En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. La formulación de un problema de este tipo nos encontramos por primera vez en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

• Capacidad para realizar dibujos competentes;
• Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
• La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
• Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a a b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapezoide curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje amplificador operacional, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Ante nosotros hay un ejemplo simple de un trapecio curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. calcular el área de una figura plana usando una integral definida. Finalmente, que todos aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores lo encuentren. Nunca se sabe. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo también serán un tema relevante. Como mínimo, debes poder construir una línea recta, una parábola y una hipérbola.

Empecemos con un trapezoide curvo. Un trapezoide curvo es una figura plana delimitada por la gráfica de alguna función. y = F(incógnita), eje BUEY y lineas incógnita = a; incógnita = b.

El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. en clase Integral definida. Ejemplos de soluciones dijimos que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA. Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Considere la integral definida

integrando

define una curva en el plano (se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

, , , .

Esta es una declaración de asignación típica. El punto más importante en la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. La técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.

Hagamos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación y= 0 especifica el eje BUEY):

No sombrearemos el trapecio curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento [-2; 1] gráfico de funciones y = incógnita 2 + 2 ubicados por encima del ejeBUEY, Es por eso:

Respuesta: .

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz?

,

referirse a la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones. Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. xy = 4, incógnita = 2, incógnita= 4 y eje BUEY.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del ejeBUEY?

Ejemplo 3

Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = ex, incógnita= 1 y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si un trapecio curvo completamente ubicado debajo del eje BUEY , entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

.

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por líneas. y = 2incógnita – incógnita 2 , y = -incógnita.

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. Al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola. y = 2incógnita – incógnita 2 y recto y = -incógnita. Esto se puede hacer de dos maneras. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración a= 0, límite superior de integración b= 3. A menudo es más rentable y más rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran “por sí solos”. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repitamos que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen determinarse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo:

Si en el segmento [ a; b] alguna función continua F(incógnita) mayor o igual a alguna función continua gramo(incógnita), entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje, sino importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, desde 2 incógnita – incógnita Hay que restar 2 – incógnita.

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola. y = 2incógnita – incógnita 2 arriba y recto y = -incógnita abajo.

En el segmento 2 incógnita – incógnita 2 ≥ -incógnita. Según la fórmula correspondiente:

Respuesta: .

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo No. 3) es un caso especial de la fórmula

.

porque el eje BUEY dado por la ecuación y= 0, y la gráfica de la función gramo(incógnita) ubicado debajo del eje BUEY, Eso

.

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de una figura delimitada por líneas.

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... Se encontró el área de la figura equivocada.

Ejemplo 7

Primero hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, las personas a menudo deciden que necesitan encontrar el área de la figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento [-1; 1] encima del eje BUEY la gráfica se ubica recta y = incógnita+1;

2) En un segmento por encima del eje. BUEY se ubica la gráfica de una hipérbola y = (2/incógnita).

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Presentemos las ecuaciones en forma “escolar”.

y haz un dibujo punto por punto:

Del dibujo se desprende claramente que nuestro límite superior es "bueno": b = 1.

¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es?

Tal vez, a=(-1/3)? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo se realizó con perfecta precisión? Bien puede resultar que a=(-1/4). ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas.

Para ello resolvemos la ecuación:

.

Por eso, a=(-1/3).

La solución adicional es trivial. Lo principal es no confundirse con sustituciones y signos. Los cálculos aquí no son los más simples. en el segmento

, ,

según la fórmula adecuada:

Respuesta:

Para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcular el área de una figura delimitada por líneas.

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Para construir un dibujo punto por punto, es necesario conocer la apariencia de una sinusoide. En general, es útil conocer las gráficas de todas las funciones elementales, así como algunos valores de los senos. Se pueden encontrar en la tabla de valores. funciones trigonométricas. En algunos casos (por ejemplo, en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente los gráficos y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición:

– “x” cambia de cero a “pi”. Tomemos una decisión adicional:

En un segmento, la gráfica de una función. y= pecado 3 incógnita ubicado encima del eje BUEY, Es por eso:

(1) Puedes ver cómo los senos y cosenos se integran en potencias impares en la lección. Integrales de funciones trigonométricas.. Pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica principal en la forma

(3) Cambiemos la variable t= porque incógnita, entonces: se ubica arriba del eje, por lo tanto:

.

