi) è la funzione di utilità, in in questo caso questo è l'importo del reddito derivante dall'uso della risorsa xi ricevuto dall'impresa i-esima;
fk(x) è il reddito massimo ottenibile utilizzando le risorse x delle prime k diverse imprese.
Il problema formulato può essere scritto in forma matematica:
con restrizioni:
Per risolvere il problema è necessario ottenere una relazione ricorsiva che colleghi fk(x) e fk–1(x).
Indichiamo con xk la quantità di risorse utilizzate dal metodo k-esimo (0 ≤ xk ≤ x), quindi per i metodi (k - 1) la quantità di risorse rimanenti è pari a (x - xk). Il reddito maggiore che si ottiene utilizzando una risorsa (x - xk) dai primi metodi (k - 1) sarà fk–1(x - xk).
Per massimizzare il reddito totale derivante dal metodo k–esimo e dal primo (k - 1), è necessario scegliere xk in modo tale che siano soddisfatte le seguenti relazioni:
Consideriamo compito specifico sulla distribuzione degli investimenti di capitale tra le imprese.
Distribuzione degli investimenti per utilizzo efficace potenziale d'impresa
Il consiglio di amministrazione della società sta valutando le proposte per aumentare la capacità produttiva per aumentare la produzione di prodotti omogenei in quattro imprese di proprietà della società.
Per espandere la produzione, il consiglio di amministrazione stanzia fondi per un importo di 120 milioni di rubli. con discrezione di 20 milioni di rubli. L'aumento della produzione delle imprese dipende dall'importo stanziato; i suoi valori sono presentati dalle imprese e sono contenuti nella tabella.
Trovare la distribuzione dei fondi tra le imprese che garantisce il massimo aumento della produzione e non può essere effettuato più di un investimento per impresa.
Soluzione. Dividiamo la soluzione del problema in quattro fasi, a seconda del numero di imprese in cui si prevede di investire.
Le relazioni di ricorrenza saranno simili a:
per l'impresa n. 1
per tutte le altre imprese
Effettueremo la soluzione secondo relazioni di ricorrenza in quattro fasi.
1a fase. Effettuiamo investimenti solo per la prima impresa. Poi
2a fase. Assegniamo gli investimenti alla prima e alla seconda impresa. La relazione di ricorrenza per la 2a fase ha la forma
a x = 20 f2(20) = max (8 + 0,0 + 10) = max (8, 10) = 10,
a x = 40 f2(40) = massimo (16,8 + 10,20) = massimo (16, 18, 20) =20,
a x = 60 f2(60) = massimo (25,16 + 10, 8 + 20,28) = massimo (25,26, 28,28) = 28,
a x = 80 f2(80) = massimo (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = massimo (36, 35, 36, 36, 40) = 40,
a x = 100 f2(100) = massimo (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = massimo (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,
a x = 120 f2(120) = massimo (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = massimo (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.
3a fase. Stiamo finanziando la seconda fase e la terza impresa. Eseguiamo calcoli utilizzando la formula
in x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,
a x = 40 f3(40) = max (20,10 + 12,21) = max (20, 22, 21) = 22,
a x = 60 f3(60) = massimo (28,20 + 12,10 + 21,27) = massimo (28, 32, 31, 27) = 32,
a x = 80 f3(80) = massimo (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = massimo (40, 40, 41, 37, 38) = 41,
a x = 100 f3(100) = massimo (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = massimo (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,
a x = 120 f3(120) = massimo (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = massimo (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.
4a fase. Investimenti per un importo di 120 milioni di rubli. distribuiti tra il 3° stadio e la quarta impresa.
A x = 120 f4(120) = massimo (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = massimo (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.
Si ottengono le condizioni di controllo dal 1° al 4° stadio. Ritorniamo dalla 4a alla 1a tappa. L'aumento massimo della produzione è di 64 milioni di rubli. ottenuto al 4° stadio come 41 + 23, cioè 23 milioni di rubli. corrispondono allo stanziamento di 40 milioni di rubli. la quarta impresa (vedi Tabella 29.3). Secondo la terza fase, 41 milioni di rubli. ottenuto come 20 + 21, cioè 21 milioni di rubli. corrisponde ad uno stanziamento dedicato di 40 milioni di rubli. ad una terza società. Secondo la fase 2, 20 milioni di rubli. ricevuto con lo stanziamento di 40 milioni di rubli. alla seconda impresa.
Pertanto, gli investimenti ammontano a 120 milioni di rubli. Si consiglia di stanziare 40 milioni di rubli ciascuna alla seconda, terza e quarta impresa. ciascuno, mentre l'aumento della produzione sarà massimo e ammonterà a 64 milioni di rubli.
Ridurre al minimo i costi per la costruzione e il funzionamento delle imprese
Problema di posizionamento ottimale imprese manifatturiere può essere ridotto al problema dell’allocazione delle risorse secondo il criterio di minimizzazione, tenendo conto delle condizioni intere imposte alle variabili.
Lascia che ci sia una domanda per un prodotto richiesto in un determinato territorio. Esistono punti noti in cui è possibile costruire imprese produttrici questo prodotto. Sono stati calcolati i costi di costruzione e di funzionamento di tali imprese.
È necessario localizzare le imprese in modo che i costi di costruzione e funzionamento siano minimi.
Introduciamo la seguente notazione:
x è la quantità di risorse distribuite che possono essere utilizzate in n modi diversi,
xi - quantità di risorsa utilizzata secondo il metodo i (i = );
gi(xi) è una funzione di costo pari, ad esempio, al valore dei costi di produzione quando si utilizza la risorsa xi utilizzando il metodo i;
φk(x) - costo più basso, che devono essere prodotti quando si utilizza la risorsa x nei primi k modi.
È necessario ridurre al minimo il costo totale dello sviluppo della risorsa x in tutti i modi:
sotto restrizioni
Il significato economico delle variabili xi è trovare il numero di imprese consigliate per la costruzione al punto i-esimo. Per comodità di calcolo, assumeremo che sia prevista la costruzione di imprese della stessa capacità.
Consideriamo il problema specifico della localizzazione delle imprese.
Esempio. In tre quartieri della città, l'imprenditore progetta di costruire cinque imprese di uguale capacità per produrre i prodotti da forno richiesti.
È necessario localizzare le imprese in modo tale da garantire i costi totali minimi per la loro costruzione e gestione. I valori della funzione costo gi(x) sono riportati nella tabella.
IN in questo esempio gi(x) è una funzione delle spese in milioni di rubli, che caratterizza l'importo dei costi di costruzione e di funzionamento in base al numero di imprese situate nella regione i-esima;
φk(x) è l'importo minimo dei costi in milioni di rubli che devono essere sostenuti durante la costruzione e il funzionamento delle imprese nelle prime k regioni.
Soluzione. Risolviamo il problema utilizzando le relazioni di ricorrenza: per la prima regione
per altre aree
Risolveremo il problema in tre fasi.
1a fase. Se tutte le imprese venissero costruite solo nel primo distretto, allora
i costi minimi possibili in x = 5 sono 76 milioni di rubli.
2a fase. Determiniamo la strategia ottimale per localizzare le imprese solo nelle prime due regioni utilizzando la formula
Troviamo φ2(l):
g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,
g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,
φ2(l) = min (10, 11) = 10.
Calcoliamo φ2(2):
g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,
g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,
g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,
φ2(2) = minimo (19, 21, 18) = 18.
Troviamo φ2(3):
g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,
g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,
g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,
g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,
φ2(3) = minimo (34, 30, 28, 35) = 28.
Definiamo φ2(4):
g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,
g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,
g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,
g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,
g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,
φ2(4) = minimo (53, 45, 37, 45, 51) = 37.
Calcoliamo φ2(5):
g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,
g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,
g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,
g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,
g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,
g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,
φ2(5) = minimo (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.
3a fase. Determiniamo la strategia ottimale per localizzare cinque imprese in tre distretti utilizzando la formula
φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).
Troviamo φ3(5):
g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,
g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,
g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,
g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,
g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,
g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,
φ3(5) = minimo (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.
I costi minimi possibili per x = 5 sono 46 milioni di rubli.
Sono stati determinati i costi per la costruzione delle imprese dalla 1a alla 3a fase. Torniamo alla fase 1 il 3. Costi minimi a 46 milioni di rubli. al 3° stadio si ottengono come 9 + 37, cioè 9 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di un'impresa nella terza regione (vedi Tabella 29.4). Secondo la seconda fase, 37 milioni di rubli. ottenuto come 19 + 18, cioè 19 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di due imprese nella seconda regione. Secondo la prima fase, 18 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di due imprese nella prima regione.
Risposta. La strategia ottimale è costruire un'impresa nella terza regione, due imprese ciascuna nella seconda e nella prima regione, mentre il costo minimo di costruzione e funzionamento sarà di 46 den. unità
Individuazione dei costi razionali nella costruzione di gasdotti e arterie di trasporto
È necessario tracciare un percorso (gasdotto, autostrada) tra due punti A e B in modo tale che i costi totali della sua costruzione siano minimi.
Soluzione. Dividiamo la distanza tra i punti A e B in passi (segmenti). Ad ogni passo possiamo spostarci verso est (lungo l'asse X) o verso nord (lungo l'asse Y). Quindi il percorso da A a B è una linea spezzata a gradini, i cui segmenti sono paralleli a uno degli assi delle coordinate. I costi per la costruzione di ciascuna sezione sono noti (Fig. 29.2) in milioni di rubli.
Dividiamo la distanza da A a B in direzione est in 4 parti, in direzione nord in 3 parti. Il percorso può essere considerato come un sistema controllato, che si muove sotto l'influenza del controllo dallo stato iniziale A allo stato finale B. Lo stato di questo sistema prima dell'inizio di ogni passo sarà caratterizzato da due coordinate intere xey. Per ogni stato del sistema (punto nodale), troviamo il controllo ottimo condizionale. Viene scelto in modo tale che il costo di tutte le fasi rimanenti fino alla fine del processo sia minimo. Eseguiamo la procedura di ottimizzazione condizionale nella direzione opposta, vale a dire dal punto B al punto A.
Troviamo l'ottimizzazione condizionale dell'ultimo passaggio.
Programmazione dinamica. Problema di sostituzione dell'attrezzatura
Trova il momento ottimale per la sostituzione dell'attrezzatura. Costo iniziale dell'attrezzatura q 0 =6000 convenzionale. unità, valore di liquidazione L(t)=q 0 2 -i, il costo di manutenzione di apparecchiature di i anni per 1 anno S(t)=0,1q 0 (t+1), la durata di servizio delle apparecchiature è di 5 anni. Al termine della sua vita utile, l'attrezzatura viene venduta. Risolvi il problema graficamente.
Per costruire un grafico nel software Wolfram Mathematica 6.0, inserisci
g = Traccia[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]
Di conseguenza, otteniamo un grafico:
Dal grafico lo vediamo momento ottimale la sostituzione dell'attrezzatura è il secondo anno di funzionamento.
Programmazione dinamica. Distribuzione ottimale dei fondi tra le imprese
Trova la distribuzione ottimale dei fondi per un importo di 9 unità convenzionali. unità tra quattro società. Il profitto di ciascuna impresa è in funzione dei fondi in essa investiti ed è presentato nella tabella:
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Investimenti |
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Io impresa |
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II impresa |
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III impresa |
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IV impresa |
Gli investimenti in ciascuna impresa sono multipli di 1 unità convenzionale. unità
Dividiamo il processo di assegnazione dei fondi alle imprese in 4 fasi: nella prima fase, y 1 fondi vengono assegnati all'impresa P 1, nella seconda - y 2 fondi all'impresa P 2, nella terza - y 3 fondi all'impresa P 3, al quarto terzo - y 4 fondi all'impresa P 4
x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.
Si noti che nella quarta fase di assegnazione dei fondi, l'intero saldo x 3 viene investito nell'impresa P 4, quindi y 3 = x 4.
Usiamo le equazioni di Bellman per N = 4.
Di conseguenza, otteniamo le seguenti tabelle:
Tabella 1
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Tavolo 2
Tabella 3
Tabella 4
Dalla Tabella 4 segue che il controllo ottimo sarà y 1 * = 3, mentre il profitto ottimo è 42. Successivamente otteniamo
x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1
x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1
x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4
Pertanto, l'investimento ottimale è nelle imprese P1, P2, P3 e P4 Soldi rispettivamente per un importo di 4, 1,1 e 3 unità convenzionali. In questo caso, il profitto sarà massimo e ammonterà a 42 unità convenzionali. unità
Durante il funzionamento l'attrezzatura è soggetta ad usura fisica e morale. Esistono due modi per ripristinare l'attrezzatura: completa e parziale. In caso di restauro completo l'attrezzatura viene sostituita con una nuova; in caso di restauro parziale l'attrezzatura viene riparata. Per un utilizzo ottimale dell'attrezzatura è necessario individuare l'età in cui deve essere sostituita in modo che il reddito derivante dalla macchina sia massimo o, se non è possibile calcolare il reddito, i costi per le esigenze di riparazione e manutenzione siano minimi. Questo approccio è considerato dal punto di vista degli interessi economici del consumatore.
Per ottimizzare la riparazione e la sostituzione delle attrezzature, è necessario sviluppare una strategia di sostituzione delle macchine per il periodo di pianificazione. Come interessi economici, è possibile utilizzare uno dei due approcci:
1. Reddito massimo da un'auto per un certo periodo di tempo.
2. Costi minimi per esigenze di riparazione e manutenzione, se non è possibile calcolare il reddito.
Questo problema viene risolto utilizzando il metodo programmazione dinamica. L'idea principale di questo metodo è sostituire la selezione simultanea Di più parametri selezionandoli uno per uno. Questo metodo può risolvere un'ampia varietà di problemi di ottimizzazione. La generalità dell'approccio alla risoluzione di un'ampia varietà di problemi è uno dei vantaggi di questo metodo.
Consideriamo un meccanismo per ottimizzare la riparazione e la sostituzione delle apparecchiature. Per risolvere il problema introduciamo la seguente notazione:
t è l'età dell'apparecchiatura;
d(t) - reddito annuo netto derivante da apparecchiature di età t;
U(t) - costi per le esigenze di riparazione e manutenzione di una macchina di età t;
C è il prezzo delle nuove attrezzature.
Per risolvere questo problema, introduciamo una funzione fn(t), che mostra il valore del reddito massimo negli ultimi n - anni, a condizione che all'inizio del periodo di n - anni avessimo un'auto con età t - anni.
L'algoritmo per risolvere il problema è il seguente:
1) f1(t) = massimo d(0) - C
) fn(t) = massimo fn-1(t+1) + d(t)
fn-1(1) + d(0) - C
Un aumento dei costi porterà ad una diminuzione dell’utile netto, che viene calcolato come segue:
d(t) = r(t) - u(t)
r(t) - reddito annuo derivante da attrezzature di età t;
u(t) - costi annuali per esigenze di riparazione e manutenzione
età dell'attrezzatura t.
Approccio di massimizzazione dei ricavi
Per risolvere questo problema, introduciamo la funzione fn(t), che mostra il valore del reddito massimo negli ultimi n anni, a condizione che all'inizio del periodo di n anni avessimo attrezzature con età t anni.
Se manca 1 anno alla fine del periodo
Se mancano n anni alla fine del periodo
(t) = massimo 
dove t è l'età dell'apparecchiatura;
d (t) - reddito annuo netto derivante da attrezzature di età t;
C è il prezzo delle nuove attrezzature.
Un aumento dei costi porterà ad una diminuzione dell’utile netto, che viene calcolato come segue:
(t) = r(t) - u(t)
dove r (t) è il reddito annuo derivante da attrezzature di età t;
u(t) - costi annuali per la riparazione e le esigenze operative delle apparecchiature di età t.
Calcoliamo l'utile netto utilizzando la formula, conoscendo la dinamica delle entrate e la crescita dei costi di riparazione.
Tabella 2. Utile netto da attrezzature per anno
Questo servizio è destinato all'online risolvere il problema della strategia ottimale di aggiornamento delle apparecchiature. In genere nei dati di origine vengono specificati i seguenti parametri:
- r(t) è il costo dei prodotti realizzati durante ciascun anno del periodo di pianificazione utilizzando tale attrezzatura;
- u(t) - costi annuali associati al funzionamento delle apparecchiature;
- s(t) - valore residuo delle attrezzature;
- p è il costo delle nuove apparecchiature, che include i costi associati all'installazione, alla messa in servizio e all'avvio delle apparecchiature e non cambia in un determinato periodo di pianificazione.
Pianificazione degli investimenti di capitale.
Esempio n.1. Trovare la strategia ottimale per utilizzare le attrezzature per un periodo di 6 anni, se nella tabella sono indicati il reddito annuo r(t) e il valore residuo S(t) in base all'età, il costo delle nuove attrezzature è P = 13 e l'età dell'attrezzatura all'inizio del periodo operativo era di 1 anno.| T | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
Fase I. Ottimizzazione condizionale(k = 6,5,4,3,2,1).
Variabile di controllo attivata kesimo passoè una variabile logica che può assumere uno di due valori: mantenere (C) o sostituire (R) l'attrezzatura all'inizio del k-esimo anno.
1° passo: k = 6. Per il 1° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1,2,3,4,5,6, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2° passo: k = 5. Per il 2° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1,2,3,4,5, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3° passo: k = 4. Per il 3° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1,2,3,4, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = max(5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (L)
4° passo: k = 3. Per il 4° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1,2,3, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (L)
F 3 (4) = max(6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (L)
F 3 (5) = max(5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (L)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (L)
5° passo: k = 2. Per il 5° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1.2, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (L)
F 2 (4) = max(6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (L)
F 2 (5) = max(5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (L)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (L)
6° passo: k = 1. Per il 6° passo, i possibili stati del sistema sono t = 1, e le equazioni funzionali hanno la forma:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = max(6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = max(5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (L)
I risultati dei calcoli utilizzando le equazioni di Bellman F k (t) sono riportati nella tabella, in cui k è l'anno di funzionamento e t è l'età dell'apparecchiatura.
Tabella – Matrice del profitto massimo
| k/t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
Nella tabella è evidenziato il valore della funzione corrispondente allo stato (3) - sostituzione apparecchiatura.
Quando si risolve questo problema in alcune tabelle quando si valuta la scelta controllo richiesto abbiamo ottenuto gli stessi valori F per entrambe le opzioni di controllo. In questo caso, secondo l'algoritmo per risolvere tali problemi, è necessario selezionare un controllo di conservazione dell'apparecchiatura.
Fase II. Ottimizzazione incondizionata(k = 6,5,4,3,2,1).
A seconda delle condizioni del problema, l'età dell'apparecchiatura è t 1 = 1 anno. Periodo previsto N=6 anni.
All'inizio del 1° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Il profitto sarà F 1 (1) = 37.
Controllo ottimo per k = 1, x 1 (1) = (C), cioè il reddito massimo dal primo al sesto anno si ottiene se l'attrezzatura viene conservata, ovvero non sostituito.
All'inizio del 2° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Il profitto sarà F 2 (2) = 30.
Controllo ottimo per k = 2, x 2 (2) = (C), cioè il reddito massimo dal 2° al 6° anno si ottiene se l'attrezzatura viene conservata, cioè non sostituito.
All'inizio del 3° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Il profitto sarà F 3 (3) = 23.
Controllo ottimo incondizionato per k = 3, x 3 (3)=(3), cioè Per ottenere il massimo profitto per gli anni rimanenti, è necessario sostituire l'attrezzatura quest'anno.
All'inizio del 4° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Il profitto sarà F 4 (1) = 20.
Controllo ottimo per k = 4, x 4 (1) = (C), cioè il reddito massimo dal primo al sesto anno si ottiene se l'attrezzatura viene conservata, ovvero non sostituito.
All'inizio del 5° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Il profitto sarà F 5 (2) = 13.
Controllo ottimo per k = 5, x 5 (2) = (C), cioè il reddito massimo dal 2° al 6° anno si ottiene se l'attrezzatura viene conservata, cioè non sostituito.
All'inizio del 6° anno di funzionamento, l'età dell'attrezzatura aumenterà di uno e sarà: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Il profitto sarà F 6 (3) = 6.
Controllo ottimo per k = 6, x 6 (3) = (C), cioè il reddito massimo dal 3° al 6° anno si ottiene se l'attrezzatura viene conservata, cioè non sostituito.
Fa 1 (1) → (Do) → Fa 2 (2) → (Do) → Fa 3 (3) → (W)→ Fa 4 (1) → (Do) → Fa 5 (2) → (Do) → Fa 6 (3) → (Do) →
Pertanto, dopo 6 anni di funzionamento dell'apparecchiatura, la sostituzione dovrà essere effettuata all'inizio del 3° anno di funzionamento
Esempio n.2. Il problema della pianificazione degli investimenti di capitale. Intervallo di pianificazione T=5 anni. Funzione di costo per riparazioni e ulteriori operazioni K(t)=t+2t 2 (r.); funzione di sostituzione P(t)=10+0.05t 2 (p.). Determinare la strategia ottimale di sostituzione e riparazione per apparecchiature nuove (t=0) e apparecchiature invecchiate t=1, t=2, t=3.
Determinare i costi pianificati ottimali per gli anni del piano quinquennale, se la quantità di attrezzature per gruppi di età è la seguente: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5