La calculadora gratuita que le presentamos tiene un rico arsenal de posibilidades para cálculos matemáticos. Le permite utilizar la calculadora en línea en varios campos de actividad: educativo, profesional Y comercial. Por supuesto, usar una calculadora en línea es especialmente popular entre estudiantes Y escolares, les facilita mucho realizar una variedad de cálculos.

Al mismo tiempo, la calculadora puede convertirse en una herramienta útil en algunas áreas de negocio y para personas de diferentes profesiones. Por supuesto, la necesidad de utilizar una calculadora en los negocios o en el trabajo está determinada principalmente por el tipo de actividad en sí. Si su negocio y profesión están asociados con cálculos y cálculos constantes, entonces vale la pena probar una calculadora electrónica y evaluar el grado de utilidad para una tarea en particular.

Esta calculadora en línea puede

• Realice correctamente funciones matemáticas estándar escritas en una línea como: 12*3-(7/2) y podemos procesar números mayores de los que podemos contar números enormes en una calculadora en línea. Ni siquiera sabemos cómo llamar correctamente a ese número (. hay 34 caracteres y este no es el límite en absoluto).
• Excepto tangente, coseno, seno y otras funciones estándar: la calculadora admite operaciones de cálculo arcangente, arcocotangente y otros.
• Disponible en Arsenal logaritmos, factoriales y otras características interesantes
• Esta calculadora en línea sabe construir gráficos!!!

Para trazar gráficos, el servicio utiliza un botón especial (el gráfico está dibujado en gris) o una representación alfabética de esta función (Trazar). Para construir una gráfica en una calculadora en línea, simplemente escribe la función: trazar(tan(x)),x=-360..360.

Tomamos la gráfica más simple para la tangente y después del punto decimal indicamos el rango de la variable X de -360 a 360.

Puedes construir absolutamente cualquier función, con cualquier número de variables, por ejemplo esta: trazar(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) o incluso más complejo que se te ocurra. Preste atención al comportamiento de la variable X: el intervalo desde y hasta se indica mediante dos puntos.

El único inconveniente (aunque es difícil llamarlo desventaja) de esta calculadora en línea es que no puede construir esferas y otras figuras tridimensionales, solo un plano.

Cómo utilizar la calculadora matemática

1. La pantalla (pantalla de la calculadora) muestra la expresión ingresada y el resultado de su cálculo en símbolos comunes, como escribimos en papel. Este campo es simplemente para ver la transacción actual. La entrada aparece en la pantalla a medida que escribe una expresión matemática en la línea de entrada.

2. El campo de entrada de expresión está destinado a registrar la expresión que debe calcularse. Cabe señalar aquí que los símbolos matemáticos utilizados en los programas de ordenador no siempre son los mismos que utilizamos habitualmente en el papel. En la descripción general de cada función de la calculadora, encontrará la designación correcta de una operación específica y ejemplos de cálculos en la calculadora. En esta página a continuación se muestra una lista de todas las operaciones posibles en la calculadora, indicando también su ortografía correcta.

3. Barra de herramientas: son botones de la calculadora que reemplazan la entrada manual de símbolos matemáticos que indican la operación correspondiente. Algunos botones de la calculadora (funciones adicionales, conversor de unidades, resolución de matrices y ecuaciones, gráficos) complementan la barra de tareas con nuevos campos donde se ingresan datos para un cálculo específico. El campo "Historial" contiene ejemplos de escritura de expresiones matemáticas, así como sus seis entradas más recientes.

Tenga en cuenta que cuando presiona los botones para llamar funciones adicionales, un convertidor de unidades, resolver matrices y ecuaciones y trazar gráficos, todo el panel de la calculadora se mueve hacia arriba, cubriendo parte de la pantalla. Complete los campos obligatorios y presione la tecla "I" (resaltada en rojo en la imagen) para ver la pantalla en tamaño completo.

4. El teclado numérico contiene números y símbolos aritméticos. El botón "C" elimina toda la entrada en el campo de entrada de expresión. Para eliminar caracteres uno por uno, debe usar la flecha a la derecha de la línea de entrada.

Intente siempre cerrar paréntesis al final de una expresión. Para la mayoría de las operaciones esto no es crítico; la calculadora en línea calculará todo correctamente. Sin embargo, en algunos casos pueden ocurrir errores. Por ejemplo, al elevar a una potencia fraccionaria, los paréntesis abiertos harán que el denominador de la fracción en el exponente entre en el denominador de la base. El corchete de cierre se muestra en gris pálido en la pantalla y debe cerrarse cuando finalice la grabación.

Llave	Símbolo	Operación
pi	pi	pi constante
mi	mi	número de Euler
%	%	Por ciento
()	()	Abrir/cerrar corchetes
,	,	Coma
pecado	pecado(?)	Seno de ángulo
porque	porque (?)	Coseno
broncearse	bronceado(y)	Tangente
sinh	sinh()	Seno hiperbólico
aporrear	aporrear()	coseno hiperbólico
tanh	tanh()	Tangente hiperbólica
pecado -1	asin()	Seno inverso
porque -1	acos()	coseno inverso
bronceado -1	atan()	Tangente inversa
sen -1	asinh()	Seno hiperbólico inverso
cosh -1	acosh()	Coseno hiperbólico inverso
tan -1	atanh()	Tangente hiperbólica inversa
x2	^2	cuadratura
x3	^3	Cubo
x y	^	exponenciación
10x	10^()	Exponenciación a base 10
ex	exp()	Exponenciación del número de Euler
vx	raíz cuadrada (x)	Raíz cuadrada
3x	raíz cuadrada3(x)	tercera raíz
yvx	raíz cuadrada (x, y)	Extracción de raíces
iniciar sesión 2 veces	registro2(x)	Logaritmo binario
registro	iniciar sesión(x)	logaritmo decimal
en	en(x)	logaritmo natural
iniciar sesión y x	iniciar sesión(x,y)	Logaritmo
I/II		Contraer/llamar funciones adicionales
Unidad		Convertidor de unidades
Matriz		matrices
Resolver		Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
		Graficando
Funciones adicionales (llamar con la tecla II)
modo	modo	División con resto
!	!	Factorial
yo/j	yo/j	unidad imaginaria
Re	Re()	Aislando toda la parte real
Soy	Soy()	Excluyendo la parte real
|x|	abs()	Módulo numérico
Arg	arg()	Argumento de función
nCr	ncr()	Coeficiente binomial
mcd	mcd()	MCD
mcm	mcm()	CON
suma	suma()	Valor total de todas las decisiones.
fac	factorizar()	factorización prima
diferencia	diferencia()	Diferenciación
grados		Grados
rad		Radianes

En el curso de matemáticas de séptimo grado, nos encontramos por primera vez ecuaciones con dos variables, pero se estudian sólo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso se pierden de vista toda una serie de problemas en los que se introducen determinadas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, también se ignoran los métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque problemas de este tipo se encuentran cada vez con más frecuencia en los materiales del Examen Estatal Unificado y en los exámenes de ingreso.

¿Qué ecuación se llamará ecuación con dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​– y = 1. Se vuelve cierta cuando x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de variables es una solución a la ecuación en cuestión.

Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es un conjunto de pares ordenados (x; y), valores de las variables que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

A) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tener infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea igual a 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir en la forma (k; 3 – k), donde k es cualquier real número.

Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​​​en factorizar expresiones, aislar un cuadrado completo, utilizar las propiedades de una ecuación cuadrática, expresiones limitadas y métodos de estimación. La ecuación generalmente se transforma en una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar las incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: xy – 2 = 2x – y.

Solución.

Agrupamos los términos para efectos de factorización:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada paréntesis sacamos un factor común:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x – cualquier número real o x = -1, y – cualquier número real.

De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x€R y (-1;y), y€R.

Igualdad de números no negativos a cero.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solución.

Agrupamiento:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede plegar usando la fórmula de diferencia al cuadrado.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero sólo si 3x – 2 = 0 y 2y – 3 = 0.

Esto significa x = 2/3 e y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de estimación

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada paréntesis resaltamos un cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimemos el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y – 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método consiste en tratar la ecuación como cuadrado con respecto a alguna variable.

Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resolvamos la ecuación como una ecuación cuadrática para x. Encontremos el discriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . La ecuación tendrá solución solo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación original y encontramos que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo, en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones sobre variables.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribamos la ecuación en la forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un un número no divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6.

Resuelve la ecuación: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

Resaltemos los cuadrados completos en cada paréntesis:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor o igual a 3. La igualdad es posible siempre que |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7.

Para cada par de enteros negativos (x;y) que satisfagan la ecuación
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Indique la cantidad más pequeña en su respuesta.

Solución.

Seleccionemos cuadrados completos:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. Obtenemos la suma de los cuadrados de dos números enteros igual a 37 si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:

(x – y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás manejar cualquier ecuación.

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Ecuaciones

¿Cómo resolver ecuaciones?

En esta sección recordaremos (o estudiaremos, según a quién elijas) las ecuaciones más elementales. Entonces ¿cuál es la ecuación? En términos humanos, se trata de una especie de expresión matemática en la que hay un signo igual y una incógnita. Que generalmente se indica con la letra. "INCÓGNITA". Resuelve la ecuación- se trata de encontrar valores de x que, cuando se sustituyen en original La expresión nos dará la identidad correcta. Permítanme recordarles que la identidad es una expresión que está fuera de toda duda incluso para una persona que no tiene en absoluto la carga de conocimientos matemáticos. Como 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Entonces, ¿cómo resolver ecuaciones? Vamos a resolverlo.

Hay todo tipo de ecuaciones (me sorprende, ¿no?). Pero toda su infinita variedad se puede dividir en sólo cuatro tipos.

4. Todos los demás.)

Todo lo demás, por supuesto, sobre todo, sí...) Esto incluye cúbico, exponencial, logarítmico, trigonométrico y todo tipo de otros. Trabajaremos estrechamente con ellos en las secciones correspondientes.

Diré de inmediato que a veces las ecuaciones de los tres primeros tipos están tan jodidas que ni siquiera las reconoces... Nada. Aprenderemos a desenrollarlos.

¿Y por qué necesitamos estos cuatro tipos? Y luego que ecuaciones lineales resuelto de una manera cuadrado otros, racionales fraccionarios - tercero, A descansar¡No se atreven en absoluto! Bueno, no es que no puedan decidir nada, es que me equivoqué con las matemáticas). Es solo que tienen sus propias técnicas y métodos especiales.

Pero para cualquiera (repito - para ¡cualquier!) las ecuaciones proporcionan una base confiable y a prueba de fallas para su resolución. Funciona en todas partes y siempre. Esta base... Suena aterradora, pero es muy simple. y muy (¡Muy!) importante.

En realidad, la solución de la ecuación consiste en estas mismas transformaciones. 99% Respuesta a la pregunta: " ¿Cómo resolver ecuaciones?" reside precisamente en estas transformaciones. ¿Está clara la pista?)

Transformaciones idénticas de ecuaciones.

EN cualquier ecuaciones Para encontrar la incógnita, debes transformar y simplificar el ejemplo original. Y para que cuando cambie la apariencia la esencia de la ecuación no ha cambiado. Estas transformaciones se llaman idéntico o equivalente.

Tenga en cuenta que estas transformaciones se aplican específicamente a las ecuaciones. También hay transformaciones de identidad en matemáticas. expresiones. Este es otro tema.

Ahora repetiremos todo, todo, todo básico. transformaciones idénticas de ecuaciones.

Básico porque se pueden aplicar a cualquier ecuaciones: lineales, cuadráticas, fraccionarias, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. etc.

Primera transformación de identidad: Puedes sumar (restar) a ambos lados de cualquier ecuación. cualquier(¡pero uno y el mismo!) número o expresión (¡incluida una expresión con una incógnita!). Esto no cambia la esencia de la ecuación.

Por cierto, usaste constantemente esta transformación, solo pensaste que estabas transfiriendo algunos términos de una parte de la ecuación a otra con un cambio de signo. Tipo:

El caso es familiar, movemos los dos hacia la derecha y obtenemos:

En realidad tu quitado de ambos lados de la ecuación es dos. El resultado es el mismo:

x+2 - 2 = 3 - 2

Mover términos de izquierda a derecha con un cambio de signo es simplemente una versión abreviada de la primera transformación idéntica. ¿Y por qué necesitamos un conocimiento tan profundo? – preguntas. Nada en las ecuaciones. Por el amor de Dios, aguanta. No olvides cambiar el letrero. Pero en las desigualdades, el hábito de la transferencia puede llevar a un callejón sin salida...

Segunda transformación de identidad: ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar (dividir) por lo mismo distinto de cero número o expresión. Aquí ya aparece una limitación comprensible: multiplicar por cero es una estupidez y dividir es completamente imposible. Esta es la transformación que usas cuando resuelves algo interesante como

Está vacío incógnita= 2. ¿Cómo lo encontraste? ¿Por selección? ¿O simplemente se te ocurrió? Para no seleccionar y no esperar a recibir información, debe comprender que simplemente está dividió ambos lados de la ecuación por 5. Al dividir el lado izquierdo (5x), se redujo el cinco, quedando X puro. Que es exactamente lo que necesitábamos. Y al dividir el lado derecho de (10) entre cinco, el resultado es, por supuesto, dos.

Eso es todo.

Es curioso, pero estas dos (¡sólo dos!) transformaciones idénticas son la base de la solución. todas las ecuaciones de las matemáticas.¡Guau! Tiene sentido mirar ejemplos de qué y cómo, ¿verdad?)

Ejemplos de transformaciones idénticas de ecuaciones. Principales problemas.

Empecemos con primero transformación de la identidad. Transferir de izquierda a derecha.

Un ejemplo para los más jóvenes.)

Digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación:

3-2x=5-3x

Recordemos el hechizo: "con X - a la izquierda, sin X - ¡a la derecha!" Este hechizo son instrucciones para usar la primera transformación de identidad). ¿Cuál es la expresión con una X a la derecha? 3x? ¡La respuesta es incorrecta! a nuestra derecha - 3x! Menos tresx! Por lo tanto, al moverse hacia la izquierda, el signo cambiará a más. Resultará:

3-2x+3x=5

Entonces, las X se reunieron en una pila. Entremos en los números. Hay un tres a la izquierda. ¿Con qué signo? ¡No se acepta la respuesta “sin ninguno”!) Delante de los tres, en efecto, no se dibuja nada. Y esto significa que antes de los tres hay más. Entonces los matemáticos estuvieron de acuerdo. No hay nada escrito, lo que significa más. Por tanto, el triple será trasladado al lateral derecho con un menos. Obtenemos:

-2x+3x=5-3

Quedan meras bagatelas. A la izquierda, traiga otros similares, a la derecha, cuente. La respuesta llega de inmediato:

En este ejemplo, una transformación de identidad fue suficiente. El segundo no fue necesario. Bueno, está bien.)

Un ejemplo para niños mayores.)

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Analicemos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:

1. Resolver el sistema mediante el método de sustitución.
2. Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.

Para resolver el sistema de ecuaciones. por método de sustitución debes seguir un algoritmo simple:
1. Expresar. De cualquier ecuación expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos el valor resultante en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.

para decidir sistema por método de suma (resta) término por término necesidad de:
1. Seleccione una variable para la que haremos coeficientes idénticos.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, lo que da como resultado una ecuación con una variable.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.

La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.

Ejemplo #1:

Resolvamos por el método de sustitución.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.

2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)

1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, lo que significa que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y

2.Después de haberlo expresado, sustituimos 3+10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Resuelve la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (abre los corchetes)
6+20y+5y=1
25 años=1-6
25 años=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consta de x e y, encontremos x, en el primer punto donde lo expresamos sustituimos y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se acostumbra escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)

Ejemplo #2:

Resolvamos usando el método de suma (resta) término por término.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.

3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)

1. Elegimos una variable, digamos que elegimos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos un coeficiente total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Resta la segunda de la primera ecuación para eliminar la variable x. Resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2

5 años=32 | :5
y=6.4

3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4.6

El punto de intersección será x=4,6; y=6.4
Respuesta: (4.6; 6.4)

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En este video analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo; por eso se les llama los más simples.

Primero, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál se llama la más simple?

Una ecuación lineal es aquella en la que sólo hay una variable, y sólo de primer grado.

La ecuación más simple significa la construcción:

Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples mediante el algoritmo:

1. Amplíe los paréntesis, si los hubiera;
2. Mover los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
3. Dé términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
4. Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$.

Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces después de todas estas maquinaciones el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, son posibles dos opciones:

1. La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando resulta algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda está el cero y a la derecha un número distinto de cero. En el vídeo a continuación veremos varias razones por las que esta situación es posible.
2. La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando “cero es igual a cero”, es decir igualdad numérica correcta.

Ahora veamos cómo funciona todo esto usando ejemplos de la vida real.

Ejemplos de resolución de ecuaciones.

Hoy nos ocupamos de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable y llega solo al primer grado.

Estas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma forma:

1. En primer lugar, debe ampliar los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
2. Luego combine similares
3. Finalmente, aísle la variable, es decir mueva todo lo relacionado con la variable (los términos en los que está contenida) a un lado, y mueva todo lo que quede sin ella al otro lado.

Luego, como regla general, es necesario traer similares a cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente "x", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto parece bonito y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al abrir los corchetes o al calcular los "más" y los "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es la recta numérica entera, es decir cualquier número. Consideraremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con las tareas más sencillas.

Esquema para resolver ecuaciones lineales simples.

Primero, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:

1. Amplíe los corchetes, si los hay.
2. Aislamos las variables, es decir Movemos todo lo que contiene “X” a un lado, y todo lo que no tiene “X” al otro.
3. Presentamos términos similares.
4. Dividimos todo por el coeficiente de “x”.

Por supuesto, este esquema no siempre funciona; contiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.

Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.

Tarea número 1

El primer paso requiere que abramos los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que nos saltamos este paso. En el segundo paso necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando sólo de términos individuales. Anotémoslo:

Presentamos términos similares a izquierda y derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por el coeficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Entonces obtuvimos la respuesta.

Tarea número 2

Podemos ver los paréntesis en este problema, así que ampliémoslos:

Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente el mismo diseño, pero actuemos según el algoritmo, es decir. separando las variables:

Aquí hay algunos similares:

¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.

Tarea número 3

La tercera ecuación lineal es más interesante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aquí hay varios paréntesis, pero no se multiplican por nada, simplemente van precedidos de signos diferentes. Vamos a desglosarlos:

Realizamos el segundo paso que ya conocemos:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hagamos los cálculos:

Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales

Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

• Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen solución; a veces simplemente no hay raíces;
• Incluso si hay raíces, puede que no haya ninguna entre ellas; eso no tiene nada de malo.

El cero es el mismo número que los demás; no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.

Otra característica está relacionada con la apertura de corchetes. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.

Comprender este simple hecho te ayudará a evitar cometer errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando hacer esas cosas se da por sentado.

Resolver ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y al realizar diversas transformaciones aparecerá una función cuadrática. Sin embargo, esto no debe tener miedo, porque si, según el plan del autor, resolvemos una ecuación lineal, durante el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática seguramente se cancelarán.

Ejemplo No. 1

Evidentemente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:

Ahora echemos un vistazo a la privacidad:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Aquí hay algunos similares:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, así que escribiremos esto en la respuesta:

\[\varnada\]

o no hay raíces.

Ejemplo No. 2

Realizamos las mismas acciones. Primer paso:

Movamos todo con una variable hacia la izquierda y sin ella, hacia la derecha:

Aquí hay algunos similares:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, así que la escribiremos de esta manera:

\[\varnada\],

o no hay raíces.

Matices de la solución.

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, ninguna o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, ambas simplemente no tienen raíces.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si delante de ellos hay un signo menos. Considere esta expresión:

Antes de abrir, debes multiplicar todo por “X”. Tenga en cuenta: se multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.

Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el paréntesis desde el punto de vista del hecho de que detrás de él hay un signo menos. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que delante de los corchetes hay un signo menos, lo que significa que todo lo que está debajo simplemente cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el "menos" frontal.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque la resolución de ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.

Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el punto de la automaticidad. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez; escribirás todo en una sola línea. Pero mientras recién estás aprendiendo, debes escribir cada acción por separado.

Resolver ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede considerarse la tarea más sencilla, pero el significado sigue siendo el mismo.

Tarea número 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:

Hagamos algo de privacidad:

Aquí hay algunos similares:

Completemos el último paso:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se anularon entre sí, lo que hace que la ecuación sea lineal y no cuadrática.

Tarea número 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Realicemos con cuidado el primer paso: multiplique cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. Debería haber un total de cuatro términos nuevos después de las transformaciones:

Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:

Movamos los términos con "X" hacia la izquierda y los que no la tienen, hacia la derecha:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Aquí hay términos similares:

Una vez más hemos recibido la respuesta final.

Matices de la solución.

La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: en cuanto comenzamos a multiplicar paréntesis que contienen más de un término, esto se hace según la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento de el segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, tendremos cuatro términos.

Sobre la suma algebraica

Con este último ejemplo, me gustaría recordar a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restar siete a uno. En álgebra nos referimos a lo siguiente: al número "uno" le sumamos otro número, es decir, "menos siete". Ésta es la diferencia entre una suma algebraica y una suma aritmética ordinaria.

Tan pronto como, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra cuando trabajes con polinomios y ecuaciones.

Finalmente, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones con fracciones

Para resolver tales tareas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, déjame recordarte nuestro algoritmo:

1. Abre los corchetes.
2. Variables separadas.
3. Trae unos similares.
4. Dividir por la proporción.

Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción tanto a la izquierda como a la derecha en ambas ecuaciones.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Entonces el algoritmo será el siguiente:

1. Deshazte de las fracciones.
2. Abre los corchetes.
3. Variables separadas.
4. Trae unos similares.
5. Dividir por la proporción.

¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en su denominador, es decir En todas partes el denominador es sólo un número. Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos libraremos de las fracciones.

Ejemplo No. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminemos las fracciones en esta ecuación:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Tenga en cuenta: todo se multiplica por “cuatro” una vez, es decir Sólo porque tengas dos paréntesis no significa que tengas que multiplicar cada uno por "cuatro". Anotemos:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ahora ampliemos:

Aislamos la variable:

Realizamos la reducción de términos similares:

\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Hemos recibido la solución final, pasemos a la segunda ecuación.

Ejemplo No. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aquí realizamos las mismas acciones:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

El problema está resuelto.

Eso, de hecho, es todo lo que quería contaros hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son:

• Conoce el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
• Posibilidad de abrir corchetes.
• No se preocupe si tiene funciones cuadráticas en alguna parte; lo más probable es que se reduzcan en el proceso de futuras transformaciones.
• Hay tres tipos de raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz y ninguna raíz.

Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no te queda claro, accede al sitio y resuelve los ejemplos allí presentados. ¡Estad atentos que os esperan muchas más cosas interesantes!