.

Nota: observe cómo se toma la integral de la tangente al cubo; aquí se utiliza un corolario de la identidad trigonométrica básica;

.

Tarea No. 3. Haz un dibujo y calcula el área de la figura delimitada por las líneas.

Aplicación de la integral a la solución de problemas aplicados.

Cálculo de área

La integral definida de una función continua no negativa f(x) es numéricamente igual a el área de un trapecio curvilíneo delimitada por la curva y = f(x), el eje O x y las rectas x = a y x = b. De acuerdo con esto, la fórmula del área se escribe de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos de cálculo de áreas de figuras planas.

Tarea No. 1. Calcula el área delimitada por las líneas y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solución. Construyamos una figura cuya área tendremos que calcular.

y = x 2 + 1 es una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia arriba y la parábola se desplaza hacia arriba con respecto al eje O y en una unidad (Figura 1).

Figura 1. Gráfica de la función y = x 2 + 1

Tarea No. 2. Calcula el área delimitada por las líneas y = x 2 – 1, y = 0 en el rango de 0 a 1.

Solución. La gráfica de esta función es una parábola de ramas que se dirigen hacia arriba, y la parábola se desplaza una unidad con respecto al eje O y hacia abajo (Figura 2).

Figura 2. Gráfica de la función y = x 2 – 1

Tarea No. 3. Haz un dibujo y calcula el área de la figura delimitada por las líneas.

y = 8 + 2x – x 2 y y = 2x – 4.

Solución. La primera de estas dos líneas es una parábola con sus ramas dirigidas hacia abajo, ya que el coeficiente de x 2 es negativo, y la segunda línea es una línea recta que corta ambos ejes de coordenadas.

Para construir una parábola, encontramos las coordenadas de su vértice: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa del vértice; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 es su ordenada, N(1;9) es el vértice.

Ahora encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta resolviendo el sistema de ecuaciones:

Igualar los lados derechos de una ecuación cuyos lados izquierdos son iguales.

Obtenemos 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 o x 2 – 12 = 0, de donde .

Entonces, los puntos son los puntos de intersección de una parábola y una línea recta (Figura 1).

Figura 3 Gráficas de funciones y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4

Construyamos una línea recta y = 2x – 4. Pasa por los puntos (0;-4), (2;0) en los ejes de coordenadas.

Para construir una parábola, también puedes usar sus puntos de intersección con el eje 0x, es decir, las raíces de la ecuación 8 + 2x – x 2 = 0 o x 2 – 2x – 8 = 0. Usando el teorema de Vieta, es fácil para encontrar sus raíces: x 1 = 2, x 2 = 4.

La figura 3 muestra una figura (segmento parabólico M 1 N M 2) delimitada por estas líneas.

La segunda parte del problema es encontrar el área de esta figura. Su área se puede encontrar usando una integral definida según la fórmula .

En relación a esta condición, obtenemos la integral:

2 Cálculo del volumen de un cuerpo de rotación.

El volumen del cuerpo obtenido de la rotación de la curva y = f(x) alrededor del eje O x se calcula mediante la fórmula:

Al girar alrededor del eje O y, la fórmula se ve así:

Tarea número 4. Determine el volumen del cuerpo obtenido de la rotación de un trapezoide curvo acotado por las rectas x = 0 x = 3 y la curva y = alrededor del eje O x.

Solución. Hagamos un dibujo (Figura 4).

Figura 4. Gráfica de la función y =

El volumen requerido es

Tarea número 5. Calcula el volumen del cuerpo obtenido de la rotación de un trapecio curvo acotado por la curva y = x 2 y las rectas y = 0 e y = 4 alrededor del eje O y.

Solución. Tenemos:

Preguntas de revisión

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. La formulación de un problema de este tipo nos encontramos por primera vez en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

• Capacidad para realizar dibujos competentes;
• Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
• La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
• Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a a b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapezoide curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje amplificador operacional, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Ante nosotros hay un ejemplo simple de un trapecio curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una línea recta y una hipérbola.

Un trapecio curvo es una figura plana delimitada por un eje, líneas rectas y la gráfica de una función continua en un segmento que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no bajar eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico.

Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, una determinada integral (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces- parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos maneras. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es, el límite superior de integración es.

Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento mayor o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Ejemplo 4

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas.

En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto: