Ecuación de una recta en un plano.
El vector de dirección es recto. vectores normales

Una línea recta en un plano es una de las figuras geométricas más simples, que conoces desde la escuela primaria, y hoy aprenderemos a manejarla utilizando los métodos de la geometría analítica. Para dominar el material, debes poder construir una línea recta; saber qué ecuación define una línea recta, en particular, una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Esta información se puede encontrar en el manual. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Lo creé para Mathan, pero la sección sobre la función lineal resultó ser muy exitosa y detallada. Por eso, queridas teteras, calentad allí primero. Además es necesario tener conocimientos básicos sobre vectores, de lo contrario la comprensión del material será incompleta.

En esta lección veremos formas en las que puedes crear una ecuación de una línea recta en un plano. Recomiendo no descuidar los ejemplos prácticos (aunque parezcan muy sencillos), ya que les proporcionaré hechos elementales e importantes, técnicas técnicas que serán necesarias en el futuro, incluso en otras secciones de la matemática superior.

• ¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?
• Cómo ?
• ¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?
• ¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

y comenzamos:

Ecuación de una recta con pendiente

La conocida forma "escolar" de una ecuación en línea recta se llama ecuación de una recta con pendiente. Por ejemplo, si la ecuación da una línea recta, entonces su pendiente es: . Consideremos el significado geométrico de este coeficiente y cómo su valor afecta la ubicación de la línea recta:

En un curso de geometría se demuestra que la pendiente de la recta es igual a tangente del ángulo entre la dirección del eje positivoy esta linea: , y el ángulo “se desenrosca” en sentido antihorario.

Para no saturar el dibujo, dibujé ángulos solo para dos líneas rectas. Consideremos la línea "roja" y su pendiente. Según lo anterior: (el ángulo “alfa” se indica con un arco verde). Para la línea recta "azul" con el coeficiente del ángulo, la igualdad es verdadera (el ángulo "beta" se indica con un arco marrón). Y si se conoce la tangente del ángulo, entonces, si es necesario, es fácil de encontrar. y la esquina misma usando la función inversa: arcotangente. Como suele decirse, una tabla trigonométrica o una microcalculadora en tus manos. De este modo, el coeficiente angular caracteriza el grado de inclinación de la línea recta hacia el eje de abscisas.

Son posibles los siguientes casos:

1) Si la pendiente es negativa: entonces la línea, en términos generales, va de arriba a abajo. Algunos ejemplos son las líneas rectas “azul” y “frambuesa” del dibujo.

2) Si la pendiente es positiva: , entonces la recta va de abajo hacia arriba. Ejemplos: líneas rectas "negras" y "rojas" en el dibujo.

3) Si la pendiente es cero: , entonces la ecuación toma la forma , y la recta correspondiente es paralela al eje. Un ejemplo es la línea recta "amarilla".

4) Para una familia de rectas paralelas a un eje (no hay ningún ejemplo en el dibujo, salvo el propio eje), el coeficiente angular no existe (la tangente de 90 grados no está definida).

Cuanto mayor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más pronunciada será la gráfica lineal..

Por ejemplo, considere dos líneas rectas. Por tanto, aquí la recta tiene una pendiente más pronunciada. Permítanme recordarles que el módulo le permite ignorar el letrero, solo nos interesa valores absolutos coeficientes angulares.

A su vez, una línea recta es más pronunciada que las rectas. .

Por el contrario: cuanto menor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más plana será la línea recta.

Para lineas rectas la desigualdad es cierta, por tanto la recta es más plana. Tobogán infantil, para no sufrir hematomas ni golpes.

¿Por qué es necesario esto?

Prolongue su tormento El conocimiento de los hechos anteriores le permite ver de inmediato sus errores, en particular, los errores al construir gráficos, si el dibujo resulta ser "obviamente algo incorrecto". Es aconsejable que usted inmediatamente estaba claro que, por ejemplo, la línea recta es muy empinada y va de abajo hacia arriba, y la línea recta es muy plana, presionada cerca del eje y va de arriba hacia abajo.

En los problemas geométricos suelen aparecer varias rectas, por lo que conviene designarlas de alguna manera.

Designaciones: las líneas rectas se designan con letras latinas minúsculas: . Una opción popular es designarlos utilizando la misma letra con subíndices naturales. Por ejemplo, las cinco líneas que acabamos de ver se pueden denotar como .

Dado que cualquier línea recta está determinada únicamente por dos puntos, se puede denotar mediante estos puntos: etc. La designación implica claramente que los puntos pertenecen a la línea.

Es hora de calentar un poco:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?

Si se conoce un punto que pertenece a una determinada recta y el coeficiente angular de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo 1

Escribe una ecuación para una recta con pendiente si se sabe que el punto pertenece a la recta dada.

Solución: Compongamos la ecuación de la línea recta usando la fórmula . En este caso:

Respuesta:

Examen se hace de forma sencilla. Primero, miramos la ecuación resultante y nos aseguramos de que nuestra pendiente esté en su lugar. En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer esta ecuación. Introduzcámoslos en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que el punto satisface la ecuación resultante.

Conclusión: La ecuación se encontró correctamente.

Un ejemplo más complicado para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 2

Escribe una ecuación para una recta si se sabe que su ángulo de inclinación con respecto a la dirección positiva del eje es y el punto pertenece a esta recta.

Si tiene alguna dificultad, vuelva a leer el material teórico. Más precisamente, más práctico, me salto mucha evidencia.

Ha sonado la última campana, ha terminado la ceremonia de graduación y fuera de las puertas de nuestra escuela natal nos espera la propia geometría analítica. Se acabaron las bromas... O tal vez recién estén comenzando =)

Con nostalgia agitamos nuestro bolígrafo hacia lo familiar y nos familiarizamos con la ecuación general de una línea recta. Porque en geometría analítica esto es exactamente lo que se usa:

La ecuación general de una línea recta tiene la forma: , donde están algunos números. Al mismo tiempo, los coeficientes simultáneamente no son iguales a cero, ya que la ecuación pierde su significado.

Vistámonos de traje y relacionemos la ecuación con el coeficiente de pendiente. Primero, muevamos todos los términos al lado izquierdo:

Se debe poner en primer lugar el término con “X”:

En principio, la ecuación ya tiene la forma , pero según las reglas de etiqueta matemática, el coeficiente del primer término (en este caso) debe ser positivo. Cambio de signos:

¡Recuerda esta característica técnica!¡Hacemos que el primer coeficiente (la mayoría de las veces) sea positivo!

En geometría analítica, la ecuación de una línea recta casi siempre se dará en forma general. Bueno, si es necesario, se puede reducir fácilmente a la forma "escuela" con un coeficiente angular (a excepción de las líneas rectas paralelas al eje de ordenadas).

Preguntémonos qué suficiente¿Sabes construir una línea recta? Dos puntos. Pero más sobre este incidente de la infancia, ahora se adhieren a la regla de las flechas. Cada recta tiene una pendiente muy concreta, a la que es fácil “adaptarse”. vector.

Un vector que es paralelo a una recta se llama vector director de esa recta.. Es obvio que cualquier línea recta tiene infinitos vectores directores, y todos ellos serán colineales (codireccionales o no, no importa).

Denotaré el vector dirección de la siguiente manera: .

Pero un vector no es suficiente para construir una línea recta; el vector es libre y no está ligado a ningún punto del plano. Por tanto, es necesario adicionalmente conocer algún punto que pertenezca a la recta.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector director de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se puede compilar mediante la fórmula:

A veces se llama ecuación canónica de la recta .

que hacer cuando una de las coordenadas es igual a cero, lo entenderemos en los ejemplos prácticos a continuación. Por cierto, tenga en cuenta: ambos a la vez Las coordenadas no pueden ser iguales a cero, ya que el vector cero no especifica una dirección específica.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Solución: Compongamos la ecuación de una línea recta usando la fórmula. En este caso:

Usando las propiedades de la proporción nos deshacemos de las fracciones:

Y llevamos la ecuación a su forma general:

Respuesta:

Como regla general, no es necesario hacer un dibujo en tales ejemplos, pero para comprender:

En el dibujo vemos el punto inicial, el vector director original (se puede trazar desde cualquier punto del plano) y la línea recta construida. Por cierto, en muchos casos lo más conveniente es construir una línea recta utilizando una ecuación con un coeficiente angular. Es fácil transformar nuestra ecuación en forma y seleccionar fácilmente otro punto para construir una línea recta.

Como se señaló al principio del párrafo, una línea recta tiene un número infinito de vectores directores y todos ellos son colineales. Por ejemplo, dibujé tres de esos vectores: . Cualquiera que sea el vector director que elijamos, el resultado siempre será la misma ecuación en línea recta.

Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Resolviendo la proporción:

Divide ambos lados por –2 y obtén la ecuación familiar:

Los interesados ​​pueden probar vectores de la misma forma. o cualquier otro vector colineal.

Ahora resolvamos el problema inverso:

¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?

Muy simple:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector director de esta recta.

Ejemplos de cómo encontrar vectores de dirección de líneas rectas:

La afirmación nos permite encontrar solo un vector director de un número infinito, pero no necesitamos más. Aunque en algunos casos es recomendable reducir las coordenadas de los vectores directores:

Así, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje y las coordenadas del vector director resultante se dividen convenientemente por –2, obteniendo exactamente el vector base como vector director. Lógico.

De manera similar, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje, y al dividir las coordenadas del vector por 5, obtenemos el vector unitario como vector director.

ahora hagámoslo comprobando el ejemplo 3. El ejemplo subió, así que les recuerdo que en él compilamos la ecuación de una recta usando un punto y un vector director.

En primer lugar, utilizando la ecuación de la recta reconstruimos su vector director: – todo está bien, hemos recibido el vector original (en algunos casos el resultado puede ser un vector colineal al original, y esto suele ser fácil de notar por la proporcionalidad de las coordenadas correspondientes).

En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación. Los sustituimos en la ecuación:

Se obtuvo la igualdad correcta, lo cual nos alegra mucho.

Conclusión: La tarea se completó correctamente.

Ejemplo 4

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La solución y la respuesta están al final de la lección. Es muy recomendable comprobarlo utilizando el algoritmo que acabamos de comentar. Intente siempre (si es posible) consultar un borrador. Es una estupidez cometer errores que se pueden evitar al 100%.

En el caso de que una de las coordenadas del vector director sea cero se procede de forma muy sencilla:

Ejemplo 5

Solución: La fórmula no es adecuada ya que el denominador del lado derecho es cero. ¡Hay una salida! Usando las propiedades de la proporción, reescribimos la fórmula en el formulario y el resto rodó por una rutina profunda:

Respuesta:

Examen:

1) Restaurar el vector director de la recta:
– el vector resultante es colineal con el vector de dirección original.

2) Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: tarea completada correctamente

Surge la pregunta: ¿por qué molestarse con la fórmula si existe una versión universal que funcionará en cualquier caso? Hay dos razones. Primero, la fórmula está en forma de fracción. mucho mejor recordado. Y en segundo lugar, la desventaja de la fórmula universal es que el riesgo de confundirse aumenta significativamente al sustituir coordenadas.

Ejemplo 6

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Volvamos a los dos puntos omnipresentes:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando dos puntos?

Si se conocen dos puntos, entonces la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos se puede compilar mediante la fórmula:

De hecho, este es un tipo de fórmula y he aquí por qué: si se conocen dos puntos, entonces el vector será el vector director de la recta dada. en clase Vectores para tontos Consideramos el problema más simple: cómo encontrar las coordenadas de un vector desde dos puntos. Según este problema, las coordenadas del vector dirección son:

Nota : los puntos se pueden “intercambiar” y se puede utilizar la fórmula . Esta solución será equivalente.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación de una línea recta usando dos puntos. .

Solución: Usamos la fórmula:

Combinando los denominadores:

Y baraja la baraja:

Ahora es conveniente deshacerse de los números fraccionarios. En este caso, debes multiplicar ambos lados por 6:

Abre los corchetes y recuerda la ecuación:

Respuesta:

Examen es obvio: las coordenadas de los puntos iniciales deben satisfacer la ecuación resultante:

1) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

2) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

Conclusión: La ecuación de la recta está escrita correctamente.

Si al menos uno de los puntos no satisface la ecuación, busque un error.

Vale la pena señalar que la verificación gráfica en este caso es difícil, ya que construir una línea recta y ver si los puntos le pertenecen , no tan simple.

Notaré un par de aspectos técnicos más de la solución. Quizás en este problema sea más rentable utilizar la fórmula espejo. y en los mismos puntos hacer una ecuacion:

Menos fracciones. Si quieres puedes llevar a cabo la solución hasta el final, el resultado debe ser la misma ecuación.

El segundo punto es mirar la respuesta final y descubrir si podría simplificarse aún más. Por ejemplo, si obtienes la ecuación , entonces es recomendable reducirla a dos: – la ecuación definirá la misma línea recta. Sin embargo, este ya es un tema de conversación sobre posición relativa de las líneas.

Habiendo recibido la respuesta en el Ejemplo 7, por si acaso, verifiqué si TODOS los coeficientes de la ecuación son divisibles por 2, 3 o 7. Aunque, la mayoría de las veces, estas reducciones se realizan durante la solución.

Ejemplo 8

Escribe una ecuación para una recta que pasa por los puntos. .

Este es un ejemplo de una solución independiente que le permitirá comprender y practicar mejor las técnicas de cálculo.

Similar al párrafo anterior: si en la fórmula uno de los denominadores (la coordenada del vector de dirección) se vuelve cero, luego lo reescribimos en la forma. Una vez más, observe lo incómoda y confundida que se ve. No veo mucho sentido en dar ejemplos prácticos, ya que ya hemos resuelto este problema (ver No. 5, 6).

Vector normal directo (vector normal)

¿Qué es normal? En palabras simples, una normal es una perpendicular. Es decir, el vector normal de una recta es perpendicular a una recta dada. Evidentemente, cualquier recta tiene un número infinito de ellos (además de vectores directores), y todos los vectores normales de la recta serán colineales (codireccionales o no, da igual).

