“Vedo grappoli di numeri vaghi che si nascondono lì nell'oscurità, dietro il piccolo punto di luce che dà la candela della ragione. Si sussurrano tra loro; cospirando su chissà cosa. Forse non gli piacciamo molto perché catturiamo i loro fratellini nella nostra mente. O forse conducono semplicemente una vita a una cifra, là fuori, al di là della nostra comprensione.
Douglas Ray
Prima o poi tutti sono tormentati dalla domanda: qual è il numero più grande? Ci sono un milione di risposte alla domanda di un bambino. Qual è il prossimo passo? Trilioni. E anche oltre? In effetti, la risposta alla domanda su quali siano i numeri più grandi è semplice. Tutto quello che devi fare è aggiungere uno al numero più grande e non sarà più il più grande. Questa procedura può essere continuata indefinitamente.
Ma se ti poni la domanda: qual è il numero più grande che esiste e qual è il suo nome proprio?
Ora scopriremo tutto...
Esistono due sistemi per nominare i numeri: americano e inglese.
Il sistema americano è costruito in modo abbastanza semplice. Tutti i nomi di grandi numeri sono costruiti in questo modo: all'inizio c'è un numero ordinale latino e alla fine viene aggiunto il suffisso -milione. Un'eccezione è il nome "milione" che è il nome del numero mille (lat. mille) e il suffisso di ingrandimento -illion (vedi tabella). In questo modo otteniamo i numeri trilioni, quadrilioni, quintilioni, sestilioni, settilioni, ottillioni, nonlioni e decilioni. Il sistema americano è utilizzato negli USA, Canada, Francia e Russia. Puoi scoprire il numero di zeri in un numero scritto nel sistema americano usando la semplice formula 3 x + 3 (dove x è un numero latino).
Il sistema di denominazione inglese è il più comune al mondo. Viene utilizzato, ad esempio, in Gran Bretagna e Spagna, così come nella maggior parte delle ex colonie inglesi e spagnole. I nomi dei numeri in questo sistema sono costruiti in questo modo: in questo modo: il suffisso -milione viene aggiunto al numero latino, il numero successivo (1000 volte più grande) è costruito secondo il principio - lo stesso numero latino, ma il suffisso - miliardi. Cioè, dopo un trilione nel sistema inglese c'è un trilione, e solo allora un quadrilione, seguito da un quadrilione, ecc. Pertanto, un quadrilione secondo il sistema inglese e quello americano sono numeri completamente diversi! Puoi trovare il numero di zeri in un numero scritto secondo il sistema inglese e che termina con il suffisso -million, utilizzando la formula 6 x + 3 (dove x è un numero latino) e utilizzando la formula 6 x + 6 per i numeri che termina con - miliardi.
Solo il numero miliardo (10 9) è passato dal sistema inglese alla lingua russa, che sarebbe ancora più corretto chiamarlo come lo chiamano gli americani: miliardo, poiché abbiamo adottato il sistema americano. Ma chi nel nostro Paese fa qualcosa secondo le regole! ;-) A proposito, a volte in russo viene usata la parola trilioni (puoi verificarlo tu stesso eseguendo una ricerca su Google o Yandex) e, a quanto pare, significa 1000 trilioni, cioè quadrilione.
Oltre ai numeri scritti con prefissi latini secondo il sistema americano o inglese, sono noti anche i cosiddetti numeri non di sistema, cioè numeri che hanno nomi propri senza prefissi latini. Esistono molti di questi numeri, ma ne parlerò di più un po 'più tardi.
Torniamo a scrivere utilizzando i numeri latini. Sembrerebbe che possano scrivere i numeri all'infinito, ma questo non è del tutto vero. Ora spiegherò perché. Vediamo prima come si chiamano i numeri da 1 a 10 33:
E ora sorge la domanda: cosa succederà dopo? Cosa c'è dietro il decilione? In linea di principio è ovviamente possibile, combinando i prefissi, generare mostri come: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, ottodecillion e novemdecillion, ma questi saranno già nomi composti, e a noi interessava i nostri nomi e numeri. Pertanto, secondo questo sistema, oltre a quelli sopra indicati, si possono comunque ottenere solo tre nomi propri: vigintillion (dal lat.viginti- venti), centesimo (dal lat.centesimo- cento) e milioni (dal lat.mille-mila). I romani non avevano più di mille nomi propri per i numeri (tutti i numeri sopra il mille erano compositi). Ad esempio, i romani chiamavano un milione (1.000.000)decies centena milia, cioè "diecicentomila". E ora, in realtà, la tabella:
Pertanto, secondo tale sistema, i numeri sono maggiori di 10 3003 , che avrebbe un nome proprio e non composto, è impossibile da ottenere! Tuttavia, si conoscono numeri superiori a un milione: si tratta degli stessi numeri non sistemici. Parliamo finalmente di loro.
Il numero più piccolo è una miriade (è anche nel dizionario di Dahl), che significa cento centinaia, cioè 10.000. Questa parola, tuttavia, è obsoleta e praticamente non utilizzata, ma è curioso che lo sia la parola "miriadi". ampiamente usato, non significa affatto un numero definito, ma una moltitudine innumerevole, innumerevole di qualcosa. Si ritiene che la parola miriade sia arrivata nelle lingue europee dall'antico Egitto.
Esistono opinioni diverse sull'origine di questo numero. Alcuni credono che abbia avuto origine in Egitto, mentre altri credono che sia nato solo nell'antica Grecia. Comunque sia in effetti, la miriade ottenne la fama proprio grazie ai Greci. Miriade era il nome di 10.000, ma non esistevano nomi per numeri superiori a diecimila. Tuttavia, nella sua nota “Psammit” (cioè calcolo della sabbia), Archimede mostrò come costruire e nominare sistematicamente numeri arbitrariamente grandi. In particolare, ponendo 10.000 (miriadi) granelli di sabbia in un seme di papavero, scopre che nell'Universo (una palla con un diametro pari a una miriade di diametri terrestri) ci starebbero (nella nostra notazione) non più di 10 63
granelli di sabbia È curioso che i calcoli moderni del numero di atomi nell'Universo visibile conducano al numero 10 67
(in totale una miriade di volte di più). Archimede suggerì i seguenti nomi per i numeri:
1 miriade = 10 4 .
1 di-miriade = miriade di miriadi = 10 8
.
1 tri-miriade = di-miriade di-miriade = 10 16
.
1 tetramiriade = tre miriadi tre miriadi = 10 32
.
ecc.
Google(dall'inglese googol) è il numero dieci alla centesima potenza, cioè uno seguito da cento zeri. Il "googol" fu menzionato per la prima volta nel 1938 nell'articolo "Nuovi nomi in matematica" nel numero di gennaio della rivista Scripta Mathematica del matematico americano Edward Kasner. Secondo lui, è stato suo nipote Milton Sirotta, di nove anni, a suggerire di chiamare “googol” il grande numero. Questo numero è diventato generalmente noto grazie al motore di ricerca che porta il suo nome. Google. Tieni presente che "Google" è un marchio e googol è un numero.
Edoardo Kasner.
Su Internet si trova spesso menzionato questo, ma non è vero...
Nel famoso trattato buddista Jaina Sutra, risalente al 100 aC, compare il numero asankheya(dalla Cina asenzi- non numerabile), pari a 10 140. Si ritiene che questo numero sia uguale al numero di cicli cosmici necessari per raggiungere il nirvana.
Googolplex(Inglese) googolplex) - un numero inventato anche da Kasner e suo nipote e che significa uno con un googol di zeri, cioè 10 10100 . Ecco come lo stesso Kasner descrive questa “scoperta”:
Le parole di saggezza vengono pronunciate dai bambini almeno tanto spesso quanto dagli scienziati. Il nome "googol" è stato inventato da un bambino (il nipote di nove anni del dottor Kasner) a cui è stato chiesto di inventare un nome per un numero molto grande, vale a dire 1 seguito da cento zeri. Ne era assolutamente certo questo numero non era infinito, e quindi altrettanto certo che dovesse avere un nome. Nello stesso momento in cui suggerì "googol" diede un nome per un numero ancora più grande: "Un googolplex è molto più grande di un googol,". ma è pur sempre finito, come ha subito sottolineato l’inventore del nome.
Matematica e immaginazione(1940) di Kasner e James R. Newman.
Un numero ancora più grande di un googolplex - Numero di distorsione (Numero di Skewes) fu proposto da Skewes nel 1933 (Skewes. J. Londra matematica. Soc. 8, 277-283, 1933.) nel dimostrare l'ipotesi di Riemann riguardante i numeri primi. Significa e in una certa misura e in una certa misura e alla potenza di 79, cioè ee e 79 . Più tardi, te Riele, H. J. J. "Sul segno della differenza P(x)-Li(x)." Matematica. Calcola. 48, 323-328, 1987) ha ridotto il numero Skuse a ee 27/4 , che equivale approssimativamente a 8.185·10 370. È chiaro che poiché il valore del numero Skuse dipende dal numero e, allora non è un numero intero, quindi non lo considereremo, altrimenti dovremmo ricordare altri numeri non naturali: il numero pi, il numero e, ecc.
Ma va notato che esiste un secondo numero Skuse, che in matematica è indicato come Sk2, che è addirittura maggiore del primo numero Skuse (Sk1). Secondo numero di Skewes, è stato introdotto da J. Skuse nello stesso articolo per denotare un numero per il quale l'ipotesi di Riemann non vale. Sk2 è uguale a 1010 10103 , cioè 1010 101000 .
Come avrete capito, più gradi ci sono, più è difficile capire quale numero sia maggiore. Ad esempio, guardando i numeri di Skewes, senza calcoli particolari, è quasi impossibile capire quale di questi due numeri sia più grande. Pertanto, per numeri molto grandi diventa scomodo utilizzare le potenze. Inoltre, puoi inventare tali numeri (e sono già stati inventati) quando i gradi di laurea semplicemente non si adattano alla pagina. Sì, è sulla pagina! Non entreranno nemmeno in un libro grande quanto l’intero Universo! In questo caso, sorge la domanda su come scriverli. Il problema, come capisci, è risolvibile e i matematici hanno sviluppato diversi principi per scrivere tali numeri. È vero, ogni matematico che si è posto la domanda su questo problema ha inventato il proprio modo di scrivere, che ha portato all'esistenza di diversi metodi per scrivere numeri, non correlati tra loro: queste sono le notazioni di Knuth, Conway, Steinhouse, ecc.
Consideriamo la notazione di Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Istantanee matematiche, 3a ed. 1983), il che è abbastanza semplice. Stein House ha suggerito di scrivere grandi numeri all'interno di forme geometriche: triangolo, quadrato e cerchio:
Steinhouse ha inventato due nuovi numeri supergrandi. Ha chiamato il numero - Mega e il numero è Megiston.
Il matematico Leo Moser perfezionò la notazione di Stenhouse, che era limitata dal fatto che se fosse stato necessario scrivere numeri molto più grandi di un megiston, sorgevano difficoltà e inconvenienti, poiché molti cerchi dovevano essere disegnati uno dentro l'altro. Moser suggerì che dopo i quadrati non si disegnassero cerchi, ma pentagoni, poi esagoni e così via. Propose anche una notazione formale per questi poligoni in modo che i numeri potessero essere scritti senza disegnare immagini complicate. Notazione Moser assomiglia a questo:
Pertanto, secondo la notazione di Moser, Steinhouse mega è scritto come 2 e megiston come 10. Inoltre, Leo Moser propose di chiamare un poligono con il numero di lati uguale a mega - megagono. E propose il numero “2 in Megagon”, cioè 2. Questo numero divenne noto come numero di Moser o semplicemente come Moser
Ma Moser non è il numero più grande. Il numero più grande mai utilizzato nella dimostrazione matematica è il limite noto come Numero di Graham(Numero di Graham), utilizzato per la prima volta nel 1977 nella dimostrazione di una stima della teoria di Ramsey. È associato agli ipercubi bicromatici e non può essere espresso senza uno speciale sistema a 64 livelli di simboli matematici speciali introdotto da Knuth nel 1976.
Sfortunatamente, un numero scritto nella notazione di Knuth non può essere convertito in notazione utilizzando il sistema Moser. Dovremo quindi spiegare anche questo sistema. In linea di principio, non c'è nemmeno nulla di complicato in questo. Donald Knuth (sì, sì, è lo stesso Knuth che ha scritto "The Art of Programming" e creato l'editor TeX) ha inventato il concetto di superpotere, che ha proposto di scrivere con le frecce rivolte verso l'alto:
In generale assomiglia a questo:
Penso che tutto sia chiaro, quindi torniamo al numero di Graham. Graham ha proposto i cosiddetti numeri G:
Si cominciò a chiamare il numero G63 Numero di Graham(spesso è indicato semplicemente come G). Questo numero è il numero più grande conosciuto al mondo ed è persino elencato nel Guinness dei primati. Ebbene, il numero di Graham è maggiore del numero di Moser.
PS Per portare grande beneficio a tutta l'umanità e diventare famoso nel corso dei secoli, ho deciso di inventare e nominare io stesso il numero più grande. Questo numero verrà chiamato stasplex ed è uguale al numero G100. Ricordatelo, e quando i vostri figli vi chiederanno qual è il numero più grande del mondo, dite loro come si chiama questo numero stasplex
Quindi ci sono numeri maggiori del numero di Graham? Naturalmente, per cominciare c'è il numero di Graham. Per quanto riguarda il numero significativo... beh, ci sono alcune aree diabolicamente complesse della matematica (in particolare l'area conosciuta come combinatoria) e dell'informatica in cui compaiono numeri anche più grandi del numero di Graham. Ma abbiamo quasi raggiunto il limite di ciò che può essere spiegato razionalmente e chiaramente.
C'era una volta da bambini che imparavamo a contare fino a dieci, poi fino a cento, poi fino a mille. Allora qual è il numero più grande che conosci? Mille, un milione, un miliardo, un trilione... E poi? Petalo, dirà qualcuno, e sbaglierà, perché confonde il prefisso SI con un concetto completamente diverso.
In realtà, la domanda non è così semplice come sembra a prima vista. In primo luogo, stiamo parlando di nominare i nomi delle potenze dei mille. E qui, la prima sfumatura che molti conoscono dai film americani è che chiamano il nostro miliardo un miliardo.
Inoltre, ci sono due tipi di scale: lunga e corta. Nel nostro paese viene utilizzata una scala breve. In questa scala, ad ogni passo la mantissa aumenta di tre ordini di grandezza, cioè moltiplicare per mille - mille 10 3, milione 10 6, miliardo/miliardo 10 9, trilioni (10 12). Nella scala lunga, dopo un miliardo 10 9 c'è un miliardo 10 12, e successivamente la mantissa aumenta di sei ordini di grandezza, e il numero successivo, chiamato trilione, significa già 10 18.
Ma torniamo alla nostra scala nativa. Vuoi sapere cosa viene dopo un trilione? Per favore:
10 3 mila
10 6 milioni
10 9 miliardi
10 12 trilioni
10 15 quadrilioni
10 18 quintilioni
10 21 sestilioni
10 24 settillion
10 27 ottilioni
10 30 nonmiliardi
10 33 decilioni
10 36 undecillion
10 39 dodecillion
10 42 tredecillion
10 45 quattroordecillion
10 48 quindecillion
10 51 cedecillion
10 54 settembredecillion
10 57 duodevigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 vigilillion
10 66 anvigintillion
10 69 duovigintillion
10 72 trevigintillion
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintilione
10 81 sexvigintillion
10 84 settembrevigintillion
10 87 ottovigintillion
10 90 novembrevigintillion
10 93 trigintillion
10 96 antigintillion
A questo numero la nostra scala breve non lo sopporta e successivamente la mantide aumenta progressivamente.
10 100 gogol
10.123 quadragintillion
10.153 quinquagintilioni
10.183 sesagintilioni
10.213 settuagintilioni
10.243 ottogintilioni
10.273 nonagintilioni
10.303 centesimi
10.306 centesimi
10.309 centulioni
10.312 centilioni
10.315 centquadrilioni
10.402 centritrigintillion
10.603 decentramento
10.903 tricentilioni
10 1203 quadringentilione
10 1503 quingentilioni
10 1803 sescentillion
10 2103 settingentillion
10 2403 oxtingentillion
10 2703 nongentilioni
10 3003 milioni
10 6003 duomilioni
10 9003 tre milioni
10 3000003 miliardi
10 6000003 duomilialioni
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 milioni
Google(dall'inglese googol) - un numero nel sistema decimale rappresentato da un'unità seguita da 100 zeri:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Nel 1938, il matematico americano Edward Kasner (1878-1955) stava passeggiando nel parco con i suoi due nipoti e discutendo con loro di grandi numeri. Durante la conversazione abbiamo parlato di un numero con cento zeri, che non aveva un nome proprio. Uno dei nipoti, Milton Sirotta, di nove anni, ha suggerito di chiamare questo numero “googol”. Nel 1940, Edward Kasner, insieme a James Newman, scrisse il popolare libro scientifico "Matematica e immaginazione" ("Nuovi nomi in matematica"), dove parlò agli amanti della matematica del numero googol.
Il termine “googol” non ha alcun significato teorico o pratico serio. Kasner lo propose per illustrare la differenza tra un numero inimmaginabilmente grande e l'infinito, e il termine è talvolta usato nell'insegnamento della matematica per questo scopo.
Googolplex(dall'inglese googolplex) - un numero rappresentato da un'unità con un googol di zeri. Come googol, il termine "googolplex" è stato coniato dal matematico americano Edward Kasner e da suo nipote Milton Sirotta.
Il numero di googol è maggiore del numero di tutte le particelle nella parte dell'universo a noi conosciuta, che va da 1079 a 1081. Pertanto, il numero googolplex, composto da (googol + 1) cifre, non può essere scritto nel classica forma “decimale”, anche se tutta la materia nelle parti conosciute dell’universo si trasformasse in carta e inchiostro o spazio sul disco del computer.
Milioni di dollari(Zillion inglese) - un nome generale per numeri molto grandi.
Questo termine non ha una definizione matematica rigorosa. Nel 1996, Conway (Ing. J. H. Conway) e Guy (Ing. R. K. Guy) nel loro libro English. Il Libro dei Numeri definisce l'ennesima potenza zillion come 10 3×n+3 per il sistema di denominazione dei numeri su scala breve.
Ci sono numeri così incredibilmente, incredibilmente grandi che ci vorrebbe l’intero universo anche solo per scriverli. Ma ecco la cosa veramente folle: alcuni di questi numeri insondabilmente grandi sono cruciali per comprendere il mondo.
Quando dico “il numero più grande nell’universo”, intendo davvero il più grande significativo numero, il numero massimo possibile che è utile in qualche modo. I contendenti a questo titolo sono tanti, ma ti avverto subito: c'è davvero il rischio che cercare di capire tutto ti lasci a bocca aperta. E poi, con troppa matematica, non ti divertirai molto.
Googol e googolplex
Edoardo Kasner
Potremmo iniziare con quelli che probabilmente sono i due numeri più grandi di cui tu abbia mai sentito parlare, e questi sono infatti i due numeri più grandi che hanno definizioni generalmente accettate nella lingua inglese. (Esiste una nomenclatura abbastanza precisa per indicare i numeri grandi quanto si desidera, ma questi due numeri non li troverete più nei dizionari al giorno d'oggi.) Googol, da quando è diventato famoso in tutto il mondo (anche se con errori, attenzione. in effetti è googol ) sotto forma di Google, nato nel 1920 come un modo per interessare i bambini ai grandi numeri.
A tal fine, Edward Kasner (nella foto) ha portato i suoi due nipoti, Milton e Edwin Sirott, a fare una passeggiata attraverso le Palisades del New Jersey. Li ha invitati a trovare qualche idea, e poi Milton, nove anni, ha suggerito "googol". Non si sa da dove abbia preso questa parola, ma Kasner lo ha deciso 
oppure un numero in cui cento zeri seguono l'unità sarà d'ora in poi chiamato googol.
Ma il giovane Milton non si è fermato qui; ha proposto un numero ancora più grande, il googolplex. Questo è un numero, secondo Milton, in cui il primo posto è 1, e poi tanti zeri quanti potresti scrivere prima di stancarti. Sebbene l’idea sia affascinante, Kasner ha deciso che era necessaria una definizione più formale. Come spiegò nel suo libro Mathematics and the Imagination del 1940, la definizione di Milton lascia aperta la rischiosa possibilità che un buffone qualunque possa diventare un matematico superiore ad Albert Einstein semplicemente perché ha più resistenza.
Quindi Kasner decise che un googolplex sarebbe stato , ovvero 1, e poi un googol di zeri. Altrimenti, e in notazione simile a quella che tratteremo per gli altri numeri, diremo che un googolplex è . Per dimostrare quanto ciò sia affascinante, Carl Sagan una volta notò che è fisicamente impossibile scrivere tutti gli zeri di un googolplex perché semplicemente non c'è abbastanza spazio nell'universo. Se riempiamo l'intero volume dell'Universo osservabile con piccole particelle di polvere di circa 1,5 micron, il numero di modi diversi in cui queste particelle possono essere disposte sarà approssimativamente uguale a un googolplex.
Linguisticamente parlando, googol e googolplex sono probabilmente i due numeri significativi più grandi (almeno nella lingua inglese), ma, come stabiliremo ora, ci sono infiniti modi per definire il “significato”.
Mondo reale
Se parliamo del numero significativo più grande, è ragionevole sostenere che ciò significa in realtà che dobbiamo trovare il numero più grande con un valore che esiste effettivamente nel mondo. Possiamo iniziare con l’attuale popolazione umana, che ammonta attualmente a circa 6.920 milioni. Il PIL globale nel 2010 è stato stimato a circa 61.960 miliardi di dollari, ma entrambi questi numeri sono insignificanti rispetto ai circa 100 trilioni di cellule che compongono il corpo umano. Naturalmente, nessuno di questi numeri può essere paragonato al numero totale di particelle nell'Universo, che generalmente è considerato pari a circa , e questo numero è così grande che la nostra lingua non ha una parola per definirlo.
Possiamo giocare un po' con i sistemi di misure, rendendo i numeri sempre più grandi. Pertanto, la massa del Sole in tonnellate sarà inferiore a quella in libbre. Un ottimo modo per farlo è utilizzare il sistema di unità di Planck, che sono le misure più piccole possibili per le quali si applicano ancora le leggi della fisica. Ad esempio, l'età dell'Universo nel tempo di Planck è di circa . Se torniamo alla prima unità di tempo di Planck dopo il Big Bang, vedremo che allora la densità dell'Universo era . Stiamo ottenendo sempre di più, ma non abbiamo ancora raggiunto googol.
Il numero più grande con qualsiasi applicazione del mondo reale - o in questo caso applicazione del mondo reale - è probabilmente una delle ultime stime del numero di universi nel multiverso. Questo numero è così grande che il cervello umano non sarà letteralmente in grado di percepire tutti questi diversi universi, poiché il cervello è capace solo di configurazioni approssimative. In effetti, questo numero è probabilmente il numero più grande che abbia senso pratico a meno che non si tenga conto dell’idea del multiverso nel suo insieme. Tuttavia, ci sono ancora numeri molto più grandi in agguato. Ma per trovarli dobbiamo addentrarci nel regno della matematica pura, e non c’è posto migliore per cominciare dei numeri primi.
Primi di Mersenne
Parte della sfida è trovare una buona definizione di cosa sia un numero “significativo”. Un modo è pensare in termini di numeri primi e composti. Un numero primo, come probabilmente ricorderete dalla matematica scolastica, è qualsiasi numero naturale (nota diversa da uno) divisibile solo per se stesso. Quindi, e sono numeri primi, e e sono numeri composti. Ciò significa che qualsiasi numero composto può essere rappresentato in definitiva dai suoi fattori primi. In un certo senso, il numero è più importante, ad esempio, di , perché non c'è modo di esprimerlo in termini di prodotto di numeri più piccoli.
Ovviamente possiamo andare un po’ oltre. , ad esempio, è in realtà solo , il che significa che in un mondo ipotetico in cui la nostra conoscenza dei numeri è limitata a , un matematico può ancora esprimere il numero . Ma il numero successivo è primo, il che significa che l'unico modo per esprimerlo è conoscere direttamente la sua esistenza. Ciò significa che i più grandi numeri primi conosciuti svolgono un ruolo importante, ma, ad esempio, un googol - che in definitiva è solo una raccolta di numeri e , moltiplicati insieme - in realtà non lo fa. E poiché i numeri primi sono fondamentalmente casuali, non esiste un modo noto per prevedere che un numero incredibilmente grande sarà effettivamente primo. Ad oggi, scoprire nuovi numeri primi è un’impresa difficile.
I matematici dell'antica Grecia avevano il concetto di numeri primi almeno già nel 500 a.C., e 2000 anni dopo le persone sapevano ancora quali numeri fossero primi solo fino a circa 750. I pensatori dei tempi di Euclide vedevano la possibilità di una semplificazione, ma non era così. finché i matematici del Rinascimento non poterono più utilizzarlo nella pratica. Questi numeri sono conosciuti come numeri di Mersenne, dal nome dello scienziato francese del XVII secolo Marin Mersenne. L'idea è abbastanza semplice: un numero di Mersenne è un numero qualsiasi della forma . Quindi, ad esempio, e questo numero è primo, lo stesso vale per .
È molto più semplice e veloce determinare i numeri primi di Mersenne rispetto a qualsiasi altro tipo di numero primo, e i computer hanno lavorato duramente per cercarli negli ultimi sei decenni. Fino al 1952, il più grande numero primo conosciuto era un numero, un numero con cifre. Nello stesso anno, il computer calcolò che il numero è primo e questo numero è composto da cifre, il che lo rende molto più grande di un googol.
Da allora i computer sono andati a caccia di questo fenomeno e attualmente il numero di Mersenne è il più grande numero primo conosciuto dall'umanità. Scoperto nel 2008, ammonta a un numero con quasi milioni di cifre. È il numero conosciuto più grande che non può essere espresso in termini di numeri più piccoli e se vuoi aiuto per trovare un numero di Mersenne ancora più grande, tu (e il tuo computer) potete sempre partecipare alla ricerca su http://www.mersenne org /.
Numero di distorsione
Stanley Skewes
Consideriamo ancora una volta i numeri primi. Come ho detto, si comportano in modo fondamentalmente sbagliato, nel senso che non c’è modo di prevedere quale sarà il prossimo numero primo. I matematici sono stati costretti a ricorrere ad alcune misurazioni piuttosto fantastiche per trovare un modo per prevedere i futuri numeri primi, anche in modo nebuloso. Il tentativo più riuscito è probabilmente la funzione di conteggio dei numeri primi, inventata alla fine del XVIII secolo dal leggendario matematico Carl Friedrich Gauss.
Ti risparmierò i calcoli più complicati - abbiamo comunque molto altro da fare - ma l'essenza della funzione è questa: per qualsiasi numero intero, puoi stimare quanti numeri primi ci sono più piccoli di . Ad esempio, se , la funzione prevede che dovrebbero esserci numeri primi, se dovrebbero esserci numeri primi minori di , e se , allora dovrebbero esserci numeri più piccoli che sono primi.
La disposizione dei numeri primi è infatti irregolare ed è solo un'approssimazione del numero effettivo dei numeri primi. Sappiamo infatti che esistono numeri primi minori di , numeri primi minori di , e numeri primi minori di . Si tratta di un'ottima stima, certo, ma è sempre e solo una stima... e, più precisamente, una stima dall'alto.
In tutti i casi noti fino a , la funzione che trova il numero di numeri primi sovrastima leggermente il numero effettivo di numeri primi inferiori a . I matematici un tempo pensavano che questo sarebbe sempre stato così, all’infinito, e che questo si sarebbe certamente applicato ad alcuni numeri inimmaginabilmente grandi, ma nel 1914 John Edensor Littlewood dimostrò che per qualche numero sconosciuto, inimmaginabilmente grande, questa funzione avrebbe cominciato a produrre meno numeri primi. , quindi passerà dalla stima superiore a quella inferiore un numero infinito di volte.
La caccia era al punto di partenza delle gare, e poi è apparso Stanley Skewes (vedi foto). Nel 1933 dimostrò che il limite superiore quando una funzione che approssima il numero dei numeri primi produce per prima un valore più piccolo è il numero . È difficile comprendere veramente anche nel senso più astratto cosa rappresenti effettivamente questo numero, e da questo punto di vista è stato il numero più grande mai utilizzato in una seria dimostrazione matematica. Da allora i matematici sono riusciti a ridurre il limite superiore a un numero relativamente piccolo, ma il numero originale rimane noto come numero di Skewes.
Allora quanto è grande il numero che fa impallidire anche il potente googolplex? Nel Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells racconta un modo in cui il matematico Hardy riuscì a concettualizzare la dimensione del numero Skuse:
"Hardy pensava che fosse "il numero più grande mai utilizzato per uno scopo particolare in matematica" e suggerì che se una partita a scacchi fosse giocata con tutte le particelle dell'universo come pezzi, una mossa consisterebbe nello scambiare due particelle, e l'altra il gioco si fermerebbe quando la stessa posizione viene ripetuta una terza volta, allora il numero di tutti i giochi possibili sarebbe approssimativamente uguale al numero di Skuse.'
Un'ultima cosa prima di proseguire: abbiamo parlato del più piccolo dei due numeri di Skewes. Esiste un altro numero di Skuse, scoperto dal matematico nel 1955. Il primo numero deriva dal fatto che è vera la cosiddetta ipotesi di Riemann: si tratta di un'ipotesi matematica particolarmente difficile e non dimostrata, molto utile quando si tratta di numeri primi. Tuttavia, se l'ipotesi di Riemann è falsa, Skuse ha scoperto che il punto di partenza dei salti aumenta a .
Problema di grandezza
Prima di arrivare al numero che fa sembrare minuscolo anche il numero di Skewes, dobbiamo parlare un po’ di scala, perché altrimenti non avremmo modo di valutare dove andremo. Per prima cosa prendiamo un numero: è un numero minuscolo, così piccolo che le persone possono avere una comprensione intuitiva di cosa significhi. Sono pochissimi i numeri che si adattano a questa descrizione, poiché i numeri maggiori di sei cessano di essere numeri separati e diventano “molti”, “molti”, ecc.
Ora prendiamo , cioè . Sebbene in realtà non possiamo intuitivamente, come abbiamo fatto per il numero, capire di cosa si tratta, è molto facile immaginare di cosa si tratta. Fin qui tutto bene. Ma cosa succede se ci trasferiamo in ? Questo è uguale a , o . Siamo molto lontani dall'essere in grado di immaginare questa quantità, come qualsiasi altra molto grande: perdiamo la capacità di comprendere le singole parti intorno a un milione. (Certo, ci vorrebbe un tempo follemente lungo per contare effettivamente fino a un milione di qualsiasi cosa, ma il punto è che siamo ancora in grado di percepire quel numero.)
Tuttavia, anche se non possiamo immaginarlo, siamo almeno in grado di capire in termini generali cosa siano 7600 miliardi, magari paragonandoli a qualcosa come il PIL americano. Siamo passati dall’intuizione alla rappresentazione fino alla semplice comprensione, ma almeno abbiamo ancora qualche lacuna nella nostra comprensione di cosa sia un numero. Le cose stanno per cambiare mentre saliamo di un altro gradino sulla scala.
Per fare ciò dobbiamo passare a una notazione introdotta da Donald Knuth, nota come notazione della freccia. Questa notazione può essere scritta come . Quando poi andremo a , il numero che otterremo sarà . Questo è uguale a dove si trova il totale di tre. Abbiamo ormai superato di gran lunga tutti gli altri numeri di cui abbiamo già parlato. Dopotutto, anche i più grandi avevano solo tre o quattro termini nella serie degli indicatori. Ad esempio, anche il numero super-Skuse è "solo" - anche tenendo conto del fatto che sia la base che gli esponenti sono molto più grandi di , non è assolutamente nulla in confronto alla dimensione di una torre numerica con un miliardo di membri .
Ovviamente, non c'è modo di comprendere numeri così grandi... eppure, il processo attraverso il quale vengono creati può ancora essere compreso. Non siamo riusciti a capire la quantità reale data da una torre di poteri con un miliardo di triplette, ma possiamo sostanzialmente immaginare una torre del genere con molti termini, e un supercomputer davvero decente sarebbe in grado di immagazzinare tali torri in memoria anche se fosse non è stato possibile calcolare i loro valori effettivi.
Ciò sta diventando sempre più astratto, ma non potrà che peggiorare. Potresti pensare che una torre di gradi abbia la stessa lunghezza dell'esponente (in effetti, nella versione precedente di questo post ho commesso proprio questo errore), ma è semplice. In altre parole, immagina di essere in grado di calcolare il valore esatto di una torre di potere composta da triplette di elementi, e poi di prendere quel valore e creare una nuova torre con tanti al suo interno quanti... che dà .
Ripetere questo processo con ogni numero successivo ( nota partendo da destra) finché non lo fai per volte, e poi finalmente ottieni . Questo è un numero semplicemente incredibilmente grande, ma almeno i passaggi per ottenerlo sembrano comprensibili se fai tutto molto lentamente. Non possiamo più comprendere i numeri né immaginare la procedura con cui vengono ottenuti, ma almeno potremo comprendere l'algoritmo di base, solo in un tempo sufficientemente lungo.
Adesso prepariamo la mente a farcela davvero.
Numero di Graham (Graham)
Ronald Graham
È così che si ottiene il numero di Graham, che occupa un posto nel Guinness dei primati come il numero più grande mai utilizzato in una dimostrazione matematica. È assolutamente impossibile immaginare quanto sia grande, ed è altrettanto difficile spiegare esattamente di cosa si tratta. Fondamentalmente, il numero di Graham appare quando si ha a che fare con gli ipercubi, che sono forme geometriche teoriche con più di tre dimensioni. Il matematico Ronald Graham (vedi foto) voleva scoprire in quale numero minimo di dimensioni alcune proprietà di un ipercubo rimarrebbero stabili. (Ci scusiamo per una spiegazione così vaga, ma sono sicuro che tutti dobbiamo conseguire almeno due lauree in matematica per renderla più accurata.)
In ogni caso, il numero di Graham è una stima superiore di questo numero minimo di dimensioni. Quindi quanto è grande questo limite superiore? Torniamo al numero, così grande che possiamo comprendere solo vagamente l'algoritmo per ottenerlo. Ora, invece di saltare semplicemente di un ulteriore livello fino a , conteremo il numero che ha le frecce tra i primi e gli ultimi tre. Ora siamo ben oltre la minima comprensione di cosa sia questo numero o anche di cosa dobbiamo fare per calcolarlo.
Ora ripetiamo questo processo una volta ( nota ad ogni passo successivo scriviamo il numero di frecce pari al numero ottenuto nel passo precedente).
Questo, signore e signori, è il numero di Graham, che è circa un ordine di grandezza più alto del limite della comprensione umana. È un numero che è molto più grande di qualsiasi numero tu possa immaginare – è molto più grande di qualsiasi infinito che potresti mai sperare di immaginare – che semplicemente sfida anche la descrizione più astratta.
Ma ecco una cosa strana. Dato che il numero di Graham è fondamentalmente costituito da terzine moltiplicate insieme, conosciamo alcune delle sue proprietà senza effettivamente calcolarlo. Non possiamo rappresentare il numero di Graham utilizzando alcuna notazione familiare, anche se usassimo l'intero universo per scriverlo, ma posso dirti subito le ultime dodici cifre del numero di Graham: . E non è tutto: conosciamo almeno le ultime cifre del numero di Graham.
Naturalmente vale la pena ricordare che questo numero è solo il limite superiore del problema originale di Graham. È del tutto possibile che il numero effettivo di misurazioni richieste per soddisfare la proprietà desiderata sia molto, molto inferiore. Infatti, fin dagli anni '80, secondo la maggior parte degli esperti del settore, si ritiene che in realtà esistano solo sei dimensioni, un numero così piccolo che possiamo comprenderlo intuitivamente. Da allora il limite inferiore è stato elevato a , ma ci sono ancora ottime possibilità che la soluzione al problema di Graham non si trovi nemmeno vicino a un numero grande quanto il numero di Graham.
Verso l'infinito
Quindi ci sono numeri maggiori del numero di Graham? Naturalmente, per cominciare c'è il numero di Graham. Per quanto riguarda il numero significativo... beh, ci sono alcune aree diabolicamente complesse della matematica (in particolare l'area conosciuta come combinatoria) e dell'informatica in cui compaiono numeri anche più grandi del numero di Graham. Ma abbiamo quasi raggiunto il limite di ciò che posso sperare possa mai essere spiegato razionalmente. Per coloro abbastanza avventati da spingersi oltre, si consigliano ulteriori letture a proprio rischio e pericolo.
Bene, ora una citazione straordinaria attribuita a Douglas Ray ( nota Onestamente, sembra piuttosto divertente:
“Vedo grappoli di numeri vaghi che si nascondono lì nell'oscurità, dietro il piccolo punto di luce che dà la candela della ragione. Si sussurrano tra loro; cospirando su chissà cosa. Forse non gli piacciamo molto perché catturiamo i loro fratellini nella nostra mente. O forse conducono semplicemente una vita a una cifra, là fuori, al di là della nostra comprensione.
La domanda “Qual è il numero più grande del mondo?” è, per usare un eufemismo, sbagliata. Esistono vari sistemi numerici - decimale, binario ed esadecimale, nonché varie categorie di numeri - semiprimi e semplici, questi ultimi suddivisi in legali e illegali. Inoltre ci sono i numeri di Skewes, Steinhouse e altri matematici che, per scherzo o sul serio, inventano e presentano al pubblico esotici come “Megiston” o “Moser”.
Qual è il numero più grande del mondo nel sistema decimale
Del sistema decimale, la maggior parte dei “non matematici” ha familiarità con milioni, miliardi e trilioni. Inoltre, se i russi generalmente associano un milione a una bustarella di dollari che può essere portata via in una valigia, allora dove riempire un miliardo (per non parlare di trilioni) di banconote nordamericane - la maggior parte delle persone manca di immaginazione. Tuttavia, nella teoria dei grandi numeri ci sono concetti come quadrilione (dieci alla quindicesima potenza - 1015), sestilione (1021) e ottillion (1027).
Nel sistema decimale inglese, il sistema decimale più utilizzato al mondo, il numero massimo è considerato un decilione: 1033.
Nel 1938, in connessione con lo sviluppo della matematica applicata e l'espansione del micro e macrocosmo, professore alla Columbia University (USA), Edward Kasner pubblicò sulle pagine della rivista Scripta Mathematica la proposta del nipote di nove anni di utilizzare il sistema decimale rappresenta al massimo il numero grande "googol" - che rappresenta la dieci alla centesima potenza (10100), che sulla carta è espresso come uno seguito da cento zeri. Tuttavia non si fermarono qui e qualche anno dopo proposero di introdurre un nuovo numero più grande del mondo - il “googolplex”, che rappresenta dieci elevato alla decima potenza e nuovamente elevato alla centesima potenza - (1010)100, espresso da un'unità, a cui è assegnato un googol di zeri a destra. Tuttavia, anche per la maggior parte dei matematici professionisti, sia “googol” che “googolplex” rivestono un interesse puramente speculativo ed è improbabile che possano essere applicati a qualcosa nella pratica quotidiana.
Numeri esotici
Qual è il numero più grande al mondo tra i numeri primi, quelli che possono essere divisi solo per se stessi e per uno. Uno dei primi a registrare il numero primo più grande, pari a 2.147.483.647, fu il grande matematico Leonhard Euler. A partire da gennaio 2016, questo numero è riconosciuto come l'espressione calcolata come 274.207.281 – 1.
Innumerevoli numeri diversi ci circondano ogni giorno. Sicuramente molte persone si sono chieste almeno una volta quale numero sia considerato il più grande. Puoi semplicemente dire a un bambino che questo è un milione, ma gli adulti capiscono perfettamente che altri numeri seguono un milione. Ad esempio, tutto ciò che devi fare è aggiungere ogni volta uno a un numero e diventerà sempre più grande: questo accade all'infinito. Ma se guardi i numeri che hanno nomi, puoi scoprire come si chiama il numero più grande del mondo.
La comparsa dei nomi dei numeri: quali metodi vengono utilizzati?
Oggi esistono 2 sistemi in base ai quali vengono dati i nomi ai numeri: americano e inglese. Il primo è abbastanza semplice e il secondo è il più comune in tutto il mondo. Quello americano consente di dare nomi a grandi numeri come segue: prima viene indicato il numero ordinale in latino, quindi viene aggiunto il suffisso “milione” (l'eccezione qui è milioni, che significa mille). Questo sistema è utilizzato da americani, francesi, canadesi ed è utilizzato anche nel nostro Paese.
L'inglese è ampiamente usato in Inghilterra e Spagna. Secondo esso, i numeri sono chiamati come segue: il numero in latino è "più" con il suffisso "illion", e il numero successivo (mille volte più grande) è "più" "miliardo". Ad esempio, il trilione viene prima, il trilione viene dopo, il quadrilione viene dopo il quadrilione, ecc.
Pertanto, lo stesso numero in sistemi diversi può significare cose diverse; ad esempio, un miliardo americano nel sistema inglese è chiamato miliardo.
Numeri extrasistema
Oltre ai numeri scritti secondo i sistemi noti (sopra indicati), esistono anche quelli non sistemici. Hanno i loro nomi, che non includono prefissi latini.
Puoi iniziare a considerarli con un numero chiamato miriade. È definito come centocento (10000). Ma secondo lo scopo previsto, questa parola non viene usata, ma viene usata come indicazione di una moltitudine innumerevole. Anche il dizionario di Dahl fornirà gentilmente una definizione di tale numero.
Subito dopo la miriade c'è un googol, che denota 10 alla potenza di 100. Questo nome fu usato per la prima volta nel 1938 dal matematico americano E. Kasner, il quale notò che questo nome era stato inventato da suo nipote.
Google (motore di ricerca) ha preso il nome in onore di googol. Quindi 1 con un googol di zeri (1010100) rappresenta un googolplex - anche Kasner ha inventato questo nome.
Ancora più grande del googolplex è il numero di Skuse (e elevato a e elevato a e79), proposto da Skuse nella sua dimostrazione della congettura di Rimmann sui numeri primi (1933). Esiste un altro numero di Skuse, ma viene utilizzato quando l'ipotesi di Rimmann non è vera. Quale sia il più grande è abbastanza difficile da dire, soprattutto quando si tratta di grandi gradi. Tuttavia, questo numero, nonostante la sua “enormità”, non può essere considerato il migliore tra tutti quelli che hanno i propri nomi.
E il leader tra i numeri più grandi del mondo è il numero di Graham (G64). Fu utilizzato per la prima volta per effettuare dimostrazioni nel campo delle scienze matematiche (1977).
Quando si tratta di un numero del genere, devi sapere che non puoi fare a meno di uno speciale sistema a 64 livelli creato da Knuth: la ragione di ciò è la connessione del numero G con gli ipercubi bicromatici. Knuth ha inventato il superlaurea e, per rendere conveniente la sua registrazione, ha proposto l'uso delle frecce rivolte verso l'alto. Quindi abbiamo scoperto come si chiama il numero più grande del mondo. Vale la pena notare che questo numero G era incluso nelle pagine del famoso Libro dei primati.