Prima di trovare l'area di un trapezio, è necessario determinare gli elementi noti del trapezio. Un trapezio è un oggetto geometrico, cioè un quadrilatero che ha due lati paralleli (due basi). Gli altri due lati sono laterali. Se anche questi due lati del quadrilatero sono paralleli, allora non sarà più un trapezio, ma un parallelogramma. Se almeno un angolo di un trapezio è di 90 gradi, tale trapezio è chiamato rettangolare. Vedremo più tardi come trovare l'area di un trapezio rettangolare. Esiste anche un trapezio isoscele, il cui nome parla da solo: i lati di un tale trapezio sono uguali. La distanza tra le basi di un trapezio è chiamata altezza e l'altezza viene spesso utilizzata per trovare l'area. La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei lati.

Formule di base per trovare l'area di un trapezio

• S= h*(a+b)/2
  Dove h è l'altezza del trapezio, a, b sono le basi. La formula più utilizzata per trovare l'area di un trapezio è la metà della somma delle basi moltiplicata per l'altezza.
• S = m*h
  Dove m è la linea mediana del trapezio, h è l'altezza. Anche l'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana del trapezio per la sua altezza.
• S=1/2*d1*d2*peccato(d1^d2)
  Dove d1, d2 sono le diagonali del trapezio, sin(d1^d2) è il seno dell'angolo formato dalle diagonali del trapezio.

Esistono anche varie formule derivate da quelle di base, nonché una formula per calcolare l'area di un trapezio quando si conoscono tutti i suoi lati. Tuttavia, questa formula è piuttosto complicata e viene utilizzata raramente, perché conoscendo tutti i lati del trapezio, puoi semplicemente determinare l'altezza o la sua linea mediana. Puoi anche inscrivere una circonferenza in un trapezio isoscele. In questo caso l'area del trapezio verrà calcolata utilizzando la formula: 8*raggio del cerchio quadrato.

Come trovare l'area di un trapezio rettangolare

Come accennato in precedenza, un trapezio si dice rettangolare se ha almeno un angolo retto. Trovare l'area di un tale trapezio è molto semplice. Fondamentalmente, per trovare l'area di un trapezio rettangolare si utilizzano le stesse formule di un trapezio regolare. Tuttavia, vale la pena ricordare che uno dei lati di un tale trapezio sarà l'altezza. Inoltre, spesso la risoluzione dei problemi relativi alla ricerca dell'area di un trapezio rettangolare si riduce alla ricerca dell'area del rettangolo e del triangolo formati dall'altezza omessa. Tali compiti sono abbastanza semplici.

Istruzioni

Per rendere più comprensibili entrambi i metodi, possiamo fare un paio di esempi.

Esempio 1: la lunghezza della linea mediana del trapezio è 10 cm, la sua area è 100 cm². Per trovare l'altezza di questo trapezio, devi fare:

h = 100/10 = 10 cm

Risposta: l'altezza di questo trapezio è 10 cm

Esempio 2: l'area del trapezio è 100 cm², le lunghezze delle basi sono 8 cm e 12 cm. Per trovare l'altezza di questo trapezio è necessario eseguire la seguente azione:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Risposta: l'altezza di questo trapezio è 20 cm

notare che

Esistono diversi tipi di trapezi:
Un trapezio isoscele è un trapezio i cui lati sono uguali tra loro.
Un trapezio rettangolo è un trapezio con uno dei suoi angoli interni che misura 90 gradi.
Vale la pena notare che in un trapezio rettangolare l'altezza coincide con la lunghezza del lato ad angolo retto.
Puoi disegnare un cerchio attorno a un trapezio o inserirlo all'interno di una determinata figura. Una circonferenza può essere inscritta solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati opposti. Una circonferenza può essere descritta solo attorno ad un trapezio isoscele.

Consigli utili

Un parallelogramma è un caso speciale di trapezio, perché la definizione di trapezio non contraddice la definizione di parallelogramma. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli tra loro. Per un trapezio la definizione si riferisce solo a una coppia dei suoi lati. Pertanto ogni parallelogramma è anche un trapezio. L’affermazione inversa non è vera.

