- Un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas. (Los métodos para cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones totales tiene el problema?
- Un rectángulo de 3X4 contiene 12 celdas. Encuentre cinco formas de cortar un rectángulo en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas (los métodos de corte se consideran diferentes si las partes obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método).
- Un rectángulo de 3X5 contiene 15 celdas y se ha eliminado la celda central. Encuentra cinco formas de cortar la figura restante en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas.
- Un cuadrado de 6x6 se divide en 36 cuadrados idénticos. Encuentra cinco formas de cortar un cuadrado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de los cuadrados. Nota: el problema tiene más de 200 soluciones.
- Divide el cuadrado de 4x4 en cuatro partes iguales, con la línea de corte a lo largo de los lados de los cuadrados. ¿Cuántos métodos de corte diferentes puedes encontrar?
- Divida la figura (Fig. 5) en tres partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.
7. Divida la figura (Fig. 6) en cuatro partes iguales de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.
8. Divida la figura (Fig. 7) en cuatro partes iguales para que las líneas de corte vayan a lo largo de los lados de los cuadrados. Encuentre tantas soluciones como sea posible.
9. Divida el cuadrado de 5x5 con el cuadrado central cortado en cuatro partes iguales.
10. Corte las figuras que se muestran en la Fig. 8 en dos partes iguales a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y cada parte debe tener un círculo.
11. Las figuras que se muestran en la Fig. 9 deben cortarse a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales para que cada parte tenga un círculo. ¿Cómo hacer esto?
12. Corte la figura que se muestra en la Fig. 10 a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales y dóblelas en un cuadrado de modo que los círculos y las estrellas estén ubicados simétricamente con respecto a todos los ejes de simetría del cuadrado.
13. Corte este cuadrado (Fig. 11) a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes tengan el mismo tamaño y forma y para que cada una contenga un círculo y un asterisco.
14. Corte el cuadrado de papel a cuadros de 6x6 que se muestra en la Figura 12 en cuatro partes iguales de modo que cada pieza contenga tres cuadrados sombreados.
club de séptimo grado
Jefe Varvara Alekseevna Kosorotova
curso académico 2009/2010
Lección 8. Cortar en una hoja de papel a cuadros
A la hora de resolver problemas de este tipo, es útil aplicar las siguientes consideraciones:
- Cuadrado. Si necesitas dividir una figura en varias partes iguales, primero debes encontrar el área de la figura que se está cortando y luego encontrar el área de cada una de las partes. Del mismo modo, si es necesario dividir la figura original en varias figuras de un tipo determinado, primero conviene calcular cuántas debería haber. Las mismas consideraciones pueden ayudar a la hora de resolver otros problemas de corte. Para ilustrar esta idea, el autor de estas líneas añadió a la lista el problema 13, que no estaba entre los problemas propuestos en la lección.
- Simetría. Se debe prestar atención a las propiedades de simetría, por ejemplo, en el caso de que sea necesario cortar una figura en partes y ensamblar otra figura a partir de ellas.
Divide el cuadrado de 4x4 en dos partes iguales de cuatro maneras diferentes, de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados. Bandera - 1. Corta la bandera de 6 rayas en dos pedazos para que puedas doblarlas en una bandera de 8 rayas.
Bandera - 2. Corta la bandera A en cuatro pedazos para poder doblar la bandera B. 
Corta la figura en 4 partes iguales. 
De los dos - uno. Corta el cuadrado con el agujero en dos líneas rectas en 4 piezas para que puedas doblar un nuevo cuadrado a partir de ellas y otro cuadrado normal de 5x5. 
11*.
Cuadrado dentado. Convierte un cuadrado dentado en un cuadrado normal cortándolo en 5 pedazos. 
12*.
Cruz de Malta - 2. Corta la “cruz de Malta” (ver problema 8) en 5 pedazos para poder doblarlos formando un cuadrado. 13**. No sé, corte la figura que se muestra en la figura en esquinas de tres y cuatro celdas (como en la imagen). ¿Cuántos córners pudo sacar Dunno? ¡Considere todos los casos posibles! 
Solución. El área de la figura original es 22 (tomamos una celda como unidad de área). Para cortar se utilizan n esquinas de cuatro celdas y k de tres celdas. Luego expresamos el área de la figura grande como la suma de las áreas de las esquinas: 22 = 3 k + 4 n. Reescribamos esta igualdad de esta forma: 22 − 4 n =3 k. En el lado izquierdo de esta igualdad hay un número par, que, sin embargo, no es divisible por 4. Esto significa que 3 k también es un número par, no divisible por 4 y, por lo tanto, el número k en sí es tal. Además, en el lado derecho de la igualdad hay un número que es múltiplo de 3, por lo que 22 − 4 n también es múltiplo de 3. Así, 22 − 4 n es múltiplo de 6. Pasando por los valores de n de 0 a 5 (para n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Tenga en cuenta que todavía no hemos demostrado que ambos casos se cumplan. Después de todo, la igualdad de áreas es sólo una condición necesaria para la existencia de un método de corte, pero de ninguna manera es suficiente (por ejemplo, un rectángulo de tamaño 1 × 6, obviamente, no se puede cortar en dos esquinas de tres celdas, aunque 3 2 = 6). Para completar la demostración conviene dar ejemplos de cortes de cada tipo. Esto se puede hacer de muchas maneras diferentes. La imagen muestra solo uno de ellos y puedes intentar crear algo propio. Por cierto, sería interesante responder a esta pregunta: ¿cuántos cortes de cada tipo hay? (El autor de estas líneas, por ejemplo, aún no sabe la respuesta a esta pregunta). 
En conclusión, destacamos una vez más que una solución completa a este problema pasa por dos pasos: encontrar casos posibles y comprobar que todos ellos se cumplen. ¡Cada uno de estos pasos por sí solo no es una solución al problema!
Palabras de apertura del maestro:
Un poco de contexto histórico: muchos científicos han estado interesados en los problemas de corte desde la antigüedad. Los antiguos griegos y chinos encontraron soluciones a muchos problemas simples de corte, pero el primer tratado sistemático sobre este tema fue escrito por Abul-Vef. Los geómetras comenzaron a resolver seriamente problemas de cortar figuras en el menor número de partes y luego construir otra figura a principios del siglo XX. Uno de los fundadores de esta sección fue el famoso fundador de rompecabezas Henry E. Dudeney.
Hoy en día, los amantes de los rompecabezas están interesados en resolver problemas cortantes porque no existe un método universal para resolverlos, y cualquiera que se comprometa a resolverlos puede demostrar plenamente su ingenio, intuición y capacidad de pensamiento creativo. (Durante la lección indicaremos solo uno de los posibles ejemplos de corte. Se puede suponer que los estudiantes pueden terminar con alguna otra combinación correcta; no hay por qué tener miedo de esto).
Se supone que esta lección se impartirá en forma de lección práctica. Divida a los participantes del círculo en grupos de 2 o 3 personas. Proporcionar a cada grupo figuras preparadas previamente por el profesor. Los estudiantes tienen una regla (con divisiones), un lápiz y tijeras. Solo se permite realizar cortes rectos con tijeras. Después de cortar una figura en pedazos, debes hacer otra figura a partir de las mismas partes.
Tareas de corte:
1). Intente cortar la figura que se muestra en la figura en 3 partes de formas iguales:
Pista: Las formas pequeñas se parecen mucho a la letra T.
2). Ahora corta esta figura en 4 partes de formas iguales:
Sugerencia: Es fácil adivinar que las figuras pequeñas consistirán en 3 celdas, pero no hay muchas figuras con tres celdas. Sólo hay dos tipos: de esquina y de rectángulo.
3). Divide la figura en dos partes iguales y usa las partes resultantes para formar un tablero de ajedrez.
Pista: Sugiera comenzar la tarea desde la segunda parte, como si fuera un tablero de ajedrez. Recuerda qué forma tiene un tablero de ajedrez (cuadrado). Cuente el número disponible de celdas en largo y ancho. (Recuerde que debe haber 8 celdas).
4). Prueba a cortar el queso en ocho trozos iguales con tres movimientos del cuchillo.
Consejo: prueba a cortar el queso a lo largo.
Tareas para solución independiente:
1). Recorta un cuadrado de papel y haz lo siguiente:
· cortar en 4 trozos que puedan usarse para hacer dos cuadrados iguales más pequeños.
· córtala en cinco partes (cuatro triángulos isósceles y un cuadrado) y dóblalas para obtener tres cuadrados.
Los problemas de corte son un área de las matemáticas donde, como dicen, no hay mamuts por ahí. Muchos problemas individuales, pero esencialmente ninguna teoría general. Aparte del conocido teorema de Bolyai-Gerwin, prácticamente no existen otros resultados fundamentales en este ámbito. La incertidumbre es la eterna compañera de las tareas cortantes. Podemos, por ejemplo, cortar un pentágono regular en seis trozos, a partir de los cuales podemos formar un cuadrado; sin embargo, no podemos demostrar que cinco partes no sean suficientes para ello.
Con la ayuda de astutas heurísticas, imaginación y medio litro, a veces logramos encontrar una solución concreta, pero, por regla general, no disponemos de las herramientas adecuadas para demostrar la minimidad de esta solución o su inexistencia (esta última , por supuesto, se aplica al caso en el que no hemos encontrado una solución). Es triste e injusto. Y un día tomé un cuaderno en blanco y decidí restaurar la justicia en la escala de una tarea específica: cortar una figura plana en dos partes iguales (congruentes). Como parte de esta serie de artículos (por cierto, habrá tres), usted y yo, camaradas, miraremos este divertido polígono que se muestra a continuación y trataremos de descubrir imparcialmente si es posible cortarlo en dos iguales. cifras o no.
Introducción
Primero, actualicemos nuestro curso de geometría escolar y recordemos qué son las figuras iguales. Yandex sugiere útilmente:Dos figuras en un plano se llaman iguales si hay un movimiento que transforma una figura en otra.
Ahora preguntémosle a Wikipedia sobre los movimientos. Nos dirá, en primer lugar, que el movimiento es una transformación del plano que preserva las distancias entre puntos. En segundo lugar, existe incluso una clasificación de los movimientos en un avión. Todos ellos pertenecen a uno de los siguientes tres tipos:
- Simetría deslizante (aquí, por conveniencia y beneficio, incluyo la simetría especular, como un caso degenerado, donde se realiza una traslación paralela al vector cero)
Introduzcamos algo de notación. A la figura que estamos recortando la llamaremos figura A, y las dos hipotéticas figuras iguales en las que supuestamente podemos cortarla la llamaremos B y C, respectivamente. A la parte del plano no ocupada por la figura la llamaremos región D. En los casos en que un polígono específico de la imagen se considere como figura cortada, lo llamaremos A 0 .
Entonces, si la figura A se puede cortar en dos partes iguales, B y C, entonces hay un movimiento que traslada B a C. Este movimiento puede ser traslación paralela, rotación o simetría deslizante (de ahora en adelante, ya no estipulo que la simetría especular también se considera deslizante). Nuestra decisión se basará en esta base simple y, diría incluso, obvia. En esta parte veremos el caso más simple: la transferencia paralela. La simetría de rotación y deslizamiento se incluirá en la segunda y tercera parte respectivamente.
Caso 1: transferencia paralela
La transferencia paralela se especifica mediante un único parámetro: el vector mediante el cual se produce el cambio. Introduzcamos algunos términos más. Una línea recta paralela al vector de desplazamiento y que contiene al menos un punto de la figura A se llamará secante. La intersección de una recta secante y la figura A se llamará sección transversal. Una secante respecto de la cual la figura A (menos la sección) se encuentra enteramente en un semiplano se llamará borde.
Lema 1. Una sección de límite debe contener más de un punto.
Prueba: obvia. Bueno, o con más detalle: demostrémoslo por contradicción. Si este punto pertenece a la figura B, entonces imagen(es decir, el punto al que irá durante la traslación paralela) pertenece a la figura C => la imagen pertenece a la figura A => la imagen pertenece a la sección. Contradicción. Si este punto pertenece a la figura C, entonces prototipo(el punto que, con traslación paralela, entrará en él) pertenece a la figura B, y luego de manera similar. Resulta que debe haber al menos dos puntos en la sección.
Guiado por este simple lema, no es difícil entender que la traslación paralela deseada sólo puede ocurrir a lo largo del eje vertical (en la orientación actual de la imagen, si fuera en cualquier otra dirección, al menos una de las secciones límite). constan de un solo punto. Esto se puede entender girando mentalmente el vector de desplazamiento y viendo qué sucede con los límites. Para eliminar el caso de la transferencia vertical paralela, necesitamos una herramienta más sofisticada.
Lema 2. La imagen inversa de un punto ubicado en el límite de la figura C está en el límite de las figuras B y C, o en el límite de la figura B y la región D.
Prueba: no es obvio, pero lo solucionaremos ahora. Permítanme recordarles que el punto límite de una figura es un punto tal que, por muy cerca que esté, hay tanto puntos que pertenecen a la figura como puntos que no le pertenecen. En consecuencia, cerca del punto límite (llamémoslo O") de la figura C habrá tanto puntos de la figura C como otros puntos pertenecientes a la figura B o a la región D. Las imágenes inversas de los puntos de la figura C sólo pueden ser puntos de la figura B. En consecuencia, arbitrariamente cerca de la imagen inversa del punto O" (sería lógico llamarlo punto O) hay puntos de la figura B. Las imágenes inversas de los puntos de la figura B pueden ser cualquier punto que no no pertenecen a B (es decir, ni los puntos de la figura C ni los puntos de la región D). Lo mismo ocurre con los puntos de la región D. En consecuencia, no importa qué tan cerca del punto O haya puntos de la figura C (y entonces el punto O estará en el límite de B y C) o puntos de la región D (y entonces la imagen inversa será estar en el límite de B y D). Si puedes leer todas estas cartas, estarás de acuerdo en que el lema está probado.
Teorema 1. Si la sección transversal de la figura A es un segmento, entonces su longitud es un múltiplo de la longitud del vector de desplazamiento.
Prueba: considere el extremo “lejano” de este segmento (es decir, el extremo cuyo prototipo también pertenece al segmento). Este extremo pertenece obviamente a la figura C y es su punto límite. En consecuencia, su imagen inversa (por cierto, también situada en el segmento y separada de la imagen por la longitud del vector de desplazamiento) estará en el límite de B y C, o en el límite de B y D. Si está en el límite de B y C, entonces también tomamos su imagen inversa. Repetiremos esta operación hasta que la siguiente imagen inversa deje de estar en el límite C y termine en el límite D, y esto sucederá exactamente en el otro extremo de la sección. Como resultado, obtenemos una cadena de preimágenes que dividen la sección en varios segmentos pequeños, la longitud de cada uno de los cuales es igual a la longitud del vector de desplazamiento. Por tanto, la longitud de la sección es múltiplo de la longitud del vector de desplazamiento, etc.
Corolario del teorema 1. Cualesquiera dos secciones que sean segmentos deben ser proporcionales.
Utilizando este corolario, es fácil demostrar que la transferencia paralela vertical también desaparece.
De hecho, la sección uno tiene una longitud de tres celdas y la sección dos tiene una longitud de tres menos la raíz de dos por la mitad. Evidentemente, estos valores son inconmensurables.
Conclusión
Si la figura A es 0 y se puede cortar en dos figuras iguales B y C, entonces B no se traduce a C mediante traslación paralela. Continuará.Con una hoja de papel cuadriculado y utilizando unas tijeras podrás resolver muchos problemas diferentes e interesantes. Estas tareas no sólo son interesantes o divertidas. A menudo contienen una solución práctica y pruebas de cuestiones geométricas a veces muy complejas.
Comencemos con la regla principal de cortar y plegar: dos polígonos se llaman equicompuestos si uno de ellos se puede dividir (cortar) en otros polígonos, a partir de los cuales luego se puede formar el segundo polígono.
Los polígonos de proporciones iguales, por supuesto, tienen la misma área (igual en tamaño) y, por lo tanto, la propiedad de equicomposición a veces nos permite obtener fórmulas para calcular áreas o comparar las áreas de figuras (como dicen, método de partición o descomposición). Un ejemplo es comparar (calcular) las áreas de un paralelogramo y un rectángulo.
La cuestión general de la equivalencia de dos polígonos no es nada sencilla. Hay un teorema sorprendente que afirma que a partir de cualquier polígono dado, cortándolo en pedazos, se puede construir cualquier otro polígono de la misma área.
Este teorema trata de los llamados polígonos simples. Un polígono simple es un polígono cuyo límite consta de una línea cerrada sin intersecciones, y exactamente dos de sus enlaces convergen en cada vértice de esta línea discontinua. Una propiedad importante de un polígono simple es el hecho de que tiene al menos una diagonal interna.
Tenga en cuenta que para permitir la transformación de un rectángulo en un cuadrado, (Figura 3) necesitábamos dividirlo en tres partes. Sin embargo, esta partición no es la única. Por ejemplo, puede dar un ejemplo de cómo dividir un rectángulo en cuatro partes (Figura 4).
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La cuestión de cuál es el menor número de cortes que basta para construir otra a partir de una figura sigue abierta hasta el día de hoy.
Tarea 1.
Una mujer tenía una alfombra rectangular que medía 27 por 36 pulgadas; dos esquinas opuestas estaban deshilachadas (Figura 5) y tuvieron que cortarse, pero quería una alfombra rectangular. Ella le dio este trabajo al maestro y él lo hizo. ¿Cómo hizo esto?
La solución al problema se puede ver en la Figura 6.
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Si se retira la parte dentada A de la parte dentada B y luego se empuja hacia atrás entre los dientes de la parte B, moviéndola un diente hacia la derecha, se obtendrá el rectángulo deseado.
Tarea 2.
Cómo hacer un cuadrado a partir de cinco cuadrados idénticos cortándolos.
Como se muestra en la Figura 7, es necesario cortar cuatro cuadrados en un triángulo y un trapezoide. Une cuatro trapecios a los lados del quinto cuadrado y, finalmente, une los triángulos con sus catetos a las bases de los trapecios.
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Tarea 3.
Corta el cuadrado en siete de esas piezas para que, cuando las sumes, obtengas tres cuadrados iguales. (Figuras 8, 9)
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Tarea 4.
Corta el cuadrado en ocho pedazos para que al sumarlos obtengas dos cuadrados, uno de los cuales tiene la mitad del tamaño del otro.
En la Figura 10 puedes ver cómo cortar el cuadrado. La solución es similar a la solución del problema anterior. La Figura 11 muestra cómo sumar las piezas para obtener los dos cuadrados requeridos.
Tour educativo
Tareas para que los equipos del grupo de edad "más joven" las resuelvan de forma independiente
Problema 1
Un caracol sube por un poste de 10 m de altura durante el día sube 5 m y durante la noche baja 4 m ¿Cuánto tiempo tardará el caracol en llegar desde abajo hasta arriba del poste?
Problema 2
¿Es posible hacer un agujero en una hoja de cuaderno por el que pueda pasar una persona?
Problema 3
Las liebres están aserrando un tronco. Hicieron 10 cortes. ¿Cuántos troncos obtuviste?
Problema 4
El panecillo se corta en sectores. Hicimos 10 cortes. ¿Cuántas piezas recibiste?
Problema 5
Sobre un bizcocho redondo grande se hicieron 10 cortes de manera que cada corte vaya de borde a borde y pase por el centro del bizcocho. ¿Cuántas piezas recibiste?
Problema 6
Dos personas comieron dos pasteles cuadrados. Todos hicieron 2 cortes rectos en su pastel de borde a borde. Al mismo tiempo, uno recibió tres piezas y el otro cuatro. ¿Cómo podría ser esto?
Problema 7
Las liebres vuelven a serrar el tronco, pero ahora ambos extremos del tronco están asegurados. Cayeron diez troncos del medio, pero los dos exteriores quedaron fijos. ¿Cuántos cortes hicieron las liebres?
Problema 8
¿Cómo dividir un panqueque en 4,5, 6, 7 partes mediante tres cortes rectos?
Problema 9
Hay una barra de chocolate redonda sobre un pastel rectangular. ¿Cómo cortar un bizcocho en dos partes iguales para que la barra de chocolate también se parta exactamente por la mitad?
Problema 10
¿Es posible hornear un pastel que se pueda dividir en 4 partes con un corte recto?
Problema 11
¿Cuál es el número máximo de trozos en los que se puede dividir un panqueque redondo usando tres cortes rectos?
Problema 12
¿Cuántas veces más larga es la escalera al cuarto piso de una casa que la escalera al segundo piso de la misma casa?
Problema 13
Giuseppe tiene una hoja de madera contrachapada, tamaño 22. × 15. Giuseppe quiere recortar tantos espacios en blanco rectangulares de tamaño 3 como sea posible. × 5. ¿Cómo hacer esto?
Problema 14
La Tierra Mágica tiene sus propias leyes mágicas de la naturaleza, una de las cuales dice: "Una alfombra voladora volará sólo cuando tenga forma rectangular".
Ivan Tsarevich tenía una alfombra mágica talla 9 × 12. Un día, la Serpiente Gorynych se acercó sigilosamente y cortó una pequeña alfombra de tamaño 1 de esta alfombra. × 8. Ivan Tsarevich estaba muy molesto y quiso cortar otro trozo 1 × 4 para hacer un rectángulo 8 × 12, pero Vasilisa la Sabia sugirió hacer lo contrario. Cortó la alfombra en tres partes, de las cuales usó hilos mágicos para coser una alfombra voladora cuadrada que medía 10 × 10.
¿Puedes adivinar cómo Vasilisa la Sabia rehizo la alfombra dañada?
Problema 15
Cuando Gulliver llegó a Lilliput, descubrió que allí todo era exactamente 12 veces más corto que en su tierra natal. ¿Puedes decir cuántas cajas de cerillas liliputienses caben en la caja de cerillas de Gulliver?
Problema 16
Una bandera rectangular de dos colores ondea desde el mástil de un barco pirata, que consta de franjas verticales blancas y negras alternas del mismo ancho. El número total de franjas es igual al número de prisioneros que se encuentran actualmente en el barco. Al principio había 12 prisioneros en el barco y 12 franjas en la bandera; Luego los dos prisioneros escaparon. ¿Cómo cortar una bandera en dos partes y luego coserlas para que el área de la bandera y el ancho de las franjas no cambien, pero el número de franjas sea 10?
Problema 17
Se marcó un punto en el círculo. ¿Es posible cortar este círculo en tres partes para poder usarlas para formar un nuevo círculo, con el punto marcado en el centro?
Problema 18
¿Es posible cortar un cuadrado en cuatro partes para que cada parte toque (es decir, tenga áreas comunes del borde) con las otras tres?
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Problema 24
No hay divisiones en una regla de 9 cm de largo. Aplica sobre él tres divisiones intermedias para que puedas utilizarlo para medir distancias de 1 a 9 cm con una precisión de 1 cm.
Problema 25
Escribe algunos números cerca de cada vértice del triángulo y escribe la suma de los números en los extremos de ese lado cerca de cada lado del triángulo. Ahora suma cada número cerca de la parte superior al número cerca del lado opuesto. ¿Por qué crees que las cantidades resultaron ser las mismas?
Problema 26
¿Cuál es el área de un triángulo de lados 18, 17, 35?
Problema 27
Corta el cuadrado en cinco triángulos de modo que el área de uno de estos triángulos sea igual a la suma de las áreas de los restantes.
Problema 28
Se cortó una hoja de papel cuadrada en seis pedazos en forma de polígonos convexos; Se perdieron cinco piezas, quedando una pieza con forma de octágono regular (ver imagen). ¿Es posible reconstruir el cuadrado original utilizando únicamente este octágono?
Problema 29
Puedes cortar fácilmente un cuadrado en dos triángulos iguales o dos cuadrángulos iguales. ¿Cómo cortar un cuadrado en dos pentágonos iguales o dos hexágonos iguales?
Problema 30
Ivan Tsarevich fue a buscar a Vasilisa la Bella, que había sido secuestrada por Koshchei. Duende se encuentra con él.
"Lo sé", dice, "solía ir allí y ir al Reino de Koshcheevo". Caminé durante cuatro días y cuatro noches. En las primeras 24 horas caminé un tercio del camino, el camino recto hacia el norte. Luego giró hacia el oeste, caminó penosamente por el bosque durante un día y caminó la mitad de distancia. El tercer día caminé por el bosque, ya hacia el sur, y salí a un camino recto que conducía hacia el este. Caminé por él 160 kilómetros en un día y terminé en el reino de Koshcheevo. Caminas tan rápido como yo. Ve, Ivan Tsarevich, mira, el quinto día visitarás Koshchei.
No - respondió Ivan Tsarevich -, si todo es como dices, mañana veré a mi Vasilisa la Bella.
¿Tiene razón? ¿Cuántas millas caminó Leshy y qué distancia piensa el zarevich Iván en caminar?
Problema 31
Crea una combinación de colores para las caras del cubo para que en tres posiciones diferentes se vea como el que se muestra en la imagen. (Especifique cómo colorear los bordes invisibles o dibujar una red).
https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Problema 32
El numismático Fedya tiene todas las monedas con un diámetro no superior a 10 cm. Las guarda en una caja plana de 30 cm * 70 cm (en una capa). Le dieron una moneda con un diámetro de 25 cm. Demuestre que todas las monedas se pueden colocar en una caja plana que mide 55 cm * 55 cm.
Problema 33
Se cortó un cuadrado central de un cuadrado de 5x5. Corta la forma resultante en dos partes en las que puedas envolver un cubo de 2x2x2.
Problema 34
Corta este cuadrado a lo largo de los lados de las celdas en cuatro partes para que todas las partes tengan el mismo tamaño y la misma forma y para que cada parte contenga un círculo y una estrella.
Problema 35
El aparcamiento de la Ciudad de las Flores es un cuadrado de 7x 7 celdas, en cada una de las cuales se puede aparcar un coche. El estacionamiento está rodeado por una cerca, se quita uno de los lados de la jaula de la esquina (esta es la puerta). El coche circula por un camino ancho como una jaula. Se le pidió a Dunno que colocara tantos autos como fuera posible en el estacionamiento para que cualquiera pudiera salir cuando los demás estuvieran parados. Dunno dispuso 24 autos como se muestra en la Fig. Intente organizar los autos de manera diferente para acomodar más de ellos.
Problema 36
Petya y Vasya viven en casas vecinas (ver plano en la imagen). Vasya vive en la cuarta entrada. Se sabe que Petya, para llegar a Vasya por la ruta más corta (no necesariamente por los lados de las celdas), no le importa de qué lado corre alrededor de su casa. Determina en qué entrada vive Petya.
Problema 37
Sugiera una forma de medir la diagonal de un ladrillo común, que se pueda implementar fácilmente en la práctica (sin el teorema de Pitágoras).
Problema 38
Corta una cruz formada por cinco cuadrados idénticos en tres polígonos iguales en área y perímetro.
Problema 39
https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">
Problema 46
a) Tetraedro b) el cubo se cortó a lo largo de los bordes resaltados con líneas en negrita (ver imágenes) y se desdobló. Dibujar los desarrollos resultantes.
Problema 47
2) 
3) 
4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 ) 