La matrice inversa per una data matrice è tale matrice, moltiplicando quella originale per cui si ottiene la matrice identità: Una condizione obbligatoria e sufficiente per la presenza di una matrice inversa è che il determinante della matrice originale sia diverso da zero (il che a sua volta implica che la matrice deve essere quadrata). Se il determinante di una matrice è uguale a zero, allora è detta singolare e tale matrice non ha inversa. Nella matematica superiore, le matrici inverse sono importanti e vengono utilizzate per risolvere una serie di problemi. Ad esempio, su trovare la matrice inversaè stato costruito un metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni. Il nostro sito di servizio lo consente calcolare la matrice inversa online due metodi: il metodo di Gauss-Jordan e l'utilizzo della matrice delle addizioni algebriche. La prima prevede un gran numero di trasformazioni elementari all'interno della matrice, la seconda prevede il calcolo del determinante e delle addizioni algebriche di tutti gli elementi. Per calcolare il determinante di una matrice online, puoi utilizzare il nostro altro servizio - Calcolo del determinante di una matrice online
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Continuiamo la conversazione sulle azioni con le matrici. Vale a dire, durante lo studio di questa lezione imparerai come trovare la matrice inversa. Imparare. Anche se la matematica è difficile.
Cos'è una matrice inversa? Qui possiamo tracciare un'analogia con i numeri inversi: consideriamo, ad esempio, il numero ottimista 5 e il suo numero inverso. Il prodotto di questi numeri è uguale a uno: . Tutto è simile con le matrici! Il prodotto di una matrice e della sua matrice inversa è uguale a – matrice identitaria, che è l'analogo matriciale dell'unità numerica. Tuttavia, per prima cosa, risolviamo prima un importante problema pratico, vale a dire, impariamo come trovare questa matrice molto inversa.
Cosa devi sapere ed essere in grado di fare per trovare la matrice inversa? Devi essere in grado di decidere qualificazioni. Devi capire di cosa si tratta matrice ed essere in grado di eseguire alcune azioni con loro.
Esistono due metodi principali per trovare la matrice inversa:
utilizzando addizioni algebriche E utilizzando trasformazioni elementari.
Oggi studieremo il primo metodo, più semplice.
Cominciamo con il più terribile e incomprensibile. Consideriamo piazza matrice. La matrice inversa può essere trovata utilizzando la seguente formula:
Dov'è il determinante della matrice, è la matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice.
Il concetto di matrice inversa esiste solo per matrici quadrate, matrici “due per due”, “tre per tre”, ecc.
Designazioni: Come avrai già notato, la matrice inversa è denotata da un apice
Cominciamo con il caso più semplice: una matrice due per due. Molto spesso, ovviamente, è necessario "tre per tre", ma consiglio vivamente di studiare un compito più semplice per comprendere il principio generale della soluzione.
Esempio:
Trova l'inversa di una matrice
Decidiamo. È conveniente scomporre punto per punto la sequenza delle azioni.
1) Innanzitutto troviamo il determinante della matrice.
Se la tua comprensione di questa azione non è buona, leggi il materiale Come calcolare il determinante?
Importante! Se il determinante della matrice è uguale a ZERO– matrice inversa NON ESISTE.
Nell'esempio in esame, come si è scoperto, ciò significa che tutto è in ordine.
2) Trova la matrice dei minori.
Per risolvere il nostro problema non è necessario sapere cosa sia un minore, tuttavia è consigliabile leggere l'articolo Come calcolare il determinante.
La matrice dei minori ha le stesse dimensioni della matrice, cioè in questo caso.
L'unica cosa che resta da fare è trovare quattro numeri e metterli al posto degli asterischi.
Torniamo alla nostra matrice
Diamo prima un'occhiata all'elemento in alto a sinistra:
Come trovarlo minore?
E questo viene fatto in questo modo: cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui si trova questo elemento:
Il numero rimanente è minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice dei minori:
Consideriamo il seguente elemento di matrice:
Cancella mentalmente la riga e la colonna in cui appare questo elemento:
Ciò che rimane è il minore di questo elemento, che scriviamo nella nostra matrice:
Allo stesso modo, consideriamo gli elementi della seconda riga e troviamo i loro minori:
Pronto.
È semplice. Nella matrice dei minori di cui hai bisogno CAMBIARE SEGNI due numeri:
Questi sono i numeri che ho cerchiato!
– matrice delle addizioni algebriche dei corrispondenti elementi della matrice.
E proprio...
4) Trova la matrice trasposta delle addizioni algebriche.
– matrice trasposta dei complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice.
5) Rispondi.
Ricordiamo la nostra formula
È stato trovato tutto!
Quindi la matrice inversa è: 
È meglio lasciare la risposta così com'è. NON C'È BISOGNO dividi ogni elemento della matrice per 2, poiché il risultato sono numeri frazionari. Questa sfumatura è discussa più dettagliatamente nello stesso articolo. Azioni con matrici.
Come verificare la soluzione?
È necessario eseguire la moltiplicazione di matrici o
Esame: 
Ricevuto già menzionato matrice identitariaè una matrice con unità per diagonale principale e zeri in altri posti.
Pertanto, la matrice inversa viene trovata correttamente.
Se esegui l'azione, anche il risultato sarà una matrice identità. Questo è uno dei pochi casi in cui la moltiplicazione di matrici è commutativa, maggiori dettagli possono essere trovati nell'articolo Proprietà delle operazioni sulle matrici. Espressioni di matrice. Si noti inoltre che durante il controllo, la costante (frazione) viene anticipata ed elaborata alla fine, dopo la moltiplicazione della matrice. Questa è una tecnica standard.
Passiamo al caso più comune nella pratica: la matrice tre per tre:
Esempio:
Trova l'inversa di una matrice 
L'algoritmo è esattamente lo stesso del caso “due per due”.
Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula: , dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice.
1) Trovare il determinante della matrice.
Qui si rivela il determinante sulla prima riga.
Inoltre, non dimenticarlo, il che significa che va tutto bene - esiste la matrice inversa.
2) Trova la matrice dei minori.
La matrice dei minori ha una dimensione “tre per tre” 
, e dobbiamo trovare nove numeri.
Considererò nel dettaglio un paio di minorenni:
Consideriamo il seguente elemento di matrice: 
Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui si trova questo elemento: 
Scriviamo i restanti quattro numeri nel determinante “due per due”. 
Questo determinante due per due e è il minore di questo elemento. È necessario calcolarlo: 
Ecco, il minore è stato ritrovato, lo scriviamo nella nostra matrice dei minori: 
Come probabilmente hai intuito, devi calcolare nove determinanti due per due. Il processo, ovviamente, è noioso, ma il caso non è il più grave, può essere peggio.
Bene, per consolidare, trovando un altro minore nelle immagini: 
Prova a calcolare tu stesso i minori rimanenti.
Risultato finale: 
– matrice dei minori dei corrispondenti elementi della matrice.
Il fatto che tutti i minorenni siano risultati negativi è puramente casuale.
3) Trova la matrice delle addizioni algebriche.
Nella matrice dei minorenni è necessario CAMBIARE SEGNI rigorosamente per i seguenti elementi: 
In questo caso:
Non consideriamo la ricerca della matrice inversa per una matrice “quattro per quattro”, poiché tale compito può essere assegnato solo da un insegnante sadico (perché lo studente calcoli un determinante “quattro per quattro” e 16 determinanti “tre per tre” ). Nella mia pratica si è verificato solo un caso del genere e il cliente del test ha pagato a caro prezzo il mio tormento =).
In numerosi libri di testo e manuali puoi trovare un approccio leggermente diverso per trovare la matrice inversa, ma io consiglio di utilizzare l'algoritmo risolutivo descritto sopra. Perché? Perché la probabilità di confondersi nei calcoli e nei segni è molto inferiore.
Per ogni matrice A non singolare esiste un'unica matrice A -1 tale che
LA*LA -1 =LA -1 *LA = MI,
dove E è la matrice identità degli stessi ordini di A. La matrice A -1 è chiamata l'inverso della matrice A.
Nel caso qualcuno lo dimenticasse, nella matrice identità, ad eccezione della diagonale piena di unità, tutte le altre posizioni sono riempite con zeri, un esempio di matrice identità:
Trovare la matrice inversa utilizzando il metodo delle matrici aggiunte
La matrice inversa è definita dalla formula:
dove A ij - elementi a ij.
Quelli. Per calcolare la matrice inversa, è necessario calcolare il determinante di questa matrice. Quindi trova i complementi algebrici di tutti i suoi elementi e componi una nuova matrice da essi. Successivamente è necessario trasportare questa matrice. E dividi ogni elemento della nuova matrice per il determinante della matrice originale.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Trova A -1 per una matrice
Soluzione Troviamo A -1 utilizzando il metodo della matrice aggiunta. Abbiamo det A = 2. Troviamo i complementi algebrici degli elementi della matrice A. In questo caso i complementi algebrici degli elementi della matrice saranno i corrispondenti elementi della matrice stessa, presi con segno secondo la formula
Abbiamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiamo la matrice aggiunta
Trasportiamo la matrice A*:
Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula:
Otteniamo:
Utilizzando il metodo della matrice aggiunta, trova A -1 se
Soluzione Innanzitutto calcoliamo la definizione di questa matrice per verificare l'esistenza della matrice inversa. Abbiamo
Qui abbiamo aggiunto agli elementi della seconda riga gli elementi della terza riga, precedentemente moltiplicati per (-1), e poi espanso il determinante per la seconda riga. Poiché la definizione di questa matrice è diversa da zero, esiste la sua matrice inversa. Per costruire la matrice aggiunta, troviamo i complementi algebrici degli elementi di questa matrice. Abbiamo
Secondo la formula
matrice di trasporto A*:
Quindi secondo la formula
Trovare la matrice inversa utilizzando il metodo delle trasformazioni elementari
Oltre al metodo per trovare la matrice inversa, che segue dalla formula (metodo della matrice aggiunta), esiste un metodo per trovare la matrice inversa, chiamato metodo delle trasformazioni elementari.
Trasformazioni di matrici elementari
Le seguenti trasformazioni sono chiamate trasformazioni di matrici elementari:
1) riorganizzazione delle righe (colonne);
2) moltiplicare una riga (colonna) per un numero diverso da zero;
3) sommando agli elementi di una riga (colonna) i corrispondenti elementi di un'altra riga (colonna), precedentemente moltiplicati per un certo numero.
Per trovare la matrice A -1, costruiamo una matrice rettangolare B = (A|E) di ordine (n; 2n), assegnando alla matrice A di destra la matrice identità E attraverso una linea di demarcazione:
Diamo un'occhiata a un esempio.
Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova A -1 se
Soluzione. Formiamo la matrice B:
Indichiamo le righe della matrice B con α 1, α 2, α 3. Eseguiamo le seguenti trasformazioni sulle righe della matrice B.
Algebra delle matrici - Matrice inversaMatrice inversa
Matrice inversaè una matrice che, moltiplicata sia a destra che a sinistra per una matrice data, dà la matrice identità.
Indichiamo la matrice inversa della matrice UN attraverso , quindi secondo la definizione otteniamo:
Dove E– matrice identitaria.
Matrice quadrata chiamato non speciale (non degenerato) se il suo determinante è diverso da zero. Altrimenti si chiama speciale (degenerare) O singolare.
Il teorema vale: Ogni matrice non singolare ha una matrice inversa.
L'operazione di ricerca della matrice inversa si chiama appello matrici. Consideriamo l'algoritmo di inversione della matrice. Sia data una matrice non singolare N-esimo ordine:
dove Δ = det UN ≠ 0.
Addizione algebrica di un elemento matrici N-esimo ordine UN si chiama determinante di una matrice presa con un certo segno ( N–1)esimo ordine ottenuto mediante cancellazione io-esima riga e J esima colonna della matrice UN:
Creiamo il cosiddetto allegato matrice:
dove sono i complementi algebrici dei corrispondenti elementi della matrice UN.
Si noti che le addizioni algebriche degli elementi riga della matrice UN sono posti nelle corrispondenti colonne della matrice Ã
, cioè la matrice viene trasposta contemporaneamente.
Dividendo tutti gli elementi della matrice Ã
per Δ – il valore del determinante della matrice UN, otteniamo come risultato la matrice inversa:
Notiamo alcune proprietà speciali della matrice inversa:
1) per una data matrice UN la sua matrice inversa
è l'unico;
2) se esiste una matrice inversa, allora retromarcia destra E retromarcia sinistra le matrici coincidono con esso;
3) una matrice quadrata speciale (singolare) non ha una matrice inversa.
Proprietà di base di una matrice inversa:
1) il determinante della matrice inversa e il determinante della matrice originaria sono reciproci;
2) la matrice inversa del prodotto di matrici quadrate è uguale al prodotto della matrice inversa dei fattori, presi in ordine inverso:
3) la matrice inversa trasposta è uguale alla matrice inversa della matrice trasposta data:
ESEMPIO Calcolare l'inversa della matrice data.
Metodi per trovare la matrice inversa, . Consideriamo una matrice quadrata
Indichiamo Δ =det A.
Si chiama la matrice quadrata A non degenerato, O non speciale, se il suo determinante è diverso da zero, e degenerare, O speciale, SeΔ = 0.
Una matrice quadrata B è per una matrice quadrata A dello stesso ordine se il loro prodotto è A B = B A = E, dove E è la matrice identità dello stesso ordine delle matrici A e B.
Teorema . Affinché la matrice A abbia una matrice inversa è necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero.
La matrice inversa della matrice A, indicata con A- 1, quindi B = A - 1 ed è calcolato dalla formula
, (1)
dove A i j sono complementi algebrici degli elementi a i j della matrice A..
Calcolare A -1 utilizzando la formula (1) per matrici di ordine elevato richiede molto lavoro, quindi in pratica è conveniente trovare A -1 utilizzando il metodo delle trasformazioni elementari (ET). Qualsiasi matrice A non singolare può essere ridotta alla matrice identità E mediante ED di sole colonne (o solo righe). Se gli ED perfezionati sulla matrice A vengono applicati nello stesso ordine alla matrice identità E, allora il risultato è una matrice inversa. È conveniente eseguire EP sulle matrici A ed E contemporaneamente, scrivendo entrambe le matrici affiancate su una linea. Notiamo ancora una volta che quando si cerca la forma canonica di una matrice, per trovarla si possono utilizzare trasformazioni di righe e colonne. Se devi trovare l'inverso di una matrice, dovresti utilizzare solo righe o solo colonne durante il processo di trasformazione.
Esempio 2.10. Per matrice 
trova A-1.
Soluzione.Innanzitutto troviamo il determinante della matrice A 
Ciò significa che la matrice inversa esiste e possiamo trovarla utilizzando la formula: 
, dove A i j (i,j=1,2,3) sono addizioni algebriche degli elementi a i j della matrice originale. 
Dove 
.
Esempio 2.11. Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova A -1 per la matrice: A = .
Soluzione.Assegniamo alla matrice originale a destra una matrice identità dello stesso ordine: 
. Utilizzando trasformazioni elementari delle colonne, ridurremo la “metà” sinistra a quella identità, eseguendo contemporaneamente esattamente le stesse trasformazioni sulla matrice destra.
Per fare ciò, scambia la prima e la seconda colonna: 
~
. Alla terza colonna aggiungiamo la prima e alla seconda la prima, moltiplicata per -2: 
. Dalla prima colonna sottraiamo il secondo raddoppiato e dalla terza il secondo moltiplicato per 6; 
. Aggiungiamo la terza colonna alla prima e alla seconda: 
. Moltiplica l'ultima colonna per -1: 
. La matrice quadrata ottenuta a destra della barra verticale è la matrice inversa della matrice A data. Quindi,
.