Tratarlos será incluso más fácil que con los vectores guía:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector normal de esta recta.

Si es necesario "sacar" cuidadosamente las coordenadas del vector director de la ecuación, entonces las coordenadas del vector normal se pueden "eliminar" simplemente.

El vector normal siempre es ortogonal al vector director de la recta. Verifiquemos la ortogonalidad de estos vectores usando producto escalar:

Daré ejemplos con las mismas ecuaciones que para el vector dirección:

¿Es posible construir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal? Lo siento en mis entrañas, es posible. Si se conoce el vector normal, entonces la dirección de la línea recta en sí está claramente definida: se trata de una "estructura rígida" con un ángulo de 90 grados.

¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector normal de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Aquí todo salió bien sin fracciones ni otras sorpresas. Este es nuestro vector normal. Ámalo. Y respeto =)

Ejemplo 9

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

Solución: Usamos la fórmula:

Se ha obtenido la ecuación general de la recta, comprobemos:

1) “Eliminar” las coordenadas del vector normal de la ecuación: – sí, de hecho, el vector original se obtuvo de la condición (o se debe obtener un vector colineal).

2) Comprobemos si el punto satisface la ecuación:

Verdadera igualdad.

Una vez que estemos convencidos de que la ecuación está compuesta correctamente, completaremos la segunda parte, más sencilla, de la tarea. Sacamos el vector director de la recta:

Respuesta:

En el dibujo la situación se ve así:

Para fines educativos, una tarea similar se puede resolver de forma independiente:

Ejemplo 10

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

La sección final de la lección estará dedicada a tipos de ecuaciones de una línea recta en un plano menos comunes, pero también importantes.

Ecuación de una recta en segmentos.
Ecuación de una recta en forma paramétrica

La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma , donde son constantes distintas de cero. Algunos tipos de ecuaciones no se pueden representar de esta forma, por ejemplo, la proporcionalidad directa (ya que el término libre es igual a cero y no hay forma de obtener uno en el lado derecho).

En sentido figurado, se trata de una ecuación de tipo “técnico”. Una tarea común es representar la ecuación general de una recta como una ecuación de una recta en segmentos. ¿Cómo es conveniente? La ecuación de una recta en segmentos permite encontrar rápidamente los puntos de intersección de una recta con ejes de coordenadas, lo que puede ser muy importante en algunas tareas de matemáticas superiores.

Encontremos el punto de intersección de la recta con el eje. Restablecemos la “y” a cero y la ecuación toma la forma. El punto deseado se obtiene automáticamente: .

Lo mismo con el eje. – el punto en el que la recta corta el eje de ordenadas.

Que se den dos puntos M1 (x1,y1) Y M2 (x2,y2). Escribamos la ecuación de la recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:

Desde el punto m2 pertenece a una recta dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5): . Expresando desde aquí y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación requerida:

Si Esta ecuación se puede reescribir en una forma que sea más conveniente para la memorización:

(6)

Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 (1,2) y M 2 (-2,3)

Solución. . Utilizando la propiedad de proporción y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de una recta:

Ángulo entre dos rectas

Considere dos líneas rectas yo 1 Y yo 2:

yo 1: , , Y

yo 2: , ,

φ es el ángulo entre ellos (). De la Fig. 4 queda claro: .

Desde aquí , o

Usando la fórmula (7) puedes determinar uno de los ángulos entre líneas rectas. El segundo ángulo es igual a .

Ejemplo. Dos líneas están dadas por las ecuaciones y=2x+3 e y=-3x+2. Encuentra el ángulo entre estas líneas.

Solución. De las ecuaciones se desprende claramente que k 1 =2 y k 2 =-3. Sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos

. Por tanto, el ángulo entre estas líneas es igual a .

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas.

si es heterosexual yo 1 Y yo 2 son paralelos, entonces φ=0 Y tgφ=0. de la fórmula (7) se deduce que , de donde k 2 =k 1. Por tanto, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus coeficientes angulares.

si es heterosexual yo 1 Y yo 2 son perpendiculares, entonces φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Por tanto, la condición para la perpendicularidad de dos rectas es que sus coeficientes angulares sean de magnitud inversa y de signo opuesto.

Distancia de un punto a una línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Ax + Bу + C = 0 se determina como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de una perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k= . Entonces y = . Porque altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3x + 2y – 34 = 0.

La distancia de un punto a una recta está determinada por la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.

Si la línea es paralela al plano de proyección. (h | | P 1), entonces para determinar la distancia desde el punto A a una línea recta h es necesario bajar la perpendicular desde el punto A a la horizontal h.

Consideremos un ejemplo más complejo, cuando la línea recta ocupa una posición general. Sea necesario determinar la distancia desde un punto. METRO a una línea recta A posición general.

Tarea de determinación distancias entre rectas paralelas Se resuelve de forma similar al anterior. Se toma un punto en una línea y desde allí se traza una perpendicular a otra línea. La longitud de una perpendicular es igual a la distancia entre líneas paralelas.

Curva de segundo orden es una recta definida por una ecuación de segundo grado relativa a las coordenadas cartesianas actuales. En el caso general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Círculo

Centro del círculo– este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes de un punto en el plano C(a,b).

El círculo viene dado por la siguiente ecuación:

Donde x,y son las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo, R es el radio del círculo.

Signo de la ecuación de un círculo.

1. Falta el término con x, y

2. Los coeficientes para x 2 y y 2 son iguales

Elipse

Elipse se llama lugar geométrico de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (un valor constante).

La ecuación canónica de la elipse:

X e y pertenecen a la elipse.

a – semieje mayor de la elipse

b – semieje menor de la elipse

La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OU. Los ejes de simetría de una elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje en el que se ubican los focos se llama eje focal. El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.

Relación de compresión (tensión): ε = s/a– excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto más pequeña es, menos se extiende la elipse a lo largo del eje focal.

Si los centros de la elipse no están en el centro C(α, β)

Hipérbola

Hipérbole Se llama lugar geométrico de los puntos en un plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante distinto de cero.

Ecuación de hipérbola canónica

Una hipérbola tiene 2 ejes de simetría:

a – semieje de simetría real

b – semieje de simetría imaginario

Asíntotas de una hipérbola:

Parábola

Parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto dado F, llamado foco, y de una recta dada, llamada directriz.

La ecuación canónica de una parábola:

У 2 =2рх, donde р es la distancia desde el foco a la directriz (parámetro de parábola)

Si el vértice de la parábola es C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 = 2р(x-α)

Si el eje focal se toma como eje de ordenadas, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 =2qу

Deje que la línea pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y-y 1 = k (x-x1), (10.6)

Dónde k - coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 = k (x2-x1).

Desde aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado. k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, entonces la recta que pasa por los puntos M 1 (x 1,y I) y M 2 (x 2,y 2) es paralela al eje de ordenadas. Su ecuación es x = x 1 .

Si y 2 = y I, entonces la ecuación de la recta se puede escribir como y = y 1, la recta M 1 M 2 es paralela al eje de abscisas.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta cruce el eje Ox en el punto M 1 (a;0) y el eje Oy en el punto M 2 (0;b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama ecuación de una recta en segmentos, porque Los números a y b indican qué segmentos corta la línea en los ejes de coordenadas..

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado Mo (x O; y o) perpendicular a un vector dado distinto de cero n = (A; B).

Tomemos un punto arbitrario M(x; y) en la recta y consideremos el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

Vector n= (A; B), perpendicular a la recta, se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C = -Ax o - Vu o es el término libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de la recta(ver figura 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuaciones canónicas de la recta.

,

Dónde
- coordenadas del punto por el que pasa la línea, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado, al que se le llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio. R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen de coordenadas, entonces la ecuación quedará así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados. Y , que se llaman focos, es una cantidad constante
, mayor que la distancia entre focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y el origen de coordenadas en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a longitud del semieje mayor; b – longitud del semieje menor (Fig. 2).

Este artículo continúa el tema de la ecuación de una recta en un plano: consideraremos este tipo de ecuación como la ecuación general de una recta. Definamos el teorema y demos su demostración; Averigüemos qué es una ecuación general incompleta de una línea recta y cómo hacer transiciones de una ecuación general a otros tipos de ecuaciones de una línea recta. Reforzaremos toda la teoría con ilustraciones y soluciones a problemas prácticos.

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Sea un sistema de coordenadas rectangular O x y especificado en el plano.

Teorema 1

Cualquier ecuación de primer grado, que tenga la forma A x + B y + C = 0, donde A, B, C son algunos números reales (A y B no son iguales a cero al mismo tiempo), define una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular en un plano. A su vez, cualquier línea recta en un sistema de coordenadas rectangular en un plano está determinada por una ecuación que tiene la forma A x + B y + C = 0 para un determinado conjunto de valores A, B, C.

Prueba

Este teorema consta de dos puntos; demostraremos cada uno de ellos.

1. Demostremos que la ecuación A x + B y + C = 0 define una línea recta en el plano.

Sea algún punto M 0 (x 0 , y 0), cuyas coordenadas corresponden a la ecuación A x + B y + C = 0. Así: A x 0 + B y 0 + C = 0. Reste de los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones A x + B y + C = 0 los lados izquierdo y derecho de la ecuación A x 0 + B y 0 + C = 0, obtenemos una nueva ecuación que se parece a A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es equivalente a A x + B y + C = 0.

La ecuación resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 es una condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de los vectores n → = (A, B) y M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Así, el conjunto de puntos M (x, y) define una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular perpendicular a la dirección del vector n → = (A, B). Podemos suponer que esto no es así, pero entonces los vectores n → = (A, B) y M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) no serían perpendiculares, y la igualdad A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 no sería cierto.

En consecuencia, la ecuación A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 define una determinada línea en un sistema de coordenadas rectangular en el plano y, por lo tanto, la ecuación equivalente A x + B y + C = 0 define la misma línea. Así demostramos la primera parte del teorema.

1. Presentemos una prueba de que cualquier línea recta en un sistema de coordenadas rectangular en un plano puede especificarse mediante una ecuación de primer grado A x + B y + C = 0.

Definamos una línea recta a en un sistema de coordenadas rectangular en un plano; el punto M 0 (x 0 , y 0) por el que pasa esta recta, así como el vector normal de esta recta n → = (A, B) .

Sea también algún punto M (x, y), un punto flotante en una línea recta. En este caso, los vectores n → = (A, B) y M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) son perpendiculares entre sí y su producto escalar es cero:

norte → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Reescribamos la ecuación A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definimos C: C = - A x 0 - B y 0 y como resultado final obtenemos la ecuación A x + B y + C = 0.

Entonces, hemos demostrado la segunda parte del teorema y hemos demostrado el teorema completo en su conjunto.

Definición 1

Una ecuación de la forma A x + B y + C = 0 - Este ecuación general de una recta en un plano en un sistema de coordenadas rectangularOxígeno.

Con base en el teorema probado, podemos concluir que una línea recta y su ecuación general definida en un plano en un sistema de coordenadas rectangular fijo están indisolublemente ligadas. En otras palabras, la recta original corresponde a su ecuación general; la ecuación general de una recta corresponde a una recta dada.

De la demostración del teorema también se deduce que los coeficientes A y B para las variables x e y son las coordenadas del vector normal de la recta, que viene dado por la ecuación general de la recta A x + B y + C = 0.

Consideremos un ejemplo específico de una ecuación general de una línea recta.

Sea la ecuación 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular dado. El vector normal de esta recta es el vector norte → = (2 , 3) ​​​​. Dibujemos la línea recta dada en el dibujo.

También podemos afirmar lo siguiente: la recta que vemos en el dibujo está determinada por la ecuación general 2 x + 3 y - 2 = 0, ya que las coordenadas de todos los puntos de una recta dada corresponden a esta ecuación.

Podemos obtener la ecuación λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos lados de la ecuación general de la recta por un número λ distinto de cero. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación general original, por lo tanto, describirá la misma línea recta en el plano.

Definición 2

Ecuación general completa de una recta.– una ecuación general de la línea recta A x + B y + C = 0, en la que los números A, B, C son diferentes de cero. De lo contrario la ecuación es incompleto.

Analicemos todas las variaciones de la ecuación general incompleta de una recta.

1. Cuando A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, la ecuación general toma la forma B y + C = 0. Tal ecuación general incompleta define en un sistema de coordenadas rectangular O x y una recta paralela al eje O x, ya que para cualquier valor real de x la variable y tomará el valor - C B . En otras palabras, la ecuación general de la recta A x + B y + C = 0, cuando A = 0, B ≠ 0, especifica el lugar geométrico de los puntos (x, y), cuyas coordenadas son iguales al mismo número - C B .
2. Si A = 0, B ≠ 0, C = 0, la ecuación general toma la forma y = 0. Esta ecuación incompleta define el eje x O x .
3. Cuando A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, obtenemos una ecuación general incompleta A x + C = 0, definiendo una recta paralela a la ordenada.
4. Sea A ≠ 0, B = 0, C = 0, entonces la ecuación general incompleta tomará la forma x = 0, y esta es la ecuación de la línea de coordenadas O y.
5. Finalmente, para A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, la ecuación general incompleta toma la forma A x + B y = 0. Y esta ecuación describe una línea recta que pasa por el origen. De hecho, el par de números (0, 0) corresponde a la igualdad A x + B y = 0, ya que A · 0 + B · 0 = 0.

Ilustremos gráficamente todos los tipos anteriores de ecuación general incompleta de una línea recta.

Ejemplo 1

Se sabe que la recta dada es paralela al eje de ordenadas y pasa por el punto 2 7, - 11. Es necesario escribir la ecuación general de la recta dada.

Solución

Una recta paralela al eje de ordenadas viene dada por una ecuación de la forma A x + C = 0, en la que A ≠ 0. La condición también especifica las coordenadas del punto por el que pasa la línea, y las coordenadas de este punto cumplen las condiciones de la ecuación general incompleta A x + C = 0, es decir la igualdad es cierta:

A 2 7 + C = 0

A partir de él es posible determinar C si le damos a A algún valor distinto de cero, por ejemplo, A = 7. En este caso, obtenemos: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Conocemos los coeficientes A y C, los sustituimos en la ecuación A x + C = 0 y obtenemos la ecuación en línea recta requerida: 7 x - 2 = 0

Respuesta: 7 x - 2 = 0

Ejemplo 2

El dibujo muestra una línea recta; debes escribir su ecuación.

Solución

El dibujo dado nos permite tomar fácilmente los datos iniciales para resolver el problema. Vemos en el dibujo que la recta dada es paralela al eje O x y pasa por el punto (0, 3).

La recta paralela a la abscisa está determinada por la ecuación general incompleta B y + C = 0. Encontremos los valores de B y C. Las coordenadas del punto (0, 3), dado que la recta dada pasa por él, satisfarán la ecuación de la recta B y + C = 0, entonces la igualdad es válida: B · 3 + C = 0. Establezcamos B en algún valor distinto de cero. Digamos B = 1, en cuyo caso de la igualdad B · 3 + C = 0 podemos encontrar C: C = - 3. Usando los valores conocidos de B y C, obtenemos la ecuación requerida de la recta: y - 3 = 0.

Respuesta: y - 3 = 0 .

Ecuación general de una recta que pasa por un punto dado en un plano.

Deje que la línea dada pase por el punto M 0 (x 0 , y 0), entonces sus coordenadas corresponden a la ecuación general de la línea, es decir la igualdad es verdadera: A x 0 + B y 0 + C = 0. Restemos los lados izquierdo y derecho de esta ecuación de los lados izquierdo y derecho de la ecuación general completa de la recta. Obtenemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, esta ecuación es equivalente a la general original, pasa por el punto M 0 (x 0, y 0) y tiene una normal vector norte → = (A, B) .

El resultado que obtuvimos permite escribir la ecuación general de una recta con las coordenadas conocidas del vector normal de la recta y las coordenadas de un determinado punto de esta recta.

Ejemplo 3

Dado un punto M 0 (- 3, 4) por el que pasa una recta, y el vector normal de esta recta norte → = (1, - 2) . Es necesario escribir la ecuación de la recta dada.

Solución

Las condiciones iniciales nos permiten obtener los datos necesarios para compilar la ecuación: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Entonces:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

El problema se podría haber solucionado de otra manera. La ecuación general de una recta es A x + B y + C = 0. El vector normal dado nos permite obtener los valores de los coeficientes A y B, entonces:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ahora encontremos el valor de C usando el punto M 0 (- 3, 4) especificado por la condición del problema, a través del cual pasa la línea recta. Las coordenadas de este punto corresponden a la ecuación x - 2 · y + C = 0, es decir - 3 - 2 4 + C = 0. Por tanto C = 11. La ecuación en línea recta requerida toma la forma: x - 2 · y + 11 = 0.

Respuesta: x - 2 y + 11 = 0 .

Ejemplo 4

Dada una recta 2 3 x - y - 1 2 = 0 y un punto M 0 que se encuentra en esta recta. Sólo se conoce la abscisa de este punto, y es igual a -3. Es necesario determinar la ordenada de un punto determinado.

Solución

Designemos las coordenadas del punto M 0 como x 0 y y 0 . Los datos fuente indican que x 0 = - 3. Dado que el punto pertenece a una recta dada, sus coordenadas corresponden a la ecuación general de esta recta. Entonces la igualdad será cierta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defina y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Respuesta: - 5 2

Transición de la ecuación general de una recta a otros tipos de ecuaciones de una recta y viceversa

Como sabemos, existen varios tipos de ecuaciones para una misma recta en un plano. La elección del tipo de ecuación depende de las condiciones del problema; es posible elegir el que sea más conveniente para solucionarlo. La habilidad de convertir una ecuación de un tipo en una ecuación de otro tipo es muy útil aquí.

Primero, consideremos la transición de la ecuación general de la forma A x + B y + C = 0 a la ecuación canónica x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Si A ≠ 0, entonces movemos el término B y al lado derecho de la ecuación general. En el lado izquierdo sacamos A de paréntesis. Como resultado, obtenemos: A x + C A = - B y.

Esta igualdad se puede escribir como una proporción: x + C A - B = y A.

Si B ≠ 0, dejamos solo el término A x en el lado izquierdo de la ecuación general, transferimos los demás al lado derecho, obtenemos: A x = - B y - C. Sacamos – B de paréntesis, entonces: A x = - B y + C B .

Reescribamos la igualdad como una proporción: x - B = y + C B A.

Por supuesto, no es necesario memorizar las fórmulas resultantes. Basta conocer el algoritmo de acciones al pasar de una ecuación general a una canónica.

Ejemplo 5

Se da la ecuación general de la recta 3 y - 4 = 0. Es necesario transformarla en una ecuación canónica.

Solución

Escribamos la ecuación original como 3 y - 4 = 0. A continuación, procedemos según el algoritmo: el término 0 x queda en el lado izquierdo; y en el lado derecho ponemos - 3 entre paréntesis; obtenemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Escribamos la igualdad resultante como una proporción: x - 3 = y - 4 3 0 . Así, hemos obtenido una ecuación de forma canónica.

Respuesta: x - 3 = y - 4 3 0.

Para convertir la ecuación general de una recta en paramétrica, primero se realiza una transición a la forma canónica y luego una transición de la ecuación canónica de una recta a ecuaciones paramétricas.

Ejemplo 6

La línea recta viene dada por la ecuación 2 x - 5 y - 1 = 0. Escribe las ecuaciones paramétricas para esta recta.

Solución

Hagamos la transición de la ecuación general a la canónica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ahora tomamos ambos lados de la ecuación canónica resultante igual a λ, entonces:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Respuesta:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

La ecuación general se puede convertir en una ecuación de una línea recta con pendiente y = k · x + b, pero sólo cuando B ≠ 0. Para la transición dejamos el término B y en el lado izquierdo, el resto lo trasladamos a la derecha. Obtenemos: B y = - A x - C . Dividamos ambos lados de la igualdad resultante por B, distinto de cero: y = - A B x - C B.

Ejemplo 7

La ecuación general de la recta está dada: 2 x + 7 y = 0. Necesitas convertir esa ecuación en una ecuación de pendiente.

Solución

Realicemos las acciones necesarias según el algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Respuesta: y = - 2 7 x .

De la ecuación general de una recta, basta simplemente obtener una ecuación en segmentos de la forma x a + y b = 1. Para realizar tal transición, movemos el número C al lado derecho de la igualdad, dividimos ambos lados de la igualdad resultante por – C y, finalmente, transferimos los coeficientes de las variables x e y a los denominadores:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Ejemplo 8

Es necesario transformar la ecuación general de la recta x - 7 y + 1 2 = 0 en la ecuación de la recta en segmentos.

Solución

Movamos 1 2 hacia el lado derecho: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Dividamos ambos lados de la igualdad por -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Respuesta: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

En general, la transición inversa también es sencilla: de otro tipo de ecuaciones a la general.

La ecuación de una recta en segmentos y una ecuación con un coeficiente angular se puede convertir fácilmente en general simplemente reuniendo todos los términos del lado izquierdo de la igualdad:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

La ecuación canónica se convierte en general según el siguiente esquema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Para pasar de los paramétricos, primero pasar al canónico y luego al general:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Ejemplo 9

Se dan las ecuaciones paramétricas de la recta x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es necesario anotar la ecuación general de esta recta.

Solución

Hagamos la transición de ecuaciones paramétricas a canónicas:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pasemos de lo canónico a lo general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Respuesta: y - 4 = 0

Ejemplo 10

Se da la ecuación de una recta en los segmentos x 3 + y 1 2 = 1. Es necesario pasar a la forma general de la ecuación.

Solución:

Simplemente reescribimos la ecuación en la forma requerida:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Respuesta: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Elaborar una ecuación general de una recta.

Dijimos anteriormente que la ecuación general se puede escribir con las coordenadas conocidas del vector normal y las coordenadas del punto por donde pasa la recta. Dicha línea recta está definida por la ecuación A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Allí también analizamos el ejemplo correspondiente.

Ahora veamos ejemplos más complejos, en los que primero debemos determinar las coordenadas del vector normal.

Ejemplo 11

Dada una recta paralela a la recta 2 x - 3 y + 3 3 = 0. También se conoce el punto M 0 (4, 1) por el que pasa la recta dada. Es necesario escribir la ecuación de la recta dada.

Solución

Las condiciones iniciales nos dicen que las rectas son paralelas, entonces, como vector normal de la recta, cuya ecuación debe escribirse, tomamos el vector director de la recta n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ahora conocemos todos los datos necesarios para crear la ecuación general de la recta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Respuesta: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Ejemplo 12

La recta dada pasa por el origen perpendicular a la recta x - 2 3 = y + 4 5. Es necesario crear una ecuación general para una recta dada.

Solución

El vector normal de una recta dada será el vector director de la recta x - 2 3 = y + 4 5.

Entonces n → = (3, 5) . La recta pasa por el origen, es decir por el punto O (0, 0). Creemos una ecuación general para una recta dada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Respuesta: 3 x + 5 y = 0 .

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