Fonti:

• come trovare l'area di una formula trapezio

Suggerimento 2: come trovare l'altezza di un trapezio se si conosce l'area

Un trapezio è un quadrilatero in cui due dei quattro lati sono paralleli tra loro. I lati paralleli sono le basi di quello dato, gli altri due sono i lati laterali di quello dato. trapezi. Trovare altezza trapezi, se noto piazza, sarà molto facile.

Istruzioni

Devi capire come calcolare piazza originale trapezi. Esistono diverse formule per questo, a seconda dei dati iniziali: S = ((a+b)*h)/2, dove a e b sono basi trapezi, e h è la sua altezza (Height trapezi- perpendicolare, ribassato da una base trapezi ad un altro);
S = m*h, dove m è la linea trapezi(La linea mediana è un segmento con basi trapezi e collega i punti medi dei suoi lati).

Per maggiore chiarezza si possono considerare problemi simili: Esempio 1: Dato un trapezio con piazza 68 cm², la cui linea mediana è 8 cm, devi trovare altezza dato trapezi. Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare la formula precedentemente derivata:
h = 68/8 = 8,5 cm Risposta: altezza di questo trapeziè 8,5 cmEsempio 2: Sia y trapezi piazza equivale a 120 cm², la lunghezza delle basi di questo trapezi Rispettivamente 8 cm e 12 cm, devi trovare altezza Questo trapezi. Per fare ciò, è necessario applicare una delle formule derivate:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cm Risposta: data l'altezza trapezi pari a 12 cm

Video sull'argomento

notare che

Qualsiasi trapezio ha una serie di proprietà:

La linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle sue basi;

Il segmento che congiunge le diagonali di un trapezio è pari alla metà della differenza delle sue basi;

Se si traccia una linea retta attraverso i punti medi delle basi, allora intersecherà il punto di intersezione delle diagonali del trapezio;

Un cerchio può essere inscritto in un trapezio se la somma delle basi del trapezio è uguale alla somma dei suoi lati.

Utilizzare queste proprietà durante la risoluzione dei problemi.

Suggerimento 3: come trovare l'area di un trapezio se si conoscono le basi

Per definizione geometrica, un trapezio è un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli. Questi lati sono suoi ragioni. Distanza tra ragioni chiamato altezza trapezi. Trovare piazza trapezi possibile utilizzando formule geometriche.

Istruzioni

Misurare le basi e trapezi ABCD. Di solito vengono assegnati nei compiti. Consideriamo in questo esempio il problema della base AD (a) trapezi sarà pari a 10 cm, base BC (b) - 6 cm, altezza trapezi BK (h) - 8 cm. Usa la geometria per trovare l'area trapezi, se si conoscono le lunghezze delle sue basi e le altezze - S= 1/2 (a+b)*h, dove: - a - la dimensione della base AD trapezi ABCD, - b - il valore della base BC, - h - il valore dell'altezza BK.

In matematica si conoscono diversi tipi di quadrilateri: quadrato, rettangolo, rombo, parallelogramma. Tra questi c'è un trapezio, un tipo di quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli e gli altri due no. I lati paralleli opposti si chiamano basi, mentre gli altri due si chiamano lati laterali del trapezio. Il segmento che collega i punti medi dei lati si chiama linea mediana. Esistono diversi tipi di trapezi: isosceli, rettangolari, curvilinei. Per ogni tipo di trapezio esistono formule per trovare l'area.

Area del trapezio

Per trovare l'area di un trapezio, devi conoscere la lunghezza delle sue basi e l'altezza. L'altezza di un trapezio è un segmento perpendicolare alle basi. Sia a la base superiore, b la base inferiore e h l'altezza. Quindi puoi calcolare l'area S utilizzando la formula:

S = ½ * (a+b) * h

quelli. prendi la metà della somma delle basi moltiplicata per l'altezza.

Sarà anche possibile calcolare l'area del trapezio se si conoscono l'altezza e la linea centrale. Indichiamo la linea di mezzo - m. Poi

Risolviamo un problema più complicato: le lunghezze dei quattro lati del trapezio sono note: a, b, c, d. Quindi l'area verrà trovata utilizzando la formula:

Se si conoscono le lunghezze delle diagonali e l'angolo tra di esse, la ricerca nell'area viene effettuata come segue:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

dove d con indici 1 e 2 sono diagonali. In questa formula, nel calcolo viene indicato il seno dell'angolo.

Date le lunghezze note delle basi a e b e due angoli alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Area di un trapezio isoscele

Un trapezio isoscele è un caso speciale di trapezio. La sua differenza è che tale trapezio è un quadrilatero convesso con un asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti. I suoi lati sono uguali.

Esistono diversi modi per trovare l'area di un trapezio isoscele.

• Attraverso le lunghezze di tre lati. In questo caso, le lunghezze dei lati coincideranno, quindi sono designate con un valore - c, e aeb - le lunghezze delle basi:

• Se si conoscono la lunghezza della base superiore, il lato e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

dove a è la base superiore, c è il lato.

• Se invece della base superiore si conosce la lunghezza di quella inferiore - b, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Se si conoscono due basi e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola attraverso la tangente dell'angolo:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• L'area viene calcolata anche attraverso le diagonali e l'angolo tra loro. In questo caso, le diagonali hanno la stessa lunghezza, quindi denotiamo ciascuna con la lettera d senza pedici:

S = ½ * d2 * sin α

• Calcoliamo l'area del trapezio, conoscendo la lunghezza del lato, della linea centrale e dell'angolo alla base inferiore.

Sia c il lato laterale, m la linea mediana e a l'angolo:

S = m*c* sinα

A volte puoi inscrivere un cerchio in un trapezio equilatero, il cui raggio sarà r.

È noto che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi trapezio se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei suoi lati. Allora l'area si trova attraverso il raggio del cerchio inscritto e l'angolo alla base inferiore:

S = 4r2 / sinα

Lo stesso calcolo si effettua utilizzando il diametro D del cerchio inscritto (che tra l'altro coincide con l'altezza del trapezio):

Conoscendo la base e l'angolo, l'area di un trapezio isoscele si calcola come segue:

S = a * b / peccato α

(questa formula e le successive valgono solo per trapezi con circonferenza inscritta).

Utilizzando le basi e il raggio del cerchio, l'area si trova come segue:

Se si conoscono solo le basi, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

Attraverso le basi e la linea laterale, l'area del trapezio con il cerchio inscritto e attraverso le basi e la linea mediana - m si calcola come segue:

Area di un trapezio rettangolare

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei suoi lati è perpendicolare alla base. In questo caso la lunghezza del lato coincide con l'altezza del trapezio.

Un trapezio rettangolare è formato da un quadrato e un triangolo. Dopo aver trovato l'area di ciascuna figura, somma i risultati e ottieni l'area totale della figura.

Inoltre, le formule generali per calcolare l'area di un trapezio sono adatte per calcolare l'area di un trapezio rettangolare.

• Se si conoscono le lunghezze delle basi e l'altezza (o il lato perpendicolare), l'area si calcola con la formula:

S = (a+b)*h/2

Il lato c può fungere da h (altezza). Quindi la formula è simile a questa:

S = (a+b)*c/2

• Un altro modo per calcolare l'area è moltiplicare la lunghezza della linea centrale per l'altezza:

oppure dalla lunghezza del lato perpendicolare laterale:

• Il prossimo modo per calcolare è attraverso la metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Se le diagonali sono perpendicolari la formula si semplifica in:

S = ½ * d1 * d2

• Un altro modo per calcolare è attraverso il semiperimetro (la somma delle lunghezze di due lati opposti) e il raggio del cerchio inscritto.

Questa formula è valida per le basi. Se prendiamo la lunghezza dei lati, uno di essi sarà uguale al doppio del raggio. La formula sarà simile a questa:

S = (2r + c) * r

• Se un cerchio è inscritto in un trapezio, l'area si calcola nello stesso modo:

dove m è la lunghezza della linea centrale.

Area di un trapezio curvo

Un trapezio curvilineo è una figura piana delimitata dal grafico di una funzione continua non negativa y = f(x), definita sul segmento, sull'asse x e sulle rette x = a, x = b. In sostanza, due dei suoi lati sono paralleli tra loro (le basi), il terzo lato è perpendicolare alle basi e il quarto è una curva corrispondente al grafico della funzione.

L'area di un trapezio curvilineo si ricerca tramite l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

Ecco come vengono calcolate le aree dei vari tipi di trapezi. Ma, oltre alle proprietà dei lati, i trapezi hanno le stesse proprietà degli angoli. Come tutti i quadrilateri esistenti, la somma degli angoli interni di un trapezio è 360 gradi. E la somma degli angoli adiacenti al lato è 180 gradi.

Area di un trapezio. Saluti! In questa pubblicazione esamineremo questa formula. Perché è esattamente così e come capirla. Se c’è comprensione, non è necessario insegnarla. Se vuoi solo guardare questa formula e con urgenza, puoi scorrere immediatamente la pagina))

Ora in dettaglio e in ordine.

Un trapezio è un quadrilatero, due lati di questo quadrilatero sono paralleli, gli altri due no. Quelle che non sono parallele sono le basi del trapezio. Gli altri due sono chiamati lati.

Se i lati sono uguali il trapezio si dice isoscele. Se uno dei lati è perpendicolare alle basi, tale trapezio viene chiamato rettangolare.

Nella sua forma classica, un trapezio è raffigurato come segue: la base più grande è rispettivamente in basso, quella più piccola è in alto. Ma nessuno vieta di raffigurarla e viceversa. Ecco gli schizzi:

Prossimo concetto importante.

La linea mediana di un trapezio è un segmento che collega i punti medi dei lati. La linea mediana è parallela alle basi del trapezio ed è uguale alla loro semisomma.

Ora approfondiamo. Perché è così?

Consideriamo un trapezio con basi aeb e con la linea di mezzo l, ed esegui alcune costruzioni aggiuntive: traccia linee rette attraverso le basi e perpendicolari attraverso le estremità della linea mediana finché non si intersecano con le basi:

*Le designazioni di lettere per vertici e altri punti non sono incluse intenzionalmente per evitare designazioni non necessarie.

Guarda, i triangoli 1 e 2 sono uguali secondo il secondo segno di uguaglianza dei triangoli, i triangoli 3 e 4 sono uguali. Dall'uguaglianza dei triangoli segue l'uguaglianza degli elementi, vale a dire le gambe (sono indicate rispettivamente in blu e rosso).

Ora attenzione! Se mentalmente "tagliamo" i segmenti blu e rossi dalla base inferiore, rimarremo con un segmento (questo è il lato del rettangolo) uguale alla linea mediana. Successivamente, se "incolliamo" i segmenti blu e rossi tagliati alla base superiore del trapezio, otterremo anche un segmento (questo è anche il lato del rettangolo) uguale alla linea mediana del trapezio.

Fatto? Risulta che la somma delle basi sarà uguale alle due linee mediane del trapezio:

Visualizza un'altra spiegazione

Facciamo quanto segue: costruiamo una linea retta che passa per la base inferiore del trapezio e una linea retta che passa per i punti A e B:

Otteniamo i triangoli 1 e 2, sono uguali lungo il lato e gli angoli adiacenti (il secondo segno di uguaglianza dei triangoli). Ciò significa che il segmento risultante (nello schizzo è indicato in blu) è uguale alla base superiore del trapezio.

Consideriamo ora il triangolo:

*La linea mediana di questo trapezio e la linea mediana del triangolo coincidono.

È noto che un triangolo è uguale alla metà della base ad esso parallela, cioè:

Ok, abbiamo capito. Ora sull'area del trapezio.

Formula dell'area del trapezio:

Dicono: l'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle sue basi e dell'altezza.

Cioè, risulta che è uguale al prodotto della linea centrale e dell'altezza:

Probabilmente hai già notato che questo è ovvio. Dal punto di vista geometrico, ciò può essere espresso in questo modo: se tagliamo mentalmente i triangoli 2 e 4 dal trapezio e li posizioniamo rispettivamente sui triangoli 1 e 3:

Quindi otterremo un rettangolo con un'area pari all'area del nostro trapezio. L'area di questo rettangolo sarà uguale al prodotto della linea centrale e dell'altezza, ovvero possiamo scrivere:

Ma qui il punto non è scrivere, ovviamente, ma capire.

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Questo è tutto. Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alessandro.

E . Ora possiamo iniziare a considerare la questione su come trovare l'area di un trapezio. Questo compito si presenta molto raramente nella vita di tutti i giorni, ma a volte risulta necessario, ad esempio, trovare l'area di una stanza a forma di trapezio, che viene sempre più utilizzata nella costruzione di appartamenti moderni, o in progetti di ristrutturazione del design.

Un trapezio è una figura geometrica formata da quattro segmenti intersecanti, due dei quali sono paralleli tra loro e sono chiamati basi del trapezio. Gli altri due segmenti sono chiamati lati del trapezio. Inoltre, avremo bisogno di un'altra definizione in seguito. Questa è la linea mediana del trapezio, che è un segmento che collega i punti medi dei lati e l'altezza del trapezio, che è uguale alla distanza tra le basi.
Come i triangoli, i trapezi hanno tipi speciali sotto forma di trapezio isoscele (equilatero), in cui le lunghezze dei lati sono le stesse, e di trapezio rettangolare, in cui uno dei lati forma un angolo retto con le basi.

I trapezi hanno alcune proprietà interessanti:

1. La linea mediana del trapezio è pari alla metà della somma delle basi ed è parallela ad esse.
   
2. I trapezi isosceli hanno i lati uguali e gli angoli che formano con le basi.
   
3. I punti medi delle diagonali di un trapezio e il punto di intersezione delle sue diagonali si trovano sulla stessa retta.
   
4. Se la somma dei lati di un trapezio è uguale alla somma delle basi allora in esso è inscritto un cerchio
   
5. Se la somma degli angoli formati dai lati di un trapezio in una qualsiasi delle sue basi è 90, la lunghezza del segmento che collega i punti medi delle basi è uguale alla loro semidifferenza.
   
6. Un trapezio isoscele può essere descritto da un cerchio. E viceversa. Se un trapezio rientra in un cerchio allora è isoscele.
   
7. Il segmento passante per i punti medi delle basi di un trapezio isoscele sarà perpendicolare alle sue basi e rappresenta l'asse di simmetria.
   

Come trovare l'area di un trapezio.

L'area del trapezio sarà pari alla metà della somma delle sue basi moltiplicata per la sua altezza. In forma di formula, questo è scritto come un'espressione:

dove S è l'area del trapezio, a, b è la lunghezza di ciascuna delle basi del trapezio, h è l'altezza del trapezio.

Puoi capire e ricordare questa formula come segue. Come segue dalla figura seguente, utilizzando la linea centrale, un trapezio può essere convertito in un rettangolo, la cui lunghezza sarà pari alla metà della somma delle basi.

Puoi anche scomporre qualsiasi trapezio in figure più semplici: un rettangolo e uno o due triangoli e, se è più facile per te, trova l'area del trapezio come la somma delle aree delle sue figure costituenti.

Esiste un'altra semplice formula per calcolare la sua area. Secondo esso, l'area di un trapezio è uguale al prodotto della sua linea mediana per l'altezza del trapezio e si scrive nella forma: S = m*h, dove S è l'area, m è la lunghezza del trapezio linea mediana, h è l'altezza del trapezio. Questa formula è più adatta ai problemi di matematica che ai problemi quotidiani, poiché in condizioni reali non conoscerai la lunghezza della linea centrale senza calcoli preliminari. E conoscerai solo le lunghezze delle basi e dei lati.

In questo caso, l'area del trapezio può essere trovata utilizzando la formula:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

dove S è l'area, a, b sono le basi, c, d sono i lati del trapezio.

Esistono molti altri modi per trovare l'area di un trapezio. Ma sono scomodi quanto l’ultima formula, il che significa che non ha senso soffermarsi su di essi. Pertanto, ti consigliamo di utilizzare la prima formula dell'articolo e ti auguriamo di ottenere sempre risultati accurati.