I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.
Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi cominciamo.
Somma e sottrazione di logaritmi
Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log UN X e registrare UN sì. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:
- tronco d'albero UN X+ registro UN sì=log UN (X · sì);
- tronco d'albero UN X− registro UN sì=log UN (X : sì).
Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!
Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi lezione “Cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:
Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.
Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.
Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.
Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.
Estrarre l'esponente dal logaritmo
Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:
È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.
Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .
Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12
Compito. Trova il significato dell'espressione:
[Didascalia dell'immagine]
Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:
[Didascalia dell'immagine] Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".
Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.
Transizione ad una nuova fondazione
Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?
Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:
Sia dato il logaritmo UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, l'uguaglianza è vera:
[Didascalia dell'immagine]
In particolare, se mettiamo C = X, otteniamo:
[Didascalia dell'immagine]
Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.
Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.
Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.
Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:
[Didascalia dell'immagine]Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.
La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:
[Didascalia dell'immagine]Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:
[Didascalia dell'immagine]Identità logaritmica di base
Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:
Nel primo caso, il numero N diventa un indicatore del grado di validità dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo un valore logaritmico.
La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.
In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare a una potenza tale che il numero B a questa potenza dà il numero UN? Esatto: ottieni questo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.
Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.
Compito. Trova il significato dell'espressione:
[Didascalia dell'immagine]
Nota che log 25 64 = log 5 8 - abbiamo semplicemente preso il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:
[Didascalia dell'immagine]Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)
Unità logaritmica e zero logaritmico
In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.
- tronco d'albero UN UN= 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: logaritmo in base qualsiasi UN da questa stessa base è uguale a uno.
- tronco d'albero UN 1 = 0 è zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché UN 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.
Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.
Man mano che la società si sviluppava e la produzione diventava più complessa, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dalla contabilità ordinaria utilizzando il metodo dell'addizione e della sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, siamo arrivati al concetto di moltiplicazione e divisione. Ridurre l'operazione ripetuta di moltiplicazione divenne il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di esponenziazione furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro puoi contare il tempo in cui si verificano i logaritmi.
Schizzo storico
La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcoli relativo alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche erano di grande servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per le potenze sotto forma di numeri primi, ma anche per quelle razionali arbitrarie.
Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per primo il nuovo termine “logaritmo di un numero”. Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.
Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione algebra acquisisse la sua forma definitiva. È stata data la definizione del logaritmo e sono state studiate le sue proprietà.
Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità abbandonò gli antichi tavoli che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.
Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x cioè la potenza di a per formare b. Questo si scrive come una formula: x = log a(b).
Ad esempio, log 3(9) sarebbe uguale a 2. Ciò è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.
Pertanto, la definizione formulata pone una sola restrizione: i numeri a e b devono essere reali.
Tipi di logaritmi
La definizione classica si chiama logaritmo reale ed è in realtà la soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Attenzione: 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1.
Valore reale del logaritmo definito solo quando la base e l'argomento sono maggiori di 0 e la base non deve essere uguale a 1.
Posto speciale nel campo della matematica riproduci i logaritmi, che verranno nominati a seconda della dimensione della loro base:
Regole e restrizioni
La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).
Come variante di questa affermazione sarà: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.
Dalle due regole precedenti è facile vedere che: log a(b p) = p * log a(b).
Altre proprietà includono:
Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo di una somma non è uguale alla somma dei logaritmi.
Per molti secoli, l'operazione di ricerca di un logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici usarono la famosa formula della teoria logaritmica dell'espansione polinomiale:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina la precisione del calcolo.
I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sulla transizione da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.
Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici Di difficile implementazione, abbiamo utilizzato tabelle di logaritmi precompilate, che hanno notevolmente velocizzato tutto il lavoro.
In alcuni casi, sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno accelerato significativamente la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, consente di utilizzare un normale righello per trovare il valore della funzione in qualsiasi altro punto. Gli ingegneri utilizzano da molto tempo la cosiddetta carta millimetrata per questi scopi.
Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni ausiliarie di calcolo analogico, che nel XIX secolo acquisirono una forma completa. Il dispositivo di maggior successo si chiamava regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha accelerato significativamente il processo di tutti i calcoli ingegneristici ed è difficile sopravvalutarlo. Attualmente poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.
L'avvento delle calcolatrici e dei computer ha reso inutile l'uso di qualsiasi altro dispositivo.
Equazioni e disuguaglianze
Per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi, vengono utilizzate le seguenti formule:
- Transizione da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Come conseguenza dell'opzione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).
Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:
- Il valore del logaritmo sarà positivo solo se base e argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
- Se la funzione logaritmo viene applicata ai lati destro e sinistro di una disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.
Esempi di problemi
Consideriamo diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con la risoluzione di equazioni:
Considera l'opzione di porre il logaritmo in una potenza:
- Problema 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la voce è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è uguale a 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.
Applicazione pratica
Essendo uno strumento puramente matematico, sembra lontano dalla vita reale che il logaritmo abbia improvvisamente acquisito grande importanza per descrivere gli oggetti nel mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non venga utilizzata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturale, ma anche a quelli umanitari.
Dipendenze logaritmiche
Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:
Meccanica e fisica
Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi di ricerca matematica e allo stesso tempo sono servite da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi di descrizione delle leggi fisiche utilizzando il logaritmo.
Il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo può essere risolto utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:
V = I * ln (M1/M2), dove
- V è la velocità finale dell'aereo.
- I – impulso specifico del motore.
- M 1 – massa iniziale del razzo.
- M2 – massa finale.
Un altro esempio importante- questo è usato nella formula di un altro grande scienziato Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.
S = k * ln (Ω), dove
- S – proprietà termodinamica.
- k – Costante di Boltzmann.
- Ω è il peso statistico dei diversi stati.
Chimica
Meno ovvio è l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Facciamo solo due esempi:
- Equazione di Nernst, condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e alla costante di equilibrio.
- Anche il calcolo di costanti come l'indice di autolisi e l'acidità della soluzione non può essere effettuato senza la nostra funzione.
Psicologia e biologia
E non è affatto chiaro cosa c’entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra il valore dell'intensità dello stimolo e il valore dell'intensità inferiore.
Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato in biologia. Si potrebbero scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.
Altre aree
Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, ed essa governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono associate alla progressione geometrica. Vale la pena visitare il sito web MatProfi e ci sono molti esempi simili nelle seguenti aree di attività:
L'elenco può essere infinito. Avendo padroneggiato i principi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.
Con questo video inizio una lunga serie di lezioni sulle equazioni logaritmiche. Ora hai tre esempi sulla base dei quali impareremo a risolvere i problemi più semplici, che si chiamano: protozoi.
logaritmo 0,5 (3x − 1) = −3
logaritmo (x + 3) = 3 + 2 logaritmo 5
Permettimi di ricordarti che l'equazione logaritmica più semplice è la seguente:
logaritmo a f (x) = b
In questo caso è importante che la variabile x sia presente solo all'interno dell'argomento, cioè solo nella funzione f (x). E i numeri aeb sono solo numeri e in nessun caso sono funzioni contenenti la variabile x.
Metodi risolutivi di base
Esistono molti modi per risolvere tali strutture. Ad esempio, la maggior parte degli insegnanti a scuola offre questo metodo: esprimere immediatamente la funzione f (x) utilizzando la formula F ( x) = un b. Cioè, quando incontri la costruzione più semplice, puoi immediatamente passare alla soluzione senza azioni e costruzioni aggiuntive.
Sì, certo, la decisione sarà corretta. Tuttavia, il problema con questa formula è che la maggior parte degli studenti non capisco, da dove viene e perché eleviamo la lettera a alla lettera b.
Di conseguenza, spesso vedo errori molto fastidiosi quando, ad esempio, queste lettere vengono scambiate. Questa formula deve essere compresa o inventata, e il secondo metodo porta a errori nei momenti più inopportuni e cruciali: durante esami, prove, ecc.
Ecco perché suggerisco a tutti i miei studenti di abbandonare la formula scolastica standard e di utilizzare il secondo approccio per risolvere le equazioni logaritmiche, che, come probabilmente hai intuito dal nome, si chiama forma canonica.
L’idea alla base della forma canonica è semplice. Riprendiamo il nostro problema: a sinistra abbiamo log a, e con la lettera a intendiamo un numero, e in nessun caso una funzione contenente la variabile x. Di conseguenza, questa lettera è soggetta a tutte le restrizioni che si applicano alla base del logaritmo. vale a dire:
1 ≠ un > 0
D'altra parte, dalla stessa equazione vediamo che il logaritmo deve essere uguale al numero b, e su questa lettera non vengono imposte restrizioni, perché può assumere qualsiasi valore, sia positivo che negativo. Tutto dipende da quali valori assume la funzione f(x).
E qui ricordiamo la nostra meravigliosa regola secondo cui qualsiasi numero b può essere rappresentato come un logaritmo in base a di a elevato a b:
b = log a a b
Come ricordare questa formula? Sì, molto semplice. Scriviamo la seguente costruzione:
b = b 1 = b log a a
Naturalmente in questo caso si presentano tutte le restrizioni che abbiamo annotato all'inizio. Usiamo ora la proprietà di base del logaritmo e introduciamo il moltiplicatore b come potenza di a. Otteniamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Di conseguenza, l'equazione originale verrà riscritta come segue:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Questo è tutto. La nuova funzione non contiene più un logaritmo e può essere risolta utilizzando tecniche algebriche standard.
Naturalmente, qualcuno ora obietterà: perché è stato necessario inventare una sorta di formula canonica, perché eseguire due passaggi aggiuntivi non necessari se fosse possibile passare immediatamente dal progetto originale alla formula finale? Sì, se non altro perché la maggior parte degli studenti non capisce da dove viene questa formula e, di conseguenza, commette regolarmente errori quando la applica.
Ma questa sequenza di azioni, composta da tre passaggi, ti consente di risolvere l'equazione logaritmica originale, anche se non capisci da dove viene la formula finale. A proposito, questa voce è chiamata formula canonica:
logaritmo a f (x) = logaritmo a a b
La comodità della forma canonica sta anche nel fatto che può essere utilizzata per risolvere una classe molto ampia di equazioni logaritmiche, e non solo quelle più semplici che consideriamo oggi.
Esempi di soluzioni
Ora diamo un'occhiata ad esempi reali. Quindi, decidiamo:
logaritmo 0,5 (3x − 1) = −3
Riscriviamolo così:
logaritmo 0,5 (3x − 1) = logaritmo 0,5 0,5 −3
Molti studenti hanno fretta e cercano di elevare immediatamente il numero 0,5 alla potenza che ci è venuta dal problema originale. Infatti, quando sei già ben addestrato a risolvere tali problemi, puoi eseguire immediatamente questo passaggio.
Tuttavia, se stai appena iniziando a studiare questo argomento, è meglio non correre da nessuna parte per evitare di commettere errori offensivi. Quindi abbiamo la forma canonica. Abbiamo:
3x − 1 = 0,5 −3
Questa non è più un'equazione logaritmica, ma lineare rispetto alla variabile x. Per risolverlo, occupiamoci prima del numero 0,5 elevato a −3. Nota che 0,5 è 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Converti tutte le frazioni decimali in frazioni comuni quando risolvi un'equazione logaritmica.
Riscriviamo e otteniamo:
3x−1 = 8
3x = 9
x = 3
Questo è tutto, abbiamo la risposta. Il primo problema è stato risolto.
Secondo compito
Passiamo al secondo compito:
Come vediamo, questa equazione non è più la più semplice. Se non altro perché c'è una differenza a sinistra e non un singolo logaritmo su una base.
Pertanto, dobbiamo in qualche modo eliminare questa differenza. In questo caso, tutto è molto semplice. Diamo uno sguardo più da vicino alle basi: a sinistra c'è il numero sotto la radice:
Raccomandazione generale: in tutte le equazioni logaritmiche, cercare di eliminare i radicali, cioè dalle voci con radici e passare alle funzioni di potenza, semplicemente perché gli esponenti di queste potenze vengono facilmente tolti dal segno del logaritmo e, in definitiva, tali una voce semplifica e accelera notevolmente i calcoli. Scriviamolo così:
Ricordiamo ora la notevole proprietà del logaritmo: le potenze si possono ricavare dall'argomento, oltre che dalla base. In caso di motivi si verifica quanto segue:
log a k b = 1/k loga b
In altre parole, il numero che era nella potenza base viene anticipato e allo stesso tempo invertito, cioè diventa un numero reciproco. Nel nostro caso il grado base era 1/2. Pertanto, possiamo considerarlo 2/1. Otteniamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Nota: in nessun caso dovresti eliminare i logaritmi in questo passaggio. Ricorda la matematica di 4a-5a elementare e l'ordine delle operazioni: prima viene eseguita la moltiplicazione e solo dopo l'addizione e la sottrazione. In questo caso, sottraiamo uno degli stessi elementi da 10 elementi:
9 logaritmo 5 x = 18
logaritmo 5 x = 2
Ora la nostra equazione appare come dovrebbe. Questa è la costruzione più semplice e la risolviamo utilizzando la forma canonica:
logaritmo 5 x = logaritmo 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Questo è tutto. Il secondo problema è stato risolto.
Terzo esempio
Passiamo al terzo compito:
logaritmo (x + 3) = 3 + 2 logaritmo 5
Permettimi di ricordarti la seguente formula:
logaritmo b = logaritmo 10 b
Se per qualche motivo sei confuso dalla notazione log b , quando esegui tutti i calcoli puoi semplicemente scrivere log 10 b . Puoi lavorare con i logaritmi decimali allo stesso modo degli altri: prendi potenze, aggiungi e rappresenta qualsiasi numero nella forma lg 10.
Sono queste proprietà che ora utilizzeremo per risolvere il problema, poiché non è quello più semplice che abbiamo scritto all'inizio della nostra lezione.
Innanzitutto, nota che il fattore 2 davanti a lg 5 può essere aggiunto e diventa una potenza di base 5. Inoltre, il termine libero 3 può anche essere rappresentato come logaritmo - questo è molto facile da osservare dalla nostra notazione.
Giudica tu stesso: qualsiasi numero può essere rappresentato come logaritmo in base 10:
3 = logaritmo 10 10 3 = logaritmo 10 3
Riscriviamo il problema originale tenendo conto delle modifiche ottenute:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
logaritmo (x − 3) = logaritmo 1000 25
logaritmo (x − 3) = logaritmo 25.000
Davanti a noi c'è di nuovo la forma canonica, e l'abbiamo ottenuta senza passare attraverso la fase di trasformazione, ad es. l'equazione logaritmica più semplice non è apparsa da nessuna parte.
Questo è esattamente ciò di cui ho parlato all'inizio della lezione. La forma canonica consente di risolvere una classe più ampia di problemi rispetto alla formula scolastica standard fornita dalla maggior parte degli insegnanti.
Bene, questo è tutto, eliminiamo il segno del logaritmo decimale e otteniamo una semplice costruzione lineare:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Tutto! Il problema è risolto.
Una nota sulla portata
Qui vorrei fare un'osservazione importante riguardo all'ambito della definizione. Sicuramente ora ci saranno studenti e insegnanti che diranno: “Quando risolviamo espressioni con i logaritmi, dobbiamo ricordare che l’argomento f (x) deve essere maggiore di zero!” A questo proposito sorge una domanda logica: perché non abbiamo richiesto che questa disuguaglianza fosse soddisfatta in nessuno dei problemi considerati?
Non preoccuparti. In questi casi non appariranno radici aggiuntive. E questo è un altro ottimo trucco che ti permette di velocizzare la soluzione. Sappiate solo che se nel problema la variabile x ricorre solo in un posto (o meglio, in un unico argomento di un unico logaritmo), e da nessun'altra parte nel nostro caso compare la variabile x, allora scrivete il dominio di definizione non c'è bisogno, perché verrà eseguito automaticamente.
Giudicate voi stessi: nella prima equazione abbiamo ottenuto che 3x − 1, cioè l'argomento dovrebbe essere uguale a 8. Ciò significa automaticamente che 3x − 1 sarà maggiore di zero.
Con lo stesso successo possiamo scrivere che nel secondo caso x dovrebbe essere uguale a 5 2, cioè sicuramente maggiore di zero. E nel terzo caso, dove x + 3 = 25.000, cioè, ancora una volta, ovviamente maggiore di zero. In altre parole, l'ambito è soddisfatto automaticamente, ma solo se x ricorre solo nell'argomento di un solo logaritmo.
Questo è tutto quello che devi sapere per risolvere i problemi più semplici. Questa regola da sola, insieme alle regole di trasformazione, ti permetterà di risolvere una classe molto ampia di problemi.
Ma siamo onesti: per comprendere finalmente questa tecnica, per imparare ad applicare la forma canonica dell'equazione logaritmica, non basta guardare solo una video lezione. Pertanto, scarica subito le opzioni per soluzioni indipendenti allegate a questa video lezione e inizia a risolvere almeno uno di questi due lavori indipendenti.
Ci vorranno letteralmente pochi minuti. Ma l'effetto di tale formazione sarà molto più elevato che se guardassi semplicemente questa lezione video.
Spero che questa lezione ti aiuti a comprendere le equazioni logaritmiche. Usa la forma canonica, semplifica le espressioni usando le regole per lavorare con i logaritmi e non avrai paura di alcun problema. Questo è tutto quello che ho per oggi.
Tenendo conto del dominio di definizione
Parliamo ora del dominio di definizione della funzione logaritmica e di come questo influisce sulla soluzione delle equazioni logaritmiche. Consideriamo una costruzione della forma
logaritmo a f (x) = b
Tale espressione è definita la più semplice: contiene solo una funzione e i numeri aeb sono solo numeri e in nessun caso una funzione che dipende dalla variabile x. Si può risolvere in modo molto semplice. Devi solo usare la formula:
b = log a a b
Questa formula è una delle proprietà chiave del logaritmo e sostituendo nella nostra espressione originale otteniamo quanto segue:
log a f (x) = log a a b
f(x) = ab
Questa è una formula familiare dai libri di testo scolastici. Molti studenti probabilmente avranno una domanda: poiché nell'espressione originale la funzione f (x) è sotto il segno di logaritmo, le vengono imposte le seguenti restrizioni:
f(x) > 0
Questa limitazione si applica perché il logaritmo dei numeri negativi non esiste. Quindi forse, a causa di questa limitazione, bisognerebbe introdurre un controllo sulle risposte? Forse devono essere inseriti nella fonte?
No, nelle equazioni logaritmiche più semplici non sono necessari ulteriori controlli. Ed ecco perché. Dai un'occhiata alla nostra formula finale:
f(x) = ab
Il fatto è che il numero a è comunque maggiore di 0: questo requisito è imposto anche dal logaritmo. Il numero a è la base. In questo caso non vengono imposte restrizioni al numero b. Ma questo non ha importanza, perché non importa a quale potenza eleviamo un numero positivo, otterremo comunque un numero positivo in uscita. Pertanto il requisito f(x) > 0 è automaticamente soddisfatto.
Ciò che vale davvero la pena controllare è il dominio della funzione sotto il segno di registro. Potrebbero esserci strutture piuttosto complesse ed è sicuramente necessario tenerle d'occhio durante il processo di soluzione. Vediamo.
Primo compito:
Primo passo: converti la frazione a destra. Otteniamo:
Eliminiamo il segno del logaritmo e otteniamo la solita equazione irrazionale:
Delle radici ottenute, solo la prima è adatta a noi, poiché la seconda radice è inferiore a zero. L'unica risposta sarà il numero 9. Ecco, il problema è risolto. Non sono necessari ulteriori controlli per garantire che l'espressione sotto il segno del logaritmo sia maggiore di 0, perché non solo è maggiore di 0, ma secondo la condizione dell'equazione è uguale a 2. Pertanto, il requisito “maggiore di zero " è soddisfatto automaticamente.
Passiamo al secondo compito:
Qui è tutto uguale. Riscriviamo la costruzione, sostituendo la tripla:
Eliminiamo i segni del logaritmo e otteniamo un'equazione irrazionale:
Quadratiamo entrambi i lati tenendo conto delle restrizioni e otteniamo:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Risolviamo l'equazione risultante attraverso il discriminante:
D = 49 − 24 = 25
x1 = −1
x2 = −6
Ma x = −6 non ci va bene, perché se sostituiamo questo numero nella nostra disuguaglianza, otteniamo:
−6 + 4 = −2 < 0
Nel nostro caso è necessario che sia maggiore di 0 o, in casi estremi, uguale. Ma x = −1 ci va bene:
−1 + 4 = 3 > 0
L'unica risposta nel nostro caso sarà x = −1. Questa è la soluzione. Torniamo all'inizio dei nostri calcoli.
L'aspetto principale di questa lezione è che non è necessario verificare i vincoli su una funzione in semplici equazioni logaritmiche. Perché durante il processo di soluzione tutti i vincoli vengono soddisfatti automaticamente.
Tuttavia, ciò non significa in alcun modo che puoi dimenticarti del tutto di controllare. Nel processo di lavoro su un'equazione logaritmica, potrebbe trasformarsi in un'equazione irrazionale, che avrà le sue restrizioni e requisiti per la parte destra, che abbiamo visto oggi in due diversi esempi.
Sentiti libero di risolvere tali problemi e presta particolare attenzione se c'è una radice nella discussione.
Equazioni logaritmiche con basi diverse
Continuiamo a studiare le equazioni logaritmiche e esaminiamo altre due tecniche piuttosto interessanti con le quali è di moda risolvere costruzioni più complesse. Ma prima ricordiamo come si risolvono i problemi più semplici:
logaritmo a f (x) = b
In questa notazione, aeb sono numeri, e nella funzione f (x) la variabile x deve essere presente, e solo lì, cioè x deve essere solo nell'argomento. Trasformeremo tali equazioni logaritmiche utilizzando la forma canonica. Per fare ciò, tienilo presente
b = log a a b
Inoltre, a b è precisamente un argomento. Riscriviamo questa espressione come segue:
log a f (x) = log a a b
Questo è esattamente ciò che stiamo cercando di ottenere, in modo che ci sia un logaritmo per basare a sia a sinistra che a destra. In questo caso possiamo, in senso figurato, cancellare i segni del registro e da un punto di vista matematico possiamo dire che stiamo semplicemente equiparando gli argomenti:
f(x) = ab
Di conseguenza, otterremo una nuova espressione che sarà molto più facile da risolvere. Applichiamo questa regola ai nostri problemi di oggi.
Quindi, il primo progetto:
Innanzitutto noto che a destra c'è una frazione il cui denominatore è log. Quando vedi un'espressione come questa, è una buona idea ricordare una meravigliosa proprietà dei logaritmi:
Tradotto in russo, ciò significa che qualsiasi logaritmo può essere rappresentato come il quoziente di due logaritmi con qualsiasi base c. Ovviamente 0< с ≠ 1.
Quindi: questa formula ha un meraviglioso caso speciale, quando la variabile c è uguale alla variabile B. In questo caso otteniamo una costruzione del tipo:
Questa è esattamente la costruzione che vediamo dal segno a destra nella nostra equazione. Sostituiamo questa costruzione con log a b , otteniamo:
In altre parole, rispetto al compito originale, abbiamo scambiato argomento e base del logaritmo. Invece abbiamo dovuto invertire la frazione.
Ricordiamo che qualsiasi grado può essere ricavato dalla base secondo la seguente regola:
In altre parole, il coefficiente k, che è la potenza della base, si esprime come una frazione invertita. Rendiamolo come una frazione invertita:
Il fattore frazionario non può essere lasciato davanti, perché in questo caso non saremo in grado di rappresentare questa notazione come una forma canonica (dopo tutto, nella forma canonica non c'è alcun fattore aggiuntivo prima del secondo logaritmo). Pertanto, aggiungiamo la frazione 1/4 all'argomento come potenza:
Ora uguagliamo argomenti le cui basi sono le stesse (e le nostre basi sono davvero le stesse) e scriviamo:
x + 5 = 1
x = −4
Questo è tutto. Abbiamo la risposta alla prima equazione logaritmica. Nota: nel problema originale, la variabile x appare solo in un log e nel suo argomento. Pertanto non è necessario verificare il dominio e il nostro numero x = −4 è effettivamente la risposta.
Passiamo ora alla seconda espressione:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Qui, oltre ai soliti logaritmi, dovremo lavorare con log f (x). Come risolvere una simile equazione? A uno studente impreparato può sembrare un compito difficile, ma in realtà tutto può essere risolto in modo elementare.
Consideriamo attentamente il termine lg 2 log 2 7. Cosa possiamo dire a riguardo? Le basi e gli argomenti di log e lg sono gli stessi e questo dovrebbe dare alcune idee. Ricordiamo ancora una volta come vengono tolti i poteri da sotto il segno del logaritmo:
log a b n = nlog a b
In altre parole, quella che nell'argomentazione era una potenza di b diventa un fattore a fronte del log stesso. Applichiamo questa formula all'espressione lg 2 log 2 7. Non lasciarti spaventare da lg 2: questa è l'espressione più comune. Puoi riscriverlo come segue:
Per esso valgono tutte le regole che valgono per qualsiasi altro logaritmo. In particolare, il fattore in primo piano può essere aggiunto alla portata dell'argomentazione. Scriviamolo:
Molto spesso gli studenti non vedono direttamente questa azione, perché non è bene inserire un registro sotto il segno di un altro. In realtà, non c'è nulla di criminale in questo. Inoltre, otteniamo una formula facile da calcolare se ricordi una regola importante:
Questa formula può essere considerata sia come una definizione che come una delle sue proprietà. In ogni caso, se stai convertendo un'equazione logaritmica, dovresti conoscere questa formula proprio come conosceresti la rappresentazione logaritmica di qualsiasi numero.
Torniamo al nostro compito. Lo riscriviamo tenendo conto del fatto che il primo termine a destra del segno uguale sarà semplicemente uguale a lg 7. Abbiamo:
lg56 = lg7 − 3lg (x + 4)
Spostiamo lg 7 a sinistra, otteniamo:
lg56 − log7 = −3lg (x + 4)
Sottraiamo le espressioni a sinistra perché hanno la stessa base:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
Ora diamo uno sguardo più da vicino all'equazione che abbiamo ottenuto. È praticamente la forma canonica, ma c'è un fattore −3 a destra. Aggiungiamolo all'argomento lg destro:
logaritmo 8 = logaritmo (x + 4) −3
Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica, quindi cancelliamo i segni lg e equiparamo gli argomenti:
(x + 4) −3 = 8
x+4 = 0,5
Questo è tutto! Abbiamo risolto la seconda equazione logaritmica. In questo caso non sono necessari ulteriori controlli, perché nel problema originale x era presente in un solo argomento.
Vorrei elencare nuovamente i punti chiave di questa lezione.
La formula principale che viene insegnata in tutte le lezioni di questa pagina dedicata alla risoluzione delle equazioni logaritmiche è la forma canonica. E non lasciarti spaventare dal fatto che la maggior parte dei libri di testo scolastici ti insegnano a risolvere questi problemi in modo diverso. Questo strumento funziona in modo molto efficace e ti consente di risolvere una classe di problemi molto più ampia di quelli più semplici che abbiamo studiato all'inizio della nostra lezione.
Inoltre, per risolvere equazioni logaritmiche sarà utile conoscerne le proprietà fondamentali. Vale a dire:
- La formula per spostarsi su una base e il caso speciale quando si inverte il logaritmo (questo ci è stato molto utile nel primo problema);
- Formula per sommare e sottrarre potenze dal segno del logaritmo. Qui molti studenti rimangono bloccati e non vedono che il titolo preso e introdotto può contenere esso stesso log f (x). Non c'è niente di sbagliato in questo. Possiamo introdurre un logaritmo secondo il segno dell'altro e allo stesso tempo semplificare notevolmente la soluzione del problema, che è ciò che osserviamo nel secondo caso.
In conclusione, vorrei aggiungere che non è necessario controllare il dominio di definizione in ciascuno di questi casi, perché ovunque la variabile x è presente in un solo segno di log, e allo stesso tempo è nel suo argomento. Di conseguenza, tutti i requisiti del campo di applicazione vengono soddisfatti automaticamente.
Problemi con base variabile
Oggi esamineremo le equazioni logaritmiche, che per molti studenti sembrano non standard, se non del tutto irrisolvibili. Stiamo parlando di espressioni basate non su numeri, ma su variabili e persino su funzioni. Risolveremo tali costruzioni utilizzando la nostra tecnica standard, ovvero attraverso la forma canonica.
Innanzitutto, ricordiamo come vengono risolti i problemi più semplici, in base ai numeri ordinari. Quindi, si chiama la costruzione più semplice
logaritmo a f (x) = b
Per risolvere tali problemi possiamo utilizzare la seguente formula:
b = log a a b
Riscriviamo la nostra espressione originale e otteniamo:
log a f (x) = log a a b
Quindi uguagliamo gli argomenti, cioè scriviamo:
f(x) = ab
Pertanto, eliminiamo il segno di registro e risolviamo il solito problema. In questo caso, le radici ottenute dalla soluzione saranno le radici dell'equazione logaritmica originale. Inoltre, un record in cui sia la sinistra che la destra si trovano nello stesso logaritmo con la stessa base è chiamato forma canonica. È a un tale record che proveremo a ridurre i progetti di oggi. Quindi andiamo.
Primo compito:
logaritmo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Sostituisci 1 con log x − 2 (x − 2) 1 . Il grado che osserviamo nel ragionamento è in realtà il numero b che si trovava a destra del segno uguale. Quindi, riscriviamo la nostra espressione. Otteniamo:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Cosa vediamo? Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica, quindi possiamo tranquillamente equiparare gli argomenti. Otteniamo:
2x2 − 13x + 18 = x − 2
Ma la soluzione non finisce qui, perché questa equazione non è equivalente a quella originaria. Dopotutto, la costruzione risultante è costituita da funzioni definite sull'intera linea numerica e i nostri logaritmi originali non sono definiti ovunque e non sempre.
Pertanto, dobbiamo scrivere separatamente il dominio di definizione. Non spacchiamo i capelli per il pelo e scriviamo prima tutti i requisiti:
Innanzitutto, l'argomento di ciascuno dei logaritmi deve essere maggiore di 0:
2x2 − 13x + 18 > 0
x−2 > 0
In secondo luogo, la base non solo deve essere maggiore di 0, ma anche diversa da 1:
x − 2 ≠ 1
Di conseguenza, otteniamo il sistema:
Ma non allarmarti: quando si elaborano equazioni logaritmiche, un tale sistema può essere notevolmente semplificato.
Giudicate voi stessi: da un lato, ci viene richiesto che la funzione quadratica sia maggiore di zero e, dall'altro, questa funzione quadratica sia equiparata a una certa espressione lineare, che è anche richiesta che sia maggiore di zero.
In questo caso, se richiediamo che x − 2 > 0, allora il requisito 2x 2 − 13x + 18 > 0 sarà automaticamente soddisfatto. Pertanto, possiamo tranquillamente eliminare la disuguaglianza contenente la funzione quadratica. Pertanto, il numero di espressioni contenute nel nostro sistema sarà ridotto a tre.
Naturalmente, con lo stesso successo potremmo eliminare la disuguaglianza lineare, cioè eliminare x − 2 > 0 e richiedere che 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ma concorderai che risolvere la disuguaglianza lineare più semplice è molto più veloce e più semplice di quello quadratico, anche a condizione che come risultato della risoluzione dell'intero sistema otteniamo le stesse radici.
In generale, cerca di ottimizzare i calcoli quando possibile. E nel caso delle equazioni logaritmiche, cancella le disuguaglianze più difficili.
Riscriviamo il nostro sistema:
Ecco un sistema di tre espressioni, di due delle quali in effetti abbiamo già trattato. Scriviamo separatamente l'equazione quadratica e risolviamola:
2x2 − 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Davanti a noi c’è un trinomio quadratico ridotto e, quindi, possiamo usare le formule di Vieta. Otteniamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x1 = 5
x2 = 2
Ora torniamo al nostro sistema e troviamo che x = 2 non ci soddisfa, perché ci viene richiesto che x sia strettamente maggiore di 2.
Ma x = 5 ci si addice perfettamente: il numero 5 è maggiore di 2, e allo stesso tempo 5 non è uguale a 3. Pertanto, l'unica soluzione di questo sistema sarà x = 5.
Questo è tutto, il problema è risolto, anche tenendo conto dell'ODZ. Passiamo alla seconda equazione. Calcoli più interessanti e informativi ci aspettano qui:
Il primo passo: come l'ultima volta, portiamo l'intera questione in forma canonica. Per fare ciò, possiamo scrivere il numero 9 come segue:
Non è necessario toccare la base con la radice, ma è meglio trasformare l’argomento. Passiamo dalla radice alla potenza con esponente razionale. Scriviamo:
Vorrei non riscrivere tutta la nostra grande equazione logaritmica, ma semplicemente uguagliare immediatamente gli argomenti:
x3 + 10x2 + 31x + 30 = x3 + 9x2 + 27x + 27
x2 + 4x + 3 = 0
Davanti a noi c'è un trinomio quadratico appena ridotto, usiamo le formule di Vieta e scriviamo:
(x + 3)(x + 1) = 0
x1 = −3
x2 = −1
Quindi abbiamo le radici, ma nessuno ci ha garantito che si adatterebbero all'equazione logaritmica originale. Dopotutto, i segni del registro impongono ulteriori restrizioni (qui avremmo dovuto scrivere il sistema, ma a causa della natura ingombrante dell'intera struttura, ho deciso di calcolare separatamente il dominio di definizione).
Innanzitutto ricordiamo che gli argomenti devono essere maggiori di 0, ovvero:
Questi sono i requisiti imposti dall'ambito di definizione.
Notiamo subito che poiché equiparamo tra loro le prime due espressioni del sistema, possiamo cancellarne qualcuna. Cancelliamo il primo perché sembra più minaccioso del secondo.
Inoltre, si noti che la soluzione alla seconda e alla terza disuguaglianza saranno gli stessi insiemi (il cubo di un numero è maggiore di zero se questo numero stesso è maggiore di zero; allo stesso modo, con una radice di terzo grado, queste disuguaglianze sono del tutto analogo, quindi possiamo cancellarlo).
Ma con la terza disuguaglianza questo non funzionerà. Eliminiamo il segno radicale a sinistra elevando entrambe le parti a cubo. Otteniamo:
Quindi otteniamo i seguenti requisiti:
− 2 ≠ x > −3
Quale delle nostre radici: x 1 = −3 o x 2 = −1 soddisfa questi requisiti? Ovviamente solo x = −1, perché x = −3 non soddisfa la prima disuguaglianza (poiché la nostra disuguaglianza è stretta). Quindi, tornando al nostro problema, otteniamo una radice: x = −1. Questo è tutto, problema risolto.
Ancora una volta, i punti chiave di questo compito:
- Sentiti libero di applicare e risolvere equazioni logaritmiche utilizzando la forma canonica. Gli studenti che prendono tale notazione, invece di passare direttamente dal problema originale a una costruzione come log a f (x) = b, commettono molti meno errori di quelli che si affrettano da qualche parte, saltando i passaggi intermedi dei calcoli;
- Non appena in un logaritmo compare una base variabile, il problema cessa di essere il più semplice. Pertanto, nel risolverlo, è necessario tenere conto del dominio di definizione: gli argomenti devono essere maggiori di zero e le basi non solo devono essere maggiori di 0, ma non devono nemmeno essere uguali a 1.
I requisiti finali possono essere applicati alle risposte finali in diversi modi. Ad esempio, puoi risolvere un intero sistema contenente tutti i requisiti per il dominio di definizione. D'altra parte, puoi prima risolvere il problema stesso, quindi ricordare il dominio di definizione, elaborarlo separatamente sotto forma di un sistema e applicarlo alle radici ottenute.
Sta a te decidere quale metodo scegliere per risolvere una particolare equazione logaritmica. In ogni caso la risposta sarà la stessa.
Vengono fornite le proprietà di base del logaritmo naturale, grafico, dominio di definizione, insieme di valori, formule di base, derivata, integrale, sviluppo in serie di potenze e rappresentazione della funzione ln x utilizzando numeri complessi.
Definizione
Logaritmo naturaleè la funzione y = lnx, l'inverso dell'esponenziale, x = e y, ed è il logaritmo alla base del numero e: ln x = log e x.
Il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato in matematica perché la sua derivata ha la forma più semplice: (ln x)′ = 1/ x.
Basato su definizioni, la base del logaritmo naturale è il numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafico della funzione y = lnx.
Grafico del logaritmo naturale (funzioni y = lnx) si ottiene dal grafico esponenziale per riflessione speculare relativo alla retta y = x.
Il logaritmo naturale è definito per valori positivi della variabile x.
Aumenta monotonicamente nel suo dominio di definizione. 0 In x →
il limite del logaritmo naturale è meno infinito (-∞).
Poiché x → + ∞, il limite del logaritmo naturale è più infinito (+ ∞). Per x grandi, il logaritmo aumenta piuttosto lentamente. Qualsiasi funzione di potenza x a con esponente positivo a cresce più velocemente del logaritmo.
Proprietà del logaritmo naturale
Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le principali proprietà del logaritmo naturale sono presentate nella tabella.
ln valori x
ln1 = 0
Formule fondamentali per i logaritmi naturali
Formule che seguono dalla definizione della funzione inversa:
La proprietà principale dei logaritmi e le sue conseguenze
Formula sostitutiva della base
Qualsiasi logaritmo può essere espresso in termini di logaritmi naturali utilizzando la formula di sostituzione delle basi:
Le dimostrazioni di queste formule sono presentate nella sezione "Logaritmo".
Funzione inversa
L'inverso del logaritmo naturale è l'esponente.
Se, allora
Se, allora.
Derivata ln x
Derivata del logaritmo naturale:
.
Derivata del logaritmo naturale del modulo x:
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Formule di derivazione > > >
Integrante
L'integrale si calcola integrando per parti:
.
COSÌ,
Espressioni che utilizzano numeri complessi
Consideriamo la funzione della variabile complessa z:
.
Esprimiamo la variabile complessa z tramite modulo R e argomento φ
:
.
Utilizzando le proprietà del logaritmo abbiamo:
.
O
.
L'argomento φ non è definito in modo univoco. Se metti
, dove n è un numero intero,
sarà lo stesso numero per n. diversi.
Pertanto, il logaritmo naturale, in quanto funzione di una variabile complessa, non è una funzione a valore singolo.
Espansione in serie di potenze
Quando avviene l’espansione:
Letteratura utilizzata:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Nota che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo che non sia uguale a 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 è uguale a 2.
Identità logaritmica di base
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)È importante che l'ambito di definizione dei lati destro e sinistro di questa formula sia diverso. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per qualsiasi b e non dipende affatto da a. Pertanto, l’applicazione dell’“identità” logaritmica di base quando si risolvono equazioni e disequazioni può portare a un cambiamento nella OD.
Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e quando lo eleviamo alla potenza zero, otteniamo uno.
Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'uso sconsiderato di queste formule quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche. Quando li si utilizza "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.
Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.
Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x), siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. Si verifica un restringimento del range dei valori accettabili, e questo è categoricamente inaccettabile, poiché può portare ad una perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).
Il grado può essere estratto dal segno del logaritmo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)E ancora una volta vorrei chiedere precisione. Considera il seguente esempio:
Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmo a f (x)
Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo il grado dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento dell'intervallo di valori accettabili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.
Formula per trasferirsi in una nuova fondazione
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la trasformazione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è completamente sicura.
Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso speciale della formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Alcuni semplici esempi con i logaritmi
Esempio 1. Calcola: log2 + log50.
Soluzione. log2 + log50 = log100 = 2. Abbiamo utilizzato la formula della somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.
Esempio 2. Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. log125/log5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la formula per spostarci in una nuova base (8).
Tabella delle formule relative ai logaritmi